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D. Kreps, Microeconomia per manager 1©2005 EGEA e Mario Gilli

CAPITOLO 21

La condivisione del rischio e la sua ripartizione su ampia scala: i mercati

dei titoli e delle assicurazioniIl concetto di baseI motivi per cui il rischio non è sempre ripartito su larga scalaLe scommesse correlate: i motivi per cui la seconda conclusione può non essere valida anche se la prima lo èL’allocazione efficiente del rischio


RIASSUNTO DELLA PUNTATA PRECEDENTEIl modello dell’utilità attesa, presentato nella scorsa lezione in termini descrittivi, è riformulato come ausilio decisionale di carattere normativo, utile a prendere decisioni migliori dinnanzi ai problemi che prevedono conseguenze incerte.Per utilizzarlo è fondamentale riflettere sulla desiderabilità della validità delle proprietà elencate a proposito delle vostre preferenze. Se concordate sulla desiderabilità normativa di tali proprietà, ne consegue logicamente che volete prendere decisioni conformi al modello dell’utilità attesa, data una particolare funzione di utilità.


Il problema si trasferisce quindi al calcolo della vostra personale funzione di utilità.

Utilizzando i più semplici giudizi possibili di questo tipo potete tracciare approssimativamente la vostra funzione di utilità. Esistono inoltre varie tecniche per definire con maggior precisione la funzione di utilità determinata in questo modo.


In alcuni casi le cinque proprietà non sono attraenti da un punto di vista normativo, perlomeno per applicazioni semplicistiche. Tali casi comprendono

1. le situazioni in cui si riscontrano problemi notevoli di rischi correlati (come i problemi di portafoglio) oppure

2. le situazioni nelle quali la dissoluzione temporale dell’incertezza riveste una certa importanza.


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE (1)Questa lezione fornisce la principale motivazione economica dell’esistenza dei mercati

1. azionari, 2. assicurativi e 3. a termine:L’idea fondamentale è che se si assume un rischio e lo si suddivide in parti, distribuendole a un numero elevato di persone (cioè se si cartolarizza il rischio), si abbatte considerevolmente l’avversione al rischio dei singoli soggetti che lo sostengono.


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE (2)Due precisazioni e un’estensione dell’idea:

1. esistono delle forze contrastanti che impediscono la completa condivisione del rischio, le principali sono la selezione avversa e il comportamento opportunistico;

2. anche nel caso in cui i rischi siano ampiamente ripartiti, il valore di ogni quota di rischio dipende dalla rischiosità che si aggiunge al portafoglio complessivo del singolo investitore;

3. per un dato rischio e una popolazione fissa di investitori, si pone il problema dell’efficienza allocativa del rischio.


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE (3)I mercati azionari, a termine e assicurativi rivestono un’importanza fondamentale per tutti i manager. Pertanto è imperativo, almeno per gli aspiranti manager, comprenderne la natura economica.

1. Qual è il ruolo economico svolto da tali mercati?2. In che modo creano valore?3. Quali fattori limitano questa capacità di creare

valore?Si tratta di questioni primarie nello studio della finanza. Senza alcuna pretesa di sostituire i corsi di questa disciplina, pensiamo sia ragionevole rispondere a queste tre domande.


ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE (4)I suddetti mercati svolgono diversi ruoli economici. I mercati finanziari costituiscono i mezzi attraverso cui le imprese ottengono liquidità per far fronte alle transazioni correnti, in attesa dei profitti che verranno realizzati in tempi successivi. In questa sede però ci concentriamo sul modo in cui tali mercati creano valore ripartendo il rischio su ampia scala.


