capítulo 9: principios básicos de la máquina de...

Universidad Simón Bolívar – Conversión de Energía Eléctrica - Prof. José Manuel Aller

Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción

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Capítulo 9: Principios Básicos de la Máquina de Inducción 9.1 La máquina de inducción En el capítulo 7 se analizaron las ecuaciones en coordenadas generalizadas de las máquinas eléctricas rotativas convencionales, una de las máquinas analizadas fue la máquina de inducción. En una máquina de inducción convencional toda la energía eléctrica fluye hacia o desde el estator. Los flujos producidos por las corrientes del estator generan un campo magnético rotatorio que corta a los conductores del rotor, y de esta forma se obtiene sobre ellos fuerza electromotriz inducida que es utilizada para forzar corrientes en los ejes d y q del rotor. Al interactuar el campo magnético rotatorio del estator con el campo magnético rotatorio originado por las corrientes que circulan en el rotor se produce el torque eléctrico. El fenómeno descrito, similar a la operación de un transformador, ha permitido la construcción de una máquina de gran difusión industrial debido a que por su sencillez, esta máquina resulta económica y robusta.

id

iq

v�

i�

i�

v�

�

�,d

�,q

Estator

Rotor

Modelo en coordenadas ��dq de la máquina de inducción

Fig. - 95 - La máquina de inducción se excita con corriente alterna en el estator, de esta forma se produce el campo magnético rotatorio. Este campo posee una amplitud constante en el tiempo, pero varía en el espacio. La velocidad de giro del campo magnético rotatorio está definida por la frecuencia de las corrientes inyectadas en el estator de la máquina.



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Para que una máquina de inducción produzca torque eléctrico medio diferente de cero, tal y como se ha discutido en el capítulo 6, es necesario que se cumpla la siguiente condición:

�m = �r ± �e 9.1

Si la máquina no cumple con la condición impuesta en la ecuación 9.1, el torque medio en un giro completo del rotor será cero y no podrá, por lo tanto, transformar energía en régimen permanente. La máquina de inducción se utiliza como generador sólo en contadas ocasiones, porque la operación en este régimen no es eficiente en comparación con otras alternativas. Sin embargo, la máquina de inducción puede regresar energía a la red durante cortos períodos de tiempo en algunos accionamientos convencionales. En particular puede generar cuando se utilizan en sistemas de tracción tales como ascensores u otras cargas similares, con la finalidad de producir un frenado regenerativo. En el pasado era frecuente utilizar esta máquina como convertidor de frecuencia, para lo cual es necesario tener acceso a los devanados del rotor mediante anillos deslizantes. La máquina de inducción se utiliza ampliamente como motor en la industria. Se la consigue en un rango muy amplio de frecuencias que van desde fracciones de kW, hasta las decenas de MW. En potencias mayores a los 10 ó 20 MW es difícil encontrar este tipo de máquina debido a que su principio de operación requiere un nivel importante de pérdidas en el circuito rotórico, factor que incide negativamente en el rendimiento de la máquina. 9.2 Campo magnético rotatorio en máquinas con “m” fases Debido a que el sistema eléctrico industrial utiliza fuentes trifásicas de energía, la máquina de inducción se construye normalmente con tres devanados. Estos enrollados se distribuyen en el interior de la máquina desfasados espacialmente 120°. Además las bobinas se distribuyen por las ranuras del material ferromagnético para que la distribución de la fuerza magnetomotriz en el entrehierro resulte aproximadamente sinusoidal. En cada una de las tres bobinas desfasadas espacialmente, se inyectan corrientes alternas sinusoidales desfasadas en el tiempo 120° unas de otras. Cada bobina produce un campo magnético estático en el espacio. La amplitud de este campo se encuentra en la dirección del eje magnético de la bobina y varía sinusoidalmente en el tiempo. La combinación de los campos pulsantes producidos



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por las tres corrientes desfasadas temporalmente, circulando por las tres bobinas desfasadas espacialmente, se traduce en un campo magnético distribuido sinusoidalmente en el espacio, que rota a la velocidad de variación de las corrientes en el tiempo.

F

F

FFb

a

r

c

Norte

Sur

ai

bi

ci

CampoMagnético

�

Distribución sinusoidal del campo magnético rotatorio Fig. - 96 -

La fuerza magnetomotriz de cada fase es proporcional al número de vueltas de la bobina y a la corriente que circula por ella. Cada eje produce de esta forma un campo fijo en el espacio, pero cuya amplitud varía en el tiempo. La distribución espacial de estos tres campos Fa, Fb y Fc es sinusoidal. Las magnitudes de estas fuerzas magnetomotrices también varían sinusoidalmente en el tiempo, con un desfasaje de 120°, debido a la variación temporal de las corrientes. La fuerza magnetomotriz en un punto � del entrehierro, en un instante dado, producida por la corriente ia que circula por la fase “a” de la máquina es:

Fa(�,t) = kd. Na. ia(t). cos �

9.2 En esta ecuación, kd es un coeficiente adimensional denominado constante de distribución del devanado. este coeficiente se relaciona con que la distribución real de la fuerza magnetomotriz no es completamente sinusoidal y kd es la proporción de fuerza magnetomotriz de primera armónica - fundamental - con respecto a la fuerza magnetomotriz máxima Na.iamax. Donde Na es el número de vueltas de la bobina “a” y � es el ángulo medido en el sentido de las agujas del reloj, entre el eje magnético de la fase “a” y un punto cualquiera en el entrehierro de la máquina.



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Considerando que el ángulo � define el desfasaje de la corriente inyectada en la bobina “a” de la máquina, esta corriente viene dada por la expresión genérica:

ia(t) = 2 Ia cos(�t-�) 9.3

Sustituyendo la ecuación 9.3 en la 9.2, y realizando la misma operación en las otras bobinas de la máquina, se puede calcular la fuerza magnetomotriz de cada una de las tres fases:

Fa (�, t) = kd Na 2 Ia cos (�t-�) cos (�)

9.4

Fb (�, t) = kd Nb 2 Ib cos (�t-�- 3

2� ) cos (� - 32� )

9.5

Fc (�, t) = kd Nc 2 Ic cos (�t-�- 3

4� ) cos (� - 34� )

9.6 Superponiendo las ecuaciones 9.4, 9.5 y 9.6 se calcula la fuerza magnetomotriz resultante F R :

FR

(�, t) = Fa(�, t) + Fb(�, t) + Fc(�, t) = �

i=a

c F

i(�, t)

6.7 Considerando que las tres corrientes inyectadas a la máquina son iguales en valor efectivo I, y que los tres devanados poseen el mismo número de vueltas N, se puede escribir la ecuación 6.7, en función de las fuerzas electromotrices de las tres fases, así:

FR

(�, t) = 2 I N kd [ cos(�t-�) cos(�)+

cos(�t-� - 32� ) cos(� - 3

2� )+

cos(�t-� - 34� ) cos(� - 3

4� ) ] 9.8

Para simplificar la expresión anterior se puede utilizar la identidad trigonométrica:

cos A . cos B � 21 [ cos (A+B) + cos (A-B) ]

9.9 Utilizando esta última identidad en la ecuación 9.8 se obtiene, después de simplificar la suma de los tres cosenos desfasados 120° entre ellos:

FR

(�, t) = 23 2 k

d. N. I cos(�t - � - �)

9.10



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Si en lugar de tres bobinas se dispone de un sistema con m fases, desfasadas espacialmente unas de otras 2�/m radianes, al excitar este sistema con m corrientes sinusoidales desfasadas temporalmente el mismo ángulo de 2�/m radianes, se obtiene la fuerza magnetomotriz siguiente:

FT(�, t) = 2

m kd N 2 I cos (�t - � - �)

9.11 La ecuación 9.11 carece de sentido si m=1 ó si m=2, debido a que en estos casos particulares, la fuerza electromotriz está orientada en una sola dirección y no se puede formar por esta razón el campo magnético rotatorio. El campo que se origina en esta condición es pulsante. Cuando m=4, la fase “a” y “c” se encuentran enfrentadas, de igual forma que las fases “b” y “d”, además las corrientes están desfasadas 90° en esta condición y por lo tanto las fases “a” y “c” producen flujos iguales y en la misma dirección. Lo mismo ocurre entre las otras dos fases. De esta forma se observa que el sistema tetrafásico degenera en un caso especial en el cual existen dos bobinas a 90° en el espacio, que se alimentan mediante corrientes desfasadas 90° en el tiempo. En muchas ocasiones al sistema tetrafásico, donde se excitan sólo dos bobinas (fases “a” y “b”) se le conoce como sistema bifásico.

m = 2

ia

ib = - ia

m = 4

ia

ic = - ia

ibid = - ib

Comparación entre máquinas bifásicas y tetrafásicas Fig. -97 -

Para el resto de los casos, es decir para los valores de m mayores que dos; la ecuación 9.11 se cumple con toda rigurosidad.



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Cuando se fija el tiempo en la expresión 9.11, por ejemplo t = t1, se obtiene una variación sinusoidal del campo en el espacio. Es decir, al variar el ángulo � los valores de la fuerza magnetomotriz dependen sinusoidalmente de la posición:

FT(�, t ) = 2

m kd N 2 I cos (�t

1- � - �)

1 9.12 La amplitud de la fuerza magnetomotriz está ubicada en la posición angular donde se anula el argumento de la función coseno:

� = � - �t1 9.13

Si por el contrario, transcurre el tiempo, y se observa lo que ocurre en un determinado punto del entrehierro, por ejemplo en el punto � = �1, la fuerza magnetomotriz en este punto varía sinusoidalmente en el tiempo con la velocidad angular �:

FT (�

1, t ) = 2

m kd N 2 I cos (�t - � - �

1)

9.14

9.3 Fuerza electromotriz inducida Aplicando la ley circuital de Ampère a la máquina, se obtiene:

H(� ,t ). dl � FR(� ,t ) � H(� , t) = FR(� , t)2g

� 9.15

En esta expresión, H(�, t) es la intensidad del campo magnético en el entrehierro, y g es el espesor del entrehierro de la máquina. Conocida la intensidad del campo magnético H(�, t) de 9.15, se calcula la densidad de campo B(�, t) mediante la siguiente relación constitutiva:

B(�, t) = �o. H (�, t) 9.16 La fuerza electromotriz inducida sobre los conductores de una máquina con simetría cilíndrica es:

e = ( v x B ).l 9.17 donde:

e es la fuerza electromotriz inducida sobre un conductor. v es la velocidad tangencial con la cual el campo magnético cota al

conductor. l es la longitud del conductor.

