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Contiene los procedimientos sugeridos por las normas ISO 9000 para evaluar la capacidad de celidad de un proceso industrialTRANSCRIPT
1 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
2 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
EVALUACION DE LA CAPACIDAD DE CALIDAD
DE UN PROCESO INDUSTRIAL
METODOS ESTADISTICOS SUGERIDOS POR LA NORMA ISO 9000
ANGEL FRANCISCO ARVELO L.
Ingeniero Industrial
Master en Estadística Matemática
CARACAS, MARZO de 1997
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ANGEL FRANCISCO ARVELO LUJAN
Angel Francisco Arvelo Luján es un Profesor Universitario Venezolano en el área de Probabilidad y Estadística, con más de 40 años de experiencia en las más reconocidas universidades del área metropolitana de Caracas. Universidad Católica “Andrés Bello” : Profesor Titular Jubilado 1970 a 2003 Universidad Central de Venezuela: Profesor por Concurso de Oposición desde 1993 al presente Universidad Simón Bolívar: Profesor desde 2005 al presente Universidad Metropolitana: Profesor desde 1973 a 1987 Universidad Nacional Abierta: Revisor de contenidos, desde 1979 hasta 2004 Sus datos personales son :
Lugar y Fecha de Nacimiento: Caracas, 16-02-1947 Correo electrónico: [email protected] Teléfono: 58 416 6357636 Estudios realizados: Ingeniero Industrial. UCAB Caracas 1968 Máster en Estadística Matemática CIENES , Universidad de Chile 1972 Cursos de Especialización en Estadística No Paramétrica Universidad de Michigan 1982 Doctorado en Gestión Tecnológica: Universidad Politécnica de Madrid 2006 al Presente El Profesor Arvelo fue Director de la Escuela de Ingeniería Industrial de la Universidad Católica “Andrés Bello” (1974-1979) , Coordinador de los Laboratorios de esa misma Universidad especializados en ensayos de Calidad, Auditor de Calidad, y autor del libro “Capacidad de Procesos Industriales” UCAB 1998. En numerosas oportunidades, el Profesor Arvelo ha dictado cursos empresariales en el área de “Estadística General” y “Control Estadístico de Procesos”. Una mayor información pueden ser obtenidos en la siguiente página web: www.arvelo.com.ve
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PROLOGO
La actual crisis económica por la que atraviesa nuestro país , con la consecuente
pérdida en la capacidad de compra de los consumidores, ha traído como
consecuencia que muchas empresas industriales vean en la exportación una
salida para su desarrollo.
Sin embargo, a la hora de tratar de penetrar los mercados internacionales,
nuestras empresas se han encontrado con la dificultad de que allí, las normas de
calidad son mucho más exigentes, y de obligatorio cumplimiento.
Así por ejemplo, el cumplimiento de las cláusulas establecidas en la Norma ISO-
9000 y sus anexos, ya es un requisito mundialmente exigido para cualquier
empresa industrial o de servicios, que pretenda competir en los mercados de los
países desarrollados.
Con el objeto de garantizarle a los consumidores y usuarios, que las empresas
productoras y de servicios tienen un sistema de aseguramiento de la calidad, y
que dicho sistema es permanente en el tiempo, ha aparecido la figura de las
llamadas "Auditorías de Calidad" , en donde un agente externo a la empresa
certifica ante terceros , la existencia de este sistema de aseguramiento de la
calidad, y que la empresa responderá ante el consumidor frente a cualquier
problema derivado de la producción de alguna pieza defectuosa , o de alguna falla
en la prestación del servicio.
Aunque las cláusulas previstas en la norma ISO - 9000 , son de un carácter
bastante general, y están enfocadas exclusivamente hacia el sistema y no hacia
el producto, algunas de ellas hacen mención a la necesidad de que la empresa
cuente con la existencia de métodos estadísticos para el control de calidad, y
sugiere la implantación de técnicas de muestreo para detectar a tiempo la
aparición de cualquier tipo de fallas .
La aplicación de métodos de muestreo en la industria venezolana, ya era
conocida aún antes de la aparición de la Norma ISO-9000, y así desde hace ya
muchos años , COVENIN adoptó los planes de muestreo por atributos , conocidos
como "Tablas Militares 105-D" , como normas venezolanas.
Sin embargo, además de los planes de muestreo, otra evaluación muy importante
en las auditorías de calidad, son los llamados estudios de capacidad o de
habilidad de procesos, los cuales requieren de una metodología estadística.
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Así por ejemplo, la Norma Venezolana Covenin 9004-90, en donde se dan los
lineamientos para la "Gestión de Calidad", establece textualmente en su Título Nº
10 "Calidad en Producción" , Sección 10.2 " Capacidad del Proceso", lo siguiente:
« A los procesos de producción se les debe verificar su capacidad para producir de acuerdo
con las especificaciones establecidas para el producto. Deben ser identificadas las
operaciones asociadas con las características del producto o proceso, que puedan tener
efectos significativos sobre la calidad del producto. Se debe establecer un control
apropiado para asegurar la permanencia de estas características dentro de las
especificaciones y que se hayan realizado los cambios y modificaciones apropiadas.
La verificación de los procesos de producción debe incluir la revisión de los
procedimientos relativos a material, equipo , sistemas de computación , procedimientos y
el personal involucrado .»
El concepto de capacidad de procesos se refiere fundamentalmente a la
disposición que tiene el proceso para cumplir con las especificaciones que le son
impuestas por las normas, y así por ejemplo , si el proceso presenta un alto grado
de variabilidad y las especificaciones son muy estrechas, entonces generará un
alto porcentaje de piezas defectuosas , es decir fuera de especificación .
Si por el contrario, el proceso es muy preciso, y fabrica piezas con poco margen
de variabilidad, entonces con calibraciones adecuadas, se podrá lograr que la
totalidad de las piezas caigan dentro de las especificaciones exigidas, y el
proceso se denominará capaz. Un proceso "capaz" es entonces, aquel que
puede cumplir a cabalidad con los requisitos de calidad impuestos por las
especificaciones.
El concepto de capacidad de procesos no es nuevo en los textos de "Control
Estadístico de Calidad " , pero si es una novedad dentro del medio industrial
venezolano. De hecho , antes de la aparición de la Norma ISO-9000 , solo era
puesto en práctica por un limitado número de industrias , tales como las petroleras
, la industria automotriz , y algunas transnacionales.
El objetivo del presente trabajo, es presentar de una manera clara y precisa, la
metodología estadística necesaria para estimar la capacidad de cualquier proceso
industrial que deba someterse a ciertas especificaciones externas, y puede ser de
utilidad tanto para la empresa a fin de autoevaluarse, como para el auditor externo
.
La metodología que aquí se presenta no es propia, de hecho aparece dispersa en
buena parte de los textos de "Control Estadístico de Calidad". Considero que mi
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principal contribución es organizarla, y presentarla de una manera didáctica, a fin
de que pueda ser fácilmente utilizada por las personas relacionadas con el tema.
Dado que la metodología aquí descrita requiere conocimientos básicos de
Estadística, Probabilidades e Inferencia Estadística, es conveniente que las
personas responsables de aplicarla , repasen los conceptos fundamentales de
tales asignaturas, puesto que algunos de ellos como el cálculo de ciertos
estadísticos muestrales de deformación y de curtosís, o el manejo de tablas
normales , y pruebas de hipótesis, se suponen ya conocidos.
He tratado de desarrollar la metodología conciliando dos aspectos: el práctico y el
académico.
El aspecto práctico es sumamente importante puesto que este trabajo está
dirigido a personas del medio industrial, a quienes les interesa principalmente el
aspecto metodológico, con el fin de evaluar su proceso.
El aspecto académico es también para mí sumamente importante, ya que dada mi
condición de Profesor Universitario , actividad a la que he dedicado gran parte de
mi vida profesional por más de 26 años , no me sentiría satisfecho si me limitara a
dar un "recetario" de fórmulas y procedimientos, sin justificación teórica alguna.
Para conciliar estos dos aspectos decidí dividir el trabajo en cinco capítulos; los
cuatro primeros se refieren exclusivamente a aspectos de carácter práctico que
constituyen la esencia de la metodología, y en el quinto capítulo se da el
fundamento teórico de la misma.
En lo personal, considero que el Capitulo V es junto con la síntesis de la
metodología , el gran aporte de este trabajo , ya que en los textos de Control de
Calidad no aparece la justificación de muchos procedimientos , como la deducción
de los coeficientes para construir los gráficos de control , o los coeficientes para
estimar la desviación típica del proceso a partir del rango medio, etc., y cuyas
demostraciones han sido desarrolladas por mí , con la ayuda de técnicas de
Estadística Matemática .
Sinceramente espero que el presente trabajo sea una contribución para el
desarrollo del sector industrial venezolano, de utilidad para las personas
relacionadas con el Control Estadístico de Calidad, y para aquellos estudiantes y
profesionales interesados en conocer el porque de las cosas.
EL AUTOR
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CAPITULO I : DISTRIBUCION NORMAL Y CAPACIDAD DE PROCESOS INDUSTRIALES .
La curva normal es la más importante de las distribuciones estadísticas, y representa un modelo teórico de comportamiento para una variable aleatoria continua “X”, cuya función de densidad de probabilidad viene dada por la ecuación:
f x e( )1
2
--( )x
2
22 ; - < x <
- < μ < > 0
En la expresión anterior , "µ" y " " representan los parámetros de la distribución , que reciben el nombre de media y desviación típica respectivamente ,y definen en realidad una familia, pues al tomar diferentes valores obtendremos una nueva curva . Los parámetros de la curva tienen una influencia determinante en su geometría, y así , el parámetro "µ" representa el eje de simetría o valor central de la
distribución, mientras que el parámetro " " , por ser una medida de la variabilidad en los valores de "X" con respecto a la media "µ" , incide en su
ancho ; de manera que a un menor valor de " " ,la curva se hace más estrecha al estar los valores de la variable más concentrados alrededor del valor de "µ" , y
a un mayor valor de " " obtendremos una curva más ancha, con una mayor dispersión de los valores de la variable con relación a la media. Uno de los principales objetivos del Control Estadístico de Calidad es conocer los parámetros con que el proceso está produciendo las piezas , pues mediante su conocimiento se podrá determinar si se está en capacidad de cumplir con las especificaciones que le son exigidas al producto, y obviamente en la medida en que la desviación típica del proceso se reduzca, se obtendrá un proceso más estable y un producto más homogéneo. VARIABILIDAD DE LOS PROCESOS INDUSTRIALES La Teoría de Control Estadístico de Calidad establece que en todo proceso industrial existen dos tipos de causas de variabilidad, que se conocen como comunes y asignables. Las causas comunes constituyen la suma de los efectos de un conjunto total de causas aleatorias no controlables, que producen una variación en la calidad del producto manufacturado, y que son semejantes al conjunto de fuerzas que dan lugar a que una moneda caiga de uno u otro lado cuando es lanzada al aire. Con respecto a estas causas comunes, es poco lo que se puede hacer para reducirlas, debido a que son inherentes al proceso, a la precisión de las
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máquinas, etc. La desviación típica " " de la curva, es justamente el reflejo de la variabilidad debida a estas causas aleatorias. Las causas asignables por el contrario, son debidas a la presencia de algunos factores que perturban el proceso, y que por sí solos son capaces de explicar en gran medida la variabilidad en la calidad del producto. Entre estas causas podrían ser citadas como ejemplo, diferencias entre las máquinas, diferencias entre los operarios, diferencias entre los materiales, etc. El Control Estadístico de Procesos supone que si se estudia un grupo de datos y se encuentra que se ajustan a una Distribución Normal, entonces no existen causas asignables, y se dice que el proceso está bajo control estadístico debido a que es posible pronosticar con un alto grado de certeza su variabilidad . Por el contrario, cuando los datos obtenidos del proceso no se ajustan a la Normal, se dice que están actuando una o más causas asignables, y que el proceso está fuera de control. De lo anterior se deduce entonces que el punto de partida o axioma de la Teoría de Control Estadístico de Procesos es que cuando no actúan causas asignables, el proceso se comporta según una Distribución Normal, y que la variabilidad observada es simplemente aleatoria. PROPIEDADES DESCRIPTIVAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL Cuando se tiene un conjunto de datos provenientes de un proceso industrial, es importante reconocer si su comportamiento es o no normal, a fin de poder identificar causas comunes y causas asignables. A continuación se enuncian una serie de propiedades que tiene la curva normal, y se señalan algunos procedimientos prácticos que permiten verificar si desde un punto de vista descriptivo es razonable suponer la normalidad del proceso. En el capítulo siguiente se trataran en detalle las pruebas de ajuste, que son las que en definitiva permitirán aceptar o rechazar la hipótesis de normalidad. 1º) La curva normal tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de su media. Para verificar la forma acampanada de los datos basta con construir el histograma de frecuencias para los datos agrupados, y comprobar que la clase modal se ubica en el zona central de la gráfica y que a medida que nos alejamos de ella, en cualquiera de las dos direcciones la frecuencia disminuye. Para verificar la simetría respecto de la media, es necesario calcular las diferentes medidas de deformación las cuales deben dar cero. Las principales medidas de deformación son: Coeficiente momento de sesgo. Coeficiente percentílico de sesgo. Coeficiente cuartílico de sesgo.
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2º) En la Distribución Normal, la media, la mediana y la moda coinciden.
Para verificar esta propiedad, basta con calcularle a la muestra agrupada, estos tres estadísticos muestrales, y comprobar que el resultado de estos cálculos dan cifras muy cercanas.
3º) En el intervalo ( µ ± ) deben caer el 68,27% de los datos muestrales , en el
intervalo ( µ ± 2 ) deben caer el 95,45% de los datos muestrales , y en el
intervalo ( µ ± 3 ) deben caer el 99,73% de los datos muestrales .
El valor estimado del parámetro "µ" es la media de la muestra , y el de " " la desviación típica muestral , y para verificar que la muestra satisface estos porcentajes, es necesario calcular el puesto percentil correspondiente a cada extremo del intervalo ,a fin de hallar el porcentaje de observaciones que se encuentran por debajo de cada extremo, y finalmente restar dichos porcentajes. 4º) La Distribución Normal es una curva mesocúrtica, para la cual el coeficiente momento de curtosis vale 3 , y el coeficiente percentílico de curtosis vale 0,263.*1 En el capitulo V , sobre Fundamentos Teóricos de la metodología ,se encuentra la demostración de estas propiedades. Ejemplo Práctico: Supongamos que al tomar una muestra de 250 botellas de refresco y analizar sus contenidos, se agruparon las observaciones en intervalos de 5 cc de amplitud , dando lugar a la siguiente distribución de frecuencias:
11 Para una mayor explicación sobre estos conceptos estadísticos básicos, y su metodología de cálculo, el
lector puede consultar algunos textos de “Estadística” tales como : “Estadística” de Murray R. Spiegel, o
Estadística para las Ciencias Administrativas de Lincoln L. Chao , ambos de la Editorial Mac. Graw Hill .
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Contenido ( cc ) Frecuencia 190 - 195 9 195 - 200 29 200 - 205 47 205 - 210 72 210 - 215 51 215 - 220 30 220 - 225 12 Para hacer un tratamiento descriptivo de estos datos procedemos como sigue: 1º) En primer lugar se dibuja un Histograma de frecuencias:
2º) A continuación , se estiman los parámetros de la distribución:
ˆ = Media Muestral = X =
Li*
i=1
i=k
f
f
i
i
i
i k
1
2 =Varianza Muestral = S2
=
i k* 2
i i
i 1
i k
i
i 1
(L X) f
f 1
=
i k* 2 2
i i
i 1
i k
i
i 1
(L ) f X
f
n
1
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En donde: Li* = Marca de Clase del intervalo "i"
fi = Frecuencia del intervalo "i" .
k= Número de intervalos .
n=
i k
i
i 1
f = Número total de datos
Es conveniente organizar los cálculos en la siguiente tabla:
Intervalo Li* fi Li* fi (Li*)2.fi
190 - 195 192.50 9 1732.50 333506.25 195 - 200 197.50 29 5727.50 1131181.25 200 - 205 202.50 47 9517.50 1927293.75 205 - 210 207.50 72 14940.00 3100050.00 210 - 215 212.50 51 10837.50 2302968.75 215 - 220 217.50 30 6525.00 1419187.50 220 - 225 222.50 12 2670.00 594075.00 Totales 250 51950.00 10808262.5
Sustituyendo obtenemos: ˆ = X = 51950 00
250
. , = 207,80
2 = S2
=2(10.808.262,50) (250)(207,80)
249= 52,21 = S = 7,23
Aclaratoria: Uno de los problemas importantes que se estudia en “Inferencia Estadística” es el de estimación, que trata sobre la metodología a seguir para inferir el valor desconocido de un parámetro poblacional a partir del estadístico muestral. Usualmente los parámetros poblaciones se designan con letras griegas, mientras que sus correspondientes estimadores con letras latinas.
Así por ejemplo “μ” representa a la media poblacional, mientras que X a la media muestral que es su estimador. Cuando esta nomenclatura se aplica sobre la varianza, se obtiene que la varianza poblacional
designada por 2 ,viene dada por :
2
2
1
( )x
N
i
i
i N
; mientras que la muestral :
S
x X
n
i
i
i n
2
2
1
( )
. Sin embargo, en Inferencia Estadística se demuestra que un mejor
estimador2 de
2 es: Sc
i
i
i n
x X
n
2
2
1
1
( )
, y recibe el nombre de “cuasi varianza muestral” .
2 Es un estimador “Insesgado”. Véanse textos de “Inferencia Estadística” .
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Como la diferencia en la estimación, entre uno y otro es realmente muy pequeña especialmente
para muestras grandes y además Sc2
es mejor estimador por ser insesgado2, muchos autores
definen de una vez a Sc2
como “varianza muestral” y omiten definir al otro. Tal es el caso del
control estadístico de calidad en donde ha hecho ya costumbre definir a la varianza muestral
como
i n2
i2 i 1
(x X)
Sn 1
3º) Como siguiente paso se verifica que la mediana y la moda coinciden con la media. La mediana se calcula mediante como un caso particular de percentiles.
La fórmula general para calcular un percentil es : P L
n pF
fcp i
i
i1
1100
Pp= Percentil "p" Li-1 = Límite inferior del intervalo donde se encuentra Pp
Fi-1 = Frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior .
fi = Frecuencia del intervalo donde se encuentra Pp.
c = Amplitud de los intervalos de clase .
n= Tamaño de muestra = fii
i k
1
Para identificar el intervalo donde cae la mediana, construimos la tabla acumulada de frecuencias: Contenido ( cc ) fi Fi 190 - 195 9 9 195 - 200 29 38 200 - 205 47 85 205 - 210 72 157 210 - 215 51 208 215 - 220 30 238 220 - 225 12 250 Aquí vemos que la mediana cae en el cuarto intervalo , pues en el intervalo donde la frecuencia acumulada sobrepasa el valor 125 , que representa la mitad de los datos. Haciendo p=50 , se halla la mediana, y resulta ser:
Mediana = P50 = 205
250 50
10085
725 = 207,78
El cálculo de la moda se hace por la expresión siguiente: Moda = L ci1
1 2
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Li = Límite inferior de la clase modal .
1= Diferencia de frecuencias a la izquierda de la clase modal .
2= Diferencia de frecuencias a la derecha de la clase modal . c = Amplitud de los intervalos de clase . Para este caso, la clase modal es la cuarta, y se tiene:
Moda 20525
25 215 = 207,72
Los tres estadísticos muestrales calculados moda, mediana y media resultaron ser entonces 207,72 , 207,78 y 207,80 respectivamente , lo que refleja un comportamiento muy cercano al modelo normal . 4º) Para verificar que se cumplen los porcentajes teóricos dados por la curva
normal , se procede a definir los intervalos ( µ ± ) , ( µ ± 2 ) y ( µ ± 3 ) , en base a las estimaciones obtenidas .
Intervalo ( µ ± ) = 207,80 ± 7,23 = [200,57 ; 215,03]
Intervalo ( µ ± 2 ) = 207,80 ± 2 (7,23 ) = [193,34 ; 222,26]
Intervalo ( µ ± 3 ) = 207,80 ± 3 (7,23) = [186,11 ; 229,49] Para calcular el porcentaje de observaciones muestrales que caen en cada uno de estos intervalos, se aplica la fórmula del Puesto Percentil "p" , que da el porcentaje de observaciones menores o iguales que un límite Pp.
pn
FP L
cfi
p ii
1001
1
p = Porcentaje de observaciones menores iguales o menores que Pp. Li-1= Límite inferior del intervalo donde se encuentra Pp. Fi-1 = Frecuencia acumulada hasta el intervalo anterior.
fi = Frecuencia del intervalo donde se encuentra Pp.
c = Amplitud de los intervalos de clase . n= Tamaño de muestra. De la tabla de frecuencias acumuladas, ya encontrada anteriormente, se tiene:
Para Pp= 215,03 : p1
100
250208
215 03 215
530
, = 83,27 %
Para Pp= 200,57 : p2 = 100
25038
200 57 200
547
, = 17,34 %
En consecuencia, el porcentaje de observaciones que corresponde al intervalo [200,57 ; 215,03] es: 87,27% - 17,34 % = 65,93 % . Para el segundo intervalo:
Para Pp= 222,26 : p1 = 100
250238
222 26 220
512
, = 97,37 %
14 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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Para Pp= 193,34 : p2 = 100
2500
193 34 190
59
, = 2,40 %
Porcentaje en el segundo intervalo = 97,37 - 2,40 = 94,97% Para el tercer intervalo el 100% de las observaciones muestrales caen en él. Los resultados obtenidos están bastante próximos a los teóricos, lo que se interpreta como un nuevo síntoma de normalidad para la población de donde proviene esta muestra . 5º) Para verificar ahora la simetría de los datos, se precisa encontrar las diferentes medidas de deformación. La primera de ellas es el coeficiente momento de sesgo "a3", que se calcula por
la expresión: am
S3
3
3 .
m3 = Tercer momento muestral respecto de la media =
(L X) f
f
i*
i 1
i k3
i
i
i 1
i k
El cálculo de “m3” se hace elaborando la siguiente tabla , teniendo en cuenta que
X = 207,80 .
Contenido Li* fi Li*- X (Li*- X )3.fi
190 - 195 192.50 9 -15.3 -32234.193 195 - 200 197.50 29 -10.3 -31689.083 200 - 205 202.50 47 -5.3 -6997.219 205 - 210 207.50 72 -0.3 -1.944 210 - 215 212.50 51 4.7 5294.973 215 - 220 217.50 30 9.7 27380.190 220 - 225 222.50 12 14.7 38118.276
Total 250 -129
Por tanto: m3 = 129
250= -0.52 , y a3 =
0 52
23 3
.
(7. ) = - 0.001
Una segunda medida de deformación es el coeficiente percentílico de sesgo, que se determina por la expresión:
Coeficiente de sesgo percentilico = P P P
P P
90 50 10
90 10
2
P90 = Percentil 90 P50= Percentil 50 = Mediana P10 = Percentil 10
15 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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Para el caso en cuestión, la Mediana ya se calculó y resulto ser 207,78 ; falta calcular el Percentil 10 y el 90 , por la fórmula general para el cálculo de percentiles, obteniéndose:
P10 = 19525 9
295 = 197,76
P90 = 215225 208
305 = 217,83
Coeficiente de sesgo percentílico = 217 83 2 207 78 197 76
217 83 197 76
, , ,
, , = 0,0015
Una tercera medida de deformación es el coeficiente cuartílico de sesgo, que se determina por la expresión:
Coeficiente de sesgo cuartílico = Q Q Q
Q Q
3 2 1
3 1
2
Q3 = P75 = Tercer Cuartil = Percentil 75 = 210187 50 157
515
.= 212.99
Q2 = P50 = Segundo Cuartil = Percentil 50 = Mediana = 207.78
Q1 = P25 = Primer Cuartil = Percentil 25 = 20062 5 38
475
. = 202.61
Coeficiente de sesgo cuartílico = 212 99 2 207 78 202 61
212 99 202 61
. . .
. .= 0.004
Las tres medidas de deformación dan un resultado casi nulo, lo que se interpreta como una simetría casi perfecta de los datos, lo que revela otra coincidencia con la Distribución Normal. 6º) Un último paso para verificar la normalidad de los datos, desde un punto de vista descriptivo es calcular las medidas de apuntamiento, como lo son el coeficiente momento de curtosis , y el el coeficiente percentílico de curtosis, las cuales tienen para la Distribución Normal , un valor teórico de 3 y de 0,263 respectivamente. ( Véase la demostración en el Capítulo de Fundamentos Teóricos) .
El coeficiente momento de curtosis “a4” se calcula por la expresión: a4 = m
S
4
4
Donde: m4 = Cuarto momento muestral respecto de la media =
(L X) f
f
i* 4
i
i 1
i k
i
i 1
i k
El cálculo de m4 se hace a través de la siguiente tabla , teniendo en cuenta que X
= 207,80 .
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Contenido Li* fi Li*- X (Li*- X )4 fi
190 - 195 192.50 9 -15.3 493183.153
195 - 200 197.50 29 -10.3 326397.555
200 - 205 202.50 47 -5.3 37085.2607
205 - 210 207.50 72 -0.3 0.5832
210 - 215 212.50 51 4.7 24886.3731
215 - 220 217.50 30 9.7 265587.843
220 - 225 222.50 12 14.7 560338.657
250 1707479.43
En consecuencia : m4 = 1707 479 43
250
. . ,= 6.829,92
y el coeficiente momento de curtosis: a4 = 6 829 92
23 4
. ,
(7. ) = 2.50
La expresión para calcular el coeficiente percentílico de curtosis " " es:
Coeficiente Percentílico de Curtosis = =
1
23 1
90 10
( )Q Q
P P
Anteriormente ya habían sido calculados los cuartiles, y los percentiles 10 y 90 ,
obteniendo : Q3 = 212.99 ; Q1 = 202.61 ; P10= 197.76 ; P90 = 217.83
Reemplazando: =
1
2212 99 202 61
217 83 197 76
( . . )
. .= 0.2586
De los resultados obtenidos concluimos que la curva obtenida es ligeramente
menos puntiaguda que la normal ( Curva Planticúrtica) , puesto que ambos
coeficientes resultaron ligeramente menores a los teóricos dados por la curva
normal .
Es muy frecuente que en el análisis descriptivo de los datos, se encuentren
situaciones como ésta , en donde los resultados muestrales se alejan ligeramente
17 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
de los teóricos dados por la Curva Normal , y de allí la importancia de las Pruebas
de Ajuste a la Normalidad , que se analizan en el capítulo siguiente, a fin de
evaluar si tales diferencias son o no significativas.
CONCEPTO DE CAPACIDAD DE UN PROCESO INDUSTRIAL
El hecho de que un proceso industrial se encuentre bajo control estadístico no
significa que va a producir artículos de calidad, lo que significa es simplemente
que sobre su variabilidad están actuando solamente causas comunes , y es
perfectamente posible que a pesar de hallarse bajo control, este margen de
variabilidad sea tan amplio que le impida cumplir con las especificaciones exigidas
por el consumidor .
Para poder controlar la calidad deben existir unas especificaciones, que son los
límites entre los cuales debe caer una determinada característica cuantitativa para
que se considere que el producto satisface los requisitos de calidad; así por
ejemplo, cuando se exige que un eje debe tener un diámetro de (100.00 ± 0.25)
mm , esto significa que su diámetro debe caer en el intervalo (99.75 ; 100.25) mm
para que cumpla con este requisito de calidad. Estos límites del intervalo definen
lo que se denominan las especificaciones, y sus extremos, reciben el nombre de
"límite inferior de especificación" y "límite superior de especificación" , que
en lo sucesivo se designaran por "Li " y "LS " respectivamente .
La diferencia entre esos límites se define como la tolerancia: T = LS -Li
Resulta obvio que cuanto mayor sea la tolerancia de un producto, más fácil le
resultará al proceso cumplir con las exigencias de calidad, puesto que el producto
permite una mayor variabilidad; pero por el contrario, cuanto más pequeña sea la
tolerancia, es más difícil cumplir puesto que el margen de variabilidad es más
estrecho, y por tanto más exigente.
Hemos visto, que cuando un proceso está bajo control estadístico, los productos
que fabrica se comportan según un modelo normal, y que entre los límites "µ-3 "
y "µ+3 " , debe caer entonces el 99.73% de la producción. De allí entonces, que
resulte conveniente que un proceso trate de ubicarse entre estos límites, a fin de
garantizar que la casi totalidad de la producción va a cumplir con la
especificación.
Por otra parte, hay que tener en cuenta que los parámetros "µ" y " " del proceso
constituyen una característica propia del mismo . Su media "µ" generalmente
puede ser fijada a voluntad, según ciertos ajustes y calibraciones que se le hagan
18 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
a las máquinas, pero su desviación típica " " es mucho más difícil de modificar,
puesto que depende de las causas comunes que lo afectan, tales como precisión
de las máquinas, destreza de los operarios, etc.
Cuando la media "µ" del proceso coincide con el punto medio de las
especificaciones, se dice que el proceso está centrado.
Centrar un proceso no es garantía de que la producción va a cumplir con las
especificaciones, pues si los límites de especificación resultan más estrechos que
los límites de variación ±3 , entonces un cierto porcentaje de la producción va a
resultar defectuosa, tal como se muestra en la figura:
Cuando un proceso está centrado, el porcentaje de piezas defectuosas se reparte
por igual a ambos lados de la curva .
Cuando la media de un proceso no coincide con la media de la especificación, se
dice que está descentrado o que la media está corrida, y en ese caso el
porcentaje de piezas por encima del límite superior (defectuosas por exceso) es
diferente de las que resultan por debajo del límite inferior (defectuosas por
defecto) .
19 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Por lo general, en el Control de Calidad, se trata de mantener al proceso
centrado, porque bajo esta situación, el porcentaje de piezas fuera de
especificación es lo mínimo posible (demostración en el capítulo de
"Fundamentos Teóricos" ).
Hay situaciones especiales en que deliberadamente se provoca un corrimiento de
la media y el proceso se descentra, debido a que por un extremo es posible
corregir las piezas defectuosas, y por el otro extremo las piezas resultan
inservibles. Cuando se presentan situaciones de esta naturaleza, la
determinación del punto en que hay que colocar la media del proceso, depende
del costo de la corrección, del costo de perder la pieza inservible, y de la utilidad
que se obtenga por una pieza dentro de la especificación. ( Ver Cap.V)
Se dice que un proceso es capaz, cuando los límites de la especificación
resultan más amplios que sus límites ± 3 , pues en este caso, de estar centrado
el proceso, podremos garantizar que prácticamente el 100% de las piezas
producidas cumple con la especificación exigida.
PROCESO CAPAZ CENTRADO
La capacidad del proceso es entonces la disposición que tiene para adaptarse a
las especificaciones, y es por consiguiente una cualidad que debe exigírsele a
todo proceso industrial, si se quiere garantizar la fabricación de piezas que
cumplan los requisitos de calidad establecidos en las normas.
Para medir la capacidad del proceso es necesario comparar la amplitud de su
intervalo natural de variación, que como se sabe es desde µ-3 hasta µ+3 , lo
20 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
que da una amplitud de 6 , con la amplitud del intervalo de especificación LS-Li
que es "T" tolerancia de la especificación, y de allí que la medida utilizada para
expresar la capacidad es el denominado "Coeficiente de Capacidad" , CP
definido por: CL L T
ps i
6 6
Cuando CP 1, el proceso es capaz siempre que esté centrado, mientras que
cuando CP < 1, el proceso es incapaz aunque esté centrado, pues los límites de la
especificación resultan demasiados estrechos en comparación con los límites de
variabilidad natural del proceso, por efecto de las causas comunes.
El hecho de que un proceso sea capaz no significa sin embargo, que no deba ser
controlado, pues si aparecen circunstancias externas que provoquen un
corrimiento de la media y lo descentran, van a aparecer entonces un cierto
porcentaje de defectuosas, en caso de que la distancia de la nueva media a uno
de los límites de especificación sea inferior a 3 , tal como se muestra en la figura:
Para detectar a tiempo estos corrimientos en la media, es por lo que los "Gráficos
de Control" constituyen una herramienta muy útil en el Control de Procesos .
En conclusión, los estudios de capacidad denominados también de habilidad,
tienen como objetivo el determinar si el proceso puede someterse a las
especificaciones que le son impuestas, o si por el contrario, dichas
especificaciones resultan demasiado estrictas para el proceso, y por consiguiente
deben ser ampliadas o debe recurrirse a otro proceso que sea más preciso.
USO DE LAS TABLAS NORMALES
21 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
En numerosas oportunidades interesa determinar la probabilidad de que una
pieza al azar cumpla con determinadas dimensiones, o el valor en que debe
fijarse la media de un proceso, para tener una determinada probabilidad de que
una pieza cumpla con una especificación. Para hacer tales cálculos, es
indispensable el uso de las tablas normales.
La tabla normal permite calcular la probabilidad de que una observación sea igual
o menor que una determinada abscisa "x" (Función de distribución), para unos
parámetros "µ" y " " dados. Dicha probabilidad viene dada por el área bajo la
curva, a la izquierda de la abscisa "x" , tal como se muestra en la figura:
Para entrar en la tabla normal, es necesario en primer lugar, tipificar previamente
la abscisa "x" , mediante la transformación: Z = X -
La abscisa tipificada "z" representa la distancia entre la abscisa "x" y la media "µ"
, expresada en función de la desviación típica " " . Así por ejemplo, una abscisa
tipificada z=2, representa que la abscisa "x" se halla a dos desviaciones típicas de
la media "µ".
El signo de "Z" , indica la posición de la abscisa 'x" con respecto a la media "µ" , y
así cuando "Z" es negativo la abscisa "x" es menor que la media "µ" ; mientras
que cuando "Z" es positiva , la abscisa "x" es mayor que la media "µ".
Las tablas que se encuentran en el anexo ,y distinguidas como 3.a y 3.b, han
sido extraídas del texto "Introductory Mathematical Statistics . Principles and
Methods " , de Erwin Kreyszig , de la Editorial John Wiley and Sons , Inc , y
utilizan la siguiente nomenclatura:
(z) = Area que en la Normal tipificada hay desde "z" a la izquierda .
