1

CAPITOLUL 1 Numere naturale

1.1. Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraţie zecimal. Şirul numerelor naturale

1. 3003; 7802; 4000006; 9316; 400700450. 2. a) treisprezece milioane cinci sute patruzeci şi două de mii o sută; b) patru sute două mii şaizeci şi opt; c) un milion patru; d) optzeci şi nouă milioane şase sute mii opt sute nouă zeci şi patru; e) patru miliarde două sute zece milioane cinci sute opt zeci şi cinci mii. 3. 8321 şi 8323; 2001 şi 2003. 4. V, XII, XXVIII. 5. 23, 11, 2003. 6. 252 – 234 + 1 = 19; 1381 – 1345 + 1 = 37. 7. 442, 640, 12304, 1018; 8. 1000a + 100a + 10a + a; 100a + c; a 100000 + b 10.000 + c 10 + d; a 100 + a 10 + c. 9. a) 2, 3, 4, 5,…,20; b) 8, 9, 10,…, 17; c) 0, 1,…,10. 10. 12; 3. 12. 9188. 15. 5 soluţii. 16. 119 cifra 1; 38 cifra 4 şi 38 cifra 7. 17. 246. 18. b = 5. 19. 124, 421, 142, 241, 214, 412. 20. 106. 21. 24, 48,

96, 192. 22. 2 2100 ; 110, 420, 930abc bc bc a bc abc . 23. Numerele a; a + 1; a + 2;

(a + 1)(a + 2) – a(a + 1) = 52 2(a + 1) = 52. Numerele sunt: 25, 26, 27. 24. abcd ; 1 a <

< b < c < d; 1239, 1248, 1257, 1347, 1356, 2346. 25. Dacă a = 1, b = 9 1690 + cd – c =

= 1898 (fals). Dacă a 3 abcd abc ab a > 1898 a = 2 120bcd bc b

89b + 9c + d = 120 b = 1 şi 9c + d = 31 2134.abcd

1.2. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor

3. A(8); B(9); C(10). 4. M(4); N(5); P(8); Q(12). 5. 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24. 6. 19, 17, 15, 13, 11, 9…1. 7. 1352 < 1353; MMX > MMIX. 8. a) 235 780; 235 700; 235 000; 200 000. b) 42380; 42 400; 43 000. c) 29 340; 29 300; 29 000. 9. 48 280; 43 300; 48 290; 48 300. 10. a) 12, 13, 21, 23, 31, 32; b) 123, 132, 213, 231, 312, 321. 11. a) x 0, 1, 2; b) x 8, 9, 10, 11; c) x 4, 5, 6. 12. Dacă x = 1 6x – 2 = 2x + 2 = 4x. Dacă x > 1 2x + 2 < 4x; 4x < 6x – 2; Ordinea este: 2x + 2 < 4x < 6x – 2. 13. 13041. 14. x = 1 A(2); B(5); x = 2 A(4); B(8) x = 1. 15. a) 11, 12, 21, 13, 31; b) 78, 87, 79, 97, 89, 98, 96, 69, 88, 99. 16. a) b 0, 1, 2, 3, 4, 5; a 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 60 soluţii; b) b 7, 8, 9; a 0, 1,…, 9, 30 soluţii. 17. 114, 116, 118, 120,…,132 214, 216,…………..., 232 …………………….......... 914,………………….932 18. a 3 4a 12 b 3 3b 9 c 3 5c 15 4a + 3b + 5c < 36. 19. A = 211a + 121c + 112b; Cea mai mare valoare a lui A = 211 9 + 121 8 + 112 7 = 3651.

O A B

2

Cea mai mică valoare a lui A = 211 1 + 121 2 + 112 3 = 789. 20. A poate lua valorile 997, 979, 799, 988, 898, 889; B poate lua valorile 998, 989, 899. Soluţiile sunt: (997, 989);

(997, 899); (988, 899); (979, 899). 21. Dacă a 2 abcd bcd cd d 2110 + 110 + 10 > > 2000; dacă a = 1 100b + 15c + 2d = 500; b 3 A = 100b + 15c + 2d 453 < 500; b 5 A > 500; b = 4 15c + d = 100 d = 5, c = 6. 22. 131, 232, 333, 434, 535, 636, 737, 838 – 8 numere.

1.3. Adunarea numerelor naturale

1. 634; 3167; 1413. 2. 782 + 325 = 1107. 3. 10 soluţii. 4. a) (12 + 188) + (13 + 187) + (14 + + 186) + 200 = 800; b) (125 + 75) + (133 + 67) = 400; c) (11 + 89) + (64 + 36) + (92 + 8) + + 100 = 400. 5. a) x = 547; b) x = 6; c) x = 62; d) x = 245. 8. a) 1720; 1730; 1720; 1700; 1800; 1700. 9. a) 3y + 28 + 2x = 75; b) 6x + 8y + 38 = 114. 10. 820. 11. 85, 86, 87, 88, 89. 12. a) 2S = = 104 9 S = 468; b) 225; c) 2756. 13. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. 14. 198 + 23 = 221; 53 + + 376 = 429. 15. 123; 100a + 10b + c + 6000 + 100a + 10b + c + 1000a + 100b + 10c + 2 =

= 7478. 16. x = 95. 17. 37, 46, 55; 9 39 + 1 = 352. 18. 400 + 2b. 19. abc = 132. 20. 18n + 27 =

= (3n + 2) + (3n + 3) + (3n + 4) + (3n + 5) + (3n + 6) + (3n + 7). 21. 1000 cifre

11...111 . 22. 0 1

, ,120 115

x x

y y

… 25 perechi. 23. x(1 + 3 + 5 + … + 53) = 2187; x 272 = 2187 x = 3. 24. 100a + 10b + 2 + + 100c + 10d + 3 = 200 + 10b + a + 300 + 10d + c 99a + 99c = 495 99(a + c) = 495 a + c = 5; (a, c) (1,4); (2,3); (3,2); (4,1) ; b, d pot fi orice cifre 10 posibilităţi pentru

b; 10 posibilităţi pentru d, deci 4 10 10 = 400 soluţii. 25. ab cd = 117 şi ba dc = 180 10a + b + 10c + d = 117; 10b + a + 10d + c = 180; 10(a + c) + b + d = 117; 10(b + d) + a + + c = 180; a + c = 10; b + d = 17; (a, c) (1,9);(2,8)...(8,2);(9,1) ; (b, d) (8,9),(9,8) .

Numărul perechilor ,ab cd este 18. 26. a) 523 262 – 215 108 = 113806; b) 42 85 –

– 21 11 = 3339. 27. n 3 3 n. Adunăm n + 3 la ambii membri ai inegalităţii: 3 + n + 3 n + n + 3 n + 6 2n + 3; 3 n +2n 3 + 2n 3n. 28. a + b + c = 17 + 19 + 18 = 54.

1.4. Scăderea numerelor naturale

2. 913. 3. 5156. 4. 12025. 5. a) A; b) F; c) A. 7. c) 289; d) 340. 8. a) 830; 840; 840; 800; 900;

800. 9. 12650. 11. 6. 12. 405 – 363 = 42. 13. 6. 14. 120, 114, 48. 15. 4577. 16. 45xy yx ;

49; 38; 27; 16. 17. 9885; 18. 96; 85; 74; 63; 52; 41. 19. 2002. 20. x + y = 12 (x > y); 54; 36; 18. 21. a) A = (1002 + 1001 – 1000 – 999) + (998 + 997 – 996 – 995) + (6 + 5 – 4 – 3) + (2 + 1) = = 4 250 + 3 = 1003; b) B = (1000 + 999 – 998 – 997) + (996 + 995 – 994 – 993) + … + (4 + + 3 – 2 – 1) = 4 250 = 1000. 22. a – x = 20; b – x = 125; c – x = 240; 2050 – 3x = 385 x = = 555. Numerele sunt: 575, 680, 795. 23. 667. 24. a + b + c + d = 2345; a – c = 245; b + c + d = = 1832; a – d = 382. Numerele sunt: 513, 1433, 268, 131. 26. x = 3; y 1…9; z 0, …, 9; t 0…9.

1.5. Înmulţirea numerelor naturale

1. 210; 3570; 48036. 2. a) 1554 + 2412 = 3966; d) 37465. 3. a) 498; 13000. 4. 64 (20 5) (25 4) = 64 100 100 = 640000. 5. a) 45(103 + 81 – 22) = 45 162 = 7290; d) 16(25 + 15) – – 40 3 = 40(16 – 3) = 520. 6. y – z = 41. 7. 1260. 8. x = 4 sau y = 8. 9. 30 7 10. 10. a) 3(a + b) +

3

+ 14 = 3 25 + 14 = 89. 11. 2624. 12. b) 2 3 ab 7 = 42 24 = 1008; c) 24 24 4 = 2304. 13. 8100. 14. a) F; b) A; c) F; d) F; e) A. 15. 21 9 = 189 Aprox. 180; 190.

