capacità portante tegolo in cap_rev01
DESCRIPTION
calcolo c.a.p.TRANSCRIPT
CORSO DI TEORIA e PROGETTO delle COSTRUZIONI in CA e CAP
A.A. 2013-14
Ing. Giovanni Metelli
SULLA CAPACITA’ PORTANTE DI UN TEGOLO PREFABBRICATO
IN CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO
VERSIONE 01 DEL 18/12/2013
INDICE
1. INTRODUZIONE ................................................................................................... 3 2. VERIFICHE ALLO STATO LIMITE ULTIMO ......................................................... 5
2.1. Verifica a flessione ......................................................................................... 6 2.1.1 Verifica della sezione in mezzeria ............................................................. 6 2.1.2 Verifica dell’ala per flessione trasversale .................................................. 7
2.2. Verifica a taglio ............................................................................................... 8 3. VERIFICHE IN ESERCIZIO .................................................................................. 9
3.1. VERIFICA DI FESSURAZIONE ................................................................... 10 3.2. VERIFICA DELLE TENSIONI ....................................................................... 11 3.3. VERIFICA DI DEFORMABILITA’ .................................................................. 12
3.3.1 Condizione esistente con rimozione del telaio in acciaio ........................ 12 3.3.2 Condizione di progetto ............................................................................ 14 3.3.3 Considerazioni ........................................................................................ 15
4. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE ..................................................................... 15 5. BIBLIOGRAFIA ................................................................................................... 17 6. APPENDICE A: VALUTAZIONE DELLE PERDITE NEI TREFOLI ..................... 18
6.1. Perdite istantanee ......................................................................................... 18 6.1.1 Perdita al tiro del martinetto .................................................................... 18 6.1.2 Perdita per deformazioni impedite dei trefoli durante la maturazione a vapore del tegolo (EC2 #10.5.2 – [Ref.4]) .......................................................... 18 6.1.3 Perdita per deformazione elastica .......................................................... 18
6.2. Perdite differite ............................................................................................. 18 6.2.1 Perdite per ritiro del calcestruzzo ............................................................ 18 6.2.2 Perdite per viscosità del calcestruzzo (EC2 #B.2 – Ref. [4]) .................. 19 6.2.3 Perdite per rilassamento dei trefoli (EC2 - #3.3.2 – Ref. [4]) .................. 20
1. INTRODUZIONE
La presente relazione riguarda capacità portante dei tegoli in cemento armato precompresso di un capannone ad uso commerciale e artigianale (Fig.1.1)
.I tegoli in cemento armato precompresso sono del tipo TT e hanno una luce netta di circa 25.3m, e sono indicati con la notazione T201A .
Il progetto dei tegoli prevedeva un carico permanente strutturale di 3.86 kN/m2, un carico permanente non strutturale di 0.5 KN/m2 e un carico variabile di 1.3 kN/m2.
Durante la realizzazione dell’opera il direttore dei lavori ha disposto in copertura la realizzazione di un massetto in calcestruzzo di spessore pari a circa 10 cm per la posa di un impianto fotovoltaico, corrispondente a un carico permanente aggiuntivo di circa 2.5kN/m2, non previsto in fase di progetto. Il direttore lavori dispone quindi la realizzazione di un telaio in acciaio (Fig. 1.1) che riducesse la luce del tegolo
L’oggetto della presente relazione riguarda i seguenti aspetti
1. valutazione del danneggiamento e della capacità portante del tegolo in seguito alla posa del massetto sulla base della normativa ora vigente [D.M.2008 – Ref. 2];
2. valutazione della capacità portante del tegolo in seguito alla rimozione del massetto sulla base della normativa ora vigente [D.M.2008 – Ref.1];
Figura 1.1 Tegoli prefabbricati in cap
1.1. Descrizione del tegolo, carichi di progetto e materiali adottati
La luce netta misurata tra le travi di bordo è pari a circa 25.30m. L’altezza del tegolo è pari a 80 cm, con due anime di 16c m di spessore e una flangia di circa 5cm di spessore medio e larghezza pari a 2.49 m. Sulla base di quanto indicato negli elaborati progettuali, il tegolo è realizzato con un calcestruzzo di classe C45/55, con 9 trefoli per anima di 0.6” con resistenza fpk=1860 MPa e armatura lenta in acciaio FeB44k (Fig. 1.2 tratta da progetto). Nella sezione in mezzeria è prevista un’armatura lenta corrispondente a 2φ20 posti nell’anima e in acciaio FeB44K. L’ala del tegolo è armata con una rete di diametro pari a 5mm e passo 20cm in acciaio a bassa duttilità. Nella seguente tabella 1.2 è riportata l’analisi dei carichi della copertura, sia per le condizioni esistenti con massetto sia per quelle prevista originariamente dal progetto.
