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Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
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3. Fonones: Vibraciones Cristalinas
• Bibliografía: Kittel, cap. 4.
Cap. 3 Fonones - Vibraciones Cristalinas
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Desplazamiento Atómico
• Las posiciones de los átomos en una red de Bravais están dadas por:
• Por simplicidad sólo consideraremos 1 átomo por celda y supondremos un sistema de coordenadas ortogonal.
• Por conveniencia, ni=(hi,ki,li) denota al átomo I-ésimo que tiene posición R.
• El desplazamiento del átomo i se puede escribir como
321 alakahR
321 awavauR iiii
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Desplazamiento Atómico
• Cuando onda plana se propaga por el cristal, los planos atómicos se mueven en fase paralelos o transversales a la dirección de propagación.
• Problema se vuelva 1D: para cada k (vestor de onda) hay 3 modos de vibración:– 1 de polarización
longitudinal– 2 de polarizaciones
transversales
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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos
• La energía del cristal cambia si los átomos son desplazados.
• El cambio de energía puede escribirse en función de la posición de todos los átomos: E=E(R1,R2,R3,... RN)
• El orden más bajo de los desplazamientos es cuadrático: ley de Hooke (límite armónico).
(No hay términos lineales si se expande en torno a las posiciones de equilibrio.)
ji
jijio RCREE,2
1
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Energía y Fuerza debido a los Desplazamientos
• La expresión general para la fuerza sobre el átomo s es:
• De la expresión armónica se puede expresar la fuerza como
Cs: constantes de fuerza - razón entre la fuerza sobre el átomo s y el desplazamiento del átomo j (es generalización de la constante de fuerza de un resorte).
• Nota: En posiciones de equlibrio F=0 y términos son lineales en los desplazamientos.
j
jsjs RCF
s
sRd
dEF
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Fuerzas Centrales
• Las fuerzas centrales resultan si la energía sólo es función de las distancia entre átomos. (Este es el caso de las fuerzas electrostáticas y de van der Waals.)
• Entonces, la energía por átomo es:
donde i son todos los vecinos del átomo s
(factor 1/2 es para evitar contar 2 veces).• Expandiendo hasta órden armónico:
is
iss RRNE,2
1
is
issio RRNEE,
2''
2
1
i
issi
s
s RRRd
dEF
''
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• Consideremos una línea de átomos.
• Entonces, la energía por átomo es:
y la fuerza es:
• Considerando sólo las interacciones con vecinos cercanos:
i’’= 1’’ y
is
iss uuNE,2
1
i
issis
s uudu
dEF ''
Cadena Lineal
sisisississs uuuuuuuF 2'''' 11
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• Ley de Newton (ecuación de movimiento):
• Dependencia temporal:
luego aparece una ecuación de diferencias en los desplazamientos:
• ¿Cómo resolver esta ecuación con un número infinito de osciladores acoplados?
)exp()( tiutu ss
sisisss uuuF
dt
udM 2''12
2
Oscilaciones de una Cadena Lineal
sisiss uuuuM 2''12
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• Como la ecuación es la misma para cada s, la solución debe tener la misma forma para cada s, difiriendo sólo en un factor de fase (onda estacionaria):
• Luego:
))(exp( saikuus
Oscilaciones de una Cadena Lineal
21 '' exp( ) exp( ) 2M u iska iska u
sisiss uuuuM 2''12
2 12 ''cos( ) 1ska
M
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• Una forma más conveniente es:
• Finalmente:
Oscilaciones de una Cadena Lineal
)2
1(
''4 212 kasenM
)2/(21)2/()2/(cos)cos( 222 xsenxsenxx
)2
1(
''2
2
1
12 kasenM
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• Se ha resuelto el conjunto infinito de osciladores acoplados.• La solución para cada oscilador con vector de onda k y frecuencia
• Relación de k en función de k se llama relación de dispersión.
Oscilaciones de una Cadena Lineal
)2
1(
''2
2
1
1 kasenMk
k
Aproximación en el continuo: k<<1/a (i.e. >>a)
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• La solución de k sobre el espacio recíproco (de fases) es periódica.
• Toda la información está en la primera zona de Brillouin.
• La pendiente de k es 0 en los bordes de la ZB: G = /a
• El resto se repite con periodicidad 2/a, i.e. k = k+G !