Como la máquina es cilíndrica, el campo y la velocidad tangencial son perpendiculares entre si, por esta razón la expresión 9.17 queda:



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e = v.B.l 9.18 La velocidad angular del campo, también llamada velocidad de fase es igual a la frecuencia angular de las corrientes como se mencionó anteriormente. La velocidad de fase se determina observando la velocidad que es necesario imprimir a un observador en el entrehierro, de tal forma que el mismo no detecte cambios en la magnitud del campo. Para esto es suficiente con hacer constante el argumento en la expresión 9.11:

�t - � - � = constante 9.19 Derivando esta expresión con respecto al tiempo, y recordando que el ángulo � tiene un valor fijo, se obtiene:

� - dtd� = 0 � dt

d� = � 9.20

0

dtd� = �

�

t = t1

FR

(�, t1)

dtd� = �

Distribución espacial de la fuerza magnetomotriz en el instante t =t1 Fig. -98-

La expresión 9.20 demuestra que la velocidad de fase de la onda de fuerza magnetomotriz es igual a la frecuencia angular de las corrientes inyectadas en las bobinas de la máquina. La velocidad tangencial con la cual son cortados los conductores viene dada por la siguiente relación:

v

T= � . r

9.21 Sustituyendo en la ecuación 9.18 las ecuaciones 9.14, 9.15 y 9.21, se obtiene:

e(�, t) = �. r. l . 2g�o . k

d. N. 2

m . 2 I. cos(�t - � - �) 9.22

Esta expresión permite determinar la fuerza electromotriz que se produce en el interior de la máquina en la dirección de los conductores.



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9.4 Factor de paso de la bobina

En una máquina, la situación ideal para obtener la máxima fuerza electromotriz en las bobinas, consiste en colocar los conductores de retorno a 180° eléctricos de los conductores entrantes. Sin embargo, en las máquinas convencionales es habitual reducir el contenido armónico de la fuerza magnetomotriz controlando el ángulo de paso de la bobina. Este fenómeno se analizará detalladamente en capítulos posteriores, pero su efecto sobre la generación de la fuerza electromotriz inducida se tiene en cuenta para el desarrollo del modelo de la máquina de inducción en este capítulo.

1 8 0 °e e 1 e 2

bobina r e t o r n o d e b o b i n a

e = e 1 - e 2

180°-�

r e t o r n o d e b o b i na c o n p a s o a c o r t a do

X

1 8 0 ° e

b o b i n a

r e t o r n o d e b o b i n a

� a c o r t a m i e n t o

d e p a s o

a b a ti m i e n to l i n e a l

Acortamiento de paso en las bobinas de la máquina

Fig. - 99 -

Para calcular la fuerza electromotriz total en una bobina con paso acortado en un ángulo �, se utiliza la expresión 9.22. La amplitud de esta función es constante para una máquina dada, excitada con una corriente cuyo valor efectivo y frecuencia son fijas. Si se define, tal como se muestra en la figura - 99 -, e1 como la fuerza electromotriz inducida en los conductores de entrada de la bobina y e2 en los retornos, la fuerza electromotriz total sobre la bobina es:

e(�1, t) = e

1(�

1, t) - e

2(�

1+ � - �, t) =

= � r l 2g�o k

d N 2

m 2 I [cos(�t-�-�1) - cos(�t-�-�

1-�-�) ] =

= 2 � r l 2g�o k

d 2m 2 I cos (�t-�-�

1+ 2�

) cos 2�

9.23



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La expresión anterior se puede representar graficamente haciendo uso de la composición fasorial de las fuerzas electromotrices inducidas sobre los conductores de la máquina, figura -100-.

�1 2E E

� 2E

2E

1E

�

�

2

Diagrama fasorial de las fuerzas electromotrices en la máquina Fig. -100 -

En el desarrollo anterior se deduce que el factor de paso es el coeficiente que reduce la fuerza electromotriz, debido a que los devanados no se encuentran diametralmente opuestos. El factor de paso se define matemáticamente como:

kp = cos 2�

9.24

La fuerza electromotriz para una bobina con paso acortado es:

e (�, t) = 2 � r l 2g�o N 2 I 2

m kd kp cos(�t - � - � + 2

� )

9.25

9.5 Fuerza electromotriz en una bobina del estator En la expresión anterior, 2.r.l es el área de proyección de la máquina, y el valor del flujo máximo que atraviesa esta área será:

�max = A . Bmax = 2 r l 2g

�o kd N 2 I

2m

9.26



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El valor de la fuerza electromotriz en una espira del estator se puede escribir a partir de las ecuaciones 9.25 y 9.26 de la siguiente forma:

e (�, t) = � kp �max cos (�t - � - � + 2�

) 9.27

La expresión anterior permite determinar la fuerza electromotriz inducida sobre una espira por una fuerza magnetomotriz desarrollada a partir de una bobina con N vueltas, factor de distribución kd y factor de paso kp. Para obtener la fuerza electromotriz total que aparece sobre todas las N vueltas distribuidas y acortadas en la periferia de la máquina, es necesario multiplicar la ecuación 9.27 por el número de vueltas equivalente de la bobina completa. Este número de vueltas equivalente tiene que tener en cuenta el acortamiento de paso y el factor de distribución. Por esta razón la fuerza electromotriz inducida sobre toda la bobina es:

e (�, t) = 2 � r l 2g�o 2

m 2 I (N kd kp)2 cos (�t - � - � + 2

� )

3.28 El valor efectivo de la fuerza electromotriz en una bobina del estator, debido al campo magnético rotatorio producido por todas las bobinas del estator es:

Ee = 2m � r l g

�o I (Nekde

kpe)2 3.29

El subíndice “e” de la expresión anterior se refiere a cualquiera de las m bobinas en estator de la máquina. 9.6 Fuerza electromotriz en el rotor Como el rotor de la máquina puede girar con respecto al estator, el campo magnético rotatorio que este produce en el estator corta a las bobinas o conductores del rotor con una velocidad diferente a como lo hace con las propias bobinas del estator. El campo magnético rotatorio gira espacialmente a una velocidad angular igual a la velocidad angular temporal de las corrientes inyectadas en el estator de la máquina. Esta velocidad es independiente de la velocidad mecánica del rotor. Entre el campo magnético producido en el estator y en el rotor de la máquina se establece una velocidad relativa, esta velocidad se denomina velocidad angular de deslizamiento y se puede definir manteniendo el sentido horario en la definición de los ángulos y de las velocidades, como:

�

d= �e - �r 9.30



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En régimen permanente, es decir cuando el eje de la máquina gira a una velocidad constante, la posición del rotor medida a partir de un sistema fijo en el estator se puede expresar por:

�e = �r + �r t + �e 9.31 donde:

�e es la posición en el rotor medida en el sistema de referencia del estator.

�r es la posición en el rotor medida en el sistema de referencia del rotor.

�r es la velocidad mecánica del rotor. �e es el ángulo entre el rotor y el estator en el instante inicial (t = 0 ).

La fuerza electromotriz inducida sobre una espira del rotor localizada en la posición �r del sistema fijo en el rotor es:

er (�r , t ) = 2me r l �

d g�o Ne k

de kpe 2 I cos (�

dt - � - �r - �e )

9.32

Estator

Rotor

gve = �e.r

Eje magnético de la fase a

del ro tor

�rt+�e�r

Eje magnético de la fase a del estator

vr = �r.r

B

�e

Sistemas de referencia del estator y del rotor

Fig. -101- Si la bobina del rotor tiene Nr vueltas, factor de distribución kdr y factor de paso kpr, el valor efectivo de la fuerza electromotriz en esa bobina es:

Er = 2me �

d r l g

�o Ne kde

kpe Nr kdr kpr I 9.33



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Dividiendo las ecuaciones 9.29 y 9.33 se obtiene la relación de transformación entre las fuerzas electromotrices del estator y el rotor, debidas al campo magnético rotatorio producido por las corrientes que circulan en el estator:

Er

Ee = �

d Nr kdr

kpr

�e Ne kde

kpe =

�e

�d

1 Nr

*

Ne*

= s1

Nr*

Ne*

9.34 En esta relación de transformación, s es la velocidad de deslizamiento en por unidad de la velocidad del campo magnético rotatorio (“slip” en inglés), N*e es el número de vueltas equivalentes del estator y N*r es el número de vueltas equivalentes de las bobinas del rotor. Es importante destacar que esta relación es independiente del número de fases de la máquina. Incluso no es necesario que el número de fases de estator me, debe ser igual al número de fases del rotor mr. El número de pares de polos en ambos sistemas si debe coincidir para permitir la existencia de torque medio diferente de cero, tal y como se analizó en el capítulo 5. 9.7 El deslizamiento en la máquina de inducción

El deslizamiento de una máquina de inducción, se define como la velocidad relativa entre el campo magnético producido por las corrientes inyectadas en el estator y la velocidad mecánica del rotor, en por unidad de la velocidad del campo:

s = �e

�d =

�e

�e - �r = 1 - �e

�r

9.35 Si la máquina se encuentra detenida, la velocidad del eje mecánico es cero (�r=0), y de 9.35 se obtiene que el deslizamiento en esta condición es uno (s=1). Cuando el rotor de la máquina gira a la velocidad del campo, el deslizamiento es cero (s=0). En general a la velocidad del campo se le denomina velocidad sincrónica de la máquina, y el deslizamiento mide cuan cerca se encuentra la máquina de esta velocidad. Si el rotor de la máquina gira a una velocidad mayor que la sincrónica, el deslizamiento se hace negativo. Cuando se conocen todos los parámetros del modelo de una máquina de inducción y la fuente de alimentación, el deslizamiento determina el punto de operación. Por esta razón se utiliza esta variable para definir el estado de la máquina.