Il concetto di base (1)ESEMPIO:Consideriamo una scommessa che prevede i premi ugualmente probabili € 50.000 e -€ 25.000. Il valore atteso è € 12.500, ma la probabilità di una perdita e le dimensioni della stessa sono considerevoli Di conseguenza, molte persone avverse al rischio la rifiuterebbero.Offrite questa scommessa a Jan MBA, che massimizza la propria utilità attesa con

xexU 0000211,042267,75859,12)( −−=


Il concetto di base (2)Jan calcola l’utilità attesa della scommessa:

1. il premio € 50.000 corrisponde al livello di utilità [10];2. il premio -€ 25.000 corrisponde al livello di utilità [0];3. quindi la scommessa ha l’utilità attesa (0,5)[10] +

(0,5)[0] = [5], corrispondente all’incirca al certo equivalente -€ 1.000;

4. se Jan non gioca la scommessa, egli ottiene il premio sicuro di € 0, cui corrisponde l’utilità (attesa) [5,1592].Pertanto Jan preferisce non giocare scommessa


Il concetto di base (3)Supponiamo invece che la scommessa preveda i premi ugualmente probabili di € 500 e -€ 250. L’utilità attesa di Jan può essere quindi calcolata pari a 5,1785, corrispondente al certo equivalente € 123,516. Pertanto, Jan accetterebbe volentieri questa versione ridimensionata della scommessa originale.Quindi Jan pur non essendo propenso a giocare da solo l’intera scommessa, sarebbe contento di giocarne una quota pari all’1 per cento. Come potrebbe liquidare il restante 99 per cento del rischio?


Il concetto di base (4)Una possibilità è trovare un gruppo di amici che, se caratterizzati approssimativamente dalla sua stessa avversione al rischio, sarebbero contenti di accettare ciascuno una piccola quota della scommessa. Non sarebbe meglio per Jan tenerne per sé una quota maggiore? Se Jan decide di distribuire porzioni di questa scommessa, fa i propri migliori interessi tenendone il 43,8 per cento circa, che gli fornisce il certo equivalente di € 2648.


Il concetto di base (5)Ma Jan distribuendo porzioni di questa scommessa regala un bene prezioso e quindi dovrebbe venderele porzioni di rischio. Se fissa a € 123 il prezzo di una quota dell’1 percento, qualsiasi persona caratterizzata dalla sua stessa funzione di utilità sarebbe disposta a pagare questo prezzo. Jan vendendo 99 azioni a € 123 l’una, ottiene un guadagno netto di 99 x € 123 = € 12.177, cui aggiungiamo il suo certo equivalente pari a € 123,516 per la quota dell’1 per cento che tiene per sé: nel complesso Jan ottiene € 12.300,516. Se pensiamo che stava per rifiutare la scommessa…


Una conclusione generale sui rischi di piccola entità (1)Solitamente un soggetto avverso al rischio ha un certo equivalente inferiore al VMA della scommessa A. Consideriamo tuttavia una percentuale di riferimento β inferiore al 100 per cento. A prescindere dall’avversione al rischio di un individuo, esiste una piccola frazione αtale per cui, se gli offriamo la quota a della scommessa, egli sarà disposto a pagare

α × β × VMA della scommessa.


Una conclusione generale sui rischi di piccola entità (2)Spieghiamo questa idea con l’esempio precedente. La Scommessa A sia la scommessa di Jan MBA. Jan propone: «Ti vendo una quota della mia scommessa pari ad α. In cambio ti chiedo un prezzo» Un’azione α ha il valore monetario atteso pari a € 12.500 × α e Jan è disposto a venderla al β per cento di € 12.500 × α. Secondo l’affermazione precedente, avendo l’obiettivo di recuperare il β per cento del VMA dell’azione venduta, Jan può trovare un’azione α maggiore di zero per la quale il soggetto sarà disposto a pagare il β per cento di € 12.500 × α.


Una conclusione generale sui rischi di piccola entità (3)Le dimensioni dell’azione α dipendono da diversi fattori: maggiore è il rischio, minore dovrà essere α. più β si approssima al 100 per cento, minore dovrà essere α. maggiore è l’avversione al rischio della persona cui l’azione viene venduta, minore dovrà essere α.Tuttavia, avendo stabilito β, Jan può vendere una parte della sua scommessa a un soggetto avverso al rischio per ottenere la percentuale β del valore monetario atteso dell’azione.


Una conclusione generale sui rischi di piccola entità (4)In un mondo affollato di potenziali investitori può vendere la sua scommessa quota dopo quota, sino a venderla interamente. Jan si ritroverà con una somma pari a β volte il valore monetario atteso dell’intera scommessa. A mano a mano che β si approssima a uno, Jandeve vendere azioni di dimensioni sempre minori a un numero sempre maggiore di persone. In teoria, tuttavia, può recuperare l’intero valore monetario atteso della scommessa.