16. 15 25

24 53

a

b

360 < ab < 1325. 17. a) 1554 < 5760 (A); b) 1075 = 842 (F); c) 4032 >

> 20992 (F); d) F. 18. 10. 19. (1, 18); (2, 9); (3, 6). 20. a b = 1200; (a – 40) b = 800 b = = 10; a = 120; 21. b = 8a; 3a + 2b = 760; a = 40; b = 320. 22. a) 2460; b) 4970; d) 4302 0 = 0. 23. a) x(2 + 3 +…+ 60) = 5487 x 1829 = 5487 x = 3; b) x = 20; c) x = 2. 24. 2003(1998 + + 4) – 1001 4000 = 2003 2002 – 1001 2 2000 = 2002(2003 – 2000) = 6006. 25. 2x + 320 = = 42 35 2x = 1470 – 320 x = 575. 26. a) 148; b) 68; c) 2808; d) 54; e) 61. 27. a) a + b = = 30; b) 16; c) 9; d) 23. 28. a) 58; b) 30; c) 2. 29. 7(1 + 2 +…+ 43) – 3(1 + 2 +…+ 51) = 2644.

30. 2( ) 8

3 8

abc a b c a b c a

a b c bc

soluţii

(1,8) (3,1,8)

(2,4) (3,8,1)

(4,2) (2,2,4)

(8,1) (2,4,2)

sau 3

2( )

a c b

abc a b c

a + b = 3c Alte 4 soluţii. 31. Pentru n 2, n(10x + y) = 100x + y; 100x – 10nx = ny – y 10x(10 – n) = y(n – 1), n 10. Dacă n = 0, nu are soluţie. Pentru n 5, nu are soluţii (exem-plu: n = 2; 10 x 8 = y 1; y = 10 x 8). Pentru n = 6 y = 8, x = 1. Soluţie: (6, 1, 8). Solu-

ţii: (7, 1, 5); (9, 4, 5); 32. 2 2 1094

3 1460 1094

a b

b

a = 425

b = 122

. 33. 420 15

( 10) 270 28

a b b

a b a

.

34. a = 83; b = 48. 35. Calculăm de câte ori apare 5 în produs. Multiplii lui 5 de la 1 la 2004 sunt în număr de 400; Multiplii lui 25 de la 1 la 2004 sunt în număr de 80; Multiplii lui 125 de la 1 la 2004 sunt în număr de 16; Multiplii lui 625 de la 1 la 2004 sunt în număr de 3; Numărul de zerouri este de 499.

1.6. Ordinea efectuării operaţiilor. Utilizarea parantezelor rotunde, pătrate şi acolade

1. a) 71; b) 36; c) 2201; d) 82; e); 97; f) 2960; g) 109. 2. (183 + 45)(183 – 45) = 228 138 = = 31464. 3. a) 1462; b) 2310 – 136 = 2174; c) 624; d) 1146. 4. a) 51538; b) 53797; c) 934452; d) 437. 5. 2 64 + 3(216 – 27) = 128 + 3 189 = 695. 6. [5(46 + 28) – 20] 10 = 3500. 7. a = 226; b = 338, a < b. 8. a) 28 > 55 (F); b) F; c) 1396 = 1620 (F). 9. a (b + c) = 28; 7 (b + c) = 28 b + c = 4. 10. a) 1473 7 + 3192 2 = 10311 + 6384 = 16695; b) 15 614 + + 16 3 + 148 99 = 9210 + 48 + 14652 = 23910; c) (47 + 8 819)(13 + 88) – 325 = 666174; d) 102 48 = 4896. 11. a) 4704 > 348; b) 1896 < 17191; c) 12775 < 13323. 12. x = 1. 13. a + b = = 12 25 – 12 13 = 12 (25 – 13) = 144; 14. a + b = 2(1 + 2 +...+ 9) = 90; a + b < 200. 15. b (a – c) = 82 – 46 = 36; 16. a) 75; b) 50; c) 1800; d) 900. 17. a) (7 + 5) 3 + 2 – 2 (4 – 1) = = 36 + 2 – 6 = 32; b) (8 – 3) 5 + 13 – 17 – 9 = 12. 18. 2 (1 + 11 + 111 + … +

10 cifre

111...11 ); s =

= 1 + 11 + 111 + … + 10 cifre

111...11 ; 9s = 9 + 99 + 999 + … + 10 cifre

999...9 ; 9s = 10 – 1 + 100 – 1 +

+ 1000 – 1 + … + 10000000000 – 1; 9s = 11111111100; s = 1234567900; 2s = 2 1234567900; 19. a) 403; b) 184900; c) 3271; d) 677. 20. a) S1 = 6 (1 + 2 + 3 + … + 21) = 1386 par; b) S2 = = 632 = 3969 impar. 21. Nr. de cifre este: 1 + 1 + 2 + 3 + … + 8 + 2(9 + 10 + … + 13) = 147; b) cifra de pe locul 111 este 3. 22. 1 + 2 + 3 + 4 + … + 1000 = 500.500. 23. 100 + 11 + 100 + + 22 + 100 + 33 + … + 100 + 99 = 9 100 + 11 (1 + 2 + 3 + … + 9) = 900 + 11 45 = 1395;

4

b) 101 + 102 + … + 199 – (111 + 122 + 133 + … + 199) = 199 200 100 101

13952 2

19900 –

– 5050 – 1395 = 13455. 24. a = (3 – 2) + (5 – 4) + … + (2005 – 2004) = 1002 1 = 1002. 25. [n (n + 1)] : 2 < 2050 n(n + 1) < 4100 63 64 = 4032; 4032 < 4100; n = 63.

1.7. Ridicarea la putere

1. a) 85; b) 120; c) a2014; d) 25; 2. a) 14; b) 1; c) 112; d) 0; e) 2013; f) 6; g) 38; h) 203. 3. a) 338; b) 1143 – 1; c) 495; d) 5153; e) 320; f) 8127; g) 24010; h) 624. 4. a) 547; b) 3360; c) 2140; 5. a) 430; b) 1130; c) 1. 6. a) 284; b) 225 325 725; c) a2 b2 9. 7. a) 225; b) 965; c) 410. 8. n 2, 3. 9. a) 280; b) 16; c) 117. 10. a) 1; b) 6; c) 1. 11. 3. 12. U(1252003) = 5; U(3422004) = U(3425014) = = 6; U(6832005) = U(683501 4 6831) = (… 1 3) = 3; U = U(5 + 6 + 3) = 4. 13. x = 32; y = 625. 14. 3 109; 4 106. 15. a) x = 17; b) x = 2; c) x = 3; d) x = 311. 16. a) x = 1; b) x = 2; c) x = 5; d) x = 1. 17. A = x2003 1002; B = x2003 1002 A = B; 18. 2n (1 + 2 + 4) = 28 21002 2n = 21004 n = 1004; 19. Se grupează termenii câte 4. Fiecare grupă are ultima cifră 0. Suma are 2014 termeni. Rămân negrupaţi ultimii 2 termeni; U(32012 + 32013) = U(1 + 3) = 4 U(s) = 4.

20. a) 1; b) 612 257 + 322. 21. 1. 22. 21190 1 35 34 35ab ab ab ab ab .

23. 4x + 2y impar 4x impar sau 2y impar (x, y) (0, 6), (3, 0). 24. 6a + 6a 3b + 3b + 1 =

= 148 (6a + 1)(3b + 1) = 37 4 a = 2, b = 1. 25. a) 10 aa 99 a = 3 şi 27bc ; b) 100

aa 999 a = 4 şi 256bcd ; c) 1000 aa < 10000 a = 5 bcde = 3125; a = 6

bcde = 7776. 26.3 1

29

xx x y

xy

0

6

y

y

. Numerele sunt 10 şi 26; b) Numărul este

62. 27. ab+c + ab + ac + 1 = (ab + 1)(ac + 1) = 297 = 9 33; Nu putem avea b = c sau a = 1.

Numerele ab + 1 şi ac + 1 trebuie să fie impare şi deci a este număr par. Se obţine 235abc

sau 253.abc 28. a) 4n(1 + 4 + 42) = 1344 4n = 64 n = 3; b) 222a + 233b = 2133 = 2132 + 2132 = = 222 6 + 233 4 a = 6; b = 4.

