capitol ul 04

8/18/2019 Capitol Ul 04

1/42

Sorin VLASE 1

Capitolul 4

REDUCEREA SISTEMELOR DE FOR E

4.0. Considera ii generale

În cazul unui punct material regula paralelogramului permite înlocuirea oricărui sistem de fore care acionează asupra unui punctmaterial cu o foră unică, egală cu suma vectorială a tuturor forelor.Efectul mecanic al forei rezultante este acelaşi cu cel al aciunii tuturorforelor. Rezultă de aici că atunci când avem de-a face cu un sistem defore care acionează asupra unui punct material, nu ne interesează for ele care compun sistemul (numărul, mărimea sau direcia lor) ci doarrezultanta.

În cazul unui rigid, pe baza unui principiu care se traduce prinexpresia „fora este un vector alunecător”, vom vedea că în cazul unuisistem de fore este suficient să cunoaştem numai rezultantaşi momentulrezultant al unui sistem de fore pentru a cunoaşte comportarea mecanică a rigidului. Orice sistem de fore va fi redus într-un punct la o rezultantă

şi un moment rezultant care vor caracteriza complet starea mecanică aunui rigid. Acesta este motivul pentru care cunoaşterea acestor mărimişievidenierea unor proprietă i ale lor sunt tratate pe larg în orice curs demecanică.

4.1. For a este unvector alunec ă tor

No iunea de foră ca vector alunecătorapare ca urmare astudiului aciunii uneifore asupra unui solid. Calitatea unei fore de a fi reprezentată printr-unvector alunecător este extrem de importantă în mecanică şi reprezintă rezultatul experienei. În cele ce urmează ne vom limita studiul asupraefectului forei asupra unui rigid, o primă aproximaie în general valabilă

pentru orice solid. Să considerăm deci un corp (rigid) asupra căruiaac ionează o for ă F (fig.4.1). Dacă acum mutăm fora printr-o translaie

Fig.4.1

PDF Created with deskPDF PDF Writer - Trial :: http://www.docudesk.com

http://www.docudesk.com/http://www.docudesk.com/

8/18/2019 Capitol Ul 04

2/42

2 MECANICĂ. STATICA

de-a lungul dreptei definită de for ă, se va constata că efectul mecanicrămâne acelaşi. Dacă tragem sau împingem un corp cu aceeaşi for ă înaceeiaşi direcie, corpul se va mişca la fel.

Se numeşte suportul forei drepta definită de direcia forei şi careconine fora. Deci ne vom exprima spunând că fora poate luneca pesuportul ei f ără ca efectul mecanic asupra corpului să se schimbe.

4.2. Rezultanta unui sistem de for e

Să considerăm un sistem (S) de fore nF F F r

Krr

,, 21 (fig.4.2)ac ionând asupra unui corp. Suma tuturor acestor fore va da rezultanta

sistemului de fore(cap.2), care în reprezentare algebrică, se obine curela ia:

k Z jY i X F Rn

mm

n

mm

n

mm

n

mm

rrrrr

+

+

== ∑∑∑∑==== 1111

(4.1)

cu componentele:

∑=

=n

mm X X

1 ; ∑

=

=n

mmY Y

1 ; ∑

=

=n

mm Z Z

1 (4.2)

În scriere matriceală avem:

{ } ∑=

==n

mm

m

m

Z

Y

X

Z

Y

X

R1

(4.3)

Fig.4.2. Sistem de for e


8/18/2019 Capitol Ul 04

3/42

Sorin VLASE 3

Dacă se consideră reprezentarea geometrică, valoarea rezultantei estedată de relaia (teorema lui Pitagora generalizată):

),cos(2),cos(2),cos(2),cos(2),cos(2

11323211

3131212122

22

12

nnnnnn

n

F F F F F F F F F F F F

F F F F F F F F F F F Rrr

Krrrr

K

KrrrrK

−−++++

++++++=

iar în reprezentarea algebrică rezultanta poate fi obinută din:

( ) ( ) ( )2222 ∑∑∑ ++= lll Z Y X R (4.4)

4.2.Momentul for ei4.2.1. Momentul for ei fa ă de un punct

În capitolul anterior am văzut că în analiza unui sistem de punctemateriale, apre produsul vectorial dintre vectorul de poziie al punctuluide aplicaie al unei fore şi for ă. În cele ce urmează vom detaliacunoştiin ele legate de această mărime.

Fora fiind un vector alunecător, nu poate fi caracterizată numaiprin componentele ei (trei componente scalare) ci trebuie introduseşidate despre suportul forei. O cale de a face acest lucru este de a seintroduce noiunea de moment a forei.

Să considerăm o for ă F r

aflată pe suportul ei( )∆ .Se numeşte momentul for ei fa ă de un punct O produsulvectorial:

F xOAF M Orrr

=)( (4.5)

unde A este punctul deaplicaie al forei. Vom scrie pe scurt:

F xr M Orrr

= (4.6)

Din felul în care a fost definit momentul rezultă că este un vectorperpendicular pe foră şi pe vectorul de poziie al punctului de aplicaie

Fig.4.3. Momentul for ei fa ă de un punct


8/18/2019 Capitol Ul 04

4/42


al forei. Punctul O se numeşte originea sau polul momentului.Reprezentarea grafică a vectorului moment se faceinând seama demodul de definire a unui produs vectorial. El va fi perpendicular peplanul determinat de polşi suportul forei (fig4.3.). Deci momentul uneifore fa ă de un punct este un vector, de valoare egală cu

),sin( F r rF M Orr

8/18/2019 Capitol Ul 04

5/42

Sorin VLASE 5

Componentele vectorului moment sunt:

;;

;

yX xY M xZ zX M

zY yZ M

Oz

Oy

Ox

−=

−=

−=

(4.9)

Sub formă matriceală reprezentăm momentul cu ajutorul operatoruluiprodus vectorial:

{ } [ ]{ }F r yX xY xZ zX

zY yZ

Z Y

X

x y x z

y z

M M

M

M Oz

Oy

Ox

O =

−

−

−

=

−

−

−

==

00

0

(4.10) Aplica ie: Se dă o for ă F devaloare N F 6= careac ionează într-un punct B alunui corp de forma din fig.4.5. ,de-a lungul dreptei BE. Se ceresă se calculeze momentul acesteifor e în punctele Cşi O.

