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TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN

Maestría en Ingeniería

Optimización En el análisis y diseño óptimo

de sistemas complejos en ingeniería las tareas de optimización juegan un rol esencial

La mayoría de los problemas en el mundo real tienen varias soluciones y algunos tienen infinitas soluciones

El propósito de la optimización es encontrar o identificar la mejor solución posible, entre todas las soluciones potenciales para un problema dado

Optimización Casi siempre el interés en la

optimización se centra en la solución de problemas reales, los cuáles deben ser representados matemáticamente

Formulación del Modelo Matemático

Aplicación de Técnicas de Solución

Interpretación de Resultados

Optimización Los procesos y

sistemas en ingeniería son generalmente complicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problema planteado

Modelado: Proceso de simplificación del problema, para que pueda ser representado en términos de un sistema de ecuaciones o a través de un arreglo físico

Optimización Modelo: Arreglo físico o conjunto de ecuaciones que

sirven para representar algún sistema o proceso

Optimización Modelo Descriptivo: Se usan

para explicar los mecanismos y principios que interactúan en un sistema.

Modelo Predictivo: Son los que se emplean en el diseño y optimización de sistemas en ingeniería.

Modelos análogos

Modelos Matemático Modelos físico Modelos numéricos

Optimización Un modelo matemático representa

el desempeño y comportamiento de un sistema dado en términos de ecuaciones matemáticas, ofreciendo resultados cuantitativos.

Pueden estar basados en el entendimiento físico de un sistema ó por construcción de modelos a partir de datos.

Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden ser algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales ó combinación de varias de ellas

OptimizaciónProblema Matemático de Optimización

Consisten en la maximización o minimización de funciones algebraicas de una o más variables

La selección de las variables pueden estar restringidas por ecuaciones o inecuaciones algebraicas llamadas restricciones, de forma tal que el objetivo no es encontrar el mejor valor posible sino el mejor valor permitido por las restricciones

OptimizaciónTipos de Problema Matemático de Optimización

TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN

Generalidades de Algebra Lineal

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sistema de m ecuaciones con n incognitas

a11x1 a12x2 a1nxn b1

a21x1 a22x2 a2n xn b2

am1x1 am2 x2 amn xn bm

Sistemas de Ecuaciones Lineales

Comentarios

Si un sistema tiene una solución, se denomina consistente Si un sistema no tiene una solución, se denomina inconsistente Si en el sistema se denomina

homogéneo. Un sistema homogéneo tiene siempre la solución trivial:

Si dos sistemas tienen la misma solución, se les denomina equivalentes.

La estrategia de solución para sistemas lineales es transformar el sistema a través de una serie de sistemas equivalentes hasta que la solución sea evidente

b1 b2 bm 0

x1 x2 xn 0

Vectores

Un vector en el plano es un arreglo de tamaño2 x 1, el cual es representado como:

donde “x” y “y” son números reales Los números “x” y “y” en la definición de un

vector son llamados los componentes del vector v.

Dos vectores y son iguales si x1=x2 y y1 = y2

xy

v

1

1

xy

v 2

2

xy

u

Vectores

Un vector bidimencional tiene varias interpretaciones geométricas1) Un punto ( x,y ) en el plano 2) Un segmento lineal dirigido desde el

origen a el punto ( x,y ) 3) Un segmento lineal dirigido desde el

punto ( x1,y1 ) a el punto ( x2,y2 ). Entonces x = x2 - x1, y = y2 - y1

Para aplicaciones en geometría y física, algunas de las operaciones más importantes son: 1) Suma de Vectores2) Multiplicación Escalar3) Resta de Vectores

xy

v

Vectores

Suma de Vectores

Sea y . Se define: 1

2

uu

u 1

2

vv

v 1 1

2 2

u vu v

u v

x

y

u1

u2

v2

v1

u1,u2

v1, v2

u1 v1,u2 v2

u

v

uv

Vectores

Suma de Vectores u + v puede ser determinado

geometricamente por adición de un vector de la Cola a la Cabeza

x

y

u

v

uv

v

Vectores

Multiplicación Escalar Sea c un escalar(e.g. un número real) y

un

vector. La Multiplicación Escalar c u of u por c está definida como el vector defined as the vector