(-z) = Area que en la Normal tipificada hay desde "-z" a la izquierda .
D(z) = Area que en la Normal tipificada hay entre "-z" y "+z" .
22 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
z = Abscisa que en la normal tipificada deja a la derecha un área .
La tabla 3.a se utiliza cuando se tiene una abscisa tipificada "z" , y se quiere
calcular el área a la izquierda . Si "z" es positivo se lee en la columna (z), si "z"
es negativo en la columna (-z) ,y en caso de que se trate de un intervalo central
simétrico, el área entre "-z y + z" se lee en la columna D(z) .
Si se quiere el área a la derecha de una abscisa tipificada "z" , será necesario
restar de 1, el área a la izquierda leída en la tabla 3.a .
La tabla 3.b se utiliza en el caso inverso, cuando se quiere determinar la abscisa
tipificada que deja a la izquierda un determinado porcentaje de área, en cuyo caso
se lee en la columna z ( ), y si lo que se tiene es un área central comprendida en
un intervalo simétrico, el extremo positivo de dicho intervalo se lee en la columna
z(D) .
Ejemplo 1 : Supongamos que un proceso fabrica piezas cuya longitud sigue una Distribución Normal con media 72.50 mm y desviación típica de 0.20 mm. Calcular las siguientes probabilidades: a) Que una pieza mida menos de 72.80 mm . b) Que una pieza mida menos de 72.10 mm . c) Que una pieza mida más de 72.60 mm d) Que una pieza caiga en el intervalo (72.15 ; 72.75) mm . e) Que una pieza caiga en el intervalo (72.50 ± 0.35) mm . Solución :
Designando como “X” la longitud de una pieza, se tiene : X N ( 72.50 ; 0.202)
P ( X 72.80 ) = P ( Z < 72 80 72 50
0 20
. .
.) = P ( Z < 1.50) = (1.50) = 0.9322
P ( X 72.10 ) = P ( Z < 7210 72 50
0 20
. .
.) = P ( Z < -2) = (-2) = 0.0228
P ( X > 72.60 ) = P ( Z > 72 60 72 50
0 20
. .
.) = P ( Z > 0.50) =1- (0.50) =
1 - 0.6915 = 0.3085
P( 72.15 < X < 72.75) = P(7215 72 50
0 20
. .
. < Z <
7275 72 50
0 20
. .
.) =
P ( -1.75 < Z < 1.25) = ( 1.25) - (-1.75) = 0.8944 - 0.0401 = 0.8543
P ( 72.15 < X < 72.85) = P (7215 72 50
0 20
. .
.< Z <
72 85 72 50
0 20
. .
.) =
P ( -1.75 < Z < 1.75 ) = D ( 1.75 ) = 0.9199 ( Por ser un intervalo simétrico)
23 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Nótese que en todos estos casos, las lecturas fueron hechas en la tabla 3.a ,
puesto que se daban abscisa para encontrar una probabilidad , la cual se mide
por el área bajo la curva .
Ejemplo 2 : Suponiendo que la duración de unas baterías sigue una Distribución Normal con media 100 horas , y desviación típica de 12 horas . a) Dar un plazo de garantía sobre la duración mínima de una batería, de forma que dicha garantía se cumpla con probabilidad 0.99 . b) Dar un intervalo simétrico donde caiga la caiga la duración de una batería , con probabilidad 0.90 . Solución :
En este ejemplo, tenemos que: X = Duración de una batería N(100 ; 122) . a) La garantía se cumple cuando la duración de la batería es igual o mayor que el plazo de garantía, de forma que si designamos por "t" al plazo de garantía, lo
que se quiere es : P ( X t ) = 0.99 , o gráficamente :
P ( X t ) = 0.99
P ( Z t 100
12) = 0.99
En la tabla 3.b , se encuentra que para 99% de área a la derecha , es decir 1% de área a la izquierda , la abscisa tipificada correspondiente leyendo en la tabla
z( ) es : -2.326 t 100
12= -2.326 t = 100 - 2.326 ( 12 ) = 72.09
y por consiguiente, el plazo de garantía para 99% de probabilidad de cumplimiento, debe ser de 72.09 horas . b) Encontrar un intervalo simétrico donde caiga la duración de una batería con probabilidad 0.90, significa determinar un intervalo donde si elige una batería al azar , la probabilidad de que su duración caiga en dicho intervalo debe ser de 0.90 , y la probabilidad complementaria de no caer 0.10 , debe repartirse por igual para cada cola , es decir 0.05 por la izquierda y 0.05 por la derecha. Por simetría, tenemos entonces que dicho intervalo debe estar centrado en la
media 100 , y la incógnita es su amplitud " " , tal como se muestra en la figura:
Para determinar " ", se procede como sigue:
P( 100 - X 100 + ) = 0.90
P ( - 12
Z 12
) = 0.90
24 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
En la tabla 3.b, se encuentra que para 90% de área central , la abscisa
correspondiente es 1.645 ( Columna z(D) ) , y por consiguiente: 1.64512
y de allí se deduce que : = 1.645 12 = 19.74
El intervalo central simétrico de 90% de probabilidad, para la duración de una batería, es entonces: 100.00 ± 19.74 = [ 80.26 ; 100.74 ] horas .
EJERCICIOS PROPUESTOS
1º) Un estudio demostró que los tiempos de vida de cierta marca de baterías
para automóviles, se distribuyen normalmente con media 548 días , y desviación
típica de 185 días . Si el fabricante debe garantizar sus baterías por 180 días , ¿
qué porcentaje de las baterías deberá ser cambiado ? .
Solución: 2.33 % 2º) Se ha comprobado que el peso de los estudiantes universitarios, sigue una Distribución Normal con media 68,5 Kgs., y desviación típica de 10 Kgs . ¿Cual es la probabilidad de encontrar un estudiante, cuyo peso esté: a) entre 48 y 71 Kgs . b) superior a 91 Kgs . Solución : a) 0.5785 b) 0.0122 3º) El espesor de las láminas metálicas producidas por una cierta máquina sigue una Distribución Normal, con media 10 mm., y desviación típica de 0,02mm . Establezca una especificación para el espesor de estas láminas, de forma que: a) El 95 % de las láminas cumplan con la especificación. b) El 99% de las láminas cumplan con la especificación. Solución: a) (10.0000 ± 0.0392) mm b) (10.00000 ± 0.05152) mm 4º) Las especificaciones para una cierta pieza mecánica son (20.00 ± 0.50) cms., y la máquina que se dispone para producirlas tiene una desviación típica de 0.30 cms. Las piezas que resulten por encima del límite superior pueden ser reprocesadas y corregidas, pero las que resulten por debajo del límite inferior son consideradas como desperdicio. a) ¿Cual debe ser la media del proceso, si se quiere a lo más un 1% de desperdicios ? . b) Para esa media del proceso. ¿Cuál será el porcentaje de piezas reprocesadas? . Solución: a) µ = 20.1978 b) 15.62 5º) Si se quiere que un proceso produzca dentro de las especificaciones (10.00 ± 0.15 ) cms, con a lo más 2% de piezas defectuosas . ¿En qué valor debe
25 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
mantenerse controlada a la desviación típica, cuando el proceso está centrado ? .
Solución: 0.0645 6º) Hay que producir unas piezas cuyo diámetro debe caer dentro de la especificación (190 ± 15) mms ; pero sin embargo , la máquina que se dispone para fabricarlas, las saca según un diámetro aleatorio que sigue una Distribución Normal con media 200 mm, y desviación típica de 10 mms . ¿Cual es la probabilidad de producir una pieza defectuosa ? . Solución : 0.3147 . 7º) Una máquina cortadora puede ser calibrada para cortar alambres que tengan una media determinada . Suponiendo que la longitud de los alambres obtenidos sigue una Distribución Normal con media el valor calibrado, y desviación típica de 0,2 cms. ; determine el valor en que debe calibrarse la media , si se quiere que solamente el 5% de los alambres, tengan una longitud mayor de 10,40 cms . Solución : µ = 10.071 cms .
26 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
CAPITULO II : PRUEBAS DE AJUSTE A LA NORMAL
Hemos visto en el capítulo anterior como la Distribución Normal es el punto de
partida para evaluar la capacidad del proceso , pues la Teoría de Control
Estadístico supone como axioma que bajo condiciones estables, es decir cuando
solo actúan causas comunes o aleatorias , el comportamiento del proceso debe
ajustarse a ella .
El análisis descriptivo analizado también en el capítulo anterior , sirve de gran
orientación para validar la hipótesis de normalidad del proceso, pues cuando se
cumplen todas las exigencias allí señaladas , tales como histograma
acampanado, simetría , igualdad entre la moda la mediana y la media , coeficiente
momento de curtosis igual a 3 , etc., tendremos una evidencia muy significativa
acerca de la validez de la hipótesis normal.
No podemos sin embargo olvidar, que el comportamiento de las muestras es
aleatorio, y no necesariamente son un reflejo exacto de la población de donde
provienen, y que por lo tanto, es perfectamente posible, que siendo el proceso
normal, la muestra presente ligeras desviaciones con relación al modelo teórico.
De lo anteriormente expuesto , se deduce entonces que una pregunta muy lógica
que cualquier investigador puede hacerse con relación a su proceso es: ¿ hasta
qué punto pueden tolerarse diferencias entre la muestra y el modelo normal
teórico , y seguir aceptando la hipótesis de normalidad ? . La respuesta a esta
pregunta la dan precisamente las llamadas " Pruebas de Ajuste " .
En este capítulo analizaremos tres pruebas de ajuste , las cuales son unas
pruebas muy rigurosas, y que proporcionan una respuesta definitiva a la pregunta
anterior.
Otro método de ajuste que analizaremos en este capítulo es el uso del papel
probabilístico , que es de una sencillez extraordinaria , pero con la desventaja de
los métodos descriptivos, que no permite establecer hasta qué punto son
tolerables las diferencias entre los resultados muestrales y el modelo normal
teórico.
Al final del capítulo se incluyen también otras pruebas estadísticas, cuyo objetivo
no es probar el ajuste, pero que son de gran utilidad en el control de procesos
pues sirven para controlar alguno de sus parámetros, y en consecuencia sirven
para detectar a tiempo algún desajuste, como por ejemplo un corrimiento de su
media , o un incremento en su desviación típica.
27 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
PRUEBA CHI-CUADRADO DE BONDAD DEL AJUSTE
Esta es una prueba de carácter completamente general, que se utiliza no
solamente para verificar el ajuste a la normalidad , sino también para el ajuste a
cualquier otra Distribución teórica de probabilidad .
Aplicada al caso que nos ocupa que es el de normalidad, dicha prueba sirve para
contrastar la Hipótesis Nula H0 : El proceso se ajusta a una normal , contra la
Hipótesis Alternativa H1: El proceso no se ajusta a una normal.
Es decir, si designamos por "X" a la variable en estudio, la prueba chi-cuadrado
de bondad, es una prueba de hipótesis en donde:
H0: "X" se ajusta a una normal
H1: "X" no se ajusta a una normal
Para decidir si aceptamos o rechazamos la Hipótesis nula H0, dispondremos
como información una muestra de valores de la variable "X" , la cual deberá estar
presentada como una tabla agrupada de frecuencias, en donde los diferentes
valores observados de la variable "X" , aparecen clasificados en intervalos, con
sus respectivas frecuencias .
Dicha tabla debe ser construida tomando muestras al azar del proceso, y aunque
no existe una regla fija acerca de cuantas observaciones tomar, es recomendable
que tenga por lo menos 100 observaciones, clasificadas en por lo menos 6
intervalos.
Una vez construida esta tabla, los pasos a seguir son:
Paso 1 : Estimar los parámetros "µ" y " 2 " , de la distribución mediante la media
"X" , y la varianza muestral "S2 ", que como bien sabemos se calculan por:
= Media Muestral = X =
X
n
i
i
i n
1
2 =Varianza Muestral = S2
=
i k* 2
i i
i 1
i k
i
i 1
(L X) f
f 1
=
i k* 2 2
i i
i 1
i k
i
i 1
(L ) f X
f
n
1
28 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
En donde: Li* = Marca de Clase del intervalo "i"
fi = Frecuencia del intervalo "i" .
k = Número de intervalos.
n=
i k
i
i 1
f = Número total de datos
Paso 2 : Con los parámetros estimados , calcular las probabilidades de cada uno
de los intervalos, mediante la tabla normal .
pi = P ( Li-1 X < Li) = P (L i 1
Z < L i
) = (L i
) - (L i 1
)
En este paso , es importante tener en cuenta el detalle de que los intervalos
extremos deben ser definidos como "< L1" el primero , y como " LK“ el último,
puesto que de lo contrario la suma de las probabilidades de los “k” intervalos no
será igual a "1" , debido a que como es sabido el dominio teórico de la curva
normal es desde “- ” hasta “+ “.
Paso 3 : Calcular las frecuencias esperadas de cada intervalo , multiplicando el
tamaño total de muestra por su probabilidad teórica .
ei = n . pi ; siendo n = fii
i k
1
Estas frecuencias esperadas representan el número de observaciones que
deberían caer en cada uno de los intervalos, en caso de ser cierta la hipótesis de
normalidad , y por lo tanto deberían ser muy parecidas a las observadas en la
realidad , para poder aceptar la hipótesis de normalidad del proceso.
Paso 4 : Comparar las frecuencias observadas con las esperadas , mediante el
cálculo del estadístico chi - cuadrado, definido por: 2 ( f - e )i i
2
i=1
i=k
ei
El valor de " 2 " , mide la diferencia entre las frecuencias observadas y las
esperadas; cuanto más grande sea su valor , mayor es la diferencia entre la
realidad observada y el modelo teórico normal , mientras que cuanto más
pequeño sea su valor, mejor es el ajuste del modelo teórico normal a la realidad
observada en la muestra.
En este paso, hay que cuidar el detalle de que todas las frecuencias esperadas
deben ser iguales o mayores que "5" .En caso de que este requisito no se cumpla,
29 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
es necesario fundir ese intervalo con cualquiera de sus vecinos, hasta alcanzar
una frecuencia esperada de 5 ó más.
La justificación de este requisito es porque la prueba "chi-cuadrado", está basada
en la aproximación normal a la binomial , y para que esta aproximación sea
satisfactoria se exige : npi 5 .
Paso 5: Una vez calculado el valor de " 2 ", el último paso es ir a las tablas de la
distribución chi-cuadrado, con un nivel de nivel de significación " " previamente
seleccionado ( usualmente 5%) , con (k -3) grados de libertad *3 , y leer la abscisa
" 2 " que deja a la derecha un área " " .
Si: 2 2 Aceptar H0 , es decir es aceptable el ajuste a la Normal .
Si: 2 > 2 Rechazar H0 , es decir, no es aceptable el ajuste a la Normal .
La zona de rechazo es exclusivamente del lado derecho, pues solamente valores
grandes de " 2 " reflejan diferencias significativas entre la muestra y la
distribución normal teórica .
Ejemplo: Retomemos la muestra del capitulo anterior relativa al contenido de
refresco en unas botellas
Contenido ( cc ) Frecuencia
190 - 195 9
195 - 200 29
200 - 205 47
205 - 210 72
3 En general , el número de grados de libertad es: k-1-r ; siendo “r” el número de parámetros estimados ,
que en el caso de la Distribución Normal es r=2.
30 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
210 - 215 51
215 - 220 30
220 - 225 12
Con el análisis descriptivo hecho anteriormente , la muestra presentó síntomas
evidentes de normalidad, a excepción de los coeficientes de curtosis que no
arrojaron los valores que corresponden para una normal.
Para salir de dudas , y verificar si estas diferencias son o no significativas ,
apliquemos la prueba chi-cuadrado de bondad del ajuste, mediante la prueba de
hipótesis :
Ho: "X" ( Contenido de la botella) se ajusta a una normal
H1: "X" ( Contenido de la botella) no se ajusta a una normal
Paso 1: Estimar los parámetros de la distribución .
Esta estimación ya fue hecha en el capítulo anterior con los siguientes resultados:
= X = 207,80
2 = S
2
= 52,21
= S = 7, 23
Paso 2 : Calcular las probabilidades de cada uno de los intervalos .
Para garantizar que la suma de todas las probabilidades de 1 , el primer intervalo
lo tomamos como " < 195 " , y el último como " 220 " , y con la ayuda de la tablas
normales , tenemos :
P( X < 195) = P ( Z < 195 - 207.80
7 23.) = ( -1.77 ) = 0.0384
P( 195 X < 200) = P (195 - 207.80
7 23. Z <
200 - 207.80
7 23. ) = P (-1.77 Z < -1.08)
31 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
= ( -1.08) - ( -1.77 ) = 0.1401 - 0.0384 = 0.1017
P( 200 X < 205) = P (200 - 207.80
7 23. Z <
205 - 207.80
7 23. ) = P (-1.08 Z < -0.39)
= ( -0.39) - ( -1.08 ) = 0.3483 - 0.1401 = 0.2082
P( 205 X < 210) = P (205 - 207.80
7 23. Z <
210 - 207.80
7 23. ) = P (-0.39 Z < 0.30)
= (0.30) - (-0.39) = 0.6179 - 0.3483 = 0.2696
P( 210 X < 215) = P (210 - 207.80
7 23. Z <
215 - 207.80
7 23. ) = P (0.30 Z < 1.00)
= (1.00) - (0.30) = 0.8413 - 0.6179 = 0.2234
P( 215 X < 220) = P (215 - 207.80
7 23. Z <
220 - 207.80
7 23. ) = P (1.00 Z < 1.69)
= (1.69) - (1.00) = 0.9545 - 0.8413 = 0.1132
P( X 220) = P ( Z 220 - 207.80
7 23.) = P(Z 1.69) = 1 - (1.69) =
1 - 0.9545 = 0.0455
Paso 3: Calcular las frecuencias esperadas .
Una vez calculada la probabilidad de cada uno de los intervalos , procedemos a
calcular su frecuencia esperada , multiplicando su probabilidad por el tamaño de
muestra , en este caso 250 : ei = n . pi .
32 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Los cálculos se presentan en la siguiente tabla:
Contenido ( cc ) fi pi e i
< 195 9 0.0384 9.60
195 - 200 29 0.1017 25.43
200 - 205 47 0.2082 52.05
205 - 210 72 0.2696 67.40
210 - 215 51 0.2234 55.85
215 - 220 30 0.1132 28.30
220 12 0.0455 11.38
En este caso ,todas las frecuencias esperadas resultaron ser mayores que 5 , y
por tanto no hay necesidad de fundir intervalos .
Paso 4: Comparar las frecuencias observadas con las esperadas , mediante el
cálculo del estadístico "chi-cuadrado" : 2 ( f - e )i i
2
i=1
i=k
ei
Si la hipótesis H0 fuese cierta, las frecuencias observadas deberían ser muy
parecidas a las esperadas, y esta diferencia es lo que cuantifica el valor de " 2 " .
Para nuestro caso :
2 =
(
.
9 - 9.60)2
9 60 + (
.
29 - 25.43)2
25 43 +
(
.
47 - 52.05)2
52 05 + ......+
(
.
12 - 11.38)2
1138 = 1.90
Paso 5 : Ir a la tabla de la Distribución Chi- Cuadrado, con un nivel de
significación seleccionado , y los grados de libertad calculados.
En nuestro caso, seleccionaremos un nivel de significación del 5% , y para
calcular los grados de libertad tenemos:
k = número de intervalos = 7
33 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
grados de libertad = k - 3 = 4
En la tabla encontramos: 0 05 42. ; = 9.49 > 1.90 Aceptar H0
No existe en consecuencia, una evidencia significativa para rechazar la hipótesis
de normalidad, lo que se interpreta como un ajuste satisfactorio a la Distribución
Normal .
Ejercicio Propuesto: El peso en gramos, de una muestra de cajas de fósforos fue
el siguiente:
Peso Frecuencia
2.7- 3.1 19
3.1- 3.5 67
3.5- 3.9 141
3.9- 4.3 157
4.3-,4.7 94
4.7- 5.1 22
Verificar a un nivel de significación del 5%,si los datos se ajustan a una
Distribución Normal.
Solución: 2 = 1.1774 < 0 05 32. ; = 7.81 Se acepta el ajuste a la normal.
PRUEBA DE KOLMOGOROV - SMIRNOV
Esta prueba al igual que la anterior, es una prueba de ajuste, que se utiliza
exclusivamente para distribuciones continuas, y en donde la hipótesis a probar es
que una determinada muestra proviene de una población con una función de
distribución dada.
Esta prueba no requiere que los datos estén agrupados en intervalos, pues es
aplicable aún para muestras con datos puntuales, pero su principal limitación es
que la distribución a la cual se quiere probar el ajuste, debe estar plenamente
definida, es decir que no puede tener parámetros a estimar.
34 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Para el caso de ajuste a la normalidad, esta limitante hace que la prueba solo
pueda aplicarse para parámetros especificados, que en el caso de control de
procesos suelen ser:
µ = Punto medio de la especificación (Proceso centrado)
= Ls - LI
6 (Posición límite de un proceso capaz).
En consecuencia, esta prueba puede rechazar un proceso ajustado a la normal,
en caso de que alguno de los parámetros sea diferente a los especificados; lo que
significa que si el proceso está bajo control estadístico, pero no está centrado, o
tiene una desviación típica diferente de la especificada, la prueba concluirá en un
rechazo del ajuste propuesto.
De allí, que esta prueba resulte particularmente útil, cuando un proceso tiene una
desviación típica conocida, y deba ser sometido a algunas calibraciones, para
colocar su media en un cierto valor especificado, y se quiera verificar que estas
calibraciones fueron correctamente realizadas.
Las hipótesis a contrastar en la prueba de Kolmogorov-Smirnov son:
H0: La función de distribución de "X" es F(x)
H1: La función de distribución de "X" no es F(x)
El procedimiento de la prueba consiste en comparar la Función de Distribución
Teórica F(x) , con la distribución acumulada de frecuencias relativas de la muestra
H(x), ya que si el ajuste es satisfactorio ambas deberían ser muy parecidas ;
puesto que la primera representa la probabilidad teórica de encontrar una
observación igual o menor que un cierto "x" , mientras que la segunda representa
el porcentaje de observaciones muestrales que resultaron ser iguales o menores
que ese mismo x" .
Los pasos a seguir son los siguientes:
Paso 1: Si los datos muestrales están en forma puntual se ordenan de menor a
mayor, y se calcula el porcentaje de observaciones iguales o menores que cada
uno de ellos; y si están en forma agrupada se construye la tabla acumulada de
frecuencias relativas.
35 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Paso 2 : Se calcula la probabilidad teórica de que una observación sea igual o
menor que cada valor muestral para el caso de datos puntuales, o de cada
extremo superior de intervalo para el caso de datos agrupados.
Para el caso de ajuste a la normal , este cálculo se hace con la ayuda de las
tablas normales:
F(x) = P ( X x ) = P ( Z x -
) = (x -
)
Paso 3 : Se calcula la máxima desviación en valor absoluto , entre la distribución
acumulada de frecuencias relativas para la muestra , y la función de distribución
teórica .
Dn = max | F(x) - H(x) | .
Evidentemente, cuanto más pequeño sea el estadístico Dn, mayor será la
coincidencia entre la distribución teórica y los resultados muestrales, mientras que
cuanto mayor sea su valor, mayor será la diferencia entre la muestra y los valores
teóricos, y por tanto inaceptable el ajuste, por lo que la prueba es unilateral por la
derecha .
Paso 4 : El valor crítico del estadístico Dn , se encuentra en la tabla incluida en el
apéndice, la cual suministra el valor Dn , de forma que si:
Dn Dn Aceptar H0.
Dn > Dn Rechazar H0.
El valor crítico " Dn " depende del nivel de significación " " de la prueba , y del
tamaño de muestra "n" .
Ejemplo con datos puntuales: Supongamos que para que un proceso opere
correctamente, debe ajustarse a una Distribución Normal con media 26.000 mm ,
y desviación típica 2.000 mm , y que una muestra aleatoria de 20 observaciones
dio el siguiente resultado:
25.088 26.615 25.468 27.453 23.285
25.996 26.516 28.240 25.980 30.432
26.560 25.844 26.964 23.382 25.282
24.432 23.593 24.644 26.849 26.801
36 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
¿ Se puede afirmar, a un nivel de significación del 5% , que esta muestra proviene
de una población normal con los parámetros especificados ? .
Solución: Las hipótesis a contrastar son:
H0: El proceso se ajusta a una Distribución Normal con µ=26 y = 2
H1 : El proceso no se ajusta a una Distribución Normal con µ=26 y = 2
Paso 1: Comenzamos por ordenar los datos de menor a mayor
23.285 23.382 23.593 24.432 24.644
25.088 25.282 25.468 25.844 25.980
25.996 26.516 26.560 26.615 26.801
26.849 26.964 27.453 28.240 30.432
Luego se calcula H (x) , frecuencia relativa acumulada para cada uno de los
veinte valores , es decir , la proporción de observaciones iguales o menores que
él.
Así por ejemplo : H (23.285) = 1
20 = 0,05
H (23.382) = 2
20 = 0,10 , y así sucesivamente.
Paso 2 : Se calcula con la tabla normal, la probabilidad de que una observación
igual o menor que cada uno de estos 20 valores, lo que da la función de
distribución teórica .
F (23.285) = P ( X 23.285 ) = P ( Z 23 285 26 000
2
. .) = (-1.36) =0.0869
F (23.382) = P ( X 23.382 ) = P ( Z 23 382 26 000
2
. .) = (-1.31) =0.0951
y así sucesivamente con los demás valores.
37 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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Paso 3 : Se calcula para cada dato, la diferencia en valor absoluto, entre la
función distribución teórica y la frecuencia relativa acumulada muestral.
D = | F(xi) - H(xi) | .
El resultado de los cálculos se muestra en la tabla a continuación:
xi F ( xi) H(xi) D = | F(xi) - H(xi) |
23.285 0.0869 0.05 0.0369
23.382 0.0951 0.10 0.0049
23.593 0.1151 0.15 0.0349
24.432 0.2177 0.20 0.0177
24.644 0.2483 0.25 0.0017
25.088 0.3228 0.30 0.0228
25.282 0.3594 0.35 0.0094
25.468 0.3936 0.40 0.0064
25.844 0.4681 0.45 0.0181
25.980 0.4960 0.50 0.0040
25.996 0.4992 0.55 0.0508
26.516 0.6024 0.60 0.0024
26.560 0.6103 0.65 0.0397
26.615 0.6217 0.70 0.0783
26.801 0.6554 0.75 0.0946
26.849 0.6628 0.80 0.1372
26.964 0.6844 0.85 0.1656 (Máximo)
27.453 0.7673 0.90 0.1327
28.240 0.8686 0.95 0.0814
30.432 0.9868 1.00 0.0132
38 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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En la tabla se encuentra que: Dn = max | F(x) - H(x) | = 0.1656
Paso 4: Ir a la tabla correspondiente a los valores críticos para la prueba de
Kolmogorov- Sminov , en donde se lee que para un tamaño de muestra de 20, y
un nivel de significación del 5%, Dn = 0.29 .
Como en nuestro caso: Dn = 0.1656 < Dn = 0.29; la conclusión es aceptar la
hipótesis H0, de que la muestra proviene de una población normal con media
26.000 y desviación típica 2.000.
Ejemplo con datos agrupados : La prueba de Kolmogorov - Smirnov también
puede ser utilizada en forma aproximada, en caso de que la muestra este
agrupada en intervalos tal como se muestra en el siguiente ejemplo:
Supongamos que el peso en gramos de una píldora, debe ajustarse a una
Distribución Normal con media 4 gramos, y desviación típica de 0,5.
Una muestra aleatoria de 500 píldoras arrojó:
Peso 2,7-3,1 3,1-3,5 3,5-3,9 3,9-4,3 4,3-4,7 4,7-5,1
Frecuencia 19 67 141 157 94 22
Probar al 5% de significación, si la muestra proviene de una población normal con
los parámetros especificados.
Solución: Las hipótesis a contrastar son:
H0 : El peso se ajusta a una Distribución Normal con µ=4 y = 0.5
H1: El peso no se ajusta a una Distribución Normal con µ=4 y = 0.5
Los pasos a seguir son los mismos , con la única diferencia de que la función
teórica en lugar de calcularla para cada valor muestral como se hizo
anteriormente, se calcula para los límites superiores de cada intervalo; así por
ejemplo:
F (3,1) = P ( X 3,1 ) = P ( Z 3 1 4
0 5
.
.) = (-1.80) = 0.0359
F (3,5) = P ( X 3,5 ) = P ( Z 3 5 4
0 5
.
.) = (-1.00) = 0.1587
39 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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El resultado de los cálculos se muestra en la tabla a continuación:
xi F ( xi) H(xi) D = | F(xi) - H(xi) |
3.1 0.0359 0.0380 0.0021
3.5 0.1587 0.1720 0.0133
3.9 0.4207 0.4540 0.0333
4.3 0.7257 0.7680 0.0423 Máximo
4.7 0.9192 0.9560 0.0368
5.1 0.9861 1.0000 0.0139
En la tabla se ve que: Dn = max | F(x) - H(x) | = 0.0423
El valor crítico para un tamaño de muestra de 500, y un nivel de significación del
5%, es por la fórmula de aproximación: Dn136
500
. = 0.0608
Como Dn = 0.0423 < Dn = 0.0608 ; la conclusión es aceptar la hipótesis H0,
de que la muestra proviene de una población normal con media 4 y desviación
típica 0.5 .
Ejercicios propuestos
1º) Dadas las siguientes diez observaciones de un proceso: 31.0 , 31.4 , 33.3 ,
33.4 , 33.5 , 33.7 , 34.4 , 34.9 , 36.2 y 37.0 . Probar a un nivel de significación del
5% , que el proceso se ajusta a una Distribución Normal con media 32.0 y
varianza 3.24 .
Solución: Dn = 0.56 > Dn = 0.41 Rechazar el ajuste .
2º) La duración en minutos de una muestra de pilas , fue la siguiente:
0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 100-120 120-140 140-160 160-180
5 13 13 14 17 12 15 7 4
Probar a un nivel de significación del 5% , que la duración de estas pilas se ajusta
a una Distribución Normal con media 80 minutos y desviación típica de 40 minutos
.
Solución: Dn = 0.0759 < Dn = 0.14 Aceptar el ajuste .
40 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
PRUEBA DE GEARY
Las dos pruebas anteriores , la prueba chi-cuadrado de bondad del ajuste , y la de
Kolmogorov-Smirnov son pruebas generales que pueden ser utilizadas para
verificar no solamente el ajuste a la normal , sino también para cualquier otra
distribución teórica , con la única limitación para la segunda ,de que debe ser
continua y de parámetros especificados .
Esta nueva prueba , la de Geary , es exclusiva para probar el ajuste a la
Distribución Normal , y por ser exclusiva para ella , es más potente , es decir, con
menor probabilidad de error tipo II .
La prueba se fundamenta en el uso de dos estimadores diferentes para el
parámetro " " de la Normal .
En efecto, un problema que se analiza con profundidad en los textos de
Estadística Matemática, es el relativo al de la estimación de los parámetros de
una distribución teórica . ( Ver Capítulo V)
Para el caso de la Distribución Normal, en la estimación de "µ" no hay lugar a
dudas, pues la media muestral " X " es el mejor estimador posible por ser
insesgado y de mínima varianza; pero sin embargo, para la estimación de " 2 ", la
situación no es tan clara, pues existen varios estimadores los cuales tienen ciertas
propiedades deseables, pero carecen de otras.
Algunos estimadores para el parámetro " " son:
1º) El obtenido por el método por el método de máxima - verosimilitud, y también
por el método de momentos: 1
(X - X)i2
i=1
i=n
n
2º) La raíz cuadrada del estimador insesgado para " 2" : 2
1
(X - X)i2
i=1
i=n
n
3º) El obtenido a partir de la desviación media de la muestra.
41 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Se define como desviación media de la muestra, a la media aritmética de las
desviaciones absolutas respecto de la media muestral, es decir: D M.
X - X
n
i
i=1
i=n
A partir de la desviación media muestral , es posible obtener un nuevo estimador
para " " dado por : 3 2
X - X
n
i
i=1
i=n
= 2
D.M
La prueba de Geary se fundamenta en que si se toma una muestra aleatoria
proveniente de una población normal, entonces los diferentes estimadores del
parámetro " " deben dar resultados similares, y en consecuencia el cociente entre
cualquiera de ellos debe dar valores cercanos a la unidad.
El estadístico muestral utilizado en esta prueba es: u
n
2
X - X
n
(X - X)
i
i=1
i=n
i2
i=1
i=n
Para muestras grandes, y en caso de que la muestra provenga de una población
con Distribución Normal , la distribución de la variable "U" es también una normal
con media 1 , y desviación típica 0 2661.
n ;y por tanto su valor tipificado "Z" debe
caer entre los límites - z2
y + z2
para poder aceptar la Hipótesis de Normalidad.
Es decir , Z = U 1
0 2661. n N (0,1) , y si para la muestra - z
2
z + z2
Aceptar la Hipótesis de normalidad para la población.
La prueba es evidentemente bilateral, pues valores de "U" alejados de 1 en
cualquiera de los dos sentidos, reflejan diferencia significativa entre las
estimaciones de " ", dadas por el primer y tercer estimador.
42 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Ejemplo: Para ilustrar la metodología de la prueba de Geary , analicemos la
muestra de 20 datos puntuales que ya fue analizada con la prueba de
Kolmogorov-Smirnov :
25.088 26.615 25.468 27.453 23.285
25.996 26.516 28.240 25.980 30.432
26.560 25.844 26.964 23.382 25.282
24.432 23.593 24.644 26.849 26.801
En aquella oportunidad la prueba se hizo para parámetros dados: µ=26 y = 2.
Hagamos ahora la prueba de ajuste aplicando la Prueba de Geary, la cual no
necesita especificar parámetros .
Los pasos a seguir son:
Paso 1 : Calcular la media muestral , que para este caso resulta X = 25.971 .