La ecuación 9.34 indica que la fuerza electromotriz que se origina en el rotor de una máquina de inducción depende de la fuerza electromotriz del estator, de la relación de transformación entre los devanados del rotor y del estator, y del



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deslizamiento. Si el rotor de la máquina está detenido, esta expresión es similar a lo que sucede en un transformador con un primario de N*e vueltas y un secundario con N*r . Como el rotor puede girar a cualquier velocidad, el campo magnético rotatorio producido por el estator induce fuerza electromotriz en el rotor proporcional a la diferencia entre la velocidad de este campo y la velocidad mecánica del propio rotor. Por este motivo la fuerza electromotriz del rotor producida por el campo magnético rotatorio depende directamente del deslizamiento. 9.8 Equilibrio entre las fuerzas magnetomotrices del estator y del rotor La aparición de fuerza electromotriz inducida en el rotor de la máquina de inducción, es capaz de hacer circular corriente por sus bobinas, siempre y cuando estos devanados estén, en cortocircuito o con una carga conectada entre sus terminales. Debido a que las fuerzas electromotrices se encuentran desfasadas en el tiempo producen corrientes que también están desfasadas en el tiempo, y que al circular por devanados desfasados en el espacio, producen un nuevo campo magnético rotatorio en el rotor. Este campo gira con respecto al rotor con la velocidad angular de deslizamiento �d. Como el rotor gira a la velocidad mecánica �r, con respecto a un sistema de referencia fijo en el estator, el campo producido por las bobinas del rotor gira a la velocidad sincrónica para un observador en el entrehierro. La iteracción entre los dos campos, actuando como imanes giratorios sincronizados, es la encargada de producir el torque eléctrico de la máquina de inducción. Si estos dos campo rotantes no girasen a la misma velocidad, el torque medio sería cero al concluir una revolución completa de un campo sobre el otro. Si el entrehierro de la máquina de inducción es lo suficientemente pequeño como para considerar que la fuerza magnetomotriz necesaria para magnetizar el sistema es despreciable, se cumple en forma aproximada que:

FM

= Fe + Fr � 0 9.36

Tanto la fuerza magnetomotriz del estator, como la del rotor giran a la misma velocidad en el entrehierro y poseen una distribución espacial sinusoidal, por este motivo es posible representarlas fasorialmente. Partiendo de la expresión aproximada 9.36, se establece:

FM

= 2me Ne k

de kpe Ie + 2

mr Nr kdr kpr Ir �� 0

9.37



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donde las corrientes Ie e Ir son corriente fasoriales que mantienen el ángulo de fase necesario entre las fuerzas magnetomotrices del estator y del rotor respectivamente. De la expresión 9.37 se determina la relación de transformación entre los módulos de las corrientes del estator y rotor de la máquina:

Ie = - Ne kde

kpe

Nr kdr kpr me

mr Ir = - Ne

*

Nr* me

mr Ir 9.38

Según la expresión 9.38, la corriente en el estator de la máquina equilibra aproximadamente la fuerza magnetomotriz producida por las corrientes del rotor. Es interesante destacar que esta relación es independiente del deslizamiento, debido a que en el entrehierro los dos campos giran a la misma velocidad sea cual sea la velocidad del rotor. También es necesario indicar que la relación de transformación para las corrientes depende del número de fases del rotor y del estator. En cambio, la relación entre las fuerzas electromotrices del estator y rotor depende del deslizamiento y es independiente de la relación entre el número de fases en ambos sistemas. 9.9 Impedancia del circuito rotórico En la sección 9.7 se desarrolló la relación 9.34, para la transformación de las fuerzas electromotrices del estator y el rotor de la máquina de inducción. En la sección 9.8 se obtuvo la transformación de las corrientes estatóricas y rotóricas a partir de un balance de fuerzas magnetomotrices. Con estas dos transformaciones se puede determinar la relación de transformación entre impedancias en el rotor y en el estator. Una impedancia en el rotor reflejada hacia el estator se puede evaluar mediante la relación de transformación siguiente:

Zr' = Ie

Ee =

- Ne

*

Nr* me

mr Ir

s1

Nr*

Ne*

Er

= - s

(Nr

*

Ne*

)2

� mr

me � Ir

Er = s1 (

Nr*

Ne*

)2 mr

me Zr

9.39 El signo menos de la expresión 9.39 desaparece dentro de la impedancia Zr, debido a que las dos corrientes, la del estator y la del rotor entran hacia las bobinas y por esta razón si se conecta en el rotor una impedancia, la corriente del rotor tiene una referencia contraria a la definición de una impedancia.



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E s t a tor Ro to r

Z r = - E e E r

I e I r

Z ' r E rI r

N * e N * r

m e m r

s

Esquema del reflejo de la impedancia del rotor hacia el estator Fig. -102 -

Los conductores del rotor ofrecen una resistencia eléctrica a la circulación de la corriente. Además, cuando la corriente circula por estos conductores, se establecen enlaces de flujo que magnetizan la máquina acoplando el rotor con el estator, y una fracción de estos enlaces recorre un camino de fuga o dispersión. Las corrientes del rotor varían con la velocidad angular de deslizamiento �d, y por esta razón la reactancia de fuga del rotor es proporcional a esta frecuencia.

Estator

Rotor

Ir

Ie

Entrehierro

Lm

Lr

Inductancias de magnetización y de dispersión del rotor Fig. -103 -

La reactancia y resistencia del circuito del rotor de la máquina de inducción pueden ser modelados de la siguiente forma:

Zr = Rr + j �d Lr = Rr + j s �e Lr 9.40

La reactancia de dispersión y la resistencia de los conductores limitan la circulación de corriente, por esta razón en el modelo de impedancia de la ecuación 9.40 se considera que estos dos parámetros deben estar conectados en serie.



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Si se refiere la impedancia definida en 9.40 del rotor al estator mediante la relación de transformación de impedancias 9.39 se obtiene el siguiente resultado:

Zr' = s

1 (Nr

*

Ne*

)2 mr

me [ Rr + j s �e Lr ] = sRr

' + j �e Lr

' = sRr

' + j Xr

'

9.41 donde:

Rr' = (

Nr*

Ne*

)2 mr

me � Rr 9.42

Lr' = (

Nr*

Ne*

)2� mr

me � Lr 9.43

La expresión 9.41 indica que desde el punto de vista del estator, la reactancia inductiva del rotor es constante, pero la resistencia del circuito varía con el deslizamiento de la máquina. Cuando el rotor de la máquina de inducción gira a la velocidad sincrónica, el deslizamiento es cero y la impedancia del rotor referida al estator tiende al infinito. Por una impedancia infinita no pueden circular corrientes si las fuentes son finitas, en estas condiciones el rotor se comporta como un circuito abierto. Este fenómeno tiene una explicación física muy simple, si el rotor de la máquina gira mecánicamente a la misma velocidad del campo magnético rotatorio, no se producen cortes de los conductores por el flujo, no se inducen fuerzas electromotrices en las bobinas del rotor y por tanto no circulan corrientes por estos devanados. Todo esto es, desde el punto de vista circuital, similar a una topología de circuito abierto.

Por otra parte, si la máquina está detenida, el deslizamiento es unitario y el rotor se refleja en el estator con una resistencia de las bobinas y una reactancia de dispersión, semejante al reflejo que produce un transformador ordinario en la condición de cortocircuito. En este caso la explicación física es tan simple como antes, debido a que si el rotor de la máquina está detenido, la máquina se comporta exactamente igual a un transformador, el primario es el estator y el secundario es el rotor. Entre estos dos sistemas no hay movimiento relativo y como las bobinas del rotor están generalmente en cortocircuito, el comportamiento de la máquina de inducción en este caso no difiere de un transformador cortocircuitado en el secundario.



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9.10 Circuito equivalente de la máquina de inducción Generalmente las bobinas o conductores del rotor de una máquina de inducción se encuentran en cortocircuito. En muchas ocasiones no se tienen acceso al circuito rotórico y resulta conveniente reflejar la impedancia del rotor hacia el estator de la máquina. En el estator existen me fases, pero como la máquina trabaja en un sistema equilibrado de corrientes y tensiones, es suficiente representar lo que sucede en una fase de estator de la máquina. El rotor posee en el caso más general, un número diferente de fases que el estator. Sin embargo al reflejar la impedancia del rotor en el lado del estator, el circuito equivalente de la máquina queda definido según el número de fases del estator.

E s t a t o r Roto r

E e E r

I e

I rZ ' r

N * e N * r

m e m r

s

R r � d L r

Vr = 0

Representación esquemática de una fase de la máquina Fig. - 104 -

La máquina de inducción, según se analizó en las secciones anteriores, se comporta como un transformador que posee una relación de transformación diferente para las fuerzas electromotrices y para las corrientes. En la relación de transformación para las fuerzas electromotrices entra en juego el concepto de deslizamiento, y en la relación de transformación para las corrientes se debe considerar el número de fases del estator y rotor de la máquina. El modelo circuital considerado en la figura -104-, y desarrollado hasta el momento, no considera la necesidad de magnetizar la máquina. Sin embargo en la situación real la presencia de un entrehierro de algunos milímetros de espesor, requiere un fuerte consumo de corriente de excitación para que el flujo pueda atravesarlo. Esta corriente puede ser representada colocando una inductancia de magnetización en paralelo con el circuito del estator, tal como se modela en el circuito equivalente de los transformadores convencionales. Esta inductancia de magnetización se añade en el circuito del estator debido a que es normalmente en este eje eléctrico por donde se alimenta la máquina de inducción.



- 162 -

Al igual que en el circuito del rotor, las bobinas del estator tienen resistencia y reactancia de dispersión. Por este motivo, en el circuito equivalente que modela la máquina de inducción, se incluye una resistencia y una reactancia en serie, por donde circula la corriente inyectada en las bobinas del estator. Las corrientes del estator varían en el tiempo con la velocidad sincrónica y por lo tanto la reactancia de fuga depende directamente de la inductancia de dispersión de las bobinas estatóricas y de la velocidad sincrónica.

E s t a t o r Ro to r

E e E r

I e I r

N * e N * r

m e m r

s

R r � d L r

V r = 0

R e � e L e

V e

I *e

I m

� e L m

Modelo menos idealizado de la máquina de inducción Fig. -105-

Al conectar la reactancia de magnetización, la corriente del estator se divide en dos partes, una alimenta al transformador ideal y se denomina en la figura -105- como I*e , y por la rama de magnetización circula la corriente Im. La corriente I*e satisface las hipótesis impuestas inicialmente para una máquina sin magnetización. La corriente de magnetización es considerablemente grande cuando se la compara con la de un transformador de igual potencia, debido a que en la máquina el entrehierro representa un obstáculo importante al paso del flujo.

E e

I e I ' r

� e L ' rR e � e L e

V e

I *eI m

� eL mR ' r s

Circuito equivalente de la máquina referido al estator Fig. -106-

El circuito equivalente de la máquina se obtiene refiriendo el circuito del lado rotórico al lado del estator de la máquina. En este circuito equivalente es habitual



- 163 -

colocar una resistencia en paralelo con la reactancia de magnetización con la finalidad de representar las pérdidas en el hierro de la máquina. Estas pérdidas son debidas al flujo principal de la máquina y este flujo produce la fuerza electromotriz del estator. La resistencia total del rotor referida al estator, depende inversamente del deslizamiento. Cuando es necesario hacer un balance de pérdidas en la máquina resulta conveniente separar esta resistencia en dos partes: una representa las pérdidas en los conductores del rotor, y la diferencia representa la potencia que sale o entra del eje mecánico de la máquina. La separación de la resistencia total del rotor referida al estator en estas dos componentes es:

sR r

'= R r

' +�� s

1 - s ��

R r'

9.44

E e

I e

I ' r

� e L ' rR e � e L e

V e

I *e

I m

� eL m

R ' r

R ' r � � � s 1 - s � �

� C a r g a

R m

Circuito equivalente completo de la máquina de inducción Fig. - 107 -

Desde el punto de vista eléctrico, el comportamiento de la máquina depende del deslizamiento, de la tensión aplicada en el estator y de los parámetros del circuito equivalente. Una vez que se conocen los parámetros del modelo, el deslizamiento del rotor y la fuente de alimentación, se pueden determinar las corrientes que circulan por la máquina. El análisis circuital de la máquina de inducción es semejante al de un transformador con una carga resistiva variable. Esta carga depende exclusivamente del deslizamiento del rotor. A pesar de las similitudes entre el modelo de un transformador y el modelo circuital de la máquina de inducción, existen algunas diferencias importantes que es necesario destacar:

a.- La reluctancia del circuito magnético de la máquina de inducción es mucho más grande que la reluctancia de magnetización de un transformador. Esto se debe principalmente a la presencia de entrehierro en la máquina. La corriente de



- 164 -

excitación de una máquina es considerablemente mayor que la de un transformador de igual potencia. Esta corriente puede alcanzar entre un 30% y un 50% de la corriente nominal de la máquina, contrastando con el 0.5% a 1.0% en un transformador convencional.

b.- Al ser tan grande la reluctancia de magnetización, se incrementa considerablemente los enlaces de dispersión. Por esta razón las reactancias de dispersión de la máquina son mayores que las reactancias de un transformador de similar potencia. Cada una de las reactancias de dispersión de la máquina pueden superar el 10%, en comparación con un transformador donde se encuentran entre el 1% y el 6% aproximadamente.