Soluie: Momentul forei F înpunctul C este dat de relaia:

F xCB M C rr

= . Expresia vectorială a forei F este dată de:

=++

=== BE

OE AO BAF BE BE F eF F r

rk jik i j

rrrrrr

+−−=+−−

2626

unde er este versorul vectorului BE care indică direcia şi sensul forei.Atunci:

jk k ji xiF xCB M C rrrrrrrr

−−=+−−== 2)2( Avemşi:

=+== F x ABOAF xOB M O

)(rr

jiik jk k ji x jirrrrrrrrrr

−=++−−=+−−+= 2222)2()2(

Fig.4.5. Aplica ie


8/18/2019 Capitol Ul 04

6/42


4.2.2. Modificarea momentului la schimbarea polului

Presupunem că ştim momentul unei fore calculat în polul O. Vremacum să determinăm momentul aceleiaşi fore în raport cu polul P(fig.4.6). Avem relaia:

OP M F xPOF xOAF xPOF xOAPOF xPA M rrrrrrr

+=+=+== )( (4.11)

sau:

F xPO M M OPrrr

+= (4.12)

Relaia, generalizată pentru unsistem de fore, va purta numelede Teorema momentului (vezi4.5).

Din relaia scrisă anteriorse observă că momentul varămâne nemodificat laschimbarea polului atunci când

acesta se mişcă pe o dreaptă paralelă cu suportul forei ( F OPr

).

4.2.3.Alunecarea unei for e pe suportul ei

Să vedem cum se modifică momentul dacă vom translata fora pesuportul ei. Avem relaia (fig.4.7):

OO M F x AAF xOAF x AAOAF xOA M

rrrrrr=+=+== ')'('

' (4.13)

întrucât F x AAr

' = 0 . Rezultă că momentul unei fore în raport cuun punct nu se modifică dacă translatăm fora pe suportul ei(fora este un vector alunecător).

Fig.4.6. Schimbarea momentuluila schimbarea olului

Fig.4.7. Transla ia for ei pesuportul ei


8/18/2019 Capitol Ul 04

7/42

Sorin VLASE 7

4.2.4. Determinarea suportului unei for e

Să considerăm cunoscute fora F r

şi momentul ei faă de un punct

O M

r

(fig.4.8), (avemF r

O M

r

=0). Ne propunem să determinăm suportulforei. Pentru aceasta, din ecuaia vectorială O M F xr rrr

= , trebuie să determinăm soluia r

r. Pe componente, relaia se va scrie:

;;;

Oz

Oy

Ox

M yX xY

M xZ zX

M zY yZ

=−

=−

=−

(4.14)

sau

=

−

−

−

Oz

Oy

Ox

M

M

M

z

y

x

Z Y

X X

Y Z

00

0

(4.15)Se constată uşor că determinantul

sistemului este zero:

00

00

=

−

−

−

Z Y

X X

Y Z

(4.16)

deci sistemul nu are o soluie unică. Sistemul poate fi compatibil

nedeterminat sau incompastibil. Dacă considerăm primele două ecuaiica ecuaii principaleşi se calculează determinantul caracteristic, seob ine că acesta este egal cu zero:

( ) 0)(00

==++=

−

−=∆OOzOyOx

Oz

Oy

Ox

c M R Z ZM YM XM Z

M Z Y

M X

M Z rr

(4.17)

Fig.4.8. Suportul unei for ei


8/18/2019 Capitol Ul 04

8/42


în virtutea faptului că momentulşi fora sunt doi vectori perpendiculari.Rezultă că avem un sistem nedeterminat de două ecuaii cu treinecunoscute. Geometric, cele două ecuaii reprezintă plane a cărorintersecie ne va da o dreaptă, care este suportul forei.

O altă metodă de determinare a suportului forei este ceavectorială. Astfel, dacă ecuaia vectorială:

O M F xr rrr

= (4.18)o înmulim la stânga cuF

r se obine:

( ) O M xF F xr xF rrrrr

= , (4.19)de unde, inând seama de regula de dezvoltare a dublului produsvectorial, avem:

O M xF F r F r F rrrrrr

=−2 . (4.20)Rezultă:

F F

r F F M xF

r Orr

rrrr

22 += (4.21)

Întrucât, în baza consideraiilor anterioare, am văzut că nu toatecomponentele vectoruluir

r sunt independente, se poate alege ca

parametru expresia:( )

2F r F rr

=λ (4.22)

şi obinem:

F F M xF

r Or

rrr

λ += 2 (4.23)

Ecuaia obinută reprezintă o dreaptă care are direcia forei şi trece prinpunctul de coordonate:

2F M xF

d Orr

r= (4.24)

Vectorul d r

reprezintă distana de la origine la dreaptă (esteperpendicular pe foră-provine dintr-un produs vectorial - decişi pedreapta suportşi în plus când λ = 0 va rezulta că extremitatea luiaparine dreptei). Deci suportul forei are ecuaia:

F d r rrr λ += (4.25)


8/18/2019 Capitol Ul 04

9/42

Sorin VLASE 9

sau pe componente:

;

;;

Z d z

Y d y

X d x

z

y

x

λ

λ λ

+=

+=

+=

(4.26)

Prin eliminarea parametruluiλ dreapta se poate puneşi sub forma:

Z d z

Y

d y

X d x z y x −=

−=

− (4.27)

Aplica ie: Se cunoaşte vectorul foră k jiF

rrrr+−−=

2 şi vectorulmoment dat de această for ă într-un punct O, ji M Orr

−= 2 . Se cere să sedetermine ecuaia dreptei suport a forei (fig.4.9).Solu ie: Ecuaia dreptei suport este:

( ) =+−−+

++

−

−−

=+= )2(121012121

2222 k ji

k ji

F F M xF r O

rrr

rrr

rrr

r λ λ

)65()2

31()

61()2(

652

λ λ λ λ ++−−−=+−−+++

= k jik jik ji rrrrrrrrr

sau, pe componente:;

61

λ −= x

;231 λ −= y

.65

λ += z Dacă se elimină λ seob ine ecuaia drepteisuport sub forma:

Fig.4.9. Determinarea suportului unei for e


8/18/2019 Capitol Ul 04

10/42


165

231

161

−

=−

−

=−

− z y x

adică o dreaptă care are direcia forei şi trece prin punctul decoordonate

65,

31,

61P . Se observă că am luat pentru foră şi moment

vectorii din aplicaia de la punctual 4.4. Ca urmare ar trebui să ob inemca soluie dreapta BE. Într-adevăr, se constată că punctele E(0,0,1)şiB(1,2,0) verifică ecuaia obinută.

4.2.5. Momentul for ei fa ă de o ax ă

Dacă momentul forei într-un punct este zero atuncişi proiecia lui peorice direcie va fi tot zero. Invers, dacă proiecia momentului pe treidirecii necoplanare este zeroşi momentul este zero. Acesteconsiderente au dus la introducerea noiunii de moment faă de o axă. Senumeşte moment fa ă de o ax ă proiecia momentului, calculat într-unpunct oarecare al axei, pe direcia axei. Deci, dacă pe axa ( )∆ considerăm un punct oarecare P (fig.4.10), atunci momentul faă de axă

pe care-l notăm ∆ M r

va fi dat de expresia:∆ M

r= ( P M

rur )u

r (4.28)

unde ur este versorul axei, iar valoarea

lui va fi:

∆ M = u M Prr (4.29)

Menionăm că momentul faă de o axă este un vector, reprezentând componentamomentului pe direcia axei considerate.

