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FAAP – Faculdade de Engenharia

Código da Disciplina: 1EB276 - FÍSICA II 1

Capítulo 1

Movimento Oscilatório Objetivo: Conceituar Movimento Periódico; Período; Freqüência e Movimento Harmônico Simples (M.H.S)

Resumo de Aula Se uma força varia com o tempo, a velocidade e a aceleração do corpo também variam com o tempo. Uma espécie muito especial de movimento ocorre quando a força sobre o corpo é proporcional ao deslocamento do corpo em relação à posição de equilíbrio. Se esta força sempre agir na direção da posição de equilíbrio do corpo, provocará um movimento repetitivo, de vai e vem em torno dessa posição. O movimento é o que se denomina movimento periódico ou oscilatório. Possivelmente você terá familiaridade com muitos exemplos de movimento periódico:

• as oscilações de um corpo pendurado numa mola; • o movimento de um pêndulo; • as vibrações de um instrumento musical de cordas.

O número de sistemas que exibem movimento oscilatório é muito grande. Por exemplo, as moléculas num sólido oscilam em torno das posições de equilíbrio; as ondas eletromagnéticas, como as da luz, as do radar, as ondas de rádio, são caracterizadas por vetores oscilantes do campo elétrico e do campo magnético; nos circuitos de corrente alternada, a corrente, a voltagem e a carga elétrica, variam periodicamente com o tempo. A maior parte deste capítulo tratará do Movimento Harmônico Simples. Nesse tipo de movimento, um corpo oscila entre duas posições espaciais, durante um intervalo indefinido de tempo, sem perda de energia mecânica. Nos sistemas mecânicos reais, estão sempre presentes forças restauradoras (ou de atrito). Estas forças reduzem a energia mecânica do sistema à medida que o movimento avança e as oscilações são amortecidas. Se uma força motriz externa for aplicada ao sistema, de modo a equilibrar a perda de energia, mediante a injeção de nova energia, o movimento é uma oscilação forçada. 1. Movimento Periódico Dizemos que um movimento é periódico quando a sua posição se repete em intervalos de tempos iguais, com a mesma velocidade e a mesma aceleração. Devemos lembrar que a velocidade e a aceleração são de grandezas vetoriais e que duas grandezas vetoriais são iguais quando possuem o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido. Exemplos de movimentos periódicos: a) O movimento pendular, desprezando-se a resistência do ar e das forças

dissipativas.



b) O movimento da extremidade livre de uma lâmina a vibrar desprezando-se a resistência do ar.

c) O movimento circular e uniforme.

d) O movimento de um bloco preso a uma mola, desprezando-se a resistência do ar

e a das forças dissipativas.

1. Mola distendida. O bloco é abandonado (instante t = o) no ponto da

abscissa a. 2. O Bloco num ponto da abscissa x (instante t1) 3. Bloco na posição de equilíbrio. 4. Bloco um ponto de abscissa negativa e igual a –x. 5. Mola totalmente comprimida. Bloco no ponto de abscissa –a.

O bloco e a mola do exemplo acima constituem um conjunto denominado oscilador harmônico. 2. Período e freqüência de um movimento periódico Período (T): é o menor intervalo de tempo necessário para que um movimento periódico se repita em posição, velocidade e aceleração. No SI a unidade de período e o segundo (s). Freqüência (f): é o número de vezes que o movimento periódico se repete (em posição, velocidade e aceleração) na unidade de tempo. A unidade de freqüência é o Hertz (Hz), como já sabemos. Pelas definições acima, é fácil observar que o período é o inverso da freqüência, isto é,

T1

f ou f1

T ==



3. Movimento Harmônico Simples (M.H.S) Um ponto material realiza um movimento harmônico simples quando oscila periódicamente numa trajetória retilínea, em torno de uma posição de equilíbrio, sempre sujeito a uma força de intensidade proporcional à distância do ponto à posição de equilíbrio. Tal força é, chamada força restauradora elástica e está sempre dirigida para a posição de equilíbrio. O nome harmônico, atribuído a esse movimento, deve-se ao fato do mesmo ser expresso por funções senoidais e cossenoidais, que em matemática são denominadas harmônicas. 4. Relação entre o movimento harmônico simples e o movimento

circular Seja um ponto P deslocando-se sobre uma circunferência de raio a com velocidade angular ω constante, conforme ilustra a figura (1):

Figura 1 Sendo P’ a projeção de P sobre o eixo x, observa-se que à medida que P percorre a P’ se movimenta sobre o diâmetro, ora num sentido, ora noutro, em torno do ponto O. Nessas condições o movimento de P’ é harmônico simples e de mesmo período do movimento do ponto P.

Define-se para o M.H.S. a) elongação (x) – é a distância da posição de equilíbrio (O), a posição P’ num determinado instante t; b) amplitude (a) – é o máximo valor da elongação. Logo a = xmáx; c) pulsação ( ωωωω) – é a grandeza do M.H.S. que apresenta as mesmas características da velocidade angular do movimento do ponto P;

do movimento circular e uniforme sabemos que f2T2 π=π=ω é expressa em rad/s

d) fase ( ϕϕϕϕ) – é a posição angular do ponto P num dado instante. Do movimento circular e uniforme sabemos que 0t ϕ+ω=ϕ

5. Função horária do M.H.S.

Tomemos o ∆0P’P da fig. (1)

ϕ=⇒ϕ⋅=⇒=ϕ cos a x cosP00P' P0

'P0cos

Como 0t ϕ+ω=ϕ temos:

)tcos( ax 0ϕ+ω= função horária do M.H.S.

Na função horária do M.H.S, a representa a amplitude, ϕo, a fase inicial e ω, a pulsação.



6. Função Velocidade do M.H.S Seja um ponto P descrevendo uma circunferência de raio a, com velocidade tangencial (V) constante como ilustra a figura (2). Figura 2 Seja v (projeção de V sobre o eixo 0x) a velocidade do ponto P’ com M.H.S. Tomemos o ∆ PQR:

( ) ( )ϕ°=⇒=ϕ−° -90cos PRPQPR

PQ90cos

Então, ) - (90 cos Vv ϕ°= Como ϕ=ϕ=ϕ° sen-V v :temos , -sen) - (90 cos Como )t( sen a-v :vem ,t e aV 00 ϕ+ωω=ϕ+ω=ϕω= Função velocidade do M.H.S. Nota: como v = ωa sen ϕ, a velocidade pode ser:

e) máxima – quando a v 1 sen k2 max ω±=⇒±=ϕ∴π+π=ϕ

f) Mínima – quando 0v 0 sen k min =⇒=ϕ∴π=ϕ

7. Relação entre a velocidade e a elongação

Vimos que v = ωa sen ϕ 22

22

av

senav

senω

=ϕ⇒ω−=ϕ⇒

como sen2 ϕ + cos2 ϕ = 1 (Relação Fundamental da Trigonometria), podemos escrever:

)cosaa(vcosaavcosavaa

vaa

v1cos Logo, .cos1sen

22222222222222222

22

222

22

2222

ϕ−ω=⇒ϕω−ω=⇒ϕω=−ω⇒

⇒ω

−ω=ω

−=ϕϕ−=ϕ

Como 2222 xcosa =ϕω , temos: xav )xa(v 222222 −ω±⇒−ω= 8. Função aceleração do M.H.S. Seja um ponto P deslocando-se sobre uma circunferência de raio a, com aceleração centrípeta (ac) constante, como ilustra a figura (3):

Figura 3 Seja γ (projeção de ca sobre o eixo 0x), a aceleração do ponto P, com M.H.S. No

ponto ∆PQR temos: ϕ=γ∴ϕ=⇒=ϕ cosa cos RPRQRP

RQ cos c



Como ) t( cos a- :temos ,t e a 0

20

2c ϕ+ωω=γϕ+ω=ϕω−=

Função aceleração do M.H.S. Observação: o sinal negativo da aceleração (γ) indica que a mesma está sempre dirigida para o ponto de equilíbrio. Como x = a cos (ωt + ϕ0), a aceleração pode ser expressa por:

γ = -ω2x Nota: como γ = ω2 a cos ϕ, a aceleração pode ser: a) máxima – quando ϕ = kπ ∴ cos ϕ = ± 1 ⇒ γmax = ± ω2a

b) mínima – quando 0 0 cos k2 min =γ⇒=ϕ∴π+π=ϕ

9. Diagrama do M. Na construção dos diagramas abaixo admitiremos ϕ0 = 0 a) Diagrama horário b) Diagrama das velocidades c) Diagramas das acelerações

EXERCÍCIOS 1. Um corpo realiza um M.H.S, cuja função horária no sistema (CGS) é

)t6

( sen 4xπ= . Determine, para esse movimento:

a. a amplitude; b. a pulsação; c. o período e a freqüência; d. a velocidade do corpo no fim de 2s; e. a velocidade máxima do corpo; f. a aceleração do corpo no fim de 1s; g. a aceleração máxima do mesmo; h. a velocidade do corpo correspondente ao ponto de elongação 3 cm.

SOLUÇÃO

Sabe-se que

πθ=θ2

- cos sen . Portanto, a função horária do movimento pode ser

escrita por:

π−π=2

t6

cos 4x . Comparando-o com a função horária genérica do

M.H.S, )t( cos ax 0ϕ+ω= , temos:



a. a = cm

b. s

rad6π=ω

c.

Hz121

f T1

ff1

T Como

s12T

6

22T

T2

==⇒=

=⇒ππ=

ωπ=⇒

π=ω

f. )t( cos a 02 ϕ+ωω−=γ

22

22

2

s/cm18

21

98

3- cos

9

21

6cos4

36

π−=γ

⋅π=⇒

ππ−=γ

π−⋅π⋅⋅π−=γ

g. 2

2

max

222

2max

s/em9

em/s 9

436

a

π±=γ

π±=⋅π±=ω±γ

h.

cm/s 67

v

76

9166

v

xav 22

π±=

π±=+π±=

+ω±=

Movimento Oscilatório Objetivo: Enfatizar o conceito de Movimento Harmônico Simples e identificar novamente seus elementos

Resumo de Aula Sabemos que se uma partícula se move sobre um eixo x, tem um movimento harmônico simples, quando x, o seu afastamento em relação à posição de equilíbrio, varia com o tempo conforme a relação. x = A cos (ωt + γ)

A = amplitude do movimento que é simplesmente o deslocamento máximo da partícula na direção dos x positivos e negativos. ω = é a constante que traduz a freqüência angular γ = constante de fase (ou ângulo de fase), que junto com a amplitude A, esta determinada pelo deslocamento inicial e pela velocidade inicial da partícula. As constantes γ e A nos informam qual é o deslocamento no instante t = 0. A grandeza (ωt + γ) é a fase do movimento e é útil para a comparação dos movimentos de dois sistemas de partículas. Observe que a função x é uma função periódica e se repete quando ωt aumenta por 2π radianos.



Sendo T o intervalo de tempo para a partícula descrever um ciclo completo do seu movimento. Isto é, o valor de x no instante t é igual ao valor de x no instante t + T, então temos:

ωt + γ + 2π = ω (t + T) + γ onde ωT = 2π

ωπ= 2

T

O inverso do período é a freqüência do movimento f.

πω==2T

1f

as unidades de f são ciclos/s ou hertz (Hz)

T2f2

π=π=ω∴

A constante ω é a freqüência angular e tem unidade rad/s Podemos obter a velocidade de uma partícula que efetua um movimento harmônico simples, derivando expressão (I) em função de t.

)t(Asendtdx

v γ+ωω−==

a aceleração da partícula é dada por dtdv

)t( cos A dtdv

a 2 γ+ωω−==

mas uma vez que x = A cos (ωt + γ)

podemos escrever que a = -ω2 A

como as funções seno e cosseno oscilam entre ± 1, os valores de v são ± ω A e os da aceleração são ± ω2 A ∴ Vmáx = ω A Amáx = ω2ª Conclui-se que as propriedades importantes de uma partícula que se move com M.H.S são:

1. O deslocamento, a velocidade e a aceleração variam, todos, senoidalmente com o tempo mas não estão em fase, conforme a figura (5) 2. A aceleração da partícula é proporcional ao deslocamento, mas tem direção oposta. 3. A freqüência e o período do movimento são independentes da amplitude.

Representação gráfica de um movimento harmônico simples: (a) deslocamento contra o tempo, (b) velocidade contra o tempo e (c) aceleração contra o tempo. Observe que a velocidade tem uma diferença de fase de 90° em relação ao deslocamento , e a aceleração uma diferença de fase de 180° em relação ao deslocamento.



EXEMPLO 1. Um corpo oscila com movimento harmônico simples sobre o eixo x. O seu deslocamento varia com o tempo, de acordo com a equação:

)4

tcos( m) 0,4(xπ+π=

Onde t está em s, e os ângulos entre parênteses estão em radianos. Determinar: a) Amplitude, freqüência e o período do movimento. b) Calcular a velocidade e a aceleração do corpo em qualquer instante t. c) Usando os resultados obtidos em b, determinar a velocidade e a aceleração do corpo no instante t = 1s.

SOLUÇÃO

a) Comparando a expressão dada com a equação geral do movimento harmônico simples:

x = A cos (ωt + γ)

tem-se ;s

rad e m 0,4A π=ω=

portanto achamos 1s5,022

f −=π

π=π

ω=

e s0,25,0

1f1

T ===

b)

π+π==4

t cos m) 0,4(dtd

dtdx

v

π

π+π−=4

tsen 0,4

sm

4tsen 0,4v

π+π−=

π+ππ−==4

t sen )0,4(dtd

dtdv

a

π

π+ππ−=4

tcos 4a

22

sm

4t cos 4a

π+ππ−=

c)

m83,2x

m83,2)707,0(0,44s

cos 0,414

cos 0,4x

−=

=−⋅=

π=

⋅π+π=

m/s 8,89v

m/s 89,8)707,0(0,44s

sen 0,44

1sen 0,4v

=

−−−=

ππ=

π⋅ππ−=

2

2222

m/s 9,27a

m/s 9,27)707,0)(0,4(4s

cos 0,44

1cos 0,4a

=

=−π−=ππ−=

π+⋅ππ=

2. Para o problema anterior, determinar a velocidade máxima e a aceleração máxima do corpo.



SOLUÇÃO para a expressão do problema

)4

t( cos m) 0,4(xπ+π=

sendo o valor máximo das funções seno e cosseno a unidade, pode-se deduzir que v varia entre ± 4π2 m/s2, Então vmáx= 4πm/s e Amáx= 4π2m/s2 Os mesmos resultados se obtêm a partir de: vmáx = ωA vmáx = 4π m/s amáx = ω2ª amáx = 4π2m/s2 3. Achar o deslocamento do corpo entre t = 0 e t = 1s, também em relação ao

problema anterior; e também a fase de movimento em t = 2s. SOLUÇÃO

A coordenada x em t = 0 é dada por: m 83,2)707,0(0,44

(cos0,4x0 ==π+=

do problema (2) vimos que a coordenada x em t = 1s é de -2,8 m; portanto o deslocamento entre t = 0 e t = 1s é ∆x = x – x0 = -2,83 – 2,83

∆x = -5,66 m Em virtude da modificação do sinal da velocidade durante o primeiro segundo o valor de ∆x não é igual à distância percorrida no primeiro segundo.

A fase se define como ωt + γ, onde nesse caso, ω = π e 4πγ . Portanto, em t = 2s

tem-se:

Fase =4

)2()tπ+π=γ+ω

rad

4s

Fase

2t

π=

=

Movimento Oscilatório

Objetivo: estudar o movimento oscilatório de uma massa ligada a uma mola

Dinâmica do Movimento Harmônico Simples: Seja um corpo C de massa M, preso a uma mola helicoidal de comprimento l e massa desprezível, sobre um plano horizontal sem atrito, como ilustra a figura:



Quando a mola é distendida (ou comprimida), passa a atuar sobre o corpo C uma

força elástica F . Tal força, devida a ação da mola, é uma força restauradora, proporcional à elongação e responsável pela realização do MHS. Sabe-se que F – kx (1) (Lei de Hooke) onde k é a constante elástica da mola e o

sinal negativo indica que F tem sempre sentido contrário ao da elongação de x. Por outro lado, vimos que, se um corpo realiza um MHS, sua aceleração é dada por γ= -ω2x (2) Comparando (1) e (2) temos: -kx = -mω2x k = mω2

mk

mk

2 =ω∴=ω∴

Como km

2TT2 π=⇒

π=ω

Vamos agora descrever o movimento de maneira quantitativa. O que pode ser feito lembrando-se que

2

2

dtxd

dtdv

a ==

pela Lei de Hooke F = - kx F = -kx = ma

xmk

dtxd

dtxd

a mas xmk

a

2

2

2

2

⋅−=

=−=

se representarmos a fração 2

mk ω=

mk2 =ω

xdt

xd 22

2

ω−= (I)

agora queremos a solução da expressão (I), isto é, uma função x (t) que satisfaça essa equação diferencial de segunda ordem. A natureza dessa solução x(t), na forma, de uma relação algébrica, reduzirá a equação diferencial a uma identidade. A fim de explicitar o resultado, repare que se: x = A cos (ωt + γ)

então =γ+ωω−==γ+ω= )t(sentd

Adt

xa)tcos(

dtd

Adtdx

2

2

se compararmos as expressões x , notamos xdt

xd 22

2

ω− o que satisfaz a expressão

(I).

esta expressão nos permite determinar o

período de um oscilador harmônico.



EXERCICIOS 1. Um carro de massa 1.300 kg, foi construído com o chassi suportado por quatro

molas helicoidais. Cada mola tem a constante de força igual a 2000 mN

. Se duas

pessoas estiverem no carro, com massa total de 160 kg, achar a freqüência de vibração do carro, ao passar por um buraco de estrada.

SOLUÇÃO Admitamos que o peso esteja uniformemente distribuído. Então cada mola suporta um quarto da carga. A massa total suportada pelas molas é 1460 kg, e então, cada mola suporta 365 kg. Daí, a freqüência de vibração é:

Hz 18,1f

kg36520000

21

mk1

f mN

=π

=π

=

2. Quanto tempo leva o carro para efetuar duas vibrações completas. SOLUÇÃO

s847,018,11

f1

T T1

f ====

Tempo de uma oscilação = 0,847 s Tempo para duas oscilações = 0,847 s x 2 = 1,70 s

3. Uma massa de 200g está ligada a uma mola leve, com a constante de força

igual a mN

5 , e pode oscilar sobre uma superfície horizontal, sem atrito. Se a

massa for deslocada 5 cm em relação a posição de equilíbrio, como mostra a figura, encontrar:

a) o período do movimento b) a velocidade máxima da massa c) a aceleração máxima da massa d) o deslocamento, a velocidade, a aceleração em função do tempo

x = A cos ωt

Figura: sistema massa-mola que parte do repouso em x0 = A. Nesse caso, γ = 0 e Então x = A cos ωt SOLUÇÃO

a) x = A cos ωt e A = 5 x 102m (deslocamento da mola)

rad/s 510200

5mk

3m

N

=⋅

==ω −

portanto s26,1522

T =π=ωπ=

M

t =0 x0 = A v0 = 0

x = 0 A



b) vmáx= ωA = ( ) sm2 250,0m10.5

srad5 =

−

c) amáx = ω2A= ( ) 2sm2

2

25,1105srad5 =⋅

−

d) A expressão x = A cos ωt é uma solução particular, então podemos usar os resultados de a, b e c para ter x = A cos ωt = (0,05 m) cos st v = ω A sen ωt = -(0,25 m/s) sen 5t a = ω2 A cos ωt = -(1,25 m/s2) cos 5t

Movimento Oscilatório Objetivo: Conceituar Energia do Oscilador Harmônico Simples

Resumo de Aula • Energia Potencial do Oscilador Harmônico (Ep)

Quando a mola e distendida (ou comprimida), ela apresenta uma energia potencial num dado instante, dada pela expressão:

2kx21

Ep =

Analisando a expressão acima, vemos que na posição de equilíbrio (x = 0), a energia potencial (Ep) é nula e quando a elongação é máxima (x = ± a), a energia potencial (Ep) é máxima e dada por

2ka21

Ep =

• Energia Cinética do Oscilador Harmônico (Ec) Sendo o sistema representado pela figura abaixo um sistema conservativo (não atuam forças dissipativas) a enérgica mecânica (EM) é dada por:

EM = Ec + Ep

através desse gráfico, a energia mecânica do sistema é obtida pela soma das energias cinética e potencial correspondente à mesma elongação. Quando o corpo se encontra num dos pontos extremos (elongação máxima) sua velocidade é nula e consequentemente não havendo energia cinética, a energia mecânica é igual à sua energia potencial máxima. Quando o corpo sai de uma de suas posições externas, à medida que ele se aproxima da posição de equilíbrio, a sua velocidade aumenta e sua elongação diminui. Consequentemente, a energia potencial do sistema vai transformando-se em energia cinética, que assume o valor máximo no positivo de equilíbrio, visto que nesse ponto a velocidade é máxima e a elongação é nula.



