cap 1 - funciones y modelos - pag 10-81

5/11/2018 Cap 1 - Funciones Y Modelos - Pag 10-81

1/7

IFUNCIONESY MODELOS

Con frecuencia una representacion grM1cade una funcion, en este caso la cantidad de horascon luz del Sol en funcion de la epoca del afio en

varias latitudes, es la rnanera mas natural yconveniente de ilustrar la funclon.

200Nr , , ~ " " " - r " " " " " - " " r . ? : , , 1 " " 2 r - - - : r 10 N

40"N~ ~ f ~ - I " ~ ' " I ~ - - . , [ C . C " - - 1 " " - " " " + " " " " " + " - - ~ - = ' ~ ~ 1 SooN

El proposito fundamental del calculo son las funciones. En este capftulo se prepara elcamino para el calculo al analizar las ideas basicas referentes a las funciones, SllS graficasy las maneras para transformarlas y combinarlas. Se hara hincapie en que una funci6nse puede representar de diferentes modos: mediante una ecuaci6n, en una tabla, Conuna grafica 0 con palabras. Se consideraran los tipos principales de funciones que sepresentan en el calculo y se describira el proceso de usarlas como modelos matematicosde fen6menos del mundo real. Tarnbien se expondni el uso de las calculadoras graficado-ras y del software para trazar graficas.

10


2/7

CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIONLas funciones surgen siernpre que una cantidad depende de otra, Considere las cuatrtuaciones siguientes:A. El area A de un cfrculo depende del radio r del mismo. La regia que relaciona r cse expresa mediante la ecuacion A =T/.2. Con cada mimero positivo r existe asocdo un valor de A, pOI' 1 0 que A esfillIci6n de r.

B, La po blac io n hu mana del mundo , P, depende del tiempo t.En la tabla se dan estimciones de la poblacion del mundo, Pit), en el tiempo t, para ciertos alios. Par ejemPoblacionAno (en milloncs)

1900 16501910 17501920 18601930 20701940 23001950 25601960 30401970 37101980 44501990 52802000 G O S O

P( 1950) =2560 000 000Pero para cada valor de tiempo t existe un valor de P correspondiente, par ]0 queuna funcion de f.

C . EI costa C de enviar pOI'correo una carta de prirnera clase depende de su peso w .cuando no existe una formula sencilla que relacione w con C, la oficina de correostiene una regia parta determinar C cuando se conoce w.

D, La aceleracion vertical a del suelo, segun la mide un sismografo durante un terremto, es una funcion del tiempo transcurrido t. En Ia figura I se muestra una grafigenerada por la actividad sismica durante el terremoto de Northridge que sacudioAngeles en 1994. Para un valor dado de t, la grafica proporciona un valor correspodiente de a.

a(cm/s~)

10 0

50

F IG UR A 1Aceleracion vertical del suelo

durante el terremoto de Northridge-5 0

I(segundos)

OII lC Dept. o f Mines ami Geo logy

En cada uno de estos ejemplos se describe una regia porIa cual, dado un ruimero (I',o t) , se asigna otro ruimero (A, P, C 0 a). En cada caso, el segundo mimero es funcionprimero.

Una funclon f es una regia que asigna a cada elemento x de un conjunto D exacta-mente un elemento, llamadofix). de un conjunto E.

Por 10 com Lin,se consideran funciones para las cuales los conjuntos DyE sonjuntos de mimeros reales. EI conjunto D se llama dominio de la funcion, EI ruimeroes el valor de! en x y se lee 'j'de x". EI intervalo de j es el conjunto de todos los valposibles de fix), conforme x varia en todo el dorninio. Un simbolo que representa unmere arbitrario en el dominic de una funcion j se llama variable independiente.simbolo que representa un mimero en el intervalo de j se llama varlable dependienEn el ejemplo A, r es la variable independiente y A es la dependiente.


