cap 2. secuencias y completez

8/17/2019 Cap 2. Secuencias y Completez

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2.0 CONVERGENCIA Y SECUENCIAS DE CAUCHY

2.1. Introducción.

Las secuencias de Cauchy juegan un papel preponderante en temas como el procesamiento digital

de señales, la identificación de parámetros y la teoría de estabilidad. Igualmente toda la topologíade espacios métricos se puede caracterizar por medio se secuencias o series.

2.2. Definiciones Básicas

Una Sucesión o Secuencia es una función que mapea los números Naturales (o cualquier conjunto

numerable en un espacio métrico determinado. Para el caso de los números naturales tenemos:

:

k

f X

k x (2.1)

La notación de una secuencia es de la siguiente forma: k x o también se utiliza 1

k

k

x

Ejemplos de secuencias tenemos: 2

1 01

11 1 1 ( ); ; ; ;

!

k

k k k

sen k

k k k k k

Una sumatoria a infinito se puede expresar como el límite de una sucesión de términos:

1 1

k

i ik

i i

f Lim f Definimos la secuencia 1

k k x donde

1

k

k i

i

x f

2.2.1. Secuencia convergente

Una secuencia

k x o

1

k k x es un espacio métrico

, d X se dice que converge o que es

convergente si existe un x X tal que:

lim , 0

k k

d x x (2.2)

x Se conoce como el límite de k x y escribimos:

lim

k k

x x o k x x (2.3)

Decimos que k x converge a x o tiene el límite x . Si k x no es convergente decimos que k x es divergente.

La métrica d produce la secuencia de números reales ,k k a d x x cuya convergencia define

la de k x .


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Proposición 2.1. Si k x x dado 0 existe un n n N tal que todo k x con k n cae en

una -vecindad x de x .

El límite de una secuencia convergente debe ser un punto del espacio X ; por ejemplo sea ,X

un espacio métrico donde 0,1X ; ,d x y x y , consideremos la secuencia

1

1 1 1 1, , , ...

2 3 4 1 k k

no es convergente en X puesto que 0 X .

Definición 2.2.2. Conjunto Acotado. Sea M X un subconjunto no vacío; M se dice que es unsubconjunto acotado si su diámetro es finito esto es:

,

sup , x y

d x yM

M es finito. Esto se expresa como M (2.4)

Proposición 2.2. Una secuencia k x se dice que es acotada si el correspondiente conjunto de los

puntos de la secuencia k x es un subconjunto acotado de , d X .

Proposición 2.3. Una secuencia convergente, en X , es acotada y su límite es único.

Demostración:

Se sabe que si tenemos dos secuencias convergentes: k x y k y

Si e k k x x y y entonces , ,k k d x y d x y . Por tanto si suponemos que la secuencia

k x converge a dos valores diferentes y ;k k o o x x x x x x ; , ,k k od x x d x x

lo anterior implica 0 , 0 od x x . Esto constituye una contradicción. Por tanto o x x

Definición 2.2.3. Secuencia de Cauchy

Una secuencia k x en un espacio métrico , d X se dice que es Cauchy (o fundamental) si para

cada 0 existe un N N tal que , m nd x x para todos , m n N

Proposición 2.4. Cada secuencia convergente en un espacio métrico es una secuencia de Cauchy

Demostración:

Sea una secuencia 1k k x

de elementos de un espacio métrico X, d . Supongamos que

; Xk x x x . Entonces se cumple que para cada 0, existe un ( ) N N tal que

,2

nd x x para todo n N . Por la desigualdad triangular tenemos que para , m n N se

cumple que

, , , ,2 2

m n m n m nd x x d x x d x x d x x


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Con ello se demuestra que 1

k k x es una secuencia de Cauchy.

