cap.i

5/17/2018 Cap.I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/capi557200ab49795991699fda1d 1/58

SISTEME DTNAMICE CU 1 GL

CAPITOLUL 1

j.

SISTEME DINAMICE CU 1 GL

1.1. Breviar teoretic

Structurile constructiilor, in comportarea lor dinamica, pot fi rnodelate ea

sisteme eu 1 GL, daca masa lor poate fi concentrate intr-o singura sectiune,

iar pozitiaei este determinate de un singur parametru. i n acest caz structura

este suportul elastic al unei singure mase si masa se misca pe 0 singura

directie, directia GL. Structura elastica impreuna eu masa purtata defineste

un sistem dinarnic (fig. 1.1). Acest sistem oscilant poate sa vibreze, daca

asupra masei (sau nu) pe directia GL aciioneaza 0 forta perturbatoare pet)

(fig. 1.2), sau daca masa este scoasa din pozitia ei de echilibru static prin

deplasari si (sau) viteze initiale. Notand GL eu u=u(t), deplasarea initial a va

fi u(O)=uo, jar viteza initials u(O) = tio. In cazul in care vibratiile sunt

produse de forte perturbatoare, se zie vibratii fortate, iar daca se datoreaza

conditiilor initiale U o , tio in lipsa fortei perturbatoare ele sunt vibratii libere.

L- t; ....m -~

. . . . . . ,. . . . , . . . . . . -. -.

- - - - - - - ~~(~)

F ig. 1.1.

. . . . - . -' - • .(m)-. - . . - - _.

. . . . .

u=u(t)

Fig. 1.2.

Orice proces vibratoriu este insotit de amortizare care conduce la

diminuarea sau la stingerea vibratiilor, Daca se tine cont de arnortizare,

7



DINAMICA CONSTRUCTIILOR

vibratiile se zic vibratii amortizate, iar daca nu se tine cont de amortizare,

vibratiile se zic vibratii neamortizate, Functia deplasare u=u(t) reprezintaraspunsul dinarnie al sistemului in dep Ia sa ri. V ib ra ti ile sunt descrise de 0

ecuatie diferentiala, numita ecuatia diferentiala a raspunsului dinamic al

sisternelor eu 1 GL.

A~a cum se arata in [2 ], [6 ],. [7 4], (7 5] a ce asta e cu atie se scrie sub forma

mil + cu + l e u =P( t) , (1.1)

unde rn este masa purtata de structura, e este eoefieientuI de arnortizare, iar

k este eoefieientul de rigiditate relativ GL. Ecuatia (1.1) descrie vibratiile

fortate amortizate. Vibratiile libere amortizate vor fi descrise de eeuatia' - - - - t-- •

mii+cu+ku eO, (1.2)

cele fortate neamortizate de ecuatia

mil +ku =P(t}, (1.3)

iar eele libere neamortizate de ecuatia

mil + ku = o . (1.4)

Aceste ecuatii diferentiale de raspuns reprezinta maternatie 0 problema

Cauchy, integrandu-se tinand cont de conditiile initiale:

t=O; u(O)=uo

; u(O)=uo

• (l.S)

Ecuatiile (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) se mai seriu:

.. 2 . ? 1 P( )u+ Yo:m+w-u=- t,m

ii + 2vwu+ w 2u = 0,

ii+wIu = _ ! _ P(t),m

(1.1 ')

(l.2')

(1.3')

ii+ w2u = 0 ,

in care s-au folosit notatiileC 1 k

f 2~=-=2vw; (0-=-, (1.6)m m

v reprezentand fractiunea din amortizarea critica, iar ill este pulsatia proprie

a sistemului.

In aplicatii eel mai frecvent se neglijeaza amortizarea. Prezenta carte

fiind 0 culegere de probleme, ne vom referi in principal la ecuatiile (1.3'),

(1.4 '). Cei interesati de problema amortizarii pot consulta lucrarile mai sus

amintite.

8



SISTEME DINAMICE CU 1GL

Vibratiile libere descrise de ecuatia (1.4') sunt irnportante, deoarece ere

definesc caracteristicile dinarnice proprii ale sisternului oscilant, Aceste

vibratii libere se datoreaza conditiilor initiate: deplasari initiale 1 1 0 ~i viteze

initiale, Adica se seoate sistemul din pozitia de echilibru prin aceste deplasari

~iviteze initiale si se lasa apoi sa vibreze liber. Evidentca netinand eont de

arnortizare, aceste vibratii, teoretic, vor dura pana Ia infmit; este un caz ideal.

Solutia ecuatiei diferentiale (1.4') este

u(t) = Uo cos rot +~sinrot .(0

Trecand de la constantele lio, l l o Ia constantele

A = ~ ; < jl = arctg ~~"~ , (1.8)

numite amplitudine si faza initiala, solutia de raspuns (1.7) ia forma

u(t) = Asin(rot + e), (1.9)

Din aceasta forma deducem ca raspunsul liber al sistemului estearmonic

(este descris de functia sinus sau cosinus), are 0 anumita perioada T,. care

rezulta din perioada functiei sinus egalacu 2n. Adica

roT = 2n,.

;. (1.7)

de unde

T= 2n.(0

(1.10)

Perioada T are semnificatia timpului in secunde, in care se efectueaza 0

vibratie (0 sinusoida) completa (fig. 1.3).u

Fig. 1.3.

9



D INA MICA CONSTRUCT IILOR

Numarul de vibratii efectuate intr-o secunda se numcste frecventa (sau

frecventa fizica), se noteaza eu f si este

f = _ ! _ ' f=~.T' 2n

Marimea 0) se nurneste pulsatie (sau frecventa circulara) si va fi

2n00=2nf' 00=-.... , T'

~i are sernnificatia numarului de vibratii efectuate in 2n seeunde. Pentru un

sistem eu 1 GL, marimile ill, T, f reprezinta caracteristicile lui dinamice; se

mai zic caracteristici dinamice proprii: pulsatie proprie de vibratie, perioadaproprie de vibratie, Aceste caracteristici nu sunt in functie de forta

perturbatoare, dar de ele depinde raspunsul dinamic a l sistemului,

Determinarea pulsatiei proprii ro se face folosind (1.6), adica

0)= ,..

(l.11)

in care m este masa purtata de structura, iar k este coeficientul de rigiditate

relativ GL (fig. l.4a) ..Tree§.nd de la coeficienrul de rigiditate k la eel de

flexibilitate & = 11k(fig. lAb),

a ) ~ f ~- _ . - - ' - - ' . . . . ." - } - . -

b)~ f~- - " " " " " " " " - 8 - -

c) t ~ : g~.!~

"" u= Q '&I.Q

Fig. 1.4.

\0



SISTEME DINAMICE CU I GL

putem serie

W ~ ~ d 8 M i ~ ~ 'unde s-a tinut cont ca acceleratia gravitationala g = 981 cm/s ' ~i suntem

condusi Ia

(0= 31,32 (1.12)

- ~US1,Q ' ;

in care Ust,Q este deplasarea statics (sageara statica) din forts Q =greutatea

masei, introdusa pe directia GL, masurata in em, Evident ca in cazul in careGL este reprezentat de deplasarea pe orizontala a masei m, forta Q trebuie

introdusa pe aceasta directie (fig. 1.5),

(m) u

Fig. 1.5.

Avand determinata pulsatia proprie de vibratie co, perioada proprie de

vibratie T se calculeaza cu relatia (1.10),Deterrninarea lui (0, respeetiv T pentru sistemeleeu 1 GL se rezuma in

principal la calculullui Ust,Q, calcul care se efectueaza eu metodele Staticii

constructiilor, respectiv metoda Maxwell-Mohr. Se traseaza diagrama de

momente din Q pe care 0 notam eli M, apoi se introduce pe directia GL 0

forta egala eli 1, se traseaza diagrama de momente pe care 0 notam eu m,

apoi ust,Q se calculeaza ell relatia

J

MmU,t,Q = _ .~·-ds,

tSTRUCTURA) EIiar integralele pe barele strueturii se efectueaza eu regula lui Veresceaghin,

(1.13)

II




Daca structura (suportul elastic al masei) este static determinate,

diagramele M. respectiv m se traseaza lara dificultate si calculul lui US1,Q esterelativ simplu. Daca insa structuraeste static nedeterminata, pentru trasarea

diagramelor M,.m trebuie utilizata una din metodele Staticii constructiilor:

metoda fortelor sau metoda deplasarilor,

Observatie

Metoda deplasarilor poate fi utilizata in calculul deplasarii Ust,Q, daca

aceasta se regaseste printre necunoscutele metodei si daca metoda se aplica

neal terata. prin utilizarea coeficientilor p, p', ... cum se obisnuieste,

Vibratiile fortate, datorate unor forte perturbatoare PCt), in absenta

amortizarii, sunt descrise deecuatia diferentiala (1.3'),

ii+ ro2u = _!_PCt),m

f011a pet) fiind aplicata asupra unui sistem al carui caracteristica proprie ro

este cunoscuta, Se arata in [2], [6], [74], [75] c a in regim permanent sao

stationar raspunsul in deplasari (solutia ecuatiei diferentiale) este dat de

relatia

P t

u(t)=O_~ ff(r)sinro(t-'t)d't, (1.14)mcoo

in care am considerat pet) =Pof(t), functia f(t) dand variatia fortei

perturbatoare. Integrala din relatia (1.14) se numeste integral a lui Duhamel.