Să arătăm că definiia dată esteconsistentă. În definiie nu a fost precizat punctul de pe axă în care seface calculul momentului. Să luăm un alt punct Q pe axă (fig.4.9).Atunci avem relaia:

Fig.4.10. Momentul unei for e fa ă de o ax ă


8/18/2019 Capitol Ul 04

11/42

Sorin VLASE 11

( )( ) ( )[ ] ( ) ∆==+=

=+=

M uu M uuF xQPuu M

uuF xQP M uu M

PP

PQrrrrrrrrrr

rrrrrr )( (4.30)

deci rezultatul nu va depinde de punctul în care se va face calculul.inând seama că momentul faă de o axă provine dintr-un produs

mixt( )uF xr M r

rr=

∆ (4.31)el va fi zero când:

for a este paralelă cu axa ( vectoriiur şi F r

sunt paraleli ); for a intersectează axa (vectorii F xr

rr şi u

r sunt perpendiculari).Dacă α, β, γ sunt componentele versoruluiu

r pe cele trei axe ale

sistemului de coordonate, x, y, z componentele vectorului de poziie r r

şi X, Y, Z componentele forei F r , se poate scrie:

γ β α Z Y X

z y x

M =∆ (4.32)

În fig.4.11 prezentăm fora F r

descompusă după trei direcii, unaparalelă cu axa, cealaltă după direcia perpendicularei pe axă şicea de-a treia perpendiculară peprimele două. Din cele spuseanterior rezultă că primele două componente nu vor da momentfa ă de axă. A treia componentă

va da un moment faă de axă careva fi egal în valoare cu produsuldintre componenta respectivă şidistana la axă.

Calculul momentului faă deo axă poate fi uneori folositor înrezolvarea unor probleme destatică.

Fig.4.11. Identificarea componentei for ei care d ă momentul fa ă de ax ă


8/18/2019 Capitol Ul 04

12/42


4.2.6. Momentul unei for e fa ă de un punct în planMomentul unei fore fa ă de un punct P dintr-un planπ este un

vector care reprezintă momentul unei fore fa ă de o axă, perpendiculară pe plan în punctul respectiv (fig.4.12).

Dacă ur este direcia perpendiculară pe plan în punctul în carefacem calculul,r

r vectorul de poziie al punctului de aplicaie al forei,

avem:uuF xr M Prrrrr

=π ,

(4.33)

4.3. Momentul

rezultantPentru sistemul defore considerat, să calculăm momentulfiecărei fore şi apoisă le adunăm.Mărimea obinută prin această operaie poartă numele de moment

rezultant. Dacă notăm această mărime prin O M r

, avem:∑∑

==

==n

mmm

n

mOmO F xr M M

11

rrrr (4.34)

sau, pe componente:

.

;

;

1

1

1

∑

∑

∑

=

=

=

−=

−=

−=

n

mmmmmOz

n

mmmmmOy

n

mmmmmOx

X yY x M

Z x X z M

Y z Z y M

(4.35)

În reprezentare matriceală avem:

{ } ∑∑==

−

−

−

=

−

−

−

==n

m

mmmm

mmmm

mmmmn

m

m

m

m

mm

mm

mm

Oz

Oy

Ox

O

X yY x

Z x X z

Y z Z y

Z

Y

X

x y

x z

y z

M

M

M

M 11

0

00

(4.36)

Fig.4.12. Momentul unei for ea ă de un unct în lan


8/18/2019 Capitol Ul 04

13/42

Sorin VLASE 13

4.4. Torsorul de reducere al unui sistem de for e

Poartă numele de torsor al unui sistem de fore într-un punctansamblul format din rezultantă şi moment rezultant calculat în punctulrespectiv. Deci torsorul este o mărime compusă din doi vectori. El senotează cu )(S Oτ

r unde O reprezintă punctul în care se calculează momentul iar (S) reprezintă sistemul de fore.

Putem scrie:

=

O

O M

RS r

rr

)(τ (4.37)

sauT

OzOyOxO M M M Z Y X S ][)( Mr

=τ . (4.38)

4.5. Teorema momentului

Pentru sistemul de fore considerat cunoaştem torsorul(rezultantaşi momentul) într-un alt punct O. Ne propunem a determina torsorul într-un alt punct P (fig.4.12). Rezultanta va rămâne aceeaşi. Să vedemcum se modifică momentul:

( )

O

n

mmm

n

mm

m

n

m

m

n

m

mP

M R xPO

F xOAF xPO

F xOAPO

F xPA M

rr

rr

r

rr

+=

=+=

=+=

==

∑∑

∑

∑

==

=

=

11

1

1

sau: R xPO M M OPrrr

+= (4.39)

rela ie care poartă numele deteorema momentului .

Dacă scriem relaia anterioară sub forma:

Fig.4.13. O for ă reprezentativ ă a sistemului


8/18/2019 Capitol Ul 04

14/42


+=

=+

==

R xOP M

R

R xPO M

R

M

RS

O

OP

P

rrr

rr

r

r

rr

0

)(τ

se obine:

+= R xOP

S S OP rrr 0

)()( τ τ (4.40)

4.6. Invarian i ai sistemelor de for e

Indiferent de punctul în care se calculează torsorul unui sistem defore rezultanta va avea aceeaşi expresie, deci ea va reprezenta uninvariant al sistemului de fore.

Dacă scriem încă o dată teorema momentului:

R xPO M M OPrrr

+=

şi o înmulim la stânga scalar cu Rr vom obine:

R xPO R M R M R OPrrrrrr

+= (4.41)

Întrucât în produsul mixt R xPO Rrr

doi vectori sunt egali, acesta esteegal cu zeroşi rezultă:

OP M R M R rrrr = (4.42)

Rezultă că produsul scalar dintre rezultantă şi momentul rezultant esteacelaşi, indiferent de punctul în care se face calculul momentuluirezultant. Dacă scriem pe componente, se va obine:

OzOyOxO ZM YM XM M R ++=rr

. (4.43)


8/18/2019 Capitol Ul 04

15/42

Sorin VLASE 15

Această mărime, numită trinom invariant sau automoment, este aldoilea invariant al sistemelor de fore. Acesta se poate puneşi într-o altă formă pe care o prezentăm în continuare.

Dacă scriem produsele scalare pornind de la definiia lor se obine:

),cos(),cos( OOPP M R RM M R RM rrrr

= sau

),cos(),cos( OOPP M R M M R M rrrr

= , (4.44)rela ie care exprimă faptul că proiecia momentului pe direciarezultantei este un invariant al sistemului de fore:

P RO R M pr M pr rr = (4.45)

În consecin ă, un sistem de fore poate fi caracterizat prin doi invariani(rezultanta şi automomentul sau, echivalent, rezultantaşi proieciamomentului pe direcia rezultantei).

