( 5.1 ) CAPTULO 5 VIGAS DE CIMENTACIN RESUMEN Se presenta la solucin de vigas de cimentacin de seccin constante sobre un suelo que se consideralinealmenteelstico,sedetallaelmarcoterico,seresuelvenejerciciosmanualmentey finalmenteseindicaelusodelprogramaCIMEVIGAquesirvepararesolvervigasdecimentacin. Este programa reporta el desplazamiento vertical, la presin trasmitida al suelo, el giro, el momento y el cortante cada cuarto de la luz de cada vano. El programa permite resolver vigas con cargas en los nudosovigascancargasenloselementosolasdossimultneamenteparacualquiercondicinde apoyo. Finalmente se describe la solucin de vigas de cimentacin en forma de T invertida. 5.1INTRODUCCIN EnreconocimientoalagranlabordelgraninvestigadoryprofesorquefueelIng.Alejandro SegoviaGallegos,sehaescritoestecaptuloutilizandolamismanomenclaturayconvencinde signos, queutiliz en la solucin de vigas de cimentacin sobre suelo elstica pero adaptndola a la solucin matricial que permite la elaboracin de un programa de ordenador en forma fcil. Laecuacindiferencialquegobiernaelcomportamientodevigassobresueloquese considera elstico, es la siguiente: EIPEIw rdxw do= + |44 dondew es la componente dedesplazamiento vertical de un punto situado a una distanciaxde la viga de cimentacin;| es el coeficiente de balasto del suelo, del cual muy poco se va a hablar en este texto ya que est descrito con verdadero detenimiento en los libros de suelos;res el ancho de la viga de cimentacin;EIes la rigidez a flexin y oPes la carga vertical que gravita sobre la viga. Elmodelonumricomodelaalsuelocomounaseriederesortesverticalesycadaunode ellostieneunarigidezqueesigualar | .Lafuerzaoreaccinquesegeneraencadaresortees igual aw r |y la presin que se transmite al suelo por efecto de las cargas valew | . La solucin de la ecuacin diferencial ( 5.1 ) se resume en la tabla 5.1 CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 104 ( 5.2 ) ( 5.3 ) Tabla 5.1Expresiones finales de la solucin de una viga de cimentacin. Solucin Particular Factor . .C c. .S c. .C s. .S s= wow1A1A2A3A4 = ooo / 1A2+A3A1+A4-A1+A4-A2+A3 = mom2/ 2 EI-A4-A3A2A1 = VoV3/ 2 EIA2-A3A1-A4A1+A4A2+A3 La forma de interpretar cada una de las ecuaciones escritas en la tabla 5.1, es por ejemplo la siguiente para el cortante. ( ) ( ) ( ) ( )

+ + + + + + =. . . . . . . .33 2 4 1 4 1 3 22S s A A C s A A S c A A C c A AEIV Vo donde oVes la solucin particular del cortante que depende del tipo de carga que gravita en la viga. El significado de las variables descritas en la tabla 5.1 es el siguiente: 4. .. .4coshcosrEIu C u senh Sxu u c u sen s|= = == = = Por otra parte, A1, A2, A3 y A4 son constantes de integracin, las mismas que se calculan en funcin de las condiciones de borde.w como se indic es la componente de desplazamiento vertical, positivo siva haciaabajo;o es el giro,positivo si eshorario;mes el momento, positivo si genera traccin en la parte inferior de la vigayVes el corte positivo si el lado izquierdo la fuerza es hacia arribayenelladoderecholafuerzaeshaciaabajo.Lassolucionesparticularesqueestn identificadas con un subndice cero dependen del tipo de carga que gravita sobre la viga. 5.2MATRIZ DE RIGIDEZ DE UN ELEMENTO En la figura 5.1 se presenta el sistema de coordenadas locales de un elemento de unaviga decimentacin.Paracimentacioneshorizontaleslascoordenadasglobalessonigualesalas coordenadaslocales.Enlasolucinmatricialseconsideraquelacomponentededesplazamiento verticalw es positiva si va hacia arriba y los giros son positivos si van en sentido horario. Ntese que primero se ha numerado el giro del nudo inicial, luego el desplazamiento vertical del nudo inicial, despus el giro y desplazamiento vertical del nudo final. Con esta indicacin, que se debe tener en cuenta para definir el vector de colocacin,se pasa a indicar la matriz de rigidez de un elemento. = k

