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Problemario del cursoIntroducción a la Física Moderna

Héctor J. Uriarte Rivera (ESFM-IPN)Olga Leticia Hernández Chávez (ESFM-IPN)

18 de septiembre de 2013

Índice general

Introducción II

I Relatividad Especial 1

1. Cinemática relativista 2

2. Dinámica relativista 9

II La teoría cuántica 15

3. El nacimiento del quantum 16

4. El átomo 21

III Respuestas 27

5. Cinématica relativista 28

6. Dinámica relativista 30

7. El nacimiento del quantum 32

i

Introducción

Esta selección de problemas tiene por objetivo servir como guia para lapreparación de las evaluaciones en el curso Introducción a la Física Modernadel 5to semestre de la Licenciatura en Física y Matemáticas que se imparteen la Escuela Superior de Física y Matemáticas del Instituto PolitécnicoNacional. Los problemas provienen de los siguientes textos:

Conceptos de relatividad y teoría cuántica. R. Resnick. 1996.Limusa.

Relatividad especial. A. P. French. 1996. Reverté.

Física cuántica. R. Eisberg, R. Resnick. 1989. Limusa.

Modern Physics for scientists and engineers. S. Thornton, A.Rex. 2002. Brooks/Cole.

Modern Physics. P. Tipler, R. Llewellyn. 2002. W. H. Freeman.

Física moderna. R. Serway, C. Moses, C. Moyer. 2006. Thomson.

ii

Parte I

Relatividad Especial

1

Capítulo 1

Cinemática relativista

1. Las coordenadas espacio-tiempo de dos sucesos medidas en un sistemaS son las siguientes:

Suceso 1: x1 = x0, t1 =x0c, y1 = 0, z1 = 0:

Suceso 2: x2 = 2x0, t2 =x02c, y2 = 0, z2 = 0:

a) Existe un sistema de referencia S 0 en el cual estos sucesos tienenlugar en el mismo instante. Hallar la velocidad de este sistemarespecto a S.

b) ¿Cuál es el valor de t para el que ambos sucesos tienen lugar enel nuevo sistema de referencia?

2. Dos eventos ocurren en un sistema inercial K al mismo tiempo, peroa 4 km de distancia entre si. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre losdos sucesos medida en un sistema K 0 que se mueve respecto al sistemaK si la distancia medida entre estos dos eventos es 5 km?

3. La distancia a la estrella más lejana a nuestra galaxia es del ordende 105años luz. Explique porqué es posible, en principio, para un serhumano viajar a esta estrella en su tiempo de vida y estime la velocidadrequerida.

4. Una partícula subatómica se crea en lo alto de una montaña de altura2000 m sobre el nivel del mar y se mueve a una velocidad de 0;98 c,decayendo en el mar.

2

CAPÍTULO 1. CINEMÁTICA RELATIVISTA 3

a) ¿Qué altura tiene la montaña en el sistema de referencia de lapartícula?

b) ¿Cuál es el tiempo de vida de la partícula medido en los dos sis-temas de referencia?

5. Un astrónomo en la Tierra observa un objeto brillante moviéndose quese aproxima a él a una velocidad de 0;8 c, a una distancia de 20 añosluz. Considere la Tierra como un sistema inercial en reposo y calcule:

a) el tiempo necesario para que el objeto alcance la Tierra según elastrónomo;

b) el tiempo según un astrónomo que viaja con el objeto; y

c) la distancia inicial que separa la Tierra del objeto, según un as-trónomo que viaje con el objeto.

6. Un metro en reposo en S 0 forma un ángulo de 30� con el eje x0. Si S 0 semueve a una velocidad de 0;8 c respecto a un sistema S, ¿qué longitudtiene el metro en S y que ángulo forma con el eje x?

7. Durante el pasado juego del Super Bowl entre los Patriotas de NuevaInglaterra y los Gigantes de Nueva York celebrado en Indianápolis, unanave espacial extraterrestre atravesó el terreno de juego del estadio enla dirección del juego, a 0;6 c según se midió desde el campo de juego.El terreno de juego tiene 120 yardas de largo y 55 yardas de ancho. Losextraterrestres, cuya misión era profundizar en los juegos terrestres,tomaron algunas mediciones, para lo cual se habian preparado previa-mente en los sistemas de unidades terrestres.

a) ¿Cuál es la longitud del terreno de juego según los extraterrestres?

b) ¿Cuál es el ancho terreno de juego según los extraterrestres?

c) Los extraterrestres poseían una televisión donde observaron eljuego que inició a las 17:00 horas y terminó a las 21:00 horas(horario de la Ciudad de México). ¿Cuánto tiempo transcurrió dejuego según los extraterrestres?

8. Un cohete de longitud propia l0 marcha a velocidad constante v relativaa un sistema S. La punta del cohete (A0) pasa por el punto A de S en


el instante t = 0 y en este instante se emite una señal desde A0 hastaB0.

a) ¿Cuánto tardará la señal en términos del tiempo del cohete (t0) enalcanzar la cola (B0) de la nave?

b) ¿En qué instante t1, medido en S, alcanza la señal la cola (B0) dela nave?

c) ¿En qué instante t2, medido en S, pasa la cola de la nave (B0) porel punto A?