Se observa ca mco2 = k = . ! . . , iar Po . 0 = u st R = ust , astfel cao . 0

u(t) = Ust . o/(t) (1.15)unde

1

\V(t) = coff(t) sin ro(t -'t)d'to

(1. 16)

~i se numeste functie de multiplicare dinamica, i n (1.15) u(t) este functia

deplasaresi reprezinta ecuatia miscarii masei m. Este 0 deplasare dinarnica,

Se va putea serie

Ud = Ust . o/(t), (1.17)

sau in general

RD = RS . o/(t) (1.18)

12



SISTEME DLNAMICE CU 1 GL

relatia transferandu-se astfel de la deplasari la eforturi sectionale: momente

incovoietoare, forte taietoare, forte axiale.

Valoarea maxima a functiei de rnultiplicare dinamica se numeste

multiplicator dinamic ~i se noteaza cu \jf

\jf = l\jf(t)lmax, (1.19)

si prin ecuatia (1.15) vom fi condusi la

(RD)max= (RS) . \jf. (1.20)

In general ne intereseaza raspunsul dinamic maxim in $leplasari si

eforturi sectionale. Din acest motiv vom da relatii in ceea ce priveste

multiplicatorii dinamici \jf corespunzator anumitor tipuri de variatie alefortelor perturbatoare pet) = Pof(t).

• Cazul fortei c resca toare liniar de la zero la val0area maxima Po intr-un

timp to , dupa care ramane constants (fig. 1.6).

f(t)

t

Fig. 1.6.

Aici trebuie spus di, daca to este mare in raport cu perioada proprie de

vibratie T a sistemului pe care actioneaza forta, \jf = 1. Este cazul incarcarii

statice. Dad to este mie in raport eu T, 1<,+,<2, iar daca to=O, forta

actioneaza de la inceput eu intreaga intensitate, \ . 1 '= 2 .

• Cazul fortei armonice. pet) = PosinDt; f(t) = sin Qt. in acest caz 0este

pulsatia fortei perturbatoare.

Se arata ca

(1.21)

!3




Graficul multiplicatorului dinamic 'V in functie de raportul r u o o arata ca

in figura 1.7.

I ..-.._,...~,,"'.......,,,

-+ ~--~------~==~~Oo 1 12 c o

Fig. 1.7.

Se observa eli in cazul in care raportul dintre pulsatia fortei perturbatoare

Q si pulsatia proprie a sistemului (J) este cuprins intre 0 si . J 2 ;

0/ eoE ( 0 , . J 2 ) , atunci \jI >1, adica raspunsul dinamiceste superior

raspunsului static, iar daca Of ro> . J 2 , raspunsul dinamic este inferior

raspunsului static.

Daca O /w ~ 1 , \jI este mare, tinzand catre infinit. Este cazul rezonantei

teorerice, Practie in eazul unei probleme in care se cere raspunsul dinamic

maxim in deplasari si eforturi, rezolvarea ei presupune urmatorii pasi:

• se deterrn in a u st,Q si se exprima in em ;.. ,

• se calculeaza cocu relatia (1.12);

• se calculeaza \jI in functie de tipul excitatiei data prin f(t);

• se inc arc a struetura eu forta alternants \jI Po;

• se determine Umax;

• se traseaza diagramele eforturilor sectionale maxime.

14




Observatii

• Daca GL este pe directia vertical a, atunci greutatea Q a masei se

suprapune cu \ v Po, dar cum aceasta este alternanta, poate avea ambele

sensuri, structura se incarca eu Q ± \jJPo,calculand Umin,rna,,{i Mmin,max,tc.

• Masa m se considera cunoscuta ~i structura data.

1.2. Vibratii libere. Caracteristici dinamice proprii, j

Probleme rezolvate

1.2.1. Pentru sistemele dinamiee cu 1 GL din figura 1.2.1, se cere sa

determine caracteristieile dinamice proprii: pulsatiile proprii de vibratie ~i

perioadele proprii de vibratie. Se va considera: m = 10 kN S2. ; i=6 m; EI =m

10000 kNm2; Q = 100 kN.

" . " t ' . - , . " . !EI• • • • . (Ill) L...

t - - --f' - .

~ = - - . ' ~ . - ·tT Ta)

b)

Fig. 1.2.1.

Rezolvare

Asa cum s-a prezentat in breviarul teoretic, pulsatia proprie de vibratie a

sistemelor cu I GL se calculeaza cu relatia

31,32(0=-..: ;"0'==

- ~US1,Q '

in care Ust,Q este deplasarea statica din Q=mg (greutatea masei) introdusa pe

directia GL,.masurata in em. Vom putea serie lara comentarii:

15



DINAMICA CONSTRUCTIlLOR

a) Din figura 1 .2 .2 rezu lta

• Q

F ig . 1 .2 .2 .

Usr,Q

= ~ I f M m d x = i d ~ + f < 2 =~~I

Introducand valorile numerice obtinem

100kN·63m3

US! Q = 4 2 = 0,045 m = 4,5 em. 48·10 kNm

- 31,32 -1·4·77 rad. T·- 2n - 0 4300 - 1 4 3 -'-s ' . -00 - , s.

Sistemul efectueaza 14,77 vibratii in 2n secunde, iar 0 vibratie cornpleta

se realizeaza in 0,43 s.

b) Din .pgura 1.2.3 rezulta

, 1 { I (2 Q(3

ust,Q =E1 j M m d X = E1 Q( '2 ' 3·r = 3Ei

_100.63_? _

US!Q - • 4 -0,7_m-72cm, 3 ·10

00=3~. 2

=3,69 rad., T = 6,28 = 1 7 0 s .v72 s 3~9'

16




Q

Q[

Fig. 1.2.3.

[

in acest caz, structura fiind mai flexibila (sageata este de 72/4 ,5=16 ori

mai mare) decat in cazul precedent, pulsatia este mai mica, iar perioada

proprie mai mare. 0structura eu c a t este mai rigida, oscileaza cu mai multe

vibratii pe secunda si evident 0 vibratie completa tine mai putin,

c)Q

Fig. 1.2.4.

u 1 ,Q = ~I fMmdx = J I C ; [ . ( . ~ . ~ . % + ; [ . ~ . ~ . ~ . ~ ) =

4Qe 4.100.63= = 4 =0,107m=10,7cm8lEI 81·10'

17




00= 31,32 =9,58rad; T= 6,28 =0,66s .

. J l 0,7 s 9,58

Rigiditatea, respectiv flexibilitatea acestui sistem este incadrata lntre cele

de la a), respectiv b).

1.2.2. Se considera sistemele dinamice eu I GL din figura 1.2.5. Se cere

sa se determine pulsatiile proprii si perioadele proprii de vibratie, Se va

. . kNs2

({ 2considera m = 10-- Q=lOO kN); .= 6 m, h = 5 m; EI = 20000 kNrn .

m

a)

u

!J

2 : (m)

EI

!J

(m) 2 :

EI

f(

I[

1

b) c)

Fig. 1.2.5.

Rezolvare

a)~ 5Q=SOO

+.--__"._.....,::;_-......r~..;l +-::::;==:;;--_~:::,

r '. . . . ._ . . . . ., ; ' f tr-

, I

I

If /I ff II fI fI JI

5

Fig. 1.2.6.