9.11 Ecuaciones de la máquina de inducción Del modelo circuital de la máquina de inducción mostrado en la figura -107-, se pueden extraer varias relaciones de gran utilidad para determinar el comportamiento de la máquina en diferentes condiciones de operación. Algunas de estas relaciones son:

a.- Potencia de pérdidas en el rotor:

Todas las pérdidas eléctricas del rotor se encuentran principalmente en las resistencias de las bobinas del rotor. Como la máquina posee me fases en el estator, estas pérdidas se pueden calcular mediante la siguiente ecuación:

Ppr = me (Ie* )2. Rr'

9.45

b.- Potencia de pérdidas en el estator:

Los conductores del estator poseen resistencia, y por esta razón en estos devanados se producen pérdidas. También en el hierro de la máquina se producen pérdidas por histéresis del material magnético y por inducción de corrientes parásitas. Todas estas pérdidas se pueden calcular mediante la siguiente relación:

Ppe = PpRe

+ PpFe

= me ( Ie2 Re + Rm

Ee2

) 9.46

La fuerza electromotriz Ee se puede calcular a partir de la corriente del estator, mediante la siguiente ecuación fasorial:

Ee = Ve - (Re+ j Xe). Ie 9.47



- 165 -

c.- Potencia mecánica en el eje del rotor:

De la potencia que entra a la máquina por los ejes eléctricos del estator, una parte se consume en los devanados de estator y otra porción en las pérdidas del hierro. El resto de la potencia de entrada atraviesa el entrehierro de la máquina y llega al circuito del rotor. En este circuito se pierde otra porción en las resistencias de los conductores. Finalmente la diferencia entre la potencia que entró por el estator y todas las pérdidas, se encuentra disponible en el eje del rotor como potencia mecánica. Este razonamiento permite calcular la potencia en el eje mediante la siguiente relación:

Peje

= Protor

- Ppr = me ( Ie* )2 [ sRr

' - Rr

' ] = me ( Ie* )2Rr' [ s

1 - s ] 9.48

La ecuación 9.48 demuestra que la potencia mecánica disponible en el eje es igual a la potencia que se consume en la resistencia de carga representada en la figura -107 -. La potencia mecánica útil puede ser menor a la calculada por la expresión anterior debido a que existen pérdidas de tipo mecánico tales como la fricción y la refrigeración de la máquina mediante ventiladores acoplados al eje mecánico, que reducen la potencia disponible en el eje.

d.- Torque eléctrico:

El torque eléctrico de la máquina se puede calcular a partir del cociente entre la potencia mecánica disponible en el eje, y la velocidad mecánica del rotor. De esta forma se obtiene el siguiente resultado:

Te = �r

Peje =

�r

me ( Ie* )2 Rr' ( s

1-s ) = �e (1-s)

me (Ie* )2Rr' s

(1-s) =

�e

Protor

9.49 La ecuación anterior permite calcular el torque eléctrico por dos vías diferentes: mediante la potencia mecánica disponible en el eje y la velocidad mecánica del rotor, o con la potencia eléctrica que atraviesa el entrehierro y la velocidad sincrónica. El torque eléctrico se produce en la interacción entre las fuerzas magnetomotrices del estator y rotor tal como se ha estudiado en el capítulo 5. Estas fuerzas magnetomotrices giran a la velocidad sincrónica y por esta razón el torque eléctrico se puede calcular a partir de la potencia transferida al rotor y la velocidad del campo magnético rotatorio, como se demuestra en la ecuación 9.46.



- 166 -

Ee

Ie

�e L'rRe �e Le

Ve

I*e

Im

�eLm

R'r

R'r�� s1 - s �

��

CargaRm

PePr Peje

Te =�

e

PrTe =

� r

Peje

Cálculo del torque eléctrico mediante el circuito equivalente de la máquina Fig. - 108 –

e.- Cálculo de la corriente del rotor referida al estator:

Para calcular la potencia en el eje y el torque eléctrico, es necesario evaluar la corriente del rotor referida al estator, I*e. Un método simple para determinar esta corriente consiste en realizar un equivalente de Thèvenin visto desde el rotor hacia la fuente del estator.

Ie

�e L'rRe �e Le

Ve

I*e

Im

�eLm

R'r

R'r�� s1 - s �

��

CargaRm

Thèvenin

Ze

Zm

Equivalente de Thèvenin para la determinación de I*e Fig. -109 -

La tensión de Thèvenin en el circuito de la figura -109 - se determina mediante un divisor de tensión entre la impedancia serie del estator Ze, y la impedancia de magnetización Zm :

VTh

= Zm + Ze

Zm Ve 9.50

La impedancia de Thèvenin del circuito es el resultado del paralelo entre Ze y Zm, en serie con la reactancia de dispersión del rotor:



- 167 -

ZTh

= Ze + Zm

Ze� Zm + j Xr' = R

Th + j X

Th 9.51

R'r�� s1 - s �

��

Carga

I*e

R'r

VTh

RTh XTh

Equivalente de Thèvenin del circuito

Fig. -110 -

La corriente I*e se obtiene a partir del circuito mostrado en la figura -110-:

Ie* = Z

Th + s

Rr'

VTh

9.52 En las ecuaciones 9.48 y 9.49 se requiere el módulo de la corriente I*e:

Ie* =

XTh2 + ( R

Th+ s

Rr' )2

VTh

9.53 Sustituyendo la expresión 9.53 en las ecuaciones 9.48 y 9.49, se determina la potencia en el eje y el torque eléctrico en función de los parámetros de la máquina, la tensión de Thèvenin y el deslizamiento del rotor:

Peje

= me Rr' ( s

1-s ) X

Th2 + ( R

Th+ s

Rr' )2

VTh2

9.54

Te = �e

me � sRr

' �

XTh2 + ( R

Th+ s

Rr' )2

VTh2

9.55 9.12 Característica torque eléctrico - deslizamiento La ecuación 9.55 determina el torque eléctrico de la máquina de inducción. Si la tensión de alimentación Ve tiene una amplitud constante, la tensión de Thèvenin también tendrá su magnitud constante, debido a que las impedancias del estator y de



- 168 -

magnetización son independientes del deslizamiento del rotor. Si se excluye el deslizamiento, todos los términos de la ecuación 9.55 son constantes para una máquina dada, mientras que la frecuencia de la red sea constante. Para comprender el comportamiento funcional de esta característica, resulta conveniente realizar aproximaciones asintóticas de la ecuación 9.55 con respecto a valores extremos del deslizamiento. Cuando el deslizamiento es cero, la velocidad angular del eje rotor es igual a la velocidad del campo magnético rotatorio, en esta condición el flujo no corta los conductores del rotor, no se produce fuerza electromotriz en estas bobinas, no circula corriente, y por esta razón no se produce torque eléctrico medio. Para deslizamientos muy pequeños, pero diferentes de cero, el término R’r / s es mucho mayor que la resistencia y que la reactancia de Thèvenin. En estas condiciones es posible despreciar en el denominador de la expresión 9.55, la resistencia y la reactancia de Thèvenin:

Te � �e � Rr

'

me� VTh2

� s ; si, s�0 9.56

En el intervalo de deslizamientos, para los cuales es válida la expresión 9.56, el comportamiento de la característica torque-deslizamiento es lineal. En la práctica, la ecuación 9.56 es de gran utilidad debido a que en los puntos de operación normales o de régimen permanente, los deslizamientos de la máquina son en general lo suficientemente pequeños como para satisfacer la aproximación anterior con mucha precisión. Cuando los deslizamientos son grandes, el término R’r / s es despreciable y la característica torque-deslizamiento se aproxima a:

�Te � �e

me � sRr

' �

XTh2 + R

Th2

VTh2

= �e

me � Z

Th2

VTh2

� sRr

' ; si s � ��

9.57 La ecuación anterior indica una variación hiperbólica del torque eléctrico a medida que el deslizamiento aumenta. En valores negativos del deslizamiento, la aproximación anterior es igualmente válida, sin embargo en este caso el torque eléctrico es negativo.



- 169 -

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 s

Te

T � s T � 1/ s

Te(s)

�r 0�e��e

T � sT � 1/ s

sTmax

Tmax

Característica Torque eléctrico-deslizamiento de una máquina de inducción Fig. - 111 -

En el gráfico de la figura -111- se ha destacado un punto importante de la característica torque eléctrico-deslizamiento, este punto corresponde al torque máximo de la máquina. El torque eléctrico es máximo cuando la potencia que atraviesa el entrehierro es máxima, esto se debe a que la velocidad sincrónica depende de la frecuencia de las corrientes inyectadas en el estator, y por lo tanto es constante. Para calcular la potencia máxima que puede atravesar el entrehierro se aplica el principio de máxima transferencia de potencia al equivalente de Thèvenin de la figura - 110 -. La máxima transferencia de potencia ocurre cuando la impedancia de la carga se iguala a la impedancia del equivalente de Thèvenin. En este circuito la carga es puramente resistiva, mientras que la impedancia de Thèvenin es fuertemente inductiva, en este caso para transferir la máxima potencia es necesario que los módulos de las impedancias se igualen:

s

Tmax

Rr'

= XTh2 + R

Th2

9.58 Despreciando en la ecuación anterior la resistencia de Thèvenin, que en general es muy pequeña en comparación con la reactancia, y reemplazando esta expresión en la ecuación 9.55 se puede calcular el torque eléctrico máximo que produce la máquina de inducción:



- 170 -

Tmax � 2�e

me � XTh

VTh2

9.59 El deslizamiento que produce el torque máximo se calcula de la expresión 9.58:

sTmax

= X

Th2 + R

Th2

Rr'

9.60 Al examinar la ecuación 9.55 se observa que la característica torque- deslizamiento no es completamente simétrica con respecto al origen. El denominador de esta ecuación no es indiferente al signo del deslizamiento. Si la resistencia de Thèvenin es nula o despreciable, la característica es simétrica. El deslizamiento es la variable que define el punto de operación de la máquina de inducción. Conocido este dato se puede determinar las corrientes, el torque eléctrico, las potencias de entrada o salida, las pérdidas, el factor de potencia y el rendimiento de la máquina. En las máquinas con rotor devanado es posible incluir resistencia en serie con el circuito del rotor. Esta posibilidad se puede utilizar para reducir las corrientes durante el arranque o para incrementar sustancialmente la magnitud del torque eléctrico durante este proceso. Incluso es posible añadir suficiente resistencia como para permitir que la máquina arranque con el torque máximo:

STmax

= X

Th2 + R

Th2

Rr' + R

adicional'

= 1 � Radicional' = X

Th2 + R

Th2 - Rr

'

9.61 La magnitud del torque máximo no es afectada por la variación de la resistencia del rotor, pero la característica torque-deslizamiento se modifica considerablemente como se observa en la figura -112 -.