Paso 2: Calcular la desviación de cada dato respecto de la media muestral.
-0.883 0.644 -0.503 1.482 -2.686
0.025 0.545 2.269 0.009 4.461
0.589 -0.127 0.993 -2.589 -0.689
-1.539 -2.378 -1.327 0.878 0.830
Paso 3: Calcular la desviación típica muestral : S = =
( )X Xi2
1i
i n
n
El resultado del cálculo es : S= 1.673 , que representa una primera estimación del
parámetro " " .
Paso 4 : Calcular la desviación media de la muestra , para lo cual hay que hallar
la media de las desviaciones absolutas del paso 2 . D M.
X - X
n
i
i=1
i=n
43 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
El resultado del cálculo es : D.M= 1.272 .
Paso 5 : Hacer la segunda estimación de " " , mediante el uso del estimador :
3
2
X - X
n
i
i=1
i=n
. El resultado de esta nueva estimación es : 3 = 0.1594 .
Paso 6: Calcular el valor del estadístico U , que representa la razón entre las
dos estimaciones . u = 1594
1673
.
. = 0.953
Paso 7: Tipificar el valor obtenido de "U" , a fin de determinar si es significativa la
diferencia entre el valor obtenido en la muestra , y el resultado esperado , que
debió ser igual a 1 .
z = u 1
0 2661. n =
0 953 1
0 2661
.
. 20 = -0.794
Paso 8 : Ir a la tabla normal con el nivel de significación elegido , y leer el valor
crítico para la prueba bilateral.
Para 5% de significación se encuentra z0.025= 1.96 , y como el valor obtenido de
z=-0.794 cae en el intervalo [-1.96 , + 1.96] , la conclusión es aceptar el ajuste a
la normalidad.
PAPEL PROBABILISTICO
Debido a que las pruebas estadísticas de ajuste exigen procedimientos un tanto
complicados de cálculo, su uso en el medio industrial ha sido muy escaso, y en
aquellas empresas que requieren verificar que su proceso se ajusta a una
Distribución Normal , el uso del papel probabilístico es mucho más conocido.
44 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
El papel probabilístico es un papel especial, el cual tiene en el eje horizontal una
escala milimétrica lineal , y en el eje vertical una escala igual a la función de
distribución de la normal tipificada, de forma que cuando en el eje vertical se
representa un cierto porcentaje (z), la escala hace que lo que realmente se esté
representando sea la abscisa "z" que en la normal tipificada deja a la izquierda un
área (z) . Esta escala se conoce como escala "gaussiana" o "probabilística".
Recordemos que la tabla normal da para cada abscisa tipificada "z" , un área a la
izquierda (z) , que representa la probabilidad de que el valor tipificado de la
variable aleatoria "X" sea igual o menor que "z" .
En consecuencia , el origen de la escala vertical es 50% , pues (0) = 0,50 .
El papel probabilístico tiene la propiedad de que si sobre él se representa , la
distribución acumulada de frecuencias relativas para la una muestra proveniente
de una población normal, los puntos deben quedar en línea recta.
La justificación de esta propiedad se fundamenta en el hecho de que si el ajuste a
normal es adecuado, entonces la distribución acumulada de frecuencias relativas
para la muestra H(x) debería coincidir con la Función de distribución teórica de la
45 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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normal F(x) , y por la tipificación de la normal , se tiene entonces que: H(x) = F(x)
= P ( X x) = P(Z x
) = P ( Z z ) = (z)
Si de esta expresión se despeja "x" se tiene: x = µ + z , que es una función
lineal entre "x" y "z" .
El papel probabilístico está diseñado , para que al representar "x" en el eje
horizontal y H(x) en el margen derecho del eje vertical , la escala transforme
automáticamente a través de la tabla normal inversa a H (x) en "z", y por tanto se
obtenga una recta, en caso de que el ajuste a una Distribución Normal sea
satisfactorio.
La prueba de ajuste realizada con el papel probabilístico no necesita parámetros
especificados, tiene la ventaja de su sencillez, y puede ser utilizada tanto para
datos muestrales en forma puntual o agrupados.
El inconveniente es que no proporciona un criterio que permita establecer hasta
que punto son significativas las diferencias entre los puntos obtenidos y la línea
recta , en caso de que estos no queden perfectamente alineados, y puesto que la
recta hay que trazarla "a ojo" sobre el papel, este método deja un razonable
margen de duda .
Una vez trazada la recta , es posible obtener un estimación gráfica de la media y
de la desviación típica de la distribución.
La media puede ser obtenida entrando en la escala vertical con el 50% y
cortando a la recta, la lectura que se haga en el eje horizontal corresponde a la
media estimada del proceso.
La desviación típica " ", se estima entrando en el eje vertical con
aproximadamente 84%, cortando a la recta, y luego se mide la distancia horizontal
entre este punto de corte y la media .
46 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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El procedimiento gráfico de estimación se fundamenta en las propiedades de la
normal, ya conocidas:
a) La media "µ" es eje de simetría, y por tanto el área a su izquierda es de 50%.
b) En el intervalo (µ - , µ + ) cae el 68.27% del área , de donde se deduce por
simetría que el área a la izquierda del valor "µ + " es 84.135% .
Para representar los datos muestrales en el papel probabilístico, hay que seguir el
siguiente procedimiento:
Paso 1: Si los datos están en forma puntual se ordenan de menor a mayor, y si
están agrupados se ordenan los intervalos en forma creciente .
Paso 2: A cada dato se calcula su posición percentil, es decir el porcentaje de
observaciones que son iguales o menores que él, y si están agrupados se calcula
para cada límite superior de clase, la frecuencia relativa acumulada en forma
porcentual .
Para el caso de datos sin agrupar, la posición percentil se calcula mediante la
siguiente expresión3: j
1j
2P .100%n
Donde: j = Posición del dato después de ordenarlos de menor a mayor
Pj = Posición percentil que le corresponde al dato “j”
n = Número total de datos
Paso 3 : Sobre el eje horizontal del papel probabilístico elegimos una escala
adecuada de acuerdo con el orden de magnitud de los datos , de la misma forma
47 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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como se utiliza un papel milimetrado corriente, y sobre el margen derecho del eje
vertical se leen los porcentajes acumulados de frecuencia.
Elegida la escala adecuada para el eje horizontal, se procede a ubicar sobre el
papel los puntos (xj; Pj) ó (Li, H(Li) ), según los datos estén puntuales o
agrupados respectivamente.
Paso 4: Una vez ubicados los puntos, procedemos a ajustarles una recta. El
trazado de esta recta es totalmente subjetivo, y debe hacerse sin que exista una
mayor influencia de puntos de uno u otro lado de la recta .
Si los puntos caen razonablemente sobre una recta , concluimos que los datos se
ajustan a una Distribución Normal .
Algunos papeles probabilísticos mas sofisticados, permiten construir a ambos
lados de la recta unas bandas de confianza, entre las cuales deben caer la
totalidad de los puntos para poder aceptar el ajuste a la normalidad.
Ejemplo con datos puntuales: Un embotellador de refrescos está estudiando la
resistencia a la presión interna de botellas no retornables de dos litros. Se toma
una muestra de 16 botellas, y se obtiene la resistencia a la presión medida en
"psi" . Los resultados fueron:
222.16 202.20 219.54 193.73 208.15 195.45 193.71 200.81
211.14 203.62 188.12 224.39 221.31 204.55 202.21 201.63
Usar el papel probabilístico para analizar si es razonable suponer que esta
variable se ajusta a una Distribución Normal .
Solución: Comenzamos por ordenar los datos de menor a mayor
188.12 193.71 193.73 195.45 200.81 201.63 202.20 202.21
203.62 204.55 208.15 211.14 219.54 221.31 222.16 224.39
Una vez ordenados se procede a calcular la posición percentil de cada uno.
Así por ejemplo la posición percentil correspondiente al primer dato es:
1
11
2P .100%16
= 3,1250%
Repitiendo este cálculo para los demás puntos se obtiene:
48 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Xj 188.12 193.71 193.73 195.45 200.81 201.63 202.20 202.21
Pj % 3,125 9,375 15,625 21,875 28,125 34,375 40,625 46,875
Xj 203.62 204.55 208.15 211.14 219.54 221.31 222.16 224.39
Pj% 53,125 59,375 65,625 71,875 78,125 84,3750 90,625 96,875
A continuación se procede a graficar estos puntos sobre el papel probabilistico
De la gráfica se obtiene que la media aproximada del proceso es de 205, y la
desviación típica de 12.50.
En caso de que no se tenga papel probabilístico, también es posible usar papel
milimetrado, solo que los cálculos resultan ligeramente más complicados.
Para usar papel milimetrado, es necesario recordar que el fundamento del papel
probabilístico es la relación lineal entre "x" y "z" , dada por la ecuación
xj = µ + zj , en donde "zj" es la abscisa que en la normal tipificada corresponde a
un área a la izquierda (zj) = Pj
En el papel probabilístico en la escala vertical se lee Pj, y el papel
automáticamente representa "zj" . Si se va a utilizar papel milimetrado, el valor de
"zj" que corresponde a cada Pj hay que hallarlo previamente mediante la tabla
normal inversa, señalada como 3.b en el anexo.
49 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Este procedimiento sin embargo, hoy en día está en desuso pues todos los
paquetes estadísticos proporcionan la gráfica en papel probabilístico.
Ejemplo con datos agrupados: Retomemos los datos relativos al contenido de
refresco de unas botellas , y cuyo análisis descriptivo ya se hizo en el capítulo
anterior , y cuyo ajuste a la normalidad ya fue verificado con la prueba chi -
cuadrado de bondad del ajuste.
Contenido ( cc ) Frecuencia
190 - 195 9
195 - 200 29
200 - 205 47
205 - 210 72
210 - 215 51
215 - 220 30
220 - 225 12
Para representar estos datos sobre el papel probabilistico, se calculan las
frecuencias relativas acumuladas:
Contenido ( cc ) fi H(Li)
190 - 195 9 3,60 %
195 - 200 29 15,20 %
200 - 205 47 34,00 %
205 - 210 72 62,80 %
210 - 215 51 83,20 %
215 - 220 30 95,20 %
220 - 225 12 100.00 %
Sobre el papel se llevan los puntos (Li , H (Li) ) , en donde Li representa el límite
superior del intervalo , y H (Li) su frecuencia relativa acumulada .
50 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
La gráfica no deja prácticamente lugar a dudas acerca de la normalidad del
proceso de llenado de las botellas , tal como lo había advertido el análisis
descriptivo, y lo había ratificado la prueba chi- cuadrado de bondad de ajuste.
En general, el uso del papel probabilistico con datos agrupados es mucho más
cómodo, pues resulta más facil la ubicación de los puntos dentro del gráfico.
OTRAS PRUEBAS DE HIPOTESIS IMPORTANTES EN EL CONTROL DE
PROCESOS
Para concluir este capítulo , el autor ha considerado oportuno incluir algunas otras
pruebas de hipótesis relativas a la Distribución Normal , donde a diferencia de las
anteriores lo que se quiere probar no es el ajuste a la Distribución Normal el cual
ya se da por válido, sino el valor de alguno de sus parámetros.
PRUEBA BILATERAL PARA LA MEDIA
Esta prueba se utiliza cuando se quiere probar que la media de un proceso ha
quedado correctamente calibrada en un valor especificado que llamaremos 0.
Ho : = 0
H1 : 0
51 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Generalmente el valor especificado 0 ,es el punto medio de la especificación ,y
en ese caso la prueba pretende probar la hipótesis de que el proceso está
centrado , contra la alternativa de que está descentrado.
Como la varianza poblaciónal " 2 " es desconocida, la prueba debe ser hecha
con la Distribución t-Student, calculando el valor del estadístico "t" dado por:
t = 0X
nS
en donde:
0 = Valor especificado para la media de la Distribución.
X = Media de la muestra .
S = Desviación típica muestral =
i n2
i
i 1
(X X)
n 1
n = Tamaño de la muestra .
El valor crítico de estadístico "t" dependerá del nivel de significación seleccionado,
y se lee en las tablas de la Distribución t- Student, incluidas en el apéndice , con
(n-1) grados de libertad.
Se aceptará H0, en caso de que el valor del estadístico "t" resulte comprendido
entre - t 2
; n-1 y + t
2 ; n-1
; caso contrario se rechazará, es decir:
- t 2
; n-1 t t
2 ; n-1
Aceptar Ho
t < - t 2
; n-1 ó t > + t
2 ; n-1
Rechazar Ho
t 2
; n-1= Abscisa que en una t-Student con (n-1) grados de libertad deja a
la derecha un área 2
.
52 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Ejemplo : El contenido medio de unas bolsitas de azúcar debe ser de 10 gramos.
Una muestra aleatoria de 10 bolsitas arrojó el siguiente contenido:
10.2 , 9.7 ,10.1 , 10.3 , 10.1 , 9.8 , 9.9 , 10.4 , 10.3 y 9.8 .
Asumiendo normalidad para el proceso de llenado, probar a un nivel de
significación del 1%, que el proceso esta correctamente calibrado.
Solución: Las hipótesis a probar son: H = 10 ( Calibracion correcta)
H : 10 ( Calibracion incorrecta)
0
1
:
Para la muestra se tiene: X = 10.06 , S=0.2459 .
El valor del estadístico t = 10.06 10
100.2459
= 0.77
En las tablas de la distribución t-Student , se encuentra que t0.005; 9= 3.25.
Como 0.77 cae en el intervalo [-3.25 , +3.25] , la conclusión es aceptar H0 , y por
tanto no existe una evidencia significativa para pensar que el proceso de llenado
esté incorrectamente calibrado .
Ejemplo propuesto : El punto de fusión de unos ciertos filamentos, debe ser de
exactamente 2.000 º C en promedio . Una muestra de 20 filamentos, dio por
resultado:
Fusión (ºC) Frecuencia
1940 - 1950 2 Asumiendo que el punto de fusión de
1950 - 1960 3 estos filamentos sigue una
1960 - 1970 4 Distribución Normal, ¿se puede concluir
1970 - 1980 5 a un nivel de significación del 5%, que
1980 - 1990 3 cumplen con la especificación ? .
1990 - 2000 2
2000 - 2010 1
53 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Solución: t= -7.36 < -2.09 Rechazar H0. Existe evidencia significativa de que
no cumple con la especificación.
Otro aspecto muy importante con relación a esta prueba, es del tamaño de
muestra requerido.
Toda prueba estadística está sujeta a dos posibles errores conocidos como error
del tipo I y error del tipo II, que en este caso son rechazar una calibración correcta
y no detectar una calibración mal hecha, respectivamente.
En caso de que el proceso se desajuste y la media se corra a un nuevo valor 1
en lugar del especificado 0, la prueba debe tener una probabilidad alta de
detectarlo, y evidentemente cuanto más próximo esté 1 de 0, mayor será el
tamaño de muestra requerido.
El tamaño de muestra necesario, dependerá entonces del corrimiento que se
quiera detectar 1 - 0, y de las probabilidades de Error I ( ) y II ( ) que se fijen.
En el capítulo V sobre "Fundamentos Teóricos" , se obtiene la siguiente fórmula
que permite calcular el tamaño de muestra para la prueba bilateral de media:
n= ( )
( )
/z z
22 2
12
0
La dificultad práctica que presenta la aplicación de esta fórmula, es que en caso
de que no se tenga una varianza 2 conocida, es necesario estimarla
previamente, mediante el valor de S2 en muestras preliminares o pilotos, lo que
generalmente conduce a un proceso de aproximaciones sucesivas .
Ejemplo : Una máquina llenadora debe ser calibrada para que llene con un
contenido medio de exactamente 222 cm3.
Se quiere diseñar una prueba de calidad que detecte con una probabilidad de
0.90, ,una media de llenado de 213 cm3.
Asumiendo normalidad en el llenado, y que la desviación típica ha sido estimada
previamente en 14.2 cm3, ¿de qué tamaño debe ser dicha muestra para un nivel
de significación del 5%? , y ¿entre qué limites debe encontrarse la media de dicha
muestra, para poder aceptar como correcta la calibración ?.
54 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Solución: Por ser una prueba con varianza conocida, ya no es necesario aplicar la
Distribución t-Student .
Las Hipótesis a probar son: H : = 222 Calibracion correcta
H : 222 Calibracion incorrecta
0
1
El tamaño de muestra se calcula por: n= ( )
( )
/z z
22 2
12
0
= 14.2 ; 1 = 213 ; 0 = 222 ; z0.025 = 1.96 ; z 0.10 = 1.282
n = (1.96 + 1.282) (14.2)2 2
( )213 222 2 = 26.16 27 envases
La hipótesis nula H0 es aceptada cuando: - z2
X -
n0
+ z2
es decir, cuando la media muestral X cae en el intervalo 02
z n
Para nuestro caso , el intervalo de aceptación es entonces:
222.00 1.96 14 2
27
. = 222.00 5.36 = [ 216.64 ; 227.36 ]
Lo anterior llevado a la práctica, significa que una vez que el técnico haya hecho
la calibración del proceso de llenado para que llene con una media de 222 cm3 , el
responsable de calidad , deberá verificar la calibración tomando una muestra de
27 envases , y en caso de que la media de esa muestra caiga en el intervalo
[216.64 , 227.36 ], se considerará la calibración como correctamente realizada ;
caso contrario, se rechazará .
Con el tamaño de muestra de 27 y el intervalo de aceptación [216.64, 227.36], la
probabilidad de rechazar una calibración bien hecha es de 0.05 , y la de aceptar
una calibración mal hecha a una media de 213 cm3 , es de 0.10 .
55 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
PRUEBA UNILATERAL DERECHA PARA LA VARIANZA DE UNA
DISTRIBUCION NORMAL
En muchos procesos industriales, interesa mantener controlada su desviación
típica, puesto que en caso de que ésta sobrepase el valor límite L Ls I
6, deja
de ser capaz , y el porcentaje de defectuosos puede incrementarse
considerablemente , aunque el proceso esté centrado .
Por esta razón, en el Control Estadístico de Procesos, la prueba más importante
para la varianza es la unilateral derecha, pues lo que se quiere es detectar
cuando la varianza excede un valor especificado.
Las Hipótesis son :
H
H
0
1
:
:
>
2 2
2 2
0
0
Las prueba de varianza se hace mediante el estadístico 2, definido por:
0
22
2
(n-1) S
siendo 0
2 el , el valor especificado para la varianza del proceso, y S2 la varianza
muestral calculada como : S2 =
i n2
i
i 1
(X X)
n 1
La decisión es aceptar Ho si 2 ;n 1
2 , o rechazarla si 2 > n-1;2
n-1;2 =Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1) grados de
libertad deja a la derecha un área " ".
Ejemplo : En el proceso de llenado de ciertas latas, se exige que la desviación
típica no exceda de 25 gramos, y con el objeto de mantenerlo controlado, se
toman muestras periódicas de 12 latas.
a) Si una de estas muestras arroja una desviación típica de 30 gramos. ¿Debe
detenerse el proceso? .
56 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
b) ¿Cual es el máximo valor que puede tomar la desviación típica de la muestra,
para no detener el proceso ? .
Asuma un nivel de significación del 5% .
Solución: Las hipótesis a probar son: H0: 25 No detener el proceso
H : > 25 Detener el proceso
2 2
12 2
Si en una muestra de 12 latas se encuentra S=30 , el valor del estadístico “ 2”
para esta muestra es : 2 = 211 (30)
625 = 15,84
En las tablas de la Distribución Chi- Cuadrado , con 11 grados de libertad se lee 2
0.05;11 = 19.68 , y como 2 < 19.68 Aceptar H0, se concluye que una muestra
de 12 latas , con una desviación típica muestral de 30 gramos , no constituye una
evidencia significativa para detener el proceso .
En cuanto al valor límite que puede tomar la desviación típica muestral sin detener
el proceso , tenemos que no se detiene cuándo: 2 =211 S
625 19.68
S2 1118,18 S 33,44 ..
Este valor representa el valor crítico para la desviación típica muestral, o lo que es
lo mismo, en el momento que una muestra arroje una desviación típica muestral
por encima del valor 33.44, existe una evidencia significativa para detener al
proceso.
Ejercicio Propuesto : Un proceso se supone normal, y su desviación típica no
debe exceder el valor 0.20 . Una muestra de 12 piezas fabricadas por este
proceso arroja los siguientes valores:
5.34 5.65 4.76 5.00 5.55 5.54
5.07 5.35 5.44 5.25 5.35 4.61
¿ Constituye esta muestra una evidencia significativa para detener el proceso? .
Use un nivel de significación del 1% .
Solución: 2 = 28.56 > 24.73 Existe evidencia significativa para detenerlo .
57 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
El cálculo del tamaño de muestra necesario una prueba de varianzas es mucho
más complicado que para el caso de la prueba de medias, debido a que requiere
tanteos y aproximaciones sucesivas . En el texto "Estadística para Ingenieros", de
los autores Albert Bowker y Gerald Lieberman, Editorial Prentice Hall
Internacional, pueden encontrarse en el Cap. VI (Pruebas de Hipótesis para un
solo parámetro), unos ábacos que permiten resolver el problema, mediante
procedimientos gráficos.
EJERCICIOS DE RECAPITULACION
1º) Una muestra de 104 tornillos seleccionados al azar de la producción de una
industria , dio el siguiente resultado:
Diámetro (mm) 15-17 17-19 19-21 21-23 23-25 25-27
Frecuencia 8 19 32 23 16 6
Utilice las diferentes pruebas de ajuste , y el papel probabilistico para decidir
acerca de la normalidad del proceso .
2º) El peso medio de las bolsas de cemento debe ser de 40 Kgs. Una muestra
aleatoria de 11 bolsas arroja una media de 39.30 Kgs., con una desviación típica
de 1,5 Kgs . ¿ Puede concluirse de esta muestra, que la empresa no cumple con
lo especificado ? . Asuma normalidad . = 0.05
Solución : t = -1.55 . No existencia evidencia significativa .
3º) Una máquina cortadora debe ser debe ser calibrada para que corte tubos con
una longitud media de 40 cms . En caso de que la calibración esté correcta, se
quiere tener una probabilidad de 0.95 de aceptarla , y en caso de que esté
corrida en 0.05 cms , se quiere tener una probabilidad de 0.90 de rechazarla .
Asumiendo normalidad ,y que la desviación típica en la longitud de los tubos es
de 0.15 cms ¿ qué tamaño de muestra se necesita ? .
Solución: n= 95
58 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
4º) En el proceso de producción de una cierta pieza mecánica sigue una Distribución Normal, pero se exige por razones de precisión, que la desviación típica del proceso no exceda de 0,10 centímetros, con apenas una probabilidad del 1%, de detener innecesariamente al proceso . Si una muestra aleatoria de 20 piezas arroja una desviación típica de 0,1061 cms. ¿Qué recomendaría Ud. : continuar o detener el proceso ? .
Solución: 2 = =21.39 < 36.19. Continuar.
59 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
CAPITULO III : GRAFICAS DE CONTROL
Cuando la prueba de ajuste a la normal es aceptada, se dice que el Proceso está
bajo control estadístico, es decir, que sobre él solo están actuando causas
comunes o aleatorias, y que la variabilidad encontrada entre las diferentes piezas
es una variabilidad natural, propia del proceso.
La condición de estar bajo control estadístico, no es sin embargo permanente en
el tiempo, y en cualquier momento pueden aparecer causas asignables como por
ejemplo un cambio en la materia prima, un error del operador, un desajuste en la
maquinaria , etc., que ocasionen una perturbación .
Un proceso puede dejar de estar bajo control estadístico por dos razones no
excluyentes, por un corrimiento de la media, por una variación en su desviación, o
por ambas.
Cualquiera de estas dos razones puede ocasionar que buena parte de la
producción caiga fuera de especificación . Las técnicas de Control Estadístico de
Procesos deben detectar a tiempo la presencia de estas causas asignables, a fin
de tomar las medidas correctivas requeridas.
Una manera de detectar la aparición de estas causas asignables es hacer
periódicamente, las pruebas de hipótesis para la media y para la desviación
estudiadas en el capítulo anterior, de forma que el rechazo de cualquiera de las
dos , indicará que el proceso se salió de control.
Sin embargo, este procedimiento no es práctico para el medio industrial, pues
requiere de un personal altamente adiestrado en el manejo de técnicas
estadísticas, y por este motivo es necesario entonces, desarrollar otra
metodología, que permita hacer estas pruebas de hipótesis de una manera más
práctica y permanente.
Por otro lado, cuando la prueba de ajuste es rechazada, existen entonces algunas
observaciones muestrales que fueron tomadas bajo condiciones atípicas de
operación .
Las pruebas de ajuste no proporcionan información acerca de cuáles de las
observaciones muestrales son las atípicas , y por lo tanto no permiten iniciar la
investigación que permita identificar la causa asignable que actuó sobre el
proceso .
60 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Por las razones antes expuestas, se hace necesario entonces desarrollar una
metodología que alcance los siguientes objetivos:
1º) Identificar en la muestra inicial del proceso las observaciones atípicas, a fin de
excluirlas de la muestra una vez encontradas las causas asignables, y no
tomarlas en consideración para estimar los parámetros del proceso .
2º) Detectar a tiempo anormalidades en el proceso , tanto corrimientos de la
media , como incrementos en la desviación por encima de sus límites naturales,
para impedir la producción de piezas fuera de especificación.
Las Gráficas de Control por variables vienen a ser la herramienta que permite
alcanzar estos objetivos.
Es importante aclarar que existen dos tipos de Gráficas de Control: por variables y
por atributos. Las gráficas por atributos se utilizan para controlar el porcentaje de
defectuosas, o el número de defectos, dentro de sus límites naturales, y detectar
a tiempo cualquier incremento significativo de cualquiera de ellos. Estas gráficas
no son de utilidad para los estudios de capacidad del proceso.
Las gráficas de control por variables se aplican exclusivamente cuando la
característica de calidad puede ser expresada mediante una variable cuantitativa
continua.
Un diagrama de control por variables es esencialmente una prueba de la hipótesis
para verificar que el proceso está bajo control estadístico .
GRAFICA DE CONTROL PARA UN PROCESO BAJO CONTROL ESTADISTICO
61 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
La gráfica está formada por dos zonas ; la de arriba se refiere a los límites de
control para la media , la cual tiene dos bandas una superior y otra inferior, debido
a que la prueba de hipótesis para la media es bilateral , y por lo tanto se rechaza
cuando la muestra cae por debajo del límite inferior L.C.L (Abreviatura del inglés
Lower Control Limit) , o por arriba del límite superior U.C.L (Upper Control Límit) .
La línea central representa el punto en donde se estima que está ubicada la
media del proceso.
La zona de abajo representa el límite de control para la desviación del proceso,
(generalmente se muestra en forma separada a la primera), y sirve para detectar
el momento en que la variación del proceso se ha modificado de manera
significativa.
Cuando se toma una muestra del proceso, se le calcula su media y su desviación
( generalmente se toma el rango muestral como medida de dispersión), y cuando
ambos valores caen dentro de sus respectivos límites de control , lo que estamos
haciendo es aceptar la hipótesis de que el proceso está bajo control estadístico .
Cuando una muestra arroja un valor de la media muestral que se sale de sus
límites de control , la gráfica nos advierte sobre la presencia de alguna causa
asignable que ha provocado un corrimiento de la media.
Cuando la muestra arroja una desviación fuera de sus límite de control, la gráfica
detecta una causa asignable que ha modificado la desviación del proceso . Una
modificación por encima del límite superior debe ser motivo de preocupación,
pues hace al producto mas heterogéneo y debe ser erradicada ; mientras que
una modificación por debajo del límite inferior (en caso de que exista) es
beneficiosa para el proceso , pues lo hace más homogéneo, y de allí que sea
importante detectar la causa asignable, para convertirla en un factor permanente
dentro del proceso.
Como toda prueba de hipótesis, la gráfica de control está sujeta a dos posibles
errores:
Error tipo I : Rechazar una hipótesis verdadera , que este caso significa concluir
que el proceso está fuera de control cuando en realidad no lo está.
Error tipo II : Aceptar una hipótesis falsa, que en este caso significa concluir que el
proceso esta bajo control cuando en realidad no es así.
Generalmente las gráficas de control se diseñan para una probabilidad de error
tipo I muy baja, de apenas 0.27% , pues son del tipo ± 3 , y por tanto la
probabilidad de que la muestra caiga entre los límites cuando en realidad el
proceso está bajo control es de 99.73% . (En la práctica es frecuente decir que
62 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
estas probabilidades son de 99% para la aceptación de un proceso bajo control, y
de 1% para el rechazo de un proceso bajo control) .
La razón por la cual las gráficas se diseñan para una probabilidad tan baja de
error tipo I , es porque se considera que este error es muy grave para la
producción, pues ocasionaría la paralización del proceso sin que exista un motivo
real para ello ; y por este argumento se quiere tener la casi absoluta certeza de
que cuando la muestra se salga de alguno de los límites de control es debido a
que existe una evidencia muy significativa de que una causa asignable lo está
perturbando.
Como la probabilidad de error tipo I es muy baja, la del tipo II puede resultar
relativamente alta , especialmente cuando la muestra es pequeña, y por ello
ocasionalmente puede ser útil representar la curva de operación , para saber la
probabilidad que tiene el diagrama de control de detectar cambios en el proceso.
Para una mayor información acerca del procedimiento para construir esta curva
OC para los diagramas de control por variables , el lector puede consultar el
Cap.21 del texto "Control de Calidad y Estadística Industrial" , del autor Acheson
J. Duncan .
TIPOS DE GRAFICAS DE CONTROL POR VARIABLES
En la prueba de Geary para verificar el ajuste a la normalidad , se vio que la
desviación típica de una normal tiene diversos estimadores.
Otro estimador del parámetro " " de una Distribución Normal, que no fue
mencionado en aquella oportunidad, es el basado en el Rango Muestral .
El Rango de la muestra es una medida de variabilidad , que se define como la
diferencia entre el máximo y el mínimo valor muestral.
R = Máximo { X1 , X2 , X3, ....,Xn} - Mínimo { X1 , X2 , X3, ....,Xn}
En el capítulo de Fundamentos Teóricos, se analiza que el Rango de la muestra
es una variable aleatoria, cuyo valor esperado es proporcional es a la desviación
típica de la población: E ( R) = d2 .
El coeficiente "d2 " representa la constante de proporcionalidad, y se encuentra en
unas tablas , que más adelante consideraremos.
63 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
En base a este resultado, si toman "k" muestras de igual tamaño , y R1 , R2 , R3,
....,Rk, son sus respectivos rangos, entonces "el rango medio" " R " , puede
utilizarse como estimador del valor esperado del Rango Muestral, y a partir de él
obtener la estimación de " " , es decir: R = R R R
k
k1 2 =
R
k
i
i
i k
1 = E(R)
E(R) = R = d2 = R
d2
El uso del "Rango Medio" para estimar " " tiene la ventaja de su sencillez de
cálculo , ya que para calcular el rango solo hace falta localizar en la muestra el
mayor y el menor valor.
Si el tamaño de muestra es pequeño , la estimación de la varianza poblacional " 2
" a partir del "Rango Medio" , es casi tan buena como la obtenida a partir del
estimador insesgado convencional : 2 1
1
(Xi X)2
i
i n
n
La tabla siguiente muestra la eficiencia relativa en la estimación de" 2 " por el
método del "Rango Medio", en comparación con la estimación insesgada
convencional , para varios tamaños de muestra :
n 2 3 4 5 6 10
Eficiencia relativa 1.000 0.992 0.975 0.955 0.930 0.850
Para n > 10 , la estimación de " 2" a partir del "Rango Medio" , pierde
rápidamente su eficiencia , pues el "Rango muestral" no es un estimador
suficiente , al no tomar en consideración toda la información muestral
comprendida entre el mínimo y el máximo valor .
De todo lo anteriormente expuesto, podemos concluir entonces que la estimación
del parámetro poblacional " " , indispensable para poder estimar la Capacidad del
Proceso, puede hacerse de varias maneras , siendo las más importantes , la
estimación a partir del "Rango Medio" , y la estimación a partir de la "Varianza
Muestral" .
Estas dos formas de estimación dan lugar a dos tipos de Gráficas de Control por
variables, que se conocen como ( X , R) y ( X , S) según se utilice el rango
64 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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muestral "R" o la desviación típica muestral "S" respectivamente, como medida de
la dispersión del proceso.
En la práctica las gráficas ( X , R) son mucho más utilizadas por la sencillez en
el cálculo de "R" en comparación con el de "S" , y porque al tomar tamaños de
muestra pequeños , la eficiencia de ambos estimadores es prácticamente la
misma.
CONSTRUCCION DE LA GRAFICA ( X , R )
La construcción de una gráfica ( X , R ) se inicia con la toma de muchas muestras
pequeñas (20 como mínimo) , de igual tamaño provenientes del proceso .
Cada una de estas muestras se denomina "subgrupo", y suelen ser de 4, 5 ó 6
observaciones cada una.
Lo anterior significa entonces que para iniciar la construcción de la gráfica es
necesario tomar alrededor de unas 80 observaciones como mínimo del proceso,
las cuales son el resultado de 20 subgrupos cada uno de tamaño 4.
Existen varios razones que justifican el uso de subgrupos , en lugar de tomar una
sola muestra aleatoria más grande , digamos de 80, en instantes al azar.
Entre estas razones las más importantes son:
a) El subgrupo es más homogéneo, pues las 4,5 ó 6 observaciones de cada
subgrupo corresponden a un mismo instante.. Por tanto las variaciones en el
proceso a lo largo del tiempo, son detectadas con mayor facilidad mediante la
variación entre las medias de los diferentes subgrupos .
b) Es preferible tomar muestras pequeñas varias veces, que tomar una muestra
grande rara vez, pues cuando la muestra cae "fuera de control", se puede
identificar más fácilmente la causa asignable que actuó.
Con respecto a la elección de los subgrupos, el criterio básico es que se deben
formar de manera que dentro de cada subgrupo deba existir homogeneidad, pero
que a la vez exista mucha probabilidad de variación de un subgrupo a otro.