t b t bb k b at b t bb a b ko ooo oo CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 105 ( 5.4 ) ( 5.5 ) Figura 5.1Coordenadas locales de un elemento. Se ha identificado conka la matriz de rigidez del elemento (con negrilla y minscula) y con ka un elemento de la matriz de rigidez (sin negrilla). Las ecuaciones con las cuales se obtienen los elementos de la matriz de rigidez, son: 2 2 3 2 2 32 2 2 2 22 22 22 2 24 44 22 2s SCs Sc EIts Ssc SC EIts SsS EIbs SSc sC EIas SS s EIbs Ssc CS EIkoo+- =+- =- =- =+- =- = Las funciones trigonomtricas e hiperblicas que constan en ( 5.4 ) son: LCLsenh SLcLsen scoshcos= == = 5.3 MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA ParaencontrarlamatrizderigidezdelaestructuraK (connegrillaymayscula)se encuentra en primer lugar la matriz de rigidez de cada uno de los elementosk , luego se determina el vectordecolocacinqueparavigasdecimentacintienecuatroelementos,quesonlosgradosde libertaddelgiroydesplazamientoverticaldelnudoinicialyfinalrespectivamente.Finalmentese ensambla la matriz de rigidez. -EJEMPLO 1 Encontrarlamatrizderigidezdelaestructura,porensamblajedirecto,delavigade cimentacinindicadaenlafigura5.2.Lavigatieneunabasede60cmyunperaltede50cm.La longitud de cada uno de los vanos es de4.0 m. Esta sobre un suelo cuyo coeficiente debalastoes 3/ 3000 m T = | . El mdulo de elasticidad del material tiene un valor 2/ 2100000 m T E = . CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 106 SOLUCIN 43 300625 . 0125 . 0 6 . 012mh rI =-= = Figura 5.2Viga de cimentacin que se resuelve. 3466269 . 6 988704 . 0 706319 . 2988704 . 03239 . 20 . 4149877 . 03239 . 20 . 4cos706319 . 23239 . 20 . 488516 . 23239 . 20 . 4cosh3239 . 26 . 0 300000625 . 0 2100000 * 42 2 2 24= = = = = == = = ==--=s Ssen s csenh S Cm Al utilizar las ecuaciones indicadas en ( 5.4 ) se encuentra: 86 . 1612 74 . 5048 55 . 409891 . 6357 94 . 5798 61 . 14160= = == = =o ot t bb a k Luego la matriz de rigidez del elemento es: = k

74 . 5048 91 . 6357 86 . 1612 55 . 409891 . 6357 61 . 14160 55 . 4098 94 . 579886 . 1612 55 . 4098 74 . 5048 91 . 635755 . 4098 94 . 5798 91 . 6357 61 . 14160 Figura 5.3Grados de libertad de la estructura. CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 107 Cada nudo de una viga de cimentacin tiene dos grados de libertad que son la rotacin y el desplazamientovertical.Enconsecuencia,alnoexistirningunarestriccindemovimientoenlos nudosdelaestructuraqueseestresolviendo,setienen6gradosdelibertad,losmismosquese indican en la figura 5.3. La viga de la izquierda se denomina elemento 1 y la viga de la derecha elemento 2. Con esta identificacin el vector de colocacin de cada elemento es: | || | 6 5 4 34 3 2 1) 2 () 1 (==VCVC Al efectuar el ensamblaje directo de la matriz de rigidez de la estructura se halla:

=74 . 5048 91 . 6357 86 . 1612 55 . 4098 0 . 0 0 . 061 . 14160 55 . 4098 94 . 5798 0 . 0 0 . 048 . 10097 0 . 0 86 . 1612 55 . 409822 . 28321 55 . 4098 94 . 579874 . 5048 91 . 635761 . 14160K ARCHIVO DE DATOS DE PROGRAMA CAL B1 LOADK1 R=4C=4 14160.61 -6357.91 5798.944098.55 -6357.915048.74 -4098.55-1612.86 5798.94-4098.55 14160.61 6357.91 4098.55-1612.866357.91 5048.74 DUP K1 K2 LOADI VCR=4C=2 13 24 35 46 ZERO KR=6 C=6 ADDK K K1VC N=1 ADDK K K2VC N=2 PRINTK QUIT 5.4 VECTORES DE CARGAS Y COORDENADAS GENERALIZADAS En la figura 5.2 se indica las cargas actuantes en la viga de cimentacin y en la figura 5.3 se muestraelsistemadecoordenadasgeneralizadas.Cuandolascargasactanenlasjuntassolose debe ver en que coordenada acta la carga y si es en el mismo sentido de la coordenada es positivo, caso contrario es negativo. Para el ejemplo el vector de cargas vale: CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 108

=504600504Q Parahallarelvectordecoordenadasgeneralizadasq sedeberesolverelsistemade ecuaciones lineales, en la que la matriz de rigidez de la estructuraKes la matriz de coeficientes y el vectorQes el trmino independiente. SOLUCIN