1.8. Compararea puterilor

1. a) 103 < 105; b) 2103 < 2108; c) 815 > 513; d) 1423 > 1023; e) 083 = 0182; f) 11001 = 12000. 2. b) 432150 > 430140; c) 0111 < 1; d) 100125 < 100162. 3. a) 244 < 333; b) 6333 > 120111; c) 239 > > 313; d) 12145 = 1190; e) 27103 > 9150; f) 264 > 6410. 4. a) >; b) >; c) >. 5. 94, 37, 272, 35, 811. 6. 1251; 57; (625)2; 512; 524. 7. x = 0; 8. x 0, 1, 2, 3, … , 11. 9. a) x 0, 1, 2, 3; b) x 5, 6, 7; c) x = 4; d) x 0, 1, 2, 3; e) x 0, 1, 2, 3. 10. a = 28 + 321; b = 321 + 28; a = b; 11. 38 > 36; 281 > 212; 34 > 43. 12. 34, 28, 38, 2256. 13. Egalitate. 14. a) 225 > 153; b) 27 < 103 – 73. 15. a = 598(4 52 – 2 5 – 3); a = 598 87; b = 3100; a > b. 16. A > B. 17. a) x = 99; b) x = 4; c) x = 8. 18. 31830 < 41830. 19. 19683 – 2187 + 1 = 17497. 20. (371 – 1) : 2 > 273 : 2. 21. a) A = = (910)10 > (109)10 = B; analog, A < B. 22. Dacă a = b 143 < 2a+1 < 289 a = 7. Dacă a = 0 142 < 2b < 288 b = 8. Analog avem soluţiile (1, 8), (2, 8), (3, 8), (4, 8), (5, 8). Dacă b = 7 2a < 161 şi a 7 şi mai apar soluţiile (a, 7) unde 1 a 7. 23. n = m + a, a 2. Atunci 2m(2a – 3) = 4 m = a = 2 şi n = 4. 24. Fie a, b, c = 1, 2, 3; Apar următoarele cazuri:

5

a b c S

Observaţie: În mulţimea numerelor naturale distincte nenule, ecuaţia ab + bc + ca = 12 are 6 soluţii.

1 2 3 1 + 8 + 3 = 12 1 3 2 1 + 9 + 2 = 12 2 1 3 2 + 1 + 9 = 12 2 3 1 8 + 3 + 1 = 12 3 1 2 3 + 1 + 8 = 12 3 2 1 9 + 2 + 1 = 12

1.9. Pătrate perfecte

1. a) (250)2 p.p.; b) (347)2 p.p.; c) (1111)2 p.p.; d) 363 nu este p.p. 2. a) (92)27 = (927)2; b) (1239)2; c) (4315)2; d) (255)2. 3. a) (33)21 = 363 ; b) (35)25 = 3125; c) (27)37; d) (73)17; 4. a) Nu.; b) U(2179) = 8; U(5242) = 5; U(8 + 5) = 3 nu este p.p.; c) U(815) = 2 nu este p.p.; d) U = 7 nu este p.p.; e) U (8 + 4) = 2. 5. a) (8 25)2; b) (617 11105)2; c) nu este p.p.; d) (17 19)2; e) nu este p.p.; f) (222 3)2. 6. 222 = 484 < 500 < 529 = 232; c) 102 = 100 < 107 < 121 = 112; d) 392 = 1521 < < 1532 < 1600 = 402. 7. 125, 216, 343, 512, 729. 8. 33 + 43 + 53. 9. 82 + 92. 10. 100, 125. 11. U(A) = U(4 + 9 + 4) = U(17) = 7 nu este p.p. 12. 1382. 13. 121, 676. 14. 1003 + 1002 1003 = 10032. 15. 2(1 + 2 + … + 60) = 60 61. 16. 25 = 9 + 16; 52000 = 51998 52 = 51998(32 + + 42) = (5999 3)2 + (5999 4)2. 17. 35004(33 – 32 – 2) = (32502 4)2 p.p. 18. 2 + 21 + … + 23122 = = 23123. 19. Ultima cifră = 8. 20. 2422 < 242 243 < 2432; b) k2 < k(k + 1) < (k + 1)2; c) 10142 < < 1014 1015 < 10152. 21. 45 = 20 + 22 + 23 + 25; 26 + 25 + 23 + 22 + 2 + 20 = 111; 27 + 25 + 23 + + 22 + 2 = 174. 22. 23 + 33 + 43 = 99, a = 9. 23. 638 = 62 636 = 62(612)3 = (13 + 23 + 33) (612)3 = = (1 612)3 + (2 612)3 + (3 612)3. 24. U(7 + 4 + 5 + 6) = U(22) = 2. Nu este p.p. 25. Dacă n = = 4k U(24k) = 6 şi U(34k) = 1 U(6 + 1) = 7. Dacă n = 4k + 2 U(24k + 2) = 4 şi U(34k+2) =

= 9 U(4 + 9) = 3. 26. 2005 (1 + 2006 2004) = 20053. 27. p2 = n3 + n2, n = ab , p2 = n2(n + 1) n + 1 pătrat perfect n + 1 = 100 n = 99 p2 = 992 100 = 980100 = 9902. 28. 169 = = 132; 196 = 142; 961 = 312, a b c = 1 6 9 = 54. 29. A = 40n + 12; u(A) = (0 + 2) = 2 A nu este p.p. 30. Pentru n = 2a + 3 A = 22a+3 + 22a = 22a(23 + 1) = 22a 32 = (2a 3)2, p.p.

1.10. Împărţirea cu rest zero a numerelor naturale

1. a) 32; b) 95; c) 68; d) 48; e) 128; f) 369. 2. a) 35; b) 0; c) 148; d) 259; e) 31; f) 19; g) 28; h) 68. 3. a) 4; b) 6; c) 65; d) 51; e) 3; f) 125. 4. a) 46; b) 82; c) 40. 5. 58. 6. 14; 529; 850; 17; 14; 9. 7. a) 78; b) 182; c) 1508. 8. a) 64; b) 487. 9. a) 67; b) 230; c) 2; d) 13070; e) 44; f) 12. 10. a) 45; b) 75; c) 75; d) 94; e) 32; f) 16. 11. 250 lei. 12. 989. 13. a) 24; b) 254; c) 23; d) 42; e) 15; f) 201. 14. 40; 3; 33. 15. a) 2394 şi 7; b) 7524 şi 22. 16. x; x. 17. 9996 sunt 322 de numere. 18. 5 lei. 19. 1010. 20. a) 1070; b) 60944; c) 67. 21. 34104 : 4 = 8526. 22. 106038. 23. 38. 24. 1468. 25. a) 54 : 27 = 2; b) 5250 : 2625 = 2. 26. a) orice număr natural nenul; b) nu există număr natural nenul. 27. x1 + x2 + x3 = 1000 cel puţin un termen al sumei este par; x4 +x5 + + x6 + x7 = 1005 cel puţin un termen al sumei este par produsul celor 7 numere se împarte exact la 4 având cel puţin 2 factori pari. 28. a) 8446; b) 85; c) 2. 29. Notăm primul

număr cu abc , unde 1 a 8, 0 b, c 8. Notăm cu n, unde 100 n 999 al doilea număr.

Fie a + 1 = A, b + 1 = B, c + 1 = C. Avem abc n = 42435 şi ABC n = 80730. Avem

ABC n = [100(a + 1) + 10(b + 1) + (c + 1)] n = (100a + 10b + c) n + 111 n = abc n +

+ 111 n 111 n = 80730 – 42435 = 38295 n = 345; abc = 42435 : 345 = 123.

6

1.11. Împărţirea cu rest a numerelor naturale

1. a) 59; b) 84 rest 4; c) 323 rest 1; d) 233; e) 129 rest 3; f) 41 rest 2. 2. a) 142 rest 16; b) 31 rest 16; c) 89 rest 12; d) 172 rest 21; e) 780 rest 2; f) 57 rest 104. 3. a) 136; b) 351. 4. 153, 154 … 161. 5. 6, 12, 18, 24. 6. a) x = 396; b) 400; c) 4; d) 1; e) 300; f) 60. 7. 2025; 4039; 6053; 8067. 8. 336, 337 … 347. 9. 38 şi 9. 10. a = 811638; a = 2019 c, c = 402. 11. 999 = 83 12 + 3. 12. a) A; b) A; c) F; d) F. 13. r 0, 1, … , 6. 14. 417; 15. 220. 16. a = 137, b = 11; 17. 35 – 4 + + 1 = 32. 19. 63, 72, 81. 20. 223, 185, 18. 21. 9, 66, 219, 516, 1005, 1734, 2751. 22. a = 9 235 + + r; r < 9; Suma este 19071. 23. A = 15(x + y + 1) + 13; r = 13. 24. B = 2(6x + 5y + 8) + 1;

r = 1. 25. 82. 26. 9925. 27. 953. 28. 1014. 29. 74, 2. 30. 1 1

22

6 5 7 7 42 35

6 42 247 4 6

n c n c

n cn c

n = 42c + 11 n = 6 7c + 11 r = 11. 31. (1 + 4 + 42) + 43(1 + 4 + 42) + … + 42001(1 + + 4 + 42) = 21 + 43 21 + 46 21 + … +42001 21 = 21 (1 + 43 + 46 + … +42001). Restul împărţi-rii la 21 este 0. 32. n = 1955 c + c n = 1956 c; c = 0 n0 = 0; c = 1 n1 = 1956; c = 1954

n1954 = 1956 1954; S = 1956 (1 + 2 + … + 1954); 2S = 1956 2 1954 1955

2

2S =

= 1954 1955 1956. 33. a) D = Î C + R; D = 33R, Î = 2C = 4R, C = 2R R = 4, D = 33 4 = = 132, Î = 16, C = 8; b) D = 11 12. 34. Numerele sunt de forma n = 4a + 3 = 5b + 4 = 6c + 5;

n + 1 = 4(a + 1) = 5(b + 1) = 6(c + 1) = 60 m, m *; n = 60m – 1 cu 1 m 16. Suma

numerelor este S = 60 (1 + 2 + … + 16) – 16 = 8144. 35. Numerele sunt de forma 25 3a + a, unde a 24. Din 10 76a 999 1 a 13; Suma este: 76 (1 + 2 + … + 13) = 6916.