A continuación se cita un pensamiento de W.A. Shewhart , creador de la "Teoría
de los Gráficos de Control" , y que ilustra el principio anterior:
65 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
« El objetivo final es no solamente detectar las dificultades sino también encontrarlas, y tal
descubrimiento naturalmente implica clasificación. El ingeniero que tiene éxito al dividir
sus datos inicialmente en subgrupos racionales, lo estará haciendo mejor inherentemente, a
largo plazo, que quien no realice esto convenientemente.»
En la práctica, el criterio que más comúnmente se utiliza para la formación de
subgrupos, es el del orden de producción, tomando cada subgrupo como
representante de la producción de lapsos de tiempo lo más cercanos posibles
como hora, turno, día , etc. , o como representante de lotes producidos bajo
idénticas condiciones de materia prima, maquinarias, operarios , etc., logrando así
una probabilidad máxima de que las observaciones dentro de un mismo subgrupo
sean muy parecidas, y que diferencias en el comportamiento del proceso , puedan
ser rápidamente detectadas mediante diferencias entre los subgrupos.
Una vez tomadas las muestras de cada subgrupo, el paso siguiente es determinar
los límites de control aplicando el siguiente procedimiento:
1º) Se calcula para subgrupo su media y su rango muestral.
2º) Se calcula la media de las medias denominada "Gran Media" , y la media de
los Rangos denominado "Rango Medio ".
Es decir , que si inicialmente se tomaron "k" subgrupos ( k 20 ) , para cada uno
se calcula el par (X i, R i) , y luego:
Gran Media = X = X1 2 3X X X
k
k ; Rango Medio = R =
R R R
k
k1 2
3º) Se calculan los límites tentativos de control mediante las siguientes
expresiones:
Para la media:
Límite de Control Superior = U C L. . X = X + A2 R
Límite de Control Inferior = L C L. . X = X - A2 R
Línea Central = X
66 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
El valor de A2 depende del tamaño "n" del subgrupo, y se lee en la tabla del
Anexo.
Para el Rango:
Límite Superior de Control = U C LR. . = D4 R
Límite Inferior de Control = L C LR. . = D3 R
Línea Central = R
Los valores de D3 y D4 se obtienen también en la tabla del Anexo.
Ejemplo: En una industria Farmacéutica se producen pastillas, y para estudiar el
proceso se toman 20 muestras de 5 pastillas cada una.
El resultado del muestreo se da en la tabla a continuación:
Para construir la Gráfica de Control se procede como sigue:
1º) En primer lugar, a cada una de la muestras se le calcula su media y su rango.
67 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
El resultado de dichos cálculos es el siguiente:
Nº 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Media 5.10 4.98 5.02 4.96 4.96 5.04 4.94 4.92 4.92 4.98
Rango 0.3 0.4 0.2 0.4 0.1 0.1 0.8 0.5 0.3 0.5
Nº 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Media 5.10 5.00 4.86 4.88 4.92 4.84 4.98 5.00 5.14 5.00
Rango 0.4 0.2 0.2 0.3 0.1 0.5 0.2 0.3 0.3 0.6
2º) Calcular la media de las medias o "Gran Media " , y el "Rango Medio" .
Gran Media = X = 4.977
Rango Medio = R = 0.3350
3º) Calcular los Límites de Control .
En la tabla de coeficientes para los límites de control, se lee que para n=5 como
tamaño del subgrupo:
A2= 0.577 ; D3= 0 ; D4= 2.114
U C L. . X = X + A2 R = 4.977 + 0.577 ( 0.33350) = 5.17
L C L. . X = X - A2 R = 4.977 - 0.577 ( 0.33350) = 4.78
Línea Central = X = 4.977
U C LR. . = D4 R = 2.114 ( 0.3350 ) = 0.71
68 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
L C LR. . = D3 R = 0
Línea Central = R = 0.3350
4º) Dibujar la Gráfica de Control , ubicando sobre ella los límites de control, la
línea central , y los diferentes puntos muestrales.
69 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
En el capítulo de "Fundamentos Teóricos" , se encuentra la justificación de este
procedimiento para encontrar los límites de control .
ANALISIS DE LA GRAFICA ( X , R )
Una vez que el diagrama ha sido construido, pueden ocurrir una de las siguientes
dos situaciones:
1º) Que todos los puntos muestrales , tanto del gráfico para la media , como
del gráfico para el rango , caigan dentro de los límites de control .
De producirse esta situación , concluimos que no existen evidencias significativas
para rechazar la hipótesis de que el proceso se encuentra bajo control estadístico,
y podemos iniciar el "Análisis de Capacidad" propiamente dicho .
Para hacer este análisis tendremos que estimar los parámetros del proceso a
partir del gráfico, y compararlos con las especificaciones del producto, con el
objeto de determinar si es capaz de cumplirlas.
El procedimiento a seguir se explica con detalles, en el capítulo siguiente.
Sin embargo, dado que el gráfico de control es en el fondo una prueba de
hipótesis con una probabilidad relativamente alta de error tipo II , el hecho de que
todos los puntos muestrales caigan entre los límites de control , no lo podemos
interpretar como la absoluta certeza de que el proceso se encuentra bajo control
estadístico, y existen ciertos detalles que podrían ser interpretados como signos
de falta de control .
Algunos de estos síntomas son:
a) Tendencias o desplazamiento continuo en una dirección , tanto de la media
como del rango .
Cuando el proceso esta bajo control debe observarse aleatoriedad, en la
ubicación de uno u otro lado de su respectiva línea central.
Si se observa una tendencia tanto creciente como decreciente de la media
muestral , esto podría interpretarse como desgaste de una maquinaría .
Siete o más puntos consecutivos de un mismo lado, 10 de 11 , ó 12 de 14
constituyen una seria sospecha de que el proceso está fuera de control .
70 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Cálculos hechos con la Distribución Binomial permiten demostrar que para un
proceso bajo control, la probabilidad de ocurrencia de cualquiera de estas
situaciones es menos de 1% , y que por lo tanto su aparición puede interpretarse
como que el proceso está fuera de control.
Existen pruebas estadísticas, que permiten verificar la aleatoriedad de los puntos
muestrales .
b) Existencia de patrones cíclicos, que revelen que cada cierto tiempo se produce
un cambio en la ubicación de los puntos con respecto a la línea central.
Tal comportamiento puede ser el reflejo de situaciones cíclicas, tales como fatiga
o rotación de los operarios , cambios de turno , encendido y apagado de
maquinarias , ciclos de mantenimiento, de inspección, de producción , etc.
c) Correlación entre los valores de la media y del rango .
Cuando el proceso está bajo control, el valor de la media y el rango para una
misma muestra son independientes. Por lo tanto , si ambos valores para una
misma muestra se ubican siempre a un mismo lado de su respectiva línea central,
podría inferirse que no existe tal independencia, y que alguna causa asignable
está actuando.
Por esta razón, entre otras, las gráficas de medias y la de rangos no pueden ser
analizadas en forma aislada, sino conjuntamente.
Existen también pruebas estadísticas que permiten probar la hipótesis de
ausencia de correlación entre los valores de la media y el rango .
Algunos autores sugieren el uso de límites de advertencia para la media , los
cuales son construidos para ± 2 , y pueden ser utilizados para tomar medidas
correctivas tempranas , aunque la muestra no se haya salido de los límites de
control .
Los límites de advertencia se calculan con las expresiones:
Límite de Advertencia Superior: X + 2
3 A2 R
71 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Límite de Advertencia Inferior : X - 2
3 A2 R
2º) Que alguno de los puntos muestrales se salga de los límites de control .
De producirse esta situación , el gráfico ha detectado que presumiblemente
alguna causa asignable ha actuado sobre el proceso, y debe iniciarse una
investigación que concluya en su identificación .
Para efectuar esta investigación se requiere de conocimientos técnicos y de la
ingeniería del proceso, y es un asunto que no se resuelve por medio de la teoría
estadística .
Para realizarla es necesario contar con archivos, registros y planillas de
producción muy bien elaboradas , que permitan al investigador llevar a cabo un
seguimiento muy minucioso acerca de las materias primas , maquinarias y
operarios que actuaron sobre cada subgrupo.
De allí la importancia de clasificar las muestras en subgrupos, y también la
enorme insistencia que hacen las Normas ISO-9000 , acerca de la necesidad de
llevar procedimientos escritos para las diferentes etapas del proceso de
producción.
Una vez que la investigación logre identificar la causa por la cual , una
determinada muestra se salió de alguno de los límites de control, esa muestra
puede ser excluida del conjunto de datos , y de nuevo hay que recalcular los
nuevos límites de control con los datos restantes , hasta lograr que el proceso
quede bajo control estadístico .
De no encontrarse la causa , es posible que la muestra haya incurrido en error del
tipo I , pero dada la probabilidad tan baja del mismo , tal situación no debería
ocurrir más de 2 ó 3 veces de cada 1000.
Así por ejemplo, si regresamos al caso anterior , encontramos que la muestra Nº7
se salió de control en el rango.
Suponiendo que se logró identificar la causa asignable que ocasionó tal situación,
podemos eliminar la muestra Nº7 , y recalcular la " Gran Media" , y el "Rango
Medio" para las 19 muestras restantes, encontrando :
Gran Media = X = 4.98
Rango Medio = R = 0.31
72 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
y los nuevos límites de control :
U C L. . X = X + A2 R = 4.98 + 0.577 ( 0.31) = 5.16
L C L. . X = X - A2 R = 4.98 - 0.577 ( 0.31) = 4.80
Línea Central = X = 4.98
U C LR. . = D4 R = 2.114 ( 0.31 ) = 0.65
L C LR. . = D3 R = 0
Línea Central = R = 0.31
y las nuevas gráficas resultan ser:
GRAFICA CORREGIDA PARA LA MEDIA
GRAFICA CORREGIDA PARA EL RANGO
73 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Una vez que se ha logrado controlar el proceso , ya estamos en condiciones de
estimar los parámetros del proceso e iniciar la estimación de capacidad.
Ejemplo Propuesto: La longitud total del cuerpo de un encendedor de cigarrillos
para automóvil se controla empleando gráficas ( X , R) .
La siguiente tabla da la longitud para 20 muestras de tamaño 4 cada una ( las
mediciones se codifican a partir de 5.00 mm ; esto es , 15 significa 5.15 mm)
Calcule los límites de control , y analice si el proceso se encuentra bajo control .
74 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Solución : Límites para la media = 10.71 ± 4.89
Límites para el rango : [ 0 ; 14.14] . Proceso bajo control.
CONSTRUCCION DE LA GRAFICA ( X , S )
Hemos visto que cuando el tamaño de muestra es mayor que 10 , la estimación
de “ 2" a partir del rango medio pierde eficiencia, en comparación con la
estimación insesgada 2 1
1
(Xi X)2
i
i n
n .
Por este motivo, cuando el tamaño de los subgrupos es mayor que 10 , es
preferible el uso del diagrama ( X , S ) en lugar del ( X , R ).
Para la construcción de esta gráfica, se utilizara como estimador de “ 2” al
insesgado, designado como “S2” y definido por la expresión siguiente:
S2 =
( )X Xi
i
i n
n
2
1
1 S =
( )X Xi
i
i n
n
2
1
1
Los objetivos de un diagrama ( X , S ) son los mismos que los de un ( X , R), con
la única diferencia que utiliza la desviación típica muestral "S" como medida de la
dispersión del proceso, en lugar de utilizar al rango muestral "R".
Su construcción parte también de "k" muestras cada una de tamaño "n", y para
cada una es necesario calcular su media y su desviación típica muestral.
Posteriormente se calcula "la gran media" , y la media de las desviaciones típicas
muestrales que designaremos por S .
Los límites de control vienen dados por:
75 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Para la media:
Límite de Control Superior = U C L. . X = X + A3 S
Límite de Control Inferior = L C L. . X = X - A3 S
Línea Central = X
El valor de A3 depende del tamaño "n" del subgrupo, y se lee en la tabla del
Anexo .
Para la Desviación Típica:
Límite Superior de Control = U C LS. . = B4 S
Límite Inferior de Control = L C LS. . = B3 S
Línea Central = S
Los valores de B3 y B4se obtienen también en la tabla del Anexo.
En caso de calcular " S2" con denominador "n" en lugar de "n-1" , los coeficientes
A3, B3 y B4 cambian por A1 , B1 y B2 respectivamente .
En el capítulo de "Fundamentos Teóricos" se incluye una explicación detallada
acerca del origen de estos coeficientes .
Existen también gráficos ( X , S) para subgrupos de diferente tamaño, pero en
general su empleo es mucho menos conocido en la industria, que los ( X , R )
por la complejidad de los cálculos que requiere su construcción , y porque solo se
justifica su uso cuando por razones técnicas se considera que el tamaño de los
subgrupos debe ser relativamente grande , situación ésta poco frecuente por el
alto costo que representa.
Ejemplo: Supongamos que la tabla siguiente representa el contenido en gramos
de unas latas de puré de tomate, y que se tomaron 25 muestras cada una de
tamaño 10 .
Cada muestra fue tomada en diferentes días , y se quiere analizar mediante una
gráfica ( X , S ), si el proceso se encuentra bajo control.
76 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Para construir la gráfica, comenzamos por calcularle a cada una de las 25
muestras su media y su desviación típica muestral.
A continuación se da el resultado de estos cálculos:
Muestra Nº X S Muestra Nº X S
1 531.30 4.86 14 531.51 5.21
2 527.79 4.90 15 532.91 4.28
3 528.00 4.69 16 530.79 6.19
4 532.55 4.19 17 527.16 4.61
5 533.17 3.11 18 529.20 4.74
6 532.83 2.76 19 530.03 6.40
7 533.65 3.85 20 531.11 5.15
8 530.83 6.05 21 530.10 4.82
9 530.78 4.29 22 529.99 4.82
10 530.25 3.52 23 529.64 6.20
77 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
11 533.33 5.35 24 530.37 3.24
12 530.91 4.32 25 530.24 3.54
13 532.89 5.27
Luego se procede a calcular la "Gran Media" y "La desviación típica promedio"
X = 530 .85 ; S = 4.65 ; y de allí los límites de control:
U C L. . X = 530.85 + 0.975 ( 4.65 ) = 535.38
Para la media: Línea Central = 530.85
L C L. . X = 530.85 - 0.975 ( 4.65 ) = 526.32
U C LS. . = 1.716 ( 4.65 ) = 7.98
Para la Desviación Típica: Línea Central = 4.65
L C LS. . = 0.284 ( 4.65 ) = 1.32
Por último se traza la gráfica , y se procede a ubicar dentro de ella a cada una de
los 25 puntos muestrales
GRAFICA DE CONTROL PARA LA MEDIA MUESTRAL
78 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
GRAFICA DE CONTROL PARA LA DESVIACION TIPICA MUESTRAL
Por los resultados obtenidos se infiere que el proceso se encuentra bajo control ,
y podemos iniciar la estimación de capacidad.
79 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
CAPITULO IV : ANALISIS DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO
En el capítulo anterior se analizó la metodología para encontrar los límites de
control, tanto la media como para la variabilidad del proceso.
Estos límites se suelen llamar "Límites de control del proceso" , y representan la
forma como históricamente ha venido operando , puesto que han sido obtenidos
a partir de observaciones durante un período prolongado de tiempo.
El lapso de tiempo que sirvió para construir la gráfica de control, se suele llamar
"Período base o de referencia ", y la gráfica de control se usa para detectar
cambios en el comportamiento del proceso con relación a ese período.
Ahora bien , el hecho de que un proceso se encuentre bajo control , no significa
en ningún momento que está produciendo piezas acordes con las
especificaciones que le son impuestas ; lo que significa es simplemente que se
está comportando de la forma como tradicionalmente lo ha venido haciendo, y
que sobre él no están actuando causas asignables .
Es necesario entonces distinguir entre "Límites del Proceso" , y "Límites de
especificación", puesto que representan conceptos muy diferentes .
La diferencia principal entre uno y otro concepto radica en que , los límites del
proceso se aplican a muestras provenientes del proceso, y sirven para detectar
cambios significativos en su comportamiento ; mientras que los límites de
especificación se aplican para cada pieza individualmente, y representan las
dimensiones que debe cumplir para satisfacer los requerimientos de calidad.
Generalmente los límites de especificación vienen dadas por condiciones
externas al proceso , tales como exigencias del consumidor , normas nacionales
o internacionales etc., y de allí que no necesariamente exista relación entre ellas
y los límites del proceso.
Obviamente un productor que pretenda cumplir con las condiciones de calidad
impuestas externamente, debe tratar de conciliar las características de
producción del proceso con las especificaciones, y de allí nace la necesidad de
los estudios de capacidad.
En el Capítulo I, se vieron ya algunos conceptos relativos a la capacidad de
procesos, entre los cuales es conveniente recordar:
Proceso Capaz : Aquel donde 6 LS - LI.
80 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Proceso Centrado : Aquel donde = L LS I
2
Proceso corrido o Descentrado : Aquel donde : L LS I
2
En donde:
µ = Media Poblacional del Proceso .
= Desviación Típica Poblacional del Proceso.
LS= Límite superior de la especificación .
LI = Límite inferior de la especificación .
" LS " y " LI " son evidentemente valores conocidos, pues vienen dados por las
especificaciones ; pero los parámetros poblaciones "µ" y " " para el proceso son
desconocidos , pues no es posible examinar a todas las piezas.
Se plantea entonces la pregunta : ¿cómo estimarlos ? .
Una posible respuesta a esta pregunta es utilizar los estimadores estudiados en
el Capítulo II, en donde se vió que los estimadores convencionales para "µ" y " "
son " X " y ''S" respectivamente .
Sin embargo , estimar así los parámetros poblacionales , exige suponer que en
los diferentes instantes en que fueron tomadas las observaciones , las
condiciones de operación del proceso eran las mismas.
Si se toman "k" muestras de tamaño "n" cada una , no es teóricamente correcto
fundirlas todas en una sola muestra de k n observaciones, y estimar " " a
partir de ella, mediante el cálculo de "S" en esa muestra fundida .
Este procedimiento no es correcto, pues mediante una simple descomposición
de la suma de cuadrados de las desviaciones, se puede demostrar fácilmente
que si existen diferencias entre los subgrupos, la estimación de " " se verá
afectada por tales diferencias. Una explicación más detallada de esta situación
puede encontrarse en los textos de Inferencia Estadística , en el Capítulo de
Análisis de la Varianza , Clasificación Simple .
Por las razones antes expuestas, al estimar los parámetros poblacionales es
necesario garantizar que las diferentes muestras fueron tomadas bajo las
mismas condiciones de operación del proceso, y de allí el requisito de que para
81 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
iniciar el análisis de capacidad, el diagrama de control debe mostrar la ausencia
de causas asignables.
ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DEL PROCESO A PARTIR DEL
GRAFICO DE CONTROL
La capacidad del proceso depende obviamente de las especificaciones, y de los
parámetros poblacionales "µ" y " " .
Las especificaciones afectan a la capacidad del proceso , pues en la medida en
que sean más estrechas más difícil le resultará al proceso cumplirlas , y
viceversa, en la medida en que sean más amplias , mayor será la probabilidad
de cumplirlas.
La media poblacional "µ" afecta la capacidad del proceso (véase Pag. 11) , pues
el porcentaje de piezas que cumplirán con la especificación no es el mismo en
cuando el proceso esté centrado , que en el caso de un proceso con media
desplazada o corrida .
La desviación típica poblacional " " , afecta la capacidad del proceso pues
cuanto menor sea su valor, menor será el margen de variabilidad de las piezas
, y mayor la probabilidad de cumplir con la especificación, en caso de que el
proceso esté centrado.
De lo anterior concluimos entonces que para estimar la capacidad del proceso
hay que comenzar estimando sus parámetros poblacionales "µ" y " " .
En el Cap. III Pag.49 , vimos como en un Gráfico de Control ( X , R) , se puede
utilizar el rango medio " R " como un estimador del parámetro poblacional " "
mediante la expresión: = R
d2
El coeficiente d2, depende del tamaño de muestra y su valor numérico se
encuentra en el Anexo , en la Tabla de "Constantes para las Gráficas de Control"
.
En el caso de un Gráfico de Control ( X , S) , la estimación del parámetro
poblacional " " se hace a partir de la "Desviación típica muestral promedio"
designada como "S" , mediante la expresión: = R
c4 .
El valor numérico del coeficiente c4, para distintos tamaños de muestra se lee
también en la misma Tabla de "Constantes para las Gráficas de Control" .
82 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
El origen de estos coeficientes "d2 " y "c4 " , así como la justificación del método
de estimación, se encuentra en el Capítulo V de “Fundamentos Teóricos” .
En lo que respecta a la estimación del parámetro poblacional "µ" , ésta se hace
para los dos tipos de diagramas de control, a través de la "Gran Media" : = X .
Ejemplo : En el capítulo anterior se construyó una Gráfica de Control ( X , R)
para el peso de las pastillas de una Industria Farmacéutica, y se encontró que el
proceso estaba "fuera de control" , pues una de las muestras quedó fuera de los
límites . Una vez hecha la investigación de rigor , y bajo el supuesto de que se
detectó la causa asignable, se procedió a recalcular los nuevos límites de control
. Para el proceso bajo control : X = 4.98 , R = 0.31
En la Tabla de Constantes para las Gráficas de Control , se encuentra que para
un tamaño de subgrupos de n=5 , d2= 2.326 , y por tanto los parámetros
estimados del proceso son : = 4.98 , = 0 31
2 326
.
.= 0.1333
Ejemplo : En el capitulo anterior se construyó una Gráfica de Control ( X , S) para
el contenido de unas latas de puré de tomate.
Para el proceso bajo control : X = 530.85 , S = 4.65
En la Tabla de Constantes para las Gráficas de Control , se encuentra que para
un tamaño de subgrupos de n=10 , c4= 0.9727 , y por tanto los parámetros
estimados del proceso son : = 530.85 , = 4 65
0 9727
.
. = 4.78.
Ejemplos Propuestos :
1º) A partir de muchas muestras de seis soldaduras cada una, se determinó que
el rango medio de las resistencias al esfuerzo cortante de un cierto tipo de
soldadura por puntos, fue de R = 35 kN/m2 .
a) Establezca los límites de control para el rango.
b) Suponiendo que el proceso está bajo control , estime la desviación típica del
proceso .
Solución: a ) [ 7.4 ; 77.7 ] b) =13.81
83 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
2º) El diámetro de unos vástagos va a ser controlado mediante el uso de un
diagrama ( X , S).
Se tomaron 25 muestras de tamaño 10 cada una, se computaron los valores de
X y S para cada una de ellas, y se obtuvo : Xi
i
i
1
25
= 615.6 ; Si
i
i
1
25
= 8.60 .
a) Calcule los límites de control .
b) Suponiendo que el proceso se encuentra bajo control , estime sus parámetros
.
Solución : a ) Límites para X : [ 24.29 ; 24.96 ] . Para S : [0.10 ; 0.59]
b) = 24.62 ; = 0.35 .
ANALISIS DE LAS ESPECIFICACIONES
Una vez que el proceso se encuentra bajo control , y que sus parámetros han
sido estimados, por el procedimiento explicado anteriormente , el paso siguiente
es comparar el resultado de esta estimación con las especificaciones .
Antes de hacer este análisis de especificaciones es conveniente revisar algunos
conceptos previos , muchos de los cuales ya han sido mencionados a lo largo de
esta obra , pero que dada su importancia es necesario volver sobre ellos, a fin
de evitar falsas interpretaciones .
Se llama especificación al valor numérico que una cierta característica de
calidad debe cumplir , para que se considere al producto como satisfactorio .
Generalmente las especificaciones son bilaterales, es decir, que establecen dos
límites ; así por ejemplo , cuando decimos que el diámetro de un eje debe
cumplir con la especificación (12.00 ± 0.25 ) mm , esto significa que para que el
eje sea aceptable su diámetro debe caer en el intervalo [11.75 ; 12.25 ] mm.
En algunos otros casos , la especificación puede ser unilateral, como es por
ejemplo, la que se refiere a la resistencia mínima que debe tener un material.
El concepto más importante con relación a una especificación, es que los
valores que ella establece se aplican para cada pieza individualmente, y no al
promedio de una muestra o subgrupo .
84 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Así por ejemplo , si una muestra de 4 ejes arroja un diámetro medio de por
ejemplo 12.10 mm ; esto no significa que ni que la muestra cumple con la
especificación , ni que los 4 ejes la cumplen .
Por el contrario, es posible que ninguna de los 4 ejes cumpla con la
especificación , como sería por ejemplo el caso de una muestra con diámetros
de 11.70 , 11.72 , 12.40 y 12.58 , en donde ninguno cae en el intervalo
requerido por la especificación , y la media muestral sí.
Para los estadísticos muestrales, como la media, el rango, etc., aplican los
límites de control, y jamás los límites de especificación .
La situación anteriormente descrita es una fuente enorme de confusión , cuando
se utilizan gráficas de control en operaciones de producción , pues muchas
veces se cree que los límites de control son los mismos límites de
especificación.
Por esta razón , no es recomendable trazar las especificaciones sobre la gráfica
de control para " X " , pues existe una tendencia natural a comparar el promedio
del subgrupo con los límites de especificación individuales.
Otra mala interpretación opuesta a la anterior, es comparar el valor individual
con los límites de control para la media , y pensar que existen problemas
cuando uno de esos valores individuales cae fuera de los límites para la media .
Otro concepto que suele crear confusión, es el que se refiere a que un proceso
bajo control puede producir piezas que no cumplan con la especificación , pues
si su media no está correctamente centrada , o si su desviación es considerable
, un porcentaje importante de la producción puede salirse de la especificación .
El personal no familiarizado con estos conceptos puede inclusive llegar a sentir
frustraciones al preguntarse : ¿ Para qué usar estas gráficas que me indican que
el proceso está bajo control , y sin embargo obtengo un porcentaje apreciable de
piezas defectuosas ? .
El Dr. W. Edwards Deming , en su libro " Calidad , Productividad y
Competitividad. La salida de la crisis " Cap.11 , da numerosos ejemplos sobre
falacias en la interpretación de las Gráficas de Control , y dice textualmente en la
Pag. 259 : « Los límites de la especificación no son límites de actuación. De hecho,
tienen lugar grandes pérdidas cuando un proceso se está ajustando continuamente en un
sentido y luego en otro, para cumplir las especificaciones . Curiosamente un proceso
puede que esté en control estadístico, y esté produciendo el 10% de artículos defectuosos,
y hasta incluso el 100% » .
85 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
De todo lo anteriormente expuesto, debemos estar claros entonces que el
objetivo fundamental del Gráfico de Control es el conocimiento del proceso bajo
condiciones estables de operación , y que el análisis de especificaciones y
posteriormente el estudio de capacidad , constituyen la herramienta para
determinar si el proceso puede o no cumplir las especificaciones .
Para iniciar el análisis de especificaciones , debemos establecer los límites
naturales de variación del proceso, que como sabemos de las propiedades de la
distribución normal son µ ± 3 .
Obsérvese que estos límites corresponden a cada pieza individualmente , y por
tanto son comparables con las especificaciones que también aplican para la
pieza individual .
En nuestro caso , los parámetros "µ" y " " han sido estimados por el
procedimiento señalado en la Página 64 , y tenemos entonces:
L.N.I = Límite natural inferior estimado del proceso = - 3 .
L.N.S = Límite natural superior estimado del proceso = + 3 .
LI = Límite inferior de especificación ( Fijado externamente por las normas)
LS = Límite superior de especificación ( Fijado externamente por las normas)
Hecha la estimación de los límites naturales de variación para el proceso, se
pueden presentar las siguientes situaciones al compararlos con las
especificaciones:
Situación Nº 1 : El intervalo de variación natural del proceso está incluido en el
intervalo definido por las especificaciones , es decir :
[ L.N.I ; L.N.S ] [ LI ; LS]
Esta situación es obviamente la ideal , y es la que identifica a un Proceso
Capaz, pues aquí el proceso puede cómodamente cumplir con las
especificaciones , y no habrá prácticamente piezas defectuosas.
En esta situación no necesariamente el proceso está centrado.
86 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
De darse este caso , la única recomendación que se podría hacer es la de tratar
de centrar el proceso, a fin de minimizar el riesgo de que por algún desajuste
tanto en la media como en la desviación, se produzcan defectuosas.
Situación Nº2 : Las especificaciones están incluidas dentro del intervalo de
variación natural del proceso , es decir: [ LI ; LS] [ L.N.I ; L.N.S ]
Este es el caso de un proceso no capaz, en donde las especificaciones resultan
demasiado estrictas para su precisión, y por más esfuerzos de control que se
hagan , el proceso va a producir un porcentaje apreciable de piezas defectuosas
.
De encontrarse este caso , centrarlo no basta y las recomendaciones deben ser
radicales , tales como cambiar las maquinarias por otras más precisas , entrenar
mejor al personal , o negociar un cambio en las especificaciones por otras más
amplias, pues al proceso le resulta imposible cumplir a cabalidad con las
actuales.
Situación Nº3 : Ninguno de los dos intervalos está incluido dentro del otro.
87 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Las piezas conformes son las que se encuentran en la intersección de ambos
intervalos .
Un caso extremo de esta situación es aquella en donde la intersección de los
dos intervalos es vacía , y por tanto el 100% de la producción será defectuosa.
Tal situación es a la que se refería el Dr. Deming, acerca de como un proceso
bajo control estadístico puede incluso llegar a producir el 100% de piezas
defectuosas , e ilustra el concepto del porque tener al proceso bajo control no
puede constituir por sí solo una meta .
Un corrimiento significativo en la media del proceso en una u otra dirección es la
causa de esta situación Nº3 , y el proceso puede ser mejorado de efectuarse los
ajustes necesarios para centrarlo .
Una vez centrado , el proceso pasará a producir con aproximadamente el 100%
de piezas correctas , en caso de que 6 LS - LI ( Situación Nº 1, Proceso
Capaz), o pasará a producir con un porcentaje menor que el actual de piezas
defectuosas (Situación Nº 2, Proceso no Capaz) , en caso de que 6 > LS - LI.
ESTIMACION DEL PORCENTAJE DE DEFECTUOSOS
Una buena manera de complementar el Análisis de Especificaciones , es estimar
para las condiciones actuales de operación del proceso ,el porcentaje de piezas
defectuosas que produce .
Para realizar dicha estimación solo se necesitan los parámetros estimados del
proceso , las especificaciones , y las tablas normales explicadas en el primer
capítulo.
Ejemplo : Se toman muestras de 4 artículos de un cierto proceso de manufactura
a intervalos regulares , y se mide una cierta característica de calidad . Para cada
88 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
muestra se calcula se calcula su media X , y su rango R . Después de 25
muestras se tiene : Xi
i
i
1
25
= 15350 Ri
i
i
1
25
= 411,40 .
a) Encuentre los límites de control .
b) Suponiendo que el proceso esta bajo control estadístico , y que las
especificaciones de esta característica de calidad son 610 ± 15 .
Estime el porcentaje de artículos fuera de especificación, para las condiciones
actuales de operación .
c) ¿ Qué porcentaje de artículos se esperaría encontrar fuera de especificación ,
si el proceso estuviese centrado ? .
Solución : a) Para encontrar los límites de control , comenzamos por calcular la
"Gran Media" , y el " Rango Medio " :
X = 15350
25 = 614.00 ; R =
41140
25
. = 16.46
Para un tamaño de subgrupo n=4 , encontramos que las constantes para las
gráficas de control ( X , R ) son : A2= 0.729 , D3=0 , D4= 2.282 , y por tanto los
límites de control son :
U C L. . X = X + A2 R = 614.00 + 0.729 ( 16.46 ) = 626.00
L C L. . X = X - A2 R = 614.00 - 0.729 ( 16.46 ) = 602.00
U C LR. . = D4 R = 2.282 ( 16.46 ) = 37.56
L C LR. . = D3 R = 0
U.C.L R = D4 R = 2.282 ( 16.46 ) = 37.56
L.C.L R = D3 R = 0
b) Una vez encontrados los límites de control , procedemos a estimar los parámetros del proceso, teniendo en cuenta que:
= X = 614.00 ; = R
d2=
16.46
2.059= 7.99
89 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Nótese que estamos en presencia de la Situación Nº2 , pues los límites
naturales de variación del proceso son:
L.N.I = 614 .00 - 3 ( 7.99 ) = 590.03 ; L.N.S = 614.00 + 3 ( 7.99 ) = 637.97
mientras que LI = 595 .00 ; LS = 625.00
El intervalo dado por las especificaciones [ 595.00 ; 625.00 ] está incluido en el
intervalo natural de variación del proceso [ 590.03 ; 637.97 ] , el proceso no es
capaz , y en consecuencia habrá un cierto porcentaje de piezas fuera de
especificación .
Para estimar este porcentaje de piezas defectuosas utilizamos las tablas
normales , los parámetros estimados , y obtenemos:
X = Valor numérico de la característica de calidad N ( 614.00 ; 7.992)
P( X < 595) = P( Z < 595- 614
7.99) = P ( Z < -2.38) = ( -2.38) = 0.0087
P ( 595 X 625 ) = P (595- 614
7.99 Z
625 614
7 99. ) = P ( -2.38 Z 1.38) =
(1.38) - (-2.38) = 0.9162 - 0.0087 = 0.9075
P ( X > 625) = P (Z > 625 614
7 99. ) = P ( Z > 1.38) = 1 - (1.38) = 0.0838
De acuerdo con estas estimaciones de probabilidad, bajo las condiciones
actuales de operación, el 90.75% de la producción cumple con las
especificaciones, y la diferencia 9.25% es defectuosa ( 0.87 % por debajo del
límite inferior de especificación y 8.38% por encima del superior ) .
90 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
c) Como este proceso no es capaz, aunque se centre siempre existirá un
porcentaje apreciable de defectuosas , y para estimarlo basta calcular la
probabilidad de encontrarse fuera de especificación con µ = 610 ( punto medio) ,
y con = 7.99.