=021263 . 00072919 . 00068153 . 00 . 0021263 . 00072919 . 0q 5.5SOLUCIN EN PUNTOS INTERIORES A LA VIGA Si se contina con la solucin matricial vista en captulos anteriores se obtendra las fuerzas y momentosqueactanenlosextremosdelavigaperoenundiseoamsdetenervaloresenlos extremos se necesita conocer el desplazamiento vertical, la presin que se transmite al suelo, el giro, el momentoyel corteenpuntos interiores a laviga, para lograreste objetivo se utiliza el formulario indicado en la tabla 5.1 pero previamente se debe calcular las constantes de integracin. ParacalcularlasconstantesdeintegracinA1,A2,A3yA4sedeberecurriralos desplazamientos verticales y giros ya conocidos y aplicar el formulario indicado en la tabla 5.2. Tabla 5.2Formulario para calcular las constantes de integracin. FACTOR 10 1e e ( )10 1o o 20 2e e ( )20 2o o A1 =11000 A2 = 2 21s S ( ) sc SC + 2s sC cS + sS A3 = 2 21s S sc CS +2S( ) sC cS + sSA4 = 2 21s S ( )2 2s S + ( ) sc SC sS 2 sC cS Donde 10 10, o ecorresponden a la solucin particular en el nudo inicial, que depende del tipo de carga que acta sobre la viga; 20 20, o ecorresponden a la solucin particular en el nudo final. Por CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 109 otraparte, 1e eseldesplazamientoverticalenelnudoinicialperoconlanuevaconvencinde signos, se considera positivo si va hacia debajo; 1oes el giro en el nudo inicial, positivo si es horario; 2ees el desplazamiento vertical en el nudo final, positivo si es hacia abajo y 2oes el giro en el nudo final, positivo si es horario. Por lo tanto los desplazamientos verticales que vienen en el vectorq deben cambiarse de signo para utilizar el formulario de la tabla 5.2. Las constantes de integracin que se encuentran en la tabla 5.2 se obtienen reemplazando el valorde los desplazamientosy giros enla tabla 5.1 en0 = X que corresponde al nudo inicialy en L X = quecorrespondealnudofinal.Alhacerestosetienencuatroecuacionescon4incgnitas que son las constantes A1, A2, A3 y A4. Al resolver el sistema de ecuaciones anotado se obtiene las ecuaciones presentadas en la tabla 5.2. En consecuencia, una vez que se tiene el vectorqse debe encontrar para cada elemento lo siguiente: i.Desplazamiento y giro en los nudos2 2 1 1, , , o e o e . Teniendo en cuenta el cambio de signo en los desplazamientos. ii.Si existe carga en los miembros y de acuerdo al tipo de carga se debe hallar 10 10, o een el nudo inicial y 20 20, o een el nudo final. iii.CalcularlasconstantesdeintegracinA1,A2,A3yA4medianteelformulario indicado en la tabla 5.2. iv.Hallareldesplazamientoverticale ,elgiroo ,elmomentomyelcortanteV en los puntos interiores de la viga, se puede empezar en0 = Xy terminar en L X = . v.Lapresinquesetransmitealsueloseobtienemultiplicandoeldesplazamiento verticalporelcoeficientedebalastodesuelo.Estapresinenningncasoser negativa ya que el suelo no trabaja a traccin y deber ser menor o igual a la presin admisibledelsuelo.Sinocumpleestasdoscondicionessedebeincrementarla seccin de la viga. 5.6SOLUCIONES PARTICULARES Y ACCIONES DE EMPOTRAMIENTO Se va a encontrar la solucin particular para el caso de carga uniforme distribuida indicada en la figura 5.4. Para el efecto se debe resolver laecuacin diferencial ( 5.1 ). Figura 5.4Acciones de empotramiento para una viga sometida a carga uniforme distribuida. Por se la carga uniforme se plantea que la solucin sea una constante, si la carga habra sido de tipo lineal la solucin particular tambin habra sido del tipo lineal. Luego: CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 110 ( 5.6 ) ( 5.7 ) Ao = eLa derivada es cero y al sustituir en: EIPEIw rdxw do= + |44 Se obtiene: rPAEIPEIA ro o||= = Luego: rPoo|e =De otro lado se conoce que: 444 4||EIrrEI= = Finalmente se tiene: EIPoo44e = Al ser oe constante, se tiene que0 ; 0 ; 0 = = =o o oV m o Lasaccionesdeempotramientoperfectoseobtienenparacuandonoexistecorrimiento verticalnigiroenlosnudosinicialyfinal.Enconsecuenciasedebereemplazar 02 1 2 1= = = = o o e e entabla5.2.AdemssedebereemplazarEI Po4 /420 10 e e = = ;de igualforma020 10= = o o .Alhacertodosestosreemplazossehallanlasconstantesdeintegracin A1, A2, A3 y A4. Finalmente al sustituir las constantes de integracin en el formulario de tabla 5.1 y al evaluar en X=0 se hallan las acciones de empotramiento en el nudo inicial y al evaluar en X=L se encuentran las acciones deempotramientoen el nudo final.Para la nomenclaturay simbologa de figura5.4 se tiene: V V M Ms Sc CP Vs Ss S PMoo= =|.|