1.12. Ordinea efectuării operaţiilor (II)

1. a) 348; b) 3452; c) 531; d) 266. 2. a) 20; b) 598; c) 9; d) 34; e) 27347; f) 1. 3. a) 129; b) 71; c) 41; d) 4; e) 1088; f) 86; g) 4. 4. a = 288; b = 227; a > b. 5. a) 32; b) 200; c) 28; d) 5; e) 356 510; f) 64. 6. a) (579 ≠ 580) – F; b) 2323 – A; c) 83 ≠ 81 – F; 7. 592 = 3481. 8. 43 = 64. 9. 1921. 10. 2. 11. a = 9; b = 2; ab = 81. 12. a = 82; b = 19; c = 1; 263. 13. a) 3140; b) 1711; c) 155; d) 5. 14. (32000 5)2 p.p.; b) 34 p.p. 15. a) 8; b) 0; c) 241. 16. a) 38; b) 127; c) 2. 17. 17. 18. a) 31; b) 4; c) 50. 19. 8. 20. a) A (7n+3 = 7n+3); b) A (2n+5 = 2n+5); c) F (5n+3 ≠ 5n+2 24). 21. (2002 + 22) 13 = 26312; 363 nu este p.p. 22. A = 279; B = 5; 573. 23. A = 10; B = 8; B < A < C. 24. Generalizare. Numerele următoare au toate n cifre, iar a =

cifre

11...1n

; 33…32 +

+ 44…42 = (3a)2 + (4a)2 = (5a)2 = 55…52; 33…33 + 44…43 + 55…53 = (3a)3 + (4a)3 + (5a)3 = = (6a)3 = 66…63. 25. Avem 3 (3a + 2b + 4c) – 2(2a + 3b + 6c) = 3 47 – 2 58 a = 5. Obţinem 2b + 4c = 32 şi deci b + 2c = 16, iar a (b + 2c) = 80. Din b + 2c = 16 b + c = 16 – c care este maximă pentru c = 0. Atunci max(a + b + c) = 21. 26. a) 2x + 4x + 6x + … + 200x = = 2x (1 + 2 + … .+ 100) = 10100 x x = 5; b) (1 + 3 + 5 + … + 201) x = 1012 x x = 4. 27. 3 A = (10 – 1) + (102 – 1) + … + (10100 – 1) =

101 cifre

111...110 – 100 = 101 cifre

11...11010 A =

= 101 cifre

370370...37036770 . În scrierea lui A numărul 370 apare de 32 ori. Suma cifrelor lui A este

32 (3 + 7 + 0) + 3 + 6 + 7 + 7 + 0 = 343. 28. a = 5n; b = 401n; c = 2005n. Pentru n = 0 a = b = c. Pentru n 1 a < b < c; b) (ab – c)2005 = 0.

7

1.13. Noţiunea de divizor

1. a) A; b) A; c) F; d) A; e) F; f) A. 2. a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; b) 1, 5, 13, 65. 3. a) 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96; b) 214, 428, 642, 856, 1070; c) 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66; d) 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 240, 256, 272, 288; e) 382, 764. 4. 624, 650, 676, 702, 728, 754, 780. 5. 36, 72, 108, 144. 6. a) 2, 4, 8, 22, 64, 94, 100, 1010; b) 55, 100, 1010; c) 100, 1010; d) 100. 7. a) 380, 382, 384, 386, 388; b) 380, 385; c) 380. 8. 986. 9. 1107; 10. S = 2450. 11. x 2, 3, 4, 7, 10, 19. 12. 1 + 2 + … + 40 = 41 20; 41 41 20. 13. a) 22, 34, 46, 58, 70; b) 29, 45, 61. 14. x = 3(9a + 11b – 7c); x ⋮ 3. 15. a = 35 c + 15, a = 5 (7c + 3) a ⋮ 5. 16. 92 = 22 23; 6 divizori; 120 = 23 3 5; 16 divizori; 3500 = 22 53 7; 24 divizori. 17. 2 şi 42; 14 şi 30; 8 şi 36; 18 şi 26; 20 şi 24. 18. 9. 19. a + b = 11, b par 4392, 4374, 4356, 4338.

20. abc cab bca = 111(a + b + c). 21. A = 22n 3n (14 + 32 12) A = 22n 3n 122 A ⋮ 61. 22. 43 3 = 129; 43 23 = 983; S = 43 3 + … + 43 23; S = 43(3 + 4 + … + 23)

S = 43 273 = 43 91 3 91 S. 23. 3 3ab a b =1000a + 100b + 30a + 3b = 103(10a +

+ b) =103ab ; 3a 9; a 3; b 3; ab 33. 24. Pentru n = 2 avem A = 90 = 2 32 5 (impo-sibil). Pentru n = 3 avem A = 32 91 (imposibil). Pentru n = 4 avem A = 22 5 32 41 (imposi-bil). Notăm An = 9 + 92 + 93 + … +9n. Dacă n este impar, atunci An impar. Dacă n este par, avem 2 An. Atunci obligatoriu avem 4 An. Cum An + 1 = 9(An + 1) = 9An + 9 este impar. Nu avem soluţie. 25. Fie n = 80a. Din 100 80a 999 rezultă 2 a 12. Cum a trebuie să fie număr prim, rezultă a 2, 3, 5, 7, 11 şi atunci n 160, 240, 400, 560, 880. 26. Avem A = = 3n 4n + 1 5n (52 – 32 – 12) = 3n 22n + 4 5n. Cum 1800 = 23 32 52, avem 1800 A dacă 2n + 4 3, n 2. Obţinem n 2. 27. Fie n = 60a. Din 100 60a 999 rezultă 2 a 16. Trebuie determinat a care să aibă un număr maxim de divizori. Cum 2, 3, 5, 7, 11, 13 sunt numere prime, rămâne a 22, 2 3, 23, 32, 2 5, 22 3, 2 7, 3 5, 24. Numărul maxim de divizori îl are 22 3 (şase divizori). Atunci n = 720. 28. a) Din (k1 + 1)( k2 +1) … ( km + 1) = 15, m 1 k1 = 2, k2 = 4 n =24 32 = 144; b) (k1 + 1)( k2 +1) … ( km + 1) = 30, m 1 k1 = 1, k2 = 14 sau k1 = 2, k2 = 9 sau k1 = 4, k2 = 5 sau k1 = 1, k2 = 2, k3 = 4. Avem n = min(a, b, c) unde a = 24 32 5, b = 29 32, c = 25 34. Deci n = a = 720. 29. Deoarece (P1 + 1)(P2 + 1) … (Pm + 1) = 4, rezultă m = 1, P1 = 3 sau m = 2, P1 = P2 = 1. Numerele naturale sunt deci de forma n = p3

sau n = pq, unde p, q sunt numere prime. Ecuaţia 1 + p + p2 + p3 = 84 nu are soluţii în .

Ecuaţia 1 + p + q + pq = 84 este echivalentă cu (1 + p)(1 + q) = 84. Luând p < q, pentru (p, q) avem soluţiile (1, 41), (2, 27), (3, 20), (5, 13), (6, 11). Convine p = 5, q = 13 şi deci n = 65. b) Ecuaţia 1 + p + p2 + p3 = 156 are soluţia p = 5 şi deci n = 625. Ecuaţia (1 + p)(1 + q) = 156 nu are soluţii cu p şi q numere prime. 30. Avem n3 = 23a 33b şi deci (3a + 1)(3b + 1) = 7 19. Obţinem a = 2, b = 6 sau a = 6 şi b = 2 şi deci n 22 36, 26 32.

1.14. Media aritmetică a două numere naturale

1. a) 17; b) 36; c) 304; d) 219. 2. a) 11; b) 24; c) 31; d) 3x. 3. 504. 4. 24. 5. 5C. 6. 328. 7. 35. 8. 24. 9. a + b = 130; a = 4b a = 104; b = 26; 10. a = 4b + 2; a + b = 42 a = 34; b = 8. 11. 24. 12. 19. 13. ma = (242 + 243 + 3 248) : 3 ma = [242(1 + 2 + 3 26)] : 3; ma = 242 65. 14. (9 + 8 + x) : 3 = 9 17 + x = 27 x = 10. 15. 212 + 220 = 212 257 ; ma = (212 257 + 257) : : 2. 16. x = 6; 17. a + b + c = 375; a = b – 10; b = 2c c = 77; b = 154; a = 144. 18. 70. 20. a + b = 36; b + c = 44; c = 10b a = 32; b = 4; c = 40. 21. x = 26; y = 4; ma = 15. 22. a + b = = 46; ma = (11 46) : 2; ma = 253. 23. y = 2 x; z = x – 25; t = x + 75. Soluţia 1: x + y = z + t

8

3x = 2x + 50 x = 50 şi y = 100, z = 25, t = 125; ma = (50 + 100 + 25 + 125) : 4; ma = 75. Soluţia 2: x + t = y + z 3x – 25 = 2x + 75 x = 100, y = 200, z = 75, t = 175; ma .