Figura 1.2. Sezione tipo del tegolo.
Tabella 1.1. Caratteristiche meccaniche dei materiali previsti nel progetto del tegolo
Acciaio Feb44K
Modulo elastico Tensione caratteristica di snervamento
Tensione caratteristica di rottura
Es [MPa]
fyk [MPa]
ftk [MPa]
200000 ≥430 ≥540
Trefoli 0.6”
Modulo elastico Tensione caratteristica di rottura
Tensione al 1% di deformazione
Ep [MPa]
fpk [MPa]
fp1k [MPa]
195000 1860 1670
Calcestruzzo C45/55
Modulo elastico Resistenza caratteristica a compressione
Resistenza media a trazione
Ecm [MPa]
fck [MPa]
fctm [MPa]
36283 45 3.8
Tabella 1.2. Analisi dei carichi della copertura
Permanenti strutturali
Gk1
Permanenti non strutturali
Gk1
Variabili Qk1
[kN/m2] [kN/m2] [kN/m2]
con massetto 3.86 3.0 1.3 progetto 3.86 0.5 1.3
Tabella 1.3. Analisi dei carichi del tegolo
Permanenti strutturali
gk1
Permanenti non strutturali
gk2
Variabili qk1
[kN/m] [kN/m] [kN/m]
con massetto 9.65 7.50 3.25 progetto 9.65 1.25 3.25
Tabella 1.4. Caratteristiche geometriche del tegolo per sezioni interamente reagenti
Sezione in solo cls. Sezione omogeneizzata n=5.37
Area della sezione Ac [cm2] 3849 Aid [cm2] 4017 Pos. del baricentro rispetto all’intradosso YG [cm] 50.2 YG,id [cm] 50.89 Pos. del cavo risultante rispetto all’intradosso YCR [cm] 20.55 YCR [cm] 20.55 Momento d’inerzia per sez. interamente reagente Jc [cm4] 2.539 106 Jid [cm4] 2.767 106
Modulo di resistenza inferiore Wi [cm3] 5.767 104 Wid,i [cm3] 5.437 104 Modulo di resistenza superiore Ws [cm3] 9.767 104 Wid,s [cm3] 9.505 104
2. VERIFICHE ALLO STATO LIMITE ULTIMO
La valutazione della sicurezza strutturale del tegolo viene effettuata facendo riferimento alla normative vigente D.M. 2008 [Ref. 2], che indica i seguenti coefficienti di amplificazione delle azioni:
γG1= 1.3 coefficiente di sicurezza parziale delle azioni permanenti strutturali;
γG2= 1.5 coefficiente di sicurezza parziale delle azioni permanenti non strutturali;
γQ = 1.5 coefficiente di sicurezza parziale delle azioni variabili. Nell’ipotesi di rimozione del telaio in acciaio esistente lo schema statico del tegolo è quello di una trave semplicemente appoggiata. Assumendo una luce di calcolo pari a 25.6 m le massime azioni sollecitanti allo SLU sono indicate nella Tabella 2.1. Tabella 2.1: Azioni interne
Condizione Taglio agli appoggi
Momento in campata
VEd MEd [kN] [kNm]
esistente 367 2349
progetto 247 1581 Per il calcolo delle azioni resistenti di progetto si adottano le seguenti tensioni di progetto dei materiali (D.M. 2008 par. 4.0.1 [Ref. 2]):
fyd = fyk / γs = 430/ 1.15 = 373.91 MPa resistenza di progetto acciaio FeB44K;
fyd = fyk / γs = 390/ 1.15 = 339.13 MPa resistenza di progetto della rete;
fyd = fp1k / γc = 1670/ 1.15 = 1452 MPa resistenza di progetto dei trefoli;
fcd = 0.85 fck / γm =0.85 fck / 1.4= 27.4 MPa resistenza di progetto cls. C45/55.
Si noti che per le produzioni continuative di cls. si può assumere un coefficiente di sicurezza del materiale ridotto e pari a γc 1.4. Le verifiche vengono condotte non considerando alcuna collaborazione tra il tegolo e il massetto per al presenza di una guaina impermeabilizzante interposta.
2.1. Verifica a flessione
2.1.1 Verifica della sezione in mezzeria
Il calcolo del momento resistente viene eseguito con il programma VCASLU del prof. P. Gelfi [Ref. 5]. Nella Tabella 2.2 vengono sintetizzate le principali proprietà geometriche e meccaniche della sezione analizzata. Si assume una tensione nei trefoli.