\|+=|.|

\|+ =' '22 5.7USO DE PROGRAMA CIMEVIGA El programa CIMEVIGA resuelve vigas de cimentacin sobre suelo elstico con cargas en los nudos y cargas en los elementos. No es obligatorio que tenga los dos tipos de carga. La informacin que se debe suministrar en el archivo de datos es la siguiente: CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 111 -Nmerodenudos,nmerodenudosrestringidos,nmerodemiembrosymdulode elasticidad. -Para cada elemento se debe indicar: el nmero del elemento, el nudo inicial y el nudo final. -Paracadaelementosedebeindicar:elnmerodelelemento,lalongituddelelementoyel coeficiente de balasto. -Posteriormenteparacadaelementosedebedarelnmerodelelemento,labasedela seccin transversal y la altura de la seccin transversal. -Se debe indicar el nmero de juntas cargadas. -Paracadajuntacargadasedebeindicar:elnmerodelajunta,elmomentoactuanteyla fuerzaactuante,enesteorden.Elmomentoespositivosieshorarioylacargavertical positiva si va hacia arriba. -Se debe indicar el nmero de elementos cargados. -Elprogramasolotrabajaconcargauniformedistribuida.Porlotantosedebeindicarel nmero de elemento cargado y la carga que acta sobre el elemento. -EJEMPLO 2 Resolvercompletamentelavigadelafigura5.2,conelprogramaCIMEVIGA.Presentarel archivo de datos e indicar los resultados cada cuarto de luz. SOLUCIN Elprogramaencuentraeldesplazamientovertical,elgiro,elmomentoyelcortante,cada cuarto de luz. Antes de cada grupo de datos se debe indicar cualquier comentario. ARCHIVO DE DATOS DATOS: NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, MODULO DE ELASTICIDAD 302 2100000.0INFORMACION DE ELEMENTOS: ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 112 223 LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO 1 4.03000.0 2 4.03000.0 SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 10.60 0.50 20.60 0.50 CARGAS EN LAS JUNTAS: NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 3 JUNTA CARGADA: NUMERO DE JUNTA, MOMENTO, FUERZA 14.00-50.0 20.00-60.0 3-4.00-50.0 CARGAS EN LOS ELEMENTOS: NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 0 SOLUCION Lamatrizderigidezdecadaelemento,lamatrizderigidezdelaestructura,elvectorde cargasyelvectordecoordenadasgeneralizadasreportaelprograma.Estosvaloresyafueron presentados por lo que se omite su presentacin. Los resultados cada cuarto de luz son: CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 112 Tabla 5.3Desplazamiento, giro, momento y corte cada cuarto de luz, de ejemplo 2. ElementoDistanciaDesplazamiento PresinGiroMomentoCorte ( m. )( m. )(T/m2)( rad. )( T. m. )( T. ) 10.000.02126363.79-0.007294.00-50.00 1.000.01434143.02-0.00614-29.02-18.14 2.000.00946528.39-0.00353-35.912.89 3.000.00721621.65-0.00110-25.3617.54 4.000.00681520.450.000000-1.5330.00 20.000.00681520.450.000000-1.53-30.00 1.000.00721621.650.00110-25.36-17.54 2.000.00946528.390.00353-35.91-2.89 3.000.01434143.020.00614-29.0218.14 4.000.02126363.790.007294.0050.00 Laconvencindesignosdelosmomentosindicadosenlatabla5.3esladeresistenciade materiales. Por lo tanto si los momentos son positivos la traccin es en la fibra inferior y si son negativos en la fibra superior. El cortante es positivo si en el nudo inicial la fuerza es hacia arriba y en el nudo final la fuerza es hacia abajo. -EJEMPLO 3 La viga de cimentacin de la figura 5.5, tiene una base de 60 cm., y un peralte de 50 cm. Los apoyos no permiten desplazamiento vertical de tal manera que solo se tiene un giro en cada nudo. El primer vano tiene 4.0 m. de luz y un coeficiente de balasto de 3000 T/m3 ; el segundo vano tiene 4.5 m. de luz y un coeficiente de balasto de 3000 T/m3; el tercer vano tiene 4.0 m. de luz y un coeficiente de balasto de 1000 T/m3. Las cargas que actan sobre cada uno de los elementos estn indicadas en figura5.5.SepidepresentarelarchivodedatosparaelprogramaCIMEVIGA.Indicarcualesla matriz de rigidez de la estructura, el vector de cargas generalizadas, el de coordenadas generalizadas ylosdesplazamientosverticales,lapresintransmitidaalsuelo,giros,momentosycortantescada cuartodeluz.Elmdulodeelasticidaddelmateriales2100000T/m2.Esteejercicioestresuelto manualmente en Hidalgo (1989). SOLUCIN La matrizde rigidez del elemento 1, fue presentadaen elejemplo 1, con detalle. Los cuatro grados de libertad que tiene la estructura se indican en la figura 5.6. Figura 5.5 Descripcin de la viga de cimentacin a resolver. CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 113 Figura 5.6Grados de libertad ARCHIVO DE DATOS DATOS: NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, MODULO DE ELASTICIDAD 443 2100000.0NUDO RESTINGUIDO: NUMERO DE NUDO, RESTRICCION AL GIRO, RESTRICCION AL DESPLA. 10 1 20 1 30 1 40 1 INFORMACION DE ELEMENTOS: ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 112 223 334 LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO 1 4.0 3000.0 2 4.5 3000.0 3 4.0 1000.0 SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 10.60 0.50 20.60 0.50 30.60 0.50 CARGAS EN LAS JUNTAS: NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 0 CARGAS EN LOS ELEMENTOS: NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 3 ELEMENTOS CARGADOS: NMERO Y CARGA VERTICAL 1 3.0 2 4.8 3 2.0 SOLUCIN

