cap.8 – prestazioni di salita
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Cap.8 – Prestazioni di salita
Si immagini un Boeing 777 (vedi Fig 8 1) che si sta portando allaSi immagini un Boeing 777 (vedi Fig. 8.1) che si sta portando allavelocità di decollo sulla pista di un aeroporto. Esso si sollevadolcemente a circa 180 mi/h (289.7 km/h), il muso ruota verso l’alto,e l’aeroplano rapidamente sale fuori dalla vista. In una questione diminuti esso sta volando a velocità di crociera a 30000 ft (9144 m).
Quanto rapidamente può salire un aeroplano? Quanto tempo impiegaa raggiungere una certa quota?a raggiungere una certa quota?
Cap.8 – Prestazioni di salita
θi
θ= cosWL
θ+= sinWDT
θ+= ∞∞∞ sinWVDVTV ∞∞∞
θ− ∞∞ sinVDVTV
θiVRCmaθ⋅= sinVW
θsin∞≡VRCma
=>W
DVTVR/C ∞∞ −=W
Cap.8 – Prestazioni di salita
=− ∞∞ DVTV potenza in eccesso
eccessoinpotenza/W
CR eccessoin potenza/ =
- Le potenze sono assunte pari a quelle in volo livellato- Le potenze sono assunte pari a quelle in volo livellato- L’angolo di salita è piccolo , cioè cosθ circa =1, cioè L=W
DT aintspdiEccessoDT −W
DTsin d −=θ
pesoaintspdiEccesso
WDTd =≈θ
L’equazione è approssimata
Cap.8 – Prestazioni di salita
Cap.8 – Prestazioni di salitaeccessoin potenzamassimaRC
WpRCMAX =
Odografo volo in salita
Cap.8 – Prestazioni di salitaLe prestazioni precedenti sono da considerarsi ad una certa quota.p p qChe succede al variare della quota ?
Differenze sul rateo di salita tra velivolo ad elica e a getto.
Cap.8 – Prestazioni di salitaFacciamo prima l’esempio relativo al velivolo a getto MD-80, di cui riportiamo i dati :W=WTO =63500 Kg peso massimo al decolloS=118 m2 b=33 m AR=9.23CDo=0.018 e=0.80 CLMAX=1.5Imp. propulsivo : 2 motori PW JT8D da 8400 Kg di spinta ciascuno, cioè To=8400 =16800 KgTo 8400 16800 KgDai dati geometrici ed aerodinamici del velivolo ho :EMAX=17.95
Cap.8 – Prestazioni di salita20000
80000
12000
16000
Tno e Td[Kg]
40000
60000
Pno e Pd[hp]
8000
20000
40000
0
4000
0 400 800 1200 1600
0
0 400 800 1200 1600V [Km/h]
V [Km/h]1230
S/L
4
8
teta [°]S/L 20
RC [m/s]
0
4 20000 ft
35000 ft
1020000 ft
35000 ft
0 400 800 1200 1600
0
V [Km/h]200 400 600 800 1000 1200
0
V [Km/h]
Cap.8 – Prestazioni di salita
Un velivolo a getto ha solitamente un massimo rateo di salita alUn velivolo a getto ha solitamente un massimo rateo di salita allivello del mare intorno ai 20-25 m/s corrispondenti a circa 1200-1500 m/min (cioè guadagna un chilometro al minuto) o anchecirca 4000 ft/min.Teniamo presente che il calcolo effettuato è approssimato per ilf tt h l i t di ibil ll b t tfatto che la spinta disponibile alle basse quote per un motoreturbofan non è costante, come già visto nel cap.6 e 7.Dalla fig. 8.9 si vede come per un velivolo a getto il massimoDalla fig. 8.9 si vede come per un velivolo a getto il massimorateo di salita si ottiene a velocità non proprio bassissime. Ineffetti, per un velivolo a getto vale il principio che volando (sullatraiettoria) a velocità elevata si sale anche veloce.