Esta suposición de que = 7.99 para el proceso centrado, es perfectamente
legítima, pues como sabemos el valor de " " , es el reflejo de la acción de la
causas comunes , y estas seguirán actuando aunque se centre el proceso , a
menos que se tomen medidas radicales tales como cambiar la maquinaria, etc.
P ( 595 X 625 ) = P (595- 610
7.99 Z
625 610
7 99. ) = P ( -1.88 Z 1.88) =
D(1.88) = 0.9399 ( Por ser un intervalo simétrico) = 93.99 % conformes .
El porcentaje estimado de piezas defectuosas , como consecuencia de centrar
el proceso se reduce entonces a 6.01% .
Por no ser el proceso capaz este porcentaje no se puede reducido mas , a
menos que se tomen medidas que logren disminuir su variabilidad .
Estas medidas son básicamente las consagradas en algunas de las
recomendaciones de Demig tales como :
a) Implantar un programa vigoroso de educación y automejora .
b) Evitar la relación con varios proveedores a fin de reducir la variabilidad entre
las materias primas.
c) Evitar diferencias entre las maquinarías , y procedimientos .
Ejercicios Propuestos:
1º) Para elaborar un gráfico de control ( X , R ) se tomaron 30 muestras cada
una de tamaño 4 , de una soldadura por puntos . Se midió la resistencia al
esfuerzo cortante, y para cada una de las 30 muestras se calculó su media y su
rango , encontrándose : Xi
i
i
1
30
= 15450 N , Ri
i
i
1
30
= 1206 N.
Suponiendo que el proceso está bajo control, determine:
a) Los límites para el gráfico ( X , R ).
b) La desviación típica estimada del proceso .
91 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
c) Si la especificación establece que la resistencia mínima de la soldadura por
puntos es de 400 N . ¿ Qué porcentaje de las soldaduras cumple con esa
especificación mínima ? .
Solución : a) Para X : [485.69 ; 544.31] , Para R : [ 0 ; 91.74 ] . b) 19.52
c) 100% . El proceso es capaz
2º) Se toman muestras de tamaño 6 de un proceso de manufactura, a intervalos
regulares de tiempo. Se mide una característica de calidad , distribuida
normalmente, y se calcula el valor de x y S para cada muestra.
Después de analizar 50 subgrupos , se tiene que: Xi
i
i
1
50
= 1000 , Si
i
i
1
50
= 75 .
a) Calcule los límites de control para el diagrama ( X , S ).
b) Suponiendo que todos los puntos en ambas gráficas , caen entre los límites
de control , ¿ cuales son los límites naturales de variación del proceso ? .
c) Si las especificaciones son 19.0 ± 4.0 . ¿ Cual es su conclusión acerca de la
capacidad del proceso , para producir artículos conformes a estas
especificaciones ? .
d) Suponiendo que se puede retrabajar un artículo que exceda el límite superior ,
mientras que si se encuentra por debajo del límite inferior hay que rechazarlo,
¿qué porcentaje estimado de artículos de recuperación y de rechazo produce
actualmente el proceso ? .
e) Si el proceso se centrara en µ= 19.0 , ¿ cual sería el efecto en el porcentaje
de artículos para recuperación y rechazo ? .
Solución: a) Para X : [18.07 ; 21.93] , Para S : [0.045 ; 2.955] . b) [ 15.27 ;
24.73] c) No es capaz . d) Recuperación: 2.87 % . Rechazo: 0% . e) 0.57%
cada una .
ESTIMACION DE LA CAPACIDAD DEL PROCESO
El concepto de "Proceso Capaz" ya ha sido explicado ampliamente en las
secciones precedentes , y también en el Capítulo I ; el problema que se
analizara ahora , es el de cómo medir dicha capacidad .
92 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
La medición de la capacidad es importante pues en definitiva ésta será la
herramienta que permitirá evaluar el proceso en una auditoría de calidad , y
servirá también para comparar el proceso evaluado con otros procesos
similares, a fin de decidir cuál de ellos presenta una mejor disposición para el
cumplimiento de las especificaciones , y en consecuencia una mejor calidad.
La capacidad del proceso se suele evaluar mediante un coeficiente llamado
"Razón o Coeficiente de capacidad del proceso " , el cual cuando toma un valor
igual o mayor que 1 , indica que el proceso es capaz.
Para estimar este coeficiente hay que distinguir dos casos:
Caso Nº 1 : Proceso Centrado .
Este caso ya fue definido en la Página Nº 14 , y viene dado por:
CP= L Ls i
6=
Tolerancia
6
Para este caso , de proceso centrado , este coeficiente se suele llamar
"Coeficiente de capacidad básica o potencial del proceso " , pues la
condición de proceso centrado representa su estado óptimo de operación , en lo
que a porcentaje de piezas conformes se refiere .
En efecto , en el Capítulo de Fundamentos Teóricos se demostrará el siguiente
teorema:
" Dada una Distribución Normal con desviación típica " " , y un intervalo fijo [a,b] , el
área bajo la curva en el intervalo será máxima cuando la media de la distribución
coincida con el punto medio del intervalo " .
Gráficamente, la situación es la siguiente:
93 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Este teorema aplicado al caso en que el intervalo fijo [ a , b ] es el intervalo dado
por las especificaciones [ LI , LS ] , trae como consecuencia que para un proceso
centrado el porcentaje de piezas conformes es máximo .
Cuando el proceso es capaz, este porcentaje máximo de piezas conformes es
aproximadamente el 100% , pero cuando no es capaz no alcanza el 100% ,y
lamentablemente el proceso no puede ser mejorado , a menos que se logre una
ampliación en las especificaciones , o una reducción en " ", con las
consecuentes inversiones de capital que esta reducción acarrea .
Por las consideraciones anteriores , "CP " "Coeficiente de capacidad básica del
proceso " representa también la capacidad potencial o máxima del proceso , y si
CP< 1 , no es posible garantizar que la totalidad de las piezas producidas
satisfacen la especificación .
El coeficiente "CP " tiene también otra interpretación muy importante, pues su
inverso 1
100%Cp
representa el porcentaje de la banda de tolerancia que
abarca los límites naturales de variación del proceso, cuando éste está centrado.
Así por ejemplo CP= 1. 40 , se interpreta en primer lugar como una medida de
que el proceso es capaz en caso de que esté centrado , y en segundo lugar,
calculando su inverso expresado en porcentaje 1
140100%
.= 71,43 % , puede
ser interpretado como que los límites naturales de variación del proceso
[ µ - 3 ; µ+ 3 ] representan el 71.43 % de los límites de especificación .
Evidentemente cuando CP< 1 , su inverso expresado en porcentaje es mayor
que el 100% , y esto se interpreta como que los límites naturales de variación del
proceso son más amplios que los límites de especificación , y en consecuencia
el proceso no puede cumplirlas a cabalidad .
La estimación de "CP " se hace a partir de la estimación de " " de la gráfica
bajo control; y obtenemos que para un gráfico ( X , R ) : CL L
Rdp
s i
62
En caso de haber utilizado un gráfico ( X , S ): CL L
Scp
s i
64
94 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
A partir del valor estimado de "CP " , y con la ayuda de las tablas normales, se
puede estimar el número esperado de piezas defectuosas que producirá el
proceso , según la siguiente tabla:
NUMERO ESPERADO DE PIEZAS DEFECTUOSAS POR CADA MILLON DE PIEZAS PRODUCIDAS
Valor de Cp ESPECIFICACIONES UNILATERALES ESPECIFICACIONES BILATERALES
0,50 66.800,00 133.600,00
0,75 12.200,00 24.400,00
1,00 1.350,00 2.700,00
1,10 483,00 966,00
1,20 159,00 318,00
1,30 48,00 96,00
1,40 13,00 26,00
1,50 3,40 6,80
1,60 0,80 1,60
1,70 0,17 0,34
1,80 0,03 0,06
2,00 0,0009 0,0018
Caso Nº 2 : Proceso no centrado .
Cuando el proceso no está centrado, el porcentaje de piezas conformes no es
máximo , pero esto no implica que el proceso no sea capaz , pues puede
suceder que las especificaciones le resulten tan amplias que a pesar del
corrimiento de la media , la casi totalidad de las piezas caigan dentro de la
especificación .
Tal situación se muestra en la siguiente figura :
95 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Cuando el coeficiente de capacidad se calcula para un proceso no centrado se
designa por "CPK " , y recibe el nombre de "Coeficiente de Capacidad Real" ,
pues refleja las condiciones reales de operación ; mientras que el anterior "CP "
es para la condición ideal de proceso centrado.
Para estimar "CPK" , es necesario identificar primero si la media del proceso
está corrida hacia la izquierda o hacia la derecha , y para ello es hay que
calcular las diferencias "µ - LI" , y "LS - µ" .
La menor de tales diferencias indica respectivamente la dirección del corrimiento
de la media del proceso , pues evidentemente cuando se produce un corrimiento
hacia la derecha entonces la media del proceso está más cerca del límite
superior de especificación que del límite inferior ; y viceversa .
Si la menor de las diferencias es "µ - LI", la media está corrida hacia la izquierda,
y de resultar "LS - µ" la menor , entonces el corrimiento es a la derecha .
Para que el proceso sea capaz en este caso no centrado, la distancia de la
media del proceso a su límite más cercano de especificación debe ser mayor
que 3 , pues de no ser así , habrá un cierto porcentaje de piezas fuera de
especificación.
El coeficiente de capacidad real del proceso , se define por la siguiente
expresión:
CPK = mínimo entre L Ls i
3 3 ;
-
también se puede escribir en función de los valores tipificados correspondientes
a los límites de especificación , y queda :
CPK = 1
3 del menor valor entre { z1 , z2 ]
96 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Siendo : z1 = -Li
; z2 = Ls
La interpretación que tiene este coeficiente es similar al del caso centrado , ya
que cuando CPK < 1 , esto significa que la media del proceso se encuentra a
menos de tres desviaciones típicas del límite de especificación más cercano, y
por tanto el proceso no es capaz .
Entre los coeficientes CP y CPK , existe una relación matemática dada por:
CPK= CP ( 1 - k ) ( Véase Cap. V: Justificación Teórica )
Siendo "k" un parámetro que se define como "índice de localización " , cuyo
valor depende del corrimiento que haya sufrido la media del proceso .
El cálculo de "k" se hace a través de las expresión : k = 2
T
= Corrimiento de la media = - 0
0 = Punto central de la especificación
= Media verdadera del proceso .
T = Tolerancia = LS - LI
El índice de localización "k" es una medida relativa del corrimiento, debido a que
compara el corrimiento " " , con el radio de especificación "1
2T " .
Valores de "k" cercanos a cero indican que el proceso presenta un corrimiento
relativo leve , y para ellos CPK CP , mientras que a medida que el corrimiento
se acentúa , se obtendrá un valor de CPK significativamente menor que el de CP.
Valores de "k" cercanos a "1' indican un fuerte corrimiento, y que la media está
muy cercana a uno de los extremos de especificación.
97 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Como CPK Cp , un valor de CPK< 1 , con uno de CP 1 , indica que el proceso
no es capaz bajo las condiciones actuales de operación porque la media esta
muy corrida , pero que de tomarse las medidas correctivas necesarias para
centrarlo, el proceso llegará a ser capaz.
Esta es la gran diferencia entre estos dos coeficientes, "CP" representa el valor
máximo de la capacidad del proceso y no puede ser mejorado a menos que se
apliquen medidas radicales o se cambien las especificaciones; mientras que
"CPK" es una medida de la capacidad actual , susceptible de mejoras con
simples ajustes a las maquinarias que centren el proceso.
Es importante destacar que el índice CPK puede incluso llegar a ser cero o
negativo.
En efecto , si la media del proceso coincide con uno de los límites de
especificación, entonces CPK = 0 , y en este caso el porcentaje de defectuoso es
de aproximadamente 50% , la como se puede apreciar el la gráfica siguiente:
Dado que : CPK = mínimo entre L Ls i
3 3 ;
-; Si = LS CPK = 0
Cuando CPK resulta negativo , la interpretación es que la media del proceso se
ha corrido tanto , que se ha llegado a colocar fuera de los límites de
especificación, y en este caso, más del 50% de la piezas resultan defectuosa, tal
como puede verse en la gráfica a continuación :
98 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Dado que : CPK = mínimo entre L Ls i
3 3 ;
-; Si > LS CPK < 0
Como los parámetros del proceso son desconocidos , el verdadero valor de CPK
es desconocido , y puede ser estimado a partir de la estimación de los
parámetros del proceso .
Para un proceso bajo control con un gráfico ( X , R ) tenemos:
CPK = Mínimo valor entre L
Rd
L
Rd
IS2 2
X
;
X -
3
3
mientras que para un proceso bajo control con un gráfico ( X , S ) :
CPK = Mínimo valor entre X
;
X -
3
S4 4
L
Sc
L
Sc
I
3
Algunos textos y programas de computación hacen la distinción entre un CPK
para el límite inferior , y otro CPK para el límite superior , los definen como CPKI y
CPKS respectivamente, y luego definen el “Coeficiente de Capacidad Real “ CPK
para el proceso como el menor valor entre los dos, lo cual es obviamente
equivalente a lo anterior.
En el caso de especificaciones unilaterales , no es aplicable el concepto de
Proceso Centrado , y resulta obvio que a medida que la media del proceso se
aleje en sentido contrario del límite único de especificación, el proceso es más
capaz, pues el porcentaje de defectuosas disminuye, tal como se muestra en la
figura siguiente para la situación de una sola especificación inferior:
99 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
La capacidad potencial "CP " no existe en estos casos , debido a que no hay un
valor máximo para la capacidad del proceso . Cuanto más se aleje la media del
proceso del límite único de especificación , mayor será su capacidad .
Para calcular la Capacidad real "CPK", solo interesa la distancia de la media al
único límite de especificación existente, la cual debe ser mayor que " 3 ", para
que el proceso sea considerado capaz .
CPK = Ls
3( Solo la especificación superior)
CPK = LI
3( Solo la especificación inferior )
La estimación de la capacidad del proceso se hace al igual que antes , a partir
de los parámetros estimados del proceso bajo control .
Con relación al valor mínimo que pueden tomar estos coeficientes para los fines
de aprobación de una auditoría de calidad , es conveniente aclarar que la Norma
ISO - 9000 es muy general y no los establece ; solamente consagra la
conveniencia de que el proceso de producción sea capaz . ( Véase en la
"Introducción" , el texto exacto de la norma. ) .Sin embargo , algunos autores ,
tales como Douglas C. Montgomery en su texto "Control Estadístico de Calidad "
del Grupo Editorial Iberoamericana, Pag. 242, recomienda algunos valores
mínimos para el coeficiente "CPK " , en función del tipo de proceso , y de la
incidencia que tenga la característica de calidad en la seguridad del usuario o en
la calidad del producto terminado.
Los valores mínimos para "CPK " , recomendados por el Dr. Douglas Montgomery
son
ESPECIFICACIONES
BILATERALES
ESPECIFICACIONES
UNILATERALES
Procesos existentes 1.33 1.25
Procesos nuevos 1.50 1.45
Parámetro de seguridad, de
resistencia, o crítico del proceso
existente.
1.50
1.45
Parámetro de seguridad, de
resistencia, o crítico del proceso
nuevo
1.67
1.60
100 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Se entiende por característica de seguridad aquella cuya falta de cumplimiento
pueda ocasionar daños físicos al usuario tales como por ejemplo , la resistencia
de un material .
Se entiende por parámetro crítico aquel cuya falta de cumplimiento ocasiona que
el producto terminado sea declarado como inservible .
El valor CP= 1.33 corresponde a un proceso centrado con límites de
especificación de ± 4 , mientras que el de CP= 1.67 para ± 5 .
Ejemplo : Un dado de extrusión se emplea para producir barras de aluminio . El
diámetro de las barras es una característica de calidad crítica , que debe
encontrarse dentro de las especificaciones ( 0.5035 ± 0.0010 ) pulgadas.
Se toman 20 muestras de 5 barras cada una , y se les calcula su media y su
rango muestral .
Los valores dados en la tabla siguiente son los tres últimos dígitos de las
mediciones ; esto es, 34.2 se lee como 0.50342
Muestra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X 34.2 31.6 31.8 33.4 35.0 32.1 32.6 33.8 34.8 38.6
R 3 4 4 5 4 2 7 9 10 4
Muestra 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
X 35.4 34.0 36.0 37.2 35.2 33.4 35.0 34.4 33.9 34.0
R 8 6 4 7 3 10 4 7 8 4
a) Establezca los diagramas ( X , R ) , revisando los límites de control tentativos
si es necesario , suponiendo que pueden encontrarse causas asignables .
b) Calcule los coeficientes CP y CPK, e interprete el resultado.
c) Estime el porcentaje de defectuosos que está produciendo el proceso.
Solución : a) X = 34.32 , R = 5.65
Los límites de control tentativos son: U C LX. . = 34.32 + 0.577 ( 5.65 ) = 37.58
Línea Central: X = 34.32
101 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
L C LX. . = 34.32 - 0.577 ( 5.65 ) = 31.06
U.C.LR = 2.114 (5,65 ) = 11.94
Línea Central R = 5,65
L.C.L R = 0
La muestra Nº 10 está fuera de control para X .
Suponiendo que fueron encontradas las causas asignables , la muestra Nº 10
puede ser eliminada , y resulta: X = 34.09 ; R = 5.74
Eliminada la muestra Nº 10 , los límites de control revisados pasan a ser:
U C LX. . = 34.09 + 0.577 ( 5.74 ) = 37.40
Línea Central: X = 34.09
L C LX. . = 34.09 - 0.577 ( 5.65 ) = 30.83
U.C.LR = 2,114 ( 5,74 ) = 12.13
Línea Central R = 5.74
L.C.L R = 0
El proceso queda bajo control
b) Los parámetros estimados del proceso son : X = 34.09 ; = 5 74
2 326
.
.=
2.47
CP = = 45 0 25 0
6 2 47
. .
( . )= 1.35 El proceso es potencialmente capaz .
Sin embargo, como = 34.09 , y el punto central de la especificación es 35.0, el
proceso está corrido hacia la izquierda.
Los coeficientes de capacidad real estimados son:
102 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
CpkI = X LI
3 =
34 09 25
3
.
(2.47) = 1.23 ; Cpks =
LS X
3 =
45 34 09
3
.
(2.47)= 1.47
CPK = Menor valor entre { 1.23 ; 1.47 } = 1.23 A pesar de estar la media
corrida hacia la izquierda , la especificaciones le resultan tan cómodas , que el
proceso sigue siendo capaz.
Otra manera de estimar a CPK, es mediante el índice de localización:
Para nuestro caso , se tiene:
T = LS - LI = 45.0 -25.0 = 20.0
= X 0 = 34.09 - 35.0 = 0.91
K = 2
T=
2
20 0
(0.91)
.= 0.091
El índice de localización resulta ser 0.091 ó 9.1 % , lo que se interpreta como
una relación entre el corrimiento de la media con el radio de la especificación .
No existen normas acerca de los valores permisibles para este índice de
localización, entre otras razones porque su incidencia en la capacidad real del
proceso depende de su capacidad potencial "Cp" , de manera que un valor de
k=0.091 , puede interpretarse como descentralización no influyente cuando CP es mucho mayor que 1 como este caso, pero muy influyente en la Capacidad
real si CP 1.
Una vez calculado "k" , se tiene : CPK= CP( 1- k) = 1.35 ( 1 - 0.091) = 1.23
lo que coincide con la estimación realizada por el otro método .
c) En cuanto a la estimación del porcentaje de piezas defectuosas que
actualmente está produciendo el proceso , tenemos que el porcentaje de piezas
conformes es:
P ( 25 X 45 ) = P (25 34 09
2 47
.
. Z
45 34 09
2 47
.
.) = P ( -3.68 Z 4.42)
= ( 4.42 ) - ( -3.68) = 0.99988
P ( defectuosas) = 1 - 0.99988 = 0.00012 = 0.012 % .
103 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
El porcentaje estimado de piezas defectuosas da evidentemente insignificante ,
pues el proceso resultó capaz ; pero podría reducirse aún más si se centrara .
EJERCICIOS PROPUESTOS :
1º) Veinticinco muestras de tamaño 5 cada una , se extraen de un proceso a
intervalos regulares, y se obtienen los siguientes datos:
Xi
i
i
1
25
= 367.00 ; Ri
i
i
1
25
= 8.60
a) Calcule los límites de control para el diagrama ( X , R ) .
b) Suponiendo que el proceso está bajo control , y que los límites de
especificación son 14.50 ± 0.50 , ¿ qué conclusiones se pueden extraer acerca
de la capacidad del proceso, para operar dentro de estas especificaciones ? .
c) Estime el porcentaje de artículos defectuosos que se producirán bajo las
condiciones actuales de operación.
d) Estime los coeficientes CP , CPK, y el "índice de localización" . Interprete los
resultados .
Solución : a) [14.48 ; 14.88] y [ 0 ; 0.73] . c) 1.54 % . d) CP = 1.13 ; CPK= 0.72 ;
k= 0.36 .
2º) Se toman 18 muestras de tamaño 10 cada una ,con el propósito de construir
un gráfico ( X , S), para controlar el contenido de una cierta sustancia dentro de
unas piezas.
Los resultados obtenidos dan: Xi
i
i
1
18
= 595.8 ; Si
i
i
1
18
= 8.24 .
a) Encuentre los límites de control para el gráfico ( X , S ) .
b) Si las especificaciones establecen que el contenido mínimo de esta sustancia
debe ser de 33 gramos , estime el porcentaje de piezas que no la cumplen.
c) Calcule el coeficiente Cpk, e interprete el resultado.
Solución : a) [ 32.65 ; 33.55 ] y [ 0.13 ; 0.79] b) 41.68% . c) CPK= 0.07
104 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
OTROS METODOS PARA ESTIMAR LA CAPACIDAD DEL PROCESO
A pesar de que la metodología anteriormente descrita para estimar la capacidad
del proceso es la que más se utiliza, y es prácticamente la única que aparece
dispersa en algunos textos de " Control Estadístico de Calidad " , algunos
autores consideran que la misma presenta un punto débil, cual es el supuesto de
normalidad para las piezas individuales que fabrica el proceso.
En efecto , la distribución estadística de la característica de calidad en estudio
para las piezas individuales , se suele llamar en el léxico del "Control Estadístico
de Procesos" , la "Distribución subyacente " , y en el caso de la teoría de los
gráficos de control , el supuesto de normalidad para esta distribución subyacente
es el fundamento para determinar todos los coeficientes A2, A3, B3, B4 , d2 , c4 ,
etc. , indispensables para su construcción .
Por otro lado , dado que el gráfico de control se aplica para promedios , X , R ,
S , etc., la normalidad de estos promedios no garantiza la normalidad de las
observaciones individuales, pues en la teoría estadística se estudia un teorema
conocido como " Teorema Central del límite " , el cual garantiza la normalidad de
los promedios , sea cual fuere la distribución de las observaciones individuales .
De lo anterior se deduce entonces que la normalidad de la distribución
subyacente no queda plenamente demostrada a partir de las gráficas de control,
y que es necesario demostrarla de una manera más rigurosa mediante la
aplicación de las pruebas de ajuste estudiadas en el Cap. II .
Una de las consecuencias de la no normalidad sobre la distribución subyacente,
es que ya no es válido el porcentaje de 99.73 % de observaciones individuales
para el intervalo [µ- 3 ; µ + 3 ] .
Según la "Desigualdad de Chebyshev" , para una distribución subyacente
cualquiera , este porcentaje es de 88.89 % por lo menos:
P ( | X - µ | 3 ) 1 - 2
29=
8
9 = 88.89 %
En el Cap. V ( Fundamentos Teóricos ) , se dan algunos de los resultados
obtenidos por ciertos investigadores, acerca del efecto de la no normalidad
sobre los gráficos de control .
105 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
ESTIMACION DE LA CAPACIDAD A PARTIR DEL HISTOGRAMA
Con el fin de garantizar que la distribución subyacente sigue realmente una
Distribución Normal , este método toma un conjunto de observaciones
individuales provenientes del proceso ( 100 por lo menos), las agrupa en
intervalos de clase para construir el histograma , posteriormente les hace una
prueba de normalidad por alguno de los métodos ya explicados en el Cap.II, y en
caso de que sea aceptada , a partir de allí estima su capacidad.
Aparentemente el método tiene la ventaja de garantizar la normalidad , y
además de hacer una mejor estimación de los parámetros del proceso , pues
indudablemente una estimación de " " basada en "S" para 100 observaciones
individuales , es mucho más confiable que otra estimación basada en “R” ó en
“S” , para varios subgrupos de un tamaño relativamente pequeño .
Sin embargo ,el problema que se presenta ahora es el de ¿ cómo garantizar que
estas 100 ó más observaciones individuales , han sido tomadas bajo unas
condiciones estables de operación del proceso ? ; pues si durante el desarrollo
del muestreo aparecen causas asignables , la estimación de " " que se haga a
partir de ellas no será realista , la hipótesis de normalidad resultará rechazada ,
la capacidad del proceso resultará subevaluada , y con el agravante de que
aquellas observaciones correspondientes a la acción de las causas asignables
no podrán ser identificadas.
Lamentablemente, sin la ayuda de las gráficas de control, no podemos tener una
probabilidad relativamente alta de poder afirmar que el proceso está operando
bajo condiciones estables, y de allí que la estimación de su capacidad no pueda
aislarse de la construcción de tales gráficas.
La forma como opera el método es la siguiente :
1º) Se procede a tomar una muestra de 100 observaciones individuales como
mínimo del proceso .
La muestra se toma en subgrupos de 4 ó 5 observaciones cada una, a intervalos
de tiempo suficientemente distantes , al igual que como se explicó para la
construcción de una gráfica ( X , R) , lo que exigirá tomar 20 ó 25 subgrupos .
2º) Se procede al igual que antes a construir el gráfico, y a eliminar aquellas
muestras fuera de control, una vez detectada la causa asignable.
3º) Con el proceso bajo control , se toman todas aquellas observaciones
individuales correspondientes a las muestras que no fueron eliminadas sin
106 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
hacer distinción de subgrupos, y se clasifican en una tabla agrupada de
frecuencias , siguiendo los procedimientos de Estadística Descriptiva .
Esto garantiza que las observaciones individuales provienen de un proceso
estable, sin la acción aparente de causas asignables .
4º) A la tabla agrupada de frecuencias se le dibuja un histograma , y se le
aplican pruebas de normalidad , o papel probabilístico.
5º) De resultar afirmativa la prueba de ajuste, se estiman los parámetros del
proceso , a partir de la tabla agrupada de frecuencias.
6º) Con los parámetros estimados , se estima el porcentaje de piezas fuera de
especificación, y los coeficientes de capacidad CP y CPK .
Ejemplo: Tomemos los datos correspondientes a las 20 muestras de 5 pastillas
del capítulo anterior
Estos datos ya fueron analizados, y los parámetros del proceso estimados,
resultando ser µ = 4.98 , = 0.1333 .
Apliquemos ahora este nuevo método , a fín de obtener una estimación de los
parámetros del proceso a partir del histograma .
Como la muestra Nº 7 fue eliminada, los datos quedaron reducidos a 19
muestras de tamaño 5 cada una, es decir 95 observaciones.
Estas 95 observaciones se clasifican en una tabla de frecuencias:
Peso 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 5.3
frecuencia 1 1 2 13 20 30 18 7 3
107 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Los parámetros estimados resultan ser = X = 4.98 ; = S = 0.1458
A continuación procedemos a verificar la normalidad de las observaciones
individuales, mediante la aplicación de la prueba chi - cuadrado de bondad del
ajuste, para lo cual es necesario clasificarlas en intervalos.
Teniendo en cuenta que se trata de una variable continua los límites reales de
cada observación son de ± 0,05.
Posteriormente con las tablas normales se calculan las frecuencias esperadas, y
se procede tal como se explicó en el Cap. II , teniendo en cuenta que la hipótesis
a probar es :
H0: El peso de una pastilla se ajusta a una Distribución Normal .
H1: El peso de una pastilla no se ajusta a una Distribución Normal .
Los resultados obtenidos se dan en la tabla a continuación:
Peso de la Pastilla fi pi ei
< 4.75 4 0.0582 5.53 4.75 - 4.85 13 0.1302 12.37 4.85 - 4.95 20 0.2330 22.13 4.95 - 5.05 30 0.2657 25.24 5.05 - 5.15 18 0.1926 18.29 5.15 - 5.25 7 0.0888 8.44
5.25 5.15 3 10 0.0315 =0.1203 2.99 11.43
108 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Siguiendo las reglas de la prueba chi- cuadrado (Capitulo II), como el último
intervalo resultó con una frecuencia esperada menor que 5 , se fundió con el
anterior .
2 ( f - e )i i
2
i=1
i=k
ei
Para este caso k = 6 , pues al final resultaron 6 intervalos después de hecha la
fusión de los dos últimos intervalos.
Hechos los cálculos, se obtiene : 2 = 1.74 ; mientras que el valor crítico dado
por la tabla chi cuadrado con 6-1-2= 3 grados de libertad, a un nivel de
significación del 5% , es : 20.05;3 = 7.81 , lo que evidentemente conlleva a la
aceptación de la hipótesis de que el peso de cada pastilla individualmente sigue
una Distribución Normal .
También hubiera podido verificarse la normalidad con el papel probabilístico, el
cual hubiera quedado de la siguiente forma:
Una vez verificada la normalidad de los pesos individuales, y con los parámetros
estimados : = 4.98 ; = 0.1458 , que resultó ligeramente mayor que 0.1333,
estimación a partir de R del gráfico de control , se hace el análisis de
especificaciones y de capacidad , a igual que como se explicó en las secciones
respectivas .
109 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Es de hacer notar que este método de estimación de la capacidad del proceso a
partir de su histograma , está muy poco difundido en la Bibliografía de Control
Estadístico de Calidad ; solo aparece tratado de una forma muy breve en los
siguientes textos:
1º) Control Estadístico de Calidad . Douglas C. Montgomery
Grupo Editorial Ibero Americana. México
2º) Control de Calidad . Bertrand L. Hansen
Editorial Hispano Europea . Barcelona . España
Este último texto lo denomina "Método de la Amplitud Unica" , ya que para
estimar el porcentaje poblacional de piezas dentro de los límites muestrales,
utiliza el rango o amplitud de la muestra unificada .
En opinión muy personal del autor, las razones que han prevalecido para la
escasa difusión de este método, a pesar de ser muy completo, son las
siguientes:
1º) En primer lugar una razón teórica, pues el uso de los estimadores
convencionales de "µ" y de " " supone que las observaciones muestrales son
aleatorias e independientes, y como en éste método las observaciones son
tomadas en subgrupos, es discutible la legitimidad de estos supuestos.
Sin embargo, el supuesto de independencia entre las observaciones tiene cierto
asidero, pues el método exige que el histograma sea construído para el proceso
bajo control , y con esta exigencia se garantiza que no existan diferencias
significativas entre los distintos subgrupos .
2º) En segundo lugar, una razón práctica, pues éste método es mucho más
laborioso , requiere un mayor conocimiento de los métodos estadísticos , y al
final arroja la misma estimación del parámetro "µ" .
En cuanto a la estimación de " " , este método dará siempre una estimación
ligeramente mayor , pues la suma total de cuadrados para las observaciones se
verá ligeramente afectadas por las diferencias poco significativas entre los
subgrupos.
La ventaja de este método con relación al convencional es la de garantizar con
bastante certeza la normalidad del proceso. El método convencional no la
garantiza, sino que la supone.
110 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Posiblemente el lector se preguntará; « ¿qué hacer en caso en caso de que la
normalidad resulte rechazada ? » .
La respuesta a esta pregunta la dan los métodos no paramétricos , o libres de
distribución , que permiten analizar las especificaciones sin la necesidad del
supuesto de normalidad , pero con la desventaja de requerir tamaños de
muestra mayores .
Una información más detallada sobre estos métodos puede encontrarse en el ya
citado texto del Dr. Douglas Montgomery , Pag. 262 , así como también en el
texto "Estadística para Ingenieros " de los autores Albert Bowker y Gerald
Lieberman , de la Editorial Prentice Hall .
También existe un método conocido como " Lot Plot " , el cual puede ser
aplicado aún cuando la distribución no sea normal . Una explicación detallada
de este método puede encontrarse en el texto " Control de Calidad y Estadística
Industrial" del autor Acheson J. Duncan , en el Cap. 23 de "Procesos y
procedimientos especiales " , y que se utiliza principalmente como plan de
muestreo por variables .
INFERENCIAS RELATIVAS A LA CAPACIDAD DEL PROCESO
Hemos visto que la capacidad del proceso se mide a través de tres indicadores:
El porcentaje de piezas defectuosas que produce , el cual debe ser
prácticamente cero para un proceso capaz , y los dos coeficientes de capacidad,
el potencial "CP " y el real "CPK" , los cuales deben ser ambos mayores que 1
para un proceso capaz .
A lo largo de este capítulo, hemos visto como estimar estos indicadores de la
capacidad del proceso .
Sin embargo, no podemos olvidar que estos procedimientos conducen a
estimaciones puntuales de tales indicadores porque se apoyan en la estimación
puntual de los parámetros del proceso .
Al ser toda estimación puntual un valor particular de un estadístico muestral,
esta estimación estará sujeta a la aleatoriedad de la muestra , y por lo tanto no
se puede afirmar que el valor estimado del parámetro sea exactamente igual al
verdadero valor poblacional.
Hasta el momento , los textos de "Control Estadístico de Calidad" y
presumiblemente las auditorías de calidad , han tratado el problema basados
111 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
exclusivamente en la estimación puntual , olvidando por completo que la
estimación obtenida es en realidad un valor particular de una variable aleatoria ,
y que si se hiciera otra evaluación de la capacidad a partir de otra muestra , muy
seguramente el resultado sería otro.
Desde un punto de vista estrictamente teórico , lo más correcto sería que la
estimación de estos indicadores de capacidad se hiciera por intervalos , y que la
decisión relativa a la aprobación de una auditoría de calidad se hiciera mediante
una prueba de hipótesis .