9. Un observador en un cohete se mueve hacia un espejo a una velocidadv (relativista) con respecto al sistema de referencia indenti�cado comoS en la �gura. El espejo está en reposo con respecto a S. Un pulso deluz emitido por el cohete se desplaza hacia el espejo y es re�ejado deregreso hacia el cohete. El frente del cohete está a una distancia d delespejo (según lo miden observadores en S) en el instante en que el pulsode luz sale del cohete. ¿Cuál es el tiempo total de recorrido del pulsode luz según lo miden los observadores en

a) el sistema de referencia S y

b) el frente del cohete.

10. A las doce del mediodía un cohete espacial pasa frente a la Tierra conuna velocidad de 0;8 c. Los observadores de la nave y los de la Tierraestán de acuerdo en que, efectivamente, es mediodía.

a) A las 12:30 PM según un reloj situado en la nave, ésta pasa poruna estación interplanetaria que se encuentra �ja en relación a la


Tierra y cuyos relojes señalan el tiempo en la Tierra. ¿Qué horaes en la estación?

b) ¿A qué distancia de la Tierra (en coordenadas terrestres) se en-cuentra la estación?

c) A las 12:30 PM, hora de la nave, se establece comunicación conla Tierra desde la nave. ¿Cuándo (en tiempo de la Tierra) recibeésta la señal?

d) La estación terrestre contesta inmediatamente. ¿Cuándo se recibirála respuesta (hora de la nave)?

11. Los gemelos A y B se despiden en la Tierra, A marcha hacia AlphaCentauri que está a una distancia de 4 años luz y regresa a la Tierra.En el recorrido su velocidad con respecto a la Tierra es 0;6 c y transmiteuna señal de radio cada 0;01 de año en su sistema. Su gemelo B emitede forma análoga una señal cada 0;01 de año en su sistema en reposo.

a) ¿Cuántas señales emite A en su viaje de ida a Alpha Centaurisegún B ?

b) ¿Cuántas señales emitió B según A antes de iniciar el regreso?

c) ¿Cuál es el número total de señales que recibe cada gemelo queprovienen del otro?

d) ¿Quién es más jovén al �nal del viaje?

12. Dos naves espaciales se aproximan una a la otra.

a) Si la velocidad de cada una es de 0;9 c relativa a la Tierra, ¿cuáles la velocidad de una nave relativa a la otra?

b) Si la velocidad de cada una relativa a la Tierra es de 30000 ms

(aproximadamente 100 veces la velocidad del sonido), ¿cuál es lavelocidad de una nave relativa a la otra?

13. Tres galaxias están alineadas a lo largo de un eje en el orden A, B; C.Un observador en la galaxia B, ubicada en el punto medio, observa quelas galaxias A y C se mueven en direcciones opuestas respecto a él, convelocidades de 0;6 c. ¿Cuál es la velocidad de las galaxias B y C segúnun observador en la galaxia A?


14. Una persona en la Tierra observa a dos naves espaciales que se aproxi-man entre sí hasta chocar.

En en tiempo t = 0 en el sistema Tierra, el observador determina queel cohete A, que viaja hacia la derecha con una velocidad vA = 0;8c,está en el punto a; y que el cohete B; que viaja hacia la izquierda conuna velocidad vB = 0;6c, está en el punto b. Las naves están separadasen ese tiempo una distancia l = 4;2� 1010 m.

a) Desde el sistema Tierra, ¿cuánto tiempo pasará antes de que loscohetes choquen?

b) ¿Qué tan rápido se aproxima la nave B vista desde la nave A?¿Quétan rápido se aproxima la nave A vista desde la nave B?

c) ¿Cuánto tiempo transcurrirá, medido en la nave A, desde quepasa el punto a hasta que ocurre la colisión? ¿Cuánto tiempotranscurrirá, medido en la nave B, desde que pasa el punto b hastaque ocurre la colisión?

15. Un haz de mesones K+ inestables se mueve a una velocidad dep32c y

pasa por el frente de un par de contadores que se encuentran separados9 m. Las partículas no experimentan pérdida alguna en su velocidad nien su energía al pasar delante de los contadores, pero son detectadospor estos debido a su carga. Se observa que mientras el primer contadorseñala 1000, el segundo tan sólo detecta 250. Suponiendo que la dismin-ución es debida a la desintegración de las partículas durante el viaje,


¿cuál es su vida media propia (tiempo en el que cualquier cantidad dekaones se reduce a la mitad) del kaón K+?

16. Un profesor de Física argumenta a un policía que la razón por la quese pasó la luz roja (� = 6500 Å) es que al encontrarse en movimientoel color rojo tuvo un corrimiento Doppler al verde (� = 5500 Å). ¿Quétan rápido iba el profesor?