Cap.8 – Prestazioni di salitaConsideriamo sempre il velivolo Beechcraft King Air C90.p gW=4380 Kg peso massimo al decolloS= 27.3 m2 b=15.3 m AR=8.57CD 0 026 0 78 CLMAX 1 6CDo=0.026 e=0.78 CLMAX=1.62 Motori Pratt&Withney PT6A21 , ciascuno da 550 hp all’albero. Imotori sono turboelica Rendimento prop delle eliche η =0 80motori sono turboelica. Rendimento prop. delle eliche ηP=0.80
Cap.8 – Prestazioni di salita1200
1200
1400
800
T e DKg
800
1000
Pno e Pdhp
400400
600
0 200 400 600
0
V [Km/h] 0 100 200 300 400 500 600
0
200
V [K /h]20 20V [Km/h] 0 100 200 300 400 500 600V [Km/h]
16
20
t t (°)
16
20
R/C [m/s]
8
12
teta (°)
8
12
teta (°)
S/L
12000 ft
R/C [m/s]
4 4
8 12000 ft
20000 ft
0 100 200 300 400 500 600
0
V [Km/h]0 100 200 300 400 500 600
0
V [Km/h]
Cap.8 – Prestazioni di salita
RC al liv mare circa 10 12 m/sRC al liv mare circa 10-12 m/sAngoli anche di 10-11° (anche leggermente > getto)
16
1000
1200
P disp. (turboelica)
12P disp. (turboelica)
800
P [hp]
P disp. (cost.)
RC [m/s]
P disp. (cost.)
400
600 8
200
4
0 100 200 300 400 500
0
V [Km/h]0 100 200 300 400 500
0
V [Km/h]
Cap.8 – Prestazioni di salitaTrattazione analitica
V V
W
θ Vs=RC=V sinθθ
W
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
DVTVW
DVWTVVsinθRC −==
W22 ⎤⎡ ⎞⎛ WqSWK CDo S qK CDo S q )CLK (CDo S qD
22 +=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅+=+=
qSW
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ρ
−−= 2VK2
SWCDo
WSq
WTVRC
⎦⎣ ρVSWW
Pn=DV
VELIVOLO A GETTO
Pd
P E
APd
RCmax
V
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTOApproccio approssimatopp ppUn primo (approssimato) approccio analitico consiste nel calcolare il massimo rateo di salita ad una certa quota ll’ di i ffi iall’assetto di massima efficienza.
VVDVT ΠPn=DV
VELIVOLO A GETTO
WWVT
WVDVTRC EE
dEEEd
MAXΠ
−=⋅−⋅
=
APd
WDT MINd
MAX−
=θ
P E
RCmaxW
con θ espresso in radianti.Per avere i gradi moltiplicare per 57.3.
V
g p p
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esattoApproccio esatto
T W Wo o⎛⎜
⎞⎟
⎛⎜
⎞⎟
ρ ε ρ ε fV
fV2 22 1 4 1
0W W b V b V
o
o e
o
o e− −
⎝⎜
⎠⎟ − +
⎝⎜
⎠⎟ =
ρπρ ε
ρπ ρ ε
VW
V
2 22
02 2 2 2
6 2 02
f q T q -22 −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
πWb⎝ ⎠π be
⎥⎤
⎢⎡
⎥⎤
⎢⎡
Γ=
⎥⎥⎥⎥
⎢⎢⎢⎢
⎟⎞
⎜⎛
++= f 6
TTE
311f 6
Tq 22
RCMAX
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++=Γ 22
MAX WT E
311
⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
⎟⎠
⎜⎝ W
EMAX ⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ W
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esattoApproccio esatto
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
3
⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++=Γ 22
MAX WT E
311
⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝
Il fattore Γ è pari a circa 2, in quanto il denominatore è solitamente >>3 e quindila radice è circa 1la radice è circa 1.In corrispondenza della quota di tangenza
TW E
=1
max
e Γ=3 ( e si ha la velocità di salita rapida limite (di fatto con RC=0).