4.7. Axa central ă a unui sistem de for e

Teorema momentului ne arată că momentul se modifică în funcie depunctul în care se calculează. Să ne punem următoarea problemă:pentru care puncte din spaiuvaloarea momentului este minimă.Am f ăcut observaia că proieciamomentului pe direcia rezultanteieste o constantă. Rezultă că în oricepunct din spaiu vectorul momentva conine două componente: una după direcia rezultantei,

aceeaşi în orice punct dinspa iu;

a doua, variabilă, perpen-diculară pe ea(fig.4.14).

Să notăm aceste componente cu M

r şi

⊥ M r

. Valoareamomentului într-un punct P arbitrar ales din spaiu este:

4.14. Descompunerea momentelor


8/18/2019 Capitol Ul 04

16/42


2222222 xct M ct M M M P +=+=+= ⊥⊥ (4.46)

Momentul va fi minim în punctul în care⊥

= M x va fi minim, deci

când este egal cu zero, adică are doar componentă după direciarezultantei. Deci momentul minim, dacă există, va fi de forma

R M rr

µ =min . (4.47)

Dacă aplicăm teorema momentului pentru calculul momentului minimrezultant în P se obine:

R xr M R M M OPr

rrrrr

−=== µ min (4.48)

unde s-a utilizat relaia:r OPPO

r=−=

Dacă se înmuleste relaia scrisă, scalar, la stânga, cu Rr

se obine:

( ) OO M R R xr R M R Rrrrrrrr

=−=2

µ , (4.49) întrucât produsul mixt este nul. Rezultă valoarea scalarului µ :

2 R M R O

rr

= µ (4.50)

Se va putea calcula vectorul moment minim:

R R

R M R

R R M R

R M OOrrr

rrr

rr===

2min µ (4.51)

şi valoarea lui:

R M R

M Orr

=min (4.52)


8/18/2019 Capitol Ul 04

17/42

Sorin VLASE 17

Pentru a determina mulimea punctelor pentru care momentul ia valoareminimă vom rezolva ecuaia vectorială:

R xr M RO

rrr−= µ (4.53)

care scrisă pe componente ia forma:

Z yX xY M

Y yZ zY M

X zY yZ M

Oz

Oy

Ox

µ

µ µ

=+−

=+−

=+−

(4.54)

sau:

−

−

−

=

−

−

−

Oz

Oy

Ox

M Z

M Y

M X

z

y

x

X Y

X Z

Y Z

µ µ µ

00

0 (4.55)

Determinantul sistemului este nul:

00

00

=

−

−

−

X Y

X Z

Y Z

(4.56)

iar rangul este doi. În acest caz, dacă se consideră primele două ecuaiidrept ecuaii principale, determinantul caracteristic va fi:

=

−−

−

−−

=∆

Oz

Oy

Ox

c

M Z X Y

M Y Z

M X Z

µ µ µ

00

=−+−+−= )( 222 OzOyOx ZM Z YM Y XM X Z µ µ µ

=++−++= )()( 222 OzOyOx ZM YM XM Z Y X Z µ

[ ] 0222 =−=−= OOO M R R R M R Z M R R Z rr

rv

rr µ (4.57)


8/18/2019 Capitol Ul 04

18/42

8/18/2019 Capitol Ul 04

19/42

Sorin VLASE 19

Cu notaia:

2 R M x R

d Orr

r= (4.63)

se obine ecuaia axei centrale sub forma: Rd r

rrrλ += (4.64)

adică o dreaptă paralelă cu rezultanta ce trece prin punctul care arevectorul de poziie d

r. Se poate arăta că d

r reprezintă distana de la

originea sistemului de coordonate la axa centrală.În concluzie axa centrală a unui sistem de fore este o dreaptă

paralelă cu rezultanta. În toate punctele de pe această dreaptă sistemulde fore se reduce la o rezultantă şi un moment minim, colinear curezultanta. În toate celelalte puncte ale spaiului momentul se va mări, lavectorul moment minim adăugându-se o componentă perpendiculară,care va creşte cu depărtarea fa ă de axa centrală a punctului în care îlcalculăm.

4.8. Reducerea sistemelor de for e

A reduce un sistem de fore înseamnă a înlocui sistemul găsi cel maisimplu sistem de fore care să aibă acelaşi torsor cu sistemul dat. Putemdeosebi următoarele cazuri:

• 0= Rr

şi 0=O M .Torsorul de reducere este nul iar sistemul de fore este echivalent cuzero sau în echilibru. Forele care acionează asupra rigidului î şi facechilibru iar corpul se va comporta la fel ca atunci când asupra lui nu ar

ac iona nici o foră.• 0= R

r şi 0≠O M .

Sistemul este echivalent cu orice cuplu care acionează într-un planperpendicular pe O M şi al cărui moment să coincidă cu O M în sensşimărime: d F M O ⋅= .

• 0≠ Rr

şi 0=O M .Sistemul este echivalent cu o rezultantă unică aplicată în punctul de

reducere. Deoarece, în acest caz, momentul minimal este zero rezultă că punctul de reducere aparine axei centrale.


8/18/2019 Capitol Ul 04

20/42

8/18/2019 Capitol Ul 04

21/42

Sorin VLASE 21

k i

ik EC

BC EB EC EC

F eF F

rrrr

rr

252

5

52222

−−=−−

=

=+

===

k jii jk

EO AO BA EB

EO EO

F eF F

rrrrrr

rr

26

26

63333

−−−=−−−

=

=++

===

k ik i

OD ADOA

ODOD

F eF F rr

rrrr 2

62664444 +=

+=

+===

ji ji

AC OC AO

ODOD

F eF F rrrrr

+=+

=+

===2

225555

k k F F rrr

== 66 Rezultanta sistemului de fore este:

k ji Rrrrr

+−= Calculăm momentul fiecărei fore în punctul C:

;22)()2(111 i jk ji xk iF xCE F xCG M C rrrrrrrrrr −+=++=== 02 =C M

r ;

ik k ji xk iF xCE M C rrrrrrrrr

2)2()2(33 +−=−−−+== ;ik k i x jF xCO M C rrrrrrr

2)2(44 −=+−== ;05 =C M

r ;

i jk x jiF xCA M C rrrrrrr

+=+−== )(66

Momentul rezultant va fi:k ji M C rrrr

++−= 3 Torsorul de reducere al sistemului de fore în punctul C va fi:

[ ]T C 131111ˆ −−=τ

b) jk ji x jk ji

R xOC M M C Orrrrrrrr

rrr

3)(3 =+−+++−==+=

Torsorul de reducere în punctul O va fi:

ir j

r k r

1 1 1 02 -1 -2 03 -1 -1 -24 1 0 25 1 1 0

6 0 0 1Σ 1 -1 1


8/18/2019 Capitol Ul 04

22/42


[ ]T O 030111ˆ −=τ

c) 333min −=−=⋅=

R M R M O

rr

k jik ji

R R

M M rrr

rr

−+−=+−

−==3

3minmin

d) Ecuaia axei centrale este dată de relaia:

=+−+

−

=+= )(3

030111

2 k ji

k ji

R R

M x Rr O

rrr

rrr

rr

rλ λ

k jik jik i rrrrrrr

)1()1()(3

33λ λ λ λ ++−+−=+−+

+−=

sau, pe componente:

λ λ λ

+=

−=

+−=

1;;1

z

y

x

(forma parametrică aaxei centrale).Dacă se elimină λ sepoate obine ecuaia axeicentrale sub forma:

11

111 −

=−

=+ z y x .