17. Un quasar (Quasi-stellar radio source) es un núcleo activo de una galax-ia distante, altamente energético. Son objetos muy compactos similaresa estrellas más que fuentes extendidas como las galaxias. Los quásaresfueron indenti�cados por ser fuentes de energía electromagnética conun alto corrimiento al rojo.

a) Los astrónomos de�nen el parámetro de corrimiento al rojo z (red-shift parameter) como:

z � �obs � �fuente�fuente

=��

�fuente;

donde �obs es la longitud de onda de la fuente medida por unobservador, respecto al cual la fuente se mueve con velocidad v;y �fuente es la longitud de onda de la fuente. Utilice la expresióndel efecto Doppler relativista para encontrar una expresión de zen términos de la velocidad v de la fuente.

b) En su sistema, el quasar Q2203+29 produce una línea de emisióndel hidrógeno de longitud de onda 121;6 nm. Astrónomos en laTierra miden una longitud de onda de 656;8 nm para esta línea.Determine el valor del parámetro de corrimiento al rojo y la ve-locidad aparente para el quasar.

c) En el caso donde el objeto se mueve con una velocidad v << c (ca-so clásico), realice una aproximación para z a primer orden, ¿cuáles la expresión de la aproximación? ¿Es buena esta aproximaciónen el cálculo de la velocidad del quasar Q2203 + 29?

18. Las observaciones de un cuerpo celeste (el quasar 3C9) hacen pensarque, cuando emitió la luz que acaba de llegar a la Tierra, se movíaalejándose de nosotros a una velocidad de 0;8 c.


a) Una de las líneas que se identi�can en su espectro tiene una lon-gitud de onda de 1200 Å, cuando se emite por una fuente esta-cionaria. ¿Qué longitud de onda tiene esta línea en el espectro quese observa del quasar?

b) Los quasares emiten energía a una razón tan grande que los as-trónomos son de la opinión que se queman completamente en untiempo relativamente corto. Suponiendo que el tiempo de vidadel quasar 3C � 9 es de 106 años, en su sistema en reposo, ¿du-rante qué tiempo en la Tierra se recibiría radiación que provienede él? (Considere que la velocidad del quasar relativa a la tierrapermanece constante).

Capítulo 2

Dinámica relativista

1. Una partícula de masam que se mueve a lo largo del eje x con una com-ponente de velocidad +u choca de frente y se adhiere a una partículade masa m

3que se mueve a lo largo del eje x con una componente de

velocidad �u. ¿Cuál es la masa M de la partícula resultante?

2. Un objeto se desintegra en dos fragmentos. Uno de ellos tiene una masaigual a 1 MeV

c2y una cantidad de movimiento de 1;75 MeV

cen la dirección

x positiva. El otro fragmento tiene masa igual a 1;5 MeVc2

y una cantidadde movimiento de 2;005 MeV

cen la dirección y positiva. Encuentre

a) la masa,

b) y la velocidad del objeto original.

3. Una partícula de masa m y energía cinética 3mc2 realiza un choquecompletamente inelástico con una partícula estacionaria de masa 2m.¿Cuál es la velocidad y la masa de la partícula compuesta?

4. El pión neutro (�0) se descompone en dos rayos . Si el pión �0 (demasa 135 MeV

c2) se mueve con una energía cinética de 1 GeV :

a) ¿Cuáles son las energías de los rayos si el proceso de desinte-gración hace que se emitan en sentido opuesto según la trayectoriaoriginal del pión?

b) ¿Qué ángulo forman los rayos si son emitidos formando ángulosiguales respecto a la dirección del movimiento del pión?

9

CAPÍTULO 2. DINÁMICA RELATIVISTA 10

5. Un mesón K0 viaja a una velocidad de 0;9 c cuando decae en un mesón�+ y un mesón ��. ¿Cuáles son la máxima y la mínima velocidad quelos mesones pueden tener?

6. Una partícula de masa M; en reposo en el laboratorio, se descomponeen tres partículas iguales, cada una de masa m. Dos de las partículas(1 y 2) tienen las velocidades mostradas en la �gura:

a) Calcule la dirección y rapidez de la partícula 3.

b) Obtenga el cociente Mm.

7. Un antiprotón p con una energía cinética de 23GeV choca contra un

protón que se encuentra en reposo en el laboratorio. Se destruyen (me-diante la reacción p+p! + ), dando lugar a dos fotones que marchanuno en el mismo sentido, según la línea que recorría el antiprotón alincidir, y el otro en sentido contrario. Las energías en reposo del protóny del antiprotón son de 1 GeV cada una.

a) ¿Cuáles son las energías que poseen los fotones?

b) ¿Qué energía posee cada uno de los fotones medido en el sistemade referencia �jo respecto al p incidente?

8. En la nebulosa del cangrejo (remanente de una Supernova) hay elec-trones que giran con un momento de 10�16 kg�m

sen un campo magnético

de 10�8 T .

a) ¿Cuál es el radio orbital de los electrones?

b) ¿Cuál es su frecuencia orbital?


c) ¿Cuál es la energía total?

Nebulosa del Cangrejo

9. El mesón K0 se desintegra en dos piones cargados según

K0 ! �� + �+:

Las masas de los piones son igualesm� = 140MeVc2: Suponga que unK0

en reposo se desintegra en una cámara de burbujas donde está presenteun campo magnético de 2 T . Si el radio de curvatura de los piones esde 34;4 cm, encuentre:

a) las velocidades de los piones,

b) la masa de K0.