T f 6
Tqq fcRCMAX Γ==
TTq Γ⋅Γ⋅⋅ 22f
Tf
TqVV fc
fcRCMAX ⋅⋅Γ⋅
=Γ⋅
⋅===ρρρ 36
22
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
Approccio esattoApproccio esatto
fT
fTq
VV fcfcRCMAX ⋅⋅
Γ⋅=
Γ⋅⋅=
⋅==
ρρρ 3622
ff ⋅⋅ ρρρ 36
RICORDIAMO che il rateo di salita è :
fcfcfcfcfcd
MAX VW
VDVTRC ⋅=
⋅−⋅= θ
Ricaviamo l’espressione generica di D/W
( )CDiCDoWqS
WD
+=
WCLqSD ⎟⎞
⎜⎛ 2
⎟⎞
⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛ 11 2WCDqSD
qSWCL
ACLCDo
WqS
WD
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
Reπ ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
Re2 ASqCDo
Wq
W π
WCDqSD+
11eARSq
CDoWq
W ⋅⋅+⋅=
π
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTOApproccio esatto
eARSW
qCDo
WqS
WD
⋅⋅+⋅=
π11
2CDo4eAR EeARE ==>⋅
= ππ
Ma ricordo che :
CDo4eAR 4 MAXMAX E
CDoE ⋅⋅=⋅⋅=>= π
Sostituendo a q Γ=TqRCMAXSostituendo a q Γf6
qRCMAX
116 WffTD⎟⎞
⎜⎛Γ⎟
⎞⎜⎛
⎟⎞
⎜⎛
246 MAXfc ECDoSTf
Wf
fW ⋅⋅Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+Γ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎞⎛⎞⎛Γ⎞⎛⎞⎛ 11WTD⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
24116
6 MAXfc ETW
WT
WD
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTOApproccio esatto
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
24116
6 ETW
WT
WD
⎟⎠
⎜⎝ ⋅Γ⎠⎝⎠⎝⎠⎝ 46 MAXfc ETWW
⎟⎟⎟⎞
⎜⎜⎜⎛
⎞⎛Γ+
Γ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ 1
23
6 TWT
WD
Ma
⎟⎟
⎠⎜⎜
⎝⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ⋅⎠⎝⎠⎝ 226
MAXfc E
WTWW
Ma
131fc TTDT
⎞⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Γ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=θ
226MAX
fcfc
EWTWWW ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ⋅
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎫⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Γ⋅
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ⋅
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ Γ−=⋅=
fT
EWTW
TVRCMAX
fcfcMAX ρθ
31
23
61
2
⎪⎭⎪⎩ ⎠⎝W MAX
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTOApproccio esatto
Con la nuova espressione per la V
⎞⎛
ST
CDoST
CDofTV
oofc ⋅⋅⋅
Γ=
⋅⋅⋅Γ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅⋅Γ⋅
=σρσρρ 333
SW
WT
CDoV
ofc ⋅⋅⋅
Γ=
σρ3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Γ
⎪
⎪⎪⎬
⎫
⎪
⎪⎪⎨
⎧
⎞⎛Γ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Γ−=⋅=
SW
WT
CDoTWTVRC fcfcMAX ρ
θ3
12
36
1 ⎟⎠
⎜⎝ ⋅⎪⎪⎭⎪
⎪⎩
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Γ⋅⎠⎝ SWCDoEWTW
MAXρ326 2
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Γ⋅⋅⋅−
Γ−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ρ⋅
Γ⋅= 2
MAX2
2/32/1
MAX E)W/T(23
61
WT
CDo3)S/W(RC
( ) ⎦⎣⎠⎝⎦⎣ ρ MAX)(
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
⎤⎡⎞⎛⎤⎡ 2/32/1
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Γ⋅⋅⋅−
Γ−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ρ⋅
Γ⋅= 2
MAX2
2/32/1
MAX E)W/T(23
61
WT
CDo3)S/W(RC
- da W/S-dal rapporto spinta / peso (in modo forte)dal CDo-dal CDo
-dall’efficienza massimaE’ importante notare come aumentare il carico alare (ad esempio riducendo la superficie alare)per un velivolo a getto equivale ad aumentare sia la velocità massima (e la velocità di crociera)sia il massimo rateo di salita del velivolo.Questo avviene perché riducendo S si riduce la superficie bagnata e così si riduce la resistenzaparassita (di attrito) importante alle alte velocità.