În figura 4.17 sunt reprezentai torsorii de reducere în punctul Oşi C şiaxa centrală pentru acest sistem de fore.

Fig.4.17


8/18/2019 Capitol Ul 04

23/42

Sorin VLASE 23

4.9. Distribu ia momentelor în jurul axei centrale

În punctele de pe axa centrală momentul are valoarea minimă. În toatecelelalte puncte valoarea acestuia va creşte. Ne propunem să reprezentăm grafic distribuia momentelor în spaiu (fig.4.18).i) Să considerăm un punct P pe axacentrală. Într-un punct P' , aflat ladistana d de axă, momentul va ficompus din două componente: una egală cu momentul minimal şi cealaltă perpendiculară pe axă şi pe vectoruldistan ă. Teorema momentului ne va da:

R xPP M R xPP M M PPrrrrr

'' min' +=+= .

Să considerăm alt punct Q pe axacentrală. Atunci momentul sistemului defore calculat în punctul Q'(PP’=QQ’=d )va fi:

R xQQ M R xQQ M M QQrrrrr '' min' +=+=

Întrucât vectorii 'PP şi 'QQ sunt echipoleni rezultă că cele două momente sunt egale. Rezultă că to i vectorii moment care se găsesc pe odreaptă paralelă cu axa centrală sunt egali.ii) Dacă vom calcula valoarea momentului în punctulP' se obine:

( ) 222min222min222' ')'( Rd M RPP M R xPP M M PP +=+=+=

Rezultă că toate punctele situate pe suprafaa unui cilindru de rază d au aceeaşi valoare a momentului (simetrie cilindrică). Pe baza acestordouă rezultate se poate desena distribuia de momente ca în fig.4.17.

4.10. Teorema lui Varignon

Să considerăm un sistem de fore care se reduce într-un punct la untorsor astfel încât rezultanta este perpendiculară pe momentul rezultant.

Fig.4.18. Distribu iamomentelor


8/18/2019 Capitol Ul 04

24/42


Să notăm cu O punctul respectiv. Vom avea deci relaia: 0=O M Rrr

.În acest caz momentul minim, calculat într-un punct de pe axa centrală S este: 0min == M M S

rr.

Dacă vom aplica teoremamomentului pentru a calculamomentul rezultant într-unpunct P se va obine:

R xPS R xPS M M S Prrrr

=+=

(4.65)

adică putem spune că momentul rezultant este egalcu momentul rezultantei,aplicată într-un punct de pe axa centrală (enun care poartă numele deteorema lui Varignon).

4.11. Sisteme de for e echivalente. Opera ii elementare deechivalen ă

Dacă două sisteme de fore care acionează asupra aceluiaşi rigidproduc acelaşi efect mecanic, se zice că ele sunt echivalente. Pentrurealizarea unui sistem de fore echivalente (în general cât mai simple) sepot aplica o serie de operaii, numite operaii elementare de echivalenă.Ele sunt:

o for ă care actionează asupra rigidului poate fi deplasată pesuportul ei;

în sistemul de fore se pot introduce sau suprima două fore egaleşi de sens opus cu acelaşi suport (direct opuse);

mai multe fore concurente pot fi înlocuite prin rezultanta lor, sauo for ă poate fi înlocuită prin componentele sale.

Fig.4.19. Teorema lui Varignon


8/18/2019 Capitol Ul 04

25/42

Sorin VLASE 25

4.12. Sisteme particulare de for e4.12.1.Sisteme de for e concurente

Să considerăm un sistem de fore ale căror supori( ) ( ) ( )n∆∆∆ K,, 21 sunt concureni. Notăm cu V punctul de concurenă (fig.4.19). Momentul fiecărei fore înpunctul V este egal cu zero, decişimomentul rezultant în acest puncteste zero. Momentul minimal în Veste deci zero, de unde rezultă că acesta aparine axei centrale.Momentul în punctul O se poatecalcula, în acest caz, cu teorema luiVarignon:

R xOV M Orr

= (4.66)

Axa centrală va fi o dreaptă care esteparalelă cu rezultantaşi trece prin

punctul de moment minim, deci prinV. În acest caz ecuaia axei centralepoate fi scrisă sub forma:

ROV r rr

λ += (4.67)sau, pe componente:

Z z zY y y

X x x

V

V

V

λ λ

λ

+=

+=

+=

(4.68)

Prin eliminarea lui λ se poatepune sub forma:

Z z z

Y y y

X x x V V V −=

−=

− (4.69)

Fig.4.20. Sisteme de for e

concurente

Fig.4.21. Torsorul şi axa central ă a unui sistem de for e concurente


8/18/2019 Capitol Ul 04

26/42


Aplica ie: Pentru sistemul de fore din fig.4.22 să se determine torsorulde reducere în origineşi ecuaia axei centrale.

k ji jik

VA

VAF eF F

rrrrrr

rr2

6

261111 −+=++−

===

k jik ji

BV BV

F eF F rrrrrrrr

4226

2622222 +−=+−

===

k jik ji

CV CV

F eF F rrr

rrrrr

6336

2633333 ++=++

===

k ji jik

VDVD

F eF F rrrrr

8446

2644444 −−=−+−

===

k eF F

rrr

== 555 deci: k ji Rrrrr

+−= 210 .

