Capítulo 7

Teoría de Colas

Objetivos del Capítulo La distribución Poisson y exponencial.

Cumplimiento de las medidas de seguridad para los modelos M/M/k, M/G/1, M/M/k/F y M/M/1/m.

Análisis económico de los sistemas de colas

Balance de líneas de ensamble

7.1 Introducción Se estudian las filas de espera o colas.

El objetivo del análisis de colas es diseñar un sistema que permita la organización óptima de acuerdo a alguno criterios.

Criterios Posibles:- Ganancia máxima- Nivel de atención de deseado

El análisis de los sistemas de colas requiere de una comprensión de la medida del servicio apropiada.

Posibles medidas del servicio

- Tiempo promedio de atención de clientes

- Largo promedio de la cola

- La probabilidad de que un cliente que llega deba esperar en la cola para ser atendido.

7.2 Elementos del proceso de colas

Un sistema de colas consta de tres componentes básicas:

- Quien llega: El cliente que llega a la cola para ser atendido de acuerdo a un patrón de llegada.

-El que espera en la cola: El cliente que llega debe esperar en una o más colas por el servicio.

-Servicio: El cliente recibe el servicio y abandona el sistema.

Proceso de llegada a la cola.

- Existen 2 tipos de procesos de llegada:* Proceso de llegada deterministico.* Proceso de llegada aleatoria.

- El proceso aleatorio es más común en la empresa.

- Bajo tres condiciones, una distribución Poisson puede describir el proceso aleatorio.

Las tres condiciones necesarias para la existencia del proceso de llegada Poisson :

* Continuidad: Al menos un cliente debe llegar a la cola durante un intervalo de tiempo.

* Estacionario: Para un intervalo de tiempo dado, la probabilidad de que llegue un cliente es la misma que para todos los intervalos de tiempo de la misma longitud.

* Independencia: La llegada de un cliente no tiene influencia sobre la llegada de otro.

- Estas condiciones no restringen el problema y son satisfechas en muchas situaciones.

Distribución de llegada Poisson

P X ke

k !

t) k t

( ) (

Donde: = esperanza de llegada de un cliente por unidad de tiempo

t = intervalo de tiempo.

e = 2.7182818 (base del logaritmo natural).k! = k (k -1) (k -2) (k -3) … (3) (2) (1).

HARDWARE HANK’S

Un problema que ilustra la distribución Poisson.

- Los clientes llegan a Hank’s de acuerdo a una distribución Poisson.

- Entre las 8:00 y las 9:00 a.m. llegan en promedio 6 clientes al local comercial.

- ¿Cuál es la probabilidad que k = 0,1,2... clientes lleguen entre las 8:00 y las 8:30 de la mañana?

La fila de espera.

- Factores que influyen en el modelo de colas:

* Configuración de la fila* Tramposos* Contrariedades* Prioridades* Colas Tendem* Homogeneidad.

- Configuración de la fila* Una sola cola de servicio* Múltiples colas de servicio con una sola fila de espera* Múltiples colas de servicio con múltiples filas de espera.* Colas Tendem (sistema de servicios múltiples)

- Tramposos* Corresponden a clientes que se mueven a través de la cola sin seguir los criterios de avance.

- Contrariedades* Ocurre cuando los clientes evitan llegar a la fila porque perciben que esta es demasiada larga.

- Reglas de prioridad* Las reglas de prioridad definen la disciplina en la fila.* Estas reglas seleccionan el próximo cliente en ser atendido* Criterios de selección comúnmente usados:

- Primero en entrar primero en salir (FCFS).- Ultimo en entrar primero en salir (LCFS).- Tiempo estimado de atención- Atención de clientes aleatoria.

- Homogeneidad* Una población homogénea de clientes es aquella en la cual los clientes requieren esencialmente el mismo servicio.* Una población no homogénea es aquella en la cual los clientes pueden ser ordenados de acuerdo :

+ A los patrones de llegada+ Al tipo de servicio requerido.

El proceso de servicio

- Alguno sistemas de servicio requieren de un tiempo de atención fijo.

- Sin embargo, en muchos casos, el tiempo de atención varía de acuerdo a la cantidad de clientes.

- Cuando el tiempo de atención varía, este se trata como una variable aleatoria.

