cap6integracion

6 Integracin

En las secciones 2.6 y 3.3 nos hemos ocupado del problema de determinarla posicin conocida la velocidad, o de determinar sta ltima sabida laaceleracin. Tambin se podra pensar, en el marco de un proceso de llenado(o vaciado) de un recipiente, en la determinacin del volumen en funcindel tiempo cuando se tiene como dato el caudal. Todos estos son problemasque llevan a la ecuacin diferencial

dydx= f (x) , x I. (1)

En la seccin 3.3 vimos que esta ecuacin, si tene alguna solucin, admiteuna familia infinita de ellas, todas difiriendo en una constante, y ningunaotra. Esto es, nos ocupamos del problema de unicidad. Pero en cuanto asaber de antemano si hay solucin, o desarrollar tcnicas para encontrarla,nada. Apenas encontramos soluciones "a ojo" en casos evidentes. El pro-blema de existencia de solucin de (1), esto es la bsqueda de antiderivadas,es el objeto de este captulo.

Una funcin y = F (x) es una solucin de (1) si F 0 = f en I. Una talfuncin es llamada una primitiva de f en I. Por supuesto que el primermtodo para buscar primitivas es la evidencia: Cada clculo de derivada,mirado de derecha a izquiera, da una primitiva. sen es una primitivade cos y exp lo es de s misma. Las reglas de derivacin (linealidad,derivadas de productos y cocientes y regla de la cadena), se convierten enreglas para calcular primitivas. Hasta hace pocos aos la habilidad en estosclculos se consideraba un mrito, pero esa habilidad fue ya aprendida porlos softwares matemticos, que pueden hacer nuestro trabajo con rapidezy exactitud (Clculo Simblico). Sin embargo, los fundamentos deben ser

180 Captulo 6 - Integracin

aprendidos porque se utilizan en muchas deducciones tericas. La primeraseccin trata de este problema.

No debe creerse que toda funcin tiene una primitiva. En la seccin 3.5nota 3 se dijo que la derivada de una funcin derivable en todo un intervaloI no puede tener discontinuidades de salto. Luego ninguna funcin conuna discontinuidad de salto podr tener una primitiva en todo un intervalo.Otras veces, con funciones continuas que s las tienen, resulta que esas prim-itivas no estn en la biblioteca de funciones que nosotros manejamos. Esdecir, no se obtienen a partir de operaciones simples con las funciones ele-mentales. Por ejemplo, si le pido al clculo simblico que tiene incorporadoel editor de texto con que estoy escribiendo estas notas una primitiva deexp

x2

, me responde as:Z

expx2

dx =

1

2

erf (x) .

erf no es una funcin conocida. Justamente se define como cierta particularprimitiva de exp

x2

. La existencia de primitivas para cualquier funcin

continua ser el objeto de la tercera seccin. La prueba es constructiva yslo daremos una idea de cmo se hace. El mtodo, que en este caso esnumrico y no simblico, pasa por saber calcular el rea de ciertas regionesplanas. Ese ser el tema de la segunda seccin.

6.1 Integral indefinida

Una funcin F cuya derivada es f en cierto intervalo es llamada unaprimitiva o una integral indefinida de f en ese intervalo. La tradicinestableci el smbolo

Rpara la operacin de buscar primitivas. Se escribeR

f (sin mencin de la variable) oRf (x) dx (mencionando la variable).

Este smbolo denota la operacin de buscar una primitiva de la funcin f.As, por ejemplo, Z

cos = sen ,Zx2dx =

1

3x3.

Pero tambin Zcos = sen + 1 yZ

x2dx =1

3x3 + 32.