=570 . 13483 108 . 6295 00 . 0 00 . 0108 . 6295 282 . 26577 749 . 4791 00 . 000 . 0 749 . 4791 323 . 27254 936 . 579800 . 0 00 . 0 936 . 5798 612 . 14160K

=

=000113 . 0000173 . 0000116 . 0000218 . 0612 . 2756 . 4603 . 3766 . 3q Q CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 114 ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 1 DIST. DESPLA. GIRO MOMENTO CORTE PRESION .00 .000000.00022 .000003.86208 .00000 1.00 .000179.000112.423731.03988 .17858 2.00 .000190 -.000082.14223 -1.59968 .18957 3.00 .000054 -.00015-.82150 -4.36949 .05429 4.00 .000000.00012 -6.67701 -7.36005 .00000

ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 2 DIST. DESPLA. GIRO MOMENTO CORTE PRESION .00 .000000.00012 -6.677019.88491 .00000 1.13 .000298.000301.498234.75383 .29793 2.25 .000495.000014.25306 .21158 .49483 3.38 .000322 -.000291.98534 -4.30277 .32162 4.50 .000000 -.00017 -5.65778 -9.39768 .00000

ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 3 DIST. DESPLA. GIRO MOMENTO CORTE PRESION .00 .000000 -.00017 -5.657785.39736 .00000 1.00-.000020.00008 -1.268893.37900-.01978 2.00 .000070.000071.113221.39449 .06987 3.00 .000087 -.000041.53326-.55262 .08716 4.00 .000000 -.00011 .00000 -2.52280 .00000 -EJEMPLO 4 A lavigade cimentacin de la figura 5.7llegan tres columnas pero la viga tiene en sus dos extremosunosvoladizoselunode1.50m.,delongitudyelotrode1.80m.,delongitud.Losdos vanos centrales son de 6.0 m., cada uno. En el tramo izquierdo de 1.50 m., el coeficiente de balasto es igual a 2000 T/m3; en el de 6.0 m., el coeficiente de balasto es igual a 2500 T/m3, en el siguiente vano de 6.0 m., el coeficiente de balasto es de 2500 T/m3 y en el ltimo vano de 1.8 m., de longitud el coeficiente de balasto es de 2000 T/m3. La base de la viga es constante en toda su longitud y vale 1.8 metros, el peralte de cadatramo va cambiandoy tiene las siguientes dimensiones: 58.48 cm., en el vano en voladizo; 64.375 en el segundo vano; 66.943 en el tercer vano y 58.48 cm., en el ltimo vano. Elmdulodeelasticidaddelmateriales2100000T/m2.Sepidepresentarelarchivodedatospara resolverestavigadecimentacinconelprogramaCIMEVIGAypresentarlosdesplazamientos,la presintransmitidaalsuelo,giros,momentosycorte,cadacuartodelaluz.Esteejercicioest resuelto manualmente en Hidalgo (1999). Figura 5.7Viga de cimentacin con voladizos. CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 115 -SOLUCIN Aligualqueenvigasenelaire,quetienenvoladizos,sepuedeanalizaraparteelvoladizo, encontrar las acciones de empotramiento perfecto y colocarle como carga en el nudo, cambiando de sentido. Esta es una posibilidad y la otra es considerar al extremo del voladizo como un nudo ms, la ltima opcin es la que se considera en el presente ejemplo, de tal manera que la estructura tiene 10 grados de libertad. ARCHIVO DE DATOS DATOS: NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, MODULO DE ELASTICIDAD 504 2100000.0INFORMACION DE ELEMENTOS: ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 112 223 334 445 LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO 1 1.5 2000.0 2 6.0 2500.0 3 6.0 2500.0 4 1.8 2000.0 SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 11.80 0.5848 21.80 0.6437 31.80 0.6694 41.80 0.5848 CARGAS EN LAS JUNTAS: NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 3 NUMERO DE LA JUNTA CARGADA, MOMENTO Y FUERZA VERTICAL 2 20.0-65.0 3 35.0-85.0 4 25.0-75.0 CARGAS EN LOS ELEMENTOS: NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 0 Tabla 5.4Desplazamiento, giro, momento y corte cada cuarto de luz, de ejemplo 3. ElementoDistanciaDesplazamientoPresinGiroMomentoCorte ( m. )( m. )(T/m2)( rad. )( T. m. )( T. ) 10.000.0041758.35-0.000210.000.00 0.380.0040988.20-0.000211.055.58 0.750.0040178.03-0.000224.1811.06 1.130.0039277.85-0.000269.3316.43 1.500.0038167.63-0.0003416.4821.66 20.000.0038167.63-0.0003436.48-43.34 1.500.0030696.14-0.00052-10.35-19.96 3.000.0025295.06-0.00015-25.90-1.39 4.500.0026255.250.00025-15.2815.66 6.000.0030726.140.0002322.2434.90 30.000.0030726.140.0002357.24-50.10 1.500.0030056.01-0.00016-2.21-29.27 3.000.0029315.860.00014-31.20-9.49 4.500.0035417.080.00067-29.9211.90 6.000.0047919.580.000907.8039.81 CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 116 ( 5.8 ) 40.000.0047919.580.0009032.80-35.19 0.450.00515110.300.0007218.76-27.12 0.900.00545010.900.000628.47-18.53 1.350.00572011.440.000592.15-9.48 1.800.00598311.970.000580.000.00

5.8VIGATINVERTIDA En la eleccin de la forma de la seccin transversal de la viga de cimentacin, se debe tener presente que se requiere que la viga tenga gran inercia a flexin y adems que el ancho de la misma sea adecuado para que le de estabilidad a la cimentacin. Estas dos condiciones se las cumple con las vigas T invertidas, ya que tienen una gran base que le da estabilidad y un gran peralte con lo que se garantiza una considerable inercia a flexin. En la figura 5.8 se presenta la seccin transversal de la viga T que se propone, la misma que tiene un ancho superior de magnitud ty un ancho inferior de magnitud 3t. Por otra parte el peralte del ala es d y el resto del peralte es 1.5 d. De tal manera que la altura total de la seccin transversal es 2.5 d. Figura 5.8Nomenclatura utilizada en el modelo. Para esta geometra el centro de gravedadd c3633=y el momento de inercia a flexin vale: 325925427d t I = ElprogramaCIMEVIGAtrabajaconvigasrectangulares,detalmaneraquesisequiere resolverunacimentacinconvigasT,sedebeencontrarunaseccinrectangularequivalenteque tenga la misma inercia a flexin, como se ilustra en la figura 5.9 El ancho equivalentebese puede considerar igual a la semisuma de la base mayor y la base menor. La altura equivalentehe se obtiene en base a la inercia a flexin. CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 117 3 120 . 223beIhett tbe==+= Figura 5.9Viga rectangular equivalente a la viga T. -EJEMPLO 5 DeterminarelcentrodegravedadyelmomentodeinerciaaflexindelavigaT,parael efecto considerar las figuras rectangulares indicadas en la figura 5.10. Figura 5.10Figuras consideradas para la deduccin de inercia a flexin. -SOLUCIN En la tabla 5.5 se muestra el clculo del centro de gravedadde la vigaT con respecto al eje Y, con respecto al eje X se halla en 1.5 t, medido con respecto a un eje de coordenadas cuyo origen estubicadoenelbordeinferiorizquierdo.Porotraparte,enlatabla5.6sehallaelmomentode inercia con respecto al centro de gravedad. ( 5.9 ) CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 118 Tabla 5.5Clculo del centro de gravedad en sentido Y. Figurarea Y rea Y1 d t2d 22d t 2 d t25 45 d 2825d t3 d t2d 22d t =d t29 2833d tdtdtdrearea Yc36332 / 98 / 332= = = Tabla 5.6Clculo del momento de inercia con respecto al centro de gravedad.Figura cgIrea Y2 1 123d t - 31296225d t2 961253d t 3251296144d t - -3 123d t - 31296225d t= 396141d t3648405d t3 32592542764840596141td td I =|.|