- La distribución exponencial es usada, en algunos casos, para modelar el tiempo de atención del cliente.

Distribución exponencial del tiempo de atención

f(X) = e-X

donde = es el número de clientes promedio que pueden ser atendidos por período de tiempo.

Probabilidad que el tiempo de atención X sea menor que “t.”

P(X t) = 1 - e-t

7.3 Medida del performance de los sistemas de colas

El performance puede ser medido concentrandose en:

- Los clientes en la cola- Los clientes en el sistema

Los períodos transitorios y estáticos complican el análisis del tiempo de atención.

Un período transitorio ocurre al inicio de la operación.- Un comportamiento transitorio inicial no es indicado para un largo período de ejecución.

Un período estacionario sigue al período transitorio.- En un período estacionario , la probabilidad de tener n clientes en el sistema no cambia a medida que transcurre el tiempo.

- De acuerdo a lo anterior, la tasa de llegada puede ser menor que suma de las tasas de atención efectiva.

… +N kPara un servidor Para k servidores Para k

servidores con tasa se serv. c/u

Medida del performance en períodos estacionarios.

P0 = Probabilidad de que no existan clientes en el sist.Pn = Probabilidad de que existan n clientes en el sistema.L = número de clientes promedio en el sistema.Lq = número de clientes promedio en la cola.W = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema.Wq = Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola.Pw = Probabilidad de que un cliente que llega deba

esperar para ser atendido. = Tasa de uso de cada servidor (porcentaje del

tiempo que cada servidor es ocupado).

Formulas

- Las fórmulas representan las relaciones entre L, Lq, W, y Wq.

- Estas fórmulas se aplican a sistemas que cumplen con las siguientes condiciones:

* Sistemas de colas simples* Los clientes llegan según una tasa finita de

llegada* El sistema opera bajo las condiciones de períodos

estacionarios. L =W Lq = Wq L = Lq +

/

Para el caso de una población infinita.

Clasificación de las colas.

- Los sistemas de colas pueden ser clasificados por:+ Proceso de llegada de clientes+ Proceso de atención+ Número de servidores+ Tamaño (lineas de espera finitas/infinitas)+ Tamaño de la población

- Notación+ M (Markovian)= Proceso de llegada Poisson o tiempo de atención exponencial.+D (Determinístico) = Tasa constante de llegada o de atención+G (General) = Probabilidad general de llegada o de atención

Ejempo:

M / M / 6 / 10 / 20

7.4 Sistema de colas M/M/1 Características

- Proceso de llegada Poisson.- El tiempo de atención se distribuye exponencialmente- Existe un solo servidor- Cola de capacidad infinita- Población infinita.

Zapatería Mary’s

Los clientes que llegan a la zapatería Mary’s son en promedio 12 por minuto, de acuerdo a la distribución Poisson.

El tiempo de atención se distribuye exponencialmente con un promedio de 8 minutos por cliente.

La gerencia esta interesada en determinar las medidas de performance para este servicio.

7.5 Sistema de cola M/M/k Características

- Clientes llegan de acuerdo a una distribución Poisson con una esperanza - El tiempo de atención se distribuye exponencialmente.- Existen k servidores, cada uno atiende a una tasa de clientes.- Existe una población infinita y la posibilidad de infinitas filas.

Medidas de performance

P

n kk

k

n k

n

k0

0

1

11 1

! !

Pn

P

k kP

n

n

n

n k

!

!

0

0

for n k.

P for n > k.n

Para n<= k

Para n > k

OFICINA POSTAL TOWN

La oficina postal Town atiende público los Sábados entre las 9:00 a.m. y la 1:00 p.m.

Datos- En promedio, 100 clientes por hora visitan la oficina postal durante este período. La oficina tiene tres dependientes.

- Cada atención dura 1.5 minutos en promedio.

- La distribución Poisson y exponencial describen la llegada de los clientes y el proceso de atención de estos respectivamente.

La gerencia desea conocer las medidas relevantes al servicio en orden a:

– La evaluación del nivel de servicio prestado.

– El efecto de reducir el personal en un dependiente.

SOLUCION

Se trata de un sistema de colas M / M / 3 . Datos de entrada

100 clientes por hora.40 clientes por hora (60 / 1.5).

Existe un período estacionario (< k 100 < k(40) = 120.