6.1 Integral indefinida 181

Como se ve, si el signo = se entiende de la manera habitual, si sepiensa que

Rcos es una funcin (ya que se presenta igualada a sen

que s lo es), puesto que dos cosas iguales a una tercera son iguales entre s,concluiremos que sen = sen +1. Debemos entonces tener la precaucin deentender que

Rf y

Rf (x) dx son operaciones y que

Zf (x) dx = F (x) en I significa que F 0 (x) = x, x I. (2)

La expresin f (x) dx cubierta por el signo integral se llama integrando.El elemento dx que se lee diferencial equis, que aparece "multiplicando"en el integrando, no tiene significado en s mismo. La integracin es unaoperacin inversa de la derivacin y el smbolo dx multiplicando en laintegracin tiene un papel y una historia similares a los del dx dividiendoen la diferenciacin que se aclarar ms adelante. Advirtase que la mencinde la variable x es perfectamente intil cuando la funcin tienen nombre,como se ve en el ejemplo

Rcos = sen . Y si bien es necesaria cuando

la funcin no tiene nombre, como en el ejemplo Rx2dx = 13x

3, se tratade una "variable muda", que puede ser reemplazada por cualquier otra sinvariar el sentido. La expresin

Ru2du = 13u

3 tiene exactamente el mismosignificado. Nuestro conocimiento de que las primitivas de una funcinf forman una familia de funciones en la que dos miembros difieren enuna constante se suele recoger escribiendo, cuando F es una primitivacualquiera, Z

f (x) dx = F (x) + C.

Ntese que la insistencia en referir el concepto de primitiva a un intervalono es caprichosa. El teorema de unicidad en la seccin 3.3. tiene validez enun intervalo. Si aceptamos otro tipo de dominios, dos primitivas podranno diferir en una constante. En algunos libros se puede encontrar queZ

1

xdx = ln |x| . (3)

En efecto, ambas funciones tienen su dominio en = (, 0)(0,+) y,en ese conjunto, d

dxln |x| = 1

x. Pero no es un intervalo y no aceptaremos

aqu la frmula (3).

A partir de las derivadas que conocemos podemos construir una primeratabla de integrales inmediatas. Luego veremos tcnicas para calcular otras


integrales ms complicadas a partir de ellas (ver ejercicios 1. a 10.).Rxcdx = x

c+1

c+1 +K, para c 6= 1Rx1dx = lnx+K en (0,+) ,Rx1dx = ln (x) +K en (, 0) .Rsenx dx = cosx+CRcosx dx = senx+ CR

dx1x2 = arcsenx+ C, en (1, 1)Rdx1+x2

= arctanx+ CRex dx = ex + C

Ejercicios:

Calcular las siguientes integrales indefinidas. En los casos quecorresponda explicitar el intervalo de validez de la respuestadada.

1.Rxndx, n Z 2.

Rx1ndx, n Z, n 6= 0

3.Rsenxdx 4.

Rcosxdx

5.R

1cos2 x

dx 6.R(1 + tan2 x)dx

7.R

11x2dx 8.

R 11x2 dx

9.Rexdx 10.

Rdxx

11. Mostrar un ejemplo de una funcin con dos primitivas que nodifieren en una constante (Obviamente en una regin queno es un intervalo)

Cada propiedad de la derivacin se convierte en una propiedad de suoperacin inversa: la integracin indefinida. Ellas sern de gran utilidad en


el clculo de primitivas.

Linealidad

Usando la linealidad de la derivada, siRf = F y

Rg = G en un

intervalo, y , son constantes, (F + G)0 = F 0+G0 = f +g. Estoes,Rf + g = F + G. Este resultado se recuerda escribindolo as:Z

f + g = Zf +

Zg. (4)

Esta igualdad es una igualdad entre procedimientos: Para encontrar unaprimitiva de f + g, hay que encontrar una primitiva de f , multiplicarlapor y sumarle una primitiva de g multiplicada por .

Ejemplo 1.Z 5x3 + 3

x 1

cos2 x

dx = 5

Zx3dx+ 3

Z xdx

Zdxcos2 x

=

5 14x4 + 3 2

3x32 tanx+ C

Ejercicios:

Hallar las siguientes integrales indefinidas:

12.R 3x2 2x+ 1

dx 13.

R(anxn + ...+ a1x+ a0) dx

14.R(a cosnx+ bsennx) dx 15.