3/7

Resulta iitil concebir una funcion como una maquina (vease la figura 2). Si x esta enel dominio de la funcion j, por 10 tanto cuando x entra en la maquina, se acepta como unaentrada y la maquina produce una salida fix) de acuerdo con la regia de la funcion. Deeste modo, puede concebir el dorninio como el conjunto de todas las entradas posibles yel intervalo como el conjunto de todas las salidas posibles.Las funciones preprogram adas de una caIculadora son buenos ejemplos de una funcion co

mo una maquina, POl' ejemplo, la teela de rafz cuadrada en su calculadora calcula una de esafunciones. Usted oprime la teela marcada como . . r 0 j;: y registra la entrada x. Si x < 0en tal caso x no esta en el dominio de esta funcion; es decir, x no es una entrada aceptable yla calculadora indican! un error. Si x ;:_;,, en tal caso aparecera una aproximacion a Jx en lpantalla. Asf, la tec1a J X de su calculadora no es exactamente 10 mismo que la funcion rnatematica exactafdefinida por f(x) = x.

Otra rnanera de representar una funcion es un diagrama de Oechas como en la figura 3Cada flecha une un elemento de D can un elemento de E. La flecha indica que fix) estaasociada can x,fia) con a, y as! sucesivamente.El metodo mas cormin para visualizar una funcion es su grafica, Sif es una funcion con

dominic D, despues su grafica es el conjunto de las parejas ordenadas

12 1 1 1 1 CAPiTULO 1 FUNCIONESY MODELOS

f(xj(salida)x --0oi:Y,\(entrada)

F IG U R A 2Diagrarna de una maquina parauna funci6n f

Af

BF I G U R A 3Diagrama de fleehas para f

y1/ '\/ 1 \

III-- 1 1 \0 1 x\ )F IGURA 6

l!! L a nota ci6 n p ara interva l os a pa rece en elapendi ce A

{(x,f(x)) I xED}(Observe que son parejas entrada-salida.] En otras palabras, la grafica defconsta de todoslos puntas (x, y) en el plano coordenado, tales que y =ix ) y x esta en el dominio de fLa grafica de una funcion f da una imagen iitil del comportamiento, 0 la "historia de l

vida", de una funcion. Como la coordenada y de cualquier punto (x , y) de Ia grafica ey = fix), es posible leer el valor defix) a partir de la grafica como la altura de esta ultimaarriba del punta x (vease la figura 4). La grafica dej'tarnbien permite tener una imagen dedominic defsabre el eje x y su intervalo en el eje y como en la figura 5.

y

dominio

y

f(xj -y= f ( . 1 : ))

f ( 2 }} f m .o x2 x

F IG URA 4 F I G U R A 5

EJEMPLO I En la figura 6 se muestra la grafica de una funcion j.(a) Encuentre los valores de f(l) y f(5).(b) i.Cuales son el dominio y el intervale de f?S O L U C l O l l(a) En la figura 6 se ve que el punto (I, 3) se encuentra sobre la grafica de f,de modoque el valor dejen 1 es f(l) = 3. (En otras palabras, el punto de la grafica que se encuen-tra arriba de x = = 1 esta tres unidades arriba del eje x.)

Cuando x = = 5, la grafica se encuentra alrededor de 0.7unidades debajo del eje x, potanto, j(5) = -0.7(b) fix) esta definida cuando 0 ~ x ~ 7, de modo que el dominio def es el intervalo cerrado[0,7]. Observe queftoma todos los valores desde -2 hasta 4, de manera que el interva-10 defes

{Y1-2 ~ y ~ 4}=-2,4J o


4/7

),=2x-1

x

F IG U R A 7y

F IG U R A 8

m L a ex p res i on

l(a + h) - l(a)h

en el ejem p lo 3 se Ie denom ina un c oc ient ede d i fe renc ia y h a bit ua lm ent e s uc ed e e nc alc ulo. C om o v er a en e l c ap ft ulo 2 , r ep res en tala r ela ci6 n de c am bia p rom edia l(x) entrex=ayx=a+h