A cada instante a energia cinética do corpo é dada por: 2

C mv21

E =

• Energia mecânica do oscilador harmônico (EM)

Sabe-se que a cada instante EM = Ec + Ep onde 2

c2

p mv21

E e kx21

E == então

22M mv

21

xk 21

E += (1)

Por outro lado, )xa(v xav 222222 −ω=⇒−ω±= (2)

Substituindo (2) em (1): )xa(m21

kx21

E 2222M −ω+=

Sendo )x(a mk

m 21

kx21

E :temos ,mk 222

M2 −+=ω

2M

222M

222M ka

21

E kx21

ka21

kx21

E)xa(k21

kx21

E =⇒−+=⇒−+=

Como k e a são constantes, esta expressão nos mostra a validade do principio da conservação de energia .

por outro lado podemos utilizar a expressão: )t( sen Adtdx

v γ+ωω−==

Já demonstrada anteriormente, para exprimir a energia cinética na forma

)t(sen A m 21

v m 21

k 2222 γ+ωω==

A energia potencial elástica armazenada na mola, para qualquer elongação x, é

dada por 2

kx 2

temos )t(cos Ak 21

kx21

v 222 γ+ω==

Vemos então que K e v são sempre grandezas positivas: Visto que:

mk2 =ω

podemos exprimir a energia total do oscilador harmônico simples como:

[ ])t(cos)t(senkA21

vkE 222 γ+ω+γ+ω=+=

Porém sen2θ + cos2 θ = 1 onde θ = ωt + γ portanto a expressão se reduz a 2 Ak

21

E =

como já demonstrado acima Ou seja a energia do oscilador harmônico simples é uma constante do movimento e é proporcional ao quadrado da amplitude. De fato, a energia mecânica total é exatamente igual à energia potencial máxima armazenada na mola quando x = ± A. Nesses pontos, v = 0, e v = 0, de modo que a energia total está inteiramente na forma de energia cinética. Isto é, em

x = 0, 222máx A

2m

v2m

E ω==



Os gráficos das energias cinética e potencial, contra o tempo, aparecem na figura abaixo, onde tomamos γ = 0. Nesta situação, as energias K e U são ambas

positivas, e a soma das duas é sempre constante e igual a 2

kA 2

, que é a energia

total do sistema. As variações de K e U, em função do deslocamento, estão peotadas, na figura abaixo. A energia está continuadamente transferida entre a energia potencial armazenada na mola e a energia cinética da massa.

(a) Energia cinética e energia potencial em função do tempo, no caso de um oscilador harmônico simples com δ = 0. (b) Energia cinética e energia potencial contra o deslocamento, no movimento de um oscilador harmônico simples. Nestes dois casos, observe que K + U = constante. A figura a seguir ilustra a posição, a velocidade e a energia potencial do sistema massa-mola para um período completo de movimento.

As maiorias das considerações que até agora discutimos está incorporada nesta importante figura. Por último, podemos usar a conservação da energia para obter a velocidade num deslocamento arbitrário x, mediante a seguinte expressão da energia total numa posição arbitrária:



( ) ( )2222

222

xAxAmK

v

KA21

Kx21

mv21

UKE

−ω±=−±=∴

=+=+=

Esta expressão confirma mais uma vez, o fato de a velocidade ser um máximo em x = 0, e zero nos pontos de reversão, em x = ±A.

APLICAÇÃO Oscilações sobre uma Superfície Horizontal Uma massa de 0,5 kg, ligada a uma mola leve de constante de força igual a 20 N/m, oscila sobre uma superfície horizontal sem atrito. (a) Calcular a energia total do sistema e a velocidade máxima da massa, se a amplitude do movimento for 3 cm. Com a Equação temos:

J10x00,9

)m10x3(mN

20kAE

3

22212

21

−

−

=

==

Quando a massa estiver em x = 0, U = 0 e E = mυ2

máx/2; então

m/s 190,0kg5,0

J10x18

J10x00,9m

3

máx

32máx2

1

==ν

=ν−

−

(b) Qual a velocidade da massa quando o deslocamento for igual a 2 cm? Podemos usar diretamente

m/s 141,0

10x)23(5,0

20)xA(

mk 42222

±=

−±=−±=ν −

Os sinais positivo e negativo indicam que a massa pode estar em movimento para direita, ou para a esquerda, ao passar pelo ponto considerado. (c) Calcular a energia cinética e a energia potencial do sistema quando o deslocamento for 2 cm. Usando o resultado obtido em (b), temos

J10x00,4)m10x2(

mN

20kxU

J10x00,5)s/m14,0)(kg5,0(mK

322212

21

32212

21

−−

−

=

==

==ν=

Observe que a soma K + U é igual à energia total E. Exercício 2 – Para quais valores de x a velocidade da massa é igual a 0,10 m/s? Resposta: ± 2,55 cm.

Movimento Oscilatório

Objetivo: Estudar o Comportamento do Pêndulo.

Resumo de Aula



Pêndulo Simples Chama-se pêndulo simples ao sistema constituído por uma massa puntiforme, suspensa por um fio inextensível e de massa desprezível. Na direção do fio, como não há movimento, a resultante é nula (T=P’). A força restauradora F que tende a fazer o corpo voltar à posição de equilíbrio O é igual a P” e dada por F = P” = - P sen θ. (1) Para pequenas aberturas (θ pequeno) o arco AO (x) pode ser considerado como um segmento de reta. Nessas condições podemos considerar como um triângulo retângulo o s.

Assim: )2(x

sen ⋅=θl

Substituindo (2) em (1), vem: xP

F x

PFll

−=⇒−= (3)

Como P e l são constantes, a expressão (3) fica: F = -kx onde l

Pk =

Assim sendo podemos considerar o movimento do pêndulo simples como sendo harmônico simples para pequenos ângulos de oscilação (trajetória retilínea e força restauradora proporcional à elongação)

A força tangencial (força restauradora) também pode ser dada por:

2

2s

t dt

dm sen mgF =θ−=

onde s é o deslocamento medido ao longo do arco, e o sinal negativo indica que F atua na direção da posição de equilíbrio. Uma vez que

s = Lθ e que L é constante, essa equação se reduz a

θ=θLg

dtd

2

2



θ por sua vez pode ser escrito como θ = θocos (ωt +δ), onde

θo é o deslocamento angular máximo e a freqüência angular ω é dada por

Lg=ϖ

O período do movimento é

gL

22

T π=ωπ

Em outras palavras, o período e a freqüência de um pêndulo simples só dependem do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade . Uma vez que o período é independente da massa, concluímos que todos os pêndulos simples de mesmo comprimento, num mesmo local, oscilam com os mesmos períodos. O pêndulo simples é usado em certos relógios. Também é instrumento conveniente para a medição precisa da aceleração da gravidade. Estas medições são importantes, pois as variações locais de g podem proporcionar informação sobre a localização de jazidas de petróleo e de outros recursos do subsolo.

APLICAÇÃO Exemplo – Qual a Altura Dessa Torre? Uma pessoa entra numa torre elevada e quer saber a altura da torre. Observa um comprido pêndulo que desce do teto da torre até quase o piso, e oscila com o período de 12s. Qual a altura da torre?

Solução: Se usamos gL

2T π= e resolvemos em L, teremos

m 7,354

)s12)(m/s 80,9(4gT

L2

22

2

2

=π

=π

=

Exercício: Se o pêndulo descrito nesse exemplo for levado para a Lua, onde a aceleração da gravidade é 1,67 m/s2, qual seria o período de oscilação? Resposta: 29,1 s.

Capítulo 2

Movimento Ondulatório

Objetivo: Conceituar Movimento Ondulatório e suas variáveis. Tipos de Onda

Resumo de Aula 1. Considerações Gerais

A maioria de nós já observou ondas quando, em criança, jogou pedras num lago. A perturbação provocada pela pedra produz ondulações na água que se expandem até atingir as margens do lago. Examinando, com atenção, o movimento de uma folha flutuando nas ondulações, percebemos que ela se desloca para cima e para baixo, e também lateralmente, em torno de uma posição inicial, mas não sofre nenhum deslocamento real para perto da fonte de perturbação ou para longe desta.



Isto é, a onda (a perturbação) se desloca de um pon to para outro, mas água não é arrastada pela onda. Um trecho de um livro de Einstein e Infeld oferece as seguintes observações sobre os fenômenos ondulatórios1. ″Um boato que começa em Washington atinge New York, muito rapidamente, embora nem uma só pessoa que o espalhe tinha viajado de uma cidade para a outra. São dois movimentos diferentes aqui envolvidos: o boato, de Washington para New York, e o das pessoas que o espalham ″. ″O vento ao passar sobre um campo de trigo, provoca uma onda que se espalha por todo o campo, provoca uma onda que se espalha pelo campo todo. Nesse caso devemos distinguir também o movimento das plantas, que só sofrem pequenas oscilações″. As partículas que constituem o meio efetuam apenas pequenas vibrações, mas o movimento global é o de uma onda que avança. A coisa essencialmente nova, nesse caso, é que pela primeira vez, analisamos o movimento de algo que não é matéria, mas energia através da matéria. As ondas na água representam apenas um exemplo de uma grande variedade de fenômenos físicos que têm características ondulatórias. O mundo está repleto de ondas:

• Ondas Sonoras • Ondas Mecânicas • Ondas Sísmicas • Ondas de Choque • Ondas Eletromagnéticas

Em nosso estudo nos restringimos às ondas mecânicas. O conceito de onda é bastante abstrato. Quando observamos o que chamamos de uma onda em água, o que vimos é uma deformação da superfície da água. Sem a água não haveria onda. Uma onda que se propaga numa corda, não existiria sem a corda. As ondas sonoras propagam-se através do ar em conseqüência de variações de fuso de ponto a ponto. Nesses casos, o que interpretamos como onda corresponde a uma perturbação de um corpo, ou meio, de propagação. Podemos, portanto, considerar uma onda como o movimento de uma perturbação. O movimento da perturbação (isto é, a própria onda, ou o estado do meio), não pode ser confundido com o movimento das partículas do meio. A matemática usada na descrição dos fenômenos ondulatórios é uma matemática comum a todas as ondas. Em geral, veremos que o movimento ondulatório mecânico se descreve pela especificação das posições de todos os pontos, do meio perturbado em função do tempo.

2. Comprimento de Onda e Freqüência As ondas mecânicas que se discute neste capitulo, exigem:

1) uma fonte de perturbação 2) um meio que possa ser perturbado 3) alguma conexão física, ou mecanismo físico mediante o qual partes vizinhas do meio possam se influenciar mutuamente

1 Albert Einstein e Leopoldo Infeld . The Evolution of Physics, New York. Simon & Schuster, 1961. Trecho What is a Wave?



Assim sendo, seja uma corda presa a um oscilador harmônico como ilustra a figura abaixo:

O corpo C, oscilando, produzirá na corda uma sucessão regular de pulsos (onda periódica ) apresentando cristas e vales. Para essa onda periódica definimos:

a) Comprimento de Onda ( λλλλ) - é a distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos b) Período (T) - é o tempo necessário para qe duas cristas consecutivas passem pelo mesmo ponto c) Freqüência (f) – é o numero de cristas consecutivas que passam por um mesmo ponto, na unidade de tempo.

***a freqüência de uma onda é igual à da fonte que a emite Do exposto acima, sendo v a velocidade de propagação da onda, concluímos

que: fv ou T

v λ=λ=

sendo T1

f =

3. Classificação das Ondas 1°. Quanto à natureza

a) Mecânicas: quando necessitam de um meio material para se propagar

Exemplo: pulsos em corda, ondas sonoras, ondas na superfície de um lago etc...

b) Eletromagnéticas: constituídas por variações de campos elétricos e magnéticos, não necessitam de um meio material para que se propaguem. (Elas se propagam no vácuo) .

Exemplo: luz, ondas de raio, raios x etc... 2°. Quanto à direção de propagação

a) Unidimensionais: quando se propagam numa só direção Exemplo: pulso numa corda

b) Bidimensionais: quando se propagam em duas dimensões (propagação num plano)

Exemplo: ondas se propagam na superfície livre de um lago tranqüilo, quando é lançada sobre ele uma pedra

c) Tridimensionais: quando as ondas se propagam em todas as direções.

Exemplo: ondas sonoras



Levando em conta a propagação bidimensional , as contas são circulares , quando a frente de onda for uma circunferência, e retas , quando a frente de onda for uma reta.

Levando em conta a propagação tridimensional , as ondas são planas, quando a frente da onda for plana; e esféricas, quando a frente da onda for esférica.

ondas planas : produzidas por lâminas vibrantes

ondas esféricas: produzidas por um bumbo de fanfarra 3°. Quanto à direção da propagação com relação à di reção da perturbação

a) Ondas longitudinais: quando à direção da perturbação é a mesma da de propagação

Exemplo: mola helicoidal presa a uma lâmina posta a vibrar como ilustra a figura.

Nota: as ondas sonoras são ondas longitudinais produzidas por esforços de compressão ou tração (ou ambos) nos sólidos, líquidos e gases

b) Ondas transversais: quando a direção da perturbação é perpendicular à de propagação.



Nota: as ondas eletromagnéticas são transversais


Objetivo: Conceituar Velocidade ou Propagação de um pulso numa corda tensa. Equação de um trem de ondas harmônicas simples. Superposição de ondas.

Resumo de Aula 1. Velocidade de propagação de um pulso numa corda tensa

Seja uma corda tensa de secção transversal A e constituída de um material homogêneo de densidade ρ. Sendo T a intensidade da força tensora na corda, ao produzirmos um pulso em uma de suas extremidades, esse se propaga com uma

velocidade dada por: ρ⋅

=AT

v

Definindo a densidade linear (ρ

l) da corda como sendo a massa por unidade de

comprimento, temos: AV

mA

AVmm ⋅ρ====ρ

ll

onde V é o volume da corda.

Então a velocidade de propagação será: l

ρ= T

v

Observação: se a onda for longitudinal e estiver se propagando num meio elástico de densidade ρ e constante elástica E (Módulo de Young), sua velocidade

será: ρ

= Ev

2. Equação de um trem de ondas harmônicas simples Seja uma corda homogênea presa a um oscilador harmônico como ilustra a figura:



O ponto P repetirá a oscilação de O com um atraso t’, proporcional à distância x. Desse modo, a velocidade de propagação v será dada, em módulo, por

vx

t' ;'t

xv =∴=

Lembrando que o ponto P executa um m.h.s. com um atraso t’ em relação à fonte, sua equação é expressa por:

[ ]

ω=⇒ω= )vx

-(t cos ay)t'-(t cos ay

Como

−π=π=ω )vx

t(T2

cos a y:temos ,T2

ou

−π= )vTx

Tt

(2 cos a y

Como )x

Tt

( 2 cos a y:vem ,vTλ

−π==λ que é a ”equação de um trem de ondas

progressivas” Se as ondas fossem regressivas, a equação seria expressa por:

)x

Tt

(2 cos a yλ

+π=

3. Superposição de ondas. Interferência. A superposição consiste no fato de duas ou mais ondas atingirem a mesma região do espaço, simultaneamente. Quando isso ocorre, as ondas atravessam umas às outras, sem se modificarem, e cada ponto do meio obedece o Princípio da Superposição, assim enunciado: a perturbação resultante em cada ponto do meio, durante a superposição, é igual à soma das perturbações que seriam causadas por cada onda, individualmente”. O efeito da superposição de dois ou mais trens de onda é chamado interferência.

4. Interferência em um sistema unidimensional



Sejam F1 e F2 duas fontes que produzem ondas de mesmas freqüências e amplitudes, em concordância de fase, em um sistema unidimensional. A perturbação sofrida pelo ponto P, num instante t, devida a fonte F1 é:

λ−π= 1

1

xTt

2 cos ay

A defasagem das oscilações em P é dada por:

xx

2 xx

2 21210201 λ

−π=ϕ∆∴λ−π=ϕ−ϕ=ϕ∆

A perturbação resultante no ponto P é: y = y1 + y2

Como as ondas têm a mesma direção e mesma freqüência, a amplitude

resultante é: ϕ∆++= cosa2aaa 222r

1. se ∆ϕ = k . 2π (com k inteiro), a amplitude resultante assume a forma ar = 2a (pois cos (k . 2π) = 1).

Nesse caso, a perturbação resultante em P é máxima e dizemos então que há em P uma interferência construtiva ou reforço.

Como xx

2 21

λ−π=ϕ∆ , para a interferência construtiva temos:

2

k2x x kxxxx

22k 212121 λ⋅=−⇒λ=−⇒

λ−π=π⋅

Observação: “para que haja interferência construtiva, a diferença entre as distâncias do ponto considerado às fontes F1 e F2 deve ser um número de vezes meios comprimentos de onda”.

2. Se π+=ϕ∆ )1k2( (com k inteiro), a amplitude resultante assume a forma: ar

= 0 {pois cos [(2k + 1)π]=-1} Nesse caso, a perturbação resultante de P é nula e dizemos que há em P uma interferência destrutiva.

Como λ−π=ϕ∆ 21 xx

2 , para a interferência destrutiva temos:

2

)1k2(x x xx

2)1k2( 2121 λ+=−⇒

λ−π=π+

Observação: ”para que haja interferência destrutiva, a diferença entre as distâncias do ponto considerado às fonte F1 e F2 deve ser um número ímpar de vezes meios comprimentos de onda”

Conclusão: seja 2

Nxx 21

λ⋅=− onde N é um número inteiro.

Então: a) Para N par � interferência construtiva b) Para N impar � interferência destrutiva

5. Interferência em um sistema bidimensional Sejam F1 e F2 duas fontes que produzem ondas de mesmas freqüências e amplitudes, em concordância de fase, em um sistema bidimensional. Por exemplo, F1 e F2 poderiam ser duas esferazinhas que tocam o liquido de uma cuba de ondas, como ilustra a figura:



Nota : representamos as cristas por linhas cheias, e as depressões por linhas pontilhadas. Os pontos cheios (•) são os pontos de cruzamento entre uma crista e uma depressão. Nesses pontos há uma interferência destrutiva. Os pontos vazios (°) são os pontos de cruzamento entre duas cristas ou duas depressões. Nesses pontos há uma interferência produtiva. Unindo os pontos cheios, obteremos as chamadas linhas nodais (N) e, unindo os pontos vazios, obtemos as chamadas linhas ventrais (V). Sendo P um ponto qualquer do meio, para determinarmos se aí ocorre uma interferência construtiva ou destrutiva, valendo-se da conclusão tirada para o caso

unidimensional, ou seja 2

Nxx 21

λ=−

a) As fontes estão em fase. Se N é par, a interferência é construtiva; se N é impar, a interferência e destrutiva. b) As fontes estão em posição de fase. Se N é par, a interferência é destrutiva; se N é impar, a interferência e construtiva.


Objetivo: Conceituar Onda Estacionária. Princípio de Huygens. Reflexão de Ondas.

Resumo de Aula 1) Ondas Oscilatórias

Chamamos onda oscilatória à perturbação resultante da superposição de duas ondas de mesma freqüência, mesma amplitude e sentidos contrários, se propagando num sistema unidimensional. A onda estacionária é caracterizado pelo fato de a amplitude variar de ponto para ponto. Os pontos que não se movimentavam, isto é, possuem amplitude nula, são denominados nós, e os pontos que oscilam com amplitude máxima são denominados ventres.



Consideremos uma corda tensa, ligada a um oscilador harmônico, como ilustra a figura:

A distância entre dois nós consecutivos (ou dois ventres consecutivos) é igual à metade do comprimento de onda. Na formação de ventres ocorre interferência construtiva e na formação de nós, interferência destrutiva. Observação: em ondas longitudinais também é possível a formação de ondas estacionárias, o que será visto em acústica, no estudo das cordas vibrantes e tubos sonoros.

2) Princípio de Huygens A experiência mostra que, com o decorrer do tempo, a frente de onda se desloca. Conhecendo a posição da frente num determinado instante, o princípio de Huygens nos permite determinar, após um intervalo de tempo ∆t, a nova posição de frente de onda. Esse princípio pode ser assim enunciado: “cada ponto da frente de onda se comporta como se fosse centro de novas ondas secundárias, que se propagam em todas as direções, com a mesma velocidade de propagação da onda. A nova frente de onda constitui uma superfície tangente às ondas secundárias e denomina-se envolvente das ondas secundárias”.

3) Reflexão de ondas Seja uma frente de ondas planas incidindo sobre uma superfície refletora S, como ilustra a figura:

Determinemos a onda refletida através das construções das onda secundarias. Na posição s, o ponto D emite uma onda secundária que atinge p’ no instante em que a onda atinge p. Na posição q, o ponto C emite outra onda secundária que atinge p’ no instante em que a onda atinge a posição p, e assim por diante. Traçando a tangente às ondas secundárias, obteremos a onda refletida.