(G es cualquier vector de la red recíproca; G = n(2/a)
¿Qué significado tiene este hecho?
Primera Zona de Brillouin
)2
1(
''2
2
1
1 kasenMk
k
ak
aka
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• El movimiento atómico con el vector de onda k es idéntico de k+G.
• Todas las vibraciones independientes se pueden describir por k dentro de la 1a zona de Brillouin (1ZB).
Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
k
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• La 1ZB es el rango físicamente significativo para las ondas elásticas.• El cuociente de desplazamiento de 2 planos sucesivos es:
• El rango (-,) para la fase ka cubre todos los valores independientes:
Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
k
( 1)1
i s KaiKas
isKas
u uee
u ue
ak
aka
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• La onda us = u exp(iksa-it) es una onda plana.
• La velocidad del paquete de ondas (velocidad de grupo) es vk=dk/dk
(i.e. es pendiente de k vs. k)
• Significado físico de vk: velocidad de transporte de energía en el medio
Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
)2
1cos(
'')
2
1(
''2
2
1
122
1
1 kaM
avkasen
M kk
kvk=vsonido
Vk=0 en borde de ZB
(esperable en una onda estacionaria)
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• Como k es periódico, debe tener dk/dk =0 en algún valor.
• Ocurre en el límite de la ZB porque debe ser simétrica c/r a los puntos de límite.
• Toda onda (vibraciones u otras ondas) son difractadas si k está en el borde de la ZB.
• Esto es equivalente a la reflexión de Bragg de rayos x: cuando se cumple la condición de Bragg (kmax=/a ), la onda estacionaria no puede desplazarse por la red sino que a través de sucesivas reflexiones y se establece una onda estacionaria.
• Ello lleva a una onda estacionaria con velocidad de grupo = 0.
Significado de vk=0 en frontera dezona de Brillouin
Vk=0 en borde de ZB
(esperable en una onda estacionaria)
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• Este es un resultado general válido para todos los cristales en todas las dimensiones.
• Las vibraciones son un ejemplo de excitaciones. Los átomos no están en su posición de mínima energía mientras vibran.
• Las excitaciones se denominan con un vector de onda k y son funciones periódicas de k en el espacio recíproco.
• Todas las excitaciones se cuentan si los k considerados están dentro de la 1a zona de Brillouin (ZB).
• Las excitaciones fuera de la ZB son idénticas a aquellas dentro de ella y no son excitaciones independientes.
Significado de la Periodicidad en el Espacio Recíproco
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• ska<<1 cos(ska) 1 - 1/2(ska)2
• Resultado: es directamente proporcional al vertor de onda, i.e. velocidad del sonido es independiente de la frecuencia en el límite de longitudes de onda largas: = vk (mecánica del continuo).
Velocidad de Grupo: límite de longitud de onda largo
22 22 " "( )
[cos( ) 1]k
saska k
M M
kvk=vsonido
Vk=0 en borde de ZB
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Dispersión en Cu
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Recordemos: Difracción y la Zona de Brillouin
k’
k
Zona de Brillouin
• La zona de Brillouin está formada por las bisectrices perpendiculares a los vectores G.
• Consecuencia:Consecuencia: No hay difracción para todo k dentro de la primera zona de Brillouin.
• Este es el rol especial de la primera zona de Brillouin c/r a otra celdas
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Red Biatómica 1DMm
un un+1vn
C C C
1
1
2 2 21
2 2 21
( ) ( )
( ) ( )
: ;
: ( ) ; ( )
( 2 ) 0det % 0
( 2 ) 0
n n n n n
n n n n n
o o
i t i tn n n n
o n o n n
o n o n n
mu C v u C u v
Mv C u v C v u
C CDefino
M m
Modo normal u t u e v t v e
u v v
v u u
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Red Biatómica 1D
Mm
un un+1vn
C C C
• Resultado:
• Ecuación se puede resolver para 2, pero es más simple examinar casos límite:– ka << 1 : cos(ka) 1 - ½ (ka)2 + ...
– ka = (borde 1ZB)
• Para ka << 1:
4 22 ( ) 2 (1 cos ) 0o o o oC ka
2
2 2 2
2( ) ( )
( )2( )
o o
o o
o o
rama optica
k a rama acustica
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• Para ka << 1:
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2
2 2 22
1 12 ( ) ( )
( )C
C rama opticam M
k a rama acusticam M
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Dispersión en KBr