18



SISTEME DINAM ICE CU 1 G L

1 1 2 1 1 2u = -·500·5· _. -·5 + -··500·6· _. -·5 =st.Q

EI 2 3 2EI 2 31 (5) 500·5·g=-•...00.5.,- ..+1 = .. =0333m=3333cmEI 3 3EI' ,

00= 31,32 =5,42rad; T= 6,28 =1,16s ...)33,33 s 5,42

b)2, 5

I........-"',I,I

~-'- '- . . . .

. .J

J

I

J

I

I

I

I

I

I

2 . 5 t.

Fig. 1.2.7.

1 12 1 I 12ust,Q = EI ·2,5Q·2,5· 2,),2,5+ EI ·2,5Q·2,5·2,5+ 2EI .2,5Q.6·2 ,]·2,5=

=_1 .Q.(2 5.2 5.2 5 ..!..+25.25.25+25.25) = 27,083·100 =EI ,,' 3 ' , , ., ., 20000

= 0,1354m = 13,54em

00 = 31,32 = 851 rad. T = 21t= 0,74 s ...)13,54 ' s' 00

e)

u =..1.. 5Q.5._.1... 3 . .5+_1._. (25Q.6.2 5+2 5Q.6 ..!.. ·25+2 5Q.6.'!'.3..2 5)+

st.Q EI 2 3 2EI " 2" 2 3 .,

+J_.2 5Q.2 5 ..!..2 .25 = 81,25Q = 81,25·100 = a 4062 m =4062 em

EI' '2 3' EI 20000' •

19



DINAMICA CONSTRUCTilLOR

,_ ... - . . . . . .. . . . .I

I

I

I

I

5Q 5

I,I

II

I

II

II

~t.Fig. 1.2.8.

0) =.~ =4,91 r:d; T = !:~~1,28 s ,

2,5Q

5

2,5 t..

1.2.3. Sa se determine pulsatiile $i perioadele proprii de vibratie pentru

kN2

sistemeIe eu 1 GL din figura, Se va considera m = 10-· ·_.s_ (Q = 100 kN);m

t= 6 m; h = 5 m; EI = 20000 kNm2•

( ~ ( l3 ,

b)

2E I\I

h EI EI

(

1

a)

Fig. 1.2.9.

20

(m)

u

c)



SISTEME DlNAMICE CU I GL

Rezolvare

a)

~Q "'-... Q~ . . . - - - - - . - : : - - e - _ _ _ " . . . : . . . . " _ _ , " ~ ==......g.'-----I--..............._ . . . . , . . - . . . . . _ , _ . - , . _ . . . . . . " " , . .

,

/ J ¥I

J

J

J

I

,I

III

J

I

I

Fig. 1.2.10.

u =~. 5Q .5 ... ! _ . ~ . ~ + ~ . 5Q ..3 . _ ! _ . ~ . ~ = 325Q = 13 54 emst.Q EI 2 2 3 2 2EI 2 2 3 2 12EI '

c o = ~ =8,.51 r : d ; . T = ~ ~ } = 0,74s.

b)

- - - , I tI u . . . . ,1

Ii I

I

. . . . ". . . . _ . . . .

,I

I

IJ

III

~ t · . · ·,

Fig. 1.2.11.

21




2 _ I 2. 2 1 2. I. I 2 17Qu =_--·Q·5·_·-·I+-- -·Q·3·-·-·I+-·2Q·2·-·-·2=-=

SI,Q EI 2 3 2EI 2 3 2EI 2 3 3EI=0,0283m =2,.83ern

00 = . J f f i =18,62rad; T = 2n =0,34s.2,83 S 00

c)Q

Fig. 1.2.12.

u = 2_ .Q ·5 .!.2 .1 + ..~... Q .3 . 1 ..~.. 1+ . ~.. .Q . 2 5 · 1+st,Q EI 2 3 2EI 2 3 EI '

11 lQl lQ 121=-EI,Q·2,5·4 + EI '2 ·2,5·2 .1+

Ei '2·2,5·2 "'3'2+

I·f I 2 1 Q 1 2 1 9,506Q ..+-·2Q·2·-·-·2+-·_,25·_·-·-= .. = 00475m= 4 75em, "EI 2 3 EI 2 2 3 2 EI

00= 31,32=1437rad. T= 6,28 =044s.,J4,75 ' s' 14,37'

22




Observatie

Aplicatiile prezentate In 1.2.1, 1.2.2, 1.2..3 sunt relativ simple, aceasta

datorita faptului ca structura ca suport elastic al masei este static

determinate, iar trasarea diagramelor M, respectiv m este simpla,

Vom prezenta in cele ce urmeaza exemple in care structura ca suport

elastic al·masei este static nedeterminata, I n aceste cazuri trasarea diagramelor

M, m presupune apJicarea uneia din metodele Staticii constructiilor: metoda

fortelor, respectiv metoda dep la sa rilo r, A ic i trebuie precizat ca I~ cazul apli-

carii metodei deplasarilor, daca depJasarea Ust,Q se regaseste printre necu-

noscutele metodei, aceasta poate fi gasita evitand metoda Maxwell-Mohr.

1.2.4. Pentru sistemele dinamice cu 1 GL din figura se cer caracteristicile

dinamice proprii. Se va considera m = 10kNs2

(Q = 100 kN); I = 6 m;m

EI = 20000 kNm2.

a)I (m) EI

I/

[ u _ f _

I 2: I 2 I1 1 1

f[ ,

1

(m) EI

b ) r

! u

/

r r[

2: 2: [

EI (m)

c)

[ u[ 2:

Fig. 1.2.13.

23




RezoIvare a)

e1

®~ - - - - - - - - - r - - - - - - - - ~Q

[ [

4 4

[

8 ~ - - ~ ~ - - - r - - ~ ~ - - ~[

8

®

Fig. 1.2.14.

24




01lX 1 + AIO = 0 .

El01l = f midx=I.[.I=[

E M l O = J m 1Mo dx = - ~ .[. i . 1 = _Q~2

[X l - Qe = 0 .

8Q[ ;.

Xj=-. 8

M=Mo+Xlml

us1,Q =~I JMmdx

4 Q[ [ 1 2 [ Q[3U =-- ._.c ·_·_·_·-=--=o.563cmsl.Q EI 8 4 2 3 8 192EI '

0= 31,32 =41,76rad; T= 6,2~=o.,15s .. j o . , 5 6 3 s 41,76

Aici, in trasarea diagramelor M, m s-a aplicat metoda fortelor, tinandu-secant de simetria sistemului.

b) Si in acest caz, In trasarea diagramelor M din Q~i m din forta unitara

pe directia GL, aplicam metoda fortelor, Necunoscuta Xi se alege in

termenii marimii momentului pe reazem. Ecuatia de continuitate a rotirii pe

reazem se scrie ca ~i in exempluI precedent

OllXI + AIO = 0 . ,

tmde

J2. . I 2 . 2[

ElOl1= m

1dx=2·1·[·_·_·1=-

2 3 3

EIA = J m M dx =_ Q[.{ .. ! . . !=_Qe--]0"] 0 4 2 2 16

25



DINA MICA CONSTRUCTTILOR

Q

6Ql

64

13l 6l

3838

Fig. 1.2.15.

26




2[ X Qe. x _ 3Q{3 1-

16' 1-

32M=M+Xm l,

la mij loeul primei deschideri

Q{ 3Q{ 1 13Q{M=~--·-=-

4 32 2 64

u = _ ! _ fMmdx =_1 ( 1 3 Q l . ! _ . . ! . . 2 . 13{ + 13Q{ .13{ ..!..~.. 1.3[ +sr.Q EI. EI 64 2 2 3 64 64 38 2 : 1 64

+ 6Q[ . 6[ .

. ! . . ~ .6{ + 6Ql .( .

. ! . . ~ .6[) = 59,76Qe = 158 em

64 38 2 3 64 64 2 3 64 642 EI '

ill= 31,32 = 24,92 rad; T = 6,28 = 0,25 s.J C 5 8 s 24,92

e)

Q

S2 f

4

[3

2[3

[ ~ - - ~ ~ ~ - - - - - - - - - - - - - + - - - - - - ~4

Fig. 1.2.16.

27



D INAMICA CONSTRUCTIILOR

Ust,Q = =

~I fMmdx = =

~I(~ .~,~. ~.~+ ;,

2;.~ .~.~+

+~ ' i ' ~ · i ) = = i~~i10.100.63

ust Q = = = = 0,.075m = = 7,5 cm, 144·20000

ro = = 31,32 = = 11,43 rad; T = = 6,28 = = 0,55 s .