Observação: o ângulo de incidência i é igual ao ângulo de reflexão r. No caso particular da reflexão de um pulso na extremidade de uma corda, ocorrerá uma inversão de fase se a extremidade da corda estiver fixa, e não ocorrerá inversão de fase se a extremidade for livre.


Objetivo: Refração de Ondas. Difração e Polarização

Resumo de Aula

1) Refração de ondas Quando uma onda passa de um meio para outro, muda a sua direção de propagação. A essa mudança de direção denominamos refração de onda. Vimos no estudo de refração (óptica geométrica) que é válida a relação:

2

1

1

2

vv

nn

r seni sen ==

Seja uma frente de ondas plana incidindo em uma superfície dióptrica S que separa o meio A do meio B mais denso.

Aplicando a lei de Snell: A

B

nn

r seni sen =

Pelo princípio de Fermat: B

A

A

B

vv

nn

=



A velocidade da onda no meio de B é menor que a velocidade da onda no meio de A. O raio refratado se aproxima da normal. Como a freqüência independe do

meio, podemos escrever: f

v

fv B

BA

A =λ=λ

Nota: o comprimento de onda no meio (B) (λB) é menor que o comprimento de onda no meio (A) (λA). No caso particular de uma onda se propagando na superfície livre da água, o fenômeno da refração é observado quando a onda se propaga em profundidades diferentes. A velocidade de propagação da onda aumenta com a profundidade da região na qual ela se propaga. No caso de um pulso se propagando em uma corda, podemos observar os fenômenos da reflexão quando tivermos um sistema formado por duas cordas de densidades lineares diferentes (representando os dois meios). Se o pulso é formado na corda de menor densidade e se dirige para a de maior densidade, ele se refletirá com inversão de fase, na junção das cordas, visto que a corda mais densa tende a manter o ponto de junção fixo. Em caso contrário, a reflexão ocorrerá sem inversão de fase.

Nota: o pulso refratado, em ambos os casos, não sofre inversão de fase. No caso das ondas luminosas, quando elas se propagam de um meio menos refringente para um meio mais refringente, haverá reflexão com inversão de fase, e, em caso contrário, sem inversão de fase.

2) Difração de ondas Chamamos de difração ao fenômeno que ocorre quando uma onda contorna um obstáculo, penetrando na sombra geométrica dele. Considere, por exemplo, ondas retas se propagando na superfície da água, em direção a um obstáculo dotado de um orifício, como ilustra a figura:

Com base no princípio da propagação retilínea, era de se esperar que, além do orifício, a onda só se propagasse atingindo os pontos da faixa da abertura.



Experimentalmente tal fato não ocorre, observando-se, na realidade, o caso da figura:

O fenômeno da difração pode ser explicado com base no Princípio de Huygens. Os pontos do orifício (os contornos), uma vez atingidos pelas ondas incidentes, tornam-se centros de novas ondas. Observação: o mesmo aconteceria se as ondas incidissem num obstáculo como ilustra a figura:

3) Polarização das Ondas Dizemos que uma onda mecânica transversal está polarizada, quando as partículas do meio vibram num só plano, chamado plano de polarização (�). Caso as partículas do meio vibrem em vários planos (�), a onda é dita não polarizada ou natural. Por exemplo, seja uma corda se movimentando em todas as direções de modo a produzir ondas transversais. Façamos essa corda passar por duas placas justapostas, como ilustra a figura:

A onda no trecho AB é natural e no trecho CD é polarizada. O plano ϕ denomina-se plano de polarização da onda. Todo dispositivo utilizado para polarizar uma onda natural é chamado polarizador, e todo dispositivo capaz de verificar se uma onda está polarizada ou não é chamado analisador. Nota: as ondas longitudinais não podem ser polarizadas.




Objetivo: Exercícios Resolvidos e Propostos

Resumo de Aula 1. Velocidade de um pulso numa corda: Uma corda uniforme tem massa de 0,3 kg e comprimento de 6 m. A tensão se mantém na corda por um corpo com massa de 2 kg pendurado numa extremidade. Achar a velocidade de um pulso nessa corda.

Solução A tensão F na corda é igual ao peso do corpo de 2 kg que está pendurado F = m.g = (2kg)(9,80 m/s2) F = 19,6 N (Esse cálculo da tensão despreza a pequena massa da corda. A rigor, a corda nunca pode estar, exatamente, na horizontal e, por isso, a tensão não é uniforme) A massa por unidade de comprimento é

m/kg05,0m6kg3,0m ===µ

l

a velocidade da onda é, portanto

m/s 8,19m/s 05,0N 6,19F

v ==µ

=

2. Potência Proporcionada por uma Corda Vibrante Uma corda, cuja massa por unidade de comprimento µ = 5 x 10-2 kg/m, está sob a tensão de 80 N. Que potência se deve proporcionar à corda para gerar ondas harmônicas na freqüência de 60 Hz e com amplitude de 6 cm? Solução: A velocidade da onda na corda tensionada é dada por:

2

1

m/kg10x5

N80Tv

2

=

µ= −

v = 40 m/s Já que f = 60 Hz, a freqüência angular de ω das ondas harmônicas na corda tem o valor 1s377)Hz 60(2f2 −=π=π=ω Com esses valores na expressão

vA21

Potência 22 ⋅µω=

1 m

5 m

2 kg



watts512P

m/s) 40()m10x6()s 377()m/kg10x5(21

P 2221-2

=

⋅⋅= −−

3. Uma radiação de freqüência 9 . 10 14 Hz se propaga no vácuo.

Qual o comprimento da onda? Solução: As ondas que se propagam no vácuo são de origem eletromagnéticas, portanto se propagam com velocidade de 3 . 108 m/s. Logo v = λf ∴ 3 . 108 = λ . 9 . 1014 ⇒ ⇒ λ = 3,33 . 10-7 m

4. A equação de uma onda transversal é

−π=γ40x

0,2t

2 cos 2 no sistema (C.G.S.). Nessas condições determine:

a) a amplitude da onda; b) o período da mesma; c) a sua freqüência; d) a sua velocidade de propagação.

Solução: Vimos que a equação de um trem de ondas periódicas é dada por:

λ−π=γ x

Tt

2 cos a . Comparando-a com a equação dada, temos:

a) a = 2 cm b) T = 0,2 s

c) Hz 5fT1

f =⇒=

d) cm/s 200v2,0

40T

vvT =⇒=λ=⇒=λ

5. Onda Senoidal Progressiva

Uma onda senoidal progressiva propaga-se na direção dos x positivos, tem amplitude de 15 cm, comprimento de onda de 40 cm e freqüência de 8 Hz. O deslocamento da onda em t = 0 e em x = 0 também é de 15 cm (vide figura).

a) achar o número de onda, o período, a freqüência angular e a velocidade de fase da onda b) determinar a constante de fase ∅ e escrever a expressão geral da função da onda.

Solução:

a)

Hz 8f

cm 157,04022

k cm 40 1-

=

=π=λπ==λ

s 125,0s 81

f1

T 1- ===



ω = 2πf = 2π (8 s-1) = 50,3 rad v = fλ = (8 s-1)(40 cm) = 320s cm/s b) A = 15 cm y = 15 cm para x = 0 e t = 0 Substituindo-se na expressão y = A sen(Kx - ωt - φ) onde φ é a constante de fase vem: 15 = 15 sen (φ) sen (-φ) = 1 Uma vez que sen (-φ) = - sen(φ) vemos que φ = -π/2 rad (ou 90°) então a função de onda tem a forma

50,3t)-xcos(0,15 (15cm) yentão

t)-cos(kx A)2

t-sen(kx Ay

+=

ω=π+ω=

Capítulo 3

Acústica

Objetivo: Estudar as fontes de sons, a propagação, a transmissão e a recepção de ondas sonoras.

Resumo de Aula Acústica: é a ciência do som. A acústica estuda a geração, transmissão e a recepção das vibrações mecânicas audíveis, ou não que se propagam num meio elástico. Estudos diversificados da Acústica: A partir da década de 1930, surgiram e se diferenciaram, cada vez mais, as diversas especialidades em Acústica. Apareceram a Acústica Fisiológica, a Psicoacústica, Acústica Médica, a Acústica Arquitetônica, as técnicas de inspeção ultra-sônica, controle do barulho e acústica diretamente relacionada aos sons da fala, especialmente a fonética. Som: são vibrações mecânicas que, por estarem dentro de uma determinada faixa de freqüências podem ser ouvidas pelo homem.

y 40 cm

15 cm

x



Uma oscilação ou uma vibração, ao se propagar, provocará uma perturbação na pressão estática desse meio. A essa perturbação, dá-se o nome de onda ou onda de pressão. Passada a perturbação, a pressão estática do meio volta ao normal. O primeiro quadro representa um meio sem perturbação sonora.

O segundo quadro representa o início de uma perturbação gerada por um corpo que vibra,provocando uma compressão.

Os quadros restantes representam a propagação da onda sonora produzindo regiões de compressão e rarefação.

A perturbação é gerada por um corpo que vibra, transmitindo suas vibrações ao meio que o rodeia.As moléculas do meio sofrem, alternadamente, compressões e rarefações acompanhando o movimento do corpo. Esta variação de pressão é logo comunicada às moléculas vizinhas do meio, criando ondas longitudinais de compressão e rarefação que partem do corpo.A compressão acontece quando a partícula empurra a que lhe segue imediatamente, e a rarefação é causado pelo espaço deixado pelas partículas que se afastarem daquela região.As compressões e rarefações referem-se às pressões máximas e mínimas da propagação sonora. Obs: As moléculas do meio,porém, não se deslocam.El as oscilam em torno de suas posições de equilíbrio e o que se propaga é o movimento oscilatório. Cada molécula repete seu movimento oscilatório de forma cíclica, gastando um tempo determinado, chamado período, para completar cada ciclo.A freqüência com que estes ciclos se sucedem na unidade de tempo:

)/(1

scT

=∫ A freqüência é medida em ciclos por segundo ou

Hertz.

O som não se propaga no vácuo, ele necessita de um meio material par se propagar. O som é constituído de ondas mecânicas longitudinais.

O movimento de cada molécula pode ser descrito graficamente, colocando em abscissas o tempo e em ordenadas o deslocamento da posição de equilíbrio (vibração).



ONDA SONORA – VELOCIDADE DO SOM NO AR. Valor teórico da velocidade do som: 340m/s. A onda se desloca com uma velocidade que não depende da freqüência e da amplitude da oscilação. Depende das características do meio: da pressão, da umidade e especialmente da temperatura. Equação da variação da velocidade com a temperatura:

V = (33,4 + 0,607 θ) m/s V= Velocidade do som; θ= Temperatura do meio ambiente.

EXEMPLO: O valor real da velocidade do som, por exemplo, para uma temperatura ambiente de 22°C, efetuando o cálculo através da equação acima obtemos 345m/s. V = 331,4 + 0,607 θ = 331,4 + 0,607x22 = 345m/s. Aplicações:

1) Calcular a velocidade do som para as seguintes temperaturas: a) 5 ºC b)12ºC c) 20ºC d)29° C e) 38°C

2) Calcular a temperatura local em cidades onde o som se propaga com velocidade:

b) 347m/s b)338,5m/s c)340m/s d)344,2m/s e)357,4m/s Velocidade do som em outros meios:

Água 1435m/s Ferro 3170m/s Alvenaria 3000m/s Aço 5000m/s Madeira 1000 a 4000m/s Vidro 5000m/s Borracha 100m/s

Potência Acústica: A pressão que resulta da emissão da energia acústica na maioria das fontes sonoras é sempre muito pequena. Os instrumentos sonoros que possuem em geral maior potência sonora que a voz humana observe a tabela abaixo:

Voz de mulher 0,002 W Voz homem 0,004 W Clarineta 0,05 W Piano 0,27 W Trombone 6,00 W Tambor(surdo) 25,00 W Orquestra 70,00 W Automóvel (à 70Km/h) 100,00 W Avião à jato 10.000,00W



Considerando que uma pessoa falando num auditório estabelece uma potência sonora média de 50µW.Seria necessária ma reunião de quase 15 milhões de pessoas falando para que tivéssemos 1HP de energia (15.000.000x0,00005=750 Watt = 1HP). Comprimento de onda.( λλλλ): é a distância entre duas frentes de onda consecutivas.

V= λ/T ou V=λf V= velocidade de propagação da onda (ou seja velocidade do som); λ= comprimento de onda; f= freqüência de onda;

Limiar de audibilidade humana :

Para que as ondas sejam percebidas pelos nossos ouvidos elas devem ter freqüências compreendidas entre 16 Hz e 20000Hz, embora esses valores variem de pessoa para pessoa.Animais como o rato consegue ouvir sons com freqüência aproximada de 70kHz.Cavalos ouvem, em média, até 45KHz.Os cães ouvem entre 120Hz e 50KHz, já os morcegos ouvem numa faixa 50Hz e 100KHz. Os morcegos movem-se praticamente orientados, apenas pelos ouvidos.

Acústica

Objetivo: Avaliar quantitativamente as propriedades do som em relação ao nível e à intensidade sonora.

Resumo da Aula Intensidade Sonora( W / m²): é a quantidade de energia transportada pela onda sonora por unidade de superfície normal à direção da onda( e isto tem a ver com a distancia da fonte).

)/(.

2smJtA

EI

∆∆=

=∆∆

tE

potencia sonora �(J/s = W) � )(

)(2máreaWPotencial

I =

Unidade de potência sonora: I = W/m2

A

∆E



Aplicação: 1) Suponhamos que uma clarineta emita um som de potência máxima e que

vamos medir a intensidade sonora a uma distância r=2m do seu pavilhão. S=4π r² = 50,26m² potência: 0,05W I = 0,05 / 50,26 = 9,95 x 10-4 W/m2.

2) Qual a intensidade sonora a uma distancia de 120m de um a jato? 3) Qual a intensidade sonora a uma distancia de 30m de uma orquestra?

Limiar da audição humana: I °= 1. 10-12 W/m2 é valor mínimo de energia sonora que o aparelho auditivo pode discriminar. Este valor de 1.10-12 W/ m2 corresponde a uma pressão sonora mínima de 20.10-6 N/ m². Esses valores correspondem ao nível zero ou ao limiar da audição humana, abaixo desses valores de referência nosso ouvido deixa de perceber o som. Esses limite inferior, a partir do qual o nosso ouvido começa a captar os sons, é chamado limite inferior de audibilidade, limiar ou umbral de audibilidade e começa, por convenção, a partir de zero dB. Nível Sonoro: é definido por uma escala arbitrária que corresponde à sensação do ouvido, o nível de intensidade sonora é medido em Bel ou Decibel. O zero desta escala toma considerando-se o valor da intensidade sonora mínima (limiar):

Io = 1 . 10-12 W/m2

O nível de intensidade de um som acima do limiar é determinado com relação ao nível zero, e indica quantas vezes a intensidade desse som é maior do que a intensidade de referência.

Obs: a intensidade sonora é medida em W/m2

o nível de intensidade sonora é medido em Bel ou Decibel

Bel – Decibel : Por analogia aos estudos em telefonia, deu-se o nome de bel ao resultado do logaritmo dessa relação de grandezas, isto é, da relação determinada intensidade e a intensidade de referência. Bel não é, portanto, uma unidade, mas sim uma relação logarítmica entre as duas grandezas, tomando-se uma delas como referência.

.ββββ = log (I/I o) onde β é medido em bel .

ou

ββββ = 10 log (I/I o) onde β é medido em decibel .

Onde: I = é a intensidade que se deseja medir.

Io = é a intensidade de referência, ou seja, o limiar: Io = 1.10-12 W/m2

Como o bel representa uma medida que fornece resultados muito grandes, utiliza-se a décima parte de bel ou decibel.

Exercício de Aplicação

1) Calcule o nível da intensidade sonora no limiar da dor, sabendo que no limiar da dor a intensidade sonora é 1 W/m2.

B = 10 log (I/Io) � onde Io = 10-12 W/m2 e o limiar da dor é I = 1 W/m2



B = 10 log )10

1(

12− = 10 log 1012 = 120 dB � B = 120 dB é o limiar da dor

O nível de intensidade sonora também pode ser calculado em função da potência sonora:

25

o

2

o2

2

102

PP

log 20PP

log 10

m

NxP

BPP

II

o

oo

−=

=

=→=

2) A intensidade sonora do som emitido pela corda de um piano é I = 10-10 W/cm2, e sua pressão acústica é P = 0,2 dina/cm2, calcular o nível de intensidade sonora em dB pelas duas fórmulas.

Resp.: 60 dB

Acústica

Objetivo: Entender os fenômenos associados à propagação do som, e analisar os sons não audíveis ao ouvido humano.

Resumo da Aula Ressonância Acústica

Num dado corpo sonante pode ocorrer tanto oscilações livres como forçadas, produzidas pela ação periódica de uma força externa.

Quando a freqüência das oscilações da força externa coincide com a freqüência própria de um dado corpo oscilante, ocor re a ressonância.

Se um sistema oscilatório estiver sujeito a ação de uma força externa, pode ocorrer o fenômeno de ressonância e, claro, crescimento brusco da amplitude de oscilações.

1° Exemplo

Coloquemos dois diapasões perto um do outro, de modo que as aberturas das caixas estejam voltadas uma para outra. Dando uma martelada num dos diapasões e, logo depois, fazendo cessar as suas vibrações com as mão, notamos que o outro diapasão começa também a soar.

As freqüências dos dois diapasões são iguais, portanto a amplitude das oscilações do segundo diapasão é grande. Se utilizarmos diapasões de diferentes freqüências próprias, o segundo diapasão não soará, quando fizermos oscilar o primeiro.



2° Exemplo

Durante o funcionamento de motores, atuam forças periódicas originadas pelo movimento de algum elemento constituinte do motor (por exemplo, os êmbolos), ou centragem deficiente de peças de rotação (por exemplo os eixos), se a freqüência destas forças coincide com a freqüências livres, ocorre a ressonância. As oscilações chegam a partir a máquina, embora as tensões nos materiais de seus elementos não excedem o limite de resistência das cargas estáticas.

O problema consiste no fato de alguns materiais (ferro, aço, etc.) quando sujeitos a cargas variáveis, perderem mais ou menos rapidamente a sua resistência, após o que pode produzir uma ruptura.

Infra-Som

Ondas sonoras de freqüência inferiores a 17 Hz tem o nome de infra-som, é pouco utilizada na técnica.

Ultra-Som

Ondas sonoras de freqüências superiores a 20000 Hz original os ultra-sons. Os morcegos, golfinhos e alguns insetos emitem e distinguem ultra-som.

Utilizações do ultra-som

• Uma onda potente de ultra-som torna-se capaz de fragmentar e triturar sólidos mergulhados em líquidos.

• Efeito biológico: os micróbios morrem quando mergulhados num campo de ultra-som (a esterilização do leite e de outros produtos pode efetuar-se com auxilio do ultra-som)

• No líquido, as ondas de ultra-som amortecem mais lentamente que no ar, e são utilizadas na acústica hidráulica

• Sonar ou sonda de ultra-sons: emite uma série de curtos impulsos de ondas de ultra-som que refletem no fundo do mar ou em objetos situados debaixo da água, avaliando a retardação dos sinais refletidos pode-se determinar a distância até o obstáculo. Assim obtém-se a profundidade, localizam-se cardumes de peixes, icebergs ou submarinos.

• Os ultra-sons refletidos numa cavidade ou fissura nas peças metálicas permite avaliar o defeito no seu interior.

• Na medicina é usado no diagnóstico e terapia de doenças: soldadura de ossos fragmentados, tratamento de articulações e processos inflamatórios.

Sobreposição de Ondas

Na prática verifica-se a propagação simultânea de várias ondas diferentes. Ex. se jogarmos duas pedras na água, cada uma das ondas passa através da outra sem que se altere seu comportamento posterior.

Nos lugares onde se produz a sobreposição:

• Se as cristas coincidem ocorre uma intensificação da ondulação naquele trecho.

• Coincidindo a crista de uma com a depressão de outra, não há ondulação naquele trecho.



Interferência de Ondas: é a sobreposição, num meio, de duas ou mais ondas.

Propagação do Som em Ambientes Limitados

Quando um som é transmitido de um meio a outro, através de uma onda progressiva, três fenômenos acontecem no limite de separação entre os dois meios:

a) parte do som é refletido

b) parte é transmitida para o segundo meio

c) parte é absorvida na superfície de separação, transformando-se em calor.

Reflexão do Som

Quando uma onda sonora incide na superfície de separação entre dois meios, ocorre:

a) O ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão.

b) O raio incidente, a normal e raio refletido são coplanares.

Refração do Som

O som ao passar de um meio para outro mantém constante sua freqüência, mudando o valor de sua velocidade de propagação, e consequentemente de seu comprimento de onda.