Teorema 2.1: Conjunto Cerrado, Clausura

Sea M un subconjunto no vacío de un espacio métrico X, d y M su clausura. Se cumple que:

x M si y solamente si existe una secuencia 1

k k x en M tal que k x x ; M es cerrado si y

solamente si la situación , k k x M x x implica que x M

Demostración:

Sea x M si x M una secuencia que converge a x es , , ... x x . Supongamos ahora que x M y que x es un punto de acumulación de M por lo tanto para cada 1,2, ... ,k la bola

1/n B x contiene un1

porque 0 a medida que k x x nn

. Esto se ilustra de manera

gráfica en la siguiente figura:

1

Si

k k x tiene todos sus puntos en el conjunto M y si k x x entonces x M o cada

vecindad de x contiene k x x así que x es un punto de acumulación de M por lo tanto x M

M es cerrado si y solamente si M M así que b) se sigue de a)

Teorema 2.2. Subespacio Completo

Un subespacio M de un espacio métrico completo X, d es en si mismo completo si y solamente si

el conjunto M es cerrado.

Demostración: Si M es completo por cada x M existe una secuencia 1 en

k k x M la cual

converge en M . Puesto que 1

k k x es Cauchy por el teorema del conjunto cerrado y por lo tanto

M es completo. Luego 1

k k x converge en M , el límite es único por el lema de la unicidad del


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limite. Por lo tanto x M . Esto prueba que M es cerrado porque x M se escogió de formaarbitraria.

Definicion 2.2.4. Espacio completo

Un espacio métrico , d X se dice que es completo si cada secuencia de Cauchy converge en X

(esto es, tiene un límite el cual es un elemento de X ).

La recta real y el plano complejo son espacios métricos completos.

El conjunto a X es un espacio métrico incompleto.El conjunto de los racionales produce un espacio métrico incompleto.

El intervalo ,a b con la métrica inducida en es otro espacio métrico incompleto.

Lo contrario no es cierto porque pueden existir secuencias de Cauchy en , d X que no convergen

en , d X por ejemplo si , 0,1 ;d X en el intervalo 0,1 en podemos armar la

secuencia 1 1 1; ; lim 0 ; 0 0,1k k k k x x k k

Pero veamos que k x es una sucesión de Cauchy.Sea 0 ; sabemos por la propiedad arquimediana que para cada 0 existe un n N tal que1

n . Si ,m n N ; y n m entonces

1 1

m n

;

1 1 n m

m n mn

;

1n m

mn m

Igual sucede si n m tomando 1 1 1

min ,r m nm n r

Luego 0 existe N N tal que , ; ,m nd x x m n N

Como vemos esta sucesión es Cauchy pero no converge en 0,1 como consecuencia 0,1 no escompleto con esta métrica.

Para probar la completez de un espacio métrico , d X construimos una secuencia arbitraria de

Cauchy k x con elementos de X y demostramos que converge en X .

Pasos para demostrar la completez de un espacio métrico , d X

1. Construir un elemento x (utilizando como límite).

2. Probar que x está en el espacio deseado.

3.

Construir una secuencia de elementos de espacio , d X : con Xk k x x 4. Probar que k x x (en el sentido de la métrica)

Ejemplos

Completez de 2,n d


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Si 1 2 1, , , ... , ; , ... ,T T n

n n x y x y 1

22

2

1

,n

j j

j

d x y

Consideremos cualquier secuencia de Cauchy de elementos de :n k x donde:

1 2, ....

T k k k

k n x .Puesto que k x es Cauchy se cumple que:

Para cada 0 existe N N N tal que

1

22

2

1

, ; ,n

m r

m r j j

j

d x x m r N

2

2 2

2

1

,n

m r

m r j j

j

d x x

Para cada 1, 2, ... , j n se cumple

22m r m r

j j j j ; tomando limr

a la expresión anterior tenemos

lim :m r

j j nr

j

N y para todo m N . Dado que

1 ;

k

n j N y k N entonces lim ;r j nr

j

N entonces si

0 1 2, , ... , ;T n

n n x j N por tanto

1

22

0

1

, ;n

m

m j

j

d x x m

N con lo cual demostramos que si k x es Cauchy

en ,n d converge en n .

Funciones continuas

Sea X el conjunto de todas las funciones continuas de valor real en 0,1 J y sea

1

0,d x y x t y t d t

Este espacio métrico , d X no es completo.