N s 11,43

Suportul elastic al masei este si in acest caz static nedeterminat, dar stiindca momentul de pe reazem Q{12 se transmite in incastrare ell coeficient 'is,

diagramele M, m au putut fi trasate rara calcule suplimentare.

1.2.5. Sa se determine caracteristicile dinamice proprii to, T pentru

sistemele ell 1 GL din figura. Se va considera m = = 1Ok]\JS.2 (Q = = 100 kN);m

i=6 m; h = = 5 m; EI = = 20000 kNm2•

u .

h EI

[

"2

a)

Rezolvare

a) Sistemul prezinta simetrie geometrica si elastica. La vibratii verticale

tinern cont de aceasta simetrie. i n determinarea lui list,Q aplicam metodadeplasarilor.

(m) 2EI

(

"2

(m) 2EI u

b)

Fig. 1.2.17.

28



SISTEME DINAMICE CU 1 G L

.",

U... .,

' ..

'"

2EI5

Fig. 1.2.18.

Mo=O

Sistemul ecuatiilor de echilibru se va scrie

{

rllzl + r12z2 + RIO = 0 (1.22)

r21z1 + r22z2 +R20 = 0

Cum GL u se regaseste in Z2, din rezolvarea sistemului de ecuatii (1.22)

vom gasi pe U,t,Q (=zz). Calculam coeficientii sistemului (1.22).

(

4.2EI 4EI) Z-~EI

fll = 2 3 __-5- ,_ 4'~EI ( _ )A~ ) 4.3 EI

=_2(4.2EI+2.2EI) t tr21 - 32 .........

r~l

_-2 6·2EI 6·2EI

r

12

- 12~~EI ( - - - - - 1 t ~In = 2 3 !!- 3 .........

r~

29



D INA MICA CONSTRUCT IlLOR

Sau

rll = I04EI = 6,93EI15

r'l = - 24EI = -2,67EI- 9

rn = - 24EI = -2,67EI9

48EIr22 = - - = 1,78£1. 27

RIo = a (pe sistemul de baza diagrama de momente Mo este nula).

R20 = -Q (reactiunea in pendulul de pe directia Z2 este egala cu Q~i

orientata invers).

Sistemul (1.22), dupa im partirea ell EI, devine

{

6,93z1 - 2,67z2 = °-267z +1 78z =-.Q.

, , '2 EI

Solutiaeste

. . Q . 100 .z, = 0,512- = 0,512 = 0,00256 rad

EI 20000

Q 100Z2 = 1,330- = 1,330 = 0,00665 m = 0,665 em.

EI 20000

Adica

Ust,Q = 0,665 em.

S-a ealculat astfel deplasarea Ust,Q evitand metoda Maxwell-Mohr ~l

regula lui Veresceaghin,0)= 3 1 , 3 2 =3843 rad. T = 2 1 1 : = 0,16 s .

.jO,665 ' s' 0)

b) Datorita aceleasi simetrii geometriee ~i elastice, sistemul de baza va fi

1.2,19b,

30




,...·

..

.,

··

·····a) b)

Fig. 1.2.19.

Fig. 1.2.20.

Sistemul ecuatiilor de echilibru este tot de forma (1.22), unde

_ ?(4EI 6· 2EI) _ 28El _ 5 6EI[II-_ S + 6 - 5 -,

6EI 4ESI~~[21 =-2-2 = -0,48El .....----

S

6El[)2 = -52 . 2 = -0,48EI

12EIr'2 =2-.-=0,192EI- S~ 2EI~

5

31




Dupa impartireacu EI, sistemul de ecuatii devine

{

5,.6zl - 0,48z2 = 0

- 0,48z1 + 0,192z, = _ g _ .- EI

Solutia sistemului este

ZI = 0,568.Q

= 0,568 ...100

. = = 0,00284 radEI 20000

z =6629 9=6629 .100 =003314m=3.314cm.2 , EI ' 20000' . ,

Adica

USI .Q = 3,314 em

ill = = 31,32 = = 17 20rad ...j3 ,314 ' s'

T =.6,28 = 0 365 s .17,20 '

1.2.6. Sa se determine pulsatiile proprii, respeetiv perioadele proprii de

kN2

vibratie pentru structurile parter din figura, Se va eonsidera m = 10__ s_

m(Q = 100 kN); h =5 m; EI =20000 kNm2

•

U

+-IF==~-====T====~==~~==~====~===-~==~--

(m) EI (00) (m) (m)

h EIa)

{ { { (

u

b)

F ig . 1 .2 .21.

32




Rezolvare

a)

6EIT

b)

3EI5 2

12EI 12EI 12·20000 kNk = = n · - - . =5-=5···· ... =9600-

53 53 53 m

ill= = f k m k . - - = 9600[l<Nm-l] = 15,49 S-I

V ;; 4.1O[kNs2m-1]

T =.~,28 =0,41 s. ;,.

15,49

k = n .3El= 5 3~I = 5 3 ·20000 = 2400kN53 53 53 m

ill= If = J60 = 7,75 r:d

T= 6,28 =0,81s.7,75

Observatie

in cazul a) stalpii se considers incastrati in grinda, iar in cazul b) stalpii

se considera articulati la nivelul grinzii cu zabrele,

1.3. Vibratii fortate. Raspuns dinamic. Probleme rezolvate

1.3.1. i n capatul consolei grinzii din figura 1.2.22, un motor produce 0

forta perturbatoare armonica verticala Ptt) =Posinat. Se cere sa se determine

raspunsul dinamic, minimsi maxim, reprezentat in deplasarea Umin, Umax : i i i

momentele incovoietoare dinamice minime si maxime. Se va considera

kNs2m =15-- (Q =150 kN); [= 6 m; EI =15000 kNm2

; Po= 100 kN;m

Q = 12 rad/s.

33




! U . . , Q [em]

Rezolvare

Mai intai determinam pulsatia proprie de vibratie ro a sistemului. Pentruaceasta se procedeaza ca in exemplele anterioare studiate in paragraful 1.2.

EI

~ P(t)

(m)

{

, QI

m

51,4 kNm

Fig. 1.2.22.

34




u = _ 1 JMmdx = _ 1 ( Q [ . [ .l.~._+ Q[ .!_ .!. ~ . ! _ ) =st,Q

EI EI 3 2 3 3 3 3 2 3 3= 4Qe = 4.150.6

3

= 0,1067 m = 10,67 em

81EI 81·15000

ill= 31,32 = 9,58 rad .

.j1O,67 s

Calculam in continuare multiplieatorul dinamie J

~ = 1 _ ( 1 ~ ) ' 1 = _ ( ~ r l ' 7 5 7 'eu care fOI1adinamica maxima va fi

\jI Po = 175,7 kN.

in aeest eaz greutatea Q a masei m si \ 1 ' Po actioneaza ambele pe directia

verticala a GL Cum \jI Po poate actiona si in jos si in sus, se incarca grind a

eli Q ± \jI Po.

Q + \I' Po = 150 + 175,7 = 325,7 kN

Q - \1 ' Po = 150 - 175,7 =-25,7 kN

4.257.63, = -0,0183 m= -1,83 em

81·15000

4.325,7.63

=0?316 =?317u m a . " = = , _ m _, em .81·15000

u· = =mm

Vibratiile se produc in jurul pozitiei de eehilibru static in care masa m

este deplasata cu Ust,Q' Asa cum rezulta din figura de mai jos, elongatia

vibratiilor este 12,50 ern. ,.

1,83

2.-,17

12,50

,-.

Diagramele Mmax, Mmin se vad in figura 1.2.22.

35



DfNAMJCA CONSTRUCTlfLOR

Mmaex= (Q + \I f Po)' £ = 325,7·2 = 651,4 kNm3

. [Mmin = (Q ~\lfPo)'- = 25,7·2 = 51,4 kNm.

. 3

1.3.2. Capatul consolei structurii din figura 1.2.23 poarta masa

10 kNs2 _". - Ii b . -m =.. ._-, asupra careia acponeazaorj:a pertur atoare armorucam

verticals PCt) = 100 sinl2t Sa se determine raspunsul dinamic minim si

maxim in deplasari si momente incovoietoare. Consideram a=2m, b=lm,

c=3m si EI=10000 kNm2 (a + b = i=6 m).

Fig. 1.2.23.