Rtan2 xdx

16.R

dxxa

17. Reescribir la frmula (4) en su versin con mencin de la va-riable independiente.

Sustitucin

A partir de la regla de la cadena:


ddx

F (g(x)) = F 0 (g (x)) g0 (x) ,

se deduce, simplemente por aplicacin de (2), queZF 0 (g (x)) g0 (x) dx = F (g(x)). (5)

Pero es difcil ver en un integrando concreto que se lo puede interpretarcomo en (5) Por ejemplo, si deseamos calcularZ

2x+ 1x2 + x+ 3

dx

Haciendo F (u) = lnu, g (x) = x2 + x 3, resulta F 0 (u) = 1uy g0 (x) =

2x+ 1. De modo queZ2x+ 1

x2 + x+ 3dx =

ZF 0 (g (x)) g0 (x) dx = F (g(x)) = ln

x2 + x+ 3

+ C,

por (5). Demasiadas cosas para manejar con un solo golpe de vista.

Lo que se hace es dividir el problema en dos. Si se advierte la presenciade una g y su derivada, el problema se reduce a encontrar la primitiva dela funcin "exterior". Esto es: para calcularZ

f (g (x)) g0 (x) dx, (6)

si F es una primitiva de f , esto es siZf (u) du = F (u) +C, (7)

Entonces Zf (g (x)) g0 (x) dx = F (g (x)) + C. (8)

La prueba es la misma,

ddx

F (g (x)) = F 0 (g (x)) g0 (x) = f (g (x)) g0 (x) . (9)

Slo que ahora uno no tiene que ver de antemano que f es una derivada.Hace la sustitucin u = g (x) , reemplaza g0 (x) dx por du, y se ponetranquilo a calcular la integral (7) dejando de lado la (6), ms complicada.Una vez resuelta (7) y encontrada la primitiva F , se vuelve a restituir a uel valor g (x) y se lee la solucin definitiva en (8). La prueba (9) Justifica


el reemplazo formal de g0 (x) dx por du hecho bajo el signo integral comosi se tratase de una igualdad. Es conveniente notar que

g0 (x) dx =dudx

dx = du,

como si los smbolos dx en numerador y denominador se simplificasen. Enla prctica se acta de esa manera.

Ejemplo 2. Calculemos la integral

I =Z

2x+ 1x2 + x+ 1

dx.

Haciendo la sustitucin u = x2 + x+ 1, resulta dudx= 2x+ 1. Luego

du = (2x+ 1) dx. Entonces,

I =Z

1udu = 2

u = 2

px2 + x+ 1 + C.

La validez del resultado es en toda la recta, ya que x2+x+1 > 0 x.

Ejercicios

Calcular las siguientes integrales

18.Rxex

2dx 19.

Rx3ex

4dx

20.Rx21 + x3

dx 21.

R log xxdx

22.R

1x(log x)ndx, n Z 23.

Re4xdx

24.R

xx+1dx 25.

Rsen x cosx dx

26.Rsen 2x cosx dx 27.

Rsen x1+cos2 x

dx

28.Rarctanx1+x2

dx 29.Rsen 2x dx

30.Rcos 2x dx 31.

Rdx

x2+a2

32. dxa2x2


Integracin por partes

Otra regla de derivacin que provee un mtodo de integracin es la reglade derivacin de un producto. De

ddx(f (x) g (x)) = d

dxf (x) g (x) + f (x) d

dxg (x)

resulta

f (x) ddx

g (x) =ddx(f (x) g (x)) g (x) d

dxf (x)

Integrando miembro a miembro y usando la linealidad (R

ddxh (x) dx = h (x)

por definicin),Zf (x) d

dxg (x) dx = f (x) g (x)

Zg (x) d

dxf (x) dx,(10a)

o bien,Zf (x) g0 (x) dx = f (x) g (x)

Zg (x) f 0 (x) dx. (10b)

El uso de variables dependientes y sustituciones formales tambin simplificalas frmulas en este caso. Poniendo

f (x) = u, g (x) = v, (11)

resulta

dudx

= f 0 (x) ,dvdx= g0 (x) , o sea

g0 (x) dx =dvdx

dx, f 0 (x) dx =dudx

dx

Si volvemos a simplificar dx, (10) toma la formaZudv = uv

Zvdu. (12)

Nuevamente, debe entenderse que las expresiones u, v, du y dv fuerondefinidas por (11) y por

du = f 0 (x) dx, dv = g0 (x) dx (13)

para su uso dentro del signo integral. Con esta definicin, (12) se convierteen (10) y su uso queda validado.