La cartolarizzazione per diletto e quella a scopo di lucro (1)In generale, quando gli individui avversi al rischio si trovano dinnanzi a un rischio considerevole, possono migliorare la loro posizione suddividendo il rischio in parti da vendere ad altri soggetti, in modo da condividerlo. Ignorando per ora i costi di transazione associati al processo di cartolarizzazione del rischio e vendita delle azioni, la teoria suggerisce che qualsiasi scommessa ripartita in questo modo tra un numero elevato di persone assume per il proprietario originale un valore pari quasi al valore monetario atteso. Tale affermazione è vera anche se il proprietario è avverso al rischio. L’originale avversione al rischio è infatti ininfluente, perché alla fine né il proprietario né alcun’altra persona sosterranno una parte considerevole del rischio.


La cartolarizzazione per diletto e quella a scopo di lucro (2)I mercati finanziari sono una manifestazione di come si utilizza la condivisione per sconfiggere l’avversione al rischio. Quando i rischi prevedono premi attesi negativi, nascono i mercati assicurativi. ESEMPIO:una persona possiede una casa a rischio di incendio. l’abitazione può andare distrutta, per una perdita di € 200.000, oppure non bruciare; la probabilità di bruciare è pari a 0,001 in qualsiasi dato anno. Il VMA di questa scommessa per il proprietario è (0,001)(-€ 200.000) + (0,999)(€ 0) = -€ 200.


La cartolarizzazione per diletto e quella a scopo di lucro (3)Se il proprietario è avverso al rischio, il suo certo equivalente è un valore negativo molto maggiore. Acquistando un’assicurazione, paga un premio affinché la compagnia assicurativa si assuma il rischio della perdita se si verifica un incendio. La compagnia è disposta a sostenere tale rischio in cambio del premio in virtù della sua quasi neutralità al rischio, pertanto il premio la compensa abbondantemente del rischio che assume. La compagnia assicurativa è quasi neutrale al rischio perché lo ripartisce tra un numero elevato di azionisti.


La cartolarizzazione per diletto e quella a scopo di lucro (4)Una forma di condivisione del rischio meno ovvia riguarda i mercati a termine. ESEMPIO:Nel mercato a termine del grano, si può acquistare o vendere grano che verrà consegnato dopo qualche mese. Un cerealicoltore il cui raccolto sia ancora da mietere è soggetto a due tipi di rischi:

1. i rischi riguardanti direttamente il raccolto2. i rischi riguardanti il valore che il raccolto assumerà

quando verrà vendutoIl mercato a termine offre l’opportunità di “assicurarsi” controquesto secondo tipo di rischio, consentendogli di vendere una parte del raccolto in anticipo a un prezzo prefissato. Tale mercato consente anche agli acquirenti di grano di acquistare in anticipo assicurandosi contro il rischio di un aumento dei prezzi.


Questo è il messaggio principale del capitolo:

se ripartite un rischio in parti minime, sconfiggete l’avversione al rischio, e

in un mondo di rischi questo crea valore.


Conclusioni (1)1. i rischi dovrebbero essere ripartiti in misura tale da

impedire che un individuo avverso al rischio ne sostenga una porzione considerevole (se infatti qualcuno sostiene una parte considerevole di qualche rischio, vi attribuisce un valore minore del corrispondente VMA; ripartendo anche questa porzione di rischio, è in grado di catturarne l’intero VMA);

2. dalla prima conclusione deriva quindi che il valore di ogni scommessa per il giocatore iniziale coincide esattamente con il VMA, in quanto è questo il valore che la scommessa assume nel mercato una volta che viene cartolarizzata e distribuita


Conclusioni (2)Sarebbe tutto perfetto, se la seconda conclusione fosse valida. Dopo aver studiato nel dettaglio le funzioni di utilità, potremmo dimenticarcene e utilizzare i valori monetari attesi, a condizione di essere sicuri di cartolarizzare e diffondere il rischio su larga scala.Se osservate la realtà, vi accorgerete che anche la prima conclusione non è valida. Ad es. singoli investitori possiedono quote considerevoli di impresePerché la prima conclusione non è valida?In ogni caso, anche supponendo tale validità , la seconda conclusione non è proprio corretta.