1.15. Ecuaţii şi inecuaţii în mulţimea numerelor naturale

1. a) 7; b) 14; c) 8; d) 2; e) 5; f) 250. 2. a) 49; b) 22; c) 260; d) 4; e) 35; f) 4. 3. 11. 4. a) 6; b) 4; c) 4; d) 2. 5. a) x + 75 = 988; x = 913; b) 453 – x = 324; x = 129; c) 2x – x = 17 – 10; x = 7; d) x = 3. 6. 1275 + x = 1560; x = 285; 8. [(x + 148) 2 + 5] = 307; x = 3. 9. a) 11; b) 44; c) 1896. 10. a) x 0, 1, 2 … 20; b) x 0, 1 … 8; c) x 0, 1 … 14; d) 23, 24, … . 11. a) 18, 19 … ; b) x 0, 1, 2, 3; c) x3 23, x 0, 1, 2; d) 10, 11 … 12. a) 2x + 1 < 5 x < 2, x 0, 1; b) x 0, 1, 2, 3, 4; c) 3x – 15 + 1 < 2x – 6 + 5 –1 3x – 15 < 2x – – 6 + 4 +15 3x < 2x – 6 + 4 + 15 – 2x x < 19 – 6 x < 13; x 0, 1, 2 … 12; d) 5x + 11 > 10x + 6 1 > x x = 0. 13. a) x = 3; b) x = 9; c) x = 5; d) x + 15 = 54; x = 39. 14. a) 4; 15. 6. 16. a) 6; b) 9; c) 3; d) 3. 17. a) 23880; b) 4. 18. a) 14, 15 … ; b) x 0, 1, 2 … 8; c) x 3, 4, 5 … 9; d) x 0, 1 … 30. 19. a) x < 7; x 0, 1, … ,6: 0 şi 1 cuburi perfecte; b) x 66; 8, 27, 64 cuburi perfecte; c) x 0, 1, 2, 3; 0 şi 1 cuburi perfecte. 20. a) x = 3;

b) x = 2; c) 2. 21. a)3 1

1 7

x x

y y

; b)2 1

1 2

x x

y y

. 22. a) x 3, 4; b) x 1, 2.

23. a) x > 25 (6 nu este soluţie); b) x < 19 (6 soluţie); c) x < 7 (6 soluţie); d) x 39 (6 soluţie). 24. a) Pentru (n, x) avem soluţiile (1, 15), (2, 5), (3, 3). Dacă n 4 rezultă x 2. Ecuaţiile în n pentru x 0, 1, 2 nu au soluţie; b) Avem xn(x2 + 2) = 25 5. Dacă 5 xn 5 x şi nu avem

soluţie. Analog, nu avem soluţie dacă 5 x2 + 2. 25. Avem12 2 22 2

n n = 222

n

şi atunci

notând 22n

x , avem ecuaţia x(x – 1) = 256 255. Rezultă x = 256 şi apoi n = 3. 26. Avem n = = (10a + b) : ab n = 10 : b + 1 : a. Dacă b 2, 5 atunci a = 1. Dacă a = 1 rezultă b 1, 2, 5. Dacă a = 2 b = 4. Dacă a = 3 b = 6. Pentru a 4 nu avem soluţii. Avem deci

ab 11, 12, 15, 24, 36. 27. a) Dacă y = t = 0 x = 11. Dacă x = 0 t = 0 şi atunci y Ï ;

Dacă x ≠ 0, t ≠ 0 3y număr par (fals); b) 9n ( 1 + 3 + 27) = 31 81 n = 2; c) Avem 5xy = 7(5 – t), de unde t 5. Cum 5 5 – t t 0, 5. Dacă t = 0 xy = 7 şi pentru (x, y, t) avem soluţiile (1, 7, 0), (7, 1, 0). Dacă t = 5 avem xy = 0. Soluţiile sunt (a, 0, 5), (0, a, 5) unde a număr natural diferit de 0. 28. Presupunem x y z. Avem z 3. Dacă z = 3, avem x = y = 0. Dacă z = 2, atunci x2 + y2 = 5 şi x = 1, y = 2. Celelalte soluţii se obţin prin permutări. În total avem 6 soluţii.

1.16. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor

1. x = 28. 2. 5x3 = 2560 x3 = 512 x = 8. 3. x = 42, S = 209. 4. 0, 1, 2. 5. 12. 6. 140, 28. 7. 163 + 3x = 259 x = 32 Numerele sunt: 42, 56, 65. 8. a – b = 72; a = 3b 108, 36. 9. [(x + 25) : 3] 6 – 21 = 57, x = 14. 10. a b ab ab – 2a a + 3b 11. n 2n 3n 10n

25 6 150 100 43 1 2 3 10 23 4 92 46 35 2 4 9 100 32 15 480 416 77 3 8 27 1000 17 18 306 272 71 5 32 243 100000 7 128 2187 10000000 9 512 19683 1000000000

9

12. x + 140 = 283; x = 143. 13. 12x = 3x + 45; x = 5. 14. a + b + c + d = 548; b = a + 10, c = = a + 3, d = 2a + 15 a = 104; b = 114; c = 107; d = 223. 16. p + b = 75; 3p + 5b = 285 45 kg portocale; 30 kg banane. 17. B = 5 n; B + n = 90 n = 15; B = 75. 18. x lăţime; 2x + 6x 208; x 26; lăţimea cel mult 26 m; lungimea cel mult 78 m; Cel mult 624 m şi cel mult 104 stâlpi. 19. x preţ 1 costum 6 x = 1278 x = 213; 10 213 = 2130. 20. 15 g + 6 c = 69 15g + 6c = 69

5 g + 14 c = 71 3 15g + 42c = 213, Scădem relaţiile, 15g – 15g + 42c – 6c = = 213 – 69 36c = 144 c = 4 lei; g = 3 lei. 21. Notăm cu: a = camera cu un pat; b = camera cu 2 paturi; c = camera cu 3 paturi; a + b + c = 26; a 1 + b 2 + c 3 = 51; b = 3c; a + 4c = 26; a + 9c = 51; Scădem relaţiile c = 5, b = 15, a = 6. 22. a = nr. bancnote de 100 lei; b = nr. bancnote de 50 lei; c = nr. bancnote de 10 lei; d = nr. bancnote de 5 lei; a + b + c + d = 79; a = = 2d ; b = 15 + c; c = 2d + 4 7d + 23 = 79; d = 8; a = 16; c = 20; b = 35. 23. Numerele sunt 83 şi 187, S = 270. 24. 20 probleme. 25. a b 3a + b 3b – a

16 25 73 59 10 18 48 44 28 24 108 44

26. a) 30 elevi; b) 15 note; c) 10 elevi. 27. a)

Nume Vârsta Media Ana 14 10

Barbu 16 4 Carmen 13 7 Elena 12 8 Ion 11 9

Maria 15 6 Vasile 10 5

28. 3 ani; 29. a + b + c + d = 320; a = 4b; c = b – 20; d = b – c : 3 a = 200; b = 50; c = 30; d = 40. 30. b + c = 3a şi din a b c = 2(a + b + c) = 8a bc = 8. Avem soluţiile (3, 1, 8); (2, 2, 4); (2, 4, 2); (3, 8, 1). Din cazurile a + c = 3b şi a + b = 3c mai obţinem încă 8 soluţii. 31. Avem 1 1 9, D – R = C I = 15 = 15 1 = 5 3 = 3 5. Dacă I = 1 C = 15, R = 0, D = = 15. Dacă I = 3 C = 5 R 0, 1, 2. Dacă I = 5 C = 3, R 0, 1, 2, 3, 4 etc.

Problema are 9 soluţii. 32. Din ,abc n cba r r cba . Luăm n = 9 şi atunci avem

9 1 9 1 9b b r 901 + 10b = 981 + 90b + r (imposibil). Pentru n = 8 avem 901 + 10b = = 872 + 80b + r 70b + r = 29 (imposibil). Pentru n = 7 avem 901 + 10b = 763 + 70b + r

138 = 60b + r. Dacă b = 0, atunci r = 138 > cba = 109. Dacă b = 1, atunci r = 78; 911 =

= 7 119 + 78. Dacă b = 2, atunci r = 18 < 129cba . Cel mai mare cât este 7 şi numărul este

921. 33. Nu putem avea ambele numere de trei cifre deoarece 1 1 1 1abc mnp b n 202 > 171;

Dacă luăm 171abc mn şi 405,cba nm obţinem 71,bc mn a = 1, 10 404,cb nm

m = 4. Obţinem 31, 40bc n n cb şi deci c = b + 1, 11b + n = 30. Atunci b = 2, n = 8,

c = 3, Numerele sunt 123 şi 48. 34. În fiecare grup de 5 numere scriem în ordinea 5n + 1, 5n + 3, 5n + 5, 5n + 2, 5n + 4. Obţinem de exemplu: 1, 3, 5, 7, 9, 6, 8, 10, 12, 14, 11, 13, 15, 17, 19, 16, 18, 20. 36. t + m + f + fi = 71; t + f = 6fi; fi + m = 7f; 6fi + m + fi = 71; 6fi + 7f = 71; fi = fiica = 6 ani; f = fiul = 5 ani; t + 5 = 36; t = 31 ani; 6 + m = 35; m = 29 ani.