1

2

uu

u

1

2

cucu

x

y

c 0

c 0

c 1

c 1

0 c 1

Vectores

Resta de Vectores Se define u - v como u + (-1) v La relación geometrica entre u,v, u + v y u -

v

u

v

uv

u v

Vectores

Descripción Parametrica de una Linea Sea P1 y P2 puntos. La linea que pasa

através de ellos puede ser descrita como:

1 2 1 1 21t t t t P P P P P P

P1

P2

P2 P1

t 0

t 1

t 1

t 0

0 t 1

Vectores

Vectores en Tres Dimensiones Un vector en tres dimensiones es una

matriz de tamaño 3 x 1,

donde “x”, “y” y “z” son numeros reales La Suma, Multiplicación Escalar y Resta de

Vectores, son definidas analogamente a vectores en dos dimensiones

xyz

Vectores

Propiedades Básicas de Vectores en R2 ó R3 Teorema - Si u, v y w son vectores en R2 ó

R3 y c y d son escalares reales, entonces: a) u + v = v + ub) u + (v + w) = (u + v) + wc) u + 0 = 0 + u = ud) u + (-u) = 0 e) c (u + v) = c u + c vf) (c + d) u = c u + d u g) c (d u) = (c d ) uh) 1 u = u

Vectores

Vectores en n Dimensiones Un vector en n dimensiones es una matriz

de tamaño n x 1,

donde “x1”, “x2” … “xn” son numeros reales La Suma, Multiplicación Escalar y Resta de

Vectores, son definidas analogamente a vectores en dos dimensiones

1

2

n

xx

x

Vectores Sea v1 y v2 vectores en un espacio vectorial V.

El conjunto de todos los vectores de la forma a1v1 + a2 v2 , para a1 and a2 números reales, forman un subespacio de V

Sea A una matriz de tamaño m x n y considere el sistema homogéneo Ax = 0 donde x ϵ Rn. Si se define W = {x ϵ Rn | Ax = 0 }., W es un subespacio de Rn llamado el Espacio Nulo de A.

Sea x y y soluciones del sistema homogéneo, i.e. Ax = 0 y Ay = 0, entonces A( x + y ) = Ax + Ay = 0 + 0 = 0.

Sea c un escalar, entonces A( c x ) = c( Ax ) = c

0 = 0 (c x ϵ W y W es un subespacio de Rn)

Vectores

Sea S = { v1, v2, …, vk } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. Un vector v ϵ V es llamado Combinación Lineal de vectores en S si: v = a1 v1 + a2 v2 + … + ak vk para cualquier número reales a1, a2 , …, ak

v1

a1v1

v 2

a2v2

a1v1 a2v2

v1

v 2

a1 0,a2 0

a1 0,a2 0

a1 0,a2 0

a1 0,a2 0

Vectores

Sea S = { v1, v2, …, vk } un conjunto de vectores en un espacio vectorial V. Entonces S es visto como linealemente dependiente si existen constantes, a1, a2 , …, ak , no todos ceros, tal que:

a1 v1 + a2 v2 + … + ak vk = 0

Sea S = { v1, v2, …, vk } un conjunto de vectores distintos en un espacio vectorial V. Si S no es linealmente dependiente entonces S es visto como linealmente independiente. Que es:

a1 v1 + a2 v2 + … + ak vk = 0

para a1 = a2 = … = ak = 0

Matrices Sistema de m ecuaciones con n incognitas

Si se define la matriz A de tamaño m x n , como:

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mnm m

a a aa a a

a a a

A




Matrices El sistema m x n puede ser escrito como

ó AX = B

Si los valores de b1 = b2 = … = bm = 0, el sistema es denominado homogeneo y puede ser escrito como AX = 0

