cap2-vib libres de 1 gdl

Capítulo II.Capítulo II.Vibraciones libres de un sistema de Vibraciones libres de un sistema de

un grado de libertad.un grado de libertad.

Capítulo II.Capítulo II.Vibraciones libres de un sistema de Vibraciones libres de un sistema de

un grado de libertad.un grado de libertad.

† † Péndulo de FocaultPéndulo de Focault

UANL-FIME-DIM-DSM, UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis MecánicoAcademia de Análisis Mecánico, , Vibraciones MecánicasVibraciones Mecánicas

II.1.- INTRODUCCIÓN.II.1.- INTRODUCCIÓN.II.1.- INTRODUCCIÓN.II.1.- INTRODUCCIÓN.

UANL-FIME-DIM-DSM, Academia de Análisis Mecánico, Vibraciones Mecánicas

Según el tipo de Según el tipo de movimiento del movimiento del

sistemasistema

PeriódicoPeriódico

No PeriódicoNo Periódico

SinusoidalSinusoidal

ComplejoComplejo

TransitorioTransitorio

AleatorioAleatorio

En vibración forzadaEn vibración forzada

Choque o ImpactoChoque o Impacto

LibreLibre

ForzadoForzado

Sin AmortiguamientoSin Amortiguamiento

AmortiguadoAmortiguado

Sin AmortiguamientoSin Amortiguamiento

AmortiguadoAmortiguado

Libre Libre (para uso de análisis modales)(para uso de análisis modales)

Forzado Forzado (en Análisis de Vibraciones (en Análisis de Vibraciones para Diagnóstico de Fallas en para Diagnóstico de Fallas en Maquinaria)Maquinaria)

(CAP II)(CAP II)

(CAP III)(CAP III)

(CAP IV)(CAP IV)

Pract V, Lab.Pract V, Lab.

Pract VIII, Lab.Pract VIII, Lab.

Ubicación de las Ubicación de las Vibraciones LibresVibraciones Libres

II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.II.2.- METODOLOGÍA DE ANÁLISIS.


Modelaje

Ecuación de la frecuencia natural

Ecuación de amplitud•Desplazamiento•Velocidad•Aceleración

Aplicación de Método de Análisis para obtener la

Ecuación diferencial característicadel sistema vibrante

Elementos equivalentes

Newton

Energías

Fuerzas

Momentos

Traslación

Rotación

Métodos Numéricos

II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.II.3.- MÉTODO DE ELEMENTOS EQUIVALENTES.

Método de elementosMétodo de elementos equivalentes.- equivalentes.-

Consiste en obtener la masa, elasticidad y Consiste en obtener la masa, elasticidad y amortiguamientos equivalentes sustituyendo amortiguamientos equivalentes sustituyendo las cantidades directamente en las fórmulas de las cantidades directamente en las fórmulas de amplitudes totales o términos utilizados en el amplitudes totales o términos utilizados en el amortiguamiento.amortiguamiento.

meq

keq ceq

Figura 2.1. Representación de un Figura 2.1. Representación de un sistema en elementos equivalentes sistema en elementos equivalentes


Para vibración libre “sin” amortiguamientoPara vibración libre “sin” amortiguamiento..

-Amplitud total del desplazamiento.-Amplitud total del desplazamiento.

-Amplitud total de velocidad.-Amplitud total de velocidad.

-Frecuencia natural.-Frecuencia natural.

-Amplitud total de aceleración.-Amplitud total de aceleración.

tSentCosxtx nx

n n

0

0

2nf

mk

n

tCostSenxtx nnx

nn n

0

0)(

tSentCosxtx nnx

nn n

220

0)(


Para vibración libre “con” amortiguamientoPara vibración libre “con” amortiguamiento..

-Frecuencia natural.-Frecuencia natural.

2nf

mk

n

-Razón de amortiguamiento.-Razón de amortiguamiento.

-Amortiguamiento crítico.-Amortiguamiento crítico.

mkmC nc 22

mkC

CC

c 2


-Amplitud total del desplazamiento.-Amplitud total del desplazamiento.