Es decir , que si las normas exigieran por ejemplo , que para un determinado
proceso el valor mínimo del coeficiente de capacidad real debe ser de 1.33 ,
entonces la decisión de aprobación o improbación de la capacidad del proceso a
los fines de dar cumplimiento a lo exigido por la Norma ISO - 9000 , se hiciera
mediante la Prueba de Hipótesis:
H0 : CPK 1.33 El proceso cumple con la norma.
H1 : CPK < 1.33 El proceso no cumple con la norma.
Hasta la fecha , no ha sido desarrollada una metodología para probar este tipo
de hipótesis , y según algunas investigaciones realizadas por el autor , el
problema se encuentra en fase de investigación .
El problema sería fácil de resolver en caso de que la hipótesis se refiera al
coeficiente de Capacidad Real "CP" , y la decisión se tomara en base a una sola
muestra , como por ejemplo la unificada, considerada en el método anterior de
estimación a partir del histograma .
La prueba de hipótesis: H0 : CP CP0
H1 : CP < CP0
se reduce a una prueba unilateral para la varianza , de las ya estudiadas en la
que sería de la forma:
HL L
C
HL L
C
S I
p
S I
p
00
2
10
2
6
6
:
:
-
-
2
2
En cuanto a la estimación por intervalos para los coeficientes de capacidad , y
para el porcentaje de defectuosos que fabrica el proceso , se presenta el mismo
112 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
problema , pues hasta la fecha no se ha encontrado la distribución estadística de
sus correspondientes estimadores .
Una estimación por intervalos para "CP" en base a una sola muestra , podría ser
obtenida a partir del intervalo de confianza para 2, que como se sabe de la
Inferencia Estadística es : (n -1)S
; (n -1)S
2
n-1
2
n-1/ ; / ;22
1 22
; lo que daría el siguiente
intervalo del (1- ). 100% de confianza para CP :
1 22
22
1 6 1 6
/ ; / ; n-1 n-1 ;
n
L -L
S n
L -L
S
S I S I
En donde: 1 22
/ ; n-1= Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1)
grados de libertad deja a la derecha un área "1 - 2
".
/ ;22
n-1 = Abscisa que en una Distribución chi- cuadrado con (n-1)
grados de libertad deja a la derecha un área "2
".
El problema está en que la estimación de la capacidad del proceso no es
recomendable hacerla en base a una sola muestra por las razones de
estabilidad que ya conocemos ,y por ese motivo las fórmulas anteriores no son
aplicables cuando la estimación de " " se hace a partir del rango medio R , o a
partir de S , según el gráfico de control utilizado, pues se modifican las
condiciones teóricas bajo las cuales se obtiene el intervalo de confianza anterior.
113 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Por este motivo se hace necesario encontrar la distribución del estimador de CP
y de CPK , bajo estas nuevas condiciones de estimación, en base a “k”
subgrupos de tamaño “n” cada uno.
En el apéndice se encuentran unos artículos de aparición relativamente recíente
en revistas especializadas, en donde se aborda el problema.
Uno de los artículos titulados " How Reliable is your Capability Index ?" de A.F
Bissel, enfrenta el problema de la estimación por intervalos para los coeficientes
de capacidad , mediante la introducción de dos índices básicos que define como:
I= L LS I
; IK=LS
ó IK = LI
;y posteriormente analiza el número efectivo
de grados de libertad con que se realiza la estimación, el cual designa por “f”.
analiza el número efectivo de grados de libertad con que se realiza la estimación
, el cual designa por "f" .
Finalmente , el autor A.F Bissel obtiene unas expresiones aproximadas para el
intervalo de confianza correspondiente a IK, a partir del cual se puede obtener el
de CPK.
También se incluye en el apéndice , otro artículo titulado " Bootstrap Confidence
Interval Estimates of CPK . An Introduction ".
Este artículo propone una metodología para estimar por intervalos al coeficiente
CPK, por un método denominado "Bootstrap " , que consiste en tomar una
muestra aleatoria de tamaño "n" del proceso , y posteriormente tomar otra
muestra con reemplazamiento , también de tamaño "n" , pero proveniente de la
muestra original, la cual denomina " muestra bootstrap" .
Como existen nn muestras bootstrap posibles , cada una de ellas conduce a un
valor estimado de CPK ( no necesariamente todos únicos) .
La distribución de estos valores de CPK, dependerá evidentemente de la muestra
original tomada del proceso, y a partir de allí obtiene un intervalo de confianza
para CPK , el cual resulta centrado en su valor puntual estimado, y con una
amplitud función de la desviación típica de estos diferentes valores de CPK.
También se incluye en el apéndice un programa para obtener el referido
intervalo de confianza para CPK , por este método "Bootstrap" .
La estimación por intervalos tanto para " CP " como para " CPK " , es sin embargo
demasiado reciente y aún no ha sido incorporada en los textos de "Control
Estadístico de Calidad". No es de extrañar que un futuro próximo, en las
114 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
auditorías de calidad se exijan , así como también las pruebas de hipótesis para
la verificación de que el proceso cumple con los requisitos cuantitativos mínimos
de capacidad , que aún la norma ISO - 9000 no establece .
RELACION ENTRE LOS LIMITES NATURALES DEL PROCESO Y LOS
LIMITES NATURALES DE SUS COMPONENTES
Es muy frecuente que la capacidad de un proceso resulte erróneamente
evaluada porque su límites naturales de variación han sido mal establecidos.
En la Pag. 67 vimos que para hacer la evaluación de la capacidad del proceso
es necesario comparar sus límites naturales de variación con las
especificaciones , y que estos límites naturales se hallan:
L.N.I = µ - 3 L.N.S = µ + 3
En algunas oportunidades los límites naturales de variación para una variable no
se determinan por la observación directa de ella, si no indirectamente a través
de otras , y es muy frecuente que en esa determinación se cometan errores ,
que luego afecten la evaluación de la capacidad del proceso
Ejemplos de tales situaciones son las siguientes:
1º) Imaginemos que tenemos un envase cilíndrico , y que se han determinado
los límites naturales de variación para su diámetro y para su altura.
Supongamos que los del diámetro son (10.00 ± 0.25 ) cms , y que los de la
altura son ( 18.00 ± 0.30 ) cms . ¿ Cuales son los límites naturales de variación
para el volumen del envase ? .
Una persona poco experimentada en el manejo de técnicas estadísticas haría el
siguiente razonamiento :
La situación más desfavorable para el volumen es cuando tanto el diámetro
como la altura están en el límite natural inferior , es decir 9.75 cms y 17.70 cms
respectivamente , y teniendo en cuenta que V= r2h , el mínimo volumen para el
envase es 1.312,52 cm3, y luego haría un razonamiento similar para el máximo ,
con un diámetro de 10.25 cms y una altura de 18.30 cms , obteniendo un límite
natural superior para el volumen de 1.510,04 cm3.
Tal razonamiento aparentemente lógico, es incorrecto desde el punto de vista
estadístico, por la siguiente razón :
115 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Los límites naturales de variación para cada variable, se dan para un 99% de
probabilidad de cobertura , de manera que obtener un envase que tenga ambas
dimensiones diámetro y altura por debajo o por encima de su respectivo límite
natural de variación , tiene una probabilidad muy inferior al 1% ; suponiendo
independencia entre ambas variables esta probabilidad sería : 2x0.005 x 0.005 =
5 x 10-5.
El intervalo calculado [ 1.312 , 52 ; 1.510, 04 ] , es en consecuencia mucho más
amplio que el intervalo natural de variación para el volumen .
2º) Otra situación similar a la anterior se presenta cuando en un proceso hay que
mezclar diversos ingredientes . Supongamos que en una determinada etapa del
proceso hay que mezclar dos envases de un ingrediente "A" con un envase de
otro ingrediente "B" , y que estudios estadísticos han comprobado que los límites
naturales de variación para el ingrediente "A" son entre 420 y 438 gramos ,
mientras que los del ingrediente "B" entre 510 y 516 gramos .
Un razonamiento similar al utilizado anteriormente nos llevaría a la falsa
conclusión de que los límites naturales de variación para el producto resultante
son entre 2 x 420 + 510 = 1350 gramos y 2 x 438 + 516 = 1392 gramos .
Este intervalo [ 1350 ; 1392] resulta mucho más amplio que el de 99% de
probabilidad de cobertura , ya que es muy poco probable que al azar
seleccionemos dos envases "A" con un contenido inferior a 420 , acompañados
de otro envase con contenido inferior a 510 gramos . Esta probabilidad
sería(0.005)3, para cada lado , y en total 2x(0.005)3, lo que evidentemente da
una probabilidad de cobertura superior al 99% para el intervalo encontrado.
El lector seguramente se preguntará que si el razonamiento anterior no es el
correcto , ¿ que debe hacerse entonces para encontrar los límites naturales de
variación del proceso ? .
Lamentablemente el problema no es fácil de resolver en el caso general .
Solamente cuando las variables involucradas siguen cada una de ellas
Distribuciones Normales independientes, y la relación entre la variable del
proceso es una función lineal de ellas , existe un procedimiento sencillo para
resolver el problema .
En el primer ejemplo , donde la función no es lineal : V = r2h , la situación es
compleja desde el punto de vista estadístico , pues hay que encontrar la
Distribución del Volumen, a partir de la Distribución del diámetro y de la altura ,
aplicando técnicas de Transformación de Variables Aleatorias , Funciones de
Variables Aleatorias , y métodos aproximados basados en desarrollos en series
116 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
de Taylor . Una explicación muy detallada sobre estas técnicas puede
encontrarse en los siguientes textos :
1º) Estadística Matemática con Aplicaciones . Menderhall , Wackerly y Scheaffer
. Grupo Editorial Iberoamericana . Cap. 6
2º) Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas . Meyer . Addison - Wesley
Iberoamericana . Cap. 5 y 6 .
En el segundo ejemplo , la relación es lineal , pues si designamos por "Y" al
peso de la mezcla , se tiene : Y = XA1 + XA2 + XB, siendo XA y XB el peso de un
envase "A" y de uno "B" respectivamente .
Nótese que no es correcto escribir Y = 2 XA + XB , pues al ser aleatorio el peso
de cada caja , no necesariamente el peso total de las dos cajas es de una
multiplicado por 2 .
En la Teoría Estadística se estudia un teorema cuya demostración se da en el
Cap. V , y el cual establece lo siguiente :
Si X1 , X1 .... Xn son variables aleatorias independientes , y normalmente
distribuidas , entonces una función lineal de ellas :
Y = a0 + a1 X1 + a2 X2+ .... + an Xn
también seguirá una Distribución normal , y sus parámetros son :
Y = a0 + a1 1 + a2 2+ .... + an n
Y2 = a1
2 12 + a2
2 22 + .... + an n
2 2
Aplicando este teorema para el ejemplo 2 , podemos hallar los límites naturales
de variación para el peso de la mezcla , procediendo como sigue:
Si los límites naturales para el peso de las cajas tipo "A" son 420 y 438 ,
suponiendo normalidad tenemos : A= 429 , y 6 A = 438- 420 = 18 A = 3 y
por consiguiente XA N ( 429 ; 32 ) .
De manera análoga, si para el ingrediente "B" sus límites naturales de variación
son 510 y 516 , entonces se obtiene : B= 513 , B= 1 , y XB N(513;12) .
117 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Al ser Y = XA1 + XA2 + XB, mediante la aplicación del teorema se concluye
entonces que Y N ( 1371 ; 19 ), y en consecuencia los limites naturales de
variación para el peso de la mezcla sería :
Límite Natural Inferior = Y - 3 Y= 1371 - 3 19 = 1357.92
Límite Natural Superior = Y+ 3 Y= 1371 + 3 19 = 1384.08
El intervalo obtenido es evidentemente más estrecho que el obtenido por el
razonamiento incorrecto explicado anteriormente .
Ejemplo propuesto : Para hacer un montaje , es necesario ensamblar tres
componentes de la forma como se indica en la figura :
Las dimensiones de cada componente son variables aleatorias independientes,
que siguen cada una distribución normal , y sus límites naturales de variación
son de (1.00 ± 0.04 ) pulgadas para X1 , (3.00 ± 0.05 ) pulgadas para X2 y (2.00
± 0.02 ) pulgadas para X3.
Analice si el proceso es capaz de cumplir con las especificaciones ( 6.00 ± 0.06 )
para el ensamble . Calcule el porcentaje de piezas fuera de especificación y su
coeficiente de capacidad CP.
Solución : No es capaz . 0.74 % . CP = 0.8944 .
ANALISIS DE CAPACIDAD MEDIANTE DISEÑO DE EXPERIMENTOS
Cuando un proceso resulta no capaz para cumplir unas especificaciones , la
pregunta que inmediatamente debe hacerse el ingeniero o investigador es
«¿qué puedo hacer para convertir este proceso en capaz ? » .
La gran mayoría de las veces no es posible conseguir una ampliación de las
especificaciones , que sería el camino más cómodo y económico para convertir
al proceso en capaz , pues las mismas son generalmente exigencias de normas
internacionales .
118 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Otra posibilidad para convertir el proceso en capaz es la aplicación de las
diversas recomendaciones del Dr. Deming , tendientes a reducir la variabilidad
del proceso , ya mencionadas anteriormente.
La alternativa de sustituir las maquinarias y equipos por otros más precisos es
tan costosa , que muchas veces no es considerada .
El "Diseño de Experimentos" es una principales herramientas estadísticas que
permite reducir la variabilidad de un proceso, mediante la identificación de los
factores y variables que más lo afectan .
En efecto, en un proceso industrial intervienen una serie de variables , algunas
de ellas controlables , tales como temperatura , presión , tiempo , velocidad de
giro de ciertas maquinarias , etc., que afectan en mayor o en menor grado las
características del producto obtenido .
Un experimento controlado consiste en tomar una serie de observaciones de las
características de calidad del producto, modificando simultáneamente varias de
las variables de entrada al proceso .
Así por ejemplo, para distintos niveles de presión , temperatura , etc. , se
observa el valor de una cierta característica de calidad , y se analiza su
variabilidad .
Mediante el uso de estas técnicas se logra identificar las llamadas variables
activas , que son aquellas que realmente tienen una incidencia significativa en el
comportamiento del proceso , y en las características de calidad del producto
terminado.
La identificación de estas variables activas es de gran utilidad para aumentar la
capacidad del proceso , pues mediante un control más estricto de ellas, se
puede lograr un comportamiento más estable del proceso , y en consecuencia
un producto mucho más homogéneo.
Estas técnicas de "Diseño de Experimentos" son de reciente aplicación en el
medio industrial , pero eran ya conocidas aún antes de la segunda guerra
mundial , con aplicaciones muy concretas en la agricultura , pues allí intervienen
gran cantidad de variables como condiciones climatológicas , características del
suelo , tipos de fertilizantes , etc. , y mediante su aplicación se logró identificar la
combinación óptima de estos factores , y obtener un óptimo aprovechamiento
del suelo .
Las técnicas de Diseño de Experimentos son el complemento indispensable
para los " Diagramas Causa - Efecto" , pues no todas las causas que se señalan
119 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
en ellos son significativamente influyentes en el proceso , y mediante la
utilización del " Diseño de Experimentos " , algunas de las causas consideradas
inicialmente como importantes en la calidad del producto , pueden ser
desechadas, e incorporadas otras .
En el apéndice se incluye un artículo titulado « Designing Process Capability
Studies» de George C. Runner, en donde se hace referencia a los beneficios de
los experimentos diseñados en el Control Estadístico de Procesos.
Una mayor información sobre estos métodos , puede encontrarse en el texto
"Diseño y Análisis de Experimentos" del mismo autor ya mencionado Douglas
C. Montgomery , del Grupo Editorial Iberoamericana .
EJERCICICIOS DE RECAPITULACION
1º) Los datos siguientes representan la resistencia a la presión interna de unas
botellas para bebidas gaseosas expresada en p.s.i, y están organizados en 20
muestras de 5 boteas cada una .
Muestra Nº Muestra Nº
1 265 205 263 307 220 11 268 260 234 299 215
2 197 286 274 243 231 12 267 281 265 214 318
3 346 317 242 258 276 13 300 208 187 264 271
4 280 242 260 321 228 14 250 299 258 267 293
5 265 254 281 294 223 15 260 308 235 283 277
6 200 235 246 328 296 16 276 264 269 235 290
7 221 176 248 263 231 17 334 280 265 272 283
8 265 262 271 245 301 18 280 274 253 287 258
9 261 248 260 274 337 19 250 278 254 274 275
10 278 250 265 270 298 20 257 210 280 269 251
a) Construya un gráfico de control ( X , R) . Analice si el proceso está bajo
control , y determine los límites de control .
120 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
b) Si las especificaciones exigen que las botellas para bebidas gaseosas deben
tener una resistencia interna mínima de 200 p.s.i . Analice si este proceso es
capaz de cumplir con esta especificación .
c) Estime el coeficiente de capacidad real , y el porcentaje de botellas que no
cumplen con la especificación .
d) Unifique las muestras , construya el histograma , verifique la normalidad del
proceso , y recalcule el coeficiente CPK, y el porcentaje de piezas fuera de
especificación .
Solución : a) Proceso bajo control . Para X : ( 210.46 ; 308.66 ) . Para R : ( 0 ;
163. 49 ) . b) No es capaz . c) CPK = 0.64 . 2.68 % .
2º) Las especificaciones para una pieza son 600 ± 20 . La producción de esta
pieza ha estado bajo control durante un largo tiempo , mediante el uso de un
gráfico ( X , R ) .
Los límites de este diagrama para subgrupos de tamaño 9 son:
Diagrama para X Diagrama para R
Límite Superior 616 32.36
Linea Central 610 17.82
Límite Inferior 604 3.28
a) ¿ Cuáles son sus conclusiones acerca de la capacidad del proceso ? .
b) Estime los coeficientes CP, CPK y el porcentaje de piezas fuera de
especificación.
Solución : a) No es capaz por no estar centrado . b) CP= 1.11 es
potencialmente capaz . CPK = 0.56 . 4.75 % fuera de especificación .
3º) Un proceso distribuido normalmente emplea el 66.67 % de la banda de
especificación, está centrado en la dimensión nominal, y se localiza a la mitad
entre los límites de especificación superior e inferior.
121 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
a) ¿ Cual es su coeficiente de capacidad actual CP ? .
b) ¿ Qué porcentaje de defectuosas produce actualmente ? .
c) Suponga que la media se corre a una distancia de exactamente 2
desviaciones típicas por debajo del límite superior de especificación. ¿ Cual es
ahora su nuevo coeficiente de capacidad real ? .
d) Después del corrimiento , ¿cuál es el nuevo porcentaje de piezas
defectuosas? .
Solución : a) CP = 1.50 . b) 3.40 por millón de piezas producidas . c) CPK = 0.67
d) 2.28 % .
4º) Se utiliza un diagrama ( X , R ) con subgrupos de tamaño 8 , para controlar
la resistencia a la tensión ( expresada en libras) de un hilo.
Se seleccionaron 30 muestras, se calculó para cada una su media y su rango , y
se obtuvo: Xi
i
i
1
30
= 607,80 , Ri
i
i
1
30
= 144 .
Suponiendo que el proceso queda bajo control , y que existe una especificación
inferior que establece que la resistencia de este hilo debe ser de 16 lb. como
mínimo, calcule el coeficiente de capacidad , y el porcentaje de piezas fuera de
especificación .
Solución : CPK = 0.84 no es capaz . 0.59 %
5º) Se utiliza un diagrama ( X , S ) , con subgrupos de tamaño 4 para controlar
una cierta característica de calidad .
Los límites de este diagrama son:
Diagrama para X Diagrama para S
Límite Superior 201.63 2.266
Línea Central 200.00 1.000
Límite Inferior 198.37 0
Suponiendo que el diagrama indica control, y que las especificaciones son
200.00 ± 2.50 .
a) ¿ Cuáles son sus conclusiones acerca de la capacidad del proceso ? .
122 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
b) Estime el coeficientes CP , y el porcentaje de piezas fuera de especificación .
Solución: CP = 0.77 no es capaz . 2.14 % .
6º) Un eje consiste en seis secciones diferentes colocadas una al lado de la otra.
Se sabe que las longitudes de estas secciones componentes son variables
aleatorias independientes, distribuidas normalmente con las siguientes medias y
varianzas : (8.10 ; 0.05) , ( 7.25 ; 0.04 ) , ( 9.75 ; 0.06) (3.45 ; 0.04) , (17.15 ;
0.10) y (6.20 ; 0.07) .
Si las especificaciones establecen que el eje ensamblado tenga una longitud de
(52.0 ± 1.5) pulgadas. Calcule el coeficiente de capacidad real del proceso de
ensamblaje, y el porcentaje de ejes fuera de especificación.
Solución : CPK = 0.78 no es capaz . 1.37%
7º) Dos resistencias son conectadas en serie, para armar un circuito cuya
resistencia total debe ser de (16.00 ± 0.25) ohmios.
Suponiendo que la resistencia de cada una, es una variable aleatoria
normalmente distribuida, ¿cuáles deben ser los límites naturales máximos de
variación de estas resistencias? , para que la conexión sea capaz de cumplir con
la especificación.
Solución : 8.0000 ± 0.1768
123 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
CAPITULO V : FUNDAMENTOS TEORICOS
Los diferentes métodos y procedimientos , destinados a estimar la capacidad de
un proceso industrial, y que han sido analizados en los capítulos anteriores,
tienen su fundamento en la “Teoría Estadística”, especialmente en la
“Estadística Matemática” .
Tal como se explicó en la introducción , el autor no ha querido condicionar la
explicación de estos métodos al desarrollo paralelo de su fundamentación ,
debido a que tal enfoque desvirtuaría el propósito de esta obra , la cual pretende
servir de referencia a aquellas personas , ingenieros , técnicos , empresarios
,científicos , auditores de calidad , etc., que para los fines de dar cumplimiento a
lo establecido en las Normas ISO-9000 , tengan que evaluar la capacidad de un
proceso industrial determinado .
El objetivo de este capítulo es imprimirle a la obra un carácter más académico ,
que muestre el fundamento teórico de los métodos , procedimientos y fórmulas
que han sido presentadas a lo largo de los cuatro capítulos anteriores , a fin de
que se entienda que detrás de toda esta metodología existe todo un basamento
teórico , y que los coeficientes , tablas y fórmulas utilizadas no tienen jamás un
carácter empírico ; sino que por el contrario , obedecen a un riguroso proceso
matemático de demostración .
La lectura de este capítulo no es necesaria para aquellas personas a quienes
solo interesa el aspecto metodológico, y para ellos es suficiente con los cuatro
capítulos anteriores .
Para una mejor comprensión, es conveniente que el lector repase algunos
conceptos previos de "Teoría de Probabilidades" e "Inferencia Estadística " ,
tales como :
Valor esperado y Varianza de Variables aleatorias.
Función generadora de momentos .
Funciones de variables aleatorias .
Métodos para la obtención de estimadores .
Estimadores insesgados .
La justificación de las diferentes propiedades y metodologías ha sido
desarrollada en el mismo orden en que han sido tratadas.
124 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
PROPIEDADES DE LA CURVA NORMAL
La función de densidad correspondiente a la curva normal es :
f x e( )1
2
--( )x
2
22 ; - < x <
A partir de allí se demuestra :
1º) Los parámetros "µ" y " 2" representan la media y la varianza de la
distribución .
En primer lugar "µ" y " 2" son parámetros porque para cualquier valor que ellos
tomen, el área bajo la curva es siempre igual a 1 , pues :
1
2 e dx
-(x- )
2
2
2
= 1
En efecto, si en esta integral hacemos el cambio de variable : z =x
se obtiene : 1
2 e dz
-2
2z
= 2 1
20 e dz
-2
2z
Haciendo la sustitución: t = 1
2 z2 dt = z dz dz =
1
2t dt , resulta:
2
2e
t
t 1
20dt =
1e
t
t 1
0 dt =
( )1
2 =1
lo que demuestra que efectivamente la ecuación de la curva normal corresponde
a una función densidad continua de probabilidad , y en donde "µ" y " 2 " son
parámetros .
Para demostrar que estos parámetros son realmente la media y la varianza de la
distribución, es necesario hallar primero su función generadora de momentos
MX( t) :
125 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
MX(t) = E(etX) = etx 1
2 e
-(x- )
2
2
2
dx
Para calcular esta integral es necesario sumar los exponentes que corresponden
a la base común “e”, luego completar cuadrados , , y se llega al siguiente
resultado: MX(t) = et t
1
22 2
Una vez obtenida la función generadora de momentos, por derivación sucesiva
y evaluando en t=0 , es posible obtener los diferentes momentos de la
distribución , y así :
dM t
dt
X( )= ( )2
1
22 2
t et t
E(X) = dM t
dt
X
t
( )
0
=
Derivando por segunda vez, y evaluando en t=0 : E(X2) = d M t
dt
X
t
2
2
0
( )= 2 + 2
En consecuencia: Var (X) = E (X2) - [ E (X) ]2 = 2, lo que completa la
demostración .
2º) La simetría respecto de la media es fácilmente demostrable, pues basta con
verificar que la ecuación de la curva , que como ya sabemos es:
f x e( )1
2
--( )x
2
22 ; no se altera cuando se sustituye ( x - µ) , por su
simétrico respecto de la media que es [- (x-µ)] .
Como consecuencia de la simetría, el coeficiente momento de sesgo se anula.
El coeficiente momento de sesgo poblacional para una variable aleatoria viene
dado por: = E X E X
Var X
( ( ))
( ( ))
3
3
2
.
El numerador de esta expresión puede ser desarrollado:
E( X - E(X) )3= E (X3- 3 X2 E(X) + 3X (E(X))2 - (E(X))3) =
126 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
E (X3) - 3 E (X2) E(X) + 3 E(X) (E(X))2 - (E(X))3 =
E (X3) - 3 E (X2) E(X) + 2 (E(X))3
Para la Normal, los dos primeros momentos respecto al origen ya son conocidos
pues: E ( X ) = µ ; E (X2) = 2 + 2, y el tercero puede ser obtenido a partir de
la tercera derivada de función generadora de momentos, en t=0:
E (X3) = d M (t)
dt
3X
3
t 0
= 3+ 3 µ 2 .
Reemplazando resulta :
E( X - E(X) )3= 3+ 3 µ 2 - 3 ( 2 + 2) + 2 3 = 0 = 0 .
3º) En cuanto a la propiedad de que la mediana de la Distribución Normal
también esta representada por el parámetro "µ" , la misma se desprende de la
simetría , y de que el área total bajo la curva es igual a 1 .
En efecto, por simetría : P ( X µ) = P (X > µ) , y como además :
P ( X µ) + P (X > µ) = 1 P ( X µ) = P (X > µ) = 1
2 " " es la mediana .
4º) También el parámetro "µ" es la moda de la distribución , pues al ser f(x) una
función del tipo exponencial , el máximo se alcanzará cuando el exponente sea
máximo ; y evidentemente [-( x - µ)2] es máximo , cuando x= µ.
5º) La demostración de que el coeficiente momento de curtosis vale "3" para
cualquier Distribución Normal , es quizás la más interesante , y parte de la
definición del coeficiente momento de curtosis para la población dado por:
= E X E X
Var X
( ( ))
( ( ))
4
2
E( X - E(X) )4= E (X4- 4 X3 E(X) + 6 X2 (E(X))2 - 4 X (E(X))3+ (E(X))4) =
E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2) (E(X))2 - 4 E(X) (E(X))3+ (E(X))4=
E (X4 ) - 4 E(X3) E(X) + 6 E(X2)(E(X))2 - 3 (E(X))4
Los tres primeros momentos ya se conocen, y el cuarto se obtiene derivando por
cuarta vez la función generadora de momentos, y evaluando en t=0 :
127 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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E(X4) = d M (t)
dt
4X
4
t 0
= 4 + 6 2 2+ 3 4
E( X - E(X) )4 = 4 + 6 2 2 + 3 4 -4( 3 + 3 2 ) + 6 ( 2 + 2) 2 - 3 4 =
3 4
y como Var (X) = 2 = 3
2 2
4
( ) = 3
Con relación al valor 0,263 para el coeficiente percentílico de curtosis , el mismo
sale de las tablas normales , pues como es sabido este coeficiente se calcula
mediante la expresión :
Coeficiente percentílico de curtosis = =
1
23 1
90 10
( )Q Q
P P
Según las tablas : Q3= µ + 0.674 ( 75% de área a la izquierda )
Q1 = µ - 0.674 ( 25% de área a la izquierda
P90= µ + 1.282 ( 90% de área a la izquierda )
P10= µ - 1.282 ( 10% de área a la izquierda )
Sustituyendo en la expresión, resulta el valor 0,263 antes señalado , para
cualquier curva normal , independientemente de sus parámetros .
ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE UNA DISTRIBUCION NORMAL
A lo largo de toda la obra se ha planteado el problema de la estimación de los
parámetros de una Distribución Normal .
Esta estimación resulta indispensable para estimar la capacidad del proceso , y
hemos visto que para el caso del parámetro " " no hay lugar a dudas de que la
media de la muestra " X " , resulta el mejor estimador ; mientras que para el
parámetro " 2" no existe un estimador óptimo .
La justificación teórica de esta situación es la siguiente:
128 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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Para estimar los parámetros de una distribución cualquiera, existen dos métodos
importantes : el de máxima verosimilitud y el de momentos .
La aplicación de cualquiera de estos dos métodos a la Distribución Normal, en
base a una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn proveniente de la variable "X",
conduce a los mismos estimadores , cuales son:
= Media Muestral = X =
Xi
i
i n
n1 ; 2 =Varianza Muestral = S2=
(X Xi
i
i n
n
)2
1
En efecto, al aplicar el método de máxima - verosimilitud a la Distribución
Normal , y en base a una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn, encontramos que la
función de verosimilitud viene dada por la función de densidad conjunta de la
muestra :
L(X1, X2 , ...., Xn) = 1
2
1
2
12
2
2
22 2e e
x xn( ) ( )
= 1
2
2
1
22n n
x
e
i
i
i n
( )
( )
Los estimadores son aquellos valores de los parámetros que le dan a la muestra
máxima verosimilitud, y para obtenerlos hay que maximizar a la función de
verosimilitud L(X1, X2 , ...., Xn), para lo que resulta más cómodo maximizar su
logaritmo, puesto que los productos se transforman en sumas lo que facilita la
derivación ,y por ser el logaritmo una función creciente , en donde éste alcance
su máximo , la función también .
Tomando logaritmos : ln L = - n ln - n
2 ln(2 ) -
( )xi
i
i n2
122
; y luego derivando
parcialmente para hallar los valores que maximizan resulta:
ln( )
ln( )
Lx
L nx
i
i
i n
i
i
i n
= 2 = 0
= - + 2 = 0
12
2
13
2
2
; simplificando:
( )
( )
x
-n
x
i
i
i n
i
i
i n
1
2
12
= 0
+ = 0
129 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
y al resolver el sistema, se obtienen los estimadores:
( )
x
n
x
nS
i
i
i n
i
i
i n
1
2
1
= X
=
X
= 2 2
Al analizar el Hessiano con las segundas derivadas , se comprueba que se trata
de un máximo .
El método de momentos también conduce a los mismos estimadores , tal como
se demuestra a continuación :
Según este método , los momentos muestrales se utilizan para estimar a sus
correspondientes poblacionales , y partir de esa estimación se obtiene la de los
parámetros .
Para la Normal , los momentos poblacionales son :
E X
E X
( )
( )2 2 2
mientras que los momentos muestrales son:
m
m
x
n
i
i
i n
1
2
2
1
X
Para hallar los estimadores por este método de momentos , es necesario
resolver el siguiente sistema para y 2 :
X
22
2
1
x
n
i
i
i n
cuya solución es:
( )
X
X =
X
= 2 2
x
n
x
nS
i
i
i n
i
i
i n2
1 2
2
1
130 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Esto demuestra que los dos métodos proporcionan los mismos estimadores,
pero sin embargo, el de 2 no es óptimo por la razón siguiente:
Un buen estimador puntual debe reunir cuatro requisitos:
a) Ser insesgado.
b) Ser consistente.
c) Ser suficiente.
d) Tener mínima varianza.
Cuando se examina a los estimadores anteriores a la luz de estas propiedades,
se encuentra que " X " las cumple todas, y por tanto es el mejor estimador
posible para " " .
Con S2 no ocurre lo mismo , pues no es ni insesgado ni de mínima varianza , y
por lo tanto no es un estimador óptimo para 2.
Para suplir esta deficiencia , se han propuesto otros estimadores , entre los
cuales el más importante es : 2 = Cuasivarianza Muestral = Sc2 =
( )x
n
i
i
i n
X 2
1
1
Este estimador tampoco es de mínima varianza , pero es insesgado , y por ello
algunos autores lo prefieren frente al de máxima verosimilitud.
En la bibliografía estadística es frecuente que se designe por S2 indistintamente
a uno u otro estimador , y se les llame a ambos "Varianza Muestral" , lo que
obviamente ocasiona una gran confusión a los lectores no enterados de la
problemática .
Otro estimador para " " es : = 2
x
n
i
i
i n
X1
Este estimador es insesgado , tal como se demuestra a continuación :
Sea: X N( ; 2) , y sea: Y = | X - | .
Como Y = | X - | , se tiene : Y =
( )
( )
X ; X
X ; X
si
si
131 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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Una de las propiedades del valor esperado establece que si Y = (X) , y "X" es
una variable aleatoria continua con función densidad f(x) , entonces el valor
esperado de la variable “Y” viene dado por : ( )f( )dxx x .
Aplicando esta propiedad al caso en que la variable “X” es una normal, se
obtiene:
E(Y) = ( )
( )
x e dx
x1
2
2
22 + ( )
( )
x e dx
x1
2
2
22 =
Por simetría: E(Y) = 21
2
2
22 ( )
( )
x e dx
x
Con el cambio de variable: z =x
se obtiene : E(Y) = 2 z e dz
z
02
1
2
2
E(Y) = -2
2
2
2
0
e
z
= 2
Basándonos en este resultado , tenemos entonces que para el caso de una
muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn , obtendremos entonces "n" desviaciones
absolutas Y1, Y2 , ...., Yn, cada una con valor esperado igual al obtenido
anteriormente .