U s t . Q =~I(3Q.3.~'~'3+Q'2'~'~'1 +2Q'4'~'~'2) =

=36Q= 36.100.=012m=12cm•

3EI 3·10000

co= 31,32 =9 04 rad

. . J 1 2 ' s

36



SISTEME DfNAMICE CU I GL

~IjJ ~

l - l ~ ) I ~ 1,312

\ j J Po =131,2 kN.

Si in acest caz, greutatea Q a masei m ~i \j J Po actioneaza pe aceeasi

vertical a si efectele se cumuleaza. Dar \jJ Po poate avea si sensul in jos si

conduce la Q + \jJPo ~i sensul in sus si conduce la Q - \ jJPo,

Q + \ V P o = 100+ 131,2=231,2kN

Q - \jJPo = 100 - 131,2 =-31,2 kN,

Sagetile dinamice, minime si maxime sunt

umin

= - 36·31,2 = -0,03744 m= -3,744 em3 ·10000

- 36·231.2 _ a )774 . - 27 74llma.x - -,- m - .. , em,.. 3 ·10000

Diagramele de momente maximesi minime se vad in figura 1,2.23.

1.3.3. Cadrul ell 3 articulatii din figura este prevazut la nivelul riglei cu 0

1- 1 - 1 - . - d - 5 kNs2

conso a .a capatu careia este prevazut un motor e masa m = .. --m

C Q = 50 kN), care produce vibratii, forta perturbatoare verticala generata

fiind P C t ) = 100 sin15t (EI = 20000 kNm2). Sa se determine raspunsul

dinamic minim si maxim exprimat in deplasarea u a masei m si mornente

incovoietoare.

4 1 1 .

"U5 'EI EI

12

2131 1

2EI

f i t )(m)

Fig. 1.2.24.

37



D INA MICA CONSTRUCT IILOR

Rezolvare

in vederea determinarii multiplicatorului dinamic 'fI, mal Intiii calculampulsatia proprie co a sistemului. Se urmaresc pasii parcursi si la celelalte

probleme, Se incarca strucrura co greutatea Q a masei m in punctul de

concentrare a masei pe directia gradului de libertate si se determina U,I,Q,

apoi cu relatia (1.12) determinam pe co. Multiplicatorul 'fI 11calcularn cu

relatia (1.21). Forta perturbatoare si greutatea Q avand acelasi suport

vertical, se incarca structura cu Q ± \ j IPo si determinam astfel raspunsul

dinamic maxim, respectiv minim. Toate acestea pot fi urmarite In cele ce

urmeaza.

3

__.,.lQ.10

t 1 £ 2

_ _ . , . 3 _10

t 7.4

Fig ..1.2.25.

US1,Q = =

J r rds = = ~ I . 3; ·5· ~ .~ . % + 2~I' 3;. 2 . ~ . % +

.f + _ 1 _ . . .3 Q . 3 . . . ! . . . ~ . 3 = = 1 8 Q = = 0 , 0 4 5 ill=4 , 5 em ,2EI 2 3 EI

co = 31,32 = 14.76 fad

N' s

'fI ~ - - + n d = . :2 1 2,95

1 1 - ( ~ ) I I - C 4 , 7 6 )'+ ' Po = 295 kN

38



SISTEM E D lN AfyfICE CU 1 G L

Q + IVPo = 345 kN; Q - IVPo = -145 kN

u . = 18(Q+\J1Po ) =18-345 =0,3105m=31,05cmmM EI 20000

u ' = 18 (Q - I .VP o) = _18 -145 = -0,1305 m = -13,05 em.mm EI 20000

Diagramele de momente rnaxime ~i minime sunt prezentate in figura

1.2.26_

t145 kN

Fig., 1.2.26.

1.3.4_ Un sistem dinamic ell 1 GL este modelat ea in figura 1.2.27.

kNs2Consideram m = 4--; Q = 40 kN; [=6 m; EI = 40000 kNm2

;

m

Po = 25 kN; Q = 40 rad/s, Se cere sa se determine raspunsul dinamic maxim,

respeetiv minim exprimat in deplasarea u a masei m si diagramele de

momente.

Rezolvare

Suportul elastic al masei, grinda continua pe doua deschideri este 0 data

nedeterrninat, Pentru trasarea diagramelor M ~i m aplicam metoda fortelor.

8nX j + 810 = 0

EI -8 = 1-[.!-~I -2= 2[11 2 3 3

[ 1 I eEI-81 O =---[----=--

4 2 2 16

39



D rNAM ICA CONSTRUCTHLOR

2[ X _e =: 0 . X =: 3 f3 1 16· , 1 32

Momentul m din forta egala cu I pe grinda continua este

m=mo+m!X].

Rezulta diagrama m din figura 1.2.27.

f : ~ p " S i n r uEI

1 . .2

J2

Q

[

.... - _ - _ _ - .

Fig. 1.2.27.

Tinem cont ca M = Qm (M este diagrarna de momente din forta Q = mg

in punctul de concentrare a masei pe directia GL) si scriem

40



SISTEME DINAM ICE CU 1 GL

u = _ . Q . . J.m2dx : : : : _ 9 _ ( . 13{ .i... . ! . . 2...13{ + 13{ .13.[ ..!..~.13{ +

st,Q EI· EI 64 2 2 3 64 64 38 2 3 64

+ :: .~~.~ . j . : ~ + ~ ~(.i . ~ . ~ ~ ) 5 9 ~ : ? i t = 5 ; ; ~ ~~ ~ 6 r i 6 3= 0,00315 m = 0,315 em.

Pulsatia proprie a sistemului va fi

ro = 31,32 = 55 83 rad

JO,315 • s

Multiplicatorul dinamiiC~ I

0/ 1 - ( ~ ) 2 1 1 - ( 5 : ,~ J = 2 ,0 5

\jI Po = 2,05· 25 = 51,25 kN .

Greutatea masei Q se suprapune eu forta alternanta ± \jI Po si rezulta

Q + \jI Po = 91,25 kN

Q - \jI Po = -11,25 kN.

Se lncarca grinda eu aeeste fortesi se obtine raspunsul dinamie maxim ~i

mirum.91,25

..... 'I! _ .......

----- --- - ---- - ------------

- . . ~..... _ , . . . . . . . -

Fig. 1.2..28.

41



DINAMICA CONSTRUCTIlLOR

U =59,76.91,25.63

=0,72 emmax 642 • 40000

_ 59,76 .11,25.63

_ -0 088u . - - em.nun 642 . 40000 '

1.3.5. La mijloeul riglei cadrului dublu incastrat este dispus un utilaj, care

produce vibratii vertieale. Intregul ansamblu este modelat la sistemul

dinamic cu 1 GL din figura, Se cere raspunsul dinamic maxim §i minim.

Consideram m = 10 kNs

2

; Q = 100 kN; EI = 10000 kNm2; P C t ) =60 sin75t.m

3 EIu

2 2

Fig. 1.2.29.

Rezolvare

I n vederea determinarii pulsatiei proprii a sistemului, oi, se calculeaza

mai intai Ust,Q, sageata statics din incarcarea cu greutatea masei Q pe directia

GL (fig. 1.2.30).

Fig. 1.2.30.

42

Q




in calculul lui Ust,Q utilizam metoda deplasarilor, Pentru ca US1,Q s a se

regaseasca printre neeunoscutele metodei, introducem in sectiunea de 1a

mijlocul rigid un nod (care datorita comportarii simetrice, nu se roteste).

Forma de baza va fi

Fig. 1.2.31.

Sistemul ecuatiilor de echilibru se serie

{

rllz\ +r12z2 +RlO = 0

[llZI + r22z2 +R20 = o .

in vederea determinarii coeficientilor, se traseaza diagramele de

momente mj (din 2j = 1; Z2 = 0) si ffi2 (din Zl = 0; 22 = I). Acestea arata ca in

figura 1.2.32.

2EI3

Fig. 1.2.32.

6·3EI

4"J



2-3El---y-

~.~~I ~ )A~ ) 4'_~EI

t t. . . _ . . . . . .

f"

6·3EI

~)~~

!!

DfNAMlCA CONSTRUCTIILOR

RlO = 0 (diagrama de momente din Q pe sisternul de baza este nula)

R20 =-Q

Sistemul de ecuatii, dupa impartirea ecuatiilor co EI, se serie

{

14,67z1- 9z1 = QO.