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
⎤⎡ Γ⎟⎞
⎜⎛⎤⎡ Γ⋅ 2/32/1
3T)S/W(( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
Γ⋅⋅⋅−
Γ−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ρ⋅
Γ= 2
MAX2MAX E)W/T(23
61
WT
CDo3)S/W(RC
Assumendo Γ=2
⎤⎡⎞⎛⎤⎡ ⋅ 322)/( 2/32/1TSW
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅
⋅=
2)/(23
32
32)/(
22MAX
MAX EWTWT
CDoSWRC
ρ
⎤⎡⎞⎛( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
⋅⋅=
2)/(23
321
32
220 MAX
MAX EWTWT
WT
CDoSWRC
σρ
fbE
fbE e
MAXe
MAX
22
2
4
4ππ
==>=
⎥⎤
⎢⎡ ⋅
−⋅⎟⎞
⎜⎛⋅= 2
3212MAX
fTTWRC ⎥⎦
⎢⎣ ⋅⋅
⎟⎠
⎜⎝⋅⋅ 22
0 )/(33 eMAX bWTWWCDoS
RCπσρ
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
⎥⎤
⎢⎡ ⋅
⎟⎞
⎜⎛ 3212 fTTWRC ⎥
⎦⎢⎣ ⋅⋅
−⋅⎟⎠
⎜⎝
⋅⋅
= 220 )/(33 e
MAX bWTf
WWfRC
πσρ
⎤⎡⎞⎛ f⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⋅⋅⋅
−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅= 22
0 )/(3
321
32
eMAX bWT
fWT
fTRC
πσρ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅= 2
0
3321
32
eMAX b
WTW
Tf
WT
fTRC
πσρ
⎥⎤
⎢⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎞⎛⎞⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎤⎢⎡
=3
321111
32
32
2MAX bW
TTfT
WT
fT
WTRC
⎦⎣ ⎠⎝⎠⎝⎠⎝0 ebfσρ
⎥⎦
⎢⎣⎟⎠
⎜⎝
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎠⎝⎠⎝
⎥⎦
⎢⎣ πρσσρ 333 0
20 e
MAX bfT
WTfWfW
⎞⎛
TbW
fT
WTRC e
MAX
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
2.2154.1 Con T e W espresse in Kg
σσfTfW ⎠⎝
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
⎤⎡ Γ⎟⎞
⎜⎛⎤⎡ Γ⋅ 2/32/1
3T)S/W(( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
Γ⋅⋅⋅−
Γ−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅ρ⋅
Γ= 2
MAX2MAX E)W/T(23
61
WT
CDo3)S/W(RC
Quindi siamo arrivati ad un’espressione approssimata (Γ=2)e utilizzando forze espresse in [Kg]
bW
TT e⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎞
⎜⎛
21
σσfTb
fT
WTRC e
MAX⎠⎝−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 2.2154.1
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
W ⎞⎛
σ TbW
fT
WTRC e
MAX
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
2.2154.1
d i id d li l
σσfTfW ⎠⎝
Ad esempio , considerando un velivolo a getto con Td=25000 Kg (massima totale a livello del mare)
W=100000 KgCDo=0.015 S=205 m2 b=37 m be=33 m (e=0.80)
Il calcolo della 8.16 fornisce :RCMAX = 34.72-2.24=32.5 m/s = 6400 ft/min
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica – VEL GETTO
W ⎞⎛
σ TbW
fT
WTRC e
MAX
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
2.2154.1σσ
fTfW ⎠⎝
Rispetto al calcolo precedente andrebbe però considerato un valore di T diverso da To. Infatti dal grafico della spinta di un turbofan a livello del mare (S/L) in funzione della velocità (del Mach) si vede che ad un valore di M=0.4-0.6 (tipico della velocità di salita) T/To è circa 0.50-0.60.
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
Πd = ηp Πa =T V1200
Πd = ηp Πa =T V
C1 3Vρ⎟⎞
⎜⎛ Π 800
1000 P disp. (turboelica)
P disp. (cost.)