Por tanto, si se define el estimador de " " como: = 2
X
n
i
i
i n
1=
2
Y
n
i
i
i n
1
se concluye que : E( )=2
E Y
n
i
i
i n
( )1
= 2
2 = ; lo que demuestra que
el estimador es insesgado .
Es importante recordar que sobre estimador se apoya la Prueba de Geary,
analizada en el segundo capítulo
Otros estimadores para " " son los basados en la gráfica de control (Pag. 64),
que son los que realmente se utilizan para estimar la capacidad del proceso:
132 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
= R
d2 Gráfico ( X , R) ; =
R
c4 Gráfico ( X , S)
La justificación teórica de estos estimadores será analizada más adelante.
FUNDAMENTO DE LAS TABLAS NORMALES
Es sabido de la Teoría de Probabilidad , que para encontrar la probabilidad de
que una variable aleatoria continua "X" , tome un valor dentro de un intervalo
[a,b] , es necesario integrar su función de densidad f(x) entre esos límites, lo que
da como resultado el área bajo la curva en el intervalo.
Cuando este concepto lo aplicamos a la curva normal , encontramos lo
siguiente:
Esta integral no ha podido ser resuelta por los métodos ordinarios de
integración, y se ha tenido que recurrir a métodos numéricos.
Si se resolviera la integral para valores particulares de los parámetros "µ" y " " ,
nos encontraríamos con el problema de que las tablas serían incompletas , pues
su uso estaría limitado a aquellas aplicaciones en donde los parámetros tomen
valores contenidos en la tabla .
La tipificación de la normal aparece entonces como una respuesta a la
necesidad de elaborar unas tablas generales , que puedan ser utilizadas para
cualquier valor de los parámetros .
La tipificación de la Normal puede ser demostrada por dos procedimientos
diferentes:
1º) Haciendo en la integral el cambio de variable: z =x
Por efecto de esta sustitución, la integral queda transformada en :
P (a X b) = e dz-
21
2
2
a
b z
133 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
En la nueva integral, los parámetros no aparecen dentro de la función a integrar,
y además se observa que esta función corresponde a la función de densidad de
una curva normal con = 0 y =1, que se define como la Normal Tipificada o
Estándar .
De lo anterior se deduce entonces que el área bajo la curva en una normal
cualquiera para un intervalo [ a , b ] , es igual al área bajo la normal tipificada
entre los límites a -
y b -
.
Las tablas dan el resultado de la integración numérica correspondiente a la
función de densidad de la normal tipificada desde "- " hasta un límite
cualquiera "z' , es decir su función de distribución: (z) = e dy-
21
2
2
zy
. y
éste es el fundamento del procedimiento explicado en el uso de las tablas
normales.
Con relación al uso de la tablas, es fácil ver por simetría las siguientes
relaciones entre las lecturas :
(-z) = 1 - (z)
D(z) = (z) - (-z) = (z) - ( 1 - (z) ) = 2 (z) -1
Los porcentajes de 68.27% , 95.42 % y 99.73 % dados en la Pag. 3 , y sobre los
cuales se apoya toda la Teoría de Gráficos de Control , salen de las tablas
Normales , pues para una Normal cualquiera al tipificarla se tiene :
P ( µ - X µ + ) = P ( -1 Z 1 ) = D ( 1 ) = 0.6827 .
P ( µ - 2 X µ + 2 ) = P ( -2 Z 2 ) = D ( 2 ) = 0.9545.
P ( µ - 3 X µ + 3 ) = P ( -3 Z 3 ) = D ( 3 ) = 0.9973 .
2º) Otra manera de demostrar la tipificación de la normal es a partir de su
función generatriz de momentos .
En efecto si X N(µ ; 2), y se define la variable Z = X -
La función generatriz de momentos de la variable "Z" será :
MZ(t) = E(et Z) = E( etX
)= E( etX
et
)=et
E( etX
)
134 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Teniendo en cuenta que la función generatriz de momentos para la Distribución
Normal , es: MX(t) = E(etX) = et t
1
22 2
, se deduce entonces que:
E( etX
) = Mx (t
( ) ) = e
t t1
22
2
2
= e
tt
1
22
; y por lo tanto :
MZ(t) =et
e
tt
1
22
= et
1
22
; que corresponde a la función generatriz de
momentos de una Distribución Normal con =0 y =1 , lo que demuestra que la
transformación Z = X -
convierte a una Distribución Normal cualquiera en la
Normal Tipificada , y de allí la razón de las tablas normales .
PROCESOS CENTRADOS
En el Capítulo I se estableció la conveniencia de que un proceso esté centrado ,
y posteriormente, al considerar la Capacidad del Proceso , se enunció el
siguiente Teorema:
" Dada una Distribución Normal con desviación típica " " , y un intervalo fijo [a,b], el
área bajo la curva en el intervalo será máxima cuando la media de la distribución
coincida con el punto medio del intervalo " .
Sobre este Teorema se fundamenta el hecho de que la capacidad máxima del
proceso se obtiene cuando está centrado. Su demostración es la siguiente:
Supongamos que tenemos un intervalo fijo [a ,b] , y que la media de la
Distribución está ubicada en un punto cualesquiera " " ; el área bajo en el
intervalo [a, b] será entonces una función de " " .
Designando por ( ) a la referida función, se tiene que :
( ) = 1
2a
b e dx
-(x- )
2
2
2
= e dz-
21
2
2
a
b z
= (b -
) - (a -
)
135 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Se busca aquel valor de " " que maximiza el área bajo la curva en el intervalo
[a, b] , para lo cual hay que derivar ( ) : ´( ) =1
( )b
+ 1
( )a
= 0
Como (z) representa la Función de Distribución de la Normal Tipificada, su
derivada ´(z) será su función de densidad , que como se sabe es :
´(z)= f(z) = 1
2 e
-z
2
2
La primera derivada de la función ( ) igualada a
cero proporciona entonces la siguiente ecuación:
´( ) = 1
1
2 e
-(b- )
2
2
2
+ 1
1
2 e
-(a- )
2
2
2
= 0 e-(b- )
2
2
2
= e-(a- )
2
2
2
.
lo que conduce a : b- = - ( a- ) , pues por hipótesis a b.
b- = - ( a- ) = a b
2 La primera derivada ´( ) se anula en el punto
central del intervalo [a ,b] .
Al hacer un análisis con la segunda derivada ´´( ) , se encuentra que para
= a b
2 se cumple: ´´( ) < 0 ,lo comprueba que en él se alcanza un máximo.
Cuando el teorema anterior se aplica al caso particular, en el que el intervalo fi jo
[a, b] está representado por los límites de la especificación [L I , LS] , se concluye
entonces que un proceso centrado tiene máxima probabilidad de producir una
pieza dentro de los límites de especificación, y por lo tanto tiene máxima
capacidad .
También se mencionó que en algunas oportunidades conviene descentrar el
proceso. Esta situación se da cuando el costo de una pieza defectuosa es
diferente por un lado que por el otro .
Para encontrar el punto donde debe ubicarse la media del proceso , en
situaciones como esta se procede como sigue :
Supongamos que la pieza debe encontrarse entre los límites de especificación
[LI , LS] , y que cuando cumple con la especificación el beneficio para la empresa
es de Bs. K, dado por la diferencia entre el precio de venta de una pieza buena y
el costo de producirla.
136 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Supongamos también que una pieza defectuosa puede ser corregida y llevada a
los límites de especificación, pero que debido al costo de la corrección el
beneficio disminuye .
Sea K1< K , el beneficio obtenido por una pieza que se encuentre por debajo del
límite inferior , y sea K2< K el beneficio obtenido por una pieza por encima del
límite superior . Estos valores se obtienen restando del precio de venta de una
pieza buena el costo de producirla y el costo de corregirla.
En caso de que la pieza no se pueda corregir por alguno de los dos extremos,
entonces K1 ó K2 serán negativos, y representan la pérdida por producir una
pieza defectuosa , que es su costo de producción .
Designando por "Y" al beneficio por producir una pieza, tenemos que su valor
esperado será :
E ( Y ) = K1 P ( X < LI ) + K P ( LI X LS) + K2 P ( X >LS) = ( )
Este valor esperado es una función ( ) de la media del proceso, y lo que se
busca es aquel valor de “ “ que maximiza la ganancia esperada .
Tipificando a la variable "X" se obtiene:
( ) = K1 P ( Z < LI
) + K P (LI
X LS
) + K2 P ( X >LS
)
( ) = K1 (LI
) + K [ (LS
) - (LI
)]+ K2 [1- (LS
)] =
( ) = (K1 -K) (LI
) + ( K- K2 ) (LS
) + K2
Al derivar para hallar el valor de “ ” que maximiza, resulta :
´( ) = (K1 -K) (-1
) ´(LI
) + ( K- K2 ) (-1
) ´(LS
) = 0
Teniendo en cuenta que ´(z) representa la función de densidad de la Normal
Tipificada, y simplificando , resulta :
(K1 -K) e-(L - )
2
I2
2
+ ( K- K2 ) e-(L - )
2
S2
2
= 0 ( K- K2 ) e-(L - )
2
S2
2
= (K -K1) e-(L - )
2
I2
2
+
137 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
ln( K- K2 )( -(L - )
2
S2
2) = ln(K -K1) ( -
(L - )
2
I2
2)
Al despejar de esta expresión, se obtiene : = L LI S
2 +
2
L LS I ln
K K
K K
1
2
Esta fórmula es muy importante, pues permite determinar el punto donde debe
ubicarse la media del proceso para obtener el máximo beneficio esperado , y en
ella puede verse que cuando K1 = K2 , es decir cuando el beneficio o la pérdida
es el mismo a ambos lados de la distribución , el proceso debe estar centrado.
De esta fórmula también se deduce que cuando K1 < K2 , es decir cuando el
beneficio es mayor del lado derecho que del izquierdo , que es la situación más
frecuente pues las defectuosas por la izquierda por lo general son incorregibles,
entonces la media del proceso debe estar corrida hacia la derecha .
TAMAÑO DE MUESTRA REQUERIDO PARA UNA PRUEBA BILATERAL DE
MEDIA
La justificación de la fórmula dada en el Capítulo II , es la siguiente :
En una prueba de hipótesis del tipo : Ho
H
:
:
0
1 0
con varianza 2 conocida , la zona de aceptación es : z n z/ /20
2X
es decir : 0 2zn
/ X 0 2zn
/
Si el proceso se desajusta y pasa a producir con una media 1, se quiere que la
probabilidad de no detectar tal desajuste y seguir aceptando que = 0, sea
apenas " " ,es decir: P( 0 2zn
/ X 0 2zn
/ = 1) = .
Supongamos que 1 > 0, es decir que la media se corrió hacia la derecha.
138 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Despreciando el área a la izquierda del límite
0 2zn
/ ; se tiene que el área bajo la zona de
aceptación de H0 es
Teniendo en cuenta para tipificar , que la varianza de la media muestral " X " es
2
n , se obtiene :
0 2 1zn
n
/
= - z .
Al despejar “n” , se llega a la fórmula: n = ( )
( )
/z z
22 2
12
0
A una fórmula idéntica se llega, si se supone que la media se corrió hacia la
izquierda.
DISTRIBUCION DEL RANGO MUESTRAL
La obtención de los diferentes coeficientes utilizados en la construcción de un
gráfico de control ( X , R ) , así como la posterior estimación de los parámetros del
proceso , está fundamentada en la distribución de la variable aleatoria "Rango
Muestral " .
Por este motivo , no es posible explicar la teoría que sustenta la construcción de
tales gráficas , sin antes analizar este problema .
Como es sabido , el Rango de una muestra aleatoria X1, X2 , ...., Xn, es un
estadístico definido como :
R = Máximo { X1, X2 , ...., Xn } - Mínimo { X1, X2 , ...., Xn } .
Para hallar la distribución de "R" , comencemos por encontrar la distribución de
139 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
U = Máximo { X1, X2 , ...., Xn } y la de V = Mínimo { X1, X2 , ...., Xn } , para un
caso general , en donde la variable observada "X" , tiene una función de
densidad continua cualesquiera f(x) .
Estamos en presencia de un caso de una función de variables aleatorias, y
aplicando el método de la "Función de Distribución" , para la variable "U" :
G(u) = P (U u) = P(X1 u X2 u ...... Xn u ) = [P(X u)]n
P(X u) = f xu
( )dx G(u) = ( ( )dx)f xu n
Al derivar para obtener la función de densidad de “U” resulta:
g(u) = n f f xu n (u) ( ( )dx) 1
Al proceder de manera análoga con “V” se obtiene:
H(v) = P (V v) = 1 - P (V > v) = 1- P(X1 > v X2 > v ...... Xn > v )
= 1 - [P( X > v)] n .
P( X > v) = f xv
( )dx H(v) = 1 - ( ( )dx)f xv
n h(v) = n f v f xv
n ( ) ( ( )dx) 1
Como las variables "U" y "V" no son independientes, no es posible multiplicarlas
para hallar su función de densidad conjunta, y de allí obtener la función de
densidad de R = U - V .
El razonamiento para encontrar (u,v) , función de densidad conjunta entre U y
V , es el siguiente:
Para que "U" caiga en el intervalo (u , u +du) , y simultáneamente "V" en el
intervalo (v , v + dv) , es necesario que una cualquiera de las "n" observaciones
caiga en (u , u +du) , otra cualquiera en (v , v + dv), y las ( n- 2) restantes en el
intervalo ( v + dv, u) .
Tomando en cuenta que tenemos "n" observaciones de "X" , y que la menor
puede ser cualquiera de ellas , la mayor cualquier otra , y las intermedias las
(n - 2) restantes, el número de permutaciones entre las observaciones es según
la fórmula multinomial: n!
1 1 2 ! ! ) !(n-= n (n-1)
140 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
La probabilidad de que los eventos anteriores ocurran es :
(u,v) du dv = n (n-1) [ f(u) du ] [ f(v) dv] ( ( )f x dxv
u n
)2
.
y en consecuencia : (u,v) = n (n-1) f(u) f(v) ( ( )f x dxv
u n
)2
.; v u
(u,v) = n (n-1) f(u) f(v) ( F(u) - F(v)) n-2.; v u
Una vez encontrada la función de densidad conjunta entre U y V , ya es posible
hallar la función de densidad del Rango R = U - V , aplicando nuevamente el
método de la función de distribución , según el cual :
Q ( r ) = P ( R r ) = P ( U - V r ) = P ( U V + r )
Esta probabilidad se calcula por integración de la función conjunta:
Q ( r ) = nv
v r(n )1 f(u) f(v) ( F(u) - F(v)) n-2 du dv
Q( r ) = n (n -1) f v( )dv fv
v r(u) ( F(u) - F(v)) n-2 du
La segunda integral puede ser resuelta mediante la sustitución : y = F(u) , pues
dy = f(u) du , y cambiando los límites de integración resulta :
Q( r ) = n (n -1) f v( )dv ( ))( )
( )y F(v dyn
F v
F v r 2
Q( r ) = n f v F(v r F(v dvn( )( ) )) 1
Por último, al derivar la función de distribución Q(r) , se obtiene la función de
densidad " q(r) " para el rango muestral , y resulta :
q( r ) = n ( n -1 ) f v F(v r F(v f v rn( )( ) )) ( )dv2 ; r 0
Cuando la expresión anterior se aplica al caso de la Distribución Normal, el
problema adquiere una dimensión muy compleja desde el punto de vista
141 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
matemático, pues su función de densidad f(x), no es posible integrar, y por lo
tanto no es posible obtener expresiones analíticas exactas para las funciones
F(v+r) ni F(v) .
Para resolver tal situación, existen algunas expresiones, obtenidas por
desarrollos en serie u otros métodos numéricos, que permiten con bastante
exactitud aproximar a f(x) ó a F(x) .
Una de tales fórmulas, es por ejemplo la siguiente:
(z) 1 - 1
2
83 351 562
703165
e
z z
z
( )
; 0 < z < 5.5
Esta fórmula permite generar la tabla de la Función de Distribución para la
Normal Tipificada , con valores de "z" comprendidos entre 0 < z < 5.5 , con un
error relativo inferior al 0,042% .
Teniendo en cuenta que F(x) = ( x
) , y mediante el uso de fórmulas
polinómicas aproximadas para desarrollar en serie una función exponencial , es
posible resolver la integral para " q(r) " , y luego obtener el valor esperado del
rango muestral mediante la resolución de la integral.
E(R) = r0
q(r) dr =d2
El valor esperado del Rango Muestral resulta proporcional a " " ; ésta
constante de proporcionalidad , es la que se designa por el coeficiente "d2" en
las respectivas tablas , y su valor obviamente depende de "n" .
Cuando se construye la gráfica ( X , R) , el Rango Medio " R " de los diferentes
subgrupos es un estimador de E(R) , pues la media muestral de cualquier
variable es siempre un estimador insesgado de su valor esperado , y de allí la
justificación del procedimiento descrito, según el cual :
E(R) = R = d2 = R
d2
A partir de " q(r) " se obtiene tambíen la "Desviación Típica del Rango Muestral",
que se necesitará luego para determinar los límites de control correspondientes
a "R", que también resulta proporcional a " " , siendo "d3" la constante de
proporcionalidad .
142 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
E(R2) = r q2
0(r)dr ; Var ( R ) = E(R2) - [ E(R) ]2 ; y se llega a R= Var R( ) =d3
El valor numérico del coeficiente "d3" depende de "n" , y se encuentra en las
tablas de "Constantes para las Gráficas de Control".
Lamentablemente no existe una fórmula general que permita generar el valor de
los coeficientes d2 y d3 en función del tamaño de muestra "n" , y es necesario
calcularlos evaluando la integral por métodos numéricos , para cada valor de "n"
.
Para el caso particular n=2 , es posible calcular el valor de los coeficientes “ d2 “
y “d3”,sin necesidad de métodos numéricos , mediante el siguiente
razonamiento:
En este caso, el rango muestral , puede definirse como: R = | X2 - X1|
siendo X1 y X2 dos observaciones independientes provenientes de un proceso
normal , con media µ y varianza 2 .
Por ser la variable Y = X2 - X1 una combinación lineal entre dos normales
independientes obtenemos que: Y ( 0 ; 2 2) (Veáse Pag. 118) , y además
R = | Y | .
Al ser la variable "Y" una normal de media "0" y varianza 2 2, podemos aplicar la
propiedad ya demostrada, y obtenemos:
E(R) = 2
2 = 2
Se definió "d2" como la constante de proporcionalidad entre E(R) y " " , por tanto
, para el caso n=2 se tiene: d2 = 2
= 1.128 ; tal como aparece en las tablas .
Para hallar la varianza del Rango Muestral , se tiene:
Var ( R ) = E(R2) - [ E(R) ]2 ;
E(R2) = E(X2- X1)2= E(Y2) = Var (Y) ; por tener "Y" valor esperado igual a cero.
Pero Var (Y) = 2 2 E(R2) = 2 2 y por tanto :
Var ( R ) =2 2 - 4 2 = (2
4 2 )
143 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
"d3" se definió como la constante de proporcionalidad entre R = Var R( ) , y .
Por tanto para el caso n=2 : d3= 24
= 0.853
LIMITES DE CONTROL PARA LA GRAFICA ( X , R)
Cuando se elabora una gráfica ( X , R) y resulta estar bajo control , lo que se
está haciendo en realidad , es una prueba de hipótesis bilateral para la media
del tipo: Ho
H
:
:
0
1 0
en donde 0 es la “Gran Media” , representada por la media
histórica del proceso; de forma que cuando la muestra cae entre los límites de
control para la media , lo que se está aceptando es que el proceso está
operando sin cambios significativos con relación a la forma como lo venía
haciendo en el pasado.
Si la varianza " 2 " del proceso fuera conocida , esta hipótesis resultaría
aceptada cuando : 0 2zn
/ X 0 2zn
/
Los dos extremos de este intervalo definen los límites de control para la media
de la muestra , con las siguientes modificaciones :
a) 0 está representado por la “Gran Media “ X ”
b) Z /2 = 3, lo que trae como consecuencia que el nivel de significación de la
prueba sea de apenas 0.27% , o lo que es lo mismo , en caso de que no exista
un corrimiento real de la media con relación a su promedio histórico , la muestra
tiene una probabilidad de 99.73 % , de caer entre los límites de control .
c) Como el valor de " " es desconocido, se sustituye por su correspondiente
valor estimado a partir del gráfico de control, que tal como hemos visto es
= R
d2 .
Por las aproximaciones anteriores, se obtiene que los límites del intervalo de
aceptación para la Hipótesis son:
U C L. . X 0 2zn
/ = X + 3 R
d n2 = X + A2 R
144 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
L C L. . X = 0 2zn
/ = X - 3 R
d n2= X - A2 R
En consecuencia, tenemos que la justificación del coeficiente A2 es:
A2 = 3
2d n
Con relación a los límites de control para el rango, lo que se hace es definir el
intervalo R ± 3 R, que en realidad no tiene una probabilidad de 99.73% para el
"Rango Muestral" , pues éste no sigue una Distribución Normal .
Teniendo en cuenta que : R = d3 , y que el valor estimado de " " es = R
d2,
se obtiene que : R = d3 R
d2 .
Los límites de control para el "Rango Muestral" serán entonces :
U C LR. . = R+ 3 R = R dR
d + 3 3
2 = (1+ )
3 3
2
d
d R = D4 R
L.C.LR = R - 3 R = R dR
d - 3 3
2 = (1- )
3 3
2
d
d R = D3 R
La relación entre los coeficientes es en consecuencia :
D4= 1 +3 3
2
d
d ; D3 = 1-
3 3
2
d
d 0
JUSTIFICACION DE LA GRAFICA ( X ,S)
Para justificar la metodología de construcción de una gráfica ( X ,S), es necesario
hallar primero la Distribución estadística de la variable aleatoria "S" , al igual que
como se hizo antes con la variable aleatoria "R" .
Para hallar esta Distribución , partimos de una ya conocida que es la de "S2 "*4.
145 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
En efecto , en la Inferencia Estadística se demuestra mediante la aplicación de
"Formas Cuadráticas" , que la variable (n )S1 2
2 se distribuye como una Chi -
Cuadrado con (n-1) grados de libertad .
Designando por "U" a la referida variable tenemos entonces :
U =(n )S1 2
2 2 (n-1)
La función de densidad de "U" es conocida , y su expresión es :
f(u) = 1
1
22
1
2
1
21
2
( )n
u en
n u
; u>0
y puesto que la variable "S" , esta relacionada con "U" a través de :
S = U
n 1
se cae en un problema de " Funciones de variables aleatorias" , en donde se
quiere hallar la función de densidad de "S" a partir de la de "U" .
Para resolverlo , se aplica el método de la Función de Distribución , y se obtiene:
G(s) = P ( S s) = P ( U
n 1 s ) = P ( U
ns
12
2 )
G(s) = 1
1
22
1
2
1
21
20
12
2
( )n
u e dun
n uns
Esta integral corresponde a la "Función de Distribución" de la variable "U" , en el
valor n
s1
22 , es decir : G (s) = F (
ns
12
2 ) .
Por derivación de G(s) , se obtiene la función de densidad correspondiente a "S"
, y resulta :
g ( s) = G´ (s) = F´ (n
s1
22 )
2 12
(n ) s =
2 12
(n ) s f(
ns
12
2 )
146 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
g ( s) = 1
1
22
1 2 11
2
22
1
21
1
22
2
2
( )
)(n )
n
ns e s
n
n ns
(
Al simplificar, se obtiene el resultado buscado, función de densidad de la
variable aleatoria "S" :
g(s)=1
1
22
13
2
2
1
2
1
2 22
2
( )
)n
ne s
n
n ns
n
(
; s 0
El valor esperado de "S" es en consecuencia: E(S) = s g(s) ds0
E(S) = sn
ne s ds
n
n ns
n
o
( 1
1
22
13
2
2
1
2
1
2 22
2
( )
)
Esta integral puede ser resuelta mediante la sustitución: y = n
s1
2 22
Hecha la sustitución, y las simplificaciones algebraicas de rigor , se llega a:
E(S) = 1
1
2
21
0( )n
y dy
n-y
2
n -1 e
La integral obtenida es justamente ( )n
2 , y por lo tanto :
E(S) = 1
1
2
2( )
( )n
n
2
n -1 = c4
en donde el coeficiente c4 , viene dado por la expresión : c4 = ( )
( )
n
n2
1
2
2
n -1
147 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Las tablas lo que hacen es computar el valor de c4 , para diversos valores del
tamaño de muestra "n" , y así por ejemplo :
Para n=2 c4 = ( )
( )
2
1
2
2 c4 = 1
2 =2
= 0.7979
Para n=5 c4 = c4 =( )
( )
5
22
2
4
3
2
1
2 3
4 2
2 = = 0.9400
Una mayor explicación sobre las propiedades de la Función Gamma, puede
encontrarse en los textos de "Cálculo Avanzado" , como por ejemplo el de
Murray R. Spiegel , de la colección Schaum de la Editorial Mac.Graw Hill .
Una vez encontrado E(S) , es necesario ahora hallar Var ( S) , a fin de poder
calcular los límites de control para "S" .
Como Var (S) = E (S2) - [ E(S)]2 , se plantea el problema de calcular E (S2) , el
cual pudiera ser resuelto , resolviendo la siguiente integral : E (S2) = s g s2
0( )ds
Este camino es sin embargo muy complicado, y resulta mucho más sencillo para
encontrar E (S2), aprovechar la demostración que se hace en “Inferencia
Estadística” , para comprobar que S2 , es un estimador insesgado para 2, y
según la cual : E (S2) = 2 .
En conclusión : Var ( S ) = 2 - c42 2 = (1 - c4
2 ) 2 s c1 42
Al tener E(S) y s ,ya se está en condiciones de justificar los límites de control
para la gráfica ( X ,S).
Como ya se explicó antes, la gráfica es realidad una Prueba de Hipótesis
bilateral para la media, del tipo: Ho
H
:
:
0
1 0; en donde si
la varianza " 2" del proceso fuera conocida , H0 resultaría aceptada cuando :
0 2zn
/ X 0 2zn
/
Se hacen las mismas consideraciones anteriores, y se tiene:
148 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
a) 0 está representado por la “Gran Media “ X
b) Z /2 = 3.
c) Como el valor de " " es desconocido, hay que estimarlo, y en dicha
estimación es en donde se diferencia ésta gráfica con la ( X ,R).
Se demostró que : E(S) = c4 , y se sabe que la media de las desviaciones
típicas muestrales S , es un estimador insesgado de E(S) . Por lo tanto :
E S( ) = S = c4 = S
c4
Sustituyendo el valor estimado , en los límites de aceptación para H0, se
obtienen los límites de control , y resulta:
U C L. . X 0 2zn
/ = X + 34
S
c n = X + A3 S
L C L. . X = 0 2zn
/ = X - 34
S
c n = X - A3 S
En consecuencia , tenemos que la justificación del coeficiente A3 es :
Ac n
34
3
Con relación a los límites de control para la desviación típica muestral , la
justificación es prácticamente la misma que para el Rango Muestral, y están
basados en el intervalo S ± 3 s , que a pesar de no tener una probabilidad de
99.73% por no ser la variable "S" una Distribución Normal , tiene según la
Desigualdad de Chebyshev una probabilidad de por lo menos 88.89% de
contener al valor de "S" de una muestra aleatoria , proveniente de un proceso
bajo control.
Teniendo en cuenta que : s c1 42 , y que el valor estimado de “ ” es:
= S
c4, se obtiene que : s c
S
c1 4
2
4
Los límites de control para el "Rango Muestral" serán entonces :
149 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
U C L S S cS
cs s. . 3 3 1 4
2
4 = + = B4 S
L C L S S cS
cs s. . 3 3 1 4
2
4 = - = B3 S
La relación entre los coeficientes es en consecuencia :
Bc
c4
42
41
3 1 ; B
c
c3
42
41
3 10
EFECTOS DE LA NO NORMALIDAD
Una gran limitación de las gráficas de control es el supuesto de normalidad para
la Distribución subyacente.
Esta limitación ha quedado manifiesta en este capítulo, donde todas las
demostraciones anteriores, parten del supuesto de que f(x), función de densidad
para la característica de calidad de las piezas individuales, es la correspondiente
a una Distribución Normal .
Evidentemente si este axioma no se cumple, toda la teoría anterior pierde su
fundamento.
Algunos autores han investigado el efecto de la no normalidad sobre la teoría de
los gráficos de control, especialmente en los ( X ,R).
A continuación se transcribe textualmente lo que el Dr. Douglas C. Montgomery
dice sobre el particular , en su texto : "Control Estadístico de la Calidad" :
«Varios autores han estudiado el efecto de las desviaciones respecto de la normalidad, en
los diagramas de control. Burr ( 1967) hace notar que las constantes de los límites de
control según la teoría normal común, son muy sólidas respecto a la suposición de
normalidad, y pueden utilizarse a no ser que la población sea extremadamente anormal.
Schilling y Nelson ( 1976) también estudiaron el efecto de lo no normalidad sobre los
límites de control del diagrama de x . Investigaron la Distribución uniforme, la de
triángulo recto, la gamma ( con = 1 , r = 1/2 , 1, 2, 3 y 4), y dos bimodales, formadas
por la combinación de dos distribuciones normales. Su estudio indica que en la mayoría
de los casos, es suficiente con utilizar muestras de tamaño 4 ó 5 para asegurar una solidez
razonable con respecto a la suposición normal. Los peores casos se observaron para
valores pequeños de "r" en la distribución gamma [ r = 1/2 y r =1(la distribución
150 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
exponencial)] . Por ejemplo, tales investigadores informan que el riesgo " " real es de
0.014 ó menos, si n 4 para la distribución gamma con r = 1/2 , en contraste con un
valor teórico de 0.0027 para la distribución normal.
Mientras que el uso de límites de control de tres sigma en el diagrama de X producirá un
riesgo " " de 0.0027 si la distribución subyacente es normal, no se puede decir lo mismo
para el diagrama de R. La distribución muestral de R es asimétrica, incluso en un
muestreo a partir de la distribución normal, y la larga extremidad (o cola) se encuentra en
el lado alto o positivo. Por lo tanto, los límites simétricos de tres sigmas son solamente
una aproximación, y el riesgo " " en tal diagrama de R no es igual a 0,0027. ( en realidad
, para n = 4 , es de = 0.000461). Además, el diagrama de R es más sensible a
desviaciones respecto a la normalidad que el diagrama de X . »
Una alternativa frente a la no normalidad son los métodos no paramétricos , o
libres de distribución , pero tienen el inconveniente de requerir mayores tamaños
de muestra .
En los artículos incluidos en el apéndice se hace referencia a estos métodos .
RELACION MATEMATICA ENTRE LOS COEFICIENTES DE CAPACIDAD
En el capítulo IV se estableció que entre los coeficientes CP y CPK , existe una
relación matemática dada por: CPK= CP ( 1 - k )
Su demostración es la siguiente:
"k" es el "índice de localización " , definido por : KT
2
donde: = Corrimiento de la media = - 0
0 = Punto central de la especificación = L LI S
2.
= Media real del proceso.
T = Tolerancia en las especificaciones = LS - LI .
151 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Por definición : CL L
ps I
6
T
6 T = 6 CP k
C Cp p
2
6 3 (1*)
Además: CPK = mínimo entre L Ls i
3 3 ;
-
Si el proceso está corrido hacia la derecha: CL
pks
3 LS - =3 CPK
Pero tal como puede apreciarse en la gráfica:
LS - = T
2
T
2= 3 CPK
TCpk
23
Sustituyendo en 1* resulta: k
TC
C
C C
C
C C
C
pk
p
p pk
p
p pk
p
23
3
3 3
3
Al despejar CPK resulta: k CP = CP - CPK CPK= CP ( 1 - k )
Si el proceso está corrido hacia la izquierda: CL
pkI
3
y procediendo de manera análoga, se llega a idéntico resultado ; lo que
completa la demostración de que para ambos casos se verifica: CPK= CP ( 1 - k )
FUNCION LINEAL DE VARIABLES NORMALES
En el capítulo IV , se enunció el siguiente Teorema :
Si X1 , X1 .... Xn son variables aleatorias independientes , y normalmente
distribuidas , entonces una función lineal de ellas :
Y = a0 + a1 X1 + a2 X2+ .... + an Xn
152 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
también seguirá una Distribución normal , y sus parámetros son :
Y = a0 + a1 1 + a2 2+ .... + an n
Y2 = a1
2 12 + a2
2 22 + .... + an n
2 2
Su demostración es la siguiente:
Sea MY(t) = E (e tY) ; la función generadora de momentos correspondiente a la
variable "Y" . Desarrollando se obtiene :
MY(t)=E et a a X a X a Xn n( )( )0 1 1 2 2 E e ta a tX a tX a tXn n( )( )0 1 1 2 2 E e e eta ta X ta Xn n( )0 1 1
Al ser variables aleatorias independientes, el valor esperado del producto es
igual al producto de los valores esperados, y por lo tanto:
MY(t) E e E e E eta ta X ta Xn n( ) ( ) ( )0 1 1 = e E e E eta ta X ta Xn n0 1 1( ) ( )
Cada uno de los valores esperados resultantes, corresponde a una función
generadora de momentos, pero evaluada en ait, es decir : E etaXi i( )= M a tX i i( )
Se sabe que para una Normal, su función generatriz de momentos es:
M t E e eXtX t t
i
ii i
( ) ( )
1
22
M a t E e eXta X a t a t
i i
i ii i i i
( ) ( )
1
22 2 2
y por lo tanto , la función generadora de momentos para "Y" va a resultar:
M t e e eYa t a t a t a t a tn n n n
( ) 01 1 1
212 2 2 2 2
1
2
1
2 = ea a t a ti i
i
i n
ii
i n
i( ) ( )01
2
1
2 21
2
La función generadora de momentos obtenida para la variable "Y" , corresponde
justamente a la de una Distribución Normal , con parámetros:
Y
Y
a a
a
i i
i
i n
i ii
i n
0
1
2 2 2
1
;
tal como se quería demostrar.