7.6 Sistemas de colas M/G/1 Supuestos

- Los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con esperanza

El tiempo de atención tiene una distribución general con esperanza

Existe un solo servidor.

- Se cuenta con una población infinita y la posibilidad de infinitas filas.

Formula para L de Pollaczek - Khintchine.

- Nota : No es necesario conocer la distribución particular del tiempo de atención. Solo la esperanza y la desviación estándar son necesarias.

L

22

2 1

TALLER DE REPARACIONES TED

Ted repara televisores y videograbadores. Datos

- El tiempo promedio para reparar uno de estos artefactos es de 2.25 horas.- La desviación estándar del tiempo de reparación es de 45 minutos.- Los clientes llegan a la tienda en promedio cada 2.5 horas, de acuerdo a una distribución Poisson.- Ted trabaja 9 horas diarias y no tiene ayudantes.- El compra todos los repuestos necesarios.

+ En promedio, el tiempo de reparación esperado debería ser de 2 horas.

+ La desviación estándar esperada debería ser de 40 minutos.

Ted desea conocer los efectos de usar nuevos equipos para:1. Mejorar el tiempo promedio de reparación de los artefactos;2. Mejorar el tiempo promedio que debe esperar un cliente hasta que su artefacto sea reparado.

SOLUCION

Se trata de un sistema M/G/1 (el tiempo de atención no es exponencial pues 1/).

Datos– Con el sistema antiguo (sin los nuevos equipos)

= 1/ 2.5 = 0.4 clientes por hora. = 1/ 2.25 = 0.4444 clientes por hora. = 45/ 60 = 0.75 horas.

– Con el nuevo sistema (con los nuevos equipos) = 1/2 = 0.5 clientes por hora.= 40/ 60 = 0.6667 horas.

7.7 Sistemas de colas M/M/k/F Se deben asignar muchas colas, cada una de

un cierto tamaño límite.

Cuando una cola es demasiado larga, un modelo de cola infinito entrega un resultado exacto, aunquede todas formas la cola debe ser limitada.

Cuando una cola es demasiado pequeña, se debe estimar un límite para la fila en el modelo.

Características del sistema M/M/k/F

- La llegada de los clientes obedece a una distribución Poisson con una esperanza

- Existen k servidores, para cada uno el tiempo de atención se distribuye exponencialmente, con esperanza

El número máximo de clientes que puede estar

presente en el sistema en un tiempo dado es “F”.

- Los clientes son rechazados si el sistema se encuentra completo.

Tasa de llegada efectiva.

- Un cliente es rechazado si el sistema se encuentra completo.

- La probabilidad de que el sistema se complete es PF.

- La tasa efectiva de llegada = la tasa de abandono de clientes en el sistema (e).

e = (1 - PF)

COMPAÑÍA DE TECHADOS RYAN

Ryan atiende a sus clientes, los cuales llaman ordenan su servicio.

Datos

- Una secretaria recibe las llamadas desde 3 líneas telefónicas. - Cada llamada telefónica toma tres minutos en promedio

- En promedio, diez clientes llaman a la compañía cada hora.

Cuando una línea telefónica esta disponible, pero la secretaria esta ocupada atendiendo otra llamada,el cliente debe esperar en línea hasta que la secretaria este disponible.

Cuando todas las líneas están ocupadas los clientes optan por llamar a la competencia.

El proceso de llegada de clientes tiene una distribución Poisson, y el proceso de atención se distribuye exponencialmente.

La gerencia desea diseñar el siguiente sistema con:

- La menor cantidad de líneas necesarias.

- A lo más el 2% de las llamadas encuentren las líneas ocupadas.

La gerencia esta interesada en la siguiente información:

El porcentaje de tiempo en que la secretaria esta ocupada.

EL número promedio de clientes que están es espera.

El tiempo promedio que los clientes permanecen en línea esperando ser atendidos.

El porcentaje actual de llamadas que encuentran las líneas ocupadas.

SOLUCION

Se trata de un sistema M / M / 1 / 3 Datos de entrada

= 10 por hora. = 20 por hora (1/ 3 por minuto).– WINQSB entrega:

P0 = 0.533, P1 = 0.133, P3 = 0.06

6.7% de los clientes encuentran las

líneas ocupadas.