(W/S)C
21 DoV
WRC a
pρη −⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ Π=
600
P [hp]
200
400
)/(1AR 2
e
SWVρπ
−
0 100 200 300 400 500
0
V [Km/h]
4/34/3Do
2/12/33 4C12)4(1 ρ WVCDoS PMIN =⋅⋅⋅⋅=Π 4/3
Do4/3
e4/34/32/1_ CAR3
)4(2 πρρ
SWVCDoS PMINnoΠ
4/1Do
3/24/1Do
3/2 CW0 95CW1241/24/3
e
Do2/11/24/3
e
Do2/14/34/3 S AR
0.95S AR3 σσπρ
==o
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
4/13/24/13/2 CWCW1241/24/3
e
4/1Do
2/1
3/2
1/24/3e
4/1Do
2/1
3/2
4/34/3_ S ARC W 0.95
S ARC W 1 2
34
σσπρ==Π
oMINno
1/24/3
4/1DoC97.276max a
pWRC η −
Π⋅=
1/24/3 S _
ep ARW σ
η
Con potenza in [hp] e W in [Kg]
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA4/1CWΠ
1/24/3Do
S C 97.276max_
e
ap AR
WW
RCσ
η −Π
⋅=
Con potenza in [hp] e W in [Kg]
( )C C f1 4 1 4 1 4/ / /S( )C
b
Cb
fb
Do
e
Do
e e
1 4
2 3 4 3 2 3 2
/
/ / /⎛⎜
⎞⎟
= =
S
S S S S
1/2-3/4 1/2 1/4
ma
S⎝⎜
⎠⎟ S
2/3
4/1a
pMAXfW97.276RC −
Πη⋅= 2/3
epMAX bW σ
η
Con potenza in [hp] e W in [Kg]Con potenza in [hp] e W in [Kg]
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA
Si può anche ricavare una espressione più semplice:Si può anche ricavare una espressione più semplice:
WWRC MINd
MAXΠ
−Π
=WWMAX
EEEPPPMIN
WV87502WVWVDV ⋅=⋅=⋅=⋅=Π=ΠMAXMAXP
PPPMIN E875.0
3E32.1E32.1DVΠΠ
MAX
EdMAX E
V875.0W
RC −Π
=
2/1
aPMAX E
1CL
1SW2875.0
WRC ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
Πη=
MAXEPMAX ECLSW ⎥
⎦⎢⎣ρ
Cap.8 – Prestazioni di salita Trattazione analitica - ELICA4/1fWΠ2/3
e
apMAX b
f W97.2W
76RCσ
−Π
η⋅=
PARAMETRO2/1
a 11W28750RC ⎥⎤
⎢⎡Π
η=
PARAMETRO FONDAMENTALE
MAXEPMAX ECLS
875.0W
RC ⎥⎦
⎢⎣ρ
−η=
Un’altra importantissima informazione che si ricava dalla 8.19 è che per un velivolo ad elica il massimo rateo di salita si riduce all’aumentare del carico alare.Quindi, mentre per un velivolo a getto il rateo massimo di salita cresce al crescere del carico alare, per un velivolo ad elica succede il contrario !Quindi ridurre la superficie alare per un velivolo ad elica non comporta per ilQuindi ridurre la superficie alare per un velivolo ad elica non comporta per il rateo di salita un vantaggio come per i velivoli a getto.
Per i velivoli ad elica è molto importante l’apertura alare per averePer i velivoli ad elica è molto importante l apertura alare per avere buone capacità di salita !!
Cap.8 – VOLO LIBRATO
θcosWL θcosWL =θsinWD =
LD
=θθ
cossin
Lθcos
T 1θDL
Tan/1
=θ
1( )max
min /1DL
Tan =θ
Cap.8 – VOLO LIBRATO
1( )max
min /1DL
Tan =θ
L’angolo di planata minimo non dipende dalla quota, dal carico alare o cose simili, ma
SOLO dall’EFFICIENZA MASSIMA !SOLO dall EFFICIENZA MASSIMA !
Cap.8 – VOLO LIBRATO
1( )max
min /1DL
Tan =θ
1LSCVL 2
21
∞∞= ρ
1 θρ cos21 2 WSCV L =∞∞
WV =θcos2
SCV
L∞∞ =
ρ
Cap.8 – VOLO LIBRATO
Wθcos2SW
CV
L∞∞ =
ρθcos2
è la velocità di planata di equilibrio. Chiaramente essa dipende dallaquota) e dal carico alare Il valore di CL nell’Eq [8 24] è quel valorequota) e dal carico alare. Il valore di CL nell Eq. [8.24] è quel valoreparticolare che corrisponde al valore specifico di L/D usato nell’Eq.[8.22]. Ricordiamo che sia CL che L/D sono caratteristiche
di i h d ll’ h i l’ l d’ ttaerodinamiche dell’aereo che variano con l’angolo d’attacco, comemostrato in Fig. 5.41. Si noti dalla Fig. 5.41 che un determinatovalore di L/D, indicato con (L/D), corrisponde ad un determinato angolod’attacco , che successivamente impone il coefficiente di portanza (CL).Se L/D è mantenuto costante per tutta la traettoria di planata, allora CL ècostante lungo la traiettoria. Comunque la velocità di equilibrio cambieràcon la quota lungo questa traiettoria, diminuendo al diminuire dellaquota.