10

TESTE DE EVALUARE

Testul 1 1. d. 2. 0, 5. 3. 318. 4. 3769. 5. 2. 6. 3. 7. 48, 16, 23. 8. 484. 9. 135450.

Testul 2 1. 4010. 2. 102. 3. 28, 30, 32, 34. 4. 1, 2, 3, 4, 5. 5. 18. 6. 4095 = 63 65. 7. 1137. 8. 13 + 23 + 33. 9. x = 4.

Testul 3 1. 250. 2. 2n – 14 28 n 21 21 cel mai mic număr. 3. Câtul = 10a + b + 41, r = 0,

a, b cifre. 4. x = 8. 5. 134; 11( ) 134.ab ba a b 6. 159. 7. 1,8. 8. A = (6n+1)2 pătrat perfect.

9. 164 şi 83.

Testul 4

1. 11 91 10 11a b . 2. a < b; 3. 1. 4. N = 3 (67a + 37b + 7c). 5.100033 . 6. 18, 29. 7. 0, 1, 2. 8. 24,

28, 35, ma = 29. 9. Mama are 28 de ani, fiica 3 ani.

CAPITOLUL 2 Mulţimi

2.1. Mulţimi: desene, notaţii, element, relaţia de apartenenţă, cardinalul unei mulţimi

1. a) A = e; ; v. 2. a) b) c)

d) 3. a) E =1; 5; 7; 35; b) A; F; F; F; F; A. 4. a) card A = 5; b) card B = 3; c) card C = 9; d) card D = 3. 5. a) 9; b) 4; c) 9; d) 4. 6. a) 21; b) 41; c) 18; d) 3. 7. card A = card B = 6. 8. a) A = 0; 1; 4; 9; …; B = 0; 1; 8; 27;…; b) 46 = 4096. 9. a) A = 3; 8; 13; 18; 23;…; B = 2015; 2016; 2019; 2024; 2031,…; U(5m + 3) 3; 8; U(y2 + 2015) 5; 6; 9; 0; 1; 4. 10. a) 1; 2; 4; 5; 7; 8; card B = 1344; b) 1; 4; 16; card C = 30.

2.2. Relaţii între mulţimi. Submulţimi

1. a) 3; 3,5; 3, 4, 5; b) 5; 7; 4; 8; 3; 9; 3; 4; 5. 2. P(B) = ; 2; 4; 6; 8; 2; 4; 2; 6; 2; 8; 4; 6; 4; 8; 6; 8; 2; 4; 6;; 2; 4; 8;; 2; 6; 8; 4; 6; 8; 2; 4; 6; 8; card [P(B)] = 24 = 16. 3. a) A; b) A; c) A; d) F; e) F. 4. a) E = 2; 5; 8; 11; b) a 2; 11. 5. a) M = 0; 1; 4; b) a 0; 2. 6. a) 2; 7; 12;2; 7; 17; 2; 12; 17; 7; 12; 17; b) Q = 2; 7; 12; P(Q) = ; 2; 7; 12; 2; 7; 2; 12; 7; 12; 2; 7; 12. 7. A = = 7; 0; 1; 2; 5. 8. a) A = 0; 3; b) F; F; F; F; A. 9. a) M = 0; 5; N = 3; 4; 5; b) 6. 10. a) A = 0; 3; 6; 9; 12;…; B = 1; 4; 7; 10; 13;…; C = 2; 5; 8; 11; 14;… b) 0; 9; 36 A;

1; 4; 16; 25; 49 B orice pătrat perfect este de forma 3k sau 3k + 1, k .

B 0 1

2 4 3 6

5 7

8

A 0

1 2

4

3

5 6

7

C 0 1 2 4

3 5

C 0 1

2 4 3

5

11

2.3. Operaţii cu mulţimi

1. a) A B = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; A B = 0; 2; 4; 6; A \ B = 1; 3; 5; 7; B \ A = 8. 2. a) C D = a; b; c; d; e; f; i; o; u; C D = a; e; C \ D = b; c; d; f; D \ C = i; o; u. 3. E F = 1; 2; 3; 4; 7; 11; 15. 4. a) M N = ; b) M N = 0; 7; 0; 8; 0; 9; 2; 7; 2; 8; 2; 9. 5. a) A B = 0; 2; 4; 5; 6; 8; A C = 0; 2; 3; 4; 6; 8; B C = 0; 2; 3; 5; (A B) C = 0; 2; 3; 4; 5; 6; 8; b) A B = 2; A C = 0; B C = ; A (B C) = = 0; 2; c) A \ B = 0; 4; 6; 8; A \ C = 2; 4; 6; 8; B \ C = 2; 5; C \ A = 3. 6. A = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10; B = 1; 3; 5; 6; 7; 9; 11. 7. M = o; n; v; N = s; p; t; m; r. 8. a) A B =

= x x = 15t + 7, t ; b) card C = 2. 9. a) A = 210; 240; 270; 225; 255; 285; b) A B =

= 255; A B = 210; 240; 270; 225; 255; 285; 425; 595. 10. A B = 1; 2; 3; 4; 5; 9; A B = 2; 3; 4; A \ B = 9; B \ A = 1; 5; card (A B) = 20.

TESTE DE EVALUARE

Testul 1 1. x = 3; y = 2. 2. a) A; b) F; c) A; d) A; e) A. 3. a) M = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; N = 0; 3; 6; 9; b) M N = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; M N = 0; 3; 6; M \ N = 1; 2; 4; 5; N \ M = 9. 4. P = 5; 7; 3; 6; 9; Q = 5; 7; 4; 8. 5. Presupunem că A B x A şi x B, x = 5k + 3,

k U(x) 3; 8; x = n2 U(x) = U(n2) 0; 1; 4; 5; 6; 9 dar 3; 8 0; 1; 4; 5; 6;

9 = contradicţie A B = .

Testul 2 1. P(A) = ; 0; 1; 2; 0; 1; 0; 2; 1; 2; 0; 1; 2. 2. a) F; b) F; c) A; d) A; e) A. 3. C = 0; 1; 2; 3; D = 2; 3; 4; 5; C D = 0; 1; 2; 3; 4; 5; C D = 2; 3; C \ D = 0; 1; D \ C = 4; 5. 4. A B = 1; 2; 5; 7; A B = ; A \ B = A; B \ A = B. 5. Aplicând principiul includerii şi excluderii se obţine: 31 – 2 = 19 + 17 – x x = 7 12; 10.

CAPITOLUL 3 Fracţii

3.1. Fracţii ordinare

3.1.1. Introducerea noţiunii de fracţie. Fracţie ordinară

7. a)

1 3 5 7 9; ; ; ; .

9 9 9 9 9 b)

1 3 5 7 9 1 3 5 7 9; ; ; ; ; ; ; ; ;

1 1 1 1 1 2 2 2 2 2; c) 1 3 5 7 9 1 3 5 7 9

; ; ; ; ; ; ; ; ; .5 5 5 5 5 6 6 6 6 6

8. 6 6 6 7 7 7 2 2 2; ; ; ; ; ; ; ; .

7 2 6 6 7 2 6 7 2 11. a) 4; 10; 28; b) 15; 35; 55; c) 9; 36; 216.

13. i) 1 1 15 20

; ; ;60 3600 60 60

. ii) 1 1 3 240; ; ; .

24 1440 24 1440 iii) 1 1 1 1

; ; ; .12 52 365 2

14.

49 49 64 64 81 81; ; ; ; ; ;

64 81 49 81 49 64 15. 2 3 5 0, 5 . 2 3 3 5 3.Ax y y x y x y Avem

2 3x y 2130, 2430, 2730, 2235, 2535, 2835. Scrieţi fracţiile.

12

16. 5 6

5 6 116640 2 3 5116640 2 3 5

2 3 2 3y x y x

x 6, y 5. Deci x 0, 1, 2, 3, 4, 5,

6, y 0, 1, 2, 3, 4, 5. 17. a) x = 3; b) x = 5; c) x 0, 7; d) x 1, 4; e) x 3, 10. 19. a) n 1, 7; b) n 0, 1; c) n 0, 2; d) n 3, 13.

21. 3 2 . Din 200 2 1998n xyz xyz 3 3 36 12 6,7,8,9,10,11,12n n . Cum 2xyz

număr par avem n 6, 8, 10, 12. Deci 3 3 3 32 6 ,8 ,10 ,12xyz 108, 256,500,864xyz .