Ejemplo 3:

I =Zlnxdx

Interpretandolnx = udx = dv

se deduce que

du = 1xdx

v = x.

Luego, la aplicacin de (12) da

I =Zudv = uv

Zvdu = x lnx

Zx1

xdx = x lnx x+C.

Se puede comprobar el resultado obtenido derivando:

ddx(x lnx x) = lnx+ x1

x 1 = lnx.

Ejercicios

Hallar las integrales siguientes.33.

Rarcsenx dx 34.

Rarctanx dx

35.Re2x sen 3x dx 36.

R(lnx)2 dx

37.Rx2ex dx 38.

Rx senx dx

39.Rx cosx dx 40.

Rx2 senx dx

41.Rx2 lnx dx

Funciones racionales

Recordemos que una funcin racional es aquella que se escribe comocociente de dos polinomios. La integracin de funciones racionales es esen-cialmente un problema algebraico. Si se conocen todas las races del deno-minador, la funcin racional se puede descomponer en fracciones parciales,y stas se integran con mtodos muy simples. No nos parece interesanteinsistir sobre este mtodo, cuyo desarrollo el lector podr encontrar en [1].Para aplicarlo, es necesario primero hallar la factorizacin del denominador,que implica calcular sus races. El clculo de las races de un polinomio ha


sido un tema de alta preferencia de los matemticos. Es interesante teneruna somera idea de su historia. Por ejemplo una nota muy accesible se en-cuentra en [8] , 18 19. Mostraremos aqu algunas ideas bsicas y algunosejemplos sencillos.

Ante todo, siempre se trabaja con "fracciones propias", esto es el gradodel numerador estrictamente menor que el grado del denominador. Porquedada una funcin racional cualquiera f (x) = P (x)Q (x), se hace ladivisin entera (ver ejemplo 8 en seccin 3.1) P = QS + R con gr (R) 0. Tiende esta rea hacia un lmite conforme B tiendehacia ?

Calcular las siguientes integrales

70.R 21 x

3 lnxdx 71.R 21

x lnxdx

72.R 11 xe

xdx

6.2 Integral definida 205

Comentarios sobre el origen de la notacin

Dada la relacin funcional y = f (x) , de llamar x = h, al incre-mento sufrido por la variable independiente y y = f (x+x) f (x),al incremento de la variable dependiente, surgi, al considerar el lmite delcociente incremental

limx0

yx

= f 0 (x) ,

el nombre dydx

para ese lmite.

Una forma de calcular el rea bajo el grfico de una funcin continua fentre las cotas a y b, consiste en dividir el intervalo [a, b] por medio deuna particin. Se eligen n1 puntos intermedios y se divide el intervaloen n sub-intervalos:

a = x0 < x1 < ... < xn = b

La particin queda identificada por los puntos de subdivisin:

P = {x0, x1, ..., xn} .Una medida de su finura o precisin est dada por la "norma" de la particin:kPk = max (xi xi1). En cada intervalo [xi1, xi] se elige un puntocualquiera i y se consideran las llamadas sumas de Riemann

nXi=i

f (i) (xi xi1) (25)

Una representacin grfica ayuda a comprender el objeto de estas sumas

x

y

ix1ix ifigura 6.8


Si se llama xi = xi xi1, la suma de Riemann (25) se puede reescribir

nXi=i

f (i)xi

O bien, abreviadamente, XP

f (x)x.

Pues bien, se prueba queZ ba

f (x) dx = limkPk0

XP

f (x)x.

Hecho que explica la notacin y la existencia de la partcula dx en laintegral.