Esto es alrededor de la meta del 2%.

sistema M / M / 1 / 4

P0 = 0.516, P1 = 0.258, P2 = 0.129, P3 = 0.065, P4 = 0.032

3.2% de los clntes. encuentran las líneas ocupadas Aún se puede alcanzar la meta del 2%

sistema M / M / 1 / 5

P0 = 0.508, P1 = 0.254, P2 = 0.127, P3 = 0.063, P4 = 0.032P5 = 0.016

1.6% de los cltes. encuentran las linea ocupadas La meta del 2% puede ser alcanzada.

7.8 Sistemas de colas M/M/1//m En este sistema el número de clientes

potenciales es finito y relativamente pequeño.

Como resultado, el número de clientes que se encuentran en el sistema corresponde a la tasa de llegada de clientes.

Características- Un solo servidor- Tiempo de atención exponencial y proceso de llegada Poisson.- El tamaño de la población es de m clientes (m finito).

CASAS PACESETTER

Casas Pacesetter se encuentra desarrollando cuatro proyectos.

Datos- Una obstrucción en las obras ocurre en promedio cada 20 días de trabajo en cada sitio.- Esto toma 2 días en promedio para resolver el problema.- Cada problema es resuelto por le V.P. para construcción

¿Cuanto tiempo en promedio un sitio no se encuentra operativo?

-Con 2 días para resolver el problema (situación actual)-Con 1.875 días para resolver el problema (situación nueva).

SOLUCION

Se trata de un sistema M/M/1//4 Los cuatro sitios son los cuatro clientes El V.P. para construcción puede ser

considerado como el servidor. Datos de entrada

= 0.05 (1/ 20) = 0.5 (1/ 2 usiando el actual V.P).= 0.533 (1/1.875 usando el nuevo V.P).

Medidas del V.P V.PPerformance Actual Nuevo

Tasa efectiva del factor de utilización del sistema 0,353 0,334Número promedio de clientes en el sistema L 0,467 0,435Número promedio de clientes en la cola Lq 0,113 0,100Número promedio de dias que un cliente esta en el sistema W 2,641 2,437Número promedio de días que un cliente esta en la cola Wq 0,641 0,562Probabilidad que todos los servidores se encuentren ociosos Po 0,647 0,666Probabilidad que un cliente que llega deba esperar en el sist. Pw 0,353 0,334

Resultados obtenidos por WINQSB

7.9 Análisis económico de los sistemas de colas

Las medidas de performance anteriores son usadas para determinar los costos mínimos del sistema de colas.

El procedimiento requiere estimar los costos tales como:- Costo de horas de trabajo por servidor- Costo del grado de satisfacción del cliente que espera en la cola.-Costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido.

SERVICIO TELEFONICO DE WILSON FOODS

Wilson Foods tiene un línea 800 para responder las consultas de sus clientes

Datos- En promedio se reciben 225 llamadas por hora.- Una llamada toma aproximadamente 1.5 minutos.- Un cliente debe esperar en línea a lo más 3 minutos.-A un representante que atiende a un cliente se le paga $16 por hora.-Wilson paga a la compañía telefónica $0.18 por minuto cuando el cliente espera en línea o esta siendo atendido.- El costo del grado de satisfacción de un cliente que espera en línea es de $20 por minuto.-El costo del grado de satisfacción de un cliente que es atendido es de $0.05.

Que cantidad de representantes para la atención de los clientesdeben ser usados para minimizarel costo de las horas de operación?

SOLUCION

Costo total del modelo

Costo total por horas detrabajo de “k”

representantes para la atención de clientes

CT(K) = Cwk + CtL + gwLq + gs(L - Lq)

Total horas para sueldo

Costo total de las llamadas telefónicas

Costo total del grado de satisfacción de los clientes que permanecen en línea

Costo total del grado de satisfacción de los clientes que son atendidos

CT(K) = Cwk + (Ct + gs)L + (gw - gs)Lq

Datos de entradaCw= $16Ct = $10.80 por hora [0.18(60)]gw= $12 por hora [0.20(60)]gs = $0.05 por hora [0.05(60)]

Costo total del promedio de horasTC(K) = 16K + (10.8+3)L + (12 - 3)Lq

= 16K + 13.8L + 9Lq

Asumiendo una distribución de llegada de los clientes Poisson y una distribución exponencial del tiempo de atención, se tiene un sistema M/M/K = 225 llamadas por hora. = 40 por hora (60/ 1.5).