Tabella 2.2: caratteristiche di progetto della parete
Armatura tesa lenta
Altezza utile Trefoli
Momento resistente di
progetto Coefficiente di sicurezza
As d Asp MRd Ψ=MRd/MEd [mm2] [mm] [mm2] [kNm] Esistente Progetto
2φ20=628 7 25φ0.6”=2502 2225 0.95 1.41
Figura 2.1: calcolo del momento resistente della sezione in campata del tegolo.
Considerando una tensione nei trefoli a tempo infinito: σsp = 1155 MPa si ha una predeformazione εsp =σsp /Es =1155/195000=5.9‰. La deformazione dell’acciaio da precompressione, comprensiva della predeformazione, risulta pari a εsp = 35.2 ‰. La deformazione del cavo oltre la decompressione è quindi pari a εsu =35.3-5.8=29.4‰.
Il momento resistente risulta pari a 2225 kNm. Tale valore non dipende dalla storia di carico e quindi dalla presenza del massetto realizzato.
Il rapporto tra il momento resistente di progetto MRd e il momento sollecitante MEd definisce il coefficiente di sicurezza ψ di progetto a flessione del tegolo, coefficiente che deve essere per la norma [Ref. 1] maggiore di 1:
condizione esistente: ψ = MRd / MEd = 2225 / 2349 = 0.95 < 1
condizione di progetto: ψ = MRd / MEd = 2225 / 1581 = 1.41 > 1 Si noti che alla luce dei risultati illustrati nella condizione esistente, ovvero con presenza del massetto in copertura e rimozione del telaio in acciaio, il coefficiente di sicurezza risulta inferiore al valore richiesto dalla norma, pertanto il tegolo non è verificato. Nella condizione di progetto il coefficiente di sicurezza risulta invece superiore al valore richiesto dalla norma e il tegolo sarebbe ampiamente verificato.
A completamento della verifica a flessione, in Figura 2.2 viene rappresentata la curva momento-curvatura della sezione in esame, realizzata con il programma Response2000 dell’Università di Toronto [Ref. 8]. Il programma valuta la resistenza flessionale tenendo in conto anche la resistenza a trazione del calcestruzzo. In Figura 2.2 sono riportati sia il diagramma momento-curvatura di progetto (tratto continuo nero in Fig. 2.2) sia quello effettivo (tratto continuo grigio in Fig. 2.2), considerando le resistenze caratteristiche dei materiali. Il momento resistente effettivo del tegolo risulta pari a 2726 kNm, superiore del solo 16% rispetto al momento sollecitante di progetto nella condizione esistente con massetto.
Figura 2.2: curva momento resistente – curvatura e confronto con le azioni sollecitanti.
2.1.2 Verifica dell’ala per flessione trasversale
Nel presente paragrafo viene eseguita la verifica a flessione trasversale dell’ala del tegolo. L’ala del tegolo è appoggiata sulle due anime del tegolo di 16cm e presenta
due sbalzi di 48.5 cm (vd. Fig. 2.3). Si ipotizza che l’appoggio sia distribuito su una larghezza pari all’anima del tegolo.
L’ala del tegolo è armata con una rete di 5mm di diametro e passo 200mm, sia superiormente agli appoggi sia inferiormente in campata. Gli elaborati progettuali indicano la presenza di una rete con una resistenza a rottura ftk superiore a 440 MPa. Come indicato nel D.M. ’96 [Ref. 1], tale rete è a bassa duttilità ed è caratterizzata da una resistenza a snervamento fyk superiore a 390 MPa. Ipotizzando un’altezza utile dell’armatura di 40mm, si esegue il calcolo per un’unità di larghezza. In Tabella 2.3 vengono riportate le caratteristiche della sezione, il momento sollecitante mEd per unità di larghezza, il momento resistente mRd per unità di larghezza e il coefficiente di sicurezza a flessione Ψ.
Figura 2.3: schema statico dell’ala del tegolo soggetta a flessione trasversale.
Tabella 2.3: caratteristiche di progetto della parete
Armatura tesa lenta
Altezza utile
Momento sollecitante
senza masseto
Momento sollecitante
con masseto
Momento resistente di
progetto Coefficiente di sicurezza
As d MEd MEd mRd Ψ=mRd/mEd [mm2] [mm] [kNm/m] [kNm/m] [kNm/m] Esistente Progetto
5φ5=98.12 40 0.76 1.63 1.31 0.80 1.72
Si noti che nella condizione esistente, ovvero con presenza del massetto in copertura, il coefficiente di sicurezza della verifica a flessione trasversale dell’ala del tegolo risulta inferiore al valore richiesto dalla norma, pertanto il tegolo non è verificato. Nella condizione di progetto il coefficiente di sicurezza risulta invece superiore al valore richiesto dalla norma e il tegolo sarebbe ampiamente verificato.