12

11

22 ttt nnn eCeCetx

-Frecuencia natural amortiguada.-Frecuencia natural amortiguada.

mkC

mk

nd 421


II.4.- MÉTODO DE NEWTON.II.4.- MÉTODO DE NEWTON.II.4.- MÉTODO DE NEWTON.II.4.- MÉTODO DE NEWTON.

Método de Newton.-Método de Newton.-

El análisis de los sistemas vibratorios de El análisis de los sistemas vibratorios de un grado de libertad puede realizarse un grado de libertad puede realizarse como cualquier sistema dinámico en el como cualquier sistema dinámico en el que uno de los métodos de análisis que uno de los métodos de análisis utilizado es el Método de Fuerzas de utilizado es el Método de Fuerzas de Newton (a través del Principio de DNewton (a través del Principio de D´Alembert) y el Análisis de Momentos de ´Alembert) y el Análisis de Momentos de sólidos rígidos.sólidos rígidos.

El objetivo es obtener las ecuaciones diferenciales (modelos El objetivo es obtener las ecuaciones diferenciales (modelos matemáticos) y las ecuaciones de las frecuencias naturales de matemáticos) y las ecuaciones de las frecuencias naturales de los sistemas vibratorios.los sistemas vibratorios.

Figura 2.2. Sir Isaac Newton

Born: 4 Jan 1643 in Woolsthorpe, Lincolnshire, England

Died: 31 March 1727 in London, England †

† The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html School of Mathematics and Statistics University of St AndrewsScotland,


http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html

Ejemplo 3.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 3.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural de un sistema equivalente masa resorte de un grado frecuencia natural de un sistema equivalente masa resorte de un grado de libertad sin amortiguamiento. de libertad sin amortiguamiento.

II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.II.4.a.- MÉTODO DE FUERZAS.

k

m

m

x

KWFR

kk

kk

Sistema en EquilibrioSistema en Equilibrio

Deformación Estática Deformación Estática Debida al pesoDebida al peso

Resorte sin deformarResorte sin deformar

Amplitud de la OscilaciónAmplitud de la Oscilación

Figura 2.3. Condiciones de equilibrio y movimiento del sistema masa resorte.Figura 2.3. Condiciones de equilibrio y movimiento del sistema masa resorte.


0

kxxm

xmkx

kWcomo

xmkkxW

xmxkW

xmFW

FF

R

IEXT

Ecuación diferencial Ecuación diferencial característica de un característica de un

sistema masa-sistema masa-resorte de un grado resorte de un grado

de libertad sin de libertad sin amortiguamieto.amortiguamieto.

ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.ANÁLISIS DINÁMICO DEL SISTEMA MASA RESORTE.

Principio de DÁlembertPrincipio de DÁlembertAnálisis de Fuerzas.

Principio de DÁlembertPrincipio de DÁlembert

02

2

kxdt

xdm

m m

W

FR

xm

=

Figura 2.4. Representación Gráfica delPrincipio de DÁlembert por medio del

Diagrama de Cuerpo Libre.

+


Solución de la ecuación diferencial.

02

2

kxdt

xdm

trtr ececx 2121

tsenctcx 21 cos

Solución mas general de la ec. dif.

Otra representación usando parámetros de Euler.

Si consideramos que el movimiento es puramente senoidal, tenemos lo siguiente:

tsencxdtxd

dtxd

tcxdtdx

tsencx

22

2

2

2

2

cos

Continuación…Continuación…


Sustituyendo la función x y sus derivadas en la Ec. Dif. Original, tenemos:

mk

n

mk

f

mk

km

tsencktsencm

kxxm

n

n

n

260

21

0

0

0

2

222

Ecuación de la frecuencia natural de un sistema masa resorte de un grado de libertad sin amortiguamiento

Hertz

RPM


rad/seg


Ejemplo 4.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 4.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural de un péndulo simple.frecuencia natural de un péndulo simple.

lx

sen

NOTA: Para ángulos menores de 15°,

sen= Entonces, hacemos

la siguiente consideración:

lg

lx

gx

gsenx

xgsen

xmmgsen

xmWsen

xmW

FF

n

T

IEXT

0

0

Ecuación de la frecuencia

natural para un péndulo simple.