10. En un experimento con una cámara de niebla se observó que el mesónK� interacciona con un protón en reposo, obteniéndose un pión �+ y


una partícula desconocida X, según las tres trayectorias que se mues-tran en la �gura. El campo magnético en el interior de la cámara deniebla era de 1;70� 0;07 webers

m2 (unidades MKS).

a) ¿Por qué las trayectorias que tienen como origen el vértice O (pun-to de la interacción) indican que el K� se encontraba en reposoal instante de la interacción?

b) Identi�car la partícula desconocida utilizando la tabla siguiente.

Nombre Símbolo Masa�MeVc2

�Carga (e)

Positrón, electrón e+, e� 0;511 �1Muón �+, �� 105;7 �1Pión �+, �� 139;6 �1Kaón K+, K� 493;8 �1Protón p 938;3 1Neutrón n 939;6 0Lambda �0 115;4 0Sigma más �+ 1189;4 1Sigma cero �0 1192;3 0Sigma menos �� 1197;2 �1Xi cero �0 1314;3 0Xi menos �� 1320;8 �1

Omega menos � 1675 �1

11. Supongamos que un acelerador puede suministrar a los protones unaenergía cinética de 200 GeV . La masa de un protón es 0;938 GeV

c2.

Calcular la masa máxima M de una partícula X que pueda producirsepor el choque de uno de estos protones de elevada energía con un protónen reposo según el proceso:

p+ p! p+ p+X:


12. En 1955, un grupo del Bevatron de Berkeley liderado por Owen Cham-berlain y Emilio Segré descubrieron el antiprotón (p) colisionando unhaz de protones con protones en reposo según la siguiente reacción:

p+ p! p+ p+ p+ p:

Si el estado inicial consiste de un protón de energía total E colisionandocon un protón en reposo, calcule el valor mínimo de E, en términos dela masa mp del protón, para que la reacción pueda ocurrir.

13. La partícula A (con energía E) colisiona con la partícula B (en reposo),producuiendo las partículas C1; C2; : : : ; Cn. Demuestre que la energíaumbral (i.e., la E mínima) para que ocurra esta reacción es

E =M2 �m2

A �m2B

2mB

c2;

donde M = m1 +m2 + : : :+mn:

14. Un pión que viaja a una velocidad v decae en un muón y un neutrino,

�� ! �� + ��:

Si el neutrino emerge en un ángulo de 90� de la dirección original delpión, demuestre que el ángulo de � cumple:

tan � =c

2v

�1� v

2

c2

��1�

m2�

m2�

�Considere que el neutrino no tiene masa.


15. Considere el decaimiento

5524Cr !55

25 Mn+ e�:

El núcleo de 55Cr tiene una masa de 54;9279 u y el núcleo de 55Mn de54;9244 u.

a) Calcule la diferencia en masas en MeVc2.

b) ¿Cuál es la máxima energía del electrón emitido?

16. Calcule la energía de separación de un protón del 53Li. Explique suresultado.

17. Calcule la energía de separación de una partícula alfa del 22688 Ra: Ex-plique su resultado.

18. Encuentre la energía cinética de una partícula alfa emitida durante eldecaimiento del 22086 Rn. Suponga que el nucleo hijo,

21684 Po. tiene veloci-

dad de retroceso cero.

19. ¿Puede el 57Co decaer por emisión �+? ¿Puede el 146 C decaer poremisión ��? Si su respuesta es a�rmativa en algún caso, ¿qué energíascinéticas pueden tener los electrones?

20. ¿Por qué no es posible la reaccción espontánea

168 O ! 12

6 C +42He ?

Parte II

La teoría cuántica

15

Capítulo 3

El nacimiento del quantum

1. Sobre una super�cie de aluminio se hace incidir luz de longitud de onda2000 Å. Para el aluminio se requieren 4;2 eV para extraer un electrón.¿Cuál es la energía cinética de los fotoelectrones emitidos:

a) más rápidos y

b) más lentos.

c) ¿Cuál es el potencial de frenado?

d) ¿Cuál es la longitud de onda umbral del Aluminio?

e) Si la intensidad de la luz incidente es de 2;0 Wm2 , ¿cuál es el número

promedio de fotones por unidad de área y por unidad tiempo quegolpean la super�cie?

2. Al efectuar el experimento del efecto fotoeléctrico con un cátodo de Ce-sio se encontró un potencial retardador de 0;95 V; para luz monocromáti-ca de 435;8 nm y de 0;38 V cuando la longitud de onda de la fuente esde 546;1 nm. Solamente con estos valores, determine:

a) el valor de la constante de Planck,

b) la función trabajo del Cesio en eV y

c) la longitud de onda umbral para el Cesio.

3. Sobre dos tubos fotoeléctricos incide luz de longitud de onda 4500 Å.El emisor en el primer tubo tiene una longitud de onda umbral de 6000Å y el emisor en el segundo tubo tiene una función trabajo el doble dela del primer tubo. Hallar el potencial de frenado para cada tubo.