6.3 Algunas aplicaciones

Clculo de reas. Ejemplo. rea de un crculo de radio r. Se obtiene lamitad del rea con

I =Z rr

pr2 x2dx = r

Z rr

r1

xr

2dx

xr

= sen t dx = r cos tdt

I = r2Z arcsen (1)arcsen (1)

cos2 tdt = r2Z arcsen (1)arcsen (1)

1 + cos 2t2

dt

= r2(1

2t

2

2

+1

4sen 2t

2

2

=2+ 0

)=2r2

Trabajo. Para una fuerza constante F que se desplaza a lo largo de unsegmento [a, b], el trabajo realizado por la fuerza se define como elproducto F (b a) . si la fuerza es variable y ponemos el segmentoen un sistema de coordenadas, digamos que el valor de la fuerza enel punto x es F (x) (la componente de la fuerza en la direccinab). Hecha una particin P en [a, b] con puntos intermedios i,una aproximacin del trabajo en todo el intervalo la da la suma de lostrabajos en cada intervalito con fuerza constante F (i) :

T =X

F (i)xi

6.3 Algunas aplicaciones 207

Es razonable entonces definir el trabajo de la fuerza en el intervalopor

T =Z ba

F (x) dx

Longitud de arco. Dada una curva descripta como grfico de una funcinf , entre dos extremos (a, f (a)) y (b, f (b)), tomada una particinP del intervalo [a, b], la longitud de la poligonal que une los puntos(xi, f (xi)) es una buena aproximacin de la longitud de la curva.

iy

ix

1ix ixfigura 6.9

Para estimar la longitud de cada segmento de la poligonal, segn elteorema de Pitgoras, sirve el nmero

px2 +y2 =

r1 +

y2

x2x

que da una longitud total

Xs1 +

yx

2x.

Cuando la norma de la particin tiende a cero, esta suma se convierteen

L =Z ba

s1 +

dydx

2dx


Ejemplo. Longitud de la semicircunderencia de radio r con centroen el origen.

y = f (x) =pr2 x2 entre r y r

dydx

=xr2 x2

,dydx

2=

x2

r2 x2 , 1 +dydx

2=

r2

r2 x2 =1

1 +xr

2L =

Z rr

1q1 +

xr

2dx =Z 11

1q1 + (u)2

rdu =

= r arcsenu|11 = r2+2

= r.

Ejercicios:

73. Hallar la longitud del grfico de y =r2 x2 para r cos

x r. Comparar con los resultados del captulo 1.

74. Un resorte tiene 45cm de largo y se necesita una fuerza de5kgr para mantenerlo comprimido a una longitud de 40cm.Si la fuerza est dada como f (x) = kx, donde k es unaconstante y x es el decrecimiento en la longitud, cul esla constante k?. Cunto trabajo se realiza al comprimir elresorte de 40cm a 30cm?

75. Una partcula atrae a otra con una fuerza inversamente pro-porcional al cuadrado de la distancia que las separa. Sea Cla constante de proporcionalidad. Si ponemos el origen decoordenadas en la primer partcula, cunto trabajo trabajose realiza al mover la segunda partcula a lo largo de unarecta, alejndola de la primera desde una distancia r1 hastauna distancia r > r1?

6.4 Complementos

Notas:

Demostracin del TFC.

6.4 Complementos 209

F (x+ h) F (x)h

=1

h

Z x+hx

f (t) dt, (ejercicio 48.b)

mientras que

f (x) =1

h

Z x+hx

f (x) dt

por (19) y (22). Luego, para h > 0,F (x+ h) F (x)

h f (x)

=

Z x+hx

f (t) dtZ x+hx

f (x) dt

=Z x+h

x

[f (t) f (x)] dt 1

h

Z x+hx

|f (x) f (t)| dt

maxt[x,x+h]

|f (x) f (t)| hh

= maxt[x,x+h]

|f (x) f (t)| .

Para finalizar la prueba de que F 0 (x) = f (x) se deberdemostrar que la ltima expresin tiende hacia 0 para h 0.Ahora bien, como f es continua, la funcin de t |f (x) f (t)|alcanza su mximo relativo al intervalo [x, x+ h] en un punto = (h) de ese intervalo. Adems,

x (h) x+ h limh0

(h) = x.