SEC CION 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCION 1 1 1 1

EJEMPlO 2 Trace una grafica y encuentre el dorninio y el interval a de cada funcion.(a) f(x) = 2x - 1 (b) g(x) = x2S O l U C I O N(a) La ecuacion de la grafica es y = x - 1 Yesto se reconoce como la ecuacion delinea con pendiente 2 y ordenada al origen - 1. (Recuerde la forma de pendiente-ordenal origen de la ecuaci6n de una recta: y =mx + h. Vease apendice B.) Esto permite trIa grafica de f de la figura 7. La expresion 2x - 1 esta definida para todos los rnimerreales, de modo que el dominio defes el conjunto de todos los mimeros reales, el cse denota con lit En la grafica se muestra que el intervale tambien es f R .(b) Como g(2) =2 = 4 Y g( -1) =-1)" = 1, podrfadibujar los puntas (2, 4) Y(-1, 1)junto con unos cuantos puntos mas de la grafica y unirlos para producir la grca (figura 8). La ecuacion de la grafica es y =2 , 10 cual representa una parabola (veel apendice C). El dominio de 9 es IRLEI intervalo de 9 consta de todos los valores deg(x); es decir, todos los numeros de 1a forma x2 Pero x2 ~ 0 para todos los rnimery cualquier rnimero positivo y es un cuadrado, De este modo, el intervale de 9 es{y I y ~ O}=0,00). Esto tarnbien se ve en la figura 8.

., f(a + h) - f(a)EjEMPlO 3 Si fix) = 2x- - 5x + 1 y h = 1 = 0, evaluar hS O l U ( I O N Primero evalue jl + h) sustituyendo x mediante a + hen la expresi6nparaf{x):

f{a + h) = 2(a + W - 5(a + 1 1 ) + 1= 2(a2 + 2ah + h2)- 5(a + h) + 1

Por 10 tanto al sustituir en 1a expresi6n que se proporciona y simplificando:f(a + h) - f(a)

h(2a2 + 4ah + 2hZ - 5a - 51 ! + 1) - (2a2 - Sa - I)

II2a2 + 4ah + 2hZ - Sa - 5 1 1 + 1 - 2a2 + 5a -

h4ah + 2 h2 - 5h------= 4a + 211 - 51 1

REPRESENTACION DE L AS FUNCIONESSe tienen cuatro maneras posibles para representar una funci6n:

a Verbalmente!ll Numericamente1l I Visual mente00 Algebraicamente

(mediante una descripci6n en palabras)(can una tabla de valores)(mediante una grafica)(por medio de una f6rmula explicita)

Si una sola funcion se puede representar de las cuatro rnaneras, con frecuencia reutil pasar de una representacion a otra, para adquirir un conocimiento adicional de esaci6n. (Por ejemplo, en el ejemplo 2 se empieza con f6rmulas algebraicas y, a continuacse obtuvieron las graficas.) Pero ciertas funciones se describen de manera mas natural can


5/7

14 I I I I CAPiTULO 1 FUNCIONESY MODELOS

Poblaci6nAfio ( en r n il lo n es )1900 16501910 17501920 1860[930 20701940 23001950 25601960 30401970 37101.980 44501990 52802000 6080

p6 X 1 0 "

1940 1980900 1920

F IG U R A 9

81 U n a f u n c in n d e f in id a p a r u n a t a b la d ev a la re s s e c o no ce c o m o f un c i6 n t ab u la r.

W (onzas) C(w) (d6lares)O


6/7

T

oF IG U R A 1 1

!Iit !)-------//2t v

F IG U R A 1 2

!i l l A l es ta blec er func iones de a plic ac ien, c om oe n el e je m plo 5 , p uede r es ult ar ut il r ep as ar losp r i n c i p l e s p a ra l a r es alu ci 6n d e p r ob le m as c om ose p la ntea n en la p agina 76 , en p artic ula r elp aso 1 : c om p re n de r e t p ro bl em a.

SECCION 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA fUNC10N Ill!es posible idear una formula aproximada. Pero todo 10 que necesita saber un geologo,amplitudes y patrones, puede observarse con facilidad a partir de la grafica. (Lo mismse cumple para los patrones que se yen en los electrocardiogramas de los pacientes cdiacos y en los poligrafos para Ia c1etecci6n de mentiras.)En el ejemplo siguiente, se grafica una funci6n definida verbalmente.