Consideremos um feixe sonoro que incide de forma oblíqua numa superfície de separação entre dois meios de impedâncias diferentes (Z1 e Z2). A onda incidente forma um ângulo α com a normal à superfície de separação entre os dois meios, havendo uma onda transmitida que forma um ângulo β com anormal do meio Z2, há também uma onda refletida no primeiro meio (Z1) que forma com a normal um ângulo α.

A onda transmitida para o segundo meio chama-se refratada. Como as impedâncias são diferentes, a velocidade do som será diferente em cada um deles, e o ângulo α de incidência também será diferente do ângulo β de refração.

Transições por meios diferentes

Quando uma onda sonora encontra um obstáculo (exemplo parede) o choque que se segue ao nível molecular faz com que parte da energia volte em forma de onda, o resto da energia produz uma vibração das moléculas no novo meio (a parede), é como se a parede “absorvesse” parte do som incidente.



Da energia absorvida:

a) parte dela é dissipada sob a forma de calor, devido a atritos que as moléculas enfrentam no seu movimento ondulatório.

b) Outra parte retorna ao primeiro, somando-se com a onda refletida.

c) O resto da energia contida na vibração da própria parede produzirá a vibração do ar do lado oposto. A parede funciona como nova fonte sonora que cria uma onda no terceiro meio.

Este processo em função das intensidades:

I (incidente) = I (refletido) + I (absorvido)

I (absorvido) = I (dissipado) + I (transmitido)

Em forma condensada: Ii = Ir + Id + It

Dividindo esta equação por Ii, teremos uma soma de três termos que chamaremos de:

• Coeficiente de reflexão: r = Ir/Ii

• Coeficiente de dissipação: d = Id/Ii

• Coeficiente de transmissão: t = It/Ii

• Coeficiente de absorção: a = Ia/Ii

Sendo: r + a = 1 e r + d + t = 1

O coeficiente de absorção que corresponde à razão:

Ia = (Id + It)/Ii é estabelecido por Sabine.

Acústica

Objetivo: Analisar os fenômenos decorrentes da reflexão do som em ambientes fechados e abertos.



Resumo da Aula A reflexão pode ocasionar fenômenos interessantes como o eco e a reverberação:

a) Eco

Chamamos de eco à reflexão de um som de curta duração por uma superfície de grande área. A percepção do eco ocorre somente se o intervalo de tempo que separa a percepção do som direto e do som refletido, é da ordem de um décimo de segundo ou maior.

O eco é perceptível com maior nitidez quanto menor for o comprimento da onda sonora incidente, comparável com as dimensões da superfície refletora.

Nossos ouvidos podem distinguir o som direto do refletido, se entre os instantes em que a duas ondas atingem o ouvido decorrer um intervalo de tempo da ordem de 1/10 de segundo.

Nessas condições, quando se emite um som em frente de uma superfície refletora, só se percebe a onda refletida distintamente se a distância for superior a 17 m, pois, sendo a velocidade do som 340 m/s, em 0,1s a onda percorre 34 m, sendo 17 m para atingir o obstáculo de 17 m para voltar.

b) Reverberação

O som em ambiente fechado amplifica-se pelo fenômeno da reverberação. A onda sonora pode refletir várias vezes pelo teto, pelo chão, pelas paredes, etc., verificando-se então uma sobreposição de ondas sem haver formação de eco, pois não há interrupção entre a percepção de uma e outra.

A fonte já cessou de emitir som e no entanto o ouvido continua a perceber as ondas sucessivamente refletidas.

Obs: Em ambientes fechados, ao ruído primário soma-se os ruídos refletidos, isto aumentará o nível de ruído; este será bastante significativo se as paredes do recinto forem compactas e lisas.

Tempo de reverberação:

Quando a reverberação persiste muito tempo depois da extinção do som direto, perturba a clara percepção do som ou a inteligibilidade de um discurso (pois poderá haver sobreposição de sons). Se, pelo contrário, o som desaparecer imediatamente, além de dificultar a audição em pontos afastados da fonte, prejudicará a percepção de alguns tipos especiais de fontes sonoras (ex. grandes orquestras, que precisam de um certo tempo de reverberação para fundir o som).

Definição de tempo de reverberação: é o tempo que demora o som para diminuir a sua intensidade à sua milionésima parte, ou descer de 60 dB o seu nível, a partir do instante em que cessa a fonte.

Como a absorção dos materiais depende da freqüência do som, a quantidade de som reverberante e o tempo de reverberação também dependerão dela. Na prática costuma-se estudar o problema para três ou mais freqüências. Para se obter um estudo bastante aproximado, usam-se as freqüências de 125, 250, 500, 1000, 2000 e 4000 c/s ou Hz.



Tempos ótimos de reverberação: foram determinados experimentalmente em função do volume do local e do seu uso.

Seus valores estão representados nas curvas da figura.

Difração

Difração é a mudança sofrida na direção de uma onda sonora, devido ao seu encontro com um obstáculo, contornando-o.

A extensão do fenômeno dependerá, naturalmente, da relação entre o comprimento da onda e o tamanho do obstáculo.

Como a onda sonora tem uma freqüência que varia entre 20 Hz e 20 KHz, no ar a 15° C (v = 340 m/s), seu comprimento de onda varia aproximadamente de 1,7 cm a 17 m. Assim sendo, notamos que o som tem um comprimento da mesma ordem de grandeza dos objetos que nos cercam.

O som, diferentemente da luz, contorna com facilidade os obstáculos (muros, colunas, árvores, etc) sem formar “sombra”.

Para que não haja difração é necessário que as dimensões do orifício ou do obstáculo sejam da ordem de grandeza do comprimento de onda.

Exemplo: Consideremos o efeito causado por uma coluna de 40 cm. Sons de comprimentos maiores de 40 cm, serão difratados em torno da coluna (podemos ouvi-los perfeitamente). Sons de comprimentos menores de 40 cm, não serão difratados, e a coluna originará uma “sombra sonora” tal que pouca coisa do som será ouvida por detrás dela.

Propagação do som ao ar livre (experiência de Lyon)

• Uma pessoa lia para um grupo de pessoas numa encosta de colina, de pouco declive, encoberta de neve fresca, portanto, muito absorvente e sem obstáculos refletores como pedras, árvores, postes, etc. As pessoas do grupo se afastaram em várias direções, segundo Lyon, estes deixaram de ouvir a leitura a partir de, mais ou menos, 11 metros de afastamento. Ou seja, em locais onde se acumula excesso de materiais absorventes, o som ao se propagar, é absorvido, e só alcançam pequenas distâncias.

• Lyon fez observações no rio Sena e no Lago Lemano. A acumulação das inúmeras reflexões nas ondas das superfícies das águas, que refletem bem os sons, permitiu que um indivíduo, em momento calmo, pudesse ouvir um som produzido a uns 2000 m de distância.



Por outro lado em ambientes onde se acumulam excesso de materiais com altos índices de reflexão, o som ao se propagar, alcança longas distâncias.

Efeito do vento

O deslocamento do ar influencia a propagação do som no seu meio. Se o som se propaga no sentido e na direção do vento, os efeitos somam. Se o sentido da propagação do som for contrária ao vento, a resultante será a diferença dos valores das suas velocidades. O som se propaga com mais dificuldade contra o vento e com mais facilidade a seu favor.

Exercícios de Aplicação

1) Duas igrejas distantes 4 Km, tocam o sino simultaneamente às 8:00h. O sino da 1 igreja é ouvido na 2 igreja após 10.98 s. O sino da 2 igreja é ouvido na 1 igreja após 12,03 s. Determine a temperatura local, a velocidade do som e a componente da velocidade do vento ao longo da linha que une as igrejas.

Resp.: 30°C; 348,4 m/s; 16 m/s

2) Qual o nível de intensidade sonora em decibéis de um som cuja intensidade tem 3 x 10-7 W/m2?

Resp.: 54.77 dB

3) Qual a intensidade sonora em W/m2 de um som de 86 dB?

Resp.: 3,98 x 10-4 W/m2.

4) Um medidor de nível sonoro (decibelímetro) indica que o nível sonoro em uma sala é de 85 dB. Qual é a intensidade do som na sala?

Resp.: 3,16 . 10-4 W/m2

5) Uma pessoa usando um cortador de grama potente, pode estar sujeita a uma intensidade sonora de 2.10-2 W/m2. A quantos decibéis a pessoa está sujeita?

Resp.: 103 dB.

Acústica

Resumo da Aula Distribuição temporal do ruído: a variação aleatória do ruído se apresenta em função do tempo:

Objetivo: Identificar as fontes, as diversas causas do ruído na fonte, as condições de operação. O controle e a necessidade de controle dos ruídos.



a) ruídos contínuos

b) ruídos não-contínuos

Os ruídos não contínuos podem ser:

a) ruídos intermitentes : se apresenta em períodos não maiores do que 15 minutos, com variação menor que 3 dB.

b) ruídos pulsantes: emissão energética apresenta variações superiores a 3 dB

c) ruídos impulsivos: quando sua duração é inferior a 10 milissegundos.

Cada um desses três tipos, por sua vez, podem ser:

Periódicos

Aleatórios

Controle

Conceito de controle : é uma operação que tende a evitar o efeito negativo de uma causa.

Necessidade de controle: pesquisas demonstram que existe uma melhoria das condições de produtividade da empresa, ao serem adotadas medidas de controle do ruído. Isto ocorre em função da melhor adaptação do trabalhador às condições ambientais. O controle do ruído propicia uma saúde mental coletiva, que se reflete no trabalhador através dos seguintes pontos:

• conforto no trabalho • segurança no que se faz • estabilidade emocional • redução no absentismo • equilíbrio doméstico

No caso do ruído são necessários três elementos para que possa produzir-se a audição.

FONTE �� MEIO �� RECEPTOR Na falta de qualquer um destes três elementos, não se produz o fenômeno sonoro.

a) A eliminação da fonte significa a eliminação da atividade em si, portanto não significa controle. b) A eliminação do meio é um método absurdo de controle, eliminar o ar ou o solo é inviável. c) O ideal é a eliminação do receptor, deixando que as fontes trabalho sozinhas. Mesmo assim, este procedimento se mostra pouco factível ou prático na realidade.

Pode-se estabelecer uma prioridade de controle em três etapas: 1) controle na fonte 2) controle no meio 3) controle no receptor

Controle na Fonte Natureza do ruído na fonte : a fonte é um elemento estático que produza ruído por vibração interna e que a comunica ao exterior por radiação ao ar ou por propagação indireta a todos os elementos que a rodeiam.



Causas: a forma pela qual se gera o ruído • Mecânicas: impacto e fricção Impacto: é a aplicação ou o desaparecimento brusco de uma força que atua sobre uma peça causando nesta um esforço de deformação. Fricção (estática ou dinâmica): é a força que se opõe ao movimento relativo de dois corpos em contato. • Pneumáticas: quando se faz correr uma coluna de ar dentro de um duto, podem produzir-se ruídos devidos à turbulências desta coluna. As turbulências são, em geral, produzidas por: características físicas do duto; variações da geometria do duto; acoplamento do duto ao meio. • Explosões e implosões: é a mudança súbita da pressão do gás contido numa câmara, causando uma transformação de energia potencial em energia cinética. Diz-se que é explosão quando a pressão original é superior à final, caso contrário, chama-se implosão. • Hidráulicas: igualmente às colunas de gases, podem formar-se colunas de líquidos vibrantes. Não devemos esquecer que as colunas de água também são elementos de condução acústica. • Magnéticas: ao introduzir-se um campo magnético, devido a uma corrente elétrica, produz-se uma vibração do condutor enrolado que constitui a bobina. (quanto maior a corrente de vibração).

Soluções para o controle na fonte: • Antes da aquisição da máquina. Compete ao fabricante do equipamento fornecer as informações corretas. • Durante a operação da máquina. Compete ao fabricante dizer quais as condições de funcionamento do seu equipamento, e o usuário deve segui-las. • Através do redesenho da máquina. Compete somente ao usuário, visto que estabelece que o desenho original não era válido para as condições particulares de operação, e que necessitava ser redesenhado de acordo com uma certa técnica de engenharia. • Pela substituição da máquina. É uma solução radical, que indica que o redesenho não é possível em termos econômicos ou de engenharia, e que a substituição total é necessária.

Acústica Objetivo: Estudar o isolamento acústico através da reflexão e atenuação do som através da absorção.

Resumo da Aula A acústica arquitetônica considera objeto de estudo: 1. a acústica das construções 2. a acústica dos ambientes

1. Acústica das construções Está direcionada ao estudo de como impedir que sons indesejáveis externos interfiram num ambiente. Observamos que este estudo está ligado ao conceito de isolamento de um ambiente.



Significado de isolar : é uma função logarítmica de massa da parede ou da divisória e da freqüência da fonte sonora. Consequentemente podemos afirmar:

a) Quanto maior a quantidade de massa ou mais pesada for a parede, maior será a isolação. Ou seja, os materiais de maior densidade de massa isolam com maior eficiência, por ex: tijolo, concreto, placas de chumbo, etc.

Dada a impossibilidade de se construírem paredes muito grossas, são utilizados materiais pesado como placas de chumbo ou ferro, que com menor espessura produzem efeitos similares. Dobrando-se o valor da massa ou valor da freqüência obtém-se uma redução de, aproximadamente, 6 dB.

b) Quanto maior for o valor da freqüência, mais fácil de ser isolada. É mais fácil isolar as altas freqüências do que as baixas. Uma vez que se faça os cálculos para as baixas freqüências, automaticamente as altas também serão reduzidas.

Sugestões: Em alguns casos construir uma sala dentro da outra separada por um colchão de ar, evitando-se estruturas metálicas, encanamentos, etc. que poderiam servir de transmissores, como acontece normalmente nos prédios ou edifícios. Outros casos exigem que se usem as linhas de transmissão acústica, onde chapas de chumbo são colocadas paralelamente, tendo o espaço entre elas preenchido de material absorvente.

Materiais absorventes : são materiais leves e porosos, exemplo: lã de vidro, lã de rocha, etc.



2. Acústica dos ambientes Uma vez isolado o ambiente dos sons externos, devemos nos preocupar com o conforto interno do ambiente. A acústica dos ambientes considera como objeto de estudo:

• a acústica estatística • a acústica geométrica • a acústica ondulatória

Significado de absorver : é uma função da freqüência e da porosidade. Um material pode absorver sem isolar, principalmente os materiais de pouca massa e muita porosidade. Há uma relação direta entre o comprimento de onda e a espessura do material poroso, materiais finos só poderão absorver curtos comprimentos de onda. A absorção ocorre através do atrito viscoso, dentro dos poros do material. Um material absorvente também pode ocasionar transmissão via poros, embora com alguma atenuação, por esse motivo, jamais poderá ser um material isolante. A absorção do material pode ser melhorada separando-o da parede. A seguir uma tabela contendo o comportamento de alguns materiais, estabelecendo uma relação entre a espessura do material e o seu poder de absorção em função da freqüência do som. Observa-se que, mesmo mantida constante a espessura do material, ainda assim ocorre variação na absorção de acordo com a freqüência do som.

Material Espessura (cm)

a: coeficiente de absorção para freqüências de (c/s) ou Hz.

125 250 500 1000 2000 4000 Lã de rocha 10 0,42 0,66 0,73 0,74 0,76 0,79 Lã de vidro solta 10 0,29 0,55 0,64 0,75 0,80 0,85 Feltro leve 1,2 0,02 0,04 0,10 0,21 0,57 0,92 Piso de tábuas de madeira, sobre viga, encerado normal

0,15 0,11 0,10 0,07 0,06 0,07

Piso de madeira com espaço livre por baixo

0,40 0,30 0,20 0,17 0,15 0,10

Parquê sobre areia 0,20 0,15 0,13 0,12 0,09 0,06 Parquê sobre sarrafos de madeira 0,16 0,14 0,12 0,11 0,09 0,07 Parquê de madeira dura sobre asfalto 2 0,04 0,04 0,07 0,06 0,06 0,07 Linóleo (pano-couro) sobre concreto 0,6 0,01 0,01 0,15 0,02 0,03 0,03 Placas de cortiça sobre concreto 0,02 0,02 0,03 0,03 0,04 0,04 Carpete simples, forrado 0,10 0,25 0,40 Tapete de lã, forrado 1,5 0,20 0,25 0,35 0,40 0,50 0,75 Carpete de juta 0,02 0,02 0,04 0,08 0,16 0,27 Concreto aparente não pintado 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,03 Mármore 0,01 0,01 0,02 Parede de alvenaria não pintada 0,01 0,01 0,02 0,02 0,02 0,02 Reboco liso sobre alvenaria 1,5 0,03 0,04 0,04 Reboco de gesso sobre alvenaria, pintado a mão

0,02 0,02 0,02 0,03 0,04 0,04

Reboco caiado sobre tela (estuque) 2 0,04 0,05 0,06 0,08 0,04 0,06 Reboco fibroso 5 0,35 0,30 0,20 0,55 0,10 0,04 Reboco de vermiculite acústico 3 0,23 0,30 0,37 0,42 0,48 0,46 Reboco de vermiculite não acústico 3 0,12 0,10 0,07 0,09 0,07 0,07 Tábuas de pinho 2,5 0,16 0,13 0,10 0,06 0,06 Chapa metálica sobre sarrafos de 4 cm 0,16 0,18 0,12 0,10 0,09 0,08 0,07 Compensado de madeira sobre 10 cm de lã de vidro

0,6 0,30 0,11 0,06 0,05 0,02 0,02



Ex. de alguns materiais absorventes: Lã de vidro – não deve ser colocada de forma exposta, para que as fibras não se desprendam, o que acarreta problemas para a saúde (olhos, respiração, alergia, etc.). Absorve bem as altas freqüências e quase nada as baixas freqüências. Lã de cerâmica – é um material caro de boa qualidade de absorção, bastante usado na construção naval, onde o barulho dos motores é muito grande. Absorve bem as médias e altas freqüências. Material misto – espuma conjugada com placa de chumbo (o chumbo tem alta densidade e é maleável). Poderíamos classificar os materiais porosos da seguinte forma:

a) peças de material poroso diretamente exposto “colchões” de lã, espuma, feltro, poliuretano, etc. b) material poroso coberto por uma placa furada: os anteriores, mais lã de vidro ou de rocha. A cobertura pode ser lâmina de metal, compensado de madeira, papelão, tela asfáltica, etc. c) Preparado para aplicar com pistola diretamente sobre a parede ou o teto: geralmente de amianto ou lã de vidro, conglomerado com resinas elásticas (o maior problema deste sistema é que se estraga com facilidade, devido à sua pouca resistência mecânica) d) Chapas pré-fabricadas, com furos ou não: de fibra de madeira, ou de amianto conglomerado com gesso, ou de cortiça, etc.

Os ruídos graves são mais fáceis de serem atenuados que os agudos. O objetivo não é retirar ou atenuar todos os agudos, porque mudaria a qualidade do som e timbre de vozes ou músicas. O ideal é atenuar os agudos de um ruído, pois são os que mais afetam a audição. Não se faz tratamento acústico de grandes reduções de ruído por absorção. “Entupir” de material altamente absorvente um recinto, reduz o ruído ao máximo de 16 dB. Um forro considerado excelente: α = 0,75 (pois α = 1) não existe. Ruído de fundo: é a ambientação sonora. Num escritório não se deve permitir que o ruído de fundo seja maior que 55 dB. A legislação observa mais atentamente os níveis críticos acima de 85 dB. Poluição sonora: é um barulho sistemático ou persistente (Existem os barulhos isolados e os persistentes) Exemplos de como a poluição sonora prejudica ou afeta as pessoas:

a) Saúde: � Surdez: exposição por muitas horas, dias ou meses a níveis críticos. � Acidentes de trabalho: por inibição do ato reflexo � Disfunções orgânicas: complicações cardíacas ou circulatórias, stress, insônia, angustia, etc.

b) Sociabilidade: alienação por dificuldade auditiva, desistímulo à conversação, mau humor, agressividade, aculturação musical, involução cívica, etc. c) Produtividade: desconcentração, ansiedade, relacionamento conflituoso, falhas de comunicação verbal, indisposição, introversão, etc.



d) Econômico: o barulho desvaloriza o imóvel em até 20%, por outro lado, o imóvel em local silencioso custa até 30% a mais.

Capítulo 4

Calor Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica Objetivo: Conceituar Calor. Definir seus principais parâmetros e variáveis. Unidades - Exercícios Se você pegar uma lata de refrigerante no refrigerador e a abandonar sobre a mesa da cozinha, a temperatura da lata subirá rapidamente para, em seguida, aumentar lentamente até se igualar à temperatura ambiente. Do mesmo modo, a temperatura ambiente de uma xícara de café quente, deixada ao ar livre também atingirá a temperatura ambiente. Generalizando esta situação, descrevemos o refrigerante ou o café como um sistema (temperatura Ts) e as partes relevantes da cozinha como a vizinhança (temperatura TE) daquele sistema. (veja figura 1). Observa-se que se Ts não for igual a TE então Ts mudará até que as duas temperaturas se igualem.

se a temperatura do sistema exceder a da vizinhança, o calor fluirá para fora do sistema até que o equilíbrio térmico seja estabelecido, como em (b). Se a temperatura do sistema for menor do que a vizinhança, o calor fluirá para dentro do sistema até que o equilíbrio térmico seja estabelecido.