Para demostrar consideremos una secuencia de funciones k x como las indica en la figurasiguiente:

0 si 1 / 2

1 / 2 si 1/ 2 ; 1/ 2 1/

1 si

m m m

m

t

x t m t t a a m

t a

(2.5)

En la siguiente figura se muestra las señales m x t


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Grafica de la secuencia x m(t)

Un programa en Matlab que calcula x m(t) paso a paso

t = 0:0.001:2;axis([0 1.6 -0.5 1.5]), gridhold on for m = 1:40,

am = 1/2 + 1/m;x = m*(t-1/2).*(stepfun(t,1/2)-stepfun(t,am))+ stepfun(t,am);

plot(t,x,'b'), pause

end hold off;clf

En la siguiente grafica se ilustra el significado de 1

0,m n m nd x x x t x t d t

Grafica de la métrica en el espacio de funciones


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,m nd x x Es el área del triángulo de la figura anterior.

Supongamos1 1

n mm n

(sin pérdida de generalidad)

1 1/2 1/2 1/

0 0 1/2

1/2 1/ 1

1/2 1/ 1/2 1/

, 0 1/ 2 1/ 2

1 1/ 2 1 1

m

m n n m

n

m n

d x x x t x t d t d t m t n t d t

n t d t d t

1/ 2 1/ 1/2 1/ 1/ 2 1/

1/ 2 1/2 1/ 1/ 2 1/

1/ 1/ 1/

0 1/ 1/

1/ 1/2 2

1/

0

0 1/

, 1/ 22

, 1

1 1, 1

2 2

m n n

m nm m

m n n

m nm m

m n

m

m n

m

m nd x x m n t dt dt n t d t

d x x m n t m n dt dt n t d t

t t nd x x m n m n t n

n m m

2 2

2 2

1 1 1, 12 2 2

1 1 1 1, 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1,

2

1,

m n

m n

m n

m n

m n m n n nd x xm m n m n m m

n n n nd x x

m m m n m n m m

d x xn m n

d x xn

Por la propiedad arquimediana sabemos que para cada 0 existe N tal que 10 N

.

Entonces para cada 0 podemos encontrar un N tal que

, ,m nd x x m n N

Como vemos k x es una sucesión de Cauchy.

Supongamos x J : : x x t : t J un límite para la secuencia k x

lim k k

x x

o dicho de otra forma lim , 0k k

d x x

esto es

1

0

1/2 1/2 1/2

0 1/2 1/2 1/

lim

lim 1/ 2 1 0

k K

k k k

x t x t d t

x t d t x t x t d t x t d t

Como todas las integrales son no negativas

1/2

00 0 x t d t x t Para 10 2t

1/2 1/

1/2lim 1 / 2 0

k

k k

x t x t d t


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1/2 1/

1/2lim 1 0

k

k x t d t

1

2

1

1 0 x t d t 1 x t Para 12t

102

112

si t

x t si t

(2.6)

Por lo que vemos que x t no es continua con lo cual concluimos que el espacio J no escompleto.

Teorema 2.3 Mapeo Continuo

Un mapeo :X YT de un espacio métrico X, d en otro espacio métrico ,Y d es continuo

en un punto Xo x si y solamente si: implica quek k x x T x T x

Demostración:

Asumimos que T es continuo en o x . De la definición de mapeo continuo dada anteriormente

tenemos que para cada 0 dado existe un 0 tal que: , od x x implica que

, od T x T x

Supongamos una secuencia de X si entonces existe un tal quek k o x x x N

para todo se cumple que , ; por lo tanto para todo

tenemos , por definicion esto significa que T

k o

k o k o

n N d x x k N

d T x T x x T x

Supongamos que implica quek o k o x x T x T x probemos ahora que T es continuo en

o x . Supongamos que esto es falso entonces existe un 0 tal que para cada 0 existe un

o x x que satisface , pero ,o od x x d T x T x En particular para

1/ k existe un k x que satisface la desigualdad

1, pero ,o k od x x d T x T x

k

claramente pero no converge ak o k o x x T x T x . Esto contradice el hecho de que

k oT x T x con lo cual probamos el teorema.

Proposición 2.5 Sea la sucesión k x cuyos elementos pertenecen a un espacio métrico X, k d y x x si y solamente si para cada vecindad de B x existe un entero no tal que n x B

para todo on n

Demostración


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Si la sucesión converge se cumple que para cada 0 existe un o on n tal que todo

:n o

x n n está contenido en una bola B x

Sea k x una sucesión de elementos de un espacio métrico X, d si se cumple que para cada

0 existe un tal que para todoo o n on n x B x n n . Esto implica que

,n od x x para todo n n lo que a su vez implica que , 0 a medida quen nd x x x x Con esto terminamos la demostración.