I motivi per cui il rischio non è sempre ripartito su larga scala (1)La prima conclusione non è valida per diversi motivi

1. le opinioni in merito alla scommessa rappresentata da una data impresa possono differire.

Se Jan MBA ritiene che la scommessa gli porterà € 50.000 con probabilità 0,7 e € 25.000 con probabilità 0,3, mentre tutte le altre persone ritengono che le probabilità siano 0,5 e 0,5, Jannon può vendere le azioni a un prezzo superiore a € 125; tuttavia, a causa della sua previsione ottimistica, a questo prezzo vorrebbe tenerne per sé il 53,54 per cento


I motivi per cui il rischio non è sempre ripartito su larga scala (2)

2. anche se Jan convince tutti che la probabilità di realizzare € 50.000 è effettivamente 0,7 per riuscirci dovrebbe esporre le proprie idee a potenziali concorrenti, la cui attività potrebbe distruggerebbe la sua opportunità. Quindi Jan potrebbe essere disposto a sostenere parte del rischio anche se, vendendo parte delle azioni, otterrebbe un importo inferiore a quello che ritiene essere il loro valore pieno.

3. Tenendo per sé una porzione significativa del rischio, un individuo mantiene o acquista dei diritti di controllo. Tali diritti hanno un valore che potrebbe controbilanciare i guadagni derivanti dalla diffusione del rischio


I motivi per cui il rischio non è sempre ripartito su larga scala (3)

4. Alla cartolarizzazione sono associati dei costi di transazione.

Alcuni sono trascurabili per natura se non per entità, come

i costi di stampare i titoli finanziari, trovare i clienti e scambiare le azioni con il denaro.

A tali costi di transazione ordinari se ne aggiungono altri, considerevoli e meno ovvi: i costi di

1. selezione avversa e di 2. comportamento opportunistico.


I motivi per cui il rischio non è sempre ripartito su larga scala (4)ESEMPIO:siete avvicinati per strada da qualcuno che vuole vendervi azioni di una miniera d’oro: vi avverte che si tratta di un’impresa rischiosa e vi offre un prospetto informativo che vi consente di calcolare la probabilità dei vostri rendimenti. vi accorgete tuttavia che tale prospetto è incompleto; vi domandate pertanto se non possieda informazioni negative al riguardo. Infatti chi ha informazioni riservate negative è più propenso a vendere le proprie azioni, rispetto a chi ha informazioni positive. In altri termini, le miniere d’oro “vendute per strada” costituiscono probabilmente un esempio di selezione avversa rispetto a tutte le miniere d’oro.


I motivi per cui il rischio non è sempre ripartito su larga scala (5)Oppure dal prospetto informativo emerge che i rendimenti dell’impresa dipenderanno in misura notevole dall’impegno con cui egli si dedicherà allo sviluppo del prodotto. A questo punto vi domandate se, una volta venduta gran parte dell’impresa, questo individuo sarà motivato a impegnare il tempo e la fatica necessari affinché l’impresa abbia successo. Potrebbe prometterlo; ma è sufficiente una promessa? In questo caso vi trovate davanti a un esempio di comportamento opportunistico.


I motivi per cui il rischio non è sempre ripartito su larga scala (6)Riassumendo, possiamo individuare chiari motivi per cui la prima conclusione non è valida in determinati casi. E se la prima conclusione non è valida, allora la seconda non è corretta:

se un individuo avverso al rischio ne sostiene una porzione considerevole, la sua avversione costituisce un fattore importante nella determinazione del valore complessivo dell’impresa.


Le scommesse correlate (1)I motivi per cui la seconda conclusione può non essere valida anche se la prima lo èQuando un rischio nuovo viene condiviso tra un numero elevato di persone, si inserisce nel portafoglio dei rischi già posseduto delle persone.Immaginiamo un’istituzione centralizzata di condivisione del rischio, che possiamo chiamare NYSE o NASDAQ. Chiunque abbia un’impresa rischiosa può portarla a questa istituzione al fine di spartirla e distribuirlaTali imprese rischiose non sono necessariamente indipendenti.