Figura 1 Na figura 1-a, em que TS > TE, dizemos que a energia térmica, para a qual daremos o símbolo Q, flui do sistema para a vizinhança. Na figura 1-c, o fluxo se faz no outro sentido. Na figura 1-b, onde TS = TE, o escoamento líquido é zero, como mostra a figura, arbitrariamente, escolhemos Q para ser positivo quando o calor flui par dentro do sistema e negativo quando flui para fora do sistema. Somos levados, então, a esta definição de calor:

Vizinhança

Vizinhança

Vizinhança

TS > TE

TS = TE

TS < TE

Q = 0

SISTEMA

SISTEMA

SISTEMA

Q

Q

fronteira

a

b

c



“Calor é a energia que flui entre um sistema e sua vizinhança como conseqüência da diferença de temperatura que e xiste entre eles”

Como calor é energia, sua unidade no SI é joule. Quando você suspeita que o calor está fluindo para dentro, ou para fora de um sistema, sua pergunta chave será: “Onde está a diferença de temperatura?” A energia pode também ser transferida entre um sistema e sua vizinhança por meio de trabalho (símbolo W) que sempre associamos a uma força que se move através de uma distância. Quando você suspeita que o trabalho esta sendo realizado sobre um sistema, ou por um sistema, sua pergunta chave é: “Onde está a força e como se move seu ponto de apli cação?” Tanto o calor quanto o trabalho representam a energia em trânsito entre um sistema e sua vizinhança. O calor e o trabalho ao contrário da temperatura da pressão e do volume, não são propriedades intrínsecas de um sistema. Eles têm significado somente quando descrevem transferências de energia para dentro ou para fora do sistema, adicionando-a ou subtraindo-a do sistema de armazenamento de energia interna . Desse modo é apropriado dizer-se:

“Durante os últimos 3 minutos, 15 J de calor fluíra m do sistema para sua vizinhança” ou “Durante os últimos minutos, 12 J de trabalho foram realizados no sistema de sua vizinha nça” .

Não tem sentido dizer-se: “Este sistema contém 385 J de calor” ou “Este sistema contém 385 J de trabalho”

A relação comercialmente usada para energia interna é resumida pela Primeira Lei de Termodinâmica, assunto deste capítulo. Na linguagem popular usamos freqüentemente a palavra “calor” quando pretendemos falar em temperatura como numa receita do livro de cozinha:

“Coloque no forno a 300 graus de calor” Diz-se também que quando adicionamos calor a alguma coisa, ela fica mais “quente”, o que significa dizer que sua temperatura aumenta. Quando se diz: “Está um dia quente” , nos referimos à temperatura e não ao calor. Não confunda essa duas quantidades totalmente diferentes. Unidades de Calor Depois que se entendeu que calor era uma forma de energia, o calor começou a ser medido em termos de sua capacidade de elevar a temperatura da água. Assim, a caloria (cal) foi definida como a quantidade de calor que poderia elevar a temperatura de 1 g de água de 14,5°C a 15,5°C. No S istema Britânico, a unidade de calor correspondente era a Unidade Térmica Britânica (Btu) , definida como a quantidade de calor que elevaria a temperatura de 1 lb de água de 63 a 64° F. Em 1948, foi decidida que, uma vez que calor (assim como trabalho) é a forma de energia, a unidade no SI para calor seria a mesma que para todas as outras formas de energia, ou seja, o Joule . A caloria é agora definida como 4,1860 (exatamente) sem nenhuma referência ao aquecimento da água. A “caloria” usada em nutrição, algumas vezes chamada de grande caloria (cal) é, na verdade a quilocaloria. As relações entre as várias unidades de calor são: 1 J = 0,239 cal = 9,48 10-4 Btu 1 Btu = 1055 J = 252 cal 1 cal = 3,97 x 10-3 Btu = 4,19 J



1 cal = 103 cal = 3,9 + Btu = 4190 J Em trabalhos científicos, o calor esta sendo crescentemente expresso em Joules, ao passo que a caloria e o Btu estão sendo gradualmente abandonados. Entretanto, a caloria continua a ser usada em algumas áreas da Química e o Btu em alguns aspectos práticos da Engenharia

1. Capacidade Calorífica, Capacidade Térmica Seja ∆Q a quantidade de calor que um sistema troca com o exterior e ∆t a conseqüente variação da temperatura do sistema. Por definição, chama-se capacidade térmica média do sistema correspondente ao intervalo térmico ∆t considerado à razão

tQ

Cm ∆∆= .

Portanto, a capacidade térmica é a razão entre a quantidade de calor fornecida ao sistema (ou cedida pelo sistema) e a variação de temperatura ocorrida. Fazendo ∆t =

1, resulta: QCN

m ∆= . Daí você conclui que a capacidade térmica de um sistema é numericamente igual à quantidade de calor que o sistema troca com o meio quando a temperatura do sistema sofre uma variação unitária

Unidade de Capacidade Térmica Considere novamente a definição da capacidade térmica:

tQ

Cm ∆∆=

Para obter a unidade de capacidade térmica, você fará: ∆Q = 1 caloria; ∆t = 1°C Vem então:

1-m

m

C cal 1C

cal1)C(U

C 1cal 1

)C(U

°=°

=

°=

Daqui por diante, procederemos desta maneira, toda vez que quisermos definir a unidade correspondente a uma dada grandeza física. Na prática, embora a capacidade térmica seja variável com a temperatura, desprezaremos tal variação. Consideraremos consta a capacidade térmica, em primeira aproximação, desde que o intervalo térmico não seja demasiadamente amplo. Indicando ∆Q apenas por Q vem:

tQ

C∆

=



daí resultando Q = C . ∆t expressão esta aplicável ao cálculo do calor sensível. Geralmente escreve-se Q = C(tf – ti) sendo tf e ti, respectivamente, a temperatura fina e a temperatura inicial do sistema.

2. Calor específico Chama-se calor específico de um sistema a capacidade térmica da unidade de massa do sistema. Tudo o que foi dito para a capacidade térmica, vale para o calor específico. Simbolicamente, escrevemos:

tmQ

c

mC

c

∆⋅=

=

Daí resulta a expressão Q = m c ∆t aplicável ao cálculo do calor sensível Geralmente escreve-se: Q = m c (tf - ti) Curiosidade: Quanto menor o calor específico de uma substância, menor será a quantidade de calor necessária para elevar a sua temperatura. Você pode comprovar experimentalmente a diferença entre os calores específicos de metais distintos. Para isso aqueça em água fervendo vários pedaços de metais distintos, porém de massas iguais. Retirando-os da água fervente e colocando-os sobre um bloco de gelo você constatará que uns afundaram mais que os outros. Isto ocorre porque os de maior calor específico ao se resfriarem, cedem maior quantidade de calor e assim, fundem maior quantidade de gelo. cAL > cNi > cAL Unidade de calor específico Aplicando-se o mesmo procedimento que foi usado para determinar a unidade de capacidade térmica

g 1 m

C1

cal 1 Q se-fazendo tm

Qc

=°=∆

=∆⋅

=

Cu Ni

AL



1-C) (g cal 1(c)

Cgcal 1

)c(

C1 1gcal 1

)c(

°=µ°

=µ

°=µ

3. Calor sensível e calor latente A experiência revela que a troca de calor entre sistemas a diferentes temperaturas, postos em presença, pode ter as seguintes seqüências:

1) O sistema que recebe (cede) calor mantém seu estado de agregação acusando porém uma variação de temperatura. Neste caso o calor trocado é dito sensível.

2) O sistema que recebe (cede) calor não acusa variação de temperatura porém apresenta mudanças de estado agregação. Neste caso o calor trocado pelo sistema com o exterior é dito latente.

3) Pode ocorrer a troca de calor sem que o sistema apresente variação de temperatura ou mudança de estado de agregação. Este caso particularíssimo ocorre quando um gás perfeito troca calor isotermicamente com o exterior. Você poderá estudá-lo detalhadamente na Termodinâmica. Neste caso o calor trocado não recebe denominação especial.

4. Calor Latente de transformação Quando, em conseqüência da troca de calor entre o sistema e o exterior ocorre mudança no estado de agregação do sistema, define-se o calor latente de transformação. Chama-se calor latente de transformação, a quantidade de calor que a unidade de massa do sistema deve trocar com o exterior na temperatura em que ocorre a transformação, para que o sistema sofra à transição, sem variação de temperatura. Indica-se geralmente o calor latente de transformação por L

mLQ

m

QL

⋅=∴

=∴

Esta é a expressão utilizada para o cálculo do calor latente de transformação. Observe o gráfico abaixo.



Note que ao passar de A para B o sistema recebeu uma quantidade de calor Q, que acarretou a varia;’ao de temperatura de tA para tB; então Q1 é sensível; ao passar de B para C, o sistema recebeu a quantidade de calor Q2 que acarreta transição sem variação de temperatura, pois tB = t; onde se conclui que Q2 e latente.

5. Princípios da Calorimetria No decorrer do seu curso, você terá muitas vezes que resolver problemas que envolvem trocas de calor, nos quais você deverá achar o valor de algum dos elementos do processo: temperatura inicial, temperatura final, massa ou calor específico. Para resolver tais problemas, você deverá aplicar os dois princípios da calorimetria, que apresentamos a seguir. Princípio da igualdade das trocas de calor Quando dois ou mais sistemas, a temperaturas diferentes, postos em presença no interior de um recinto termicamente isolado do exterior, trocam calor entre si, a soma das quantidades de calor cedidas por alguns é igual à soma das quantidades de calor recebidas pelos demais. Simbolicamente:

∑ ∑= cr QQ

Observação importantíssima Na expressão acima, as quantidades de calor são consideradas sempre positivas, quer se trate de calor recebido ou cedido pelo sistema. No cálculo das quantidades de calor consideramos sempre ∆t > 0, de modo que resulta sempre Q > 0. Alguns autores adotam um critério diferente, estabelecendo a seguinte convenção: Calor recebido: tf > ti ∆t > 0 Qr > 0 Calor cedido: tf < ti ∆t < 0 Qc < 0 Nestas condições, a equação que exprime o primeiro princípio se escreve da seguinte maneira:

∑ ∑∑ ∑

=+

−=

0QQ

QQ

cr

cr

Essa equação pode ser assim interpretada: Se colocarmos em presença, no interior do recinto termicamente isolado do exterior, sistemas a diferentes temperaturas, a soma algébrica das quantidades de calor trocadas pelos sistemas é igual a zero. Essa conclusão pode servir de enunciado para o 1° p rincípio da Calorimetria.

Q (cal)

(B) (C)

(D)

(A)

transição

0 Q1 Q2

tA

tB = tC

t (°C)



Princípio das transformações inversas. Se um sistema recebe (cede) uma determinada quantidade de calor ao sofrer uma transformação, então cederá (receberá) a mesma quantidade de calor ao sofrer a transformação inversa.

6. Calorímetros Os calorímetros são recipientes onde são colocados os corpos que trocam calor; eles são utilizados para a medição do calor específico dos corpos. Os calorímetros são tanto quanto possível isolados do meio exterior, para evitar trocas de calor entre o meio externo e o calorímetro mais seu conteúdo, por serem essas quantidades de calor difíceis de medir. No entanto, nada impede que seja introduzida ou retirada do interior do calorímetro qualquer quantidade de calor facilmente mensurável. Existem diversos tipos de calorímetros. O esquema abaixo mostra o calorímetro das misturas, também chamado calorímetro de Berthelot.

Na parte de exercícios resolvidos mostraremos como se determina a capacidade térmica de um calorímetro e como se utiliza o calorímetro para determinar o calor específico de um sólido. Exercícios

1. Um corpo homogêneo de massa m = 200 g recebe a quantidade de calor Q = 500 cal em virtude do que sua temperatura se eleva de 30°C para 80°C. Calcule o calor específico do corpo Solução: Trata-se evidentemente de calor sensível. Portanto, deve ser aplicada a expressão:

Q = m. c. ∆t

t m

Qc

∆=

50x200500

c =

c = 0,05 cal/g°C

2. O diagrama abaixo mostra a quantidade de calor fornecida a um corpo de massa m = 120 g, em função da temperatura. Calcule o calor específico do corpo.



Solução: Você observa no gráfico que, ao se iniciar o fornecimento de calor, a temperatura do corpo é igual a -10°C e que, quando o calor fornecido for igual a 100 cal, a temperatura do corpo é igual a zero; portanto, o fornecimento de 100 cal ao corpo provoca uma variação de temperatura de 10°C. Note bem como foi determinada a variação de temperatura: 0-(-TO) = 10°C. Aplicando a definição de calor específico, você escreve:

tmQ

c∆

=

10x120

100c =

C = 0,083 cal/g°C 3. Um corpo de massa 400 g recebe calor de uma fonte de potencia constante igual a 200 cal por minuto. O gráfico mostra como a temperatura varia com o tempo. Calcule o calor específico do corpo.

Solução: Analisando o gráfico, você conclui que em 30 minutos a temperatura varia de 10°C para 40°C, sofrendo a variação ∆t = 30°C. Sendo Q o calor sensível, você aplica a fórmula: Q = m∆t. Lembrando que a potência caracteriza a rapidez que o calor é fornecido, você escreve P = Q/t. Portanto Q = P.t Q = 200 . 30 = 6000 cal Assim você obtém: 6000 = 400 c.30

C cal/g 5,030x400

6000c °==

4. Uma dona de casa, em Santos, para seguir a receita de um bolo, precisa de uma xícara de água a 50°C. Infelizmente, embora a c ozinha seja bem aparelhada, ela não tem termômetro. Como pode a dona de casa resolver o problema? (você pode propor qualquer procedimento correto desde que não envolva termômetro.) Solução: A dona de casa pode retirar uma certa quantidade de cubinhos de gelo do congelador e deixá-los fundir. Simultaneamente colocará a água para ferver. Antes que a fusão do gelo se complete ela misturará igual quantidade de água de fusão e água fervente (1/2 xícara de cada). Nestas condições, misturando massas iguais de água a 0°C e água a 100°C a temper atura de equilíbrio será de 50°C. A água fervente cede calor à água de fusão. QC = Qr



mc(100 – tf) = mc(tf – 0) Eliminando o fator comum mc, obtemos: 100 – tf = tf 100 = 2f Resposta: tf = 50°C 5. Um calorímetro de ferro com massa igual a 500 g contém 350 g de água a 20°C, na qual é imerso um bloco de chumbo de massa igual a 500 g e aquecido previamente a 98°C. Se o calor específico do ferro é igual a 0,116 cal/g. °C, determine o calor específico do chumbo, sabendo que o equilíbrio térmico se estabelece à temperatura de 23°C. Solução: Note que o calorímetro, contendo a água, estará à temperatura da mesma, isto é, a 20°C. Então é fácil você concluir que o chumbo ce de calor, que é recebido pela água e pelo calorímetro de ferro.

QC = 500 cPb(98-23) Qr = 500 cFe(23 – 20) + 350 (23 – 20) Fazendo QC = Qr: 500 cPb x 75 = 500 x 0,116 x 3 + 350 x 3 37500 cPb = 174 + 1050

Ccal/ 033,0375001224

cPb °==

6. Uma senhora deseja banhar seu filho em água morna à temperatura de 37°C e, para isso, conta com um recipiente de capacidade 20 l, água “fria” e 20°C e “quente” a 30°C. Admitindo que a massa específica d a água é 1g/cm3 e o calor específico 1 cal/g°C, e que ambos são constantes e independem da temperatura, calcular as quantidades de água “fria” e “quente” que devem ser misturadas, sabendo-se que a senhora tem à disposição somente 260 k cal para aquecer mais a água. Solução: Para aquecer a água fria (água 1), temos: Q1 = m1 . c . (37 – 20) Q1 = 17 m1 (I) Para aquecer a água quente (água 2), vem: Q2 = m2 . c . (37 – 30) Q2 = 7 m2 (II) Portanto a quantidade de calor necessária para o aquecimento das águas é: Q = Q1 + Q2 Q = 17 m1 + 7 m2 Logo se forem utilizados totalmente as 260 kcal disponíveis, teremos: 260 000 = 17 m1 + 7 m2 (III)



sendo que m1 representa quantidade máxima de água fria e m2 a mínima de água quente. Como o recipiente tem capacidade 20 l e a densidade de água é 1 g/cm3, ou seja, 1 kg/l então a massa total de água será 20 kg ou 20 000 g. Logo m1 + m2 = 20000 m1 = 20000 – m2 (IV) Substituindo em (III), vem : 260 000 = 17 (20000 – m2) + 7 m2 260 000 = 340000 – 17 m2 + 7 m2 10 m2 = 80000 m2 = 8 000g = 8 kg Portanto: m1 = 12 000g = 12 kg V2 = 8 litros; V1 = 12 litros

PROBLEMAS PROPOSTOS 1. Um bloco da platina, de 60g de massa é retirado de um forno e imediatamente colocado num calorímetro de cobre, de massa igual a 100g e que contém 340g de água. Calcular a temperatura do forno, sabendo-se que a temperatura da água, que era inicialmente de 10°C, subiu a 13°C qu ando o equilíbrio térmico foi atingido. Dados calores específico da platina e do cobre respectivamente 0,035 cal/g°C e 0,1 cal/g°C. 2. Um termômetro de mercúrio com massa m = 70g, foi aquecido a 150°C, sendo um seguido introduzido num calorímetro, cujo equivalente em água é de 250g, e a temperatura deste se eleva de 15°C para 20°C. Cal cular as massas de vidro e mercúrio que constituem o termômetro. São dados os calores específicos.

Vidro : 0,2 cal/g°C Mercúrio: 0,03 cal/g°C

3. Quando 500 g de mercúrio a 50°C são introduzidos num calorímetro contendo 90g d’água a 15°C, a temperatura de equilíbrio resu ltante é 19°C. Quando 90g de água de mercúrio a 15°C, contidos no mesmo caloríme tro, a temperatura final é de 38°C. Calcular o calor específico do mercúrio e o equivalente em água do calorímetro.

Capítulo 4

Calor e Termodinâmica Objetivo: Analisar a “Experiência de Joule” (Equivalente mecânico do Calor)

• Trabalho realizado nas transformações gasosas • Primeiro Princípio da Termodinâmica • Exercícios

1° Experiência de Joule Essa experiência foi realizada em 1843. No interior do calorímetro mostrado na figura existe a massa m de água à temperatura inicial t. A água pode ser movimentada pelo eixo dotado de pás, que é acionado em virtude da descida das massas M. Supondo-se que as massas M descem, deslocando-se de uma altura h, provocando a diminuição de energia potencial 2 Mgh . Se v é a velocidade de cada uma das massa M ao completarem a descida de h, a energia cinética das massas M será Mv2. O trabalho posto em jogo valerá:

σ = 2Mgh – Mv2



Esse trabalho é transferido ao eixo dotado de pás que, entrando em movimento, tende a movimentar a água do calorímetro. Em decorrência do atrito entre as pás e a água, esta se aquece chegando à temperatura final tf. Sendo C a capacidade térmica do calorímetro com água, podemos determinar a quantidade de calor que prova a variação ∆t da temperatura.

Pode-se escrever que: Q = C . ∆t sendo que ∆t = tf - ti

A experiência mostra que a relação Qτ

é constante

Essa constante é denominada equivalente mecânico do calor e é indicado por J.

Portanto JQ

=τ

JQ = τ Na experiência original, Joule encontrou o valor

cal

Joules155,4J =

Vários pesquisadores repetiram a determinação feita por Joule, aperfeiçoando o processo original ou modificando a origem do trabalho posto em jogo. A seguir são citados alguns desses pesquisadores os resultados por eles encontrados:

cal

Joules188,4J

)1979(

Rowland=→

cal

Joules182,4JBarnesCallendar =→−

cal

Joules185,4JHercusLaby =→−

cal

Joules185,4J

)1939(

Osborne=→

O valor atualmente adotado para o equivalente mecânico da caloria é

J = 4,186 cal

Joules o que significa que 1 cal = 4,186 Joules

Pode-se então afirmar que o calor é a energia em transito espontâneo de uns corpos para outras palavras, o calor é a energia que se transfere de um corpo para outro, em virtude unicamente de uma diferença de temperatura entre eles. Os trabalhos de Davy, Joule e outros, mostram que só tem sentido falarmos em calor enquanto houver o processo de transferência, desaparecendo definitivamente a idéia de que o calor seja algo contido nos corpos.