2.2. Verifica a taglio
La verifica a taglio viene eseguita solo nelle sezioni agli appoggi dove ciascuna anima della trave risulta armata con ferri piegati di diametro 8mm e passo pari a circa 210mm e con una rete di diametro 50mm con passo 200mm.
La resistenza della trave a “taglio trazione”, lato staffe risulta:
VRsd,st = 0,9 ⋅d ⋅Aswsw
fyd ⋅ cotαw + cotθ( ) ⋅sinαw = 389 kN
La resistenza di calcolo a “taglio compressione” risulta: VRcd = 0,9 ⋅d ⋅bw ⋅αc ⋅ f 'cd ⋅ cotα + cotθ( ) / 1+ cot2θ( )= 1064 kN
essendo: bw = larghezza dell’anima =320 mm
f’cd= 0.5 fcd = 12.75 MPa αc = 1 α =90° inclinazione delle staffe
θ =35° inclinazione dei puntoni. La resistenza di progetto a taglio agli appoggi VRd risulta 389 kN, pari al minor valore tra la resistenza a “taglio trazione” VRsd e la resistenza a “taglio compressione” VRcd. Il rapporto tra il taglio resistente di progetto VRd e il taglio sollecitante VEd definisce il coefficiente di sicurezza ψ di progetto a taglio del tegolo, coefficiente che deve essere per la norma [Ref. 1] maggiore di 1:
condizione esistente: ψ = VRd / VEd = 389 / 367 = 1.06 > 1
condizione di progetto: ψ = VRd / VEd = 389 / 247 = 1.57 > 1 La verifica a taglio risulta soddisfatta sia nelle condizioni di progetto sia nella condizione esistente essendo il taglio sollecitante inferiore al taglio resistente.
3. VERIFICHE IN ESERCIZIO
Le verifiche in esercizio riguardano la verifica di fessurazione, la verifica delle tensioni e della deformabilità del tegolo. Per le verifiche in esercizio si devono considerate le seguenti combinazioni delle azioni:
combinazione rara: G1k +G2k+P+Q1k
combinazione frequente: G1k +G2k+P+Ψ11 Q1k
combinazione quasi permanente: G1k +G2k+P+Ψ21 Q1k
In base a quando indicato nel D.M.2008 (tab.2.5.I-[Ref.2]) i coefficienti di combinazione assumono i seguenti valori: Ψ11=0.2 e Ψ21=0.0.
Il calcolo dettagliato delle perdite istantanee e differite è esposto nell’Appendice A. Come indicato nella relazione di progetto si considera una tensione di tesatura dei trefoli σspi =1400 MPa. Nella Tabella 3.1 vengono riportate le perdite dei cavi di pretensione, sia per la condizione di progetto sia per la condizione esistente con massetto. Si assume che i carichi siano applicati nell’istante t0=30g e che l’umidità relativa dell’ambiente sia pari al 40%. Si noti che le perdite differite complessive sono state valutate con la seguente relazione (3.1), proposta dall’Eurocodice 2 [Ref. 4]:
Δσ sp,c++s+r =εcsEp + 0.8Δσ sp,r +
EpEcm
ϕ ∞;t0( )σ c,Qp
1+Ep
Ec
Ap
Ac1+ Ac
Jczcp2#
$%
&
'( 1+ 0.8ϕ ∞;t0( ))* +,
(3.1)
dove:
εcs=6.06 10-4 è la deformazione per ritiro in valore assoluto (vd. Appendice A); Ep=195 GPa è il modulo di elasticità dei trefoli; Ecm=36.3 GPa è il modulo di elasticità del cls;
Δσsp,r è il valore assoluto della variazione di tensione nelle armature per effetto del rilassamento dell’acciaio da precompressione;
ϕ(∞;t0) =1.995 è il coefficiente di viscosità (vd. Appendice A - par.6.2.2);
σc,QP è la tensione nel cls adiacente alle armature durante la combinazione dei carichi quasi permanente;
Ap=25.02cm2 è l’area delle armature di precompressione; Ac= 3849 cm2 l’area della sezione in cls.; Jc= 2.539 106 cm4 il momento d’inerzia della sezione in cls.; zcp=31.8cm la distanza tra il baricentro della sezione in cls. e le armature. Tabella 3.1: Perdite di tiro nei trefoli
Condizione Esistente Progetto
Tensione al martinetto dei trefoli σsp,i 1400 MPa 1400 MPa
Perdite istantanee: 73 MPa 103.2 MPa
perdita al martinetto Δσsp,im: 21.0 MPa 21.0 MPa
perdite per ΔT impedite dei cavi Δσsp,iθ = 29.2 MPa 29.2 MPa
perdite elastiche Δσsp,iel: 22.8 MPa 52.9 MPa
Perdite differite: 172.1 MPa 217.3 MPa
perdite per ritiro del cls. Δσsp,s: 118.1 MPa 118.1 MPa
perdite per la viscosità del cls. Δσsp,c: 41.9 MPa 97.4 MPa
perdite di rilassamento Δσsp,r: 64.7 MPa 64.7 MPa
Tensione dei trefoli a perdite avvenute σsp 1155 MPa 1079 MPa
Tiro iniziale nei trefoli Ni 3503 kN 3503 kN
Tiro a perdite avvenute N 2889 kN 2701 kN
3.1. VERIFICA DI FESSURAZIONE
Nel presente paragrafo viene confrontato il momento di prima fessurazione Mcr con il momento massimo in esercizio per la combinazione dei carichi quasi permanente.