Le scommesse correlate (2)Molte sono iniziative imprenditoriali caratterizzate dalla tendenza generale ad avere successo quando il sistema economico attraversa una fase positiva e a incontrare difficoltà quando il sistema economico subisce una recessione. Pertanto, quando consideriamo il portafoglio di rischi posseduto da qualsiasi persona e costituito da molte piccole iniziative, tale portafoglio presenta un qualche rischio complessivo o sistematico.Un nuovo imprenditore che voglia condividere parte del suo rischio si inserisce in questa situazione.


Le scommesse correlate (3)Se il nuovo rischio è indipendente dal rischio sistematico del portafoglio di tutte le persone, allora l’impatto marginale di una piccola porzione del nuovo rischio sul certo equivalente di ciascuno è pari approssimativamente al valore monetario atteso di tale porzione di rischio.

In questo caso la seconda conclusione è valida.Se invece il nuovo rischio offre un buon rendimento quando, in media, il bilancio degli altri rischi rende bene, allora anche una piccola porzione del nuovo rischio incrementa il rischio del portafoglio ed il suo valore incrementale non è pari al suo valore monetario atteso, bensì inferiore.D’altra parte, se il nuovo rischio è inversamente correlato al valore del portafoglio, allora il valore di una porzione di rischio può essere maggiore del corrispondente valore monetario atteso, in virtù dell’assicurazione offerta


Le scommesse correlate (4)CONCLUSIONE:la valutazione della condivisione di un dato rischio dipende dalla covarianza del rischio in questione con il portafoglio di rischio posseduto da tutti gli individui che lo condividono. Ai fini di questa valutazione non è appropriato considerare solamente l’utilità attesa, che ignora completamente i benefici derivanti dalla condivisione del rischio, né il valore monetario atteso.Quale valore occorre allora considerare? Secondo la teoria finanziaria moderna il valore di un’azione dipende dal suo rendimento atteso e dalla correlazione di tale rendimento con il portafoglio di mercato.


L’allocazione efficiente del rischio (1)Consideriamo John, Paul, George e Ringo I quattro si trovano dinnanzi alla seguente lotteria congiunta :

€ 1.000 con probabilità 0,1; € 2.000 con probabilità 0,2; € 3.000 con probabilità 0,3 - € 4.000 con probabilità 0,4.

Questa lotteria è il risultato di una iniziativa imprenditoriale associata cui essi partecipano oppure risulta dalla somma di lotterie giocate individualmente da ciascuno di loro.I quattro decidono di formare un sindacato per la condivisione del rischio, in base al quale condividono i proventi derivanti dalla loro lotteria congiunta.


L’allocazione efficiente del rischio (2)Quale regola di allocazione del rischio dovrebbero stabilire i quattro individui? Possiamo sperare che stabiliscano una regola di allocazione efficiente:

tale per cui non esistono altre regole che rendano ciascuno almeno altrettanto soddisfatto, né un soggetto (o più soggetti) strettamente più soddisfatto rispetto alla regola in questione.

Quando tutte le parti sono avverse al rischio può risultare difficile trovare regole di allocazione efficiente.


L’allocazione efficiente del rischio (3)CASO SEMPLICE: Ringo è neutrale al rischioSupponiamo che Ringo sia neutrale al rischio e che gli altri siano strettamente avversi al rischio. In questo caso, qualsiasi regola di allocazione efficiente del rischio offre a John, George e Paul quote costanti a prescindere dall’esito della lotteria, mentre Ringo assorbe tutto il rischio.In altri termini, secondo qualsiasi schema di allocazione efficiente,

John ottiene una quantità fissa di denaro Paul ottiene una quantità fissa di denaro George ottiene una quantità fissa di denaro Ringo ottiene il denaro rimanente

JyPy

Gy


L’allocazione efficiente del rischio (4)Devono negoziare le quantità ma qualsiasi schema che non offra le tre quote fisse attribuendo tutto il rischio a Ringo non è efficiente.Perché? Consideriamo una qualsiasi regola di allocazione del rischio che preveda che John sostenga parte del rischio: offriamo a John un pagamento pari al VMA della sua quota a prescindere dall’esito della lotteria prelevando tale somma da Ringo; contemporaneamente offriamo a Ringo la vecchia quota di John in aggiunta a qualsiasi somma avesse prima, cui sottraiamo il VMA della quota di John che abbiamo offerto a quest’ultimo. Poiché Ringo è neutrale al rischio, questo cambiamento non influisce sulla sua utilità attesa complessiva. La situazione di George e di Paul rimane inalterata. John invece è più soddisfatto