EjEMPlO 4 Cuando abre un grifo de agua caliente, la temperatura T del agua dependecuanto tiempo ha estado corriendo. Trace una grafica aproximada de T como funciodel tiempo t que ha transcurrido desde que se abrio el grifo.SOlU[ lON La temperatura inicial del agua corriente esta cercana a I n am b ie nt e, debido aagua que ha estado en los tubos, Cuando empieza a salir la que se encuentra en el tanqde agua caliente, T aumenta con rapidez. En la fase siguiente, T es constante a la tempratura del agua calentada del tanque. Cuando este se drena, T decrece hasta la temperara de la fuente de agua. Esto permite realizar el boceto de grafica de T como una funcde t en la figura 11,EI ejemplo que sigue, parte de una descripcion verbal de una funcion, en una situac

fisica, y se obtiene una formula algebraica explfcita. La capacidad para llevar a caboconstituye una habilidad titil en los problemas de calculo en los que se piden los valomaximo y mfnimo de cantidades.! i : ' l l EjH1PLO 5 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con Sll parte superiorabierta, tiene un volumen de 10m', La longitud de su base es el doble de su ancho. Ematerial para Ia base cuesta 10 dolares por metro cuadrado yel material para los ladoscuesta 6 d6lares por metro cuadrado. Exprese el costa del material como funcion deancho de la base.S O L U C I O HDibuje un d i a g r a m a como el de l a f i g u r a 1 2 e introduzca l a notaci6n to-mando w y 2w como el ancho y la longitud de la base, respectivarnente, y h comola altura.El area de la base es (2w)w =w1, de modo que el costo, en dolares, del materia

para la base es 1O(2w2). Dos de los lades tienen el area uih. y el area de los otros does 2wh, asi el costo del material para los lados es 6[2(wh) + 2{2wh)] ' En consecuencel costo total es

C = 1O(2w2) + 6[2{wh) + 2(2wh)] = 20w} + 36whPara expresar C como funcion solo de w, necesita eliminar h, 10 que sucede al aplicahecho de que el volumen es 10 rrr'. De este modo,

10 cual daw(2w)h =1010 5h=--,=-,2w - ur

Si se sustituye esto(n la expresi6n para C, ( 5 ) , 180C=0w- + 36w -, =0w" + -w- W

POI'10 tanto, la ecuacion1 180C(w) =0w- + - w w>O

expresa C como funcion de w ,


7/7

EJEMPLO6 Encuentre el dominio de cada funcion,16 1 1 1 1 CAPiTULO 1 FUNCIONESY MODELOS

iii Si S8 da una func ion m edia nt e una fo rm ulay no se da el dom inio ex plic ita mente. la c on-v enc ion es q ue el dom inio es el c onjunto detoc os los num er os p ar a los q ue la form ulat ie ne sen ti da y d ef in e u n n ur ne ro r ea I.

F IG URA 13

(a) f(x) =J x + 2 1(b) g(x) =-,--x~ - xS O L U C I O N(a) Ya que la raiz cuadrada de un mirnero negativo no esta definida (como mimero real),el dominio de f consta de todos los valores de x tales que x + 2 ;" O . Esto es equivalentea x;" -2, de modo que el dominio es el intervalo [-2,00).(b) Dado que 1 1g(x) = -,-- = ---x~ - x x(x - 1)Y la division entre 0 no esta perrnitida, g(x) no esta definida cuando x =0 x = 1.Por 10tanto, el dominio de 9 es

{xix - O,x - I}10 cual tambien podria escribirse, con la notaci6n de interval os, como

(-00,0) U (0, I) U (1,00) oLa grafica de una funcion es una curva en el plano .:\)'.Pero surge la cuesti6n: l.cuales

curvas en el plano xy son graficas de funciones? La siguiente prueba responde 10 anterior.

PRUEBADE LA LINEA VERTICAL Una curva en el plano xy es la grafica de unafuncion de x si y solo si ninguna lfnea vertical se interseca con la curva mas deuna vez.

En la figura 13 se puede ver la razon de la veracidad de la prueba de la linea vertical.Si cada lfnea vertical x =a interseca una curva s610 una vez, en (a, b), par 10 tanto sedefine exactarnente un valor funcional mediante f(a) = b. Pero si una lfnea x = se in-terseca con la curva dos veces, en (a, b) y (a, c), en tal caso la curva no puede representaruna funcion, porque una funcion no puede asignar dos valores diferentes a a.