Mcr =NAp
+N ⋅e0Wid,i
+σ ct
"
#$$
%
&''Wid,i (3.2)
dove:
N è il tiro dei trefoli in esercizio; e0=29.7cm è l’eccentricità del cavo risultante rispetto al baricentro della sezione;
σct=fctm/1.2= 3.2MPa è la resistenza a trazione massima accettata dal D.M.2008 [Ref. 2] per la valutazione del momento di fessurazione;
Ap=25.02cm2 è l’area delle armature di precompressione; Wid,i=5.437 104 cm3 è modulo resistente inferiore della sezione; Tabella 3.2: Azioni e sollecitazioni in esercizio
Condizione Esistente Progetto
Tiro di pre-compressione in esercizio N 2889 kN 2701 kN
Momento di prima fessurazione Mcr 1440 kNm 1357 kNm
Comb. Frequente
Momento in esercizio MEd,CF 1458 kNm 946 kNm
Tensione nel cls. al lembo superiore σc,s 13.75 MPa 8.06 MPa
Tensione nel cls. al lembo inferiore σc,i 0 4.39 MPa
Comb. Quasi Permanente
Momento in esercizio MEd,QP 1405 kNm 893kNm
Tensione nel cls. al lembo superiore σc,s 12.75 MPa 7.5 MPa
Tensione nel cls. al lembo inferiore σc,i -2.52 MPa 5.37 MPa
Nella Tabella 3.2 si noti che il tegolo nella situazione esistente, con la presenza del massetto ma con la rimozione del telaio in acciaio, per una combinazione dei carichi frequente presenta un momento di esercizio pari a 1458 kNm superiore al momento di prima fessurazione pari a 1440 kNm.
Nelle condizioni di progetto il momento di esercizio risulta sempre ampiamente inferiore al momento di fessurazione e non viene mai raggiunto lo stato limite di decompressione della sezione garantendo così l’assenza di fessure e la massima protezione possibile per le armature contro la corrosione per qualunque azione ambientale aggressiva. Il non superamento in esercizio dello stato limite di decompressione consente inoltre di limitare le deformazioni istantanee dovute al passaggio in secondo stadio fessurato della sezione (vd. par. 3.3).
3.2. VERIFICA DELLE TENSIONI
Nel presente paragrafo vengono analizzate le sollecitazioni in esercizio sia per la combinazione rara e sia per quella quasi permanente. La massima tensione di compressione del calcestruzzo deve rispettare le seguenti limitazioni:
σc < 0.60 fck= 27.00 MPa per combinazione caratteristica rara
σc < 0.45 fck= 20.25 MPa per combinazione quasi permanente La massima tensione di trazione nell’acciaio deve rispettare le seguenti limitazioni:
σs < 0.80 fyk= - 344 MPa per combinazione caratteristica rara Le tensioni in esercizio risultano sempre inferiori ai limiti normativi, sia nelle condizioni esistenti sia nelle condizioni di progetto.
Tabella 3.3: Azioni e tensioni nei materiali in esercizio Condizione Esistente Progetto
Comb. Rara
Momento in esercizio MEd,CF 1671 kNm 1159 kNm
Tensione al lembo superiore σc,s 17.44 MPa 10.30 MPa
Tensione nell’acciaio (φ20 FeB44K) σs -100.9 MPa* 5.20 MPa
Comb. Quasi Permanente
Momento in esercizio MEd,QP 1405 kNm 893 kNm
Tensione al lembo superiore σc,s 12.75 MPa 7.5 MPa
Tensione al lembo inferiore σc,i -2.52 MPa 5.37 MPa
3.3. VERIFICA DI DEFORMABILITA’
La stima della deformazione del tegolo viene eseguita sia per la condizione esistente, con massetto e rimozione del portale in acciaio, sia per la condizione di progetto. Viene calcolata sia la freccia a lungo termine f∞ dovuta ai soli carichi permanenti sia la freccia istantanea fel,i per la presenza anche del sovraccarico da neve.