- 171 -

s-1 -0.5 0 0.5 1

Te

TmaxRr

' + Rad.'rR'

sTmax

Efecto de la variación de la resistencia del rotor en la característica Te.vs.s Fig. -112 -

9.13 Punto de operación de la máquina La característica torque eléctrico-deslizamiento analizada en la sección anterior, indica el valor del torque eléctrico para cualquier deslizamiento. Para definir el deslizamiento de operación de la máquina es necesario conocer la característica de la carga mecánica. El punto de operación del sistema formado por la máquina eléctrica y la carga mecánica está definido por la intersección de las dos características. La característica torque mecánico-velocidad de una bomba depende cuadráticamente con la velocidad. Esta característica se puede representar en función del deslizamiento de la máquina de inducción de la siguiente forma:

Tm = k1 �r

2 + k2 �r + k

3 = k

1(1-s)2�e

2 + k2(1-s) �e + k

3 9.62

El punto de operación de la máquina se obtiene en el deslizamiento que iguala el torque eléctrico con el torque mecánico:

Tm(sop) = Te(sop) 9.63



- 172 -

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 s

Te

Te = Tm

Te

Tm

sop

Punto de operación de la máquina eléctrica con carga mecánica en el eje Fig. -113-

Según la ecuación 9.55, el torque eléctrico de la máquina de inducción depende del cuadrado de la tensión de Thèvenin. Este hecho puede utilizarse para controlar el punto de operación de la máquina variando la tensión de alimentación.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1s

T

Ve

0.9Ve

0.8Ve

s1 s2 s3

12

3

Tm

Te1

Te2

Te3

Ajuste del punto de operación por variación de la tensión de alimentación Fig. - 114-



- 173 -

En la figura -114- se observa que la reducción de la tensión de alimentación afecta fuertemente el torque eléctrico de la máquina en todo el rango de deslizamientos. Si la tensión se reduce durante el proceso de arranque de la máquina, el torque eléctrico puede no ser suficiente para acelerar la máquina hasta el punto final de operación. Para que la máquina pueda acelerar, el torque eléctrico debe ser mayor que el torque de la carga. Si esta diferencia es muy pequeña, la máquina demora mucho tiempo para alcanzar el punto de operación permanente:

Te - Tm = Tacel.

= J dtd�r

9.64 La ecuación 9.64 determina el proceso dinámico de arranque de la máquina de inducción. En la medida que el torque eléctrico supera al torque mecánico, se incrementa la velocidad del rotor. Cuando estos torques se igualan en el punto de operación, la aceleración se anula y la máquina eléctrica acciona a la carga a esa velocidad. Si varía la carga o la tensión de la red, la máquina se acelera o frena hasta alcanzar el nuevo equilibrio. Algunos puntos de intersección de las características de torque eléctrico y mecánico no son estables. Si al aumentar la carga mecánica disminuye el torque eléctrico, o al disminuir la carga mecánica, aumenta el torque producido por la máquina, el punto de operación es inestable y a la menor perturbación, la máquina se detendrá o buscará un punto de operación estable.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 s

Punto de operación inestable

Puntos de operación estable

Máquina arranca y opera

Máquina opera, pero no arranca

Máquina ni opera, ni arranca

T

Tm

Puntos de operación estables e inestables de la característica torque-deslizamiento Fig. -115-



- 174 -

9.14 El punto de operación nominal La corriente nominal de una máquina está determinada por la clase de aislamiento de sus bobinas, las pérdidas generadas por esta corriente, y el sistema de refrigeración encargado de disipar al medio ambiente estas pérdidas. Los materiales aislantes que recubren los conductores de las bobinas se degradan más rápidamente en relación directa con la temperatura, a este fenómeno se lo conoce como envejecimiento. El calor generado por pérdidas resistivas en los conductores crece con el cuadrado de la corriente que circula por las bobinas. La temperatura en el interior de la máquina, y más concretamente en el aislamiento de las bobinas, está determinado por la capacidad de la máquina para transmitir el calor al medio ambiente. Esta capacidad se conoce como impedancia térmica y depende de la geometría de la máquina, de los materiales y del sistema de enfriamiento. La corriente nominal por lo tanto, es aquella corriente que al circular por las bobinas, produce pérdidas que incrementan la temperatura interior de la máquina hasta el valor máximo. Con el valor máximo de la temperatura interior, el envejecimiento del material del aislamiento es tan lento que permite alcanzar a la máquina su período de vida útil (20 a 40 años), sin que se produzcan fallas en el mismo. Mediante la ecuación 9.52 se puede determinar la corriente en el estator de la máquina en función del deslizamiento. Este cálculo se realiza de la siguiente forma:

Ee = Ie* ( sRr

' + j Xr

' ) 9.65

Im = Zm

Ee = Zm

Ie* ( sRr

' + j Xr

' )

9.66

Ie = Im + Ie* = Zm ( Z

Th+ s

Rr' )

( Zm+ sRr

' + j Xr

' ) V

Th =

(Zm+ Ze)(ZTh

+ sRr

' )

(Zm+ sRr

' + j Xr

' ) Ve

9.67



- 175 -

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5s

I

I*eIe

Ien

sn-sn

Ie(S=1)

Corriente del estator y del rotor referida al estator en función del deslizamiento Fig. -116-

La corriente nominal define el deslizamiento nominal de la máquina como se muestra en la figura -116-. Al quedar definido el deslizamiento nominal, también se define el torque eléctrico nominal de la máquina y la potencia nominal en el eje. Una vez que es conocida la temperatura máxima de operación, el sistema de enfriamiento determina la corriente nominal, y esta a su vez el valor del deslizamiento que produce esa corriente a una tensión determinada. Definido el deslizamiento nominal, también quedan definidos el torque eléctrico nominal y la potencia nominal en el eje. La tensión nominal de la máquina tiene relación con las pérdidas en el hierro y con la magnitud de la corriente de magnetización. Cuando se aplica la tensión nominal a las bobinas del estator, el flujo producido en el entrehierro no debe exceder los valores máximos de la densidad de campo magnético Bmax que tolera el material sin incrementar drásticamente las pérdidas en el hierro. Si la densidad de campo magnético supera este valor, las pérdidas en el hierro crecen rápidamente, aumenta la corriente de magnetización debido a la saturación del material y se incrementa la temperatura interior de la máquina por encima del valor máximo de diseño. Los valores nominales de la máquina no implican en forma alguna que la máquina debe funcionar siempre en esta condición. Estos valores son simplemente una referencia que indica un punto de operación en el cual la máquina puede mantenerse en régimen permanente durante todo el período de vida útil para el que



- 176 -

fue diseñada. Exceder estos valores, incrementa las pérdidas y la temperatura interior de la máquina, pero si la temperatura previa es inferior a la temperatura máxima de diseño, la inercia térmica de los materiales retarda el incremento de temperatura. Durante este tiempo es posible operar la máquina por encima de sus puntos nominales sin reducir su vida útil. Incluso es posible tolerar un pequeño incremento de la temperatura sobre la temperatura máxima sin reducir significativamente la vida útil de la máquina. En el arranque, las corrientes pueden alcanzar de tres a seis veces el valor nominal, y esto produce un incremento de las pérdidas con el cuadrado de este valor. Las pérdidas pueden crecer de nueve a treinta y seis veces su valor en el punto nominal. Si esta situación se mantiene indefinidamente, la temperatura se incrementará muy rápidamente y se envejecerá el aislamiento. El tiempo de arranque depende de la inercia conectada al eje de la máquina, y de la diferencia entre el torque eléctrico y el torque mecánico de la carga. Cuando el arranque es lento, o se realiza múltiples veces, la temperatura máxima se puede exceder. Si esto ocurre frecuentemente, indica que la especificación nominal de la máquina está por debajo de los requerimientos de la carga. En estas condiciones es posible que durante los períodos de operación en régimen permanente, la máquina opere por debajo de su especificación nominal, y sin embargo la temperatura interior exceda la máxima permitida. Por esta razón es muy importante el ciclo de carga, aceleración y frenado a que está sometida una máquina, en su especificación definitiva. 9.15 Sistema en por unidad Resulta conveniente utilizar el sistema de valores en por unidad en la representación de la máquina de inducción. Al representar las magnitudes, parámetros y ecuaciones en un sistema adimensional de unidades, se simplifican y visualizan mucho mejor los cálculos y condiciones de operación de la máquina. Además, en por unidad los parámetros del circuito equivalente varían levemente con el nivel de potencia y tamaño de la máquina, diferenciándose una de otra principalmente por sus características constructivas. Resulta ventajoso indicar cuantas veces es mayor la corriente de arranque con respecto a la corriente nominal, que utilizar directamente la información en unidades físicas. Para definir las bases del sistema en por unidad de un sistema eléctrico es necesario especificar la potencia base y la tensión base. En los transformadores, es



- 177 -

necesario definir una tensión base en un lado del transformador, y utilizar la relación del número de vueltas del equipo para definir la base de tensión del otro lado. Los transformadores, las líneas de transmisión y las grandes máquinas poseen rendimientos muy altos. Estos elementos del sistema no tienen diferencias importantes entre las potencias de entrada y salida. Las máquinas de inducción utilizadas industrialmente, tienen un rendimiento sustancialmente menor y por tanto existe una diferencia considerable entre la potencia de entrada y salida. Por esta razón es necesario definir cual de las posibles potencias que se pueden escoger resulta más conveniente. Esto por supuesto depende de la aplicación y del enfoque preferido por el analista. En general, entre las infinitas posibilidades existentes son tres las potencias base más utilizadas:

a.- La potencia aparente nominal del estator.(SB = Sn) b.- La potencia activa nominal del estator.(SB = Pne) c.- La potencia mecánica nominal en el eje mecánico de la máquina.(SB = Pneje)

La tensión base presenta menos problemas en su especificación y es utilizada habitualmente como base la tensión nominal línea a línea, especificada en la placa de la máquina. (VB = Vn). Las demás bases deben calcularse partiendo de estas dos definiciones SB y VB. A continuación se analiza cada uno de estos sistemas:

a.- SB = Sn y VB = Vn

En este caso la corriente base debe calcularse a partir de la definición de potencia aparente en un sistema trifásico balanceado:

SB

= 3 VB

� IB

� IB

= 3 V

B

SB

9.68 La impedancia base del sistema se calcula monofásicamente debido a que el circuito equivalente representa una fase de la máquina, de esta forma a partir de la tensión base y la corriente base, se obtiene:

ZB

= IB

3

VB

=

3 VB

SB

3

VB

= SB

VB2

9.69 Según este sistema en por unidad, la tensión, corriente del estator y potencia aparente serán 1.0 en p.u. cuando la máquina esté operando en el punto nominal. La



- 178 -

potencia activa en el estator tendrá el mismo valor del factor de potencia nominal. La potencia en el eje tendrá como valor el producto del factor de potencia nominal por el rendimiento del punto nominal de operación. Cuando se desea controlar que la corriente del estator no exceda el valor nominal, este sistema es conveniente.

b.- SB = Pen y VB = Vn En este caso las expresiones 9.68 y 9.69 determinan la base de las corrientes e impedancias del sistema. Cuando la máquina se encuentra en su punto de operación nominal, la tensión y la potencia activa del estator son 1.0 en por unidad respectivamente. La potencia aparente y la corriente del estator en por unidad valen el inverso del factor de potencia nominal. La potencia mecánica en el eje, en por unidad es igual, en este sistema, al rendimiento del punto nominal. Como la potencia activa nominal en el estator no es una limitación operativa de la máquina, este sistema no tiene mucha utilidad práctica. c.- SB = Pneje y VB = Vn Igual que en los dos sistemas en por unidad anteriores, las expresiones 9.68 y 9.69, determinan la base de las corrientes e impedancias del sistema. Cuando la máquina se encuentra operando en su punto de operación nominal, la tensión y potencia en el eje del rotor son 1.0 en por unidad. La potencia aparente y la corriente del estator en las condiciones nominales son iguales al producto del inverso del factor de potencia nominal por el rendimiento en el punto nominal. Este sistema tiene utilidad cuando se desea analizar la potencia de accionamiento de la carga mecánica. Los sistemas electromecánicos necesitan además del cálculo de potencias, tensiones, corrientes e impedancias, el cálculo de torques y velocidades. Como el torque y la velocidad están relacionados por la potencia, es necesario definir una base adicional. En general se escoge la velocidad angular sincrónica del campo magnético rotatorio como base y de esta forma queda determinado el torque base:

P = T � � � TB

= �

B

SB =

�e

SB = 2� fe

SB

9.70 Si la máquina posee más de un par de polos, el torque base se calcula como el torque definido en la ecuación 9.70, dividido por el número de pares de polos. Si la potencia base es la potencia del eje mecánico, el torque para la condición de operación nominal es 1.0. Cuando se define como base la potencia aparente de



- 179 -

entrada, el torque es igual al producto del rendimiento nominal por el factor de potencia nominal. Si la base de potencia es la potencia activa nominal del estator, en el punto de operación nominal el torque es igual al rendimiento de la máquina en ese punto. 9.16 Ensayos para la determinación de los parámetros del circuito equivalente El circuito equivalente de la máquina de inducción está definido por seis parámetros o elementos circuitales, tres resistencias que modelan las pérdidas y tres reactancias que representan los flujos de dispersión y magnetización de la máquina. El circuito equivalente de la máquina de inducción es igual al de un transformador trifásico y por lo tanto la metodología utilizada en la determinación de los parámetros de este circuito puede ser utilizada en este caso, con algunas variaciones. Las variaciones se deben fundamentalmente a la presencia del entrehierro. En los transformadores, la corriente de magnetización es muy pequeña en comparación con la corriente nominal, por esta razón se puede despreciar esta rama cuando se desea identificar las reactancias de dispersión. En la máquina de inducción esta aproximación es más difícil de sostener. Además, en un transformador generalmente se dispone de acceso a sus circuitos primario y secundario. En la mayoría de las máquinas de inducción este acceso no es posible, debido a que el rotor está en cortocircuito. Para identificar los parámetros de un transformador, se realizan los ensayos de vacío y cortocircuito. El primero con la finalidad de obtener la reactancia y resistencia de magnetización y el segundo para determinar las reactancias de dispersión y resistencias de los conductores. La separación de la resistencia del primario y secundario se puede realizar midiendo la caída de tensión al inyectar corriente continua por una de sus bobinas. La separación entre las reactancias de dispersión se obtiene repartiendo proporcionalmente a la reactancia de dispersión total, la reluctancia del camino magnético en cada bobina. Esto conduce a que en por unidad, las dos reactancias de dispersión del modelo T del transformador son aproximadamente iguales y en valores físicos difieren en la relación de vueltas al cuadrado. En la máquina de inducción no sucede lo mismo porque las ranuras y los caminos magnéticos de las bobinas del estator y rotor pueden ser diferentes. En la máquina de inducción también se pueden realizar estos ensayos, a continuación se describen los más importantes:



- 180 -

a.- Ensayo de vacío: En esta prueba se hace girar la máquina a velocidad sincrónica, preferiblemente por un accionamiento externo. De esta forma el deslizamiento es cero y por el circuito del rotor no circulan corrientes. La máquina se alimenta a frecuencia y tensión nominal en el estator y se miden con la mayor precisión posible las corrientes por las fases, tensiones de línea y potencia activa de entrada. Como el circuito es fuertemente inductivo es conveniente durante el ensayo utilizar vatímetros especiales para medir bajos factores de potencia. Estos instrumentos son vatímetros normales que permiten una deflexión de la aguja unas cinco veces mayor que la de un vatímetro convencional para la misma potencia.

+

-

RPM

M.C.CM.I. 3 �

W1 IR

++

--

IS

ITW2

--

++

VVW

VUV

T

S

R

U

V

W

x y z

Ic

Va

Ia

Montaje experimental para el ensayo de vacío

Fig. -117-

La tensión en la rama de magnetización es aproximadamente igual a la tensión de alimentación, debido a que las corrientes de magnetización, aun cuando son entre una tercera parte y la mitad de la corriente nominal, no producen una caída significativa en la rama serie del modelo. Con esta simplificación, la resistencia y reactancia de magnetización se obtienen mediante los siguientes cálculos:

So = 3 Vo Io 9.71

Po = P1+ P

2 9.72

Qo = So2 - Po

2 9.73



- 181 -

Rm � Po

Vo2

9.74

Xm � Qo

Vo2

9.75 Los órdenes de magnitud habituales son los siguientes:

Io � 0.2 ~ 0.3 p.u.

Zm�� 2.0 ~ 3.0 p.u.

Xm � 2.0 ~ 3.0 p.u.

Rm � 50 ~ 100 p.u.

b.- Prueba de rotor bloqueado o ensayo de cortocircuito: Para realizar este ensayo es necesario bloquear el rotor de la máquina de inducción. Cuando el rotor está detenido, el deslizamiento es uno. El circuito equivalente en estas condiciones es semejante al de un transformador en cortocircuito. En la identificación de parámetros del transformador se puede despreciar la rama de magnetización, porque la corriente de cortocircuito es mucho mayor que la corriente de magnetización. La tensión de la rama de magnetización se deprime prácticamente a la mitad de la tensión de vacío y esto reduce aún más la corriente que circula por ella. En el transformador, la influencia de la rama de magnetización durante el ensayo es prácticamente despreciable. En la máquina de inducción la corriente de rotor bloqueado puede alcanzar entre tres y seis veces la corriente nominal. La corriente de vacío está comprendida entre la tercera parte y la mitad de la corriente nominal. Durante la prueba de rotor bloqueado la tensión de la rama de magnetización se deprime más o menos a la mitad, y por esta razón la corriente de la máquina durante este ensayo puede alcanzar a ser entre seis y dieciocho veces mayor que la corriente de magnetización. Desde un punto de vista práctico es posible despreciar esta rama en la estimación de los parámetros, sin embargo la aproximación no es tan precisa como cuando se aplica en el ensayo de cortocircuito de un transformador.



- 182 -

El esquema de medida es similar al ilustrado en la figura -117-, pero en lugar de hacer girar la máquina de inducción a velocidad sincrónica, es necesario bloquear mecánicamente el rotor. Como el circuito equivalente en este ensayo también es muy inductivo, deben utilizarse vatímetros de bajo factor de potencia para mejorar la precisión de la medida. En la práctica este ensayo no se realiza a valores nominales de tensión, para evitar un calentamiento excesivo debido al incremento de las pérdidas con el cuadrado de la corriente y a la falta de ventilación por estar detenido el rotor. Por otra parte, es necesario utilizar una tensión suficientemente grande como para que el circuito magnético esté operando en la zona lineal. Aun cuando el ensayo a rotor bloqueado se realice con cierta rapidez, la resistencia de las bobinas cambia apreciablemente con la temperatura y es necesario corregir las medidas. Para este fin se miden las resistencias del estator cuando la máquina está a temperatura ambiente, antes de comenzar el ensayo. Esta medida se realiza inyectando corriente continua en la bobina y midiendo la caída de tensión. La corriente inyectada debe ser menor a un décimo de la corriente nominal para que el calentamiento sea despreciable. Posteriormente se efectúa el ensayo a rotor bloqueado e inmediatamente después de terminar estas medidas, se realiza una nueva medida de las resistencias del estator, por el mismo método descrito. Las dos medidas de resistencia y el conocimiento del material utilizado en el bobinado de la máquina permiten deducir la temperatura alcanzada por la máquina durante el ensayo. Si la máquina está bobinada con cobre recocido en frío, la ecuación que determina la variación de la resistencia en función de las temperaturas es la siguiente:

R

T1

RT2 = 234.5 + T

1(°C)

234.5 + T2(°C)

9.77 Para determinar los parámetros de la rama serie del circuito equivalente de la máquina de las medidas de potencia, tensión y corriente se utiliza el siguiente procedimiento:

Scc = 3 Icc� Vcc 9.77

Qcc = Scc2 - Pcc

2 9.78

RT � Re + Rr

' = 3 Icc

2

Pcc

9.79



- 183 -

XT � Xe + Xr

' = 3 Icc

2

Qcc

9.80 Las resistencias se pueden corregir desde la temperatura de la prueba, a la temperatura nominal de operación. Como además se conoce la resistencia del estator por una medida directa, la resistencia del rotor referida al estator se calcula por diferencia:

Rr' = R

T - Re 9.81

Con las medidas realizadas, no es posible realizar una separación de las reactancias de fuga del estator y rotor, la práctica más habitual consiste en dividirlas por igual en las dos ramas. Sin embargo es necesario recordar que los caminos de fuga del estator y del rotor son diferentes. Estos caminos dependen principalmente de la forma de la ranura, y esta forma puede diferir mucho. Los órdenes de magnitud habituales en este ensayo son los siguientes:

Icc � 3.0 ~ 6.0 p.u.

Re � 0.01~ 0.02 p.u.

Rr' � 0.02~ 0.06 p.u.

Xe � 0.10 ~ 0.20 p.u.