-9z +9z =_...I 2 EI

6·3EIr'l =-2--=-9EI- 22

6·3EIrll= -2-····_·-·-· ·2= -9EI

2 2

12 ·3EIr., = 2·· :::::EI-- 23

Solutia este

f"

z\ = 0,1764_9_rad; z, = 0,2875Q m .EI - EI

Se observa c a

US! Q ::::: Z2 :::::0,2875_9_ =0,2875 em, EI

ill::::: 31,32 :::::58 43 rad

~0,2875 ' s

o / I 1 _ ( ~ ) 2 . 1 - ( 5 ; , ~ J 1 , 5 4 .Pulsatia fortei perturbatoare fiind mai mare decat pulsatia proprie a

sistemului, se spune ca utilajul dispus pe structure functioneaza in zona

acordarii inalte (de la pornire p a r r a la regimul permanent, trece prin zona de

rezonanta).t V P o = 1,54·60 = 92,5 kN

44




Q + \jf Po = 192,5 kN

Q -\jf

Po= 7,5 kN.=02875.

192,5 =055em

timax

, 10000'

timin = 0,2875~ = 0,022 em .10000

Pentru trasarea diagramelor de momente rnaxime ~i rninime, se incarca

cadrul eu fortele Q + \jf Po = 192,5 kN, respeetiv eu Q - \jf I ' D = 7,5 kN,

tinem eont ca diagramele pe sistemul de baza din aceste forte sunt peste tot

nule. Calculam din aceste forte pe Zl §i Z2,dupa careM= rniz: +m2Z2.

• Diagrama de momente rnaxime

z = 01764. 192,5 = 33,96. Z2= 0,2875. 192,5 = 55,34 .I' EI EI' EI EI

22,64

Fig. 1.2.33.

Calculam momentele in sectiuni caracteristiee.

M =2EI. 33,96 =22 64 kNmI 3 EI '

M = - 4EI . 33,96 = -45 27 kNm2 3 EI '

45




• Diagrama de momente minime

z = 01764. 7!5 = ~,32~. z = 0,2875. 7,5 = 2,1561 . , EI EI·' 2 EI EI

1,764 1,764

0, .882

Fig. 1.2.34.

M) = 2EI_I,323 = 0,882 kNm

3 EI

M, = - 4EI.l,323 = -1,764 kNm

• 3 EI

r M, ='!_·3j3I .!,?~~6}]~I_2,!56=-1,764kNm- 2 EI 22 EI

Mj

= 2 _3EI _1,323+ 6·3EI. 2,l56 = 5733 kNm2 EI 22 EI .,

1.3.6. Cadrul dublu incastrat din figura 1.2.35 este actionat la nivelul riglei

eu0 fort,a

perturbatoare orizontala, Se cere raspunsul dinamic maxim indeplasari ~imomente incovoietoare, Se considers date urrnatoarele: [=6 m;

46



SISTEM E D INAN llC E C U IGL

kNs2h = 4 m; EI =64000 kNm2

; m = 50-'- (Q = 500 kN); Po= 100 kN;,

m.Q = 15 radls.

(m)

4 EI

u++

EI

[

Fig. 1.2..35.

in vederea determinarii pulsatiei proprii 00, ealculam mai intai pe Ust,Q.

U",Q

Fig. 1.2.36.

Aplicarn metoda deplasarilor, In care forma de baza este

Fig. 1.2.37.

4 7



DINAMICA CONSTRUCrTILOR

Se observa di Ust,Q =Z2.

Trasam diagramele rni ~i m2 (din zi = 1, Z2 = 0; Z] = 0, Z2 = I). Acestediagrame sunt prezentate in figura 1.2.38.

Fig. 1.2.38.

SistemuI ecuatiilor de echilibru se scrie

{rllz.! + rl2z2 + R I O = °r21z1 + [22Z2 +R20 = O·

Coeficientii sistemului sunt:

fll = (4E. 1+ 6.4EI). 2 = lOEI = 80EI

468

r., = _ ,( .4E.I + 2E..) . .!.. 2 = _ 3EI = _ 6EI_I '4 4 4 4 8

. _ 6EI 2 _ 3EI _ 6EIr -_. -_._-12 - 42 - 4 - 8

_ 12EI 2 _ 3EIr _-. _.-. -..12 43 - 8

RIO=O

8QR~o =-Q=-_.- 8

'f

Rezulta sistemul deecuatii liniare

48




{

80Z1- 6z2 = 0

-6z +3z = 8Q! 2 EI

ell solutia

Deei

_ 0,235Q . _ J,137QZj - .• Z2 - ..... ....

EI .. EI

- - 3,137Q _ 3,137 ·500 _ 00245· .- 245 j."llst,Q - Z2 - .. EI .. - 64000 - , - m -, em .

Rezulta

ill= 31,32 =20 rad .

.j2,45 s

Multiplicatorul dinarnic ~ I

0/ =1 = l ~ ) TI_-(-~-.- ) - : - 2 1 1 = 2,286 ,

Se incarca eadrul ell forta orizontala dinamica maxima\ V Po = 2,286 . 100 = 228,.6 kN.

\ V P o = 228,6 kN- - . . . . . . . . . . - - - - - - - - - - - - . , ~~

4

6 m C m " ·1 ·

-I

Fig ..1.2..39.

Trasam diagrama de momente dinamice maxime pentru cadrul din figura

1.2.39.

49



242,316 242,316

DINA lvHCA CONSTRUCT llLOR

Utilizam metoda deplasarilor, Dar mare parte din calcule sunt deja

efectuate din calculul la fata orizontala Q (inlocuim pe Q cu \jJ Po ).0.,235· \ jJP o 0.,23 5·228 .,6 53 ,721z - -. . - .

1 - EI - EI - EI

_ 3,137· \ jJP o _ 3 ,137·228 ,6 _ 717,118z - . _. _ .

2 EI EI EI

Momentul intr-o sectiune este (M o := 0 .)

M= m.z, + m2z2·

Calculand M in sectiunile caracteristice, rezulta diagrama din figura

1.2.40. .

Fig. 1.2.40.

Observasii

• Forta If' Po alternanta poate actiona $1 invers, rezultand diagrama de

momente pe fibrele opuse.

• u = z; = 717,118 = 717,118 = 1,12 em .max 'f ~ EI 640.0.0 .

1.3.7. Talpa fundatiei cadrului din figura are legea de rniscare

ug = Uosinfzt, Se cere raspunsul dinamic al structurii (cadrului) exprimat in

deplasari si mornente incovoietoare dinamice maxime. Consideram

liO = 5 ern; n = 15 rad/s. Caracteristicile elastice si inertiale le consideram

cele de la problema precedenta.

50



SISTENlE DINAMICE CU 1 GL

(m)

u(t)

,.._.... . . ._.,.".tt,,,,,,." ;.

,...."""""'.m-----...".""m,,.~ "

"'""""\ I \ fv+o ii ,

~~----_£~-~Fig. 1.2.41.

Rezolvare

net) = = J . . Jiig(t)S inm (t - t)dt = = - uo~2 . c o f S i n nt· sinm (t - t)dt (*)ro 0 m- 0

u .0 .2 t . .. . U 0Umax = = _0- fsin O t . sin m (t - rjdt = = _ _ 0- . IV .

m 2 . m 2o max

Dar

unde .0 . este pulsatia miscarii armonice a fundatiei, iar co este pulsatia

proprie a cadrului, Sa consideram cadrul din problema precedenta in care

eo= 20 radls (altfel se determina mea la problema precedents).Rezulta

.~0/ ~ 1- G m ~2,286

(1 5 ) 2

umax = = 5· 20 . ·2,286 = = 6,429 em.

51



52

DfNAMICA CONSTRUCTIILOR

Pentru determinarea raspunsului dinamic in momente ineovoietoare

dinamice maxime, trebuie determinate forta dinarnica maxima ce actioneazaasupra masei m pe directia GL. Aceasta este

F m a x = k . Um a ,{ ,

in care k este eoefieientul de rigiditate. i n problema precedenta s-a vazut ca

3,137QZ1 = u. .= = 8·Q .- s!.Q EI

Adica

8 = 3,137

EIsau

k = _ ! _ = ~ = 64000 = 20401,657 kN = 204,.02 kN .( 5 . 3,137 3,137 m em

De unde

kNF m a ' l = 204,02-·6,429 em = 1312 k N .

em

Se incarca structura (eadrul) ell F m a x si se traseaza diagrama de momente.