3.3.1 Condizione esistente con rimozione del telaio in acciaio
Calcolo della freccia a lungo termine:
Si considera una combinazione dei carichi quasi permanente, corrispondente a un carico uniformemente distribuito sul tegolo pari a:
pG= gk1+gk2= 9.65 kN/m +7.5 kN/m=17.15 kN/m Il massimo momento in campata dovuto ai carichi esterni risulta pari a MEd= 1405 kNm, inferiore al momento di prima fessurazione Mcr=1440 kNm. Il tegolo rimane in primo stadio non fessurato.
La freccia elastica istantanea risulta:
fel,iG =
5pGL4
384EcJidI −
MPL2
8EcJidI =95.5 mm- 71.5 mm = 24.0 mm
essendo Mp = N e0 =2889 kN 0.303m =875.4 kNm e N=2889 kN il tiro dei trefoli a perdite avvenute.
La freccia a tempo t=50 anni dovuta ai soli carichi permanenti risulta:
f∞ = fel,i + fel,c = fel,i 1+ϕ∞( )= 24.0 mm (1+1.995) = 71.9 mm = L /356
Calcolo della freccia istantanea: Si considera una combinazione dei carichi rara, corrispondente a un carico uniformemente distribuito sul tegolo pari a:
pG+Q= gk1+gk2 +qk = 9.65 kN/m +7.5 kN/m + 3.25 kN/m =20.4 kN/m Il massimo momento in campata dovuto ai carichi esterni risulta pari a MEd=1671 kNm, superiore al momento di prima fessurazione Mcr=1440 kNm. In campata il tegolo è caratterizzato da un tratto fessurato con rigidezza di secondo stadio Jid
II.
La freccia viene calcolata con la formulazione semplificata proposta sia dalla Circolare esplicativa n.617 [Ref. 3] sia dall’Eurocodice 2 [Ref. 4], in base alla quale la freccia può essere valutata mediante la seguente espressione:
f = fI +ξ fII − fI( ) (3.3)
essendo fI la freccia della trave valutata con una rigidezza di primo stadio non fessurato, fII la freccia valutata con una rigidezza di secondo stadio fessurato e ζ il coefficiente
ξ =1−β Mcr −Mdec
MEd −Mdec
"
#$
%
&'
2
=0.82
con β=1 per carichi di breve durata, Mcr=1440 kNm il momento di prima fessurazione e Mdec=1268 kNm il momento di decompressione.
La freccia elastica istantanea di primo stadio risulta:
fel,iI =
5pG+QL4
384EcJidI −
MPL2
8EcJidI =113.6 mm- 71.5 mm = 42.1 mm
La freccia elastica istantanea di secondo stadio risulta:
fel,iII =
5pG+QL4
384EcJidII −
MPL2
8EcJidII =155.3 mm
essendo la rigidezza di secondo stadio JidII valutata con la seguente equazione:
JidII =
M cσ ct
=7.499 106 cm4 (3.4)
essendo: M = MEd – N (dp – x) = 1671 kNm – 2889 kN (0.594-0.138)m =353.6 kNm c = 370.5 mm la distanza dell’asse neutro dalla fibra superiore compressa; dp = 594.5 mm la distanza del cavo risultante dalla fibra superiore compressa;
x = 138.2 mm la posizione del baricentro della sezione parzializzata soggetta al momento MEd e all’azione assiale N applicata nel baricentro dei trefoli.
La freccia del tegolo risulta pari a:
f G+Qel,i = fel,iI +ξ fel,i
II − fel,iI( )= 42.1 + 0.82 (155.3-42.1)=134.9 mm = L /190
L’incremento di freccia dovuto ai soli carichi variabili risulta:
Δf Qel,i = fG+Qel,i − f
Gel,i = 134.9 mm – 24.0 mm = 110.9 mm = L/231
Calcolo della freccia massima: La deformazione complessiva a t=50 anni è pari alla somma della freccia dovuta ai carichi permanenti più l’incremento di freccia istantanea dovuta ai soli carichi variabili.
f∞G+Q = f∞
G +Δfel,iQ =71.9mm +110.9mm = 182.8 mm= L/140 > L/250
3.3.2 Condizione di progetto
Calcolo della freccia a lungo termine:
Si considera una combinazione dei carichi quasi permanente, corrispondente a un carico uniformemente distribuito sul tegolo pari a:
pG= gk1+gk2= 9.65 kN/m +1.25 kN/m=10.9 kN/m
Il massimo momento in campata dovuto ai carichi esterni risulta pari a MEd=893 kNm, inferiore al momento di prima fessurazione Mcr=1357 kNm. Il tegolo rimane in primo stadio non fessurato.