El valor mínimo posible para k es 6 de forma de asegurar que exista un período estacionario (<K

WINQSB puede ser usado para generar los resultados de L, Lq, y Wq.

En resumen los resultados para K= 6,7,8,9,10.

K L Lq Wq CT(K)6 18,1249 12,5 0,05556 458,627 7,6437 2,0187 0,00897 235,628 6,2777 0,6527 0,0029 220,509 5,8661 0,2411 0,00107 227,1210 5,7166 0,916 0,00041 239,70

Conclusión: se deben emplear 8 rep para la atención de clientes

7.10 Sistemas de colas Tandem En un sistema de colas Tandem un cliente

debe visitar diversos servidores antes de completar el servicio requerido

Se utiliza para casos en los cueles el cliente llega de acuerdo al proceso Poisson y el tiempo de atención se distribuye exponencialmente en cada estación.

Tiempo promedio total en el sistema = suma de todos los tiempo promedios en las estaciones

individuales

COMPAÑÍA DE SONIDO BIG BOYS

Big Boys vende productos de audio.

El proceso de venta es el siguiente:

- Un cliente realiza su orden con el vendedor.

- El cliente se dirige a la caja para v¡cancelar su pedido.

- Después de pagar, el cliente debe dirigirse al empaque para obtener su producto.

Datos de la venta de un Sábado normal- Personal

+ 8 vendedores contando el jefe+ 3 cajeras+ 2 trabajadores de empaque.

- Tiempo promedio de atención+ El tiempo promedio que un vendedor esta con un cliente es de 10 minutos. + El tiempo promedio requerido para el proceso de pago es de 3 minutos.+ El tiempo promedio en el área de empaque es de 2 minutos.

-Distribución+ El tiempo de atención en cada estación se distribuye exponencialmente.+ La tasa de llegada tiene una distribución Poisson de 40 clientes por hora.

Solomante 75% de los clientes que lleganhacen una compra

Cuál es la cantidad promedio de tiempo ,que un cliente que viene a comprardemora en el local?

SOLUCION

Estas son las tres estaciones del sistema de colas Tandem

M / M / 8 M / M / 3

M / M / 2

= 40

= 30

= 30

W1 = 14 minutosW2 = 3.47 minutos

2.67 minutos

Total = 20.14 minutos.

7.11 Balance de líneas de ensamble

Una línea de ensamble puede ser vista como una cola Tande, porque los productos deben visitar diversas estaciones de trabajo de una secuencia dada.

En una línea de ensamble balanceada el tiempo ocupado en cada una de las diferentes estaciones de trabajo es el mismo.

El objetivo es maximizar la producción

COMPAÑÍA DE MAQUINAS Mc MURRAY

Mc Murray fabrica cortadoras de césped y barredoras de nieve.

La operación de ensamble de una cortadora consta de 4 estaciones de trabajo.

El tiempo máximo en cada estación de trabajo es de 4 minutos. De este modo, el número máximo de cortadoras que pueden ser producidas es de 15 por hora.

La gerencia desea incrementar la productividad mejorando el balance de las líneas de ensamble.

Datos

La operación completa toma 12 minutos

La estación 2 es una

TiempoEstacion Operaciones Prom. (min)

1 Montar cuerpo y mango de la cort; Colocar barra de ctrol en el mango 22 Ensamblar motor en el cuerpo;colocar interruptor;cuchillas;etc; …. 43 Fijar mango, barra de control, cables, lubricar 34 Conectar barra de control; montar luz;inspección de calidad; embalar 3

SOLUCION

Existen diversas opciones de balance para las líneas de ensamble.

- Probar con un esquema de operaciones que ocupe el total de los 3 minutos asignados a cada estación de trabajo.

- Asignar trabajadores ala estación de trabajo de manera tal de balancear la salidas de la estación

- Asignar múltiples estaciones de trabajo para ejecutar cada una de las operaciones.

-Usar técnicas de optimización, para minimizar la cantidad de tiempo ocioso de las estaciones de trabajo.