Xr' � 0.10 ~ 0.20 p.u.

9.17 Técnicas de estimación paramétrica aplicadas al circuito equivalente En la sección anterior se ha presentado una técnica simplificada para determinar los parámetros del circuito equivalente de la máquina de inducción. Esta técnica se ha adaptado de la estimación de parámetros en transformadores. En los dos ensayos descritos, se realiza la medida de la impedancia equivalente de la máquina en dos condiciones de operación diferentes, deslizamiento cero y uno. Además se realiza una medida directa de la resistencia del estator. Conocida la resistencia del estator, sólo resta por determinar cinco parámetros. Cada uno de los ensayos permite establecer dos ecuaciones, una para la parte real y otra para la parte imaginaria de la impedancia de entrada. En total se dispone de cuatro ecuaciones y cinco parámetros por determinar.



- 184 -

El problema matemático está indeterminado. La solución obtenida con tan escasa información, además de utilizar simplificaciones más o menos razonables, debe considerar una separación artificial de las reactancias de dispersión. Este problema se resuelve realizando ensayos adicionales a diferentes deslizamientos. Si se realizan varios ensayos, se obtiene un sistema con un mayor número de ecuaciones (dos por cada ensayo). Como los parámetros que se están determinando son siempre cinco, se tienen más ecuaciones que incógnitas. El sistema de ecuaciones obtenido está sobre determinado. Las medidas realizadas en los ensayos incluyen errores de apreciación del observador y precisión en los instrumentos. Además, los parámetros de la máquina varían en la práctica dependiendo de variables tales como el grado de saturación, la temperatura y el efecto pelicular entre otras. En esta situación resulta de gran utilidad la técnica de estimación paramétrica por el método de los mínimos cuadrados. Del circuito equivalente de la máquina de inducción se puede determinar la impedancia de entrada en función de los parámetros de la máquina, la frecuencia de alimentación y el deslizamiento del rotor. Esta función de impedancia del estator tiene la siguiente forma:

Zent.

(Re, Le, Rm, Lm, Rr' , Lr

' , s, �e) = Ze+ Zr + Zm

Zr� Zm

9.82 donde:

Ze = Re + j �e Le 9.83

Zr = sRr

' + j �e Lr

' 9.84

Zm = Rm + j �e Lm

j �e Lm Rm

9.85 Utilizando el modelo de impedancia de entrada de la máquina, efectuando n ensayos con una precisión determinada, y variando la velocidad del rotor o la frecuencia de alimentación, el problema que se debe resolver es: Minimizar �:

� = �i=1

n ��

Zm(si, �

i)

Zm(si, �

i) - Zc(s

i, �

i)

��

Zm(s

i, �

i)

Zm(si, �

i) - Zc(s

i, �

i)

��

T*

� �ii 9.86

donde:



- 185 -

Zm(si) es la i-ésima impedancia medida en los ensayos. Zc(si) es la i-ésima impedancia calculada mediante el modelo. si es deslizamiento de la i-ésima medida. �i es la frecuencia de la i-ésima medida. �i es el factor de ponderación debido a la precisión de la medida i. i es el número correspondiente a cada una de las medidas realizadas

y, n es el número total de medidas.

La ecuación 9.86 se puede escribir matricialmente como:

� = fT. f * 9.87

donde:

fT= [ f1(x, s

i, �

ei) f

2(x, s

i, �

ei) � fn(x, s

i, �

ei) ]

9.88 y

fi (x, s

i, �

ei ) = f

i (Re, Xe, Rm, Xm, Rr

' , Xr' , s

i, �

ei) = Zm(s

i, �

ei)� �

i

Zm(si, �

ei) - Zc(x, s

i, �

ei)

9.89 Considerando que la ecuación 9.89 no es lineal en el caso general, las derivadas primeras de la función de costos � con respecto a cada una de las variables de estado [x] del modelo se calculan de la siguiente forma:

�� x��

�� = g(x) = 2 A(x) f(x)

T

9.90

donde la matriz A(x) definida en la ecuación 9.90 es la matriz Jacobiana del vector de errores ponderados f(x). La matriz Jacobiana es de dimensión nxm, donde n es el número de medidas y m el número total de variables de estado o parámetros del modelo. El incremento de los parámetros que minimiza la función de costos 9.87, utilizando el método de Gauss-Newton es de esta forma:

�x = - �� A(xk)T. A(xk)

��

-1A(xk)T f(xk)

9.91 y el vector de variables de estado o parámetros del modelo en la iteración k+1 se calcula como:

x k + 1 = x k + � x 9.92



- 186 -

Si en la iteración k, el módulo del vector �x es menor que un cierto error � especificado, el problema converge al mínimo local más cercano de la función de costos��. Este método presenta ciertos problemas de convergencia, en particular cuando el peso de las segundas derivadas en la matriz Hessiana es importante. Para garantizar la convergencia del método es recomendable modificar la ecuación 9.92 de la siguiente forma:

xk+1 = xk + � . �x 9.93

Sustituyendo la ecuación 9.93 en el vector de errores ponderados f(xk+1) se puede obtener mediante la ecuación 9.90 una función de costos para la iteración k+1 en función de las variables de estado obtenidas en la iteración k, y el parámetro unidimensional �:

�(xk+1) = �(xk+�.�x) = f(xk+�.�x)T. f(xk+�.�x) = �(�) 9.94

Para obtener el nuevo vector de corrección ��x, es necesario determinar el valor del parámetro � que minimiza la función de costos. Una vez obtenido el valor de las variables de estado que minimizan la función de costos en la iteración k+1 se prosigue el cálculo determinando una nueva dirección mediante la ecuación 9.94 y un nuevo proceso de búsqueda del mínimo. Cuando el módulo del vector de dirección es inferior a la precisión requerida en los cálculos, termina el proceso de minimización con la mejor estimación de los parámetros del modelo. Uno de los inconvenientes que presenta el método de Gauss-Newton modificado es la necesidad de encontrar un valor inicial para las variables de estado. La función de costos �, puede tener múltiples mínimos locales. La mejor solución para el modelo es aquella que produce el menor de los mínimos locales. Los valores de arranque pueden ser generados mediante una estimación inicial de tipo determinístico que puede ser realizada mediante los métodos tradicionales simplificados analizados en las dos secciones anteriores. De todas formas, el método de Gauss-Newton requiere de un valor inicial cercano a la solución para garantizar la convergencia a la solución óptima.



- 187 -

Cálculo de los valores iniciales del vector x k

k = 0

Evaluación de A

g (xk) = 2 ATf

H (xk) � 2 ATA

�xk = - H-1g

¿ | �x | < � ?¿Otra

Solución?FinObtención de � que min. ��(x + ��x) búsqueda lineal

xk+1 = xk + � �xk

k=k+1

si

si

no no

k>kmax

no

si

Lectura de: - Nº de medidas 'n' - deslizamiento si - frecuencia �ei - impedancia Zmi

Diagrama de flujo del método de minimización de Gauss-Newton Fig. -118-

Si se desea asegurar la convergencia del método, es conveniente limitar la corrección máxima ��xk para que ninguno de los parámetros de la máquina definidos en el vector xk pueda aumentar o disminuir en más de un cincuenta por ciento. Esto puede reducir la velocidad del algoritmo, pero asegura que los parámetros han de ser siempre positivos y evita divergencias debido a la no linealidad del modelo. El método de Gauss-Newton es muy eficiente para la determinación de los parámetros cuando la función de costos se define por mínimos cuadrados. Otros métodos de optimización no lineal también pueden obtener soluciones con más o menos dificultad. Como ejemplo se presenta a continuación el listado de un algoritmo realizado en el entorno de programación MATLAB 3.5. Este programa permite realizar una manipulación matricial y vectorial muy simple con números complejos. Además



- 188 -

incluye una amplia librería matemática que facilita la solución rápida de complejos problemas prácticos. En este ejemplo se realiza la estimación de los parámetros del modelo de una máquina de inducción, que son previamente conocidos. Con estos parámetros se evalúan las impedancias de entrada de la máquina para las condiciones de la prueba de vacío, carga y rotor bloqueado. Por el método convencional y aproximado se realiza una estimación inicial de los parámetros. Se utiliza un programa de la librería del entorno denominado ‘fmins’ que utiliza la modificación al método Simplex de Nelder-Meade.

%************************************************************ % Estimación de los parámetros de una máquina de inducción % mediante la técnica de los mínimos cuadrados. %************************************************************ % programa parámetros. % Para este ejemplo se utilizó el circuito equivalente para % determinar la impedancia de entrada para tres deslizamientos % diferentes: vacío (s=0), carga (s=0.03) y rotor bloqueado (s=1) % Los parámetros del circuito equivalente de esta máquina son: % Re = .02 p.u. Xe = .10 p.u. % Rm = 50. p.u. Xm = 3.0 p.u. % Xr = .15 p.u. Rr = .03 p.u. % Los ensayos realizados dieron los siguientes resultados: % Zmedida(s=0) = .199350+j3.0892 p.u. % Zmedida(s=0.03) = .833740+j.49141 p.u. % Zmedida(s=1) = .047603+j.24296 p.u. % Re = .02 p.u. (Medida directa) % Utilizando el método aproximado se consiguen los siguientes % valores de arranque. % Xeo = .12 p.u. Rmo = 48.0 p.u. % Xmo = 3.3 p.u. Xro =.12 p.u. % Rro = .0276 p.u. % Estos valores se cargan en el vector de arranque x0: x0 = [.12 48. 3.3 .0276 .12]; % Finalmente se llama a la rutina ’fmins’ que calcula los valores % de los parámetros x que minimizan la función de costo. % El error relativo especificado para la convergencia es 0.001 x = fmins('costo', x0, 0.001); % En el vector x se han cargado los parámetros óptimos de la % estimación. La solución es: Refin = 0.02 Xefin = x(1) Rmfin = x(2) Xmfin = x(3) Rrfin = x(4) Xrfin = x(5) % Fin del cálculo paramétrico. %************************************************************