La freccia elastica istantanea risulta:
fel,iG =
5pGL4
384EcJidI −
MPL2
8EcJidI =60.7 mm - 66.9 mm = - 6.2 mm
essendo Mp = N e0 =2701 kN 0.303m =818.4 kNm e N=2701 kN il tiro dei trefoli a perdite avvenute.
La freccia a tempo t=50 anni:
f∞ = fel,i + fel,c = fel,i 1+ϕ∞( )= -6.2 mm (1+1.995) = -18.6 mm = - L /1378
Calcolo della freccia istantanea:
Si considera una combinazione dei carichi rara, corrispondente a un carico uniformemente distribuito sul tegolo pari a:
pG+Q= gk1+gk2 +qk = 9.65 kN/m +1.25 kN/m + 3.25 kN/m =14.15 kN/m Il massimo momento in campata dovuto ai carichi esterni, pari a MEd=1159 kNm, risulta inferiore al momento di prima fessurazione Mcr=1357 kNm. In campata il tegolo è caratterizzato lungo tutta la luce da una rigidezza di primo stadio Jid
I.
La freccia elastica istantanea risulta:
fel,iI =
5pG+QL4
384EcJidI −
MPL2
8EcJidI =78.9 mm- 66.9 mm = 12.0 mm = L/2133
L’incremento di freccia dovuto ai soli carichi variabili risulta:
Δf Qel,i = fG+Qel,i − f
Gel,i = 12.0 mm – (-6.2) mm = 18.2 mm = L/1406
3.3.3 Considerazioni
Sebbene le vigenti norme tecniche non indichino dei limiti chiari sulla deformabilità delle coperture di strutture prefabbricate, sulla base del calcolo elastico delle deformazioni esposto nei due paragrafi precedenti è possibile affermare che il tegolo, qualora si rimuovesse il telaio in acciaio ma si mantenesse il massetto in copertura, raggiungerebbe deformazioni elevate che, oltre ad essere anti-estetiche, potrebbero danneggiare la tenuta del manto impermeabilizzante in copertura. La freccia viscosa a 50 anni dovuta ai soli carichi permanenti raggiungerebbe un valore superiore a 7 cm mentre la freccia elastica per una combinazione rara risulterebbe superiore a 13 cm conseguente alla fessurazione in campata del tegolo. La freccia massima a 50 anni, somma della freccia dovuta ai carichi permanenti più l’incremento di freccia istantanea dovuta ai soli carichi variabili, risulta pari a 18.3cm, valore ben superiore al limite di L/250 (=10.2cm), indicati in letteratura [Ref. 6 e 7].
Con i carichi previsti nel progetto, invece, la freccia dovuta ai carichi permanenti risulterebbe pari a -1.9 cm, mentre la freccia elastica istantanea per la presenza dei carichi permanenti e variabili risulterebbe pari a soli 1.2 cm, corrispondente a L/2133.
4. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE
Dalle verifiche condotte emerge che: 1. con la presenza del massetto e la rimozione del telaio sottostante in acciaio,
il tegolo non soddisfa la verifica di sicurezza a flessione, in quanto il coefficiente di sicurezza risulta inferiore al valore richiesto dalla norma;
2. con la presenza del massetto e la rimozione del telaio sottostante in acciaio, il tegolo potrebbe presentare deformazioni eccessive non previste in fase di progetto;
5. BIBLIOGRAFIA
1. D.M. 9 gennaio 1996. “Norme tecniche per il calcolo, l’esecuzione ed il collaudo delle strutture in cemento armato, normale e precompresso e per le strutture metalliche”.
2. D.M. 2008. “Norme tecniche per le costruzioni”.
3. Circolare esplicativa n.617 del 02/02/2009.
4. UNI EN 1992-1-1- Progettazione delle strutture di calcestruzzo Parte 1-1: Regole generali e regole per gli edifici. Novembre 2005