Definición 2.2.5. Subsucesion

Sea k x una secuencia cuyos elementos pertenecen a un espacio métrico X, d .Supongamos

que k x es convergente y converge a x entonces cada subsucesion 11 deik k k i x x

es

convergente y tiene el mismo limite x

DemostraciónUna subsucesion de puntos de la secuencia k x se describe por

ik x donde los puntos

; 1,2,...ik

x i pertenecen al conjunto de puntos de la sucesión k x

Sea 1 2, , ... ,S x x el conjunto de puntos de la sucesión :k k x x S

Cada subsucesion deik k

x x genera un conjunto de puntos que denominaremos

1 2 3, , , ...,k k k k S x x x . Como cada elemento de la subsucesion ik x pertenece al conjunto S se

cumple que para cada subsucesion ;ik k

x S S . Si la secuencia k x converge a un elemento

X, x d se cumple que para cada 0 la bola

B x

contiene infinitos puntos de S esto

significa que dado 0, existe tal que , para todoo o n on n d x x n n el

subconjunto de puntos 1 2 3, , , ...,n n n nS x x x está totalmente contenido en la bola B x esto es

toda subsucesión k n

x tiene sus puntos contenidos en la bola B x . Por lo tanto como la

subsucesion k n

x se escogió arbitrariamente concluimos que cualquier subsucesion de la

secuencia k x converge a x En la figura siguiente se ilustra esta demostración.


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2.5.3. Aplicaciones

Ejemplo de aplicación Muestreo de señales

Consideremos la señal de tiempo continuo descrita por

1 ; 0, 0, 0;t o oV t V e t V

Realizando un muestreo de esta señal con periodo T m obtenemos la señal muestreada mV kT que se puede expresar como una secuencia de tiempo discreto dada por:

2 30 01 0, 1 , 1 , 1 , ...m m m mkT T T T

k k o o o ok k V V V e V e V e V e

La señal de tiempo continua y la señal muestreada se ilustran en la siguiente figura.


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Demostremos que esta secuencia corresponde a una secuencia de Cauchy

Tomando las muestras para , ; 1 , 1 ;m mmT nT m o n ok m n V V e V V e

, ;si sin perdida de generalidad

, ; , 1

m m

mm m m

mT nT

m n m n o

n m T mT nT mT

m n o m n o

d V V V V V e e m n

d V V V e e d V V V e e

Como

1 mm m

n m T mT mT

o oV e e V e

dado 0; si /m mmT mT

o oV e e V

tenemos

1ln / ln /m o om

m T V V mT

Vemos que si om V entonces para cada 0 oV existe un 1

ln / 1om

N V T

tal que ,m nd x x para todo ,m n N . Por lo tanto la secuencia de muestras k V corresponde a una secuencia de Cauchy.

Dado que la señal de tiempo continuo cumple con lim ot

V t V

. Sea SV el conjunto de los puntos

de la secuencia k V dado por

2 30, 1 , 1 , 1 , ...m m mT T T V o o oS V e V e V e . Como vemos o vV S por lo tanto

la secuencia k V obtenida por muestreo de una señal de tiempo continuo V(t) con periodo demuestreo T m no converge en Sv .

Consideremos la señal


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2

2 1 1; 0, 0, ; 1 ; tant o d o o o d o oV t V e sen t t V

Realizando un muestreo de esta señal con periodo T m obtenemos la señal muestreada mV kT que se puede expresar como una secuencia de tiempo discreto dada por:

0 0

2 3, , 2 , 3 , ...

m

m m m

kT

k k o d m ok k

T T T

o o d m o o d m o o d m o

V V V e sen kT

V V e sen T V e sen T V e sen T

La señal y su versión muestreada se ilustra en la figura siguiente

Sea Sv el conjunto de puntos de la secuencia.

2 3, , 2 , 3 , ...m m mT T T V o o d m o o d m o o d m oS V V e sen T V e sen T V e sen T

Verifiquemos que la secuencia de muestras corresponde a una secuencia de Cauchy.

Dado 0 oV tenemos que si

/ .