Aeeasta (folosind datele de la problema precedents) arata ca In figura

1.2.42.

Fig. 1.2.42.

Forta F m a x fiind alternanta, momenteIe pot fi ~i pe fibrele opuse.




Observasii

• Relatia (*) reprezinta solutia Duhamel a ecuatier diferentiale a

vibratiilor masei (m) datorate rniscarii bazei fundatiei:

U + ro2u = -iig (t) .

• Daca fundatia (fig. 1.2.45.) are 0 miscare verticala, Vg = Vo sinfst,

atunei

1 t

f. · ·( ) . d V 0

02I

J. . . ( . \ iol

v(t)=-Vg

t Sillro(t-t) 1"=--2'ro sin Or-sinci t-t;utroo ro 0

vet) ." (m)""4~"'."'.. . -~... _ . . . . . .

Fig. 1.2.43.

Considerand radvo = 3 em; n=35~··-

s

eu caracteristicile cadrului de Ia aplicatia 1.3.5, avand co= 58,43 rad/s,

rezulta

1til = . . 2 = 1,56

1 - ( 5 : , : 3 )~l

53



DINAMICA CONSTRUCrIILOR

v max = 3

t & ~ - J1,56 = 1,68 ern -

Pentru detenninarea raspunsului dinarnic in rnomente incovoietoare

dinarniee maxime se calculeaza

F m a ; ( = k . Vmax

unde coeficientul de rigiditate k = 1/3 si 3 provin din USI,Q = 0,2875 em de la

aplicatia 1.3.5, adica

o = US1,Q = 0,2875

Q EIk = EI = 10000 = 347826 kN = 34783 kN

0,2875 0,2875 'rn 'ern

iar

F m a ; ( = 347,83 . 1,68 = 584,35 kN .

Diagrama de mornente este prezentata in figura 1.2.44. Porta

F m a ; ~ = 584,35 leN, avand sensul (pe verticala) alternant, se suprapune eu

greutatea Q =100 kN a rnasei, rezultand 0 incarcare de 684,35 kN.

Diagrarna de rnomente maxime este prezentata In figura 1.2.44.

Fig.l.2A4.

1.4. Spectre dinamice de riispuns

Vibratiile fortate amortizate ale sistemelor eu 1 GL sunt descrise de

ecuatia diferentiala

ii+ Zveou + ro 2u = _!_Pof(t),m

(1.22)

54




care in conditiile initiale nule t = 0, u(O)= 0, u(O) = 0 sunt descrise de

pt

f - vro(t -1')u(t)=~·ro f'(r)« sinro(t--c)dl'.mco 0

(1.23)

Relatia (1.23) 0 punem sub forma

Pu(t) =~. ",(t)

mer:

in care ",(t) este functia de multiplicare dinamica cu rpnsiderarea

amortizarii si are expresia

I f - veo(t- t)",(t)=oo f(-c)e sineo(t--c)d1'.o

(1.24)

Valoarea maxima a functiei de multiplicare dinamica este multiplicatorul

dinamie "',

I f - vro{t-1')\ J f = ro f( t)e sin ro( t - -c)d-c

o m..x

Masa asuprecareia actioneaza forta perturbatoare pet) = Pof(t), este

purtata de a structura a carei caracteristici dinamice proprii sunt ro,T=2rr/ro.

Pentru 0 structura eu 0 anurnita perioada proprie T si cu 0 fractiune din

amortizarea critics v fixata, relatia (1.25) poate fi privita ca functie de T.

Marimea calculata cu relatia (1.25) defineste valoarea spectrala a

multiplicatorilor \ J f . Calculand valorile spectrale pentru valori ale lui T E

[0,1; 3,OJ seeunde, in care se incadreaza majoritatea structurilor, se obtine

spectrul dinamic de raspuns al multiplicatelor dinamici \ J f (fig. 1.2.45).

(1.25)

-+----~-----....,3--+ Tsecunde]

0,1 T

Fig.1.2A5.

55



56

DrNAMICA CONSTRUCTIILOR

Spectrul dinamic de raspuns 'V este 0 caracteristica a tipului de excitatie

caracterizat de f(t). SDR = spectrul dinamic de raspuns se utilizeaza astfel:sa presupunem ca avem un sistem ell 1 G L actionat de 0 forta perturbatoare

pet) = Pof(t). Cal cuI fun uSI,Q, apoi co s i T = 2 T C l r o . Intram cu T in SDR si

obtinem valoarea spectrala \jI (aceasta poate rezulta ~i dintr-un tabel al

SDR). Calculam apoi F m a x = k . Ust,Q . \j1, forta cu care incarcam structura,

obtinand apoi diagrama de momente dinamice maxime de raspuns,

I n trasarea SDR avem la dispozitie mai multe posibilitati:

a) Calculul integralei lui Duhamel (1.24) pe un interval t E [0, ti], in care t1

este suficient de mare incat sa contina punctul de maxim. Aceasta integral apoate fi calculata analitic sau numeric.

b) Integrarea ecuatiei diferentiale (1.22) eu metode exacte bazate pe teorii

ale analizei matematice (cand este posibil) saucu metode numerice,

Conditiile initiale care trebuie avute in vedere sunt t = 0; u(O) = 0; li(O)=O.

Exemple:

1. Sa se determine functia de multiplicare dinamica asociata excitatiei

armonice f(t) =sinOt. Daca se neglijeaza amortizarea (v = 0), putem calcula

analitic, relativ simplu, integral a lui Duhamel (1.24),I

\V(t)= roISin!lrsinro(t - 't)dt .

o

Transform a m produsul de sub integrala in suma eu relatia

sincesinf = 1 . [cos(a -~) -cos(a + ~)]2

unde

a=

Ot; .~

=cot - COt

a - ~=0.+ ro)'r- on; a + ~ = (0 - ro)t + rot

f sin 01 sin ro(t - 1) = . ! _ [cos«Q + (0)1- ot)- cos«Q - ro)'t+ rot)] .2

Adica

\V(t) = 00[.·_l-sin«n+ro)t _ ot)__ I_. sin«Q~ro}1 + rot)]'2 n+ro n-ro 0

\j1(t):: ( t) [. . - _ 1 _ - (sin Ot + sin rot) - .....1_ (sin Ot - sin rot] ::20+00 Q-ro



SISTEME DlNAMICE CU 1GL

co[( 1 1 J ,0 n (1 1 J 0 ]: : : : 2 ' O+co - O-co smszt « O+ro +O_rosmcot=

(1.26)

; _ .

Observatii

• Daca integrarn ecuatia diferentiala

oo? POonu+ co"u= -SIn:,,,t

meu conditiile initiale t = 0; ufO) = 0; u(O):::: 0, seriem:

u = u\ + U z

unde Ul este solutia general a a ecuatiei omogene

ui = C 1 cosrot + Cz sinoit,

iar U2 este 0 solutie particulara a ecuatiei neornogene, de forma membruluidrept, adica

U2 =A cosOt + B sinOt,

in care A si B trebuie determinate din conditia ca solutia particulara sa

verificeecuatia diferentiala, Pentru aceasta scriem

til = _A02 cos Ot - 802 sinQt

(1.27)

ii, + ro2u2 = -A02 cosOt - B02 sinOt + Aor' cosOt + Bco1 sinOt =

= A(ro

2- Q2

)cosQt + B(ro

2- 0

)sinOt= ~sinOtm

Rezulta

sau

Po 0 nu2 = I 1 'l { c u 2 _ _ o2)sm:,,,t .

Cu acestea solutia generals a ecuatiei (1.27) va fi

57



Po n. Po co . f\U=-_. smwt+-· s m s . z t

meo o} - 02 moo 002 _ (21

U =~. w (oosinOt-Osinwt)

m002

002 _

02 .

(1.28)

DlNAMICA CONSTRUCTIILOR

u = C 1 cos rot+ C 2 sin rot+ m{ror~ 02 ) sin Ot .

Conditiile initiate puse in functia u si U,

U = -C ] rosin ro t +C,rocosrot + Po . (2 cos Ot- m ro2 _0

conducla

adica

Obtinern

sau

'I'(t) = l -(~) 'S in n ! - ~ s i n r o t )

evident identic a eu expresia (1.26) .

(1.29)

• Dad! se ia in consideratie amortizarea (v o f 0), este indicat a se proceda

ca mai sus in integrarea ecuatiei diferentiale." 2 . ~ Po· f\ (1 30)u + vrou + or u = -sm ~"t . .