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

mn n mm m

a a a x ba a a x b

a a a x b

Matrices i - esima fila de A

j - esima columna de A

Lo que se puede escribir como: A = [ aij ]

ó ( A )ij for aij

ai1 ai2 ain 1i m

1

2 1

j

j

mj

a

aj n

a

MatricesComentarios:

a) Si m = n entonces A es denominado una Matriz Cuadrada

b) Para una Matriz Cuadrada, los elementos a11, a22, …, ann constituyen la Diagonal Principal de A

c) Dos matrices, A = [ aij ] y B = [ bij ], son iguales si aij = bij para 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n

MatricesSuma de Matrices

Sea A = [ aij ] y B = [ bij ] dos matrices de tamaño m x n, entonces C = A + B es una matriz C = [ cij ] tal que cij = aij + bij i, j

Multiplicación de una Matriz por un Escalar

Sea A = [ aij ] y r Î R. Entonces C = r A, donde C = [ cij ] es definida como cij = r aij i, j

MatricesMultiplicación de una Matriz por un Vector

Si A es una matriz de tamaño m x n y X es un vector de tamaño n x1, entonces:

11

21

1

n

k kkn

k kk

n

mk kk

a x

a x

a x

AX

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

mnm m

a a aa a a

a a a

A

MatricesMultiplicación de una Matriz por un Vector

Si A es una matriz de tamaño m x n y X es un vector de tamaño n x1, AX puede también ser expresado como:

Lo cual se denomina como una combinación lineal de las columnas de A. los coeficientes son los elementos de X

11 12 1

21 22 21 2

1 2

n

nn

mnm m

a a aa a a

x x x

a a a

AX

MatricesMultiplicación de Matrices

Sea A = [ aij ] una matriz de tamaño m x n y sea B = [ bij ] una matriz de tamaño n

x p. El producto de A por B es igual a una matriz C de tamaño m x p (AB=C = [ cij ]), definida por:

cij aikbkjk1

n

ai1b1 j ai2b2 j ainbnj

for i 1,2,,m j 1,2,, p

MatricesMultiplicación de Matrices

Comentarios

BA es definida si sólo si p = m Si p = m tal que BA es definida, entonces BA es

una matriz de tamaño n x n y AB es una matriz de tamaño m x m, i.e. diferentes tamaños

Si AB y BA son del mismo tamaño, estas pueden no ser iguales, i.e. lo que muestra que no es comutativa

MatricesSistemas de Ecuaciones

Considere

Defina

Exprese el sistema como AX = B




11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

mn n mm m

a a a x ba a a x b

a a a x b

A X B

MatricesSistema de Ecuaciones

Donde la solución del sistema involucra los valores de a y b unicamente, por lo cual se podría trabajar con la matriz aumentada

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

mn mm m

a a a ba a a b

a a a b

MatricesMatriz Transpuesta

Sea A = [ aij ] una matriz de tamaño m x n. La Matriz Transpuesta de A, denotada por AT , es AT = [ aij

T ] una matriz de tamaño n x

m definida por aijT = aji

MatricesTeorema (Suma de Matrices) Sea A, B y C matrices de tamaño m x n

1) A + B es una matriz de tamaño m x n

2) A + (B + C) = (A + B) + C

3) Sea m0n una matriz nula de tamaño m x n tal que A + m0n = m0n + A = A para cualquier matriz A

4) Para cualquier matriz A de tamaño m x n, D es una matriz unica de tamaño m x n tal que A + D = D + A = m0n

5) A + B = B + A

MatricesTeorema (Multiplicación de Matrices)

a) Si A, B y C son matrices de tamaños apropiados, entonces A ( BC ) = ( AB ) C

b) Si A, B y C son matrices de tamaño apropiados, entonces ( A + B ) C = AC + BC

c) Si A, B y C son matrices de tamaño apropiado, entonces C ( A + B ) = CA + CB

MatricesPropiedades de Multiplicación de una Matriz por un Escalar

Si r y s son números reales y A y B son matrices,

Entonces: r ( sA ) = ( rs ) A ( r + s ) A = rA + sA r ( A + B ) = rA + rB A ( rB ) = r ( AB ) = ( rA ) B