Cap.8 – VOLO LIBRATO
Wθcos2SW
CV
L∞∞ =
ρθcos2
1T θ ( )maxmin / DL
Tan =θ
Consideriamo di nuovo il caso di minimo angolo di planatacome trattato con l’Eq. [8.23]. Per un tipico aeroplanoq [ ] p pmoderno, (L/D)max = 15, e per questo caso, dall’Eq. [8.23],
°= 8.3minθ1θè un angolo piccolo. Quindi possiamo ragionevolmente 1cos =θ
L 1=⎟
⎞⎜⎛
KCD D 0,max 4=⎟
⎠⎜⎝
( )
21
/2
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
=WKV DL( )
0,/ max ⎟
⎠⎜⎝ ∞ SC
VD
DL ρ
Cap.8 – VOLO LIBRATO
Wθcos2SW
CV
L∞∞ =
ρθcos2
1T θ ( )maxmin / DL
Tan =θ
Rateo di discesa RD θsin∞== VVRD V
VVWVWDV ⋅=⋅= θsin VVWVWDV ∞∞ θsin
DVV ∞
WVV
∞=
Cap.8 – VOLO LIBRATORD MINIMO => POTENZA Minima
massimo è 2/3
D
L
CC
( )2/1
affondataditàmin veloci 32
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∞ S
WCKV
ρ 0,3 ⎟⎠
⎜⎝ ∞ SCDρ
Cap.8 – VOLO LIBRATOASSETTO di minimo RD e di minimo angolo sono diversi !!
SCVLW 21θ
θcosWL =
LSCVLW 2
2cos ∞∞== ρθ
ODOGRAFO VOLO LIBRATO
Cap.8 – VOLO LIBRATOLa curva di RD è la curva della potenza necessaria ribaltata.p
DVDVTVE’ come RC con potenza disponibile=0
WDV
WDV
WTVRC −=−=
ODOGRAFO VOLO LIBRATO
Cap.8 – VOLO LIBRATOθcosWL =
21
θsinWD =
LSCVLW 2
21cos ∞∞== ρθ
WV θcos2
LSCV
∞∞ =
ρ
θ2( )SW
CVV
LV
∞∞ ==
ρθθθ cos2sinsin
θθθ coscossinL
D
CC
LD
==Dividendo tra loro le 2 equazioni di equilibrio
( ) SW
CCVV 23
3
/cos2
=ρ
θ
( )WVV 23
2==> (cosθ)=1( ) SCC DL /∞ρ ( ) SCC DL
V 23 /∞ρ( )
Cap.8 – VOLO LIBRATO θcosWL =θsinWD = θsinWD =
W2( ) S
WCC
VDL
V 23 /2
∞
=ρ
( )V ( )/2/3 CC
L’Equazione mostra esplicitamente che
=>( )minVV ( ) ./ maxDL CC=>
Essa mostra inoltre che la velocità di discesa diminuisce aldiminuire della quota e aumenta come la radice quadrata del caricolalare.