'f m

eu conditiile initiale omogene t =0;.u(O) =0; u(O) = o .

in aceasta situatie, trebuie sa precizarn ca amortizarea poate fi mare,

v : ? : 1 (numitacritica ~i supracritica), eaz in care vibratiile se sting rapid.

Intereseaza, chiar si in determinarea raspunsului seismic, fractiunea din

amortizarea critics v« I(v = 0,05 prevazut de Normativul P IOO/2006 ~i

de Eurocod 8 - Proiectarea structurilor pentru rezistenta la cutremur),amortizare mica, numita subcritica. i n acest caz, solutia generals UI a

ecuatiei omogene este

58




=veotul = e (CI cosrot + C2 sin rot) , (1.31)

iar solutia particulars a ecuatiei neomogene se ia de forma membrului drept,

adica

Uz = M cosfzt +N sinfzt. (1.32)

Constantele M si N se determina din conditia ca solutia particulara (1.32)

sa verifice ecuatia neomogena (1.30). Trebuietinut cont ca

u] = -MQsin Qt+ NQcosQt

ii, = - M02 cosOt - N.o2 sin Ot .

Inlocuind pe Uz, u z, U z in (1.30) obtinern

- 02MeosQt - Q2N sinnt + 2vco( -QM sin Qt +QN cosOt) +

+ w2(Mcos.ot + Nsin Ot) ==~osin Otm

[ ( w 2- . o 2 ) N - 2vroQM ]sinQt + [(00

2 - Q2) M + 2vroQN ]C05Qt ==

==P o s in Ot ..m

Rezulta sistemul

de unde

P 00 2_.02N = _0 . ---:- _

m (0 02 _.02 Y + 4v2ro2 . o 2

M = _ P o . 2vro.o

m (roI _02y +4v1ro2. o 2 .

Cu acestea solutia general a a ecuatiei (1,30), u = ur + U z se serie

-vrot . P 1u = e (CI coscot + C, sin et) - _:0,( .. 2· .. . [2vwQcos ru-

- m . w 2 _01) +4v1r o 1n2

- ( r oI- .0

2 ) s i n . o t ] . (1.33)

Pentru punerea conditiilor initiate avem nevoie de U,

S9



60


- vet -vOltu ==voie (C. cosro +C2 sinoat) - e w(CI sinrot - C2 coseot) +

+ po. 20.. IZvwQsinQt+(w2 -n2)cosnt].m (0 02 -(

2) +4V2w 2

Q2

Conditiile initiale t=0; u(O) = 0; li(O)= 0 conduc la

'C - po., Zvwo. =0

! m (co2 _ ( 2 ) 2 +4V\0202

Po 0 ( 0 0 2_0 2)

- vorC, +wC2 +_._,( 2· 2)2 l' 1 2 =0mco -Q +4v-co-Q

de unde

C = Po . zvwn

! m ( c o 2_ 0:2 Y +4v2w2Q2

C, =~. (ro' -a')' ~4v'ro'Q' [- ~(ro' -O')+2v'roO lS e ob tin e astfel

2 '[P co i -voot

U= _,_.0_. . ,. 2. . e (Zvcoo.cos cot-mco2 (co2 _ 0.2) + 4v2oo202

_ (~(C 02 -0.2)_ Zy2wQ } inoot)-(2VCOo.eosnt-(0 o2 -o.2)sinnt)] (1.35)

iar

002

[ - vcot\f(t) = (ro2 _ 0:2 Y ~ 4)ro2Q2 e (Zvroo. cos rot -

- (~ (002 l'0.2)_ Zy2wo. )sin rot ) - (ZvooQeosQ t - (00

2- 0.

2 )sin or ) ] (1.36)

Se observa ca punand v = 0 in (1.36) se obtine (1.29). Daca in (1.29) se

considera vibratiile pur fortate, care au loc eu pulsatia fortei perturbatoare

n, multiplicatorul dinamic rezulta acoperitor de forma (1.21).

Z. Sa se determine functia de multiplicare dinamica asociata incarcarii

care creste de la zero Ia valoarea maxima intr-un interval de timp t E [0, toJ,

ap oi se pastreaza constanta (fig. 1.2.46).



SISTEME DINAMICE CD 1GL

pet)

P o : ; ,, > '. , .- - -- - --

Fig. 1.2.46.

In acest caz,

f(t) =

1, daca t z to .

tdaca t E [O,t o ]

Daca nu tinem seama de amortizare,t

\jf( t) = to f f(t)sin ro(t- 't)dt =o

t

~ f'ts in ro (t-t) dt; te[O"to ], to 0

= =to !

~ ft sin ro(t - 't)d 't + ro f l - sinro(t - 't)cIt ;

t o 0 ~

Efectuarn prin parti integrala

t t (I ) 'r sin ro(t - -r)d-r = J-r. ~cosro(t - r) dr =o 0 ro

1 I t ! 1= ~1"cosro(t - 1") - f~cosro(t - t)d-r =roO 0 co

61



\I'(t) =

t~ I-sinwt; te[O,to

]

to w to

2--1-siowto -cosro(t-to);roto

(1.37)


I i t 1 i t-. 'tCOSCO(t-1") + --sinco(t -1") =oi 0 W2 0

1 () 1. () I. t 1.= -tcosw t-t +-SlOW t-t --SlOWt = ---smrot.w ro

2co

2C O ro

2

Cum

!G t 1

J - r sin ro(t ~ t)d1 = _0 --siowto'ro ro

2

o

rezulta

\!f(t) =

_ !___ I-siorot, daca t e [0 , toJto roto

I-_!_siowto + 1- cosro(t - to)'roto

10 care s-a tinut cont ca

! l i t 1I I . sinro(t - t)cl1:=-cosro(t - 1) =-(1- cosro(t - to».1 ro to roc

Se mal scrie

Prinzand in expresia lui \jI(t) perioada proprie de vibratie T a sistemului

pe care actioneaza forta pet) = Pof(t), prin co=21tIT,

_!__l . ._l_· sin21t_!_; te(O,to]

to to 2n: T

T I . t o t ~ t o .2--·_·SlO2n:--cos2n:-. -,

t o 2n T T

\jI(t, T) = (1.38)

62



SISTEME DlNAMICE CU 1GL

Se constata cil la raporturi toiT mari, to » T, ad ica incarca rea se produce

incet, e un model de incarcare statica, \fI = 1. Dad tolT = mie, to40, adica

incarcarea are lac de la inceput cu intreaga intensitate, atunci \jI =2.

Sa ne ocupam mai in detaliu de acest caz, in care incarcarea are lac de la

inceput eu intreaga intensitate, adica f(t) = 1; t ~ 0 ~i

t . l i t\jI(t) = co f l . sinco(t - 'C)d'C= co·~cosco(t - 1:) ,

o coO

\fI(t) = 1-cos cot , (1.39)

daca neglijam amortizarea.

Daca insa se tine cont de amortizare

I f - Vffi(t- 1:) . Jt - Vffi(t- 1 ) (cosrort - 1 ) }\jI(t) = co 1·e sinrott - 't)dt = co· e .. . ....•. 1:=

o 0 co

-Vffi(t-t) t t

f-vro(t-'t')

= e cosco(t -1:}- vco ,e cosco(t - t)d't' =.0 0

-vco(t-t) t I f · . -Vffi(t-t)(sinCO(t-t)J'= e cos co(t - t) +vco e dr =

o 0 co

- vro(t - - r ) I t [ . - vro(t - r) ' I t

= e cos coC - t)0 + ve . sin co(t - r) 0 -

t

f- vro(t -'t) ]

-vwoe sinco(t-1:)d'C,

sau

'tI(t) = 1- e - Vffi\oswt + v[ -e - VW\inrot - V\fJ(t)lde unde

63



- veotl-e (coscot+vsintot)

'V(t) = --------1+v2

(lAO)

DfNAMlCA CONSTRUCTIILOR

Se observe ca Iuand v = 0 (amortizare nula) se obtine (1.39).

Observatie

Ca1cuIuI valorilor spectrale ale functiilor de multiplicare dinamica \jJ,

privite ca functii de T (perioada proprie de vibratie) prin intermediul lui ro

(pulsatia proprie de vibratie) condue 1aSDR (spectrele dinamice de raspuns)

ale aeestora.

64

cap.i

Documents