O mesmo ocorre com o trabalho. O trabalho não é algo que um corpo contenha em quantidade perfeitamente definida, mas implica na transferência de energia de um corpo para outro, desde que não esteja envolvida uma diferença de temperaturas. Exemplo Realiza-se a experiência de Joule usando-se somente um corpo de massa M = 3,0 kg, que entra em repouso após descer h = 20m. Em conseqüência, a rotação das pás agita a massa m = 0,6 kg de água, inicialmente a 15,00°C. Determinar a temperatura final da água, desprezando a capacidade térmica do calorímetro. Adotar: 1 cal = 4,18 J e g = 10 m/s2. Observação: o calor específico da água é c = 1 cal/(g°C) = 4 180 J/(kg°C) (tente verificar a igualdade). Solução:

C239,04180x6,0

20x10x3t

c.mh.g.M

t

Mghtmc

Q

Mgh

tmcQ

°==∆

=∆

=∆τ=

=τ∆=

Como ∆t = tf – ti; tf = 15 + 0,239 tf = 14,24°C

2° Trabalho realizado nas transformações gasosas A seguir vamos lhe mostrar uma excelente aplicação daquilo que você aprendeu na Mecânica, ao estudar o trabalho realizado por uma força. Considere um cilindro de paredes indeformáveis, que contém uma certa massa de gás. Suponha o cilindro munido de um êmbolo que, apoiado nas paredes internas, pode se deslocar sem atrito.

Se por motivo qualquer (que no momento não interessa especificar) o gás se expande, o êmbolo se desfocará para a direita, conforme o gráfico a seguir:

Força e deslocamento têm mesma direção e mesmo sentido: τ > 0

Note que, neste caso, a força F imposta ao êmbolo pelas componentes do gás tem a direção e o sentido do deslocamento, realizando um trabalho positivo, e diremos que houve trabalho contra o exterior.

Se o êmbolo é deslocado para a esquerda, a força F imposta ao êmbolo pelos componentes do gás terá a mesma direção do deslocamento, porém sentido contrário ao deslocamento, de sorte que realizará trabalho negativo; diremos então que o exterior trabalho contra o gás contido no cilindro.



Força e deslocamento têm mesma direção mas sentido

opostos: τ < 0

Para que você possa calcular o módulo do trabalho realizado pela força F de módulo constante, considere que a área da secção do êmbolo seja A, e que sob a

ação da força F , o êmbolo sofra um deslocamento de módulo ∆x. Assim, aplicando a definição de trabalho você escreve:

τ = F. ∆x

Mas, pela definição de pressão, AF

P =

Portanto, F = PA e, por substituição, vem:

τ = P.A.∆x Note agora que o produto A. ∆x mede exatamente a variação do volume ocupado pelo gás. Indicando A ∆x por ∆V, você obtém, finalmente:

τ = P.∆V Resumindo: Nas transformações em que há variação no volume da massa gasosa, poderá haver aumento de volume, ou seja, expansão do gás, ou diminuição do volume, ou seja, contração da massa gasosa. No caso de expansão, o gás realiza um trabalho contra

o exterior (τ > 0); no caso de contração, o exterior realiza um trabalho contra o gás

(τ < 0). Nas transformações isométricas, aqueles que ocorrem a volume constante, não há realização de trabalho pois a variação de volume é ∆V = 0 Portanto, nas transformações isométricas:

τ = 0 Nas transformações isobáricas, aquelas que ocorrem a pressão constante, o

trabalho é dado pelo produto τ = P(Vf – Vi) pois ∆V = Vf - Vi

Note que, se houver expansão, Vf > Vi. Então, Vf – Vi > 0 e, conseqüentemente, τ>0. Se houver contração da massa gasosa, Vf < Vi. Então, Vf – Vi < 0 e,

conseqüentemente, τ < 0, conforme a convenção já estabelecida. Recorrendo a um diagrama de Clapeyron, você determina graficamente o trabalho realizado nas transformações isobáricas. Assim no caso de uma expansão da massa gasosa, temos:

A = P(Vf – Vi); mas P(Vf – Vi) = τif



então você conclui que:

if

NA τ=

Analogamente, no caso da contração da massa gasosa:

De um modo geral, não é fácil estabelecer a expressão do trabalho nas transformações em que a pressão da massa gasosa também varia. A Termodinâmica Sendo o calor uma forma de energia em trânsito, passaremos a analisar os processos nos quais essa forma de energia se relaciona. Suponhamos que tenha sido convenientemente escolhido o sistema que trocará com o exterior apenas trabalho e calor ou, em determinadas condições, apenas trabalho ou apenas calor, conforme convenção da figura abaixo.

Note que essas trocas ocorrem quando o sistema evolui de um determinado estado de equilíbrio para outro e, por isso, calor e trabalho são características das transformações que o sistema pode sofrer, ao passar de um estado de equilíbrio para outro e jamais caracterizam os estados de equilíbrio em si. A Termodinâmica tem por objetivo a análise do comportamento do sistema, face às variações de energia interna que ocorrem, quando esse sistema troca calor e (ou) trabalho com o exterior. Portanto, a Termodinâmica se interessa apenas pelas realizações de trabalho de caráter externo, não considerando o trabalho de caráter interno, isto é, realizado por umas sobre outras partes do sistema. O primeiro princípio da Termodinâmica Este princípio é, a rigor, uma reafirmação do princípio geral da Conservação da Energia, englobando agora o calor, como sendo uma modalidade de energia. Para caracterizá-lo quantitativamente, procede-se por analogia à diferença de energia potencial analisada na Mecânica e, por isso, define-se a variação de energia interna do sistema. Entende-se por energia interna do sistema, a soma das energias dos seus elementos constituintes.



Seja ui, a energia interna do sistema no estado inicial i, Ao evoluir do estado i para o estado f, o sistema troca com o exterior calor e (ou) trabalho e, em conseqüência sua energia interna passa do valor uf. Por definição chama-se variação de energia interna do sistema a expressão: uf – ui = Q - τ ou ∆u = Q - τ Esta é a expressão algébrica do primeiro princípio da Termodinâmica. Ela diz que, quando um sistema troca calor e trabalho com o meio exterior, a variação da energia interna do sistema é a diferença entre o calor e o trabalho trocados pelo sistema com meio exterior, sendo que esta variação independe da trajetória; em outras palavras, a variação de energia interna depende apenas do estado inicial e do estado final do sistema, não dependendo dos estados intermediários pelos quais passa o sistema. Convém observar os seguintes fatos relacionados com a definição citada anteriormente:

a) o calor e o trabalho trocados, dependem da transformação particular que leva o sistema do estado inicial i ao estado final f. b) A diferença Q - τ independe da transformação que leva o sistema do estado inicial i ao estado final f, dependendo apenas dos valores, apresentados pelas propriedades termodinâmicas do sistema nos estados i e f. Por isso dizemos que ∆u é uma função das propriedades termodinâmicas do sistema. c) O que se define em Termodinâmica é a variação de energia interna. Poderemos adotar um estado do sistema para referencia e atribuir à energia interna do estado de referencia um valor arbitrário e, então, teremos condições para determinar a energia interna do sistema em qualquer outro estado, relativamente ao estado adotado para referência. d) O primeiro princípio da Termodinâmica tem, evidentemente, caráter geral e por isso pode ser aplicado a qualquer sistema, entre dois estado de equilíbrio quaisquer, independentemente da existência ou não de estados de equilíbrios intermediários. e) Na expressão ∆u = Q - τ, note que as parcelas ao, necessariamente, medidas na mesma unidade, indiferentemente em joules ou em calorias.

Calor e Termodinâmica Objetivo: Analisar transformações (Isotérmica, Isobárica e adiabática) Experiência de Joule relativa à energia interna de um gás A experiência é esquematizada na figura abaixo.

Uma massa gasosa é encerrada na metade de uma ampola dotada de uma válvula de comunicação A. A ampola é imersa num líquido, do qual o termômetro B indica a temperatura. Abrindo a válvula A o gás expande, passando a ocupar o volume total da ampola, variando, conseqüentemente, o volume e a pressão da massa gasosa. O



termômetro não indica variação na temperatura do líquido, donde se conclui que, durante a expansão, o gás não troca calor como líquido, isto é: Q = 0 Sendo a ampola rígida, conclui-se que durante a expansão não há realização de trabalho externo, ou seja: τ = 0 Portanto, ∆u = 0 Variam o volume e a pressão da massa gasosa, sem que isso acarrete variação da energia interna. Portanto, concluímos que a energia interna do gás é função exclusiva da temperatura absoluta, isto é, u = f(T). De posse da informação trazida pela experiência de Joule relativa à energia interna de um gás retomemos as transformações gasosas para estudá-las a luz do primeiro principio da Termodinâmica. Transformação isotérmica Propriedade característica: T = constante. Devido ao fato de T ser constante, será também constante a energia interna u e, conseqüentemente, ∆u = 0, o que por sua vez acarreta: Q = τ. Então, se o sistema recebe calor do exterior, realizará um trabalho externo equivalente e vice-versa, de modo que ∆u = 0. Isto é representado graficamente pela figura abaixo.

É importante notar que, embora nas transformação isotérmicas não haja variação da temperatura do sistema, nestas transformações o sistema troca calor com o meio exterior. Transformação isométrica Propriedade característica: V = constante Sendo o volume constante, não é realizado nenhum trabalho externo, e temos, pois: ∆u = QV Mas: QV = m . CV∆t Portanto: ∆u = m . cV . ∆t expressão esta que permite calcular a variação da energia interna da massa gasosa



Em conseqüência da experiência de Joule, a expressão acima é válida para qualquer tipo de transformação, embora tenha sido estabelecida a partir de uma transformação isométrica. Transformação isobárica Propriedade característica: P = constante. Nesta transformação o calor trocado é dado pela expressão Op = mcp∆T e o trabalho realizado é dado pela expressão τ = P.∆; portanto a variação da energia interna será dada pela expressão. ∆u = mcp∆T - P∆V.

Transformação adiabática Vamos agora introduzir sucintamente a transformação chamada adiabática. As transformações adiabáticas são transformações onde não ocorre troca de calor do sistema com o meio exterior (Q = 0). Na transformação adiabática ao passar do estado inicial de equilíbrio i para o estado final de equilíbrio f, é obedecida a equação de Laplace-Poisson: PVγ = constante, sendo que o expoente γ também é constante. Vamos analisar a transformação adiabática sob a luz do primeiro princípio da Termodinâmica. Propriedade característica: Q = 0 Uma vez que, nesta transformação, não ocorre troca de calor entre o sistema e o exterior, a realização de trabalho contra o exterior implicará numa diminuição da energia interna do sistema, enquanto que a realização de trabalho do exterior contra o sistema implica num aumento da energia interna do sistema. Como você viu, a expressão do primeiro principio da Termodinâmica é: ∆u = Q - τ Sendo Q = 0, vem: ∆= -τ Daí podemos concluir que, quando o sistema trabalha contra o meio exterior, temos τ > 0 e, portanto, ∆u < 0; no caso em que o sistema recebe trabalho do meio exterior, temos τ < 0 e, conseqüentemente, ∆u = 0, isto é, neste caso o sistema armazena a energia recebida do exterior. Para compreender melhor o que foi dito acima, procure analisar o gráfico que segue: Transformação adiabática



Testes para Consolidação de Conhecimentos 1. Um recipiente de volume V contém um gás perfeito. Fornece-se ao gás certa quantidade de calor, sem variar o volume. Nestas condições tem-se que:

a) o gás realizará trabalho equivalente à quantidade de calor recebida b) o gás realizará trabalho e a energia interna diminuirá c) o gás realizará trabalho e a energia interna permanecerá constante d) a quantidade de calor recebida pelo gás servirá apenas para aumentar a energia interna do mesmo e) n.d.a.

O gráfico acima mostra como varia a energia interna de um mol de oxigênio numa transformação isométrica, quando sua temperatura varia de 100 k a 200 k. Esse enunciado se refere às questões 2 e 3.

2. A quantidade de calor absorvido pelo gás, em calorias, foi, nessa transformação:

a) 100 b) 500 c) 250 d) 750 e) 1000

3. O calor específico do oxigênio, em cal/(mol.k) vale: a) 5 b) 2,5 c) 10 d) 2 e) 1

A variação volumétrica de um gás em função da temperatura à pressão constante de 3 N/m2, está indicada no gráfico acima. Esse enunciado se refere as questões 4 e 5.

4. O trabalho realizado durante a transformação de A para B é aproximadamente igual, em Joules, a:

a) 3 x 10-2 b) 3 c) 1/8 d) 8

5. Se, durante a transformação de A para B, o gás recebeu energia externa igual a 20 Joules, a variação da energia interna do gás foi igual (em joules) a:

a) 17 b) 23 c) 20 d) 3

]O gráfico abaixo representa a temperatura T de um gás ideal em função do volume V. Em que transformação a variação da energia interna do gás foi nula?



e) i a f) i b g) i c h) i d i) i e

6. Um sistema vai de um estado inicial (1) a um estado final (2) através de diferentes caminhos (veja figura). Em relação ao trabalho recebido pelo sistema na transformação de (1) para (2) podemos dizer:

a) é mínimo na transformação 1-5-2 b) é máximo na transformação 1-4-2 c) é o mesmo nas transformações 1-3-2 e 1-4-2 d) é máximo na transformação 1 e) é mínimo na transformação

7. 130 g de ar (densidade 1,3 kg/m3 a 0°C) são aquecidos de 0° a 100°C sob pressão atmosférica. A variação de volume dessa massa de ar é aproximadamente, em m3, dada por:

a) 0,036 b) 3,6 . 104 c) 1,36 d) 0,04 e) n.d.a

8. O calor específico do ar sob pressão constante é 0,237 cal/g°C. Para aquecer os 130 g de ar da questão anterior nas mesmas condições, são necessárias aproximadamente

a) 3 cal b) 3,08 cal c) 3,08 . 103 cal d) Uma quantidade bem diferente das anteriores

9. Sob volume constante, na questão anterior, teriam sido necessárias aproximadamente (relação entre os calores específicos do ar a pressão constante e o volume constante cp/cv = 1,4):

a) 2,2 cal b) 2,2 . 103 cal c) 4,4 cal d) 4,4 . 103 cal e) um numero muito diferente das anteriores.



TÍTULO: Movimentos Periódicos: Molas

1. Objetivos

a) Elaborar um modelo matemático que descreve o movimento de oscilação da mola.

b) Calcular o período a freqüência de oscilações de uma mola. c) Determinar a constante elástica de uma mola. d) Medir o período de oscilação de uma mola e comparar com a determinação

teórica e) Caracterizar a associação de molas em série e em paralelo. f) Determinar a energia potencial elástica armazenada numa mola.

2. Introdução Teórica: Uma mola tracionada ou comprimida exerce uma força, F, de reação, que dentro dos limites do comportamento elástico do material que a constitui, é proporcional à deformação sofrida pela mola, ∆∆∆∆x, e contrária ao sentido desse movimento de deformação. O coeficiente de proporcionalidade é chamado de constante elástica da mola, k. Essa é a Lei de Hooke:

F = k. ∆x A energia armazenada, energia potencial elástica da mola, durante a deformação corresponde ao trabalho realizado pela força elástica:

2x.k

E2∆=

A análise da resultante das forças que atuam na mola permite estabelecer o seguinte modelo matemático para o movimento:

x.kdt

xdm

2

2−=

cuja solução tem a forma: x(t) = A.cos(ω.t)

com freqüência angular da mk=ω e período, tempo de uma oscilação,

km

2T π= .

O período de oscilação, T, depende da massa ligada à mola e da constante elástica da mola. Ele é função das variáveis m e k. Dessa forma, a propagação de erros resulta que o desvio associado à constante elástica da mola, obtido a partir da expressão teórica para o período da oscilação é dada por:

2m4

42

T4

22

k.16

T

.4

m.T σπ

+σπ

±=σ

Quando molas são associadas, verifica-se que as constantes elásticas resultantes das associações são dadas por:

Associação de molas em série: 321 k1

k1

k1

k1 ++=

Associação de molas em paralelo: k = k1 + k2 + k3



3. Materiais Utilizados a) 1 Unidade – Barra e perfil com haste para suporte b) 3 Unidades – Mola c) 2 Unidades – Suportes de Mola d) 3 Unidades – Massas aferidas e) 1 Unidades – Trena f) 1 Unidade – Cronômetro g) 2 Unidades – Dinamômetro de 2 e 10 N h) Papel milimetrado

4. Procedimentos 4.1. Calibração da Mola

a) Meça o comprimento da mola sem deformação: x0; b) Submeta a mola a pesos conhecidos, meça as respectivas deformações: ∆∆∆∆x = (x – x 0); c) Construa uma tabela e correspondente curva de calibração relacionando força aplicada na mola e deformação sofrida. Associe às medidas o número correto de algarismos significativos. Trace a reta média. d) A inclinação da reta é o valor de k. Determine a constante elástica da mola k; e) Calcule a energia potencial elástica armazenada na situação de máxima deformação.

4.2. Período de Oscilação a) Submeta a mola a uma força peso conhecia (massa conhecida) e coloque-a em oscilação. b) Meça o tem de 10 oscilações e determine o período da oscilação c) Repita b) mais quatro vezes a fim de determinar o valor médio do período e o correspondente desvio padrão da média (T ±±±± σσσσTm). d) Determine o (k ±±±± σσσσk) da mola a partir do período de oscilação. Compare seu resultado com o valor de k obtido no procedimento de calibração da mola.

4.3. Associação em série a) Faça, com apenas uma medida, a determinação da constante elástica das molas disponíveis k = F/∆∆∆∆x b) Associe em série três molas. c) Meça o comprimento da associação sem deformação. d) Submeta a associação a uma força conhecida e determine a deformação sofrida pelo conjunto. e) Determine o kS da associação série para uma única medida representando seu resultado com a quantidade correta de algarismos significativos. f) Compare com a previsão teórica. g) Determine o período de oscilação da associação a partir de uma série de cinco medidas apresentando seu resultado associando o desvio padrão da média ao período. h) Compare com a previsão teórica.

4.4. Associação em Paralelo a) Associe três molas em paralelo. b) Meça o comprimento da associação sem deformação. c) Submeta a associação a uma força conhecida e determine a deformação sofrida pelo conjunto.



d) Determine o kp da associação paralela para uma única medida representando seu resultado com a quantidade correta de algarismos significativos. e) Compare com a previsão teórica. f) Determine o período de oscilação da associação a partir de uma série de cinco medidas apresentando seu resultado associando o desvio padrão da média ao período. g) Compare com a previsão teórica.

5. Desenhe aqui os arranjos experimentais analisado s. 6. Questão Proposta:

1. Deduza as equações das constantes elásticas equivalentes para as associações série e paralela de molas.

7. Conclusão



TÍTULO: Movimentos Periódicos: Pêndulos

1. Objetivos

− Definir freqüência e período de um pêndulo simples − Verificar conservação de momento angular − Introduzir conceito de momento de inércia

2. Introdução Teórica:

2.1. Pêndulo Um pêndulo simples é constituído por um cordel de comprimento L que sustenta, pendurado, um corpo pequeno e de massa m. Quando o corpo é solto fazendo um ângulo θ (pequeno) com a vertical, o pêndulo oscila com um certo período T (figura 1).

Figura 1: Forças sobre o peso de um pêndulo simples

As forças sobre a massa do pêndulo são o peso (mg) e a tensão na corda T. A componente de peso na direção do cordel é m.g.cosθ, e m.g.senθ na direção tangencial ao arco de círculo. Seja S o comprimento do arco medido a partir do ponto mais baixo da trajetória, temos que: S = Lθ com θ medido em radianos O Princípio Fundamental da Dinâmica aplicado à componente tangencial da força peso leva à seguinte equação diferencial:

θ−=θθθ= sen.Lg

dt

d ou sen.g.m

dt

d.L.m

dt

sdm

2

2

2

2

2

2

No caso de ângulos pequenos, podemos faze a aproximação senθ ≈ θ, e então:

Lg

com ..Lg

dt

d 22

2=ωθω−=θ=θ

O período do movimento será descrito como: gL

22

T π=ωπ=

Pela equação acima vemos que o período de um pêndulo não depende da massa, nem da amplitude do movimento, dependendo apenas do comprimento do cordel.

2.2. Pêndulo Físico Um corpo rígido suspenso por um ponto que não coincide com o seu centro de massa irá oscilar quando deslocado da posição de equilíbrio. Este sistema é um chamado de pêndulo físico . Considere um corpo plano suspenso por um ponto à distância D do centro de massa e ligeiramente deslocado da posição de equilíbrio



por um ângulo φ (figura 2) . O torque em relação ao ponto de suspensão tem módulo m.g.m.senφ e tende a provocar a diminuição de φ.