Θ

x

l

WWnnWWtt

WW

W

Wn

Wt

T

=

xm

Figura 2.5. El Péndulo Simple y su Diagrama de Cuerpo Libre.

+


Ejemplo 5. Caso 1 del Efecto de Posición.Ejemplo 5. Caso 1 del Efecto de Posición.

Fr

=

WWt

Wn x

II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.II.4.b.- MÉTODO DE MOMENTOS.

J

xm

Figura 2.6. (a) Sistema barra-resorte en equilibrio y (b) fuera de equilibrio.

k

a

l

mp

a)

b)Figura 2.7. Diagrama de Cuerpo Libre del Sistema Barra

Resorte y sus Fuerzas


pn

p

p

T

T

pT

pT

R

pRT

pRT

IEXT

Jka

kaJ

Jkxa

tolopor

akl

W

akl

W

equilibriodeposicionlaen

momentosdeestaticoanalisisdel

Jakkxal

W

Jaxkl

W

xkFcomo

JaFl

W

JaFl

W

MM

2

2 0

:tan

2

02

:

2

2

;

2

2

2

22

2

31

4121

mlJ

lmmlJ

mdJJ

P

p

CGp

Ecuación de la frecuencia natural del sistema.

En la ecuación anterior, podemos sustituir el valor de Jp para una barra rectangular.

Con lo cual, la frecuencia natural es igual a:

2

23mlka

n


+


Ejemplo 6. Caso 2 del Efecto de posición.Ejemplo 6. Caso 2 del Efecto de posición.

=

x

W

Fr

Wt

Wn

pJ


Figura 2.9. Diagrama de Cuerpo Libre del Sistema Barra Resorte y sus Fuerzas

al

k

p

p

(a) (b)


pn

p

p

p

p

pRT

IEXT

J

lmgka

lmgkaJ

lmgkaJ

Jkal

mg

axax

ysencomo

Jkxal

mgsen

JaFl

W

MM

2

02

02

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

31

4121

mlJ

lmmlJ

mdJJ

P

p

CGp


Si sustituimos el valor de Jp, tenemos lo siguiente:

2

2

31

2

ml

lmgka

n



+


Ejemplo 6. Caso 3 del Efecto de posición.Ejemplo 6. Caso 3 del Efecto de posición.

a l

k

p

pp

=

x

WFr

Wt

Wn

pJ


Figura 2.11. Diagrama de Cuerpo Libre del Sistema Barra Resorte y sus Fuerzas

(a) (b)


pn

p

p

p

p

pRT

IEXT

J

lmgka

lmgkaJ

lmgkaJ

Jkal

mg

axax

ysencomo

Jkxal

mgsen

JaFl

W

MM

2

02

02

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

31

4121

mlJ

lmmlJ

mdJJ

P

p

CGp


Si sustituimos el valor de Jp, tenemos lo siguiente:

2

2

31

2

ml

lmgka

n



+


Ejemplo 8. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 8. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural por el método de momentos.frecuencia natural por el método de momentos.

Figura 2.13 Diagrama de Cuerpo Libre del Péndulo Compuesto

pn

p

p

p

pT

IEXT

Jmgd

dmgJ

Jdmg

sen

Jdmgsen

JdW

MM

0


Figura 2.12. Péndulo Compuesto

C.G.d

WWnWt

=

Jp

+


lg

gl

lxlxlx

Como

xg

xmW

lxmlW

MM

n

T

IEXT

0

,,

;

Ecuación de la frecuencia natural para

un péndulo simple.

Ejemplo 9. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la Ejemplo 9. Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural por el método de momentos de un péndulo frecuencia natural por el método de momentos de un péndulo simple.simple.

Θ

x

l

WWnnWWtt

WW

W

Wn

Wt

T

=

xm

Figura 2.14. El Péndulo Simple y su Diagrama de Cuerpo Libre.

+


II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.- MÉTODO DE ENERGÍAS.

Método de Energías.-Método de Energías.-

Es otro método de análisis de sistemas Es otro método de análisis de sistemas vibratorios, en el que se consideran vibratorios, en el que se consideran únicamente los sistemas que son únicamente los sistemas que son conservativos. El método de análisis se conservativos. El método de análisis se basa en la Ley de la Conservación de la basa en la Ley de la Conservación de la Energía.Energía.