5. VCASLU, ver. 7.5 del prof. P. Gelfi. http://dicata.ing.unibs.it/gelfi/software/programmi_studenti.html
6. Naaman A. E. (2012). Prestressed Concrete Analysis and Design. Third Edition, Techno Press, Ann Arbor, Michigan, USA.
7. Collins M. and Mitchell D. (1997). Prestressed Concrete Structures. Response Pubblication, Canada.
8. Response2000. User Manual. Copyright © Evan Bentz and Michael P. Collins.
6. APPENDICE A: VALUTAZIONE DELLE PERDITE NEI TREFOLI
6.1. Perdite istantanee
6.1.1 Perdita al tiro del martinetto
Le perdite al tiro del martinetto Δσsp,im sono assunte pari a 1.5% del tiro iniziale σsp0=1400 MPa:
Δσsp,im=0.015 σsp0= 21 MPa
6.1.2 Perdita per deformazioni impedite dei trefoli durante la maturazione a vapore del tegolo (EC2 #10.5.2 – [Ref.4])
Non essendo stato predisposto un preriscaldamento delle armature si assume una perdita pari a:
Δσ sp,iθ = 0.5Epα cTmax −T0( ) =29.25 MPa
con Tmax= 50°K, T0=20°K e αc=10-5 °K-1
6.1.3 Perdita per deformazione elastica
Assumendo un tiro dei trefoli pari a
Ni= Ap (σspi - Δσsp,im - Δσsp,iθ) = 3377 kN
la perdita nei trefoli in corrispondenza del cavo risultante in seguito alla deformazione elastica del tegolo caricato dai soli carichi permanenti strutturali e non strutturali:
Δσ sp,iel = nNi
Aid+Nie0
2
Aid−MEd,QPe0Jid
#
$%
&
'(
Δσsp,iel= 22.8 MPa in condizioni esistenti, con MEd,QP=1405kNm;
Δσsp,iel= 52.9 MPa in condizioni di progetto, con MEd,QP=893kNm;
con e0= 30.3 cm la distanza tra il cavo risultante e il baricentro della sezione.
6.2. Perdite differite
6.2.1 Perdite per ritiro del calcestruzzo
Come indicato nell’Eurocodice 2 (#10.3.1.2 – Ref. [4]) in caso di maturazione a vapore il ritiro autogeno può essere trascurato. Per cui si considera solo il ritiro per essicamento (EC 2 #B2 – Ref. [4])
εcs = 0.85 220+110 ⋅αds1( )e−αds1
fcm10
#
$%
&
'()
*++
,
-..10−6 ⋅βRH = 6.06 10-4
βRH =1.55 1−RHRH0
"
#$
%
&'
3(
)**
+
,--=1.45
αds1 =6 per cemento classe R
αds2 = 0.11 per cemento classe R
RH0=100% e RH=40%
Le perdite per ritiro risultano pari a a Δσsp,s= Ep εcs =118.1 MPa
6.2.2 Perdite per viscosità del calcestruzzo (EC2 #B.2 – Ref. [4])
Il coefficiente di viscosità viene determinato a tempo t= ∞. Si assume un’umidità relativa dell’ambiente RH pari al 40%; il perimetro fittizio h0=2AC/u =141 mm, dove Ac=3489 cm2 mentre il perimetro a contatto con l’atmosfera u=494 cm, valutato escludendo la larghezza di 249cm dell’ala del tegolo in quanto ricoperta da due stati di guaina impermeabilizzante e da un massetto in cls. di 10cm di spessore. Il coefficiente di viscosità è espresso dalla seguente relazione:
ϕ ∞;t0( ) =ϕ0βc ∞;t0( )
ϕ0 =ϕRHβ( fcm )β(t0 )=1.995
βc ∞;t0( ) =1
ϕRH =1+ 1− RH /1000.1 ho3
α1"
#$$
%
&''α2=1.793
α1 =35fcm
!
"#
$
%&
0.7
=0.748 e α2 =35fcm
!
"#
$
%&
0.2
=0.92
β( fcm ) =16.8 / fcm0.5=2.308 β(t0 ) =1/ 0.1+ t0
0.2( )=0.482
avendo assunto un’età del calcestruzzo al momento dell’applicazione del carico t0=30g.
Tabella A.1: Perdite per viscosità del calcestruzzo Condizione Esistente Progetto
Tiro del trefoli dopo le perdite istantanee Ni,ist 3320 kN 3245 kN
Momento associato alla precompressione (Ni,ist e0) 1007 kNm 984 kNm
Momento in esercizio MEd,QP 1405 kNm 893 kNm
Deformazione elastica εc,el 1.08 10-4 2.50 10-4
Deformazione viscosa εc,c= ϕ εc,el 2.15 10-4 4.99 10-4
Perdita differita viscosa Δσsp,c= Ep εc,c 41.9 MPa 97.4 MPa
6.2.3 Perdite per rilassamento dei trefoli (EC2 - #3.3.2 – Ref. [4])
Le perdite per rilassamento sono valutate mediante la seguente espressione: perdite di rilassamento Δσsp,r:
Δσ sp,r
σ sp,i
= 0.66 ρ1000e9.1µ t
1000"
#$
%
&'0.75(1−µ )
10−5 = 64.7 MPa
dove t=500000 h (pari a 57 anni) ρ1000= 2.5% per la classe 2.
µ = (σsp,i - Δσsp,im) / fpk = 1400 MPa 0.985 / 1860 MPa =0.741