16

CAPÍTULO 3. EL NACIMIENTO DEL QUANTUM 17

4. Un electrón y un fotón tienen la misma energía, E = 35 keV .

a) Compare sus momentos y

b) determine la frecuencia y longitud de onda del fotón.

5. El Molibdeno emite rayos X característicos de longitud de onda 0;72Å. Si estos rayos X se dispersan por un trozo de gra�to, ¿cuál es lalongitud de onda de los rayos que emergen a 45�?

6. Suponga que después de una colisión Compton, entre un fotón y unelectrón libre y estacionario, el fotón y el electrón emergen simétrica-mente respecto a la dirección de incidencia del fotón. Si la energía inicialdel fotón es 30 keV , ¿cuál es el ángulo correspondiente a la dispersiónsimétrica, y las energías del fotón y del electrón dispersados?

7. Se quiere proporcionar una energía de 25 keV a un electrón en unacolisión de Compton, ¿cuál es la mínima energía del fotón necesaria?

8. Un electrón se acelera a 50 keV en un tubo de rayos X y experimentados colisiones sucesivas para llegar al reposo en el blanco, emitiendodos fotones de bremsstrahlung en el proceso. El segundo fotón emitidotiene una longitud de onda de 0;095 nm mayor que el primero.

a) ¿Cuáles son las longitudes de onda de los dos fotones?

b) ¿Cuál es la energía del electrón después de emitir el primer fotón?

9. Cuando la producción del par electrón�positrón se efectúa en presen-cia de un campo magnético de 0;05 T , se observa que el par describecircunferencias de radio 90mm. ¿Cuál es la energía del fotón incidente?

10. Demuestre que la creación de un par electrón-positrón por un solo fotón

! e� + e+

no es posible en aislamiento, i. e., debe haber una masa adicional (oradiación).

11. Un positrón de masa m y energía cinética igual a su energía en reposochoca con un electrón en reposo y se aniquilan creando dos fotones.Un fotón entra en un detector colocado a un ángulo de 90� respecto ala dirección del positrón incidente. En términos de m ¿cuáles son lasenergías de los fotones y la dirección en que se mueve el segundo fotón?


12. Un rayo alcanza un electrón en reposo y da lugar a una parejaelectrón-positrón:

+ e� ! e� + e+ + e�:

¿Cuál es la energía mínima del rayo que hace posible el proceso?

13. Un haz colimado de rayos gamma de 1;5 MeV incide sobre una láminadelgada de Tantalio (Z = 73). Electrones con una energía cinética de0;7 MeV se observa que emergen de la lámina. ¿Son estos electronesproducidos por el efecto fotoeléctrico, por el efecto Compton o porla producción de pares electrón-positron? Suponga que los electronesproducidos en la interacción inicial de los fotones con el material de lalámina de tantalio no tienen una segunda interacción. Explique.

14. ¿Cómo debe variar la temperatura para que un cuerpo negro emita eldoble de la energía en la mitad del tiempo?

15. Como demostraron George Smoot y John Mather (Premios Nobel deFísica 2006) utilizando las mediciones del satélite COBE, la radiacióncósmica de fondo se ajusta perfectamente a la fórmula de Planck parala radiación de un cuerpo negro a una temperatura de 2;7 K.

a) ¿Cuál es el valor de �m�ax del espectro de la radiación cósmica (ennm)? Explique el signi�cado físico de �m�ax:

b) ¿Cuál es la potencia total incidente en la Tierra debida a la ra-diación de cuerpo negro?

16. Determine el radio de la estrella Procyon B a partir de la siguienteinformación: el �ujo de su luz que se recibe en la Tierra es 1;7�10�12 W

m2 ,la distancia a la que se encuentra de la Tierra es 11 años luz, y latemperatura de su super�cie es 6600 K. Suponga que la estrella radiacomo un cuerpo negro.


17. Considere un modelo para la estrella Dschubba (� Sco), la estrella cen-tral en la cabeza de la constelación de Escorpión. Suponga que Dschub-ba es un cuerpo negro esférico con una temperatura en la super�cie de28000 K y un radio de 5;16�109 m. Considere que esta estrella se local-iza a una distancia de 123 pc de la Tierra. Determine para la estrella:

a) El �ujo de radiación (radiancia) en la super�cie de la estrella.

b) La radiancia en la super�cie de la Tierra (compare ésta con laradiancia solar).

c) �m�ax:

18. El �lamento de Tungsteno de un foco incandescente de 40 W radia auna temperatura de 3300 K. Suponiendo que el foco radia como uncuerpo negro,

a) ¿cuál es la frecuencia máxima y la longitud de onda máxima dela distribución espectral?

b) Si la frecuencia máxima es una buena aproximación para la fre-cuencia promedio de los fotones emitidos por el foco ¿cuántos fo-tones por segundo radia el foco?

c) Si usted mira el foco desde una distancia de 5 m ¿cuántos fo-tones entran a su ojo por segundo? (El diámetro de la pupila esaproximadamente de 5;00 mm).