El objetivo del análisis es la obtención de las ecuaciones diferenciales El objetivo del análisis es la obtención de las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones de las frecuencias naturales para sistemas de un y las ecuaciones de las frecuencias naturales para sistemas de un solo grado de libertad sin amortiguamiento.solo grado de libertad sin amortiguamiento.

Figura 2.15Figura 2.15John William Strutt Lord RayleighJohn William Strutt Lord Rayleigh

Born: 12 Nov 1842inLangford Grove (near Maldon), Essex, England

Died: 30 June 1919 in Terling Place, Witham, Essex, England ††

† The MacTutor History of Mathematics archive, http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html School of Mathematics and Statistics University of St AndrewsScotland,


http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/index.html

Pasos para realizar el Análisis de Energías.Pasos para realizar el Análisis de Energías.

1. Identificar Energías del Sistema. 2. Aplicar las Energías a la Ecuación.

Sumatoria de todas las energías = Cte.Sumatoria de todas las energías = Cte. 3. Simplificar la ecuación resultante. 4. Derivar la ecuación simplificada con

respecto al tiempo. 5. Ordenar la diferencial resultante. 6. Aplicar los términos ecuación de la

ecuación diferencial a la ecuación de la frecuencia natural.


Ejemplo 10.- Deducción de la ecuación de la frecuencia natural delEjemplo 10.- Deducción de la ecuación de la frecuencia natural del sistema masa resorte. sistema masa resorte.

2

2

21

21

xkE

mgxE

xmE

pr

pm

cm

Energías presentes en el sistema masa

resorte

mk

xkxm

xkxmx

xxkxxm

xxkxxm

dtd

ctekxxm

dtd

ctekkxkxmgxxm

dtd

ctexxkmgxxm

dtd

ctexkmgxxm

cteEEE

cteE

n

prpmcm

0

0

0

0221

221

21

21

21

21

21

221

21

21

21

22

222

222

22

II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.II.5.a.- MÉTODO DE ENERGÍAS.

k

m

m

x

k

Sistema en EquilibrioSistema en Equilibrio

Deformación Deformación estática estática

debida al pesodebida al peso

Resorte sin Resorte sin deformardeformar

Amplitud de Amplitud de la Oscilaciónla Oscilación

k

Figura 2.16. Condiciones de equilibrio y movimiento del sistema masa resorte.


Ejemplo 11.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de laEjemplo 11.- Obtención del modelo matemático y la ecuación de la frecuencia natural del conjunto disco en rotación, resorte y frecuencia natural del conjunto disco en rotación, resorte y masa en traslación. masa en traslación.

2

2

2

2121

21

bpr

CGcM

acm

kxE

JE

xmE

ax

axa

xsen

a

a

a

Figura 2.17. Conjunto de disco en rotación, resorte y masa en traslación fuera de equilibrio.

m

b

a

xb

xaM

R

k

Cambio de variables:Cambio de variables:Expresar las variables

de la rotación en función de las

variables de traslación.

Energías presentes Energías presentes en el sistema.en el sistema.


Ecuación de la frecuencia natural.

22

2

222

222

222

22

222

22

2

22

22

222

21

021

0221

221

21

21

21

21

21

41

21

21

21

21

21

21

21

21

MRma

kb

kbMRma

kbMRma

dtd

ctebkMRma

ctebkMRma

ctebkMRam

ctekxJxm

cteE

n

bCGa

Si a = b = R, al ecuación quedaría así:

Mm

kn

21



Las deflexiones Y1 y Y2 pueden ser calculadas mediante mecánica de materiales.

222

211

222

211

222

211

222

211

22

22

21

21

222

211

2

22212

11212

22212

1121

2222

12112

12222

12112

1

maxmax

YmYm

YmYmgω

YmYmYmYmg

YmYmgYmgYm

mgW

YmYmYY

YVk

VmVmYkYk

EcEp

n

n

nn

nnYW

YW

nYW

xF

Como:

Como:

y



Amortiguamiento.-Amortiguamiento.- Capacidad de disipar energía de un sistema.Capacidad de disipar energía de un sistema.