Deoarece toate forele suntconcurente în punctul V rezultă că momentul rezultant în punctul V este zero. Rezultă torsorul dereducere în punctul O:

[ ]T V 0001210ˆ −=τ

Momentul în punctul O poate fi calculat cu teorema lui Varignon:

i jk ji xk R xOV M Orrrrrrrr

420)210(2 +=+−==

deci se va găsi în planulOxy. Torsorul de reducere în punctul O va fideci:

[ ]T O 02041210ˆ −=τ

Nr. ir jr k

r

1F r 1 1 -2

2F r

2 -2 43F

r 3 3 6

4F r

4 -4 -85F

r

0 0 1 R

r 10 -2 1

Fig.4.22


8/18/2019 Capitol Ul 04

27/42

Sorin VLASE 27

În punctul V momentul este zero, deci este momentul minim; rezultă că punctul V va aparine axei centrale. Cum aceasta este o dreaptă paralelă cu rezultantaşi trece prin punctul V ecuaia vectorială a ei va fi:

)2(210)210(2 λ λ λ λ λ ++−=+−+=+= k jik jik ROV r rrrrrrrr

sau, pe componente:

.2;2;10 λ λ λ +=−== z y x

Dacă se elimină λ se obine ecuaia axei centrale sub forma:

12

210−

=−= z y x

4.12.2. Sisteme de for ecoplanare

Presupunem că toate dreptelesuport ale unui sistem de fore sunt în acelaşi plan. Să presupunem că acest plan este planul xOy(fig.4.23). În acest caz o foră reprezentativă din sistem poate fiscrisă sub forma jY i X F mmm

rrr+=

iar rezultanta va fi: jY i X F R

n

mm

n

mm

n

mm

rrrr

+

== ∑∑∑=== 111

(4.70)

cu componentele:0;;

11

=== ∑∑==

Z Y Y X X n

mm

n

mm (4.71)

Momentul rezultant va fi dat de relaia:

=== ∑∑==

n

mmm

n

mOmO F xOA M M

11

r

k X yY x jY i X x j yi x mmn

mmmmmm

n

mm

rrrrr

)()()( 11 −=++= ∑∑ == (4.72)

Fig.4.23. For e coplanare


8/18/2019 Capitol Ul 04

28/42


cu componentele:

.

;0;0

1∑

=

−=

=

=

n

mmmmmOz

Oy

Ox

X yY x M

M

M

(4.73)

Rezultanta se află în planulforelor în timp ce momentulrezultant este perpendicular peacest plan. Deci momentulminimal este zeroşi, în acest caz, se poate aplica teorema lui Varignon.Momentul într-un punct oarecare al spaiului va fi egal cu momentulrezultantei, aplicată într-un punct al axei centrale. Pentru a determinaaxa centrală vom folosi forma:

000

==+−

==+−

==+−

Z yX xY M

Y xZ zX M

X zY yZ M

Oz

Oy

Ox

µ

µ µ

(4.74)

de unde, inând seama de componentele rezultanteişi ale momentului,rela ia a treia ne va da axa centrala:

0=+− yX xY M Oz (4.75)aflată în planul z = 0 , definit de primele două relaii.

Aplica ie: Se dă sistemul de fore în plan din fig.4.23.a. Să se determinetorsorul de reducere al sistemului în origineşi ecuaia axei centrale. Secunosc mărimile forelor N F 51 = ; ;12 N F = ;13 N F = N F 24 = ;

;55 N F = ;26 N F = N F 27 = .

Solu ie: Se determină expresiile vectoriale ale forelor:

ji ji

BG AG BA

F BG BG

F eF F rr

rrrr

252511111 +−=

+−=

+===

iieF F rrrr

=⋅== 1222 ; j jeF F rrrr

=⋅== 1333 ; jeF F rrr

2444 == ;

jii j HO

AO HAF HO HOF eF F rr

rrrr −−=−−=+=== 2

52555555

Fig.4.24.a


8/18/2019 Capitol Ul 04

29/42

Sorin VLASE 29

ji ji

CF EF CE

F CF CF

F eF F rrrr

+=+

=+

===2

266666

ji ji

HF

EF HE F

HF

HF F eF F

rrrr+−=

+−=

+===

2277777

Prin însumare se obine rezultanta : ji Rrrr

62 +−= Momentele date de fiecare foră se vor calcula cu relaiile:

k ji xiF xOB M rrrr

6)2(311 =+−== k i x jiF xOG M rrrr

2)22(22 −=+==

03 = M r

; k j xiF xOA M rrr

42244 === 05 = M

r ; k ji x jF xOC M

rrrrrr−=+== )(66 ;

k ji x jiF xOH M rrrrrrr

3)()2(77 =+−+==

Momentul rezultant se obine prin însumare:∑

=

⋅==7

110

iiO k F M

rrr

iar axa centrală are ecuaia: 0=+− yX xY M oz ;sau 02610 =−− y ;

53 +−= x y .

4.12.3. Sisteme de for e paralele

Considerăm că toate dreptele suport ale forelor sunt paralele întreele având versorulu

r

. Pentru prima parte a prezentării, pentru uşurinacalculului, considerăm că forele sunt paralele cu axa Oz (fig.4.25).Deci un reprezentant al forelor poate fi scris: k F F mm

rr= , relaie în care

mărimea mF reprezintă valoarea forei afectată de semnul plus dacă for a are aceeaşi orientare cu axaOz şi de semnul minus în caz contrar.Rezultanta va fi:

k F F Rn

mm

n

mm

rrr

== ∑∑== 11

(4.76)

cu componentele:

Fig.4.24.b


8/18/2019 Capitol Ul 04

30/42


∑=

===n

mmF Z Y X

1;0;0 (4.77)

Momentul rezultant este:

[ ]∑∑∑===

−=++==n

mmmmm

n

mmmmm

n

mmO jF xiF yk xk z j yi xF xr M

111)()()(

rrrrrrrrr

(4.78)cu componentele:

0;;11

=−== ∑∑==

Oz

n

mmmOy

n

mmmOx M F x M F y M (4.79)

Rezultă că vectorul moment rezultant se găseşte în planul xOy în timpce rezultanta este perpendiculară pe acest plan. Deci momentul minimal în cazul sistemelor de fore paralele este nulşi de aici rezultă aplicabilitatea teoremei lui Varignon.

Să determinăm ecuaia axei centrale. Dacă P este un punct de peaxa centrală, momentul sistemului în acest punct este:

R xOP M M OPrrr

−= (4.80)

Fig.4.25. Sisteme de for e paralele


8/18/2019 Capitol Ul 04

31/42

Sorin VLASE 31

Notând r OP r= şi cu mr r vectorul de poziie al forei mF

r, avem:

u xF r u xF r uF xr F xr M n

m

mm

n

m

mm

n

m

mm

n

m

mmO

rrrrrrrrr

==== ∑∑∑∑

==== 1111

(4.81)Avem deci:

uF xr u xF r n

mm

n

mmm

rrrr ∑∑==

−

=11

0

sau:

u xF r F r n

mm

n

mmm

rrr

−= ∑∑== 11

0

Deoarece produsul vectorial este nul rezultă că vectorul din paranteză este colinear cu ur , deci:

uF r F r n

mm

n

mmm

rrr1

11λ =

− ∑∑==

(4.82)

De aici rezultă că vectorul de poziie va fi:

uF F

F r r

n

mm

n

mm

n

mmm r

rr

−

=

∑∑

∑

==

=

1

1

1

1 λ (4.83)

Cu notaia:

−=

∑=

n

mmF

1

1λ λ (4.84)

se obine ecuaia axei centrale:

uF

F r r

n

mm

n

mmm r

rr

λ +

=

∑

∑

=

=

1

1 (4.83’)