Por lo tanto, haciendo uso nuevamente de la continuidad de f ,

limh0

maxt[x,x+h]

|f (x) f (t)| = limh0

|f (x) f ( (h))|= |f (x) f (x)| = 0

El clculo con h < 0 es lo mismo perturbado por algunos signos

Otra definicin del logaritmo.

Conocida la teora de integracin, se puede tomar otro camino para ladefinicin de logaritmo y exponencial. El mtodo que usamos en el captulo4 para definir el logaritmo nos di por resultado una funcin en (0,+),nula en el 1 y con derivada 1

x. La construimos a partir de la exponencial,

cuya existencia y propiedades se aceptaron sin demostracin. Si en cambiono suponemos la existencia de una funcin exponencial y usamos el teorema


de existencia y unicidad de solucin de PVI (teorema 2), podemos deducirla existencia de una funcin, que llamaremos ln, definida para x > 0 por

lnx =Z x1

dtt,

solucion de dydx= 1

x

y|x=1 = 0.

Es ahora fcil ver que ln (xy) = lnx + ln y. En efecto, Considerando ycomo una constante,

ddx[ln (xy) (lnx+ ln y)] = y

xy 1x= 0

ln (xy) (lnx+ ln y) = C,

siendo C = C (y) una constante, en principio diferente para cada valorprefijado de y. Pero poniendo x = 1 sigue que C (y) = 0 culquiera seay.

La funcin ln es estrictamente creciente en (0,+) y, por lo tanto,tiene una inversa que puede ser llamada exp . Es un ejercicio ver que exptiene todas las propiedades que debe tener. El nmero e se define comoexp (1) .

De igual manera se puede llegar a una prolija presentacin de las fun-ciones trigonomtricas, a partir de sus inversas, definiendo

arcsenx =Z x0

dt1 t2

, 1 < x < 1.

Vale la pena mirar el libro de Lipman Bers [7]

Mtodo de los trapecios

Dada una funcin continua f en un intervalo [a, b], el mtodo de lostrapecios permite calcular valores aproximados de

R baf (x) dx. El mtodo

es el siguiente. Para cada nmero natural n, se divide el intervalo [a, b] enn subintervalos por medio de los puntos

a, a+ h, a+ 2h, ..., a+ nh = b; con h =b an

.

A continuacin se suman las reas de los trapecios determinados por esos

6.4 Complementos 211

puntos y el grfico de f :

Sn =f (a) + f (a+ h)

2h+

f (a+ h) + f (a+ 2h)2

h+

+ f (a+ (n 1)h) + f (b)2

h

=h2[f (a) + 2f (a+ h) + 2f (a+ 2h) + + 2f (a+ (n 1)h+ f (b))]

a bfigura 6.10


Referencias

[1] Serge Lang, Clculo, Addison Wesley Iberoamericana (1990).

[2] Michael Sullivan, Preclculo - 4ta. Edicin - Prentice Hall (1996).

[3] Michael Spivak, Calculus, 2a Edicin, Revert S.A. (1992).

[4] G. Thomas y R. Finney, Clculo con Geometra Analtica vol I,Addison - Wesley Iberoamericana (1977).

[5] A. Aragn, J. Pinasco, C. Schifini y A. Varela, Introduccin a laMatemtica, U.N.G.S. (2006).

[6]R. Courant y F. John, Introduccin al Clculo y al Anlisis Matemtico,Limusa (1974).

[7] L. Bers, Calculus, Holt, Rinehart and Winston; 2d ed edition (1976)

[8] J. Rey Pastor, P. Pi Calleja y C. A. Trejo, Anlisis Matemtico I,Kapelusz (1952).

[9]W. Rudin, Principios de Anlisis Matemtico, Mc. Graw Hill (1966).

[10] Creighton Buck, Clculo Superior, Mc. Graw Hill (1969).

[11] J. Araujo, G. Keilhauer, N. Pietrocola y V. Vavilov, Area y Volumenen la Geometra Elemental, Red Olmpica (2000).

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