Tipos de Tipos de amortiguamientoamortiguamiento

Fricción seca (Coulomb)

Fluido

Histéresis

Viscoso

Turbulento

II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN II.6.- VIBRACIONES LIBRES DE UN SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.GRADO DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO.


cvFc

Dónde:Fc = Fuerza de reacción del amortiguador.v = velocidad de aplicación de la carga.c = constante de amortiguamiento real.

Si la velocidad de aplicación de la carga es alta, el amortiguador reacciona con fuerza alta, y si es baja, reacciona con fuerza baja.

Figura 2.18. Amortiguadores de uso automotriz.


hvyyu

Densidad (Densidad ())Viscosidad SAE (Viscosidad SAE ())

yy

Fluido viscosoFluido viscoso

Cuerpo de Cuerpo de área A A

El esfuerzo de corte desarrollado en el cuerpo deslizante esta determinado por la Ley de la Viscosidad de Newton:

La Fuerza viscosa que está actuando en el cuerpo es:

Usando: tendremos que:

vhA

AF

cvF

hv

dydu

hA

c

dtdx

v

F, Fuerza de amortiguamiento

Figura 2.19. Placas paralelas con fluido viscoso entre ellas.†

† Imagen cortesía de Pearson Education, Inc., Pearson Prentice Hall, 2004, Mechanical Vibrations, Singiresu S. Rao, Fourth Edition.


Figura 2.20. Amortiguamientos equivalentes viscosos.†

Movimiento entre superficies paralelas.

hA

ceq

Dd

dlD

ceq

21

43

3

3

h

Dd

hDceq 322

1 22

Movimiento axial de un pistón y un cilindro.

Amortiguador torsional.

Amortiguamiento por fricción seca. x

Fc N

eq 4

μ = viscosidad SAE.A = área de la placa.

ω = Frecuencia.Fn = Fuerza de fricción.X = Amplitud.



m

k c

0

kxxcxm

xmkxxc

xmWckxckx

xmxcxkW

xmFFW

FF

cR

IEXT

II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.II.7.- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA.

Figura 2.22. Representación Gráfica delPrincipio de D´Alembert por medio del

Diagrama de Cuerpo Libre.

m m

W

FR

xm

Fc

Figura 2.21. Sistema Masa-Resorte-Amortiguador

Análisis de Fuerzas por el Método de Newton.

Ecuación diferencial característica de un sistema

masa-resorte de un grado de libertad con

amortiguamieto.

+


SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

nc

n

n

tSts

mc

mc

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

k

m

c

m

cs

m

kmccs

BeAex

kcDmD

kxdt

dxc

dt

xdm

2

4

4

04

04

42

2

4

:Donde

:esecuación la de general massolución la

0

0

22

22

2

2

2

2

2

2

2

12

2

12

2

2

2

21

Coeficiente de amortiguamiento crítico.

La relación entre el amortiguamiento real y La relación entre el amortiguamiento real y el coeficiente de amortiguamiento crítico, se el coeficiente de amortiguamiento crítico, se conoce como relación de amortiguamiento y conoce como relación de amortiguamiento y se representa como sigue:se representa como sigue:

ccc

Dependiendo de los valores que tomen c y Dependiendo de los valores que tomen c y cccc, podemos encontrar los siguientes , podemos encontrar los siguientes

casos:casos:

•Si Si c<cSi Si c<ccc, , ζζ<1, el sistema es <1, el sistema es Sub-amortiguado.Sub-amortiguado.

•Si Si c=cSi Si c=ccc, , ζζ=1, el sistema es =1, el sistema es Crítico- amortiguado.Crítico- amortiguado.

•Si Si c>cSi Si c>ccc, , ζζ>1, el sistema es >1, el sistema es Sobre- amortiguado.Sobre- amortiguado.



n

n

n

nn

nnn

n

nc

c

s

s

s

s

s

mk

mc

mc

s

mc

mc

cc

mc

cc

1

1

1

1

22

ecuación la de raíces las

en valor este ssustituimo ,2

Si

22

22

21

212

212

2212

2

12

tSts BeAex 21

Si sustituimos en ella los valores de las raíces, tenemos lo siguiente:

tt nn BeAex 11 22

Recordando la solución mas general de los sistemas amortiguados:

Raíces de la ecuación.