MatricesPropiedades de la Matriz Transpuesta

Si r es un escalar y A y B son matrices, entonces:

( AT

)T = A

( A + B )T = AT + BT

( AB )T = BTAT

( rA )T = rAT

MatricesMatrices Especiales

Una matriz A = [ aij ] de tamaño n x n es llamada una Matriz Diagonal si aij = 0 para i ≠ j, i.e. los términos de la diagonal principal son todos cero

Una Matriz Escalar es una Matriz Diagonal cuando los elementos de la diagonal son todos iguales

La matriz Escalar In = [ aij ], donde aii = 1 y aij = 0 para i ≠ j es llamada Matriz Identidad de tamaño n x n. Sea A una matriz cualquiera de tamaño m x n, entonces:A In = A y Im A = A


Matriz Potencia: Si A es una matriz de tamaño n x n y p es un entero positivo, puede definirse:

Si A es una matriz de tamaño n x n y p=0, adopte la conversión:

factors

p

p

A AA A

A0 In


Las siguientes son leyes de exponentes para valores de p y q no negativos y una matriz A de tamaño n x n

1 ) Ap Aq = Ap + q

2 ) ( Ap ) q = Apq

Precausión.

1 ) ¿Esta definida Ap para enteros negativos de p? 2 ) ¿Se puede afirmar que ( AB )

p = Ap B p

?


Matriz Triangular Superior: Una matriz A = [ aij ] de tamaño n x n es llamada Matriz Triangular Superor si aij = 0 para i > j

Matriz triangular Inferior: Una matriz A = [ aij ] de tamaño n x n es llamada Matriz Triangular Inferior si aij = 0 para i < j

Nota: Una matriz diagonal es triangular superior e

inferior La matriz nula de tamaño n x n es triangular

superior e inferior


Matriz Simetrica: Una matriz A es llamada simetrica si AT= A

Matriz Simetrica : Una matriz A es llamada skew-simetrica si AT= -A

Comentario - si A es skew-simetrica, entonces los elementos de la diagonal de A son cero

Comentario - hay matrices cuadradas A puede escribirse como la suma de una matriz simetrica y una matriz skew-simetrica

T T

symmetric skew-symmetric

1 12 2

A A A A A


Matriz No – Singular: Una matriz A de tamaño n x n es llamada no singular ó invertible si existe una matriz B de tamaño n x n tal que AB = BA = In

Comentarios

Si B existe, entonces B es llamada la inversa de A Si B no existe, entonces A es llamada singular ó

no invertible


Teorema – Si la inversa de una matriz existe, entonces la inversa es única

Notación - Si A es una matriz no singular. La inversa de A es denotada por A-1

Comentario – ¿Para matrices no singulares, A, puede definirse A elevada a una potencia negativa, como A-k = ( A-1

) k para k >

0?


Teorema - Si A y B son ambas matrices singulares, entonces el producto AB es no singular y ( AB ) -1 = B-1A-1

Teorema - Si A1, A2, …, Ar son matrices no singulares, entonces A1 A2 • • • Ar es no singular y

A1A2Ar 1Ar

1Ar1 1 A2

1A1 1


Teorema - Si A es una matriz no singular, entonces A-1 es no singular y ( A-1

) -1 = A

Teorema - Si A es una matriz no singular, entonces AT es no singular y ( AT

) -1 = ( A-1

) T

MatricesSistemas Lineales y Matriz inversa

Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas puede ser escrito como AX = B, donde A es una matriz de tamaño n x n. Si A es no singular, entonces A-1 existe y el sistema puede ser resuelto al multiplicar ambos lados por A-1

A-1( AX ) = A-1B ( A-1A )X = A-1B X = A-1B

Determinante

Método de Expansión

Sea A = [ aij ] una matriz de tamaño n x n. El Determinante de A es definido como

donde la sumatoria son todas las permutaciones j1 j2 … jn de S = { 1, 2, …, n }. El signo es + si j1 j2 … jn es una permutación par y es – si j1 j2 … jn es una permutación impar

