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Capitolo 3
La torsione
Sollecitazioni semplici: la torsione
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Definizione
Un elemento strutturale è soggetto a sollecitazione di torsione quando su di
esso agiscono due momenti uguali ed opposti giacenti su un piano
perpendicolare all’asse longitudinale della trave.
In pratica, si può avere torsione anche se agisce una sola coppia allorquando
l’elemento è vincolato. Infatti alla coppia applicata, si oppone quella prodotta
dalla reazione dei vincoli
Dunque, in definitiva la trave risulta soggetta a due momenti uguali ed opposti (T e T’) normali all’asse longitudinale della struttura (in questo caso la
barra)
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Qualche esempio...
F l
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Alla coppia torcente T si oppone generalmente
quella prodotta dalla reazione dei vincoli.
In definitiva l’elemento risulta essere soggetto a
due momenti uguali ed opposti che tendono a
far ruotare una sezione rispetto alla precedente per
cui l’ultima sezione, distante “L” dalla prima,
risulterà ruotata di un angolo (Φ).
T= coppia torcente, L=lunghezza barra, G=modulo
di elasticità trasversale (per l’acciaio G=0.385 E) ,
Jp=momento di inerzia polare della sezione
Una generatrice del cilindro (AB) si deforma
secondo un arco di elica cilindrica poiché
l’estremo A si sposta in A’ .
Una fibra interna, parallela alla generatrice,
subisce lo stesso tipo di deformazione ma di entità minore poiché è più vicina al centro.
Deformazioni torsionali
p
TL
GJφ =
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Gli scorrimenti dei singoli punti di una generica sezione (normale all’asse) sono funzione della loro distanza dal centro e lo stesso potrà dirsi della tensione
interna che sarà di tipo tangenziale (τ), massima alla periferia e caratterizzata a
diminuzione con legge lineare sino al valore zero, che si ragiunge in
corrispondenza del centro.
Queste conclusioni sono esatte solo per sezioni circolari piene o cave, infatti, in
questi casi, le sezioni rimangono piane.
Sollecitazioni torsionali
Espressione generale
Valore massimo
� �� ∙ �
��
�� �� ∙ �
��
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Sollecitazioni torsionali
I momenti di inerzia polari per le sezioni
circolari piene e cave valgono
rispettivamente:
4
32p
DJ
π=
( )4 4
32p
D dJ
π −=
E quindi risulta per esempio per la sezione
piena:
( )max 4 3 34
32 16 52
2
32
tt t t
DM M D M M
D D DDτ
π ππ= = = ≈
�� �� ∙ �
��
Sezione piena Sezione cava
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Un esempio
Per l’albero cavo mostrato in figura, sottoposto ad un momento torcente pari a
2400 Nm, determinare
a) la massima tensione tangenziale
b) il diametro di un albero pieno nel quale la massima tensione tangenziale è
la stessa ottenuta al punto a)
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Nel corpo umano...
Il corpo umano si trova spesso soggetto all’azione di
sollecitazioni torsionali.
La colonna vertebrale, per esempio, consente di effettuare
movimenti torsionali, limitati dall’azione di muscoli e strutture
tendinee/legamentose.
Queste devono essere in grado di resistere alla sollecitazione
esterna, contrastandola con un momento torcente uguale e
contrario affinché sia ripristinato l'equilibrio.
Momento torcente massimo sopportabile in funzione del diametro dell’osso
Momento torcente massimo sopportabile in funzione della sezione resistente
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Nel corpo umano...
L’articolazione di ginocchio è frequentemente
interessata da traumi distorsivi provocati da eccessive
sollecitazioni torsionali.
Nei casi più gravi, si osservano lesioni dei legamenti
crociati, che sono quelli che assicurano la stabilità e la
rotazione dell’articolazione
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Un esempio…(corpo umano)
Fratture spiroidi da torsione
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Un esempio…(corpo umano)
Segmento scheletrico Momemto Torcente Terminale Tt (N m)
Angolo di frattura Φt (gradi)
Femore 100 1.5
Tibia 140 3.5
Fibula 12 35.7
Omero 60 5.9
Radio e Ulna 20 15.4
Vertebra Cervicale 5 38
Vertebra Lombare 44 15
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Un esempio…(corpo umano)
Frattura per torsione della tibia in uno sciatore
F
d
→→→→
Tt = 140 N m = F d
d = 1 m F = 140 N
φφφφt = 3.5°
360°
spostamento della punta di
100 cm 3.5°
2ππππ = 6.1 cm !!
(sgancio da allacciamenti di sicurezza)
Conversione gradi-radianti
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Altri esercizi
Nell’asta di ottone AB la tensione ammissibile è di 50 MPa, mentre per l’asta di
alluminio BC il valore scende a 25 MPa.
Sapendo che all’asta è applicato un momento torcente di 1250 Nm in A,
determinare i diametri necessari per le due aste.
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Altri esercizi
L’albero AB è costruito in acciaio con tensione tangenziale massima ammissibile
pari a 90 MPa, mentre l’albero BC è realizzato in alluminio, con tensione
tangenziale massima ammissibile pari a 60 MPa.
Sapendo che il diametro dell’albero BC è pari a 50 mm determinare
a) La massima coppia torcente che può essere applicata in A se non si deve
superare la sollecitazione ammissibile nell’albero BC
b) Il corrispondente diametro dell’albero AB
Alluminio
Acciaio
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Capitolo 3
La torsione
Sollecitazioni semplici: trazione-compressione
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Effetti di un carico di trazione
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Effetti di un carico di trazione
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Sforzi e deformazioni
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Sforzi e deformazioni
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Sforzi e deformazioni