Figura 2: Pêndulo físico

Segundo a Lei de Newton aplicada à rotação nos dá:

2

2

dt

d.I.Isen.D.g.m

φ=α=φ−=τ

onde α é a aceleração angular e I o momento de inércia em relação ao ponto de suspensão. Utilizando o conceito de conservação de momento de força (ou torque), teremos que:

Isen.D.g.m

dt

d2

2 φ=φ

Se p deslocamento for pequeno podemos considerar senφ ≈ φ e o movimento é harmônico simples. A equação pode ser escrita como:

m.g.D

I.2T período com

I.D.g.m

dt

d 22

2π=φω−=φ=φ

2.3. O momento de inércia de uma barra retangular

O momento de inércia de uma barra retangular de massa M é dada pela expressão:

12)ba(M

I22 +=

Quando o eixo de rotação desta barra não coincide com seu centro de massa, o momento de inércia teve acrescido por um termo de M.x2, onde x é a distância do centro da massa ao eixo de rotação:

222

x.M12

)ba(MI ++=

3. Materiais Utilizados:

− 1 Unidade – Barra e perfil com haste para suporte − 1 Unidade – Barra de Madeira − 2 Unidades – Clipes de Suporte − 3 Unidades – Massas aferidas − 1 Unidade – Trena − 1 Unidade – Cronômetro



4. Procedimentos

a) Determinar o período de oscilação de um pêndulo simples com um cronômetro. Determinar o período da oscilação a partir do tempo de 10 oscilações. Repita esse procedimento mais quatro vezes, com a mesma amplitude, a fim de se determinar o valor médio do período e o correspondente desvio padrão da média (T ±±±± σσσσTm). Variar a amplitude do movimento e determinar, mais uma vez, o período de oscilação do pêndulo simples. Anotar seus resultados com o numero correto de algarismos significativos. O período de oscilação depende da amplitude das oscilações? Calcule os valores teóricos dos períodos e compare com seus resultados experimentais. b) Baseando-se no procedimento (a), determine o período de oscilação do pêndulo, variando-se a massa pendurada (calcular o valor médio e o erro relacionado a este). Calcule o valor teórico do período de oscilação, com o número correto de algarismos significativos, e compare com seus resultados. Utilizar, ao todo, duas massas significativamente diferentes. c) Baseando-se nos procedimentos anteriores, determinar o período de oscilação do pêndulo, variando agora o comprimento do fio. (calcular o valor médio e o erro relacionado a este valor). Calcule o valor teórico dos períodos para os comprimentos de cordel considerados, com o numero correto de algarismos significativos, e compare seus resultados. Utilizar, ao todo, dois comprimentos significativamente diferentes. d) Baseando-se nos procedimentos anteriores, determinar o período de oscilação de uma régua definindo um eixo de rotação em uma de suas extremidades. Calcular o valor médio e o erro relacionado a este valor. Determinar o momento de inércia da régua a partir da expressão para o período do pêndulo físico, com o número correto de algarismos significativos, e compará-lo com valor calculado, considerando-a um retângulo sem espessura, com seu eixo de rotação deslocado do seu centro de massa (medir as dimensões necessárias da régua para este cálculo). Utilizar o número correto de algarismos significativos, para obter esse valor teórico. Comparar seus resultados.

5. Questão Proposta: Discuta as causa das possíveis diferenças entre o valor teórico e o valor experimental para o pêndulo físico. 6. Conclusão



TÍTULO: Pulsos – Freqüência e Comprimento de Onda num Meio Líquido

1. Objetivos

Ao término das atividades o aluno deverá ser capaz de: − Produzir e reconhecer pulsos circulares e retos, num meio líquido; − Verificar que as ondas se propagam em todas as direções; − Operar na cuba de ondas Macedo, produzindo ondas periódicas circulares e

planas; − Reconhecer que a velocidade de propagação é a mesma em todas as

direções, mantida a mesma profundidade na massa líquida; − Operar com um estroboscópio eletrônico Mallmann; − Determinar, com o estrosboscópio a freqüência de uma onda num meio

líquido; − Medir o comprimento de onda com o uso de estroboscópio Mallmann; − Utilizar convenientemente a relação v = λλλλ f; − Determinar a velocidade de propagação da onda a partir de λλλλ e f.

2. Material necessário: − uma cuba de onda Macedo básica composta por: uma caixa de reflexão (1) com escala frontal (2) e três sapatas niveladoras amortecedoras (3), uma haste retrátil (4) dotada de luminária xênon (5), luminária halógena (6) sensor fotoelétrico (7) e três sapatas niveladoras; − uma cuba acrílica sem emendas (8); − um estroboscópio eletrônico Mallmann (9); − um frequencímetro de impulsos óticos Curt; (10); − um conjunto suporte (11) formada por haste, tripé e 3 sapatas niveladoras amortecedoras; − um vibrador para cuba de ondas dotado de fonte de alimentação variável CC (12); − acessórios :

o suporte com uma ponteira (a) o um conta-gotas; o 225 ml de água com uma gota de detergente biodegradável

Montagem

ATENÇÃO: Antes de ligar qualquer dos equipamentos, verifique a tensão local e selecione a posição sele tora de tensão.

3.1. Execute a montagem conforme a figura 1 . 3.2. Coloque 225 ml de água na cuba, espalhando-a com o dedo (inclusive nos cantos) e nivele a superfície da água, uniformizando o máximo possível a sua profundidade. 3.3. Mantenha os equipamentos desligados, até instruções em contrário.



3. Andamento das atividades: 4.1. Ligue a lâmpada halógena (6).

Utilizando o conta-gotas, deixe cair uma gota d’água no centro da cuba, provocando um abalo no meio líquido. Descreva a forma do pulso gerado.

______________________________________________________________________________________________________________________ 4.2. Torne a gerar outros pulsos deixando cair, compassadamente, gotas no interior da cuba. Observe o formato dos pulsos e verifique se a forma do mesmo se mantém. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Com o pulso se mantendo circular, como você diria que se comporta a velocidade das frentes de ondas em todas as direções da superfície livre do líquido? Justifique a sua resposta. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 4.3. Com a ponteira simples (a) acoplada, ligue a chave do vibrador (regule o potenciômetro para uma freqüência média) e descreva os tipos de ondas produzidas no meio líquido por esta ponteira. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Procure desenhar na área milimetrada o observado, orientando o sentido de propagação das ondas obtidas. 4.4. Desligue a lâmpada halógena (6). Com o pontenciômetro do vibrador (12) no máximo, ligue o estroboscópio e, lentamente, ajuste o sistema até que a projeção da onda fique ”parada” no anteparo. Determine o comprimento de onda λ desta onda plana circular obtida.

___________________________________________________________________ Determine, através do freqüencímetro, a freqüência f da onda gerada neste experimento. ___________________________________________________________________ Calcule a velocidade de propagação da onda obtida neste experimento. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



Complete com os dados obtidos a primeira linha da tabela 1 .

Tabela 1

4.5. Procedendo semelhantemente, execute mais 4 medidas e complete a tabela 1 . 4.6. Determine a velocidade média de propagação da onda deste

experimento ∑=5

1n 5/VV

4.7. Determine o desvio (δ) [δ = (módulo da maior diferença encontrada entre os Vn e V média)] da medida da velocidade de propagação da onda, no processo adotado. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Observação: A maior precisão, encontrada na determi nação de v pelo processo adotado, e: v = v média ±±±± δδδδ 4.8. Qual a velocidade de propagação das ondas na cuba, com 225 ml de água nivelada na maior precisão oferecida por este processo? _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Observação: A velocidade de propagação da onda depe nde da densidade e da profundidade do líquido . 4.9. Para que profundidade (de água na cuba) sua resposta ao item 5.8 é correta?



TÍTULO: Pulsos – Reflexão de uma Onda Bidimensiona l

1. Objetivos Ao término das atividades o aluno deverá ser capaz de:

− Reconhecer que uma onda, ao incidir num anteparo, se reflete de modo que suas direções incidente e refletida obedeçam as leis de reflexão de Snell; − Determinar o foco e a distância focal de um anteparo curvo; − Verificar que o ponto de emissão de um pulso circular, frente a um anteparo reto, se comporta como um ponto-objeto (frente a um espelho plano) e que as ondas refletidas “parecem “ ter origem num ponto além do anteparo, chamado ponto de imagem; − Constatar que uma onda circular, produzida no foco de um anteparo curvo, após refletida, se propaga com uma frente de onda retilínea.

2. Material necessário:

− uma cuba de onda Macedo básica composta por: uma caixa de reflexão (1) com escala frontal (2) e três sapatas niveladoras amortecedoras (3), uma haste retrátil (4) dotada de luminária xênon (5), luminária halógena (6) e sensor fotoelétrico (7); − uma cuba acrílica sem emendas (8); − um estroboscópio eletrônico Mallmann (9); − um frequencímetro de impulsos óticos Curt; (10); − um conjunto suporte (11) formada por haste, tripé e 3 sapatas niveladoras amortecedoras; − um vibrador para cuba de ondas dotado de fonte de alimentação variável CC (12); − acessórios :

o uma ponteira simples (a), uma ponteira reta (c), um anteparo reto (f) e dois anteparos curvos (g) o um conta-gotas; o 225 ml de água com uma gota de detergente biodegradável

3. Montagem ATENÇÃO: Antes de ligar qualquer dos equipamentos, verifique a tensão local e selecione a posição seletora de tensão.

3.1. Execute a montagem conforme a figura 1 3.2. Coloque 225 ml de água na cuba, espalhando-a com o dedo (inclusive nos cantos) e nivele a superfície da água, uniformizando o máximo possível a sua profundidade. 3.3. Mantenha os equipamentos desligados, até instruções em contrário.



4. Andamento das atividades: 4.1. Com o anteparo (f) no meio da cuba (umedeça a lateral do anteparo com o dedo), ligue o oscilador em freqüência média e “reduza”, com o estroboscópio , o avanço aparente das ondas circulares.

Observando a reflexão e a forma da frente de onda refletida, reproduza na figura 2 sua constatação.

Identifique os focos real e virtual relacionados com os ponto-objeto e ponto-imagem de um espelho plano. Desligue o estroboscópio e ligue a lâmpada comum (6). Comente a diferença observada entre os dois processos. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.2. Troque a ponteira (a) pela ponteira reta (c), ajustando-a para penetrar uniformemente na massa líquida.

Coloque, conforme a figura 3 , o anteparo reto (f) obliquamente à direção de propagação (umedeça com o dedo as laterais da ponteira do anteparo). Identifique os ângulos que a direção de propagação das ondas incidente e refletidas formam com a reta N normal ao anteparo. Compare o ângulo de incidência com o ângulo de reflexão e verifique a validade das leis de Snell para o espelho plano.

_____________________________________________________________________________________________________________________________________

4.3. Mantendo a ponteira reta (c), troque o anteparo reto (f) pelo curvo (g)



Localize e determine a distância focal para o lado côncavo (figura 4 ) e para o lado convexo (figura 5 ). Trace uma reta N normal à superfície refletora, num ponto genérico p do anteparo (g), e compare Figura 5 O ângulo formado pela direção das onda incidentes com o ângulo formado pela direção das onda refletidas. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.4. Desligue o vibrador e, com o conta-gotas, gere um pulso circular no foco do anteparo côncavo.

Descreva o observado e o compare com o de uma fonte luminosa colocada no foco de um espelho côncavo. _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.5. Deixe cair alguns pingos nos focos dos anteparos colocados conforme as figuras 6 e 7 .

Represente o observado nas figuras abaixo, justificando fisicamente o ocorrido.



TÍTULO: Refração de Uma Onda Bidimensional


− Reconhecer que uma onda, ao passar de uma profundidade para outra, se refrata segundo as leis da refração; − Verificar que a refração nem sempre á acompanhada do desvio na trajetória da onda, mas sim, da variação na velocidade de propagação; − Determinar (dentro do desvio experimental) o índice de refração relativo do meio em que se propaga a onda incidente em relação ao meio da onda refratada.

2. Material necessário: − uma cuba de ondas básica composta por: uma caixa de reflexão (1) com

escala frontal (2) e três sapatas niveladoras amortecedoras (3), uma haste retrátil (4) dotada de luminária xênon (5), luminária halógena (6) sensor fotoelétrico (7) e três sapatas niveladoras (3);

− uma cuba acrílica sem emendas (8); − um estroboscópio eletrônico Mallmann (9); − um frequencímetro de impulsos óticos Curt; (10);

− um conjunto suporte (11) formada por haste, tripé e 3 sapatas niveladoras amortecedoras;

− um vibrador para cuba de ondas dotado de fonte de alimentação variável CC (12);

− acessórios : − suporte com uma ponteira (a) − um conta-gotas; − 225 ml de água com uma gota de

detergente biodegradável 3. Montagem

ATENÇÃO: Antes de ligar qualquer dos equipamentos, verifique a tensão local e selecione a posição seletora de tensão.

3.1. Execute a montagem conforme a figura 1 . 3.2. Coloque 500 ml de água na cuba, espalhando-a com o dedo (inclusive nos cantos) e nivele a superfície da água, uniformizando o máximo possível a sua profundidade. 3.3. Acople o suporte com ponteira reta (c) ao vibrador e ajuste-a para tocar levemente na superfície líquida. 3.4. Mantenha os equipamentos desligados, até instruções em contrário.



4. Andamento das atividades: 4.1. Com o retângulo de vidro (h) no interior da cuba, a profundidade do líquido será menor nesta região raza. Ligue o vibrador (ajustando a freqüência de modo a permitir uma boa visualização), observe e compare as velocidades das ondas antes depois de atingirem a região do vid Desenhe, na figura 2 , o observado.

OBSERVAÇÃO: Sobre o vidro deve haver pouca profundi dade, 1 a 2 mm, se necessário retire ou adicione um pouco de água com o uso de um conta-gotas.

4.2. Dê uma inclinação ao vidro, de modo a formar um ângulo com a direção das ondas incidentes diferente de 0°. Descreva o observado. 4.2.1 Procure desenhar a figura 3 o observado. 4.2.2 Utilizando um transferidor de graus, verifique o ângulo de incidência formado entre a direção de propagação da onda incidente e a reta N, normal ao lado maior do vidro.

Com o mesmo transferidor, meça o ângulo de refração, ângulo formado entre a normal e a direção de propagação das ondas refratadas (as que se propagam na parte mais rasa da água, sobre o vidro) ______________________________________________________________________________________________________________________________________ Determine os valores do seno do ângulo de incidência e do seno do ângulo de refração. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Qual o significado físico da razão entre o seno do ângulo de incidência pelo seno do ângulo de refração? _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ OBSERVAÇÃO: Reduza a freqüência da vibração e obser ve o que acontece com o comprimento de onda ao passar a linha divisór ia AB. Descreva a sua observação.



TÍTULO: Difração de Ondas Bidimensionais 1. Objetivos

Ao término das atividades o aluno deverá ser capaz de: − Concluir que uma onda, após passar um obstáculo parcial, se curva e tenta contorná-lo, isto é, se difrata; − Verificar que, na parte de trás do anteparo, as ondas são escassas. − Interpretar a escassez de ondas, na parte traseira do obstáculo, como a “sombra” do objeto; − Verificar que, para uma onda incidente com λ fixo, a difração em uma fenda será tanto maior quanto menor for a abertura da fenda.

2. Material necessário: − uma cuba de ondas básica composta por: uma caixa de reflexão (1) com escala frontal (2) e três sapatas niveladoras amortecedoras (3), uma haste retrátil (4) dotada de luminária xênon (5), luminária halógena (6) e sensor fotoelétrico (7); três sapatas niveladoras amortecedoras (3); − uma cuba acrílica sem emendas (8); − um estroboscópio eletrônico Mallmann (9); − um frequencímetro de impulsos óticos Curt; (10); − um conjunto suporte (11) formada por haste, tripé e 3 sapatas niveladoras amortecedoras; − um vibrador para cuba de ondas dotado de fonte de alimentação variável CC (12); − acessórios :

o uma ponteira simples (c), uma ponteira reta (d), um o um conta-gotas; o um transferidor de graus; o 225 ml de água com uma gota de detergente biodegradável

3. Montagem

ATENÇÃO: Antes de ligar qualquer dos equipamentos, verifique a tensão local e selecione a posição seletora de tensão.

3.1. Execute a montagem conforme a figura 1 3.2. Coloque 225 ml de água na cuba, espalhando-a com o dedo (inclusive nos cantos) e nivele a superfície da água, uniformizando o máximo possível a sua profundidade. 3.3. Acople o suporte com ponteira reta (c) ao vibrador e ajuste-a para tocar levemente na superfície líquida. 3.4. Mantenha os equipamentos desligados, até instruções em contrário.



4. Andamento das atividades: 4.1. Com a ponteira reta (c) e um anteparo (d) colocados conforme a figura 2 , ligue o vibrador em baixa freqüência e, observando o fenômeno, represente na figura o comportamento da onda, antes e depois do anteparo d.

Comente o resultado de sua observação. ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

OBSERVAÇÃO: Ignore as projeções mais fortes que sur gem entre a ponteira e o anteparo. Trata-se de uma interferência que será estudada mais tarde.

4.2. Coloque dois anteparos (d), um ao lado do outro, deixando uma fenda B com 10 mm de abertura, veja figura 3.

Ligue o vibrador em baixa freqüência e, observando a difração, vá aumentando gradativamente a freqüência da onda incidente

Descreva o observado na difração ocorrida em uma fenda de dimensões fixas ao elevar a freqüência f da onda incidente. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Como ficaria a sua resposta ao item anterior para o caso de diminuir a freqüência f da onda incidente? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



4.3. Mantendo a mesma abertura B, do item anterior, escolha uma freqüência f em que a difração se torna bem visível e não altere mais o seu valor.

Com a freqüência agora fixa, aumente a fenda de 5 em 5 milímetros e observe a difração ocorrida para cada caso. O que você constata no caso da abertura B da fenda aumentar mantendo a mesma freqüência f da onda incidente (figura 4) ? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ O que você constata no caso da abertura B da fenda diminuir mantendo a mesma freqüência f da onda incidente? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.4. Com base em suas observações, discuta a validade da seguinte afirmação: “Quanto maior for a razão (λλλλ/abertura da fenda ), maior será a difração sofrida pela onda”

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



TÍTULO: Interferência em Ondas Bidimensionais (Expe riência de Young e Efeito Dopper – Fizeau)


− Citar o princípio de Huygens; − Verificar o fenômeno da interferência na cuba de ondas; − Identificar as linhas nodais da onda resultante da interferência. − Constatar a variação na posição das linhas nodais e ventrais para diferentes comprimentos de onda e para diferentes distâncias entre as fontes geradoras das pertubações.

2. Material necessário: − uma cuba de ondas Macedo básica composta por: uma caixa de reflexão (1) com escala frontal (2) e três sapatas niveladoras amortecedoras (3), uma haste retrátil (4) dotada de luminária xênon (5), luminária halógena (6) sensor fotoelétrico (7); três sapatas niveladoras amortecedoras; uma cuba acrílica sem emendas (8); − um estroboscópio eletrônico Mallmann (9); − um frequencímetro de impulsos óticos Curt; (10); − um conjunto suporte (11) formada por haste, tripé e 3 sapatas niveladoras amortecedoras; − um vibrador para cuba de ondas dotado de fonte de alimentação variável CC (12); − acessórios :

o suporte com ponteira reta (c), dois anteparos retos 110 mm (d), um anteparo reto 23 mm (e), uma ponteira dupla (b); o um conta-gotas; o 225 ml de água com uma gota de detergente biodegradável

3. Fundamentos teóricos

A figura 1 representa algumas frente ondas; λ é a distância entre duas regiões claras ou escuras; P0 a posição da frente de onda que se propaga com velocidade v no instante t0. Huygens viu a frente de onda formada por infinitos pontos e imaginou cada ponto como uma fonte de ondas circulares que se propagam com a mesma velocidade v da onda (Figura 2 ).



Logo, num intervalo de tempo t, cada ponto gerará uma onda circular de raio r=v.t A curva que tangencia as ondas circulares geradas de raio v.t (figura 2 ) representará a nova posição P, ocupada pela nova frente de onda. Generalizando para as ondas em geral (tridimensionais): “Cada ponto de uma frente de onda pode ser considerado como uma fonte pontual de ondas esféricas secundárias, cuja nova posição, ocupada pela frente de onda, num intervalo de tempo t, será superfície que tangencia as ondas esféricas secundárias” (Princípio de Huygens)

4. Montagem: 4.1. Execute a montagem básica. Coloque 225 ml de água na cuba, uniformizando o máximo possível a sua profundidade.

4.2. Acople a ponteira reta (c) ao vibrador e ajuste-a para tocar levemente na superfície líquida. Molhe (com o dedo) as superfícies laterais da ponteira e coloque os anteparos (d) e (e), conforme a figura 3 , alinhando-os sobre a escala, 4.3. Mantenha o vibrador e o estroboscópio desligados , até instruções contrário.

5. Andamento das atividades: 5.1. Ligue o vibrador e varie a freqüência até obter uma boa difração em cada fenda. 5.2. Desenhe na figura 3 o observado.