153 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
CAPITULO VI : CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
1º) Para realizar un estudio de capacidad es requisito indispensable elaborar
como paso previo un gráfico de control, con el objeto de verificar la estabilidad
del proceso.
En general , es preferible utilizar un gráfico ( X , R) , a menos que por razones
técnicas sea necesario mantener un control más estricto sobre la variabilidad del
proceso, en cuyo caso debe utilizarse uno ( X , S) .
La formación de subgrupos debe hacerse de manera que cada uno de ellos sea
lo más homogéneo posible, y que exista una gran probabilidad de variación de
un subgrupo a otro , para lo cual es recomendable tomar las muestras de cada
subgrupo a partir de la producción de un período breve de tiempo , o de un
mismo lote.
2º) Existen dos metodologías importantes para evaluar la capacidad de un
proceso de producción , que son:
a) A partir del gráfico de control.
b) A partir del histograma.
Ambas metodologías tienen ciertas limitaciones en su fundamentación teórica, y
por ser complementarias, lo recomendable es utilizar ambas, a fin de obtener
una mejor estimación de la capacidad del proceso.
Una evaluación hecha por una sola de las metodologías, tiene el inconveniente
de estar basada en unos supuestos, de los cuales no se tiene una razonable
certeza, de que el proceso o la muestra los cumple.
3º) No existen en las Normas ISO-9000 señalamientos acerca de la metodología
a seguir para evaluar la capacidad del proceso , ni tampoco acerca de los
valores mínimos exigidos para los indicadores de su capacidad .
Lo recomendable es que el organismo competente señale pautas sobre el
particular, ya que actualmente la certificación de la capacidad del proceso , a los
fines de dar cumplimiento a lo previsto en la Norma ISO-9000 , queda a criterio
del auditor .
4º) Los indicadores de capacidad deberían ser estimados por intervalos, y la
certificación de capacidad mediante pruebas de hipótesis..
154 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Esta recomendación permitiría que el auditor tome una decisión más racional
con relación a la certificación de capacidad..
Como este problema se encuentra en fase de desarrollo, una recomendación
para la Universidades e Institutos de Investigación, es que inicien un análisis
más a fondo del problema, a fin de desarrollar una nueva metodología que
permita establecer de una manera más precisa que la actual, los requisitos que
debe reunir un proceso de producción, para que le sea concedida la certificación
de capacidad.
5º) La condición óptima de operación de un proceso es cuando está centrado ,
pues en éste punto su capacidad de calidad es máxima .
En conclusión, los responsables de la calidad del proceso deben canalizar su
esfuerzos para tratar de lograr un proceso centrado; con la única excepción de la
situación en que el costo de corregir una pieza defectuosa es diferente para
cada extremo, en cuyo caso, la media de operación del proceso debe
determinarse por la fórmula dada en el capítulo IV.
6º) Es recomendable la realización de experimentos con el proceso, a fin de
poder detectar los factores que lo afectan de manera significativa, y reducir así
su variabilidad.
La cláusula de la Norma ISO-900O (ver Introducción) así lo sugiere , y por lo
tanto un estudio de capacidad solamente , no es suficiente para dar
cumplimiento a lo establecido en ella .
7º) La revisión de las especificaciones del proceso es también otra
recomendación muy importante , pues el estudio de capacidad supone que son
conocidas .
Un error en la fijación de las especificaciones ocasiona consecuencias
gravísimas en la evaluación de la capacidad del proceso, y por ello es muy
importante que estén perfectamente definidas.
8º) Otra recomendación importante para las empresas de producción, es la que
se refiere a la formación de su personal en Métodos Estadísticos.
A lo largo de toda la obra hemos visto como la evaluación de capacidad exige el
manejo de numerosas destrezas en técnicas estadísticas, para cuya realización
se requiere un entrenamiento adecuado del personal.
Esta recomendación es extensible también a las Facultades de Ingeniería,, ya
que en los planes de estudio de las diversas especialidades de Ingeniería , es
155 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
frecuente encontrar que la enseñanza de la Estadística no existe , o está
minimizada.
Si se toma en consideración que el Ingeniero es por lo general, el profesional
llamado a gerenciar los procesos de producción, resulta obvio que para poder
establecer metas de calidad en la producción industrial, debe fortalecerse su
formación en esta disciplina.
COMENTARIO FINAL
Un estudio de capacidad no puede ser visto como un hecho aislado con el
propósito de aprobar una auditoría , y lograr una certificación de calidad ; debe
formar parte de un programa continuo de mejoramiento de la calidad, en donde
el liderazgo gerencial es de vital importancia .
Las técnicas de control y mejoramiento de procesos no son métodos que se
aplican una vez, sólo cuando el proceso está en problemas, sino que deben
tener un carácter permanente, para lo cual se requiere el apoyo decidido de la
gerencia .
La participación y el compromiso de la gerencia constituyen el paso más
importante en todo el proceso de mejoramiento. La gerencia desempeña un
papel modelo, y el resto de la organización la considerará como guía y ejemplo.
El trabajo en equipo es también muy importante, pues la identificación de los
factores que afectan el comportamiento del proceso requiere del concurso de
todo el personal involucrado.
Una de las tareas clave en la aplicación de los diagramas de control estadístico,
es la determinación de las variables apropiadas sobre las cuales se debe aplicar
el control, así como también los puntos del proceso de producción , en los que
debe establecerse el control; y para ello se requiere de un adecuado trabajo en
equipo .
Un programa de Control Estadístico de Procesos debe reunir los siguientes
requisitos para que pueda tener éxito:
1. Liderazgo gerencial.
2. Trabajo en equipo.
3. Educación del personal a todos los niveles.
156 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
4. Enfasis en el mejoramiento continuo..
Todos los miembros de la gerencia y del equipo, deben recibir capacitación
relativa a las herramientas apropiadas para el mejoramiento del proceso.
Un diagrama de flujo del proceso para mejorar su entendimiento acerca de la
forma como opera, es un buen método para analizarlo, y para establecer los
puntos donde podrían aplicarse con provecho los controles.
También es importante desarrollar criterios de medición relativos a las variables
claves, para lo cual se debe contar con equipos de laboratorio adecuadamente
calibrados.
En este sentido es muy importante también contar con normas y procedimientos
escritos acerca de la forma como deben hacerse estos ensayos y mediciones,
ya que si no existe uniformidad, ésta variabilidad se reflejará injustamente
como una variabilidad del proceso, y en consecuencia en una inadecuada
evaluación de su capacidad..
Por último, es importante recordar que el contenido de esta obra sólo considera
los aspectos relativos al estudio de capacidad, pero que esto es sólo uno de los
muchos aspectos que evalúa la Norma ISO-9000, y que por lo tanto su
cumplimiento no garantiza la obtención de la correspondiente certificación de
calidad.
La evaluación del sistema de calidad hecho por la norma ISO-9000 es
muchísimo más amplia, y obedece a un concepto más global como es el de
CALIDAD TOTAL.
157 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Tabla N° 1: Area bajo la Distribución Normal Estándar entre 0 y z.
z ,00 ,01 ,02 ,03 ,04 ,05 ,06 ,07 ,08 ,09
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879
0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389
1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319
1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767
158 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936
2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986
3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
159 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
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Tabla 2: Diferentes áreas bajo la curva normal estándar
z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)
0,01 0,5040 0,4960 0,0080 0,51 0,6950 0,3050 0,3899
0,02 0,5080 0,4920 0,0160 0,52 0,6985 0,3015 0,3969
0,03 0,5120 0,4880 0,0239 0,53 0,7019 0,2981 0,4039
0,04 0,5160 0,4840 0,0319 0,54 0,7054 0,2946 0,4108
0,05 0,5199 0,4801 0,0399 0,55 0,7088 0,2912 0,4177
0,06 0,5239 0,4761 0,0478 0,56 0,7123 0,2877 0,4245
0,07 0,5279 0,4721 0,0558 0,57 0,7157 0,2843 0,4313
0,08 0,5319 0,4681 0,0638 0,58 0,7190 0,2810 0,4381
0,09 0,5359 0,4641 0,0717 0,59 0,7224 0,2776 0,4448
0,10 0,5398 0,4602 0,0797 0,60 0,7257 0,2743 0,4515
0,11 0,5438 0,4562 0,0876 0,61 0,7291 0,2709 0,4581
0,12 0,5478 0,4522 0,0955 0,62 0,7324 0,2676 0,4647
0,13 0,5517 0,4483 0,1034 0,63 0,7357 0,2643 0,4713
0,14 0,5557 0,4443 0,1113 0,64 0,7389 0,2611 0,4778
0,15 0,5596 0,4404 0,1192 0,65 0,7422 0,2578 0,4843
0,16 0,5636 0,4364 0,1271 0,66 0,7454 0,2546 0,4907
0,17 0,5675 0,4325 0,1350 0,67 0,7486 0,2514 0,4971
0,18 0,5714 0,4286 0,1428 0,68 0,7517 0,2483 0,5035
0,19 0,5753 0,4247 0,1507 0,69 0,7549 0,2451 0,5098
0,20 0,5793 0,4207 0,1585 0,70 0,7580 0,2420 0,5161
0,21 0,5832 0,4168 0,1663 0,71 0,7611 0,2389 0,5223
160 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
0,22 0,5871 0,4129 0,1741 0,72 0,7642 0,2358 0,5285
0,23 0,5910 0,4090 0,1819 0,73 0,7673 0,2327 0,5346
0,24 0,5948 0,4052 0,1897 0,74 0,7704 0,2296 0,5407
0,25 0,5987 0,4013 0,1974 0,75 0,7734 0,2266 0,5467
0,26 0,6026 0,3974 0,2051 0,76 0,7764 0,2236 0,5527
0,27 0,6064 0,3936 0,2128 0,77 0,7794 0,2206 0,5587
0,28 0,6103 0,3897 0,2205 0,78 0,7823 0,2177 0,5646
0,29 0,6141 0,3859 0,2282 0,79 0,7852 0,2148 0,5705
0,30 0,6179 0,3821 0,2358 0,80 0,7881 0,2119 0,5763
0,31 0,6217 0,3783 0,2434 0,81 0,7910 0,2090 0,5821
0,32 0,6255 0,3745 0,2510 0,82 0,7939 0,2061 0,5878
0,33 0,6293 0,3707 0,2586 0,83 0,7967 0,2033 0,5935
0,34 0,6331 0,3669 0,2661 0,84 0,7995 0,2005 0,5991
0,35 0,6368 0,3632 0,2737 0,85 0,8023 0,1977 0,6047
0,36 0,6406 0,3594 0,2812 0,86 0,8051 0,1949 0,6102
0,37 0,6443 0,3557 0,2886 0,87 0,8078 0,1922 0,6157
0,38 0,6480 0,3520 0,2961 0,88 0,8106 0,1894 0,6211
0,39 0,6517 0,3483 0,3035 0,89 0,8133 0,1867 0,6265
0,40 0,6554 0,3446 0,3108 0,90 0,8159 0,1841 0,6319
0,41 0,6591 0,3409 0,3182 0,91 0,8186 0,1814 0,6372
0,42 0,6628 0,3372 0,3255 0,92 0,8212 0,1788 0,6424
0,43 0,6664 0,3336 0,3328 0,93 0,8238 0,1762 0,6476
0,44 0,6700 0,3300 0,3401 0,94 0,8264 0,1736 0,6528
0,45 0,6736 0,3264 0,3473 0,95 0,8289 0,1711 0,6579
0,46 0,6772 0,3228 0,3545 0,96 0,8315 0,1685 0,6629
0,47 0,6808 0,3192 0,3616 0,97 0,8340 0,1660 0,6680
0,48 0,6844 0,3156 0,3688 0,98 0,8365 0,1635 0,6729
0,49 0,6879 0,3121 0,3759 0,99 0,8389 0,1611 0,6778
161 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
0,50 0,6915 0,3085 0,3829 1,00 0,8413 0,1587 0,6827
z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)
1,01 0,8438 0,1562 0,6875 1,51 0,9345 0,0655 0,8690
1,02 0,8461 0,1539 0,6923 1,52 0,9357 0,0643 0,8715
1,03 0,8485 0,1515 0,6970 1,53 0,9370 0,0630 0,8740
1,04 0,8508 0,1492 0,7017 1,54 0,9382 0,0618 0,8764
1,05 0,8531 0,1469 0,7063 1,55 0,9394 0,0606 0,8789
1,06 0,8554 0,1446 0,7109 1,56 0,9406 0,0594 0,8812
1,07 0,8577 0,1423 0,7154 1,57 0,9418 0,0582 0,8836
1,08 0,8599 0,1401 0,7199 1,58 0,9429 0,0571 0,8859
1,09 0,8621 0,1379 0,7243 1,59 0,9441 0,0559 0,8882
1,10 0,8643 0,1357 0,7287 1,60 0,9452 0,0548 0,8904
1,11 0,8665 0,1335 0,7330 1,61 0,9463 0,0537 0,8926
1,12 0,8686 0,1314 0,7373 1,62 0,9474 0,0526 0,8948
1,13 0,8708 0,1292 0,7415 1,63 0,9484 0,0516 0,8969
1,14 0,8729 0,1271 0,7457 1,64 0,9495 0,0505 0,8990
1,15 0,8749 0,1251 0,7499 1,65 0,9505 0,0495 0,9011
1,16 0,8770 0,1230 0,7540 1,66 0,9515 0,0485 0,9031
1,17 0,8790 0,1210 0,7580 1,67 0,9525 0,0475 0,9051
1,18 0,8810 0,1190 0,7620 1,68 0,9535 0,0465 0,9070
1,19 0,8830 0,1170 0,7660 1,69 0,9545 0,0455 0,9090
1,20 0,8849 0,1151 0,7699 1,70 0,9554 0,0446 0,9109
1,21 0,8869 0,1131 0,7737 1,71 0,9564 0,0436 0,9127
1,22 0,8888 0,1112 0,7775 1,72 0,9573 0,0427 0,9146
1,23 0,8907 0,1093 0,7813 1,73 0,9582 0,0418 0,9164
1,24 0,8925 0,1075 0,7850 1,74 0,9591 0,0409 0,9181
162 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
1,25 0,8944 0,1056 0,7887 1,75 0,9599 0,0401 0,9199
1,26 0,8962 0,1038 0,7923 1,76 0,9608 0,0392 0,9216
1,27 0,8980 0,1020 0,7959 1,77 0,9616 0,0384 0,9233
1,28 0,8997 0,1003 0,7995 1,78 0,9625 0,0375 0,9249
1,29 0,9015 0,0985 0,8029 1,79 0,9633 0,0367 0,9265
1,30 0,9032 0,0968 0,8064 1,80 0,9641 0,0359 0,9281
1,31 0,9049 0,0951 0,8098 1,81 0,9649 0,0351 0,9297
1,32 0,9066 0,0934 0,8132 1,82 0,9656 0,0344 0,9312
1,33 0,9082 0,0918 0,8165 1,83 0,9664 0,0336 0,9328
1,34 0,9099 0,0901 0,8198 1,84 0,9671 0,0329 0,9342
1,35 0,9115 0,0885 0,8230 1,85 0,9678 0,0322 0,9357
1,36 0,9131 0,0869 0,8262 1,86 0,9686 0,0314 0,9371
1,37 0,9147 0,0853 0,8293 1,87 0,9693 0,0307 0,9385
1,38 0,9162 0,0838 0,8324 1,88 0,9699 0,0301 0,9399
1,39 0,9177 0,0823 0,8355 1,89 0,9706 0,0294 0,9412
1,40 0,9192 0,0808 0,8385 1,90 0,9713 0,0287 0,9426
1,41 0,9207 0,0793 0,8415 1,91 0,9719 0,0281 0,9439
1,42 0,9222 0,0778 0,8444 1,92 0,9726 0,0274 0,9451
1,43 0,9236 0,0764 0,8473 1,93 0,9732 0,0268 0,9464
1,44 0,9251 0,0749 0,8501 1,94 0,9738 0,0262 0,9476
1,45 0,9265 0,0735 0,8529 1,95 0,9744 0,0256 0,9488
1,46 0,9279 0,0721 0,8557 1,96 0,9750 0,0250 0,9500
1,47 0,9292 0,0708 0,8584 1,97 0,9756 0,0244 0,9512
1,48 0,9306 0,0694 0,8611 1,98 0,9761 0,0239 0,9523
1,49 0,9319 0,0681 0,8638 1,99 0,9767 0,0233 0,9534
1,50 0,9332 0,0668 0,8664 2,00 0,9772 0,0228 0,9545
163 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)
2,01 0,9778 0,0222 0,9556 2,51 0,9940 0,0060 0,9879
2,02 0,9783 0,0217 0,9566 2,52 0,9941 0,0059 0,9883
2,03 0,9788 0,0212 0,9576 2,53 0,9943 0,0057 0,9886
2,04 0,9793 0,0207 0,9586 2,54 0,9945 0,0055 0,9889
2,05 0,9798 0,0202 0,9596 2,55 0,9946 0,0054 0,9892
2,06 0,9803 0,0197 0,9606 2,56 0,9948 0,0052 0,9895
2,07 0,9808 0,0192 0,9615 2,57 0,9949 0,0051 0,9898
2,08 0,9812 0,0188 0,9625 2,58 0,9951 0,0049 0,9901
2,09 0,9817 0,0183 0,9634 2,59 0,9952 0,0048 0,9904
2,10 0,9821 0,0179 0,9643 2,60 0,9953 0,0047 0,9907
2,11 0,9826 0,0174 0,9651 2,61 0,9955 0,0045 0,9909
2,12 0,9830 0,0170 0,9660 2,62 0,9956 0,0044 0,9912
2,13 0,9834 0,0166 0,9668 2,63 0,9957 0,0043 0,9915
2,14 0,9838 0,0162 0,9676 2,64 0,9959 0,0041 0,9917
2,15 0,9842 0,0158 0,9684 2,65 0,9960 0,0040 0,9920
2,16 0,9846 0,0154 0,9692 2,66 0,9961 0,0039 0,9922
2,17 0,9850 0,0150 0,9700 2,67 0,9962 0,0038 0,9924
2,18 0,9854 0,0146 0,9707 2,68 0,9963 0,0037 0,9926
2,19 0,9857 0,0143 0,9715 2,69 0,9964 0,0036 0,9929
2,20 0,9861 0,0139 0,9722 2,70 0,9965 0,0035 0,9931
2,21 0,9864 0,0136 0,9729 2,71 0,9966 0,0034 0,9933
2,22 0,9868 0,0132 0,9736 2,72 0,9967 0,0033 0,9935
2,23 0,9871 0,0129 0,9743 2,73 0,9968 0,0032 0,9937
2,24 0,9875 0,0125 0,9749 2,74 0,9969 0,0031 0,9939
2,25 0,9878 0,0122 0,9756 2,75 0,9970 0,0030 0,9940
2,26 0,9881 0,0119 0,9762 2,76 0,9971 0,0029 0,9942
2,27 0,9884 0,0116 0,9768 2,77 0,9972 0,0028 0,9944
164 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
2,28 0,9887 0,0113 0,9774 2,78 0,9973 0,0027 0,9946
2,29 0,9890 0,0110 0,9780 2,79 0,9974 0,0026 0,9947
2,30 0,9893 0,0107 0,9786 2,80 0,9974 0,0026 0,9949
2,31 0,9896 0,0104 0,9791 2,81 0,9975 0,0025 0,9950
2,32 0,9898 0,0102 0,9797 2,82 0,9976 0,0024 0,9952
2,33 0,9901 0,0099 0,9802 2,83 0,9977 0,0023 0,9953
2,34 0,9904 0,0096 0,9807 2,84 0,9977 0,0023 0,9955
2,35 0,9906 0,0094 0,9812 2,85 0,9978 0,0022 0,9956
2,36 0,9909 0,0091 0,9817 2,86 0,9979 0,0021 0,9958
2,37 0,9911 0,0089 0,9822 2,87 0,9979 0,0021 0,9959
2,38 0,9913 0,0087 0,9827 2,88 0,9980 0,0020 0,9960
2,39 0,9916 0,0084 0,9832 2,89 0,9981 0,0019 0,9961
2,40 0,9918 0,0082 0,9836 2,90 0,9981 0,0019 0,9963
2,41 0,9920 0,0080 0,9840 2,91 0,9982 0,0018 0,9964
2,42 0,9922 0,0078 0,9845 2,92 0,9982 0,0018 0,9965
2,43 0,9925 0,0075 0,9849 2,93 0,9983 0,0017 0,9966
2,44 0,9927 0,0073 0,9853 2,94 0,9984 0,0016 0,9967
2,45 0,9929 0,0071 0,9857 2,95 0,9984 0,0016 0,9968
2,46 0,9931 0,0069 0,9861 2,96 0,9985 0,0015 0,9969
2,47 0,9932 0,0068 0,9865 2,97 0,9985 0,0015 0,9970
2,48 0,9934 0,0066 0,9869 2,98 0,9986 0,0014 0,9971
2,49 0,9936 0,0064 0,9872 2,99 0,9986 0,0014 0,9972
2,50 0,9938 0,0062 0,9876 3,00 0,9987 0,0013 0,9973
165 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
z (z) (-z) D(z) z (z) (-z) D(z)
3,01 0,9987 0,0013 0,9974 3,51 0,9998 0,0002 0,9996
3,02 0,9987 0,0013 0,9975 3,52 0,9998 0,0002 0,9996
3,03 0,9988 0,0012 0,9976 3,53 0,9998 0,0002 0,9996
3,04 0,9988 0,0012 0,9976 3,54 0,9998 0,0002 0,9996
3,05 0,9989 0,0011 0,9977 3,55 0,9998 0,0002 0,9996
3,06 0,9989 0,0011 0,9978 3,56 0,9998 0,0002 0,9996
3,07 0,9989 0,0011 0,9979 3,57 0,9998 0,0002 0,9996
3,08 0,9990 0,0010 0,9979 3,58 0,9998 0,0002 0,9997
3,09 0,9990 0,0010 0,9980 3,59 0,9998 0,0002 0,9997
3,10 0,9990 0,0010 0,9981 3,60 0,9998 0,0002 0,9997
3,11 0,9991 0,0009 0,9981 3,61 0,9998 0,0002 0,9997
3,12 0,9991 0,0009 0,9982 3,62 0,9999 0,0001 0,9997
3,13 0,9991 0,0009 0,9983 3,63 0,9999 0,0001 0,9997
3,14 0,9992 0,0008 0,9983 3,64 0,9999 0,0001 0,9997
3,15 0,9992 0,0008 0,9984 3,65 0,9999 0,0001 0,9997
3,16 0,9992 0,0008 0,9984 3,66 0,9999 0,0001 0,9997
3,17 0,9992 0,0008 0,9985 3,67 0,9999 0,0001 0,9998
3,18 0,9993 0,0007 0,9985 3,68 0,9999 0,0001 0,9998
3,19 0,9993 0,0007 0,9986 3,69 0,9999 0,0001 0,9998
3,20 0,9993 0,0007 0,9986 3,70 0,9999 0,0001 0,9998
3,21 0,9993 0,0007 0,9987 3,71 0,9999 0,0001 0,9998
3,22 0,9994 0,0006 0,9987 3,72 0,9999 0,0001 0,9998
3,23 0,9994 0,0006 0,9988 3,73 0,9999 0,0001 0,9998
3,24 0,9994 0,0006 0,9988 3,74 0,9999 0,0001 0,9998
3,25 0,9994 0,0006 0,9988 3,75 0,9999 0,0001 0,9998
3,26 0,9994 0,0006 0,9989 3,76 0,9999 0,0001 0,9998
3,27 0,9995 0,0005 0,9989 3,77 0,9999 0,0001 0,9998
166 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
3,28 0,9995 0,0005 0,9990 3,78 0,9999 0,0001 0,9998
3,29 0,9995 0,0005 0,9990 3,79 0,9999 0,0001 0,9998
3,30 0,9995 0,0005 0,9990 3,80 0,9999 0,0001 0,9999
3,31 0,9995 0,0005 0,9991 3,81 0,9999 0,0001 0,9999
3,32 0,9995 0,0005 0,9991 3,82 0,9999 0,0001 0,9999
3,33 0,9996 0,0004 0,9991 3,83 0,9999 0,0001 0,9999
3,34 0,9996 0,0004 0,9992 3,84 0,9999 0,0001 0,9999
3,35 0,9996 0,0004 0,9992 3,85 0,9999 0,0001 0,9999
3,36 0,9996 0,0004 0,9992 3,86 0,9999 0,0001 0,9999
3,37 0,9996 0,0004 0,9992 3,87 0,9999 0,0001 0,9999
3,38 0,9996 0,0004 0,9993 3,88 0,9999 0,0001 0,9999
3,39 0,9997 0,0003 0,9993 3,89 0,9999 0,0001 0,9999
3,40 0,9997 0,0003 0,9993 3,90 1,0000 0,0000 0,9999
3,41 0,9997 0,0003 0,9994 3,91 1,0000 0,0000 0,9999
3,42 0,9997 0,0003 0,9994 3,92 1,0000 0,0000 0,9999
3,43 0,9997 0,0003 0,9994 3,93 1,0000 0,0000 0,9999
3,44 0,9997 0,0003 0,9994 3,94 1,0000 0,0000 0,9999
3,45 0,9997 0,0003 0,9994 3,95 1,0000 0,0000 0,9999
3,46 0,9997 0,0003 0,9995 3,96 1,0000 0,0000 0,9999
3,47 0,9997 0,0003 0,9995 3,97 1,0000 0,0000 0,9999
3,48 0,9997 0,0003 0,9995 3,98 1,0000 0,0000 0,9999
3,49 0,9998 0,0002 0,9995 3,99 1,0000 0,0000 0,9999
3,50 0,9998 0,0002 0,9995 4,00 1,0000 0,0000 0,9999
167 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Tabla 2.3: Valores de “z” en función del área
Area A la izquierda Central Area A la izquierda Central
0,001 -3,090 0,001 0,510 0,025 0,690
0,005 -2,576 0,006 0,520 0,050 0,706
0,010 -2,326 0,013 0,530 0,075 0,722
0,020 -2,054 0,025 0,540 0,100 0,739
0,025 -1,960 0,031 0,550 0,126 0,755
0,030 -1,881 0,038 0,560 0,151 0,772
0,040 -1,751 0,050 0,570 0,176 0,789
0,050 -1,645 0,063 0,580 0,202 0,806
0,060 -1,555 0,075 0,590 0,228 0,824
0,070 -1,476 0,088 0,600 0,253 0,842
0,080 -1,405 0,100 0,610 0,279 0,860
0,090 -1,341 0,113 0,620 0,305 0,878
0,100 -1,282 0,126 0,630 0,332 0,896
0,110 -1,227 0,138 0,640 0,358 0,915
0,120 -1,175 0,151 0,650 0,385 0,935
0,130 -1,126 0,164 0,660 0,412 0,954
0,140 -1,080 0,176 0,670 0,440 0,974
0,150 -1,036 0,189 0,680 0,468 0,994
0,160 -0,994 0,202 0,690 0,496 1,015
0,170 -0,954 0,215 0,700 0,524 1,036
0,180 -0,915 0,228 0,710 0,553 1,058
0,190 -0,878 0,240 0,720 0,583 1,080
0,200 -0,842 0,253 0,730 0,613 1,103
0,210 -0,806 0,266 0,740 0,643 1,126
168 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
0,220 -0,772 0,279 0,750 0,674 1,150
0,230 -0,739 0,292 0,760 0,706 1,175
0,240 -0,706 0,305 0,770 0,739 1,200
0,250 -0,674 0,319 0,780 0,772 1,227
0,260 -0,643 0,332 0,790 0,806 1,254
0,270 -0,613 0,345 0,800 0,842 1,282
0,280 -0,583 0,358 0,810 0,878 1,311
0,290 -0,553 0,372 0,820 0,915 1,341
0,300 -0,524 0,385 0,830 0,954 1,372
0,310 -0,496 0,399 0,840 0,994 1,405
0,320 -0,468 0,412 0,850 1,036 1,440
0,330 -0,440 0,426 0,860 1,080 1,476
0,340 -0,412 0,440 0,870 1,126 1,514
0,350 -0,385 0,454 0,880 1,175 1,555
0,360 -0,358 0,468 0,890 1,227 1,598
0,370 -0,332 0,482 0,900 1,282 1,645
0,380 -0,305 0,496 0,910 1,341 1,695
0,390 -0,279 0,510 0,920 1,405 1,751
0,400 -0,253 0,524 0,930 1,476 1,812
0,410 -0,228 0,539 0,940 1,555 1,881
0,420 -0,202 0,553 0,950 1,645 1,960
0,430 -0,176 0,568 0,960 1,751 2,054
0,440 -0,151 0,583 0,970 1,881 2,170
0,450 -0,126 0,598 0,975 1,960 2,241
0,460 -0,100 0,613 0,980 2,054 2,326
0,470 -0,075 0,628 0,990 2,326 2,576
0,480 -0,050 0,643 0,995 2,576 2,807
0,490 -0,025 0,659 0,999 3,090 3,290
0,500 0,000 0,674 1,000
169 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Anexo No 2 : Coeficientes para la construcción de gráficas de control
170 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
Anexo No 3 : Percentiles de la Distribución Chi Cuadrado
grados libertad
v X0,005 X0,010 X0,025 X0,050 X0,100 X0,900 X0,950 X0,975 X0,990 X0,995
1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,02 2,71 3,84 5,02 6,63 7,88 2 0,01 0,02 0,05 0,10 0,21 4,61 5,99 7,38 9,21 10,60 3 0,07 0,11 0,22 0,35 0,58 6,25 7,81 9,35 11,34 12,84 4 0,21 0,30 0,48 0,71 1,06 7,78 9,49 11,14 13,28 14,86 5 0,41 0,55 0,83 1,15 1,61 9,24 11,07 12,83 15,09 16,75 6 0,68 0,87 1,24 1,64 2,20 10,64 12,59 14,45 16,81 18,55 7 0,99 1,24 1,69 2,17 2,83 12,02 14,07 16,01 18,48 20,28 8 1,34 1,65 2,18 2,73 3,49 13,36 15,51 17,53 20,09 21,95 9 1,73 2,09 2,70 3,33 4,17 14,68 16,92 19,02 21,67 23,59 10 2,16 2,56 3,25 3,94 4,87 15,99 18,31 20,48 23,21 25,19 11 2,60 3,05 3,82 4,57 5,58 17,28 19,68 21,92 24,72 26,76 12 3,07 3,57 4,40 5,23 6,30 18,55 21,03 23,34 26,22 28,30 13 3,57 4,11 5,01 5,89 7,04 19,81 22,36 24,74 27,69 29,82 14 4,07 4,66 5,63 6,57 7,79 21,06 23,68 26,12 29,14 31,32 15 4,60 5,23 6,26 7,26 8,55 22,31 25,00 27,49 30,58 32,80 16 5,14 5,81 6,91 7,96 9,31 23,54 26,30 28,85 32,00 34,27 17 5,70 6,41 7,56 8,67 10,09 24,77 27,59 30,19 33,41 35,72 18 6,26 7,01 8,23 9,39 10,86 25,99 28,87 31,53 34,81 37,16 19 6,84 7,63 8,91 10,12 11,65 27,20 30,14 32,85 36,19 38,58 20 7,43 8,26 9,59 10,85 12,44 28,41 31,41 34,17 37,57 40,00 21 8,03 8,90 10,28 11,59 13,24 29,62 32,67 35,48 38,93 41,40 22 8,64 9,54 10,98 12,34 14,04 30,81 33,92 36,78 40,29 42,80 23 9,26 10,20 11,69 13,09 14,85 32,01 35,17 38,08 41,64 44,18 24 9,89 10,86 12,40 13,85 15,66 33,20 36,42 39,36 42,98 45,56 25 10,52 11,52 13,12 14,61 16,47 34,38 37,65 40,65 44,31 46,93 26 11,16 12,20 13,84 15,38 17,29 35,56 38,89 41,92 45,64 48,29 27 11,81 12,88 14,57 16,15 18,11 36,74 40,11 43,19 46,96 49,64 28 12,46 13,56 15,31 16,93 18,94 37,92 41,34 44,46 48,28 50,99 29 13,12 14,26 16,05 17,71 19,77 39,09 42,56 45,72 49,59 52,34 30 13,79 14,95 16,79 18,49 20,60 40,26 43,77 46,98 50,89 53,67 31 14,46 15,66 17,54 19,28 21,43 41,42 44,99 48,23 52,19 55,00 32 15,13 16,36 18,29 20,07 22,27 42,58 46,19 49,48 53,49 56,33 33 15,82 17,07 19,05 20,87 23,11 43,75 47,40 50,73 54,78 57,65 34 16,50 17,79 19,81 21,66 23,95 44,90 48,60 51,97 56,06 58,96 35 17,19 18,51 20,57 22,47 24,80 46,06 49,80 53,20 57,34 60,27 36 17,89 19,23 21,34 23,27 25,64 47,21 51,00 54,44 58,62 61,58 37 18,59 19,96 22,11 24,07 26,49 48,36 52,19 55,67 59,89 62,88 38 19,29 20,69 22,88 24,88 27,34 49,51 53,38 56,90 61,16 64,18 39 20,00 21,43 23,65 25,70 28,20 50,66 54,57 58,12 62,43 65,48 40 20,71 22,16 24,43 26,51 29,05 51,81 55,76 59,34 63,69 66,77 41 21,42 22,91 25,21 27,33 29,91 52,95 56,94 60,56 64,95 68,05 42 22,14 23,65 26,00 28,14 30,77 54,09 58,12 61,78 66,21 69,34 43 22,86 24,40 26,79 28,96 31,63 55,23 59,30 62,99 67,46 70,62 44 23,58 25,15 27,57 29,79 32,49 56,37 60,48 64,20 68,71 71,89 45 24,31 25,90 28,37 30,61 33,35 57,51 61,66 65,41 69,96 73,17 46 25,04 26,66 29,16 31,44 34,22 58,64 62,83 66,62 71,20 74,44 47 25,77 27,42 29,96 32,27 35,08 59,77 64,00 67,82 72,44 75,70
171 Capacidad de Procesos según ISO 9000 Ing
o Angel Francisco Arvelo
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