Como si se cumple que / tendremos que

ln /- T ln / . Dado que 0 ln / 0 ln / 0

m m

m m m

kT kT

o d m o d m o o

kT kT kT

d m o o o

o

m o o o

m

V e sen kT e sen kT V

e sen kT e k e V

V k V k V V V

T

Con lo cual demostramos que para cada 0 oV existe un entero on que cumple

/mnT

oe V

para todo on n .


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Sean

; , . Definimosla metricaen :

,

m m

m m

mT nT

m o d m o m o d m o V

mT mT

m n o d m o o d m o

V V e sen mT y V V e sen nT m n S

d V V V e sen mT V e sen nT

Sea min ,r m n

, 2m mm mm r T n r T rT rT m n o d m o d m o od V V V e e sen mT e sen nT V e

Escogiendo 0 2 oV vemos que si

1

2 / 2 ln / 2 ln / 2 ;m mrT rT

o o m o o

m

V e e V rT V r V r T

Por lo tanto existen ,m n tal que , para todo ,m nd V V m n r

Cuando 2 oV la condición se mantiene para r = 0

De lo anterior concluimos que la secuencia k V es una secuencia de CauchyLa señal de tiempo continuo cumple con la condición lim o

t V t V

. Dado que la señal

t o d oV t V e sen t

toma valores iguales a cero en los instantes de tiempo

;o

d

nt n

, luego cuando muestreamos la señal con un periodo de muestreo Tm

obtendremos que la señal muestreada generara muestras iguales a cero si y solamente si

; ;o om md d

n nkT T k

k

por ejemplo podemos tomar un periodo de muestreo

o

md T

. Cundo seleccionamos estos periodos de muestreo la secuencia de muestras contienena cero por lo tanto el conjunto de los elementos de la secuencia discreta SV contiene elementos

iguales a cero. Como la secuencia converge a cero concluimos que la secuencia converge en el

espacio SV con esta selección del periodo de muestreo. Con una selección diferente de periodo de

muestreo la secuencia no converge en SV.Las funciones que se utilizaron para el muestreo de una señal son las siguientes.

FUNCION MUESTREADORA

function Pm = pmuestra(t,Tm,Dlta )

[m,n] = size(t);

Pm = zeros (m,n);

for k = 1:n,

nd = floor(t(k)/Tm);

Dt = t(k) - nd*Tm;

if (Dt


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Pm(k) = 0;

end

end

FUNCION QUE MUESTREA UN SENAL DE TIEMPO CONTINUA

function [Xm,Xk,tk] = xsample(X,t,Tm)

[l,n] = size(t);

Dlta = t(2)-t(1);

Pm = pmuestra(t,Tm,Dlta);

Xm = X.*Pm;

m = floor(Tm/Dlta);

for k = 1:n,

if abs(t(k))


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Aplicacion a la Estimación de Parámetros en tiempo Discreto

Procedemos ahora a implementar los algoritmos de forma discreta los cuales son mas apropiados

para las aplicaciones prácticas en control digital

Definiciones Básicas

La nomenclatura utilizada es casi estándar

y(t) = salida del sistema para el caso de una sola salida.

1 2, , ,n n nn y t y t y t y t Se suele hablar de una secuencia de la salida

si ;n m K mt n T t kT muestreo periódicoTm = periodo de muestreo

Si se tienen varias salidas hablaremos del vector de la salida

1 2 3T

mt y t y t y t y t Y y hablaremos de la secuencia de la salida

1 2n n n

K m

t t t t

t kT

Y Y Y Y

u (t) - Entrada al sistema (caso SISO)

1 2, , ( ),n nu t u t u t u t Secuencia de las entradas

Para el caso MIMO

1 2T

r t u t u t u t U Vector de entradas

1,n nt t t U U U Secuencia de las entradas

1 2 3

T

n vector de parámetros reales del proceso, generalmente se desconocen

total o parcialmente.