3.1.2. Fracţii echiunitare, subunitare, supraunitare

2. a) 0 1 2 3

, , ,4 4 4 4

; b) 4 2 3

, ,4 4 4

; c) 6 6 6 6 6, , , , ;

1 2 3 4 5 6. a) 12 6 8

; ; ; ;4 9

23

32; b) 17 201

;17 201

.

c) 100 9; ; ; ;

3 24 8

7. a) x 0, 1, 2, 3, 4, 5; b) x = 11; c) x 1, 2, 3, 4, 5, 6. 9. 15, 24, 2, 4,

20, 18,8; 10. 2 4

a) A , ; 5 5

2b) B

2

; c) C = 2 4 4 1 7 7, , , , ,

1 1 2 1 5 2

;

14. A 1, 2, 4,5 1,2, 4,5,12,15,20 ;

B 1, 2,4 0,1,2,4,5,7 1, 2,4 ; A B= 1,2, 4,5,12,15,20 ; A B= 1,2, 4 .

15. x 0, 1, 2, 3; x 1, 2, 3, 4; x = 0; x 1, x > 8.

16. A , .

17. a) x 0 şi x 2; b) x 3, 4, 5, 6,

7, 8. 18. 8 8 , ; 8 8 ,a a x x b b y y

8 40 5 , 4,1 ; 3, 2 ; 2,3 ; 1, 4a b x y x y x y . Avem:

, 32,8 ; 24,16 ; 16, 24 ; 8,32a b 32 24 16 8, , , .

8 16 24 32

19. 144 169

,14 16

.

20. 5 4 3 2 6 7 8 9

, , , , , , , .6 7 8 9 5 4 3 2

22. A = 1, 2, 3, 4; B = 0, 1; C = 2, 3; A B C = 0, 1,

2, 3 4; A (B C) = 1, 2, 3 4; B (A C) = 1; A – B – C = 4.

3.1.3. Aflarea unei fracţii dintr-un număr natural. Procent

1. a) 24; b) 100; c) 72; d) 56; e) 60; f) 400. 2. a) 30; b) 395; c) 1260; d) 195; e) 819; f) 720; g) 336. 3. 2100, 1920, 15,225, 1275, 37500. 4. a) 15; b) 72; c) 160; d) 7; e) 117; f) 567. 5. a) 90; b) 80; c) 72; d) 115. 6. 24. 7. 100 . 8. a) 6; b) 11; c) 43; d) 102. 9. a) 24; b) 56; c) 325;

d) 441. 10. 612 km; 714 km; 204 km. 12. 236 şi 177. 13. a) 300%; b) 40%; c) 32%; d) 28%. 14. 734 lei. 15. 320 lei. 16. a) 816; b) 556; c) 56. 17. 54. 18. 350. 19. 324. 20. x = 1000 şi y = = 400. 21. 594;14%; 946; 7%; 198; 2200. 22. a) 25%; b) 18 23. a) Pentru orice n

n2 + n + 3 > 0. F este supraunitară dacă 3 2F 4 3n n n n n3 – n2 – 5n – 3 > 0.

Notăm 3 2 5 3.N n n n n Pentru n 0, 1, 2 N(n) < 0, iar pentru n = 3 N(3) = 0.

Pentru n > 3 avem 223 2 1 3 1 0 , 4N n n n n n n n n ; b) n 0,

1, 2, 3, 4.

13

3.1.4. Fracţii echivalente. Amplificarea şi simplificarea fracţiilor

1. a) da; b) da; c) nu; d) da; e) nu. 2. 6 9 12 15, , ,

10 15 20 25. 3.

14 21 28, ,

8 12 16. 4. 35 70 105 140 175

, , , , ;15 30 45 60 75

7. cu 11. 8. 4. 9. 3 1 2 12 11 7 3 1 5 1; ; ; ; ; ; ; ; ; .

2 3 3 7 12 11 2 2 22 20 10. cu 12. Nu. 11. 36. 12. b) 35; c) 315;

d) 275; e) 357; f) 636. 13. 5 12 38 92 11; ; ; ; ;

2 17 15 25 101 14. Exemplu: 6 10 14 18 22 26

15 25 35 45 55 65 ;

17. 2 9 20 54 84, , , , ;

24 24 24 24 24 18. 20 25 30 35 40 45

, , , , ,32 40 48 56 64 72

; 19. 120 120 120 120 120, , , , ;

280 540 96 156 170

20. b) 9

24 şi

14

24; 5 12

c) şi ;75 75

3 8 35d) , şi

42 42 42; 28 15 22

e) , şi ;40 40 40

15 50 78

f ) , şi ;240 240 240

21. 45 48 51 54 57 60 63

, , , , , , ;105 112 119 126 133 140 147

22. 16 36 64

, , ;4 9 16

23. (224 24 12 4 3 7 4

, , , , ;8 6 14 7 9 5 1 5

24. 17 17 11 2 2

, , , , ;19 14 13 3 9

25. a) 21 24 27

, , ;72 72 72

b) 72 72 72 72 76 76 76 76, , , , , , , ;

24 44 64 84 24 44 64 84

c) 36 66 96

, , ;24 24 24

d) 14 34 54 74 94

, , , , ;51 53 55 57 59

e) 7520 7540 7560 7580

, , , ;700 700 700 700

26. a) C = 3 4 4 6 6 6

, , , , ,2 2 3 2 3 4

; b) D = 1 1 1 3 3 3

, , , , ,2 4 12 2 4 12

; c) E = 4 4 6 6

, , ,2 4 2 3

; d) F =

= 1, 3, 4, 9, 16, 48, 36, 24, 144. 27. a) 3 2 1

9 6 6 8 3 26 8 3

x yx y x y x y

x y

.

Cum x + y = 10 x = 4, y = 6; b) (x + 2)(y – 1) = 6 (x + 2)(y – 1) (1, 6); (2, 3); (3, 2);

(6, 1) (x, y) (0, 4); (1, 3); (4, 2). 28. a) 10

35; b)

6

9. 29. Dacă numărul de apariţii al gru-

purilor ab şi cd , respectiv abc şi def este n 2, avem:

abab....ab ab 1010.....01 ab

cdcd....cd cd 1010.....01 cd

şi respectiv abcabc....abc

defdef....def

abc 100100.....001 abc

def 100100.....001 def

. 30. a)

3

4; b)

1

4. 31.

1

11 3n. 32. 2.

33. a)

2 22

16 8 8 2 1

x xx x

x x

. Deoarece x şi x+2 sunt numere pare consecutive unul se divide cu

2, iar celălalt cu 4, deci x(x + 2) se divide cu 8 şi deci fracţia se simplifică cu 8.

34.

2 6 1 6 436 5 6 4 6 4 6 6 4 6 4.

5 6 5 55 6 1 5 6 1

n nn n n n n n

n n n

Deoarece U(6n + 4) 0; 5

A A = 1; 8; 44; ….

14

3.1.5. Adunarea şi scăderea fracţiilor ordinare care au acelaşi numitor

1. a) 4

7; b) 2; c)

3

2; d)

19

16; e) 18; f)

10

11; g) 2x; h)

32

y; 2. a)

17

13; b) 1; c)

3

2; d)

1

3; e)

1

2;

f) 11

8; g) 1; h)

9a

xy; i)

461

25; j)

110

2 6x. 3. a)

8

17; b)

4

7; c)

3

43; d)

1

26; e) 1; f)

1

3; g)

19x

a;

h) 2. 4. a) 4

11; b)

6

5; c) 1; d)

3

16; e)

2

3; f)

25

72; g)

10

33; h)

2a

b; i)

5

7; j)

19

9xy. 5. a)

23

5; b)

35

11;

c) 83

13; d)

444

42; e)

849

40; f)

167

17; g)

510

63; h)

125

8; i)

308

3; j)

4029

2. 6. a)

17

6; b)

24

9;

c) 2

513

; d) 24

425

; e) 12

1117

; f) 10

1421

; g) 1

565

; h) 1

118

; i) 1

323

; j) 25

34332

. 7. a) 8

3; b)

2

3;

c) 3

2; d)

4

5; e) 2; f)

5

4; g)

6

7; h)

7

11

a; i) 0; j)

3

11. 8. a)

6

8 şi

7

8; b)

8

10 şi

1

10; c)

6

35 şi

30

35;

15 8 44 21 25 93 15 22 21 4d) şi ; e) şi ; f) şi ; g) şi ; h) şi

32 32 48 48 66 66 12 12 72 72;

3 3

66 63 182 10i) şi ; j) şi ;

7 7 192 192

25 66l) şi

84 84. 9. a)

16 8

6 3 ; b) 1; c) 3; d)

4

3; e)

10

3; f)

3

2; g)

13

6; h)

17

12. 10. a)

1

2; b)

3

2; c)

3

4;

d) 17

12; e)

1

12; f)

13

12; g)

1

4; h)

11

12. 11. a)

5

8; b)

7

9; c)

1

6; d)

6

23; e)

1

12; f)

14

45; g)

13

18;

h) 23

100. 12. a) Exemplu:

1 9 8

4 4 4 . 13. a) 2; b) 1; c)

1

2; d)

11

9; e)

1

4; f)

7

11; g)

1

8; h)

13

36;

i) 1

81; j)

6

7

2. 15. a) 2; b) 4; c) 5; d) 7; e) 4; f)

4

3; g)

11

4; h)

5

3; i) 9; j) 4. 16. a) 22; b) 39;

c) 43; d) 191; e) 41

14. 17. a)

5

3; b)

1

5; c) 5. 18. a)

13

12; b) 1; c)

7

12; d)

25

44. 19. 4 zile. 20. 10; 5;

4. 21. Ora 12:00. 23. 7 3 4 1 1.