8/18/2019 Capitol Ul 04

32/42


care reprezintă o dreaptă paralelă cu versorulur , ce trece printr-un punctfix C numitcentrul for elor paralele :

= ∑

∑

=

=

n

mm

n

mmm

C

F

F r

r

1

1

rr

(4.85)

cu coordonatele:

=

=

=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

n

mm

n

mmm

C n

mm

n

mmm

C n

mm

n

mmm

C

F

F z z

F

F y y

F

F x x

1

1

1

1

1

1 ;; (4.86)

Centrul forelor paralele are următoarele proprietă i:• se poate schimba direcia tuturor forelor cu acelaşi unghi,

păstrându-se punctele de aplicaie; axa centrală va trece tot prinC - întrucât coordonatele luiC nu depind de versorulur ;

• se poate multiplica mărimea tuturor forelor cu acelaşi factor k ,coordonatele centrului forelor rămânând aceleaşi:

C

mm

mmm

mm

mmm

mm

mmm

C r F

r F

F k

r F k

kF

r kF r

rrrr

r====

∑∑

∑∑

∑∑

'

• pozi ia centrului forelor paralele nu depinde de alegerea originiisistemului de referină. Într-adevăr, dacă O' este originea noului

sistem de referina şi dacă se notează OOr O '=

r

iar cu mr 'r

vectoriide poziie ai forelor în noul sistem de referină, avem:

=

+

=

+

=∑

∑ ∑∑

∑

mm

mm

mmOm

mm

mmOm

C F

r F r F

F

r r F r

rrrrr

)('

C O

mm

mmm

O r r F

r F

r

rrr

r+=+=

∑

∑


8/18/2019 Capitol Ul 04

33/42

Sorin VLASE 33

Vectorul de poziie al centrului forelor paralele se schimbă la felca vectorii de poziie mr

r , deci poziia lui relativă nu s-a modificat. Aplica ie. Se consideră sistemul de foreparalele din fig.4.26. Să se determinetorsorul de reducere al sistemului înorigine, centrul forelor paraleleşi axacentrală a acestui sistem de fore. Valorileforelor sunt: ;2;2;1 321 === F F F

;1;1 54 == F F 26 =F .Soluie: Avem(fig.4.26): k F

rr−=1 ;

k F rr

22 = ; k F rr

23 −= ; k F rr

−=4 ; k F rr

−=5 ;k F rr

26 = Rezultanta va fi:

k F Ri

i

rrr−== ∑

=

6

1.

Vectorii de poziie ai punctelor deaplicaie ai forelor vor fi, respectiv:

k r rr

31 = ; ir rr

=2 ; k j

ir rrr

32

3 ++= ; k jir rrrr

324 ++= ;2

35

k jir

rrrr

++= ;

jr rr =6 Vom calcula momentele în origine:

0111 == F xr M Orrr ;

jk xiF xr M Orrrrrr 22222 −=== ;

( ) i jk xk jiF xr M Orrrrrrrr

−=−

++== 2232333

;

( ) ( )i jk xk jiF xr M

O

rrrrrrrrr−=−++== 232

444 ;( ) i jk xk jiF xr M O

rrrrrrrrr−=−

++==

23

555 ;

( ) ik x jF xr M Orrrrrr

22666 === .

Momentul rezultant în origine este: ∑=

+−==6

13

iOiO ji M M

rrr

Torsorul de reducere al sistemului în origine va fi:

T O ]031100[ˆ −−= Mτ

Fig.4.26. Un sistem de for e paralele


8/18/2019 Capitol Ul 04

34/42


==

∑

∑

=

=

6

1

6

1

i

i

iii

C

F

r F r

rr

( )=

−

+

++−++−

++−+−

=1

22

33232

223)1( jk jik jik jiik rrrrrrrrrr

22726

12273 k jik ji

rrrrrr

++=

−

−−−

=

Axa centrală a sistemului de fore paralele se poate obine acum curela ia:k jik k ji Rr r C rrrrrrrrrr

−++=−++=+= λ λ λ 2273

2273 .

4.12.4. Sisteme de cupluri

Defini ie. Un sistem de dou ă for e egale şi de sens opus, care ac ioneaz ă pe dou ă suporturi diferite, se nume şte cuplu .

Un cuplu tinde să rotească un rigid în jurul unei axeperpendiculare pe planul definit de dreptele suport ale forelor (fig.4.27).Rezultanta cuplului este nulă ( R

r=0).

În ceea ce priveşte momentul unui cuplu, acesta se bucură deproprietatea de a fi un vector liber ( în general momentul unui sistemeste un vector legat, depinzând de punctul în care este calculat). Într-adevăr, dacă notăm cu O M

r momentul calculat într-un punct oarecareO,

aplicând teorema momentului, se va obine pentru un punctP :

OOP M R xOP M M rrrr

=+= (4.87)


8/18/2019 Capitol Ul 04

35/42

Sorin VLASE 35

Rezult ă că momentul unui cuplu nu depinde de punctul în care estecalculat, fiind un vector liber.

Dacă distana dintre suporii paraleli ai forelor ested (care se numeştebraul cuplului), mărimea cuplului se obine cu uşurin ă ca fiind:

M = bF (4.88)

Din această formulă se constată că momentul unui cuplu poate fiinterpretat ca fiind momentul unei fore a cuplului calculat într-un punctde pe dreapta suport a celeilalte fore care alcătuieşte cuplul.

Există o infinitate de cupluri care au aceleaşi momente. Acestesisteme se numesc echivalente (fig.4.28).

Planul care conine dreptele suport ale celor două fore se numeşteplanul cuplului.

Să considerăm acum două cupluri. Fiecare cuplu va da un moment,1 M

r

respectiv 2 M r

. Momentul rezultant va fi egal cu suma celor două momente(fig.4.29):

Fig.4.27. Cuplu de for e

Fig. 4.28. Cupluri echivalente


8/18/2019 Capitol Ul 04

36/42


21 M M M rrr

+=

În mod analog, dacă se consideră un sistemalcătuit din mai multe cupluri, momentulrezultant va fi egal cu suma vectorială amomentelor date de fiecare cuplu în parte:

∑=

>−−>−−

=n

iio M M

1

Un sistem de cupluri situate în diferite planuri, poate fi înlocuit cu un

cuplu unic numit cuplu rezultant. Se pot introduce două for e egaleşi desens contrar care să realizeze acest cuplu. Suporii celor două foretrebuie să se găsească într-un plan perpendicular pe momentul cupluluirezultant.