1 21 2det

nnjj ja a a A

Determinante

Comentarios

det( A ) es una función desde el conjunto de matrices de tamaño n x n en los números reales

Cada término de det( A ) subíndices de filas en el orden de los Naturales y subíndices de columna en el orden de j1 j2 … jn . Así cada término es un producto de n elementos de A, con exactamente una entrada de cada fila de A y exactamente una entrada de cada columna de A.

det( A ) en también escrito como

1 21 2 nnjj ja a a

A

Determinante

Ejemplo

Sea A = [ a11 ] una matriz de tamaño 1x1, entonces el det( A ) = a11

Sea una matriz de tamaño 2x2,

entonces el det( A ) = a11 a22 - a12 a21

11 12

21 22

a aa a

A

a11 a12

a21 a22

Determinante

Ejemplo

Sea una matriz de tamaño 3x3,

entonces el det( A ) = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32

- a11 a23 a32 - a12 a21 a33 + a13 a22 a31

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a aa a aa a a

A

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Determinante

Método de Cofactor

Sea A = [ aij ] una matriz de tamaño n x n. Sea Mpq una submatriz de A de tamaño ( n – 1 ) x ( n – 1 ) obtenida al borrar la p-esima y la q-esima columna de A. El determinante det( Mpq ) es llamado determinante menor de apq

Sea A = [ aij ] una matriz de tamaño n x n. El cofactor Apq de apq es definido como Apq = (–1)

p+q det( Mpq )

Determinante

Método de Cofactor

Teorema – Sea A = [ aij ] una matriz de tamaño n x n. Entonces:

det( A ) = ai1A i1+ ai2A i2 + … + ain A in (expansión del det( A ) con respecto a la fila i )ó

det( A ) = a1j A 1j+ a2j A 2j + … + anj A nj (expansión del det( A ) con respecto a la columna j )

Determinante

Comentario

Examine patron de los signos del término ( –1 ) p+q

Cuando usamos cofactores, no tenemos que evaluar evaluate ( –1 )p+q , sólo recordar el patron

n = 3 n = 4

Determinante Teorema – Sea una matriz cuadrada A.

Entonces el det( A ) = det( AT )

Teorema – Si la matriz B es obtenida desde la matriz A por intercambio de dos filas (columnas) de A, entonces det( B ) = - det( A )

Teorema – Si dos filas (columnas) de A son iguales, entonces det( A ) = 0

Teorema – Si una fila (columna) de A consiste completamente de ceros, entonces det( A ) = 0

Determinante Teorema – Si B es obtenida desde A por

multiplicación de una fila (columna) de A por un número c, entonces det( B ) = c det( A )

Teorema – Si B = [ bij ] es obtenida desde A = [ aij ] por adicionar a cada elemento de la r-esima fila (columna) de A, c veces el elemento correspondiente de la s-esima fila (columna), con r ≠ s, de A, entonces det( B ) = det( A )

Teorema - Sea A = [ aij ] una matriz triangular superior (inferior), entonces det( A ) = a11a22 … ann. Que es, el producto de los elementos de la diagonal principal

Determinante Teorema – Sea E una matriz elemental.

Entonces det(EA) = det( E )det( A ) y det( AE ) = det( A )det( E )

Teorema – Sea A una matriz de tamaño n x n. Entonces A es no singular si y sólo si det( A ) ≠ 0

Teorema – Sea A una matriz de tamaño n x n, entonces Ax = 0 tiene una solución no trivial si y sólo si det( A ) = 0

Teorema – Si A y B son matrices de tamaño n x n, entonces det( AB ) = det( A )det( B )

Determinante Teorema – Si A es no singular, entonces

det(A–1) = 1 /det( A )

Teorema – Si A y B son matrices similares, entonces det( A ) = det( B ). A y B son similares si existe una matriz no singular P tal que B = P–1

A P

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