\|+ = Figura 5.11 Descripcin de las vigas de cimentacin de ejemplo 8. CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 119 -EJEMPLO 6 Sedesearesolverlavigadecimentacindelafigura5.11,queestacompuestaporuna seccin en forma de T invertida en la parte sombreada y vigas rectangulares en la parte central de los tramos. El peralte de la viga T y rectangular es de 50 cm. Las cargas que gravitan son las indicadas en la figura 5.15. El mdulo de elasticidad es E = 1738970.0 T/m2; el coeficiente de balasto del suelo vale500T/m3 ylapresinadmisibledelsueloesde10T/m2.Enlafigura5.12sepresentauna vista en planta de la cimentacin. Figura 5.12Vista en planta de la geometra de las vigas de cimentacin. La viga T tiene una base superior de 0.40 m., y una base inferior de 1.20m., el peralte total es de 0.50 m.,pero el peralte del ala es de 0.20 m. En la figura 5.13 se indica la geometra de la viga T, a la izquierda y de la viga rectangular a la derecha. Con esta estructuracin se optimiza el diseo y se facilita el sistema constructivo. Figura 5.13 Seccin transversal de la viga T y rectangular. Este ejercicio fue resuelto por Fernando Ruiz (2005) utilizando el programaCIMEVIGA, para ello se debe encontrar en primer lugar la seccin de la viga rectangular equivalente a la T. . 465 . 080 . 00067 . 0 12 12. 80 . 0240 . 0 20 . 10067 . 0 20 . 0 40 . 02592542725925427334 3 3mbIhm bm d t Ieee=-= ==+== - = = CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 120 En la figura 5.14 se indica la numeracin de nudos y de los elementos se ha colocado dentro de un crculo. Figura 5.14Numeracin de elementos y nudos. Antesdepresentarelarchivodedatosserecuerdaqueparalosdatosdelascargas,la convencin de signos adoptada es el momento es positivo si es horario y la carga vertical es positiva si va hacia arriba. DATOS: NUDOS, NUDOS RESTRINGIDOS, MIEMBROS, MODULO DE ELASTICIDAD 807 1738970.0INFORMACION DE ELEMENTOS: ELEMENTO, NUDO INICIAL, NUDO FINAL 112 223 334 445 556 667 778 LONGITUD DE LOS ELEMENTOS Y COEFICIENTE DE BALASTO 1 1.05500.0 2 1.8 500.0 3 1.0 500.0 4 1.0 500.0 5 2.0 500.0 6 0.75500.0 7 0.75500.0 SECCIONES DE LOS ELEMENTOS: ELEMENTO, BASE, ALTURA. 10.80 0.46 20.40 0.50 30.80 0.46 40.80 0.46 50.40 0.50 60.80 0.46 70.80 0.46 CARGAS EN LAS JUNTAS: NUMERO DE JUNTAS CARGADAS 3 JUNTA CARGADA: NUMERO DE JUNTA, MOMENTO, FUERZA 14.0 -10.0 4 -2.0 -22.0 7 -2.0 -12.0 CARGAS EN LOS ELEMENTOS: NUMERO DE ELEMENTOS CARGADOS 0 CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 121 Losmomentosycortantesenlosextremosdeloselementosqueseobtienenluegode ejecutarelprogramaCIMEVIGAseindicanenlafigura5.15nicamenteparaloscuatroprimeros elementos. Figura 5.15Momentos y cortantes finales en los extremos de los elementos. En todos los elementos se verifica que la presin transmitida al suelo por efecto de las cargasesmenora10T/m2comoseapreciaenlaltimacolumnadelreportedelprograma CIMEVIGA. Se indican los resultados obtenidos nicamente para los cuatro primeros elementos. ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 1 DIST. DESPLA. GIRO MOMENTO CORTE PRESION .00 .019699 -.000764.00000-10.000009.84949 .26 .019489 -.000831.64553 -7.942519.74429 .53 .019268 -.00085-.17181 -5.907759.63394 .79 .019048 -.00083 -1.45808 -3.896229.52398 1.05 .018837 -.00078 -2.21931 -1.907389.41833

ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 2 DIST. DESPLA. GIRO MOMENTO CORTE PRESION .00 .018837 -.00078 -2.21931 -1.907389.41833 .45 .018519 -.00062 -2.69845-.226909.25954 .90 .018275 -.00046 -2.427321.428299.13759 1.35 .018097 -.00034 -1.415813.064649.04869 1.80 .017957 -.00030 .328774.686978.97873

ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 3 DIST. DESPLA. GIRO MOMENTO CORTE PRESION .00 .017957 -.00030 .328774.686978.97873 .25 .017880 -.000321.724666.478908.94003 .50 .017793 -.000383.567548.262668.89645 .75 .017686 -.000485.85520 10.036818.84289 1.00 .017546 -.000648.58493 11.798738.77301

ANALISIS CADA CUARTO DE LUZ DE ELEMENTO 4 DIST. DESPLA. GIRO MOMENTO CORTE PRESION .00 .017546 -.000646.58493-10.201278.77301 .25 .017369 -.000764.25323 -8.455268.68456 .50 .017168 -.000842.35572 -6.728238.58424 .75 .016955 -.00087 .88738 -5.022018.47729 1.00 .016736 -.00088-.15710 -3.337488.36778

5.9COMENTARIOS PARA EL DISEO Si bien es cierto este no es un libro de diseo, sin embargo es necesario dar ciertas nociones relacionadasconlaformacomoseprocedeparadisearunavigadecimentacinsobresuelo considerado elstico. CEINCI ESPE Roberto Aguiar Falcon 122 A la cimentacin se transmite una fuerza horizontal que no ha sido considerada en el anlisis esttico presentado. Ahora bien se debe encontrar el cortante basal que llega a la fundacin y verificarqueestecortantenovaadesplazaralacimentacin.Paraevitarestosedebe cimentaraunaprofundidadadecuada.Siexisteproblemadedesplazamientoporefectodel cortantebasal(fuerzahorizontal)sedebecimentaraunamayorprofundidadoagrandarla cimentacin para que tenga ms peso, pero sta ltima opcin no es recomendable.Se debe verificar que la resistencia al corte del suelo REStsea mayor que el cortante actuante ACTt . ACTRESRES ACTS FANtag CAVtto o o t t = = + = = . .0 Donde 0V eselcortantebasal;Aeselreaenplantadelacimentacinqueesten contacto con el suelo;Ces la cohesin del suelo;oes la tensin normal;Nes la fuerza normal que acta sobre la cimentacin (igual al peso);o tages el coeficiente de rozamiento delsuelo;o eselngulodefriccindelsuelo.. .S F eselfactordeseguridadal desplazamiento horizontal de la cimentacin, se recomienda que sea mayor a 2. El control de que la presin transmitida al suelo por efecto de las cargas sea menor o igual a la presin mxima admisible del suelo ADo , debe realizarse con cargas de servicio. Se debe resolver la viga de cimentacin para los siguientes estados de carga: i)D + Lii) D + L + Siii)D + L S iv) D + S v) D S DondeD es el estado de cargas permanente (muerta); L es el estado de cargas transitorias (viva);Seselestadodecargasssmicas.Paraelprimerestadodecargaseconsiderael 100% de la carga viva. En cambio para los estados de carga ii) a v) se debe trabajar con un porcentaje de la carga viva; para viviendas este porcentaje es del 25% de la carga total viva. En una curva esfuerzo deformacin de un suelo, existen tres zonas, la primera se denomina de adensamiento, la segunda elstica y la tercera plstica. En la primera zona predominan las deformacionesporcompactacinyconsolidacin.Enlasegundazonalarelacinentreel esfuerzoyladeformacintiendeaserlinealylatercerasecaracterizaporunincremento muy rpido de las deformaciones por efecto de la carga. Sedefine Ro comoelesfuerzoderoturadelsuelocomoellmiteentreladeformacin elsticayeliniciodeladeformacinplstica.Enbasea Ro sedeterminandosesfuerzos admisiblesdelsuelo ADo elunoesparacargasverticales V ADo yelotroesparacargas ssmica S ADo 2 3RADSRADVoooo = = En el estado de carga i) D + L la presin transmitida al suelo debe ser menor a V ADo . En los estados de carga ii) a v) la presin transmitida al suelo ser menor a S ADo . Se ha visto que ante cargas rpidas y de corta duracin como son las acciones ssmicas el suelo tiene mejor comportamiento por este motivo es que S ADoes mayor al V ADo . Una vez que se ha controlado la presin transmitida al suelo se procede al diseo, para ello las cargas deben ser mayoradas para pasar de cargas de servicio a cargas ltimas.