L’allocazione efficiente del rischio nel caso generale (1)E se nessuna delle parti è neutrale al rischio? Generalizziamo la situazione: il sindacato per la condivisione del rischio conta Imembri la funzione di utilità di i è Tutti sono avversi al rischio;

è strettamente crescente e differenziabile poiché è concava, è non crescente; poiché è strettamente crescente, è strettamente positiva in tutti i suoi argomenti.

'iU'iU

iUiUiU

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L’allocazione efficiente del rischio nel caso generale (2)Ipotizziamo che questo sindacato possegga un’iniziativa imprenditoriale caratterizzata dai premi complessivi

con le rispettive probabilità di occorrenza

gli apici indicano i premi.

Npp ,...,1

NYY ,...,1


L’allocazione efficiente del rischio nel caso generale (3)Una regola di allocazione del rischio per il sindacato è una serie di numeri gli apici indicano i premi mentre i pedici indicano i membri del sindacato, con i = 2, …, I e n = 1, …, N, dove è la quota o premio destinato al membro i, e il premio totale ammonta a La somma delle quote dovrebbe essere pari al totale, quindi per ogni n.

{ }niy

niy

nY

∑ ==

I

inn

i Yy1


L’allocazione efficiente del rischio nel caso generale (4)Una regola di allocazione è efficiente se e solo se, per ogni i e jcompresi tra 1 e I e per ogni m e ncompresi tra 1 e N

{ }niy

)(')('

)(')('

mjj

njj

mii

nii

yUyU

yUyU

=


L’allocazione efficiente del rischio nel caso generale (5)Perché?Si tratta della logica dei valori soggettivi usata per descrivere il comportamento del consumatore:

Consideriamo l’impatto marginale sull’obiettivo (massimizzare l’utilità attesa di i) e l’impatto marginale sul vincolo (mantenere l’utilità attesa di j a un dato livello costante) secondo la logica dei valori soggettivi, il rapporto di questi due impatti marginali nello stato n dovrebbe uguagliare il rapporto di tali impatti nello stato m, restituendoci esattamente la regola del rapporto dopo aver semplificato le probabilità al numeratore e al denominatore


RiepilogoSe ripartite il rischio di una scommessa distribuendone una piccola porzione a ciascuno di molti diversi individui avversi al rischio, ogni porzione – poiché rappresenta solamente una piccola quantità di rischio – assume per il suo possessore un valore quasi pari al suo valore monetario atteso (VMA). Il valore della scommessa quindi è quasi prossimo alla somma dei valori monetari attesi delle diverse porzioni, ossia corrisponde proprio al valore monetario atteso della scommessa iniziale.Il concetto che la diffusione del rischio crei valore costituisce la motivazione principale dell’esistenza di tutti i tipi di mercati finanziari e assicurativi.


Tuttavia, se le azioni sono correlate al portafoglio di rischio posseduto da altre persone, il valore delle azioni dipende da tale correlazione. In particolare, se le azioni sono direttamente correlate al portafoglio degli altri rischi, il loro valore è inferiore al VMA; se la correlazione è inversa, il loro valore è superiore al VMA. Se invece le azioni sono indipendenti dal portafoglio di rischi, il loro valore corrisponde al loro VMA. Una versione completa di questo concetto è fornita dal capital asset pricing model (CAPM), un pilastro della finanza moderna.


Esistono buoni motivi per cui è difficile diffondere tutti i rischi su ampia scala. Due delle ragioni principali (che affronteremo nelle prossime due lezioni) sono costituite dai problemi di selezione avversa e da quelli di comportamento opportunistico.Il problema generale dell’efficienza allocativa del rischio (ossia il problema di distribuire una data scommessa in modo efficiente tra un dato gruppo di persone) è piuttosto complesso. Tuttavia, quando una delle parti è neutrale al rischio e le altre sono strettamente avverse, è piuttosto semplice ripartire il rischio in modo efficace: la parte neutrale se lo assume tutto.

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