19. El ojo desnudo puede detectar objetos estelares de magnitud seis en elcielo nocturno. Con binoculares, podemos observar objetos de magnitudnueve. El brillo del Sol en la Tierra es de 1400 W

m2 . El Telescopio Espacial


Hubble puede detectar objetos de magnitud 30, que tienen un brillo de2� 10�20 W

m2 en la Tierra.

a) Considere un detector en el Telescopio Espacial Hubble con área derecolección de 0;30m2. Si suponemos luz proveniente del Hidrógenode 486 nm (azul verdoso), ¿cuántos fotones por segundo entran altelescopio de una estrella de magnitud 30?

b) Un incremento en magnitud representa un decremento en brillopor un factor de 2;5119. Estime cuántos fotones por segundo deuna estrella de magnitud seis entran al ojo si el diámetro de lapupila es de 6;5 mm.

20. Luz de una fuente térmica (T = 6000 K) es �ltrada para permitirque sólo fotones en la región visible incidan sobre un fotocátodo, quetiene función de trabajo de 2;0 eV . Cuando la intensidad de la luz quellega al fotocátodo es de 1 mW se mide una corriente de 1 �A en el am-perimetro que detecta a los fotoelectrones. Estime la e�ciencia cuántica(probabilidad de que un fotón incidente produzca un fotoelectrón) delfotocátodo.

Capítulo 4

El átomo

1. Para blancos de alumnio (Z = 13) y oro (Z = 79);¿cuáles son lasrazones del número de partículas � dispersadas en cualquier ángulopara igual número de nucleos dispersores por unidad de área?

2. ¿Qué fracción de partículas � de 5 MeV serán disersadas en ángulosmayores de 6� por una hoja de oro (Z = 79, densidad= 19;3 g

cm3 ) degrosor 10�8 m?

3. En un experimento de dispersión de partículas � de 5;5 MeV por unahoja delgada de oro, los estudiantes encuentran que 10000 partículas �son dispersadas a un ángulo mayor que 50�:

a) ¿Cuántas de estas partículas � son dispersadas por un ángulomayor que 90�?

b) ¿Cuántas de estas partículas � son dispersadas por un ángulo entre70� y 80�?

4. Una lámina de sodio (ZNa = 11, ANa = 22) dispersa partículas � acierto ángulo,

a) ¿Cuántas partículas serán dispersadas en el mismo ángulo si lahoja de sodio se reemplaza por una de oro (ZAu = 79, AAu = 197)del mismo espesor?

b) ¿Cuántas partículas � se dispersan en la misma dirección si elespesor de la lámina se reduce a la mitad del valor inicial de la

21

CAPÍTULO 4. EL ÁTOMO 22

hoja? La densidad del sodio es de 0;93�104 kgm3 . Suponga que para

el sodio se aplica la relación de dispersión de Rutherford.

5. Un haz de protones incide sobre una lámina de cobre de 12 �m deespesor:

a) ¿Cuánta energía cinética deben tener los protones para que sudistancia de máximo acercamiento sea igual al valor de 5;0 fm?

b) ¿Cuál será el parámetro de impacto y la distancia mínima entreel protón y el núcleo para dispersión a 120�?

c) ¿Qué fracción de los protones se dispersa a más de 120�?

6. Determine la energía, el momento y longitud de onda del fotón emitidopor un átomo de hidrógeno cuando efectúa una transición del estadoexcitado n = 8 al n = 3. Además, calcule la velocidad de retroceso delátomo cuando se realiza la transición.

7. Un átomo de hidrógeno se encuentra en un estado con energía de enlace(energía necesaria para extraer al electrón) de 0;54 eV , hace una tran-sición a un estado con una energía de excitación (diferencia de energíaentre el estado excitado y el estado base) de 12;1 eV .

a) Determine la energía del fotón que se emite.

b) Muestre esta transición en un diagrama de niveles de energía in-dicando los números cuánticos asociados a ella.

8. Un electrón en un átomo de hidrógeno salta del nivel 5 al nivel 3.

a) En este proceso ¿se emite o se absorbe un fotón?

b) Calcule la energía del fotón y su longitud de onda. Diga si el fotónestá en el rango visible o no.

c) ¿Es la energía de este fotón su�ciente para ionizar un átomo dehidrógeno vecino cuyo electrón está en el nivel 6?

9. Átomo de Bohr.


a) Utilizando la relación de De Broglie, deduzca la condición de cuan-tización de Bohr

mvr = n};

para el momento angular de un electrón en un átomo de hidrógeno.

b) Utilice la expresión anterior para demostrar que la energía de losestados permitidos para un electrón en el átomo de hidrógenopueden escribirse como:

En = �me4

8"20h2

1

n2:

c) ¿Cómo debe modi�carse la expresión anterior para el caso de unátomo de berilio triplemente ionizado Be+++ (Z = 4)? Explique.

d) Calcule la energía de ionización (en eV ) para el Be+++.

10. ¿Cuál es la energía total mecánica para el estado base de un electrónen átomos de H, He+ y Li++? ¿Para qué átomo está más ligado elelectrón?¿Por qué?