1 2ˆ ˆ ˆ ˆ T

nt t t t Es el estimativo paramétrico de al instante t

1 2T

nt t t t Vector de regresión compuesto de algún tipo de funciones

conformadas con elementos seleccionados de y(t) , u(t)

En el caso de múltiple entrada / múltiple salida t es una matriz de regresión:

1 2

1 2

l

T

i i i i n

t t t t

t t t t

La ecuación general de los estimativos a nivel determinístico es

ˆ ˆ 1 , ,t f t D t t

D(t) Denota la información disponible al instante t


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f función algebraica vectorial. En el caso de sistemas dinámicos D(t) toma la forma de lasobservaciones presentadas y pasadas de las salidas y entradas

Un caso particular de la estimación de parámetros es cuando tenemos la forma:

ˆ ˆ 1 1t t M t t d e t

DondeM(t-1) Ganancia matricial del algoritmo

e t Error de modelado (puede ser un vector en el caso MIMO).Una clase amplia de sistemas dinámicos determinísticos tanto lineales como no lineales puede

expresarse de la forma

1 T *y t t -

y(t) = salida escalar del sistema

t = Vector que denota una función lineal o no lineal de 1 , 1 y t u t u(t) = entrada del sistema

y(t) = Respuesta del sistema a una entrada u(t)

Vector de parámetros reales del sistemat = kT m tiempo discreto obtenido por un muestreo periódico con periodo de muestreoT m

Sistema SISO en Espacio de estados

Sea el modelo lineal en espacio de estados

0( 1) ( ) ( ) ; ( ) dado

( ) ( )

P P X t A X t B u t X t

Y t CX t

Aplicando la transformada Z con condiciones iniciales iguales a cero tenemos:

( 1) ( ) ( )

( ) ( )

P P X t A X t B u t

Y t C X t

1

( ) ( ) P P Y z C zI A B U z

La función de transferencia discreta queda:

1( ) ( )

( ) ( ) P P

Y z B z C zI A B

U z A z

que también se puede escribir1

1

( ) ( )

( ) ( )

d Y z B z z U z A z

1 1 2

0 1 2

1 1 2

0 1 2

0

( ) ...

( ) ...

1 polinomio monico

1 exceso polo-cero

m

m

n

n

B z b b z b z b z

A z a a z a z a z

a

d n m

El modelo se puede expresar1 1( ) ( ) ( ) ( )d A z Y z z B z U z

este modelo se conoce como modelo DARMA (Autorregresivo de Promedio Móvil Deterministico).

En el dominio del tiempo tenemos:


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0 0

( ) ( )n m

i j

i j

a y t i b u t d j

0 1 2

0 1

1 1

1

n

m

a y t a y t a y t a y t n

b u t d b u t d b u t d m

Este modelo se puede escribir en términos de los operadores de desplazamientoq , q-1

enteroi

i

q f t f t i i

q f t f t i

0 0

( ) ( )n m

i d j

i j

i j

a q y t q b q u t

1 1 2

0 1 2

1 1 2

0 1 2

( ) ...

( ) ...

n

n

m

m

A q a a q a q a q

B q b b q b q b q

1 1( ) ( ) ( ) ( )

d A q y t q B q u t

Esta expresión se conoce como modelo DARMA en el dominio del tiempoPara llevarlo a la forma autorregresiva lineal en los parámetros, procedemos como sigue:

Despejamos y(t) del modelo DARMA anterior

1 0( ) ( 1) ... ( ) ( ) ... ( )

n m y t a y t a y t n b u t d b u t d m

Comparando con la forma autorregresiva tenemos:

1T y t t

1 2 0 1

1 [ 1 . . . ( 1) . . . ( )

... ...

T

T

n m

t y t y t n u t d u t d u t d m

a a a b b b

Los principales algoritmos de estimación son :

Algoritmo de Proyección BásicoAlgoritmo de los mínimos cuadrados Básico

Algoritmo de los mínimos cuadrados con ponderación selectiva de datos.

Algoritmo de los mínimos cuadrados con ponderación exponencial de los datos

Algoritmo de los mínimos cuadrados con reinicialización de covarianza

Algoritmo de los mínimos cuadrados con modificación de covarianza

Algoritmo de Proyección Básico

Sea un sistema dinámico descrito por el modelo

1 T

m

y t t

t kT

Si suponemos los parámetros como desconocidos, deberemos considerar ahora unos

parámetros ̂ que deberán determinarse de manera recursiva y que deberán aproximarse a los

verdaderos parámetros del sistema dinámico.