Descreva a forma da onda após as fendas existentes no anteparo. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



As freqüências com que estas ondas abandonam as fendas são diferentes da freqüência da onda incidente ? Justifique a sua resposta. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ A velocidade de propagação destas ondas secundárias é diferente da velocidade de propagação das ondas incidentes? Justifique a sua resposta. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.3. Considere cada fenda como uma fonte pontual e comparando-as entre si, denomine as fontes que assim se comportam.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.4. O que ocorre quando as ondas, geradas pelas duas fontes coerentes se encontram?]

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Quando se diz que a interferência entre duas ondas é construtiva ou destrutiva ? ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.5. Identifique o aspecto das linhas nodais da onda resultante (partes com amplitude mínima).

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Observe que as fendas, funcionando como fontes coerentes, geram ondas circulares de mesma freqüência e amplitude que, interferindo entre si, criam regiões de interferências construtivas (quando a crista de uma coincidir com a crista da outra ou o vale de uma coincidir com o vale da outra) e interferências destrutivas (quando coincidir a crista de uma com o vale da outra). ATENÇÃO: Procure manter as distâncias das fendas ig uais para que, visualmente, a forma das ondas difratadas também o sejam (não que isto elimine a possibilidade de interferência entre elas , mas, sim para melhorar o efeito visual.

5.6. Remova a ponteira e os anteparos retos.



Fixe a haste com ponteiras duplas (b) no vibrador. Estas ponteiras, funcionando como fontes pontuais X1 e X2, num meio líquido de profundidade constante, geram ondas circulares de freqüências iguais à do vibrador e de mesmo comprimento de onda λ. Ligue o vibrador e ajuste sua freqüência de modo a obter um bom efeito visual. Procure reproduzir, na figura 4 , o formato da onda resultante obtida.

5.7. Verifique que as linhas nodais obtidas pelos dois trens de onda, de mesmo λ, formam hipérboles de interferências tendo os pontos X1 e X2 como focos. A equação que rege o movimento de cada fonte (X1 ou X2) é: Y = A sen 2 ππππ(t/ττττ)

onde: A é a amplitude da onda, Y a elongação num dado tempo t e τ é o período do movimento. Sendo X0 um ponto qualquer sobre a onda resultante, afastado com distâncias d1 e d2 de cada foco, X0 adquirirá os seguintes movimentos de subida e descida:

a) devido à onda gerada pela fonte X 1: Y1 = A1 sen 2π [(t/τ)-(d1/λ)

b) devido a onda gerada pela fonte X 2: Y2 = A2 sen 2π [(t/τ)-(d2/λ)

Como X0 fica sujeito aos dois movimentos simultaneamente, sua elongação resultante será: YR = Y1 + Y2, que resulta: YR={sen(t/τ)[A1cos(d1/λ)+ A2cos(d2/λ)]}+{cos(t/τ)[A1sen(d1/λ)+A2sen(d2/λ)]} Fazendo: [A1cos(d1/λ)+ A2cos(d2/λ)]}=ARcosϕ e [A1cos(d1/λ)+ A2cos(d2/λ)]}=ARsenϕ, Elevando ao quadrado, somando e usando as relações trigonométricas, resulta:

{ }[ 211221

22

21R )]/)dd(2cosAA2AAA λ−π++=

5.8. Para todos os pontos X 0 localizados no plano das ondas, cuja diferença de caminho ( δδδδ) dos trens de onda gerados seja um número



inteiro de meios comprimentos de onda, δ = d2 – d1 = (2K + 1)(λ/2), (onde K é um número inteiro positivo), a expressão para a amplitude resultante do ponto X 0 se transforma em:

212122

21R AA]AA2AA[A 2

1−=−− o que resulta numa amplitude mínima

para os pontos X0 (denominados nós da onda resultante) localizados nestas regiões chamadas linhas nodais . 5.9. Torne a ligar a cuba de ondas e sincronize o estroboscópio o mais próximo possível da freqüência da onda gerada. Observe novamente o fenômeno da interferência. Localize um ponto X0 sobre um dos nós da onda resultante e verifique a validade da afirmação em negrito no item 5.8. Identifique (no desenho da figura 4 ) a linha nodal de 1 a ordem . 5.10. Verifique que para todos os pontos X 0 localizados no plano das ondas, cuja diferença de caminho ( δδδδ) seja um número par de meios comprimentos de onda, a expressão para amplitude re sultante, do ponto X0, se transforma em:

212122

21R AA]AA2AA[A 2

1+=++

o que resulta numa amplitude máxima para os pontos X0 (denominados ventres da onda resultante), localizados nestas regiões chamadas linhas ventrais .

5.11. Localize um ponto X0 sobre um dos ventres da onda resultante e verifique a validade da afirmação em negrito no item anterior. 5.12. Uma vez que a cuba contém uma massa líquida com profundidade constante , a velocidade (neste caso) é constante em módulo , em todas as direções do plano no qual a perturbação se propaga. Devido a este fato, podemos variar o comprimento da onda resultante variando a freqüência da onda.

Assinale com um pequeno objeto “a”, denominado observador , um ponto qualquer sobre a linha nodal (ou ventral) de 1a ordem e outro pequeno objeto “b”, denominado fonte , no ponto de encontro da perpendicular que contém o objeto 1 e 2, sobre a linha ventral central. A menor distância entre o objeto 1 e o objeto 2 , denominado de x.

5.13. Diminua um pouco a freqüência do vibrador (equivale a aumentar o comprimento de onda uma vez que a velocidade de propagação é constante) de modo a visualizar a onda resultante.

Descreva o observado em relação a x (distância entre a fonte e o observador) quando aumentamos o comprimento de onda λ (ou diminuímos a freqüência f da onda). ________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Segundo suas observações, pode-se dizer que: quando a distância x entre fonte e o observador _______________ a freqüência f de um som emitido pela fonte ________________________.

5.14. Aumente um pouco a freqüência do vibrador (equivale a diminuir o comprimento da onda uma vez que a velocidade de propagação é constante) de modo a visualizar a onda resultante.



Descreva o observado em relação a x (distância entre a fonte e o observador) quando aumentamos o comprimento da onda λ (ou diminuirmos a freqüência f da onda) ______________________________________________________________________________________________________________________________________

5.15. Segundo suas observações é válida a seguinte afirmação: “O som emitido por uma fonte, em movimento relativo de aproximação a um observador, tem sua freqüência percebida pelo mesmo aumentada e, consequentemente, percebido de forma mais aguda. ______________________________________________________________________________________________________________________________________

5.16. Saiba que a afirmação acima é conhecida por efeito Doppler – Fizeau.



TÍTULO: Calorímetro com mudança de fase

1. Objetivos − Tomar, organizar e apresentar dados e resultados experimentais; − Aplicar o princípio de conservação da energia às trocas de calor num

calorímetro; − Calcular calores sensível e latente.

2. Introdução: Uma substância muda de estado físico quando se encontra em determinada temperatura que dependerá da pressão externa. Enquanto a substância perde ou recebe energia suficiente para a mudança de fase a temperatura permanece constante. A quantidade de calor necessário para provocar tal mudança de fase para um grama dessa substância e chamada de calor latente. Essa quantidade pode ser obtida quando se controla as trocas de calor num sistema térmicamente isolado, num calorímetro, aplicando o princípio de conservação de energia, a equação fundamental do calorímetro e o conceito de calor latente. Material utilizado: (liste o material utilizado) Procedimento para observação e tomada de dados:

1. Registre aqui a capacidade térmica de seu calorímetro. CCAL=___________________cal/°C

2. Coloque 60 ml de água, à temperatura ambiente (água fria), no interior do calorímetro. Tampe-o e aguarde dois minutos e meça a temperatura do conjunto calorímetro + água.

T0 AGUA FRIA = T0 CAL = _________°C 3. Aqueça outros 60 ml de água até a temperatura de ~70 °C (água quente). Registre a temperatura inicial dessa água aquecida.

T0 AGUA QUENTE = ______________°C 4. Pegue um cubo de gelo, a 0°C, meça sua massa.

MGELO = _____________________g 5. Adicione a água quente e a pedra de gelo no calorímetro, tampe-o e aguarde que o equilíbrio térmico seja atingido. Anote essa temperatura que será a temperatura final (TF) para o experimento.

TF = ______________________°C Análise dos dados, resultados e conclusões:

6. Considere a conservação de energia nas trocas de calor, utilize a equação fundamental da calorimetria (Q = m.c.∆T ou Q = C. ∆T) e a equação para o cálculo do calor latente (Q = m.L) para a mudança de fase e determine o valor de LF. Considere que o calor específico da água tenha valor cÁGUA = 1cal/g°C. Para comparação, sabe-se que o calor latente de fusão da água, 0°C e pressão normal, vale LF = 80 cal/g. Para que haja conservação da energia temos:

QCALORÍMETRO + QÁGUA FRIA + QÁGUA QUENTE + QFUSÃO DO GELO + QÁGUA QUE VIROU GELO = 0 Faça suas contas LFUSÃO DO GELO = ___________________ cal / g



TÍTULO: Calor específico de um metal

1. Objetivos − Tomar, organizar e apresentar dados e resultados experimentais; − Aplicar o princípio de conservação da energia às trocas de calor num calorímetro; − Aplicar a equação fundamental da calorimetria para a determinação do calor específico de um metal

2. Introdução: O calor específico é uma propriedade da substância e não de um corpo. Ele especifica a quantidade de calor necessário para variar de 1°C a temperatura de um grama da substância (unidade – cal / g°C) . Essa quantidade pode ser obtida quando se controla as trocas de calor num sistema termicamente isolado, num calorímetro, aplicando o princípio da conservação de energia e a equação fundamental da calorimetria. Material utilizado: (liste o material utilizado) Procedimento para observação e tomada de dados:

1. Registre aqui a capacidade térmica de seu calorímetro, determinado na última aula de laboratório.

CCAL=___________________cal/°C 2. Coloque 90 ml de água, à temperatura ambiente (água fria), no interior do calorímetro. Tampe-o e aguarde dois minutos e meça a temperatura do conjunto calorímetro + água.

T0 AGUA FRIA = T0 CAL = _________°C 3. Aqueça outros 90 mL de água até a temperatura de 70°C (água quente). Coloque nessa água a peça metálica disponível. Registre a massa da peça.

mPEÇA = _________________g 4. Adicione a água quente com a peça no calorímetro, tampe-o e aguarde que o equilíbrio térmico seja atingido. Anote essa temperatura que será a temperatura final (TF) para o experimento.

TF = ____________________°C Análise dos dados, resultados e conclusões:

5. Considere a conservação de energia nas trocas de calor, utilize a equação fundamental da calorimetria (Q = m.c.∆T ou Q = C. ∆T) e calcule o calor específico do metal, cMETAL. Considere o calor específico da água cÁGUA = 1 cal/g°C. Para que haja conservação da energia temos:

QCALORÍMETRO + QÁGUA FRIA + QÁGUA QUENTE + QMETAL = 0 faça suas contas aqui CMETAL = ________________cal / g°C

6. Qual o significado desse resultado?



TÍTULO: Trocas de calor num calorímetro

1. Objetivos − Tomar, organizar e apresentar dados e resultados experimentais; − Compreender o que é um sistema termicamente isolado; − Aplicar o princípio de conservação da energia às trocas de calor num calorímetro; − Calcular quantidades de calor aplicando o princípio fundamental da calorimetria.

2. Introdução: Quando isolamos um sistema conseguimos analisar cada interação ou troca entre seus constituintes. É isso que você fará ao colocar duas “substâncias” num calorímetro. O calorímetro é um dispositivo que tem por finalidade isolar termicamente o sistema (os objetos em estudo). Ele não é ideal e toma parte nas trocas de calor que ocorrem em seu interior. Você vai calcular as trocas de calor que ocorrerão e com isso determinar a grandeza chamada capacidade térmica (C) relativa ao calorímetro determinado, assim, a participação do calorímetro no experimento. Material utilizado: (liste o material utilizado) Procedimento para observação e tomada de dados:

1. Coloque 90 ml de água, à temperatura ambiente, no interior do calorímetro. Tampe-o e aguarde dois minutos e meça a temperatura do conjunto calorímetro + água.

T0 AGUA FRIA = T0 CAL = _________°C Essa é a temperatura inicial do calorímetro e também da água que chamaremos de água fria. 2. Aqueça outros 90 mL de água até a temperatura de 70°C. Essa é a temperatura inicial dessa água que chamaremos de água quente. 3. Adicione essa água àquela que já se encontra no calorímetro, tampe-o e aguarde que o equilíbrio térmico seja atingido. Meça e anote essa temperatura que chamaremos de temperatura final (TF).

TF = ____________________°C Análise dos dados, resultados e conclusões:

4. Considere o princípio de conservação de energia aplicado às trocas de calor, no calorímetro e calcule a capacidade térmica do calorímetro. Utilize a equação fundamental da calorimetria para cada troca de calor (Q = m.c.∆T ou Q = C. ∆T).

Obs. Para que haja conservação de energia QCALORÍMETRO + QÁGUA FRIA + QÁGUA QUENTE = 0 Considere cÁGUA = 1 cal/g°C

faça suas contas aqui CCAL = ________________cal / g°C

5. Qual o significado desse resultado?



TÍTULO: Meios de propagação do calor

1. Objetivos Ao término destas atividades o aluno deverá ser capaz de:

− Identificar, comparar e classificar as formas de propagação do calor; − Concluir que o calor; para se propagar, necessita de uma diferença de temperatura entre as regiões de escoamento; − Concluir que o fluxo térmico sempre se verifica no sentido das temperaturas decrescentes.

ATENÇÃO: Verifique se a voltagem local confere com a indicada na lâmpada.

2. Fundamentos teóricos: “Quando existe uma diferença de temperatura entre duas regiões de calor, damos o nome de transmissão de calor. A transmissão de calor pode se efetuar de três maneiras distintas, designadas condução, convecção e irradiação, obedecendo, cada uma dessas formas, suas leis próprias” Condução: Nas atividades que se seguirão, observaremos que a chama de uma lamparina transmite energia térmica à haste metálica. Esta energia térmica, ao penetrar na haste, causa movimentos vibratórios que permitem um intercâmbio de energia cinética entre as moléculas, isto é, as mais energéticas cedem às menos energéticas. A transmissão de energia é feita de molécula a molécula, porém, sem o deslocamento de matéria. Constataremos o deslocamento desta energia pelas quedas sucessivas dos pinos de referência. Convecção: É a forma de propagação do calor próprio nos fluidos. Ao acendermos a lâmpada, a energia elétrica se transforma em energia térmica e luminosa, o ar (próximo à lâmpada) se dilata, diminui de densidade, enquanto que o ar frio, penetrando por baixo do sistema, ocupa o lugar deixado pelo ar quente. O fenômeno se repete formando as correntes de convecção, ou seja, as correntes ascendentes de ar quente e as descendentes do ar frio. Constataremos a formação destas correntes pelo movimento da ventoinha. Na convecção, a transmissão da energia térmica é feita de molécula a molécula, porém, com deslocamento da matéria. Irradiação: É um meio de transporte do calor de natureza eletromagnética. Qualquer corpo, com temperatura superior a zero grau Kelvin, irradia energia. Nesta atividade, o processo se baseia no fato de termos uma resistência elétrica que, ligada a uma tomada elétrica, produz irradiações na faixa do infravermelho. Estas irradiações, parte por incidência direta e parte por reflexões existentes no contorno do experimento, incidem sobre o bulbo do termômetro provocando a dilatação da coluna termométrica.

3. Atividades sobre condução: 3.1. Material necessário:

− um tripé (3); − cinco esferas; − fonte térmica (pode ser lamparina) − uma vela (cera)



− uma caixa de fósforos; − um conjunto demonstrativo para o estudo do calor – condução A − uma haste (4) − três sapatas niveladoras (opcional) (5).

3.2. Montagem

3.2.1. Fixe o conjunto A na haste (através do manípulo 1) 20 mm acima do pavio da lamparina. 3.2.2. Solte o manípulo 2 e gire a calha C de modo a deixar a canaleta para cima. Prenda, com cera de vela, as esferas metálicas nas regiões assinaladas na canaleta (procure usar o mínimo possível de parafina). 3.2.3. Torne a girar a calha (com as esferas presas com cera) para a posição da figura 1.

3.3. Andamento das atividades: 3.3.1. Ative a fonte térmica e aqueça a região extrema de A.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

ATENÇÃO: Após a queda das esferas, apague imediatam ente a lamparina com a capuchama.

3.3.2. Como você explicaria o fato de se introduzir energia no ponto A e as esferas se desprenderem, sucessivamente, nos pontos 1,2,3, 4 e 5 da calha?

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.3.3. Qual a função da cera e das esferas utilizadas neste experimento?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.3.4. Poderia a esfera 2 cair antes da esfera 1? Justifique a sua resposta.

____________________________________________________________________________________________________________________________



____________________________________________________________________________________________________________________________

3.3.5. Como se denomina esta maneira de o calor se propagar e qual a sua principal característica?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Meios de Propagação do Calor – Atividades sobre convenção: 4.1. Material necessário

− um conjunto demonstrativo da propagação do calor (1); − três sapatas niveladoras (2) – opcional; − uma ventoinha (3).

4.2. Montagem:

4.2.1. Monte o conjunto, conforme a figura 2, mantendo a chave desligada.

CUIDADO: Não permita, sob hipótese alguma, que os a lunos olhem para o filamento da lâmpada enquanto a mesma estiver em at ividade emissiva e, muito menos, utilizar este sistema para bronzeament o artificial.

4.2.2. Com a lâmpada desligada, verifique se a ventoinha encontra sobre o meio da lâmpada, caso contrário, ajuste o sistema de modo a consegui-lo 4.2.3. Torne a verificar se a tensão da lâmpada é compatível com a rede local.

4.3. Andamento das atividades: 4.3.1. Ligue a lâmpada, aguarde alguns minutos e comente o observado.

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.3.2. O que acontece à molécula de ar frio que se encontra próxima da lâmpada ligada e aquecida?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.3.3. Com base no Princípio de Arquimedes, justifique o movimento de subida da molécula aquecida.

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________



4.3.4. Procure justificar a causa do movimento da ventoinha. _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4.3.5. Como se denomina esta maneira de o calor se propagar e qual a sua principal característica?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5. Meios de Propagação do Calor – Atividade sobre i rradiação: 5.1. Material necessário

− uma fonte térmica do conjunto demonstrativo propagação do calor (1); − um termômetro até 100°C (2); − um retângulo de papel branco 15 x 25 mm; − um retângulo de papel carbono preto 15 x 25 mm; − fixador de mascar para termômetro (latex com abertura lateral) (3); − cronômetro ou relógio de pulso; − suporte de mesa para termômetro (4).

5.2. Montagem Execute a montagem conforme a figura 3, mantendo a chave desligada:

Figura 3 CUIDADO: Não permita, sob hipótese alguma, que os a lunos olhem para o filamento da lâmpada enquanto a mesma estiver em at ividade emissiva e, muito menos, utilizar este sistema para bronzeament o artificial.

5.3. Andamento das atividades: 5.3.1. Anote a temperatura inicial indicada pelo o termômetro.

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.3.2. Ligue a lâmpada por cinco minutos (cronometrados), desligue e anote a temperatura.

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.3.3. De onde veio a energia térmica capaz de provocar a elevação de temperatura no bulbo termométrico (indicada pelo termômetro)?

____________________________________________________________________________________________________________________________



5.3.4. Observe que a energia térmica cruza o espaço, inclusive o semivácuo do interior da lâmpada até atingir o bulbo do termômetro. Segundo suas observações você diria que as irradiações infravermelhas, de natureza eletromagnética, necessitam de um meio material para se propagarem?

____________________________________________________________________________________________________________________________

5.3.5. Como é denominada esta maneira de o calor se propagar e qual a sua principal característica?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5.3.6. Procure justificar a função da superfície espelhada existente na parte traseira da lâmpada?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Observe que esta maneira de o calor se propagar goz a da propriedade de reflexão semelhantemente à luz.

5.3.7. Cubra o bulbo do termômetro com o pequeno retângulo de papel branco e prenda-o com o fixador.

Mantenha as mesmas posições indicadas na figura 3. Anote a temperatura inicial. ______________________________________________________________

5.3.8. Ligue a lâmpada por cinco minutos (cronometrados), desligue e anote a temperatura final.

______________________________________________________________ 5.3.9. Retire a máscara do termômetro e o esfrie com um pano úmido. Seque o bulbo e coloque a máscara de papel carbono preto, procedendo como nos itens 5.3.8 e 5.3.9.

Qual o valor final indicado no termômetro? ______________________________________________________________

5.3.10. Segundo suas observações, qual a cor de tecido mais recomendada para vestuários em zonas de temperaturas elevadas? Justifique.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

6. Meios de Propagação do Calor – Atividade Opciona l: 6.1. Sugerimos uma atividade semelhante, porém com tecidos de cor branca, exemplo lã, linho, seda, etc. a fim de constatar qual seria o tecido mais recomendado para o uso no deserto.

capítulo 1 - programa.faap.brprograma.faap.br/1eb276.pdf · posição. o movimento é o que se...

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