11. El proceso Auger. Un electrón en el cromo realiza una transición desdeel estado n = 2 hasta el estado n = 1 sin emitir ningún fotón. En vezde ello, la energía en exceso se trans�ere a un electrón exterior (en elestado n = 4) que es expulsado del átomo (esto se denomina procesoAuger y el electrón expulsado se denomina electrón Auger). Use lateoría de Bohr para encontrar la energía cinética del electrón Auger.

12. Las longitudes de onda de las líneas espectrales dependen en algunamedida de la masa del núcleo. Esto ocurre debido a que el núcleo no esuna masa estacionaria in�nitamente pesada, y tanto el electrón comoel núcleo en realidad giran alrededor de su centro de masa común.Determine los valores de longitud de onda corregidos para la primeralínea de Balmer, tomando en cuenta el movimiento nuclear para:

a) hidrógeno, 1H;

b) deuterio, 2H;

c) y tritio, 3H. El deuterio fue descubierto en 1932 por Harold Urey,quien midió la pequeña diferencia en longitud de onda entre 1H y2H:


13. Es posible que un muón sea capturado por un protón para formar unátomo muónico. Un muón tiene la misma carga que un electrón perosu masa es m� = 105;7

MeVc2:

a) Calcule el radio para la primera órbita de Bohr del átomo muónico.

b) Calcule la magnitud de la energía del estado base.

c) ¿Cuál es la logitud de onda más pequeña en la serie de Lymanpara este átomo?

14. Calcule las longitudes de onda K� y K� para el He y Li.

15. El espectro de rayos X del Molibdeno muestra líneas espectrales en0;072 nm y en 0;061 nm, compare estas longitudes de onda con aquellascalculadas por Moseley.

16. Una galaxia se aleja de la Tierra con una velocidad de c2. ¿Con qué

energía se observarán los fotones de la transición L� del Hidrógeno enla Tierra, debido al movimiento relativista de la fuente?

17. Estime la energía del estado base (en eV ) del sistema que se obtiene sitodos los electrones en el átomo de carbono (Z = 6) fueran remplazadospor mesones �� (suponga conocido que la energía del estado base delátomo de hidrógeno es �13;6 eV ). La partícula �� es una partícula concarga �e, espín 0 y masa 270me. Explique su respuesta.

18. Dos átomos de hidrógeno chocan de frente y terminan con una energíacinética igual a cero. Luego, cada uno emite un fotón con una longitudde onda de 121;6 nm (una transición desde n = 2 hasta n = 1). ¿A quévelocidad se movían los átomos antes de la colisión?

19. En el experimento de Franck-Hertz se utilizan electrones de energía 13;0eV para excitar átomos de hidrógeno. ¿Qué líneas espectrales emitenlos átomos de hidrógeno bajo estas condiciones?

20. Neutrones térmicos en un reactor nuclear pueden considerarse como ungas a una temperatura de 300�C. ¿Cuál es su longitud de onda de DeBroglie?


21. Un cristal cúbico con espaciamiento interatómico de 0;24 nm se usapara seleccionar rayos de energías 100 keV de una fuente radioactivaque contiene un contínuo de energías. Si el haz incide normalmente alcristal, ¿a qué ángulo se observan los rayos de energías 100 keV ?

22. Un haz de electrones de 2 keV incide en un cristal y es refractado yobservado (por trasmisión) en una pantalla a 35 cm de distancia. Losradios de los tres anillos concéntricos que corresponden a difracciónde primer orden, están en 2;2 cm, 2;3 cm y 3;2 cm. ¿Cuáles el espa-ciamientos entre planos de la red que corresponde a cada uno de losanillos?

23. La energía cinética de un protón es 1 MeV . Si su momento se midecon una incertidumbre del 5%, ¿cuál es la incertidumbre mínima en suposición?

24. El leptón tau (�) tiene una masa aproximada de 1;8 GeVc2y un tiempo

de vida de 0;3 ps. ¿Cuál es el ancho fracional �mmpara la partícula tau?

25. Un protón o un neutrón pueden algunas veces �violar�la conservaciónde la energía emitiendo y luego reabsorbiendo un mesón � que tieneuna masa de 135 MeV

c2. Esto es posible mientras el mesón sea reab-

sorbido en un tiempo su�cientemente corto consistente con el principiode incertidumbre.

a) Considerep! p+ �;

¿por cuánta energía �E se viola la conservación de la energía?(No considere energías cinéticas)

b) ¿Cuánto tiempo dura el mesón �?

c) Suponga que el mesón viaja a una velocidad cercana a la de la luz¿cuánto se aleja del protón? El cálculo proporciona una estimacióndel alcance de la fuerza nuclear, ya que como se comentó antes,se cree que los protones y los neutrones en el núcleo se mantienenunidos intercambiando mesones �.

26. Un átomo puede radiar en cualquier momento después de ser excitado.En un caso típico, la vida media de un átomo promedio es 10�8 s,


es decir, durante este tiempo emite un fotón y sale de su estado deexcitación.

a) ¿Cuál es la incertidumbre mínima en la frecuencia del fotón?

b) Para el Sodio, la mayoría de los fotones corresponden a dos líneasespectrales de � � 589 nm. ¿Cuál es la razón de la amplitud ��

�

correspondiente a la línea? A ��se le llama la amplitud natural

de la línea espectral.

c) Calcule la incertidumbre en la energía �E del estado excitado.

d) De los resultados anteriores, determine la energía del estado ex-citado del átomo de Sodio, con una precisión �E respecto a laenergía de su estado más bajo, que emite un fotón de longitud deonda centrada en � � 589 nm.