4.13. Sarcini distribuite şi centre de presiune

Să considerăm o for ă concentrată F r

care acionează asupra unui

corp. Corpul fiind aşezat pe planul orizontal, asupra lui va aciona ofor ă egală şi de sens contrar. Deoarece corpul se sprijină pe toată suprafaa lui pe planul orizontal, fora de reaciune nu va fi concentrată,ci va fi distribuită pe toată suprafaa S (fig.4.30); avem deci de a face cuo for ă distribuită. Dacă fora va apăsa constant pe toată suprafaa S ,măsura acestei apăsări va fi dată de presiunea p constantă pe toată suprafaa:

S

F p = . (4.89)

Dacă însă fora estedistribuită neuniform,presiunea p va fi o funciede punct, iar expresiagenerală a ei este:

dS

dF M p =)( (4.90)

Fig.4.29. Compunerea adou ă cupluri

Fig.4.30. Sarcini distribuite pesuprafa ă şi pe lungime


8/18/2019 Capitol Ul 04

37/42

Sorin VLASE 37

unde M este punctul în care se determină presiunea. Unitatea de măsură a presiunii este egală cu unitatea de măsură a forei supra unitatea demăsură a ariei.

Să considerăm acum că fora F acionează asupra unei bare,aşezate pe plan orizontal. Planul va răspunde cu o foră distribuită acărei măsură este dată de raportul dintre foră şi lungime. Deci, dacă for a distribuită este constantă, avem:

LF

p = (4.91)iar dacă distribuia este neuniformă, atunci avem:

dLdF

M p =)( . (4.92)

În probleme se caută a se înlocui întotdeauna o foră distribuită cuo fora concentrată, aşezată într-un punct care se va determina astfel încât efectul mecanic al forei concentrate să fie identic cu efectulmecanic al forei distribuite. Deci forele distribuite vor fi înlocuite printorsorul lor într-un punct. De obicei se caută înlocuirea cu torsorulminim. Forele distribuite reprezintă în general un sistem de foreparaleleşi atunci ele sunt echivalente cu rezultanta lor care va trebui să ac ioneze pe axa centrală deci, spre exemplu, în centrul forelor paralele( în centrul de greutate al diagramei forelor distribuite).

Fig.4.31.Echivalarea for elor distribuite cu o for ă concentrat ă


8/18/2019 Capitol Ul 04

38/42


În fig. 4.31 este prezentat modul în care o foră distribuită pelungime este echivalată cu o for ă concentrată. În cazul sistemelor defore paralele poziia centrului forelor paralele este dată de relaia:

∑∑

∆

∆⋅=

x x p

x x p x xC )(

)(

Punctul în care acionează rezultanta, dat de relaia de mai suspoartă numele de centru de presiune.

Dacă se ine seama că distribuia sarcinilor este reprezentată printr-o funcie continuă, suma Riemann care se obine în acest caz se

transformă într-o integrală şi se obine:

P

ds x xp

dx x p

ds x xp x

l

l

l

C

∫∫∫

== 0

0

0)(

)(

)( (4.93)

unde fora concentrată P este suma forelor distribuite, în acest caz dată de o integrală:

∫= l dx x pP 0 )( (4.94)

În fig. 4.32 sunt prezentate câteva cazuri uzuale de sarcini distribuite pelungime, echivalate cu o foră concentrată, egală cu aria figuriideterminată de distribuia p(x) şi situată în centrul de masă al figurii.

Fig.4.32. Echivalarea for elor distribuite în câteva cazuri des întâlnite în practic ă


8/18/2019 Capitol Ul 04

39/42

8/18/2019 Capitol Ul 04

40/42


înăl imea B şi lă imea L.

Ecuaia de momente scrisă pentru punctul O ne va da:

0sin2

)](31[;0 =⋅−−−−⋅=∑ α BGh H h BF M O

unde:

2)()(

2)( 2 Lh H g

Lh H h H g

F −

=−⋅−

= ρ ρ

2

1sin;cos

−

−=−

= B

h B B

h Bα α .

Rezultă că h poate fi determinat din relaia:

012

]33

2[2

)( 22=

−

−⋅−−−⋅−

Bh B B

G H h

B Lh H g ρ

adică în final dintr-o ecuaie algebrică de gradulşase.

3. Un tambur cilindric de rază r barează calea unei ape care se ridică până la nivelul articulaiei. Să se determine fora care solicită articulaia.

Soluie: Componenta X a reaciunii după axa Ox este egală şi de senscontrar cu rezultanta componentelor după axa a forelor de presiune:

( )

( ) ( ) ( )2

2cos4

22sin41

cossin2

20

22

0

2

20

20

20

LgR LgRd LgR

d gR R L Rd p LdS p X x x

ρ α

ρ α α ρ

α α α ρ α π π

π π π

=−==

=⋅===

∫

∫∫∫

S-a considerat că elementul de suprafaă pe care acionează presiunea normală este:

α LRd dS =

iar componenta presiunii după axa x este: α α ρ α ρ α cossincoscos gRgh p p x ===


8/18/2019 Capitol Ul 04

41/42

Sorin VLASE 41

În mod analog putem calcula componeta reaciunii din articulaiedupă axa Y:

( )

( )[ ] ( ) ( )4

2sin24

22cos141

sinsin2

20

22

0

2

20

20

20

π ρ α α

ρ α α ρ

α α α ρ α π π

π π π

LgR LgRd LgR

d gR R L Rd p LdS pY y y

=−=−=

=⋅===

∫

∫∫∫

Componenta după axa y a presiunii a fost calculată cu relaia:

α ρ α ρ α 2sinsinsin gRgh p p y ===

Unghiul β f ăcut de rezultantă cu axa y este dat de:

π π ρ ρ

β 22

2

2===

LgR LgR

Y X

tg ; ''53'2832o= β .

4. Să se determine fora necesară pentru ridicarea unui chepeng asupracăruia acionează presiunea apei unui râu (fig.4.36)şi locul unde artrebui să ac ioneaze această for ă pentru a contracara efectul forelor depresiune (poziia centrului de presiune).

Soluie: Fora echivalentă cu presiunile distribuite va fi:

∫ =

−

+=

−

+=

L L

x L

p p x p B Bdx x L

p p pP 0

0

212

112

1 2

Fig.4.35. For ele exercitate de presiunea apei


8/18/2019 Capitol Ul 04

42/42


222112

1 p p

BL L p p

L p B +

=

−

+=

( ) ϕ ρ ϕ ρ ρ cos;cos 12111 L xg pgxgh p +===

( )2 cos21 ϕ ρ L xg BLP

+=

Fig.4.36 .

Momentul dat de aceste fore este:

∫ =

−

+=

−

+= L

L

O

x L

p p x p B Bxdx x

L

p p p M

00

312

2

112

1 32

32

32322121212312

2

1 p p

BL p p p

BL L L

p p L p B

+=

−

+=

−

+=

Centrul de presiune se găseşte la distana xC fa ă de articulaie:

)(3)2(2

2

32

21

21

21

212

p p

p p L p p

BL

p p BL

P

M x OC +

+=

+

+

==

capitol ul 04

Documents