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
Quote di tangenza per il CP-1
8000
9000
6000
7000
8000
3000
4000
5000
Quo
ta
0
1000
2000
00 2 4 6 8
Massimo R/C [m/s]
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
TANGENZA
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
Tangenza Teorica (RC=0)Tangenza pratica (RC=0 5 m/s)Tangenza pratica (RC 0.5 m/s)
(circa 100 ft/min)Q uote di tangenza per il CJ-1Q uote di tangenza per il CJ-1
14000
16000
10000
12000
m] JET
4000
6000
8000
Quo
ta [m
Quota di tangenza teorica (R/C = 0) = 14935.2 mQuota di tangenza pratica (R/C = 0 5 m/s) = 14630 4 m
0
2000
4000
0 10 20 30 40 50
Quota di tangenza pratica (R/C 0.5 m/s) 14630.4 m
0 10 20 30 40 50Massimo R/C [m/s]
Cap.8 – QUOTA TANGENZA
Based on maximum climb rates
Absolute Ceiling = 0 ft/min ROC (quota tangenza teorica)
Service Ceiling = 100 ft/min ROC (quota tangenza pratica)Service Ceiling = 100 ft/min ROC (quota tangenza pratica)
Cruise Ceiling = 300 ft/min ROC
Combat Ceiling = 500 ft/min ROC
Cap.8 – TEMPO DI SALITA
RC=dh/dtdhdt = ∫=
2h dht ∫=2h dhtRC=dh/dt CR
dt/ ∫
1/h CR
t ∫=0 /CR
t
Partendo da S/LPartendo da S/L0,7
0,5
0,6
0,3
0,4
(R/C
)^-1
Il tempo è l’integrale (area sottesa)
0 1
0,2
(area sottesa)
0
0,1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Q uota [m]
Cap.8 – TEMPO DI SALITA
∫2h dh 0 5
0,6
0,7
∫=0 /CR
dht0,3
0,4
0,5
(R/C
)^-1
0
0,1
0,2
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 70000 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
Q uota [m]
hbaRCMAX ⋅+=Se assumiamo come legge di RCmax(h) una legge lineare:
baCMAX
∫ ∫==h h
mindhdht ∫ ∫ ⋅+0 0MAX
min hbaRC
( )[ ])l (hbl1 ( )[ ])aln(hbalnb
tMIN −⋅+=
Cap.8 – QUOTA ENERGIA ED ECCESSO DI POTENZA SPECIFICO
Overview• Energy Height (quota energia)• Specific Excess Power• Ps ChartsPs Charts• Applicazioni
Mi i t di lit– Minimo tempo di salita– Confronto velivoli
Motivo di H e PMotivo di He e Ps
• Il diagramma V-n mostra i limiti delle t i i d i li liprestazioni dei velivoli
• Ad ogni modo, mostra solo una prestazione g pistantanea. Non si può determinare la sostenibilità di una manovra dal V-n diagram
• Energy height e specific excess power sonoEnergy height e specific excess power sono una misura di “sustained performance”
Energy Height
Energy Height è misura dell’energia meccanica totale possedutaEnergy Height è misura dell’energia meccanica totale posseduta (potenziale + cinetica) da un velivolo.
1E mgh mV= + 12
2
Per confrontare velivoli possiamo normalizzare rispetto al peso(mg).
2H h V
ge = +2
2Energy Height
g2
Energy HeightPlot di curve a costante energy height.
hH = conste
1 2
3
E’ quello che ogni pilota sa: si può trasformare velocità in quotaV
E quello che ogni pilota sa: si può trasformare velocità in quota e viceversa e più si ha di entrambe le cose meglio è !
Specific Excess PowerUn pilota vuole iniziare un combattimento con quanta maggiore energia possibile.Il velivolo che riesce a cambiare la propria “Energy height” più rapidamente avrà un significativo vantaggio:
Guardiamo la derivata rispetto al tempo di He:
dH dh V dVdHdt
dhdt
Vg
dVdt
e = +
Questa è una misura della capacità del velivolo di salire e/o laccelerare.
Specific Excess Power
dH dh V dVdHdt
P dhdt
Vg
dVdt
T D V
es≡ = +
( )Specific
T D VW
=−( ) Excess
Power,T T V
WA R≈−( ) Ps
P PW
A R≈−W
Specific Excess Power• Se P è positiva il velivolo può:• Se Ps è positiva, il velivolo può:
– Salire– Accelerare– O entrambe le cose
• If Ps is negative, il velivolo può:– Scendere (perdere quota)Scendere (perdere quota)– Decelerare
O entrambe le cose– O entrambe le cose• Se Ps =0, il velivolo si stabilizza in volo
di itt li ll t l tdiritto e livellato, non accelerato.• Noi plottiamo Ps al di sopra di un plot di
He (visto prima) (energy height plot).