27. En el decaimiento beta de un neutrón se produce una partícula (queconsideraremos sin masa) llamada el antineutrino del electrón �e. Elproceso de decaimiento es:

n! p+ e� + �e:

a) Realice una estimación de la energía cinética media de �e con-siderando que está con�nado dentro del neutrón (el tamaño delneutrón es de 1 fm = 1� 10�15 m).

b) El orden de la magnitud de la energía de �e en el decaimiento betaes de 1 MeV , ¿qué puede concluir de esto? Explique.

Parte III

Respuestas

27

Capítulo 5

Cinématica relativista

1. a) � c2:

b)

p3x0c:

2. 1� 10�5s:

3. 0;8c

4. a) 398 m:

b) � p = 1;35� 10�6s. �Tierra = 6;78� 10�6s.

5. a) 1;38 años.

b) 4;42 años.

6. a) 25 años.

b) 15 años.

c) 12 años luz.

7. �L =

p52

10m: tan � =

5

3p3:

8. a) 96 yardas.

b) 55 yardas.

c) 5 horas.

28

CAPÍTULO 5. CINÉMATICA RELATIVISTA 29

9. a) 100 s.

b) 89 s.

c) 119 s.

10. a) 12:50.

b) 40 minutos luz.

c) 13:30.

d) 16:30.

11. a)2d

c+ v:

b)2d

c

rc� vc+ v

:

12. a) 533 señales.

b) 267 señales.

c) A recibe 1333 señales, B recibe 1067 señales.

d) A es dos años ocho meses menor que B.

13. a) 0;9945c

b) 6� 10�4ms:

14. 0;882c:

15.

p3

2� 10�8s:

16.24

145c:

17. a) z =

s1 + v

c

1� vc

� 1:

b) z = 4;4. v = 0;933c.

c) z � v

c:

18. a) 3600 Å.

b)5

3� 106 años.

Capítulo 6

Dinámica relativista

1. 23

q4c2�u2c2�u2 m:

2. a) 3;65MeVc2:

b) u = 0;588c. tan � = 1;1497.

3. u =p156c; M =

p21m.

4. a) E1 = 1;1305 GeV . E2 = 4;5 MeV:

b) cos � = 0;992:

5. um�ax = 0;99c, um��n = 0;275c.

6. a) tan � = 916: u =

q337481c.

b) Mm= 35+

p481

12:

7. a) E1 = 2 GeV . E2 = 23GeV:

b) Las mismas.

8. a) 6;25� 1010m:b) 7;639� 10�4Hz:c) 5940;25 MeV .

9. a) 0;826c.

b) 497;96MeVc2:

30


10. a) Escriba la conservación del momento un instante antes y un in-stante después de la colisión.

b) ��.

11. 17;58 GeV .

12. E = 7mc2.

13. E = M2�m2A�m2

B

2mBc2:

14. tan � = c2v

�1� v2

c2

��1� m2

�

m2�

�:

15. 9;83� 109 años.

16. mn = 939MeVc2:

17. a) �m = 2;749MeVc2:

b) 2;749 MeV:

18. 6;166 MeV:

19. �2;98MeVc2:

20. 25;18 MeV:

21. �4;87 MeV:

22. 156 keV .

23. No. La energía de desintegración es negativa.

24. Porque la energía de desintegración es negativa (�7;19 MeV ).

Capítulo 7

El nacimiento del quantum

1. a) 2 eV .

b) 0 eV:

c) 2;0 V .

d) 2952;38 Å.

e) 2� 1018 fotonesm2�s :

2. a) 6;61� 10�34J � s:b) � = 1;9 eV:

c) �umbral = 652;63 nm:

3. V1 = 0;69 V: V2 = 0;0 V:

4. a) pe� = 189keVc ; p = 35keVc:

b) � = 8468� 1017Hz, � = 354� 10�6nm:

5. � = 0;727 Å.

6. � = 59;3�, E = 29;2 keV , Ke� = 0;8 keV .

7. 93;39 keV .

8. a) �1 = 0;0315 nm. �2 = 0;1265 nm.

b) K1 = 9;8 keV:

9. E = 2;88 MeV:

32


10. Utilice conservación de la energía y conservación del momento.

11. E1 = mc2, E2 = 2mc2. � = 30�:

12. 4mc2.

13. Efecto Compton.

14. 1;41T .

15. a) 1;07� 10�3m:b) 1;6� 109W .

16. 13;07� 106m:

17. a) 348;53� 108 Wm2 :

b) 1;22� 10�9:c) 104 nm:

18. a) �m�ax = 880 nm: �m�ax = 194� 1012Hz:b) 3;15� 1020 fotones

s:

c) 19;7� 1012 fotoness:

19. a) 14;7� 10�3 fotonessegundo

.

b) 980� 10�7 fotonessegundo

.

20. 2;57� 10�3:

capi

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