- 189 -

function Fi = costo(x) %************************************************************ % Evaluación de la función de costos por mínimos cuadrados. % Fi = Sumatoria(errores relativos)^2 % Deslizamientos correspondientes a los ensayos de vacío, % carga y rotor bloqueado. s = [1e-10 .03 1.]; Re = 0.02; % Medición directa de la resistencia estator Xe = x(1); % Reactancia de dispersión del estator Rm = x(2); % Resistencia de magnetización Xm = x(3); % Reactancia de magnetización Rr = x(4); % Resistencia del rotor referida al estator Xr = x(5); % Reactancia dispersión rotor referida al estator % Vector fila de las impedancias de entrada medidas en los % ensayos. Zmedida = [1.9935e-01-3.0892e+00*i 8.3374e-01-4.9141e-01*i 4.7603e-02-2.4296e-01*i]'; % Evaluación de las impedancias calculadas mediante la estimación % de los parámetros del modelo. Ze = Re+j*Xe; % Impedancia estator Zm = (Rm*j*Xm)/(Rm+j*Xm); % Impedancia magnetización Zth = Ze*Zm/(Ze+Zm)+j*Xr; % Impedancia de Thevenin Ve = 1.00; % Tensión del estator Vth = Zm*Ve/(Zm+Ze); % Tensión de Thevenin Ir = Vth./(Zth+Rr./s); % Corriente del rotor referida Ee = Ir.*(Rr./s+j*Xr); % Tensión rama magnetizante Im = Ee./Zm; % Corriente de magnetización Ie = Im+Ir; % Corriente del estator Zcalculada=Ve./Ie; % Impedancia de entrada calculada % Cálculo del error relativo entre las medidas y el modelo error = (Zmedida-Zcalculada)./Zmedida; % Cálculo de la función de costo por mínimos cuadrados Fi = error*error'; % Fin de la función 'costo' %************************************************************ % Resultados obtenidos al ejecutar el programa ... %************************************************************ »parámetros Refin = 0.0200 Xefin = 0.0999 Rmfin = 50.0014 Xmfin = 3.0000 Rrfin = 0.0300 Xrfin = 0.1501 »



- 190 -

En la siguiente tabla se presenta una comparación entre los resultados de los dos métodos:

Parámetro Método Aproximado

Estimación MATLAB

Exacto

Re 0.0200 0.0200 0.0200

Xe 0.1200 0.0999 0.1000

Rm 48.000 50.0014 50.000

Xm 3.3000 3.0000 3.0000

R’r 0.0276 0.0300 0.0300

X’r 0.1200 0.1501 0.1500

9.18 Diagramas fasoriales de la máquina de inducción En la figura -119- se representa el circuito equivalente de la máquina de inducción, indicando las corrientes y las tensiones en cada uno de sus elementos.

Ie

X'rRe Xe

Ve

I*eIm

Xm

R'r

R'r�� s1 - s �

��

CargaRm

EeImr Imx

VRe VXe VX'r VR'r

Vc

Circuito equivalente de la máquina identificando las tensiones en cada elemento Fig. -119-

La carga en el circuito equivalente de la máquina de inducción es puramente resistiva. Por esta razón la tensión sobre la carga Vc, se encuentra en fase con la corriente del rotor referida al estator I*e. La carga de la máquina en condiciones normales de operación es cercana a 1.0 en p.u, alrededor del punto nominal. Dependiendo del valor del deslizamiento, la máquina puede operar en tres condiciones básicas: como motor, como generador y en la condición de freno.

La operación como motor requiere que el deslizamiento cumpla con las siguientes condiciones:

1.- El deslizamiento debe ser positivo para que el torque eléctrico sea de accionamiento, [s ≥ 0].



- 191 -

2.- La resistencia de carga tiene que ser positiva para que la máquina entregue potencia en el eje mecánico, [(1-s)/s ≥ 0].

Estas dos condiciones definen un intervalo del deslizamiento en el cual la máquina de inducción opera como motor, accionando la carga mecánica:

0 ≤ s ≤ 1 (Motor) 9.95

En la figura -120- se representa el diagrama fasorial de una máquina de inducción en la condición motor, cerca del punto nominal de operación.

� �0 1( )

sMotor

eV

eE

ReV

eXV

�X rV

�R rVCV

*eI

eImI

mrI

mxI

�e

Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición motor Fig. -120-

Con el rotor en reposo, durante el proceso de arranque (s=1), la reactancia de fuga del rotor X’r es varias veces mayor que la resistencia del rotor R’r; el circuito es en este caso fuertemente inductivo. En la figura -121- se representa el diagrama fasorial de la máquina de inducción en esta condición (s=1).



- 192 -

La operación como generador requiere que la máquina entregue potencia por el estator. La energía entra por el eje mecánico, atraviesa el entrehierro y llega al estator. En el circuito equivalente este fenómeno se modela cuando la resistencia de carga es negativa. Una resistencia negativa en lugar de consumir potencia, la genera. La potencia generada por esta resistencia proviene del accionamiento mecánico externo. Cuando el deslizamiento del rotor es negativo (s < 0) la resistencia que modela la carga es negativa también. Un deslizamiento negativo implica que la velocidad del rotor es mayor que la velocidad sincrónica, en estas condiciones el campo magnético rotatorio que se produce en el rotor adelanta al campo magnético rotatorio del estator, el torque eléctrico se invierte de sentido y la potencia fluye desde el rotor hacia el estator. En la figura -122- se puede apreciar el diagrama fasorial de una máquina de inducción en la condición de generación (s < 0). El ángulo entre la tensión y la corriente del estator es mayor de 90°.

eV

eE ReV

�X rV

�R rV

CV*eI

eI

mI

mrI

mxI

�e

XeV

� 1sarranque

Diagrama fasorial de la máquina con el rotor en reposo (s=1) Fig. -121-



- 193 -

eV

eE

ReV

�X rV

�R rVCV*

eI

eImI

mrImxI

�e

XeV� 0s

generador

Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición generador

Fig. -122-

Si la máquina gira en sentido contrario al del campo magnético rotatorio, el deslizamiento es mayor que uno (s > 1). Para esta condición la resistencia de carga es negativa. Por otra parte, la suma de la resistencia de carga con la resistencia del rotor es positiva. En estas condiciones la máquina consume potencia tanto de la fuente como del eje mecánico. Toda esta potencia se disipa como pérdidas en las resistencias pasivas del circuito equivalente. En esta condición la máquina opera como freno (s > 1). En este caso la máquina utiliza potencia eléctrica de la fuente para openerse al sentido del movimiento. Estos puntos de operación pueden utilizarse para frenar un motor, consumiendo para este fin la energía cinética acumulada en la carga mecánica. Durante el funcionamiento como freno la máquina disipa internamente mucha energía y esto ocasiona un calentamiento importante, por esta razón este tipo de operación tan solo debe utilizarse durante cortos períodos de tiempo. En la figura -123- está representado el diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición de freno.

eV

eE

ReV�X rV

�R rV

CV

*eI

eI mI

mrI

mxI

�e

XeV � 1sfreno

Diagrama fasorial de la máquina de inducción en la condición de freno

Fig. -123-



- 194 -

Para que la máquina de inducción opere en la condición de freno, es necesario que se invierta el sentido de giro del campo magnético rotatorio con respecto a la velocidad del rotor. Esto se puede lograr invirtiendo la conexión de dos fases del estator, el sentido de giro del campo se invierte y la máquina entra en la condición de freno. El torque eléctrico que produce la máquina tiene sentido contrario al movimiento del rotor, y la carga mecánica disminuye su velocidad. Cuando el rotor se detiene, se desconecta la máquina de la red y culmina el proceso de frenado.

En la figura -124- se presenta un diagrama Torque eléctrico-deslizamiento. En este diagrama se han representado las diferentes condiciones de operación discutidas anteriormente.

-1 0 1 s

Te

�r 0�e��e

FRENOMOTOR

GENERADOR

Pe > 0Pe < 0

�r

Te

�r

Te

�r

Te

� r > 0

�r > 0

�r < 0

Pe < 0

Modos de operación de la máquina de inducción Fig. -124-

9.19 Características normalizadas de la máquina. Factor Q de calidad. El gráfico torque eléctrico-deslizamiento de la máquina de inducción es una función que puede ser normalizada con respecto al torque eléctrico máximo y a su deslizamiento correspondiente. La característica de torque eléctrico - deslizamiento normalizada tiene gran utilidad cuando es necesario determinar las características de una máquina a la cual no se le conocen sus parámetros. Este conocimiento resulta conveniente durante el proceso de diseño o especificación de un accionamiento. La expresión 9.55 determina el torque eléctrico en función del deslizamiento, y el torque máximo se calcula a partir de la ecuación 9.58 como:



- 195 -

Tmax = �e

me 2 [ R

Th+ R

Th2 + X

Th2 ]

VTh2

9.96 Dividiendo la característica del torque eléctrico-deslizamiento 9.55 por la expresión anterior se obtiene el resultado siguiente:

Tmax

Te = X

Th2 + (R

Th+ s

Rr' )2

2 [ RTh

+ RTh2 + X

Th2 ]

� sRr

'

9.97 Definiendo el factor de calidad Q de la máquina de inducción como el cociente entre la impedancia y la resistencia de Thèvenin:

Q = RTh

XTh

9.98 e introduciendo la definición 9.98 y la expresión 9.58 en la ecuación del torque normalizado 9.97 se obtiene el siguiente resultado:

Tmax

Te =

1+ 21 [ s

Tmax

s + s

sTmax ] 1+ Q2

1+ 1+ Q2

9.99 La expresión anterior determina el torque eléctrico de una máquina de inducción conociendo solamente el torque eléctrico máximo, el deslizamiento correspondiente al torque eléctrico máximo, el factor de calidad de las bobinas y el deslizamiento de interés. El factor de calidad de las bobinas es un valor característico de la máquina y no varía en un rango demasiado amplio. En la práctica el rango del factor de calidad Q está comprendido entre 3.0 y 10 aproximadamente. El deslizamiento correspondiente al torque eléctrico máximo tiene incidencia directa sobre el rendimiento del punto nominal, cuanto menor es este deslizamiento; mayor es el rendimiento. Sin embargo, una máquina con deslizamiento de torque máximo muy pequeño produce un torque de arranque reducido. El torque máximo, puede corregir esta situación. En algunas ocasiones la expresión 9.99 se simplifica considerando que el factor de calidad Q de la máquina tiende a infinito. Esto es una buena aproximación en máquinas muy grandes, donde la resistencia de Thèvenin es muy pequeña



- 196 -

comparada con la reactancia de dispersión, que no se varía practicamente en por unidad, con el tamaño o potencia de la máquina. La expresión que se obtiene en esta condición es:

Tmax

Te =

sTmax

s + s

sTmax

2 ; cuando Q � �

9.100 Una expresión semejante a la 9.99 se obtiene para la corriente del rotor referida al estator cuando se normaliza por el valor de esta corriente y del deslizamiento correspondiente al torque máximo:

0.1 10

Q ��

Q = 5

Q = 2

Q = 1

Q = 0

1

Tmax

Te

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

sTmax

s

Gráfico del torque eléctrico normalizado

Fig. -125-

ITmax*

Ie*

= 2

s

sTmax + [ 1+ ( s

sTmax )2] 1+ Q2

1 + 1+ Q2

9.101 Cuando el factor de calidad Q tiende a infinito, la expresión 9.101 tiende a:

ITmax*

Ie*

=

1 + ( s

sTmax )2

2 ; cuando Q � �

9.102

En la figura -126- se han representado las dos últimas expresiones.



- 197 -

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0.1 1 10

IeTmax*

Ie*

sTmax

s

Q � �

Q = 5

Q = 2

Q = 1

Q = 0

Corriente del rotor normalizada Fig. -126-



- 198 -

capítulo 9: principios básicos de la máquina de...

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