- Usar heurísticas tales como “Técnica de clasificación de posiciones según el peso” para encontrar el menor número de estaciones de trabajo necesarias para satisfacer las especificaciones del ciclo de tiempo.

Técnica de clasificación de posiciones según el peso.

1. Para cada tarea encuentre le tiempo total para todas las tareas de las cuales esta es un predecesor.2. Clasifique las tareas en orden descendiente según el tiempo total.3. Considere la estación de trabajo 1 como la estación actual.4. Asigne las tareas ubicadas en los lugares inferiores de la clasificación si cumplen con las siguientes condiciones:

+ La tarea no ha sido asignada anteriormente.+ El tiempo de la estación actual no excede el

tiempo deseado para el ciclo.5. Si la segunda condición del paso 4 no se cumple, designe una nueva estación como la estación actual, y asigne tareas a esta.6. Repita el paso 4 hasta que todas las tareas hayan sido asignadas a alguna estación de trabajo.

Mc Murray - Continuación

La demanda por las cortadoras de césped ha subido, y como consecuencia el ciclo de tiempo programado debe ser menor que los 3 minutos programados.

Mc Murray desea balancear la línea usando la menor cantidad de estaciones de trabajo.

DatosTareas que se requieren para fabricar una cortadora de céspedTareas Siguente tarea Tiempo estim.

A--Colocar el cuerpo de la cortadora ***** 40B--Colocar el mango de la cortadora ***** 50C--Ensamblar el motor al cuerpo de la cortadora A 55D--Colocar el interruptor A 30E--Colocar rueda izquierda y asgurarla C 65F--Colocar rueda derecha y asegurarla C 65G--Lubricar cortadora E 30H--Colocar cuchillas C 25I--Colocar cables conectores del motor F, G 35J--Colocar cable que une barra de control con el motorI 50K--Montar luces H 20L--Colocar barra de control en el mango B 30M--Colocar mango L 20N--Colocar cales conectores del mango M 500--Colocar cables conectores de la barra de control****** 45P--Probar cortadora D, J, K, O 50Q--Embalar cortadora P 60

SOLUCIONTareas Tiempo Tareas predecesoras TiempoTotal ClasificA 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1B 50 L,M,N,O,P,Q 305 3C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 2D 30 P,Q 140 14E 65 G,I,J,P,Q 290 4F 65 I,J,P,Q 260 5G 30 I,J,P,Q 225 6,5H 25 K,P,Q 155 12,5I 35 J,P,Q 195 10J 50 P,Q 160 11K 20 P,Q 130 15L 30 M,N,P,O,Q 255 6,5M 20 N,O,P,Q 225 8N 50 O,P,Q 205 9O 45 P,Q 155 12,5P 50 Q 110 16Q 60 ********* 60 17

Pasos 1 y 2 Tareas seleccionadas según clasificación

Tareas Tiempo Tareas predecesoras Tiempo Total Clasific.A 40 C,D,E,F,G,H,I,J,K,P,Q 525 1B 50 L,M,N,O,P,Q 305 2C 55 E,F,G,H,I,J,KP,Q 455 3D 30 P,Q 140 4E 65 G,I,J,P,Q 290 5F 65 I,J,P,Q 260 6,5G 30 I,J,P,Q 225 6,5H 25 K,P,Q 155 8I 35 J,P,Q 195 9J 50 P,Q 160 10K 20 P,Q 130 11L 30 M,N,P,O,Q 255 12,5M 20 N,O,P,Q 225 12,5N 50 O,P,Q 205 14O 45 P,Q 155 15P 50 Q 110 16Q 60 **** 60 17

Paso 3 y 4

Diseñado por Rubén Soto T. Diciembre de 1998.

Estación Clasific Tarea Tiempo Tiempo Total Tiempo Ocios1 1 A 40 40 1401 2 C 55 95 851 3 B 50 145 351 4 E 65 210 Negativo2 4 E 65 65 115

Asignción de Estaciones de trabajo para la producción de Cortadoras

Estación Tareas Tiempo TotalTiempo Ocios.1 A,B,C 145 352 E,F,G 160 203 I,L,M,N 135 454 D,H,J,K 170 105 P,Q 110 70

Ciclo de tiempo actual = 170.Este se debe reducir a 160,moviendo “K” de la estac. 4a la estación 5.