12 12 12 4 3 Fiecare copil primeşte câte o treime şi câte un sfert

de portocală. Deci trei portocale se împart în patru părţi egale şi patru portocale în câte trei

părţi egale. 24. n = x + y. 25. Fie 1 1

,2 2

x yx y

x y

, unde x y. Atunci 1 1 7

52 2 15

x yx y

x y

= 22

415

. Cum 15 = 3 5, din x + 2 = 3, y + 2 = 5 x = 1, y = 3 şi numerele sunt 2

13

şi 4

35

.

26. Se aduc fracţiile din membrul drept al egalităţilor la numitorul comun cel mai mic.

27. a) 49

100; b)

4

2015; c)

1005

4028; d)

82

83; e)

212

1275; f)

5049

5050.

28. 3 4 5 21 1 1 .... 1 0

1 2 3

a a a a n

b b b b n

2 2 2..... 0

2 3 3

a b a b a b

b b b

(a + 2 – b) M = 0, M 0 a + 2 – b = 0

b – a = 2. 29. S = 1.

15

3.1.6. Reprezentarea pe axa numerelor a unei fracţii ordinare. Compararea, ordonarea fracţiilor ordinare

2. 1 3 5 7 9 10 12 14 17 19 21

A ,B ,C ,D ,E ,F ,G ,H ,I ,J ,K ;6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6

5. 11 9

a) ;19 19

28 28b) ;

13 15

8 12c) = ;

6 9

2 1d) ;

97 43 202 61

e) ;63 19

17 67f ) ;

30 120 88 50

g) .91 51

6. a) A, b) A, c) F, d) A, e) F, f) F, g) A. 7. 2 3 5 9 10 14 23 30 31 79, , , , , , , , , .

17 17 17 17 17 17 17 17 17 17

8. 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29

, , , , , , , , , .2 5 9 13 18 21 28 47 71 107

9. 29

a) ;9 14

b)1 ;15

8 14c)2 ;

11 5 132

d)4 = ;33

21 31e)3 2

25 15 . 10. a) x 1, 2, 4; b) x 1, 2, 3, 4, 6, 12; c) x 1, 3, 9, 27; d) x 0, 8,

16, 24, 32; x 135, 150, 165, 180, 195, 210; f) x 0, 1, 2, 5, 11.

11. 4) 8)9 36 37 38 39 5 40

b) = .8 32 32 32 32 4 32

12. a) ;x z t y

n n n n b) .

n n n n

z x y t

15. b) 79

13; c)

55

6. 16. 5 <

46

9 < 6; 14 <

72

5 < 15; 9 <

102

11 < 10; 8 <

260

31 < 9; 4 <

143

28 < 6;

6 < 2014

315 < 7. 17. A =

2 3 4 5, , ,

6 6 6 6

; B = 2 3 4

, ,4 4 4

; C = 4 4

,3 4

. 18. a) x = 0; b) x 2, 5;

c) x = 7; d) x 11; x 0, 1, 2, 3, 7. 19. 321 324 327 321 324 327 321 324 327

, , , , , , , ,180 180 180 160 160 160 140 140 140

,

321 324 327, ,

120 120 120. Ireductibile sunt:

321 327 321 327, , ,

160 160 140 140. 20. a) x2 40 x 1, 2, 3, 4, 5, 6;

b) x(x + 1) 72 x 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; c) x 1, 2, 3, 4, 6; d) x > 47; e) x 1, 2, 3;

f) x = 1. 21. a) 7 15

5 14 ; b)

2 4

6 4

5 5

2 3 . 22. Fracţiile au forma

2 1

7 1

n

n

. Comparăm fracţiile 2 1

7 1

n

n

şi 2 3

7 8

n

n

201 199 7 5 3.

701 697 22 15 8 25. Obţinem 13 2n 423 2n 32 n 0,

1, 2, 3, 4, 5. 26. x y = 0. 27. Fracţiile au forma 2015 20151 2015.

nn

n n

Cum

2015 are 8 divizori avem card(A ) = 8. 28. Avem succesiv:

100100 10100.

x y zxyz x y z

x y z x y z x y z

A = 100 pentru 00xyz x .

TESTE DE EVALUARE

Testul 1

1. 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4

; ; ; ; ; ; ; ; ;2 3 4 5 3 4 5 4 5 5

. 2. x 3, 4. 3. 133 km. 4. 11

19. 5. a)

315 5

12 4 ; b)

1

2.

6. a) 8 3

15 5 ; b) x 1, 3, 7, 19 . 7. 400 lei; 150 lei; 250 lei.

4

16

Testul 2

1. 71 12 15

; ;23 11 13

. 2. x 1, 2, 3. 3. 1139 lei; 4. a) 2

3; b) 3. 5. a)

14

15; b) 1. 6. a)

2 33 1 2 5

12 4

;

b) (x, y) (6; 52); (10; 8); (16; 2). 7. 2520 fire, 1260 garoafe, 840 trandafiri, 360 orhidee.

TEZĂ LA MATEMATICĂ SEMESTRUL I

MODEL 1

Partea I 1. 32. 2. 5. 3. 125. 4. 1, 2, 4, 5, 10, 20. 5. 3020, 3120, 3220, 3320, 3420, 3520, 3620, 3720, 3820, 3920, 3025, 3125, 3225, 3325, 3425, 3525, 3625, 3725, 3825, 3925. 6. 0, 1, 2, 3, 4. Partea a II-a 1. a) 20; b) 37 350 = 12950. 2. 24. 3. 8. 4. 45, 19. 5. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 7 numere. Partea a III-a 1. 20152 pătrat perfect. 2. a + b + c = 348; b = a + 15; c = b – 3 a = 107; b = 122; c = 119. 3. d = 5r + 8, r < 4. Numerele sunt: 8, 13, 18, 23.

MODEL 2

Partea I 1. 345 > 344. 2. 121. 3. 6. 4. 154. 5. 698. 6. 31. Partea a II-a 1. 119. 2. 0, 1, 2, 3, 5, 11. 3. 48, 16. 4. 300. 5. a) 182; b) 3. Partea a III-a 1. 182 şi 34; 2. 2108 1 = (254)2 pătrat perfect. 3. 19, 38, 57, 76, 95.

17

Cuprins

CAPITOLUL 1. NUMERE NATURALE ......................................................................... 1 1.1. Scrierea şi citirea numerelor naturale în sistemul de numeraţie zecimal. Şirul numerelor naturale ...................................................................................................... 1 1.2. Reprezentarea numerelor naturale pe axa numerelor ................................................... 1 1.3. Adunarea numerelor naturale ....................................................................................... 2 1.4. Scăderea numerelor naturale ........................................................................................ 2 1.5. Înmulţirea numerelor naturale ...................................................................................... 2 1.6. Ordinea efectuării operaţiilor. Utilizarea parantezelor rotunde, pătrate şi acolade ..... 3 1.7. Ridicarea la putere ....................................................................................................... 4 1.8. Compararea puterilor ................................................................................................... 4 1.9. Pătrate perfecte ............................................................................................................. 5 1.10. Împărţirea cu rest zero a numerelor naturale .............................................................. 5 1.11. Împărţirea cu rest a numerelor naturale ...................................................................... 6 1.12. Ordinea efectuării operaţiilor (II) ............................................................................... 6 1.13. Noţiunea de divizor .................................................................................................... 7 1.14. Media aritmetică a două numere naturale .................................................................. 7 1.15. Ecuaţii şi inecuaţii în mulţimea numerelor naturale ................................................... 8 1.16. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor .......................................................... 8 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 10

CAPITOLUL 2. MULŢIMI ......................................................................................... 10

2.1. Mulţimi: desene, notaţii, element, relaţia de apartenenţă, cardinalul unei mulţimi .... 10 2.2. Relaţii între mulţimi. Submulţimi .............................................................................. 10 2.3. Operaţii cu mulţimi .................................................................................................... 11 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 11

CAPITOLUL 3. FRACŢII ........................................................................................... 11

3.1. Fracţii ordinare ........................................................................................................... 11 TESTE DE EVALUARE .................................................................................................... 15

TEZĂ LA MATEMATICĂ. SEMESTRUL I ........................................................... 16