Ps Charts F-16C
Ps Charts 80000
CONFIGURATION50% I t l F l
60000
70000 50% Internal Fuel2 AIM-9 MissilesMaximum ThrustWeight: 21737 lbs
Lines of Constant Energy Height
50000
60000
ght,
ft
= 0 ft/s
We g : 737 bsn = 1
40000
Ener
gy H
eig
P s = 0
P= 20
0 ft/s
s
Minimum Time toClimb Profile
30000
Alti
tude
and
P s
P s = 40
0 ft/s
ft/sft20000
A
P s = 60
0 ft
800 f
t/s
xim
um L
ift
800 K
CAS
0
10000
P s = 80
Max
i
q Lim
it 8
0 200 400 600 800 1000 1200
True Airspeed, V, knots
P ChartsPs ChartsUn Ps chart è valido per:• 1 Peso (ad es. 21737 lbs)
Se incremento il peso Ps=0 contour “shrinks”
p
– Se incremento il peso Ps=0 contour shrinks• 1 configurazione (ad es. 2 AIM-9 missiles)
– “Dirty” configuration shrinks plot• 1 Throttle setting (Maximum power)g ( p )
– Lower throttle setting shrinks plot• 1 Load factor (1 g)• 1 Load factor (1 g)
– Increased “g” shrinks plot
Ps ChartsChe informazioni posso ricavare da un Ps chart?
• Absolute ceilings (subsonic and supersonic)• Maximum speed• Maximum speed• Maximum “zoom” altitude• “Reachability” (sinistra di max He)• Sustainability (On or inside Ps=0)Sustainability (On or inside Ps 0)
Applicazione:Applicazione:Minimum Time to Climb
R llP dH
dtdhdt
V dVdts
e= = +Recall:
dt dt g dts
P tt il i i t di lit biPer ottenere il minimo tempo di salita bisognamassimizzare il climb rate (dHe/dt). Quindi bisogna
tt i h i ht ( t tattraversare ogni energy height curve (curva a costanteHe) alla massima possibile specific excess power Ps.
Applicazione:Mi i Ti t Cli bMinimum Time to Climb
F 16CF-16C
Applicazione:M i PManeuvering Ps
(Come cambia il Ps plot in caso di n=5)
80000
CONFIGURATION
80000
CONFIGURATION
60000
70000
CONFIGURATION50% Internal Fuel2 AIM-9 MissilesMaximum ThrustWeight: 21737 lbsn = 5
60000
70000
CONFIGURATION50% Internal Fuel2 AIM-9 MissilesMaximum ThrustWeight: 21737 lbsn = 1
Lines of Constant Energy Height
40000
50000
ergy
Hei
ght,
ft
n 5
40000
50000
ergy
Hei
ght,
ft
P s = 0
ft/s
200 f
t/s
n 1
Minimum Time to
30000
40000
Alti
tude
and
Ene
P s = 0 ft/s
/s
30000
40000
Alti
tude
and
Ene
P s = 20
P s = 40
0 ft/s
00 ft/
s
ift ASClimb Profile
10000
20000
P s = 20
0 ft/s
P s = 40
0 ft/s
Max
imum
Lift
10000
20000
P s = 60
0
P s = 80
0 ft/s
Max
imum
Li
Lim
it 80
0 KCA
S
00 200 400 600 800 1000 1200
True Airspeed, V, knotsM
00 200 400 600 800 1000 1200
True Airspeed, V, knots
q L
Applicazione:Applicazione:Confronto fra velivoli
• Overlay(Sovrapporre) Ps charts per 2 li livelivoli
• Determinare chi ha un vantaggiogg• Dove può volare e come ad esempio un
velivolo vuole combattare.velivolo vuole combattare.• Tanti altri fattori da considerare
80000
Both Aircraft
60000
70000 Max Thrust50% Internal Fuel2 x IR Missiles
1
50000
60000
ght,
ft
n = 1
40000
Ener
gy H
eig
No Advantage
sive f
or B
Ad t
30000
Alti
tude
and
Exclusivefor A
Exclu
s
ge fo
r A
Advantage for B20000
A
Advan
tage
0
10000
0 200 400 600 800 1000 1200
True Airspeed, V, knots