Ecuación más general de la amplitud del desplazamiento de vibración libre

amortiguada.



Tipos de Tipos de sistemas sistemas mecánicos mecánicos según el valor según el valor de c con de c con respecto a crespecto a ccc..

Sub-amortiguado†.

Crítico amortiguado†.

Sobre-amortiguado†.



SISTEMAS SOBRE-AMORTIGUADOS.

•Si c>cc, Si c>cc, ζζ>1, el sistema es >1, el sistema es Sobre- amortiguado.Sobre- amortiguado.

tt nn BeAex 11 22

Características de un sistema Características de un sistema sobre-amortiguado.sobre-amortiguado.

•La amplitud disminuye suave La amplitud disminuye suave y lentamente.y lentamente.

•No hay oscilaciones.No hay oscilaciones.

•Si existe frecuencia natural.Si existe frecuencia natural.

•No existe frecuencia natural No existe frecuencia natural amortiguada amortiguada (ωd).


Figura 2.23. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sobre-amortiguado.


Si c<cSi c<ccc, , ζζ<1, el sistema es <1, el sistema es Sub-amortiguado.Sub-amortiguado.

SISTEMAS SUB-AMORTIGUADOS.SISTEMAS SUB-AMORTIGUADOS.

titi nn BeAex 22 11 Características de un sistema Características de un sistema

sub-amortiguado.sub-amortiguado.

•Cada ciclo disminuye la oscilación Cada ciclo disminuye la oscilación en forma logarítmica.en forma logarítmica.

•Tiene oscilaciones.Tiene oscilaciones.

•Si existe frecuencia natural y Si existe frecuencia natural y

frecuencia natural amortiguada frecuencia natural amortiguada ωωd.d.

•ωωdd y T y Td d dependen de c y dependen de c y ζζ..


Figura 2.24. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sub-amortiguado.


n

tnAex 21cos

A = Constante calculada por lasA = Constante calculada por las condiciones iniciales.condiciones iniciales.= Relación de amortiguamiento.= Relación de amortiguamiento.ΦΦ = Ángulo de desfase. = Ángulo de desfase.X = Amplitud de vibración amortiguadaX = Amplitud de vibración amortiguada (respuesta del sistema).(respuesta del sistema).


Figura 2.25. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema sub-amortiguado por medio ecuación en forma trigonométrica.


SISTEMAS CRÍTICO-AMORTIGUADOS.

•Si c=cSi c=ccc, , ζζ=1, el sistema es =1, el sistema es Crítico- amortiguado.Crítico- amortiguado.

t

tt

n

nn

eBtAx

BeAex

Características de un sistema Características de un sistema Crítico-amortiguado.Crítico-amortiguado.

•La amplitud disminuye La amplitud disminuye rápidamente.rápidamente.

•No Tiene oscilaciones.No Tiene oscilaciones.

•Si existe frecuencia natural.Si existe frecuencia natural.

•No existe No existe ωωd.d.


Figura 2.26. Gráfica de respuesta en el tiempo del sistema crítico amortiguado.


Figura 2.27. Comparación entre los distintos tipos de sistemas amortiguados.Figura 2.27. Comparación entre los distintos tipos de sistemas amortiguados.



MÉTODO DEL DECREMENTO LOGARÍTMICO PARA EL CÁLCULO DEL AMORTIGUAMIENTO.

Donde:n = Número del ciclo seleccionado.x1 y x2 = Amplitudes de ciclos consecutivos.

xd = Amplitud del primer ciclo.

xn = Amplitud del ciclo seleccionado.

n

D

xx

nxx ln1

; ln2

1

dd

dd

d

dd

TT

Tf

2 ;

2

21

El decremento logarítmico se obtiene con las amplitudes de la señal amortiguada.

El periodo y la frecuencia de trabajo se obtiene también con la ayuda de la señal amortiguada.



22

2222

2222

2222

222

2

4

4

4

41

21

1

2

dd

nd

T

2

1 2

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cap2-vib libres de 1 gdl

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