Los nuevos parámetros ̂ deberán corregirse permanentemente para que converjan a

Sea ˆ 1t los parámetros estimados en el instante t - 1 donde mt i k i T


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Sean ˆ t los parámetros estimados en el instante t se desea que ˆ t a medida que

t . A medida que ˆ t la variación de ˆ t es lenta.Deberemos buscar entonces el estimativo de que muestre la variación mas lenta ósea el

estimativo ˆ t tal que ˆ ˆ 1t t sea mínimo. En otras palabras el estimativo ˆ t de

que minimice el criterio

21

ˆ ˆ 12

J t t

indica la norma Euclidea

ˆ ˆ 1t t es la variación neta del estimativo de . La salida producida por los estimativos

ˆ t se conoce como la salida precedida

ˆˆ 1T y t t t

Podemos pensar que ˆ t converge hacia si ˆ 1T y t y t t Podremos hablar entonces del error de predicción como

ˆˆ 1T e t y t y t y t t t Con todo esto se puede reformular el problema de minimización de J.

Dado ˆ 1 ,t y t determinar ˆ t de modo que minimice el criterio J sujeto a que e t sea lomás pequeño y tienda a cero.

Esto se puede escribir en términos de Multiplicadores de Lagrange

21

ˆ ˆ ˆ1 12

T J t t y t t t

es un parámetro de ponderación de Lagrange

El criterio J es mínimo para los valores de ˆ

t y que cumplan :

0 ; 0

ˆ

J J

t

Llevando a cabo esta minimización obtenemos el siguiente algoritmo


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2

2

ˆ ˆ 1 1

ˆ1 1

1

ˆ1 1ˆ ˆ 1 1

1

1 0

ˆ1 1 es el error de estimación y se nota

ˆ1 1

T

T

T

T

t t t

y t t t

t

y t t t t t t

t

con t

y t t t

e t y t t t

La interpretación geométrica de algoritmo se ilustra en la siguiente figura

Un problema potencial con el algoritmo de proyección básico es que existe la posibilidad de una

división por cero cuando 1 0t lo cual puede suceder perfectamente. Para solventar esteproblema podemos construir una versión aumentada del vector

1 ; 1 1 , 1t t t


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Este esquema se permite aplicar el algoritmo a un modelo de la forma

1 1d A q y t q B q u t k ; k = cte Un esquema alternativo para evitar la división por cero es adicionar una constante pequeña. Este

modelo permite acomodar cortes entre la entrada y la salida.

c al denominador del algoritmo pero multiplicando el error por una constante a para mantener

algunas propiedades del algoritmo. Esto lleva al algoritmo de proyección modificado.

4.3 Algoritmo de Proyección Modificado

Como lo que se desea es que el denominador del algoritmo no sea cero adicionamos una constante

c positiva al denominador. Pero deberá ajustarse el algoritmo para que no pierda sus propiedades

de convergencia por ello el algoritmo quedará:

1 1 1ˆ ˆ 1

1 1

T

T

a t y t t t t t

c t t

ˆ

0 dado 0 ; 0 2 es una ganancia de ajustec a Este algoritmo se conoce algunas veces como Algoritmo Normalizado de los Mínimos Cuadrados

Las propiedades principales de este algoritmo son:

2

21

ˆ ˆ ˆ ˆ1 0

ˆfinito , 0 dado

lim1

N

N t

t t t k

k

e t

c t

1/2

2lim 0

1t

e t

c t

2

22

1

lim

1

N

N t

e t

c t

2

1lim 0

1t

t e t

c t

2

lim ( ) ( )

lim ( ) ( ) 0

finito

N

N t k

t

t t k

t t k

k


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El siguiente es un programa que estima recursivamente los parámetros de un modelo según el

algoritmo de proyección modificado.

function [sys,Xo] = proyeccion1(t,X,u,flag,n,a,c,Thi,to,Tm)

NFHi = 0;

b = abs(flag);

if b == 2,

dto = t-to;

Kc = floor(dto/Tm);

dt = dto - Kc*Tm;

if dt


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En el siguiente diagrama se ilustra una implementación para la estimación de los parámetros de un

modelo de segundo orden2

84.641

9.2 84(

1.64)

s sG s

cuyo modelo discretizado con retenedor de

orden cero y T m = 0.01 es

2

0.004102 0.003978

1.904 0.9121 ( , ) =m H

z z z T

z

cap 2. secuencias y completez

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