y y ... x=a=a (a,c)

ox a x

Por ejemplo, la parabola x=/ - 2 que aparece en la figura 14(a) en la pagina que sigueno es la grafica de una funcion de x porque, como ellector puede ver, existen lfneas vertic a-les que intersecan dos veces esa parabola. Sin embargo, la parabola en realidad contienelas graficas de dos funciones de x. Observe que x=2 - 2 significa y2 = + 2, por 10que y =y'x + 2. Por esto, las mitades superior e inferior de la parabola son las graficasde las funciones f(x) =J x + 2 [del ejemplo 6(a)] y g(x) = - .Jx + 2 [vease las figu-ras 14(b) y (cj]. Observe que, si invierte los papeles de x y y, en tal caso la ecuacionx = h{y) = y2 - 2 define x como funcion de)' (con y como la variable independiente y xcomo dependiente) y Ia parabola aparece ahora como la grafica de la funcion h.


8/72

F IGURA 15

F IGURA 14

x

1l! Pa r a u n r ep a so m a s ex tenso de los va lo resabsolut os , vease e l apsnd ice A . (

SECCION 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTARUNA FUNCION IIIIy y y

-2, 0~

(a)x= y2 - 2 (b)y=-Jx+2 (c)y=-,jx+2

FUNCIONES SECCIONAL MENTE DEF1NIDASLas funciones de los cuatro ejemplos siguientes estan definidas por formulas diferentesdiferentes partes de sus domini os.~ EJEMP LO 7 Una func ion j'se define por

f(x) = l - Xx 2 si x , , _ ; : : ; Isi x> 1Evahie f(O ), f(1 ) y f(2) y trace la grafica,S O L U C I O U Recuerde que una funcion es una regia. Para esta funcion en particular, la regIes: primero se considera el valor de lu entrada x. Si sucede que x ,,_;::;, en tal caso el valode f(x) es 1 - x. Por otra parte, si x> 1, despues el valor de f(x) es x2

Como 0 ,,_;::;, tenemos f(O) = 1 - 0 = 1.Como 1 ,,_;::;, tenemos f(1) = - 1=O.Como 2 > 1, tenemos f(2) = 22 = 4.

l.Como dibujar la grafica de f? Observe que, si x ,,_ ;: :;, por 10 tanto f(x) = 1 - x demodo que la parte de la grafica de f que se encuentra a la izquierda de la linea verticalx=1 debe coincidir con la linea y =1 - x, la cual tiene la pendiente -1 y 1 comoordenada al origen. Si x> 1 , de spu es fCx) =;(2, por 10 que la parte de la grafica defque esta a la derecha de la linea x=1 tiene que coincidir con la grafica de y=r,la cues una parabola. Esto perrnite trazar l a g raf ic a de la figura 15. EI punto relleno indica que1 punto (1, 0) esta incluido en la grafica; el punto hueco indica que el punto (1 , 1) estfuera de la grrifica.

El ejemplo siguiente de una funci6n seccionalmente definida es la funci6n valor abluto. Recuerde que el valor absoluto de un rnimero a, denotado con 1 a I , es la distanciaa hasta 0, sobre la recta de los numeros reales. Las distancias siempre son positivas 0de tal manera

para todo mimero aPor ejernplo,1 3 1 = 3 1 - 3 1 = 3 101=0 1J2-11=J2-1 1 3 - 7 T 1 = 7 T - 3En general,

l a 1= s i a ~ 0I a 1 =-a si a < 0

(Recuerde que si a es negativo, entonces + a es positivo.)


9/72

E jH1P I.. O 8 Trace l a g ra fi ca de la funci6n valor absoluto, f(x) =\ [.S O l U C I O N Con base en el a n a l i s i s precedente, s a b e que

18 1 1 1 1 cAPiTULO I FUNCIONES Y MODELOS

yy=lx l

--~----~------~,o xF IG U R A 1 6

F I G U R A 17

F or ma p unt o-p endients de la ec ua ci6 n deu n a recta:

Y - :V I =m(x - Xl )v ea se e l a p sn di ce B .

o 2 3 4 5 WF IG U R A 1 8

I x I = { x s~ x ; ; . 0-x SIX


10/

SECC16N 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTAR UNA FUNCION 1 1 1 1y SIMETRIA

Si una funcion f satisface f( -x) =(x), para todo mimero x en su dominio, en tal casse denomina funckin par. Por ejemplo, la funcion f(x) =2 es par porque

xfe-x) =- X ) 2 =x2 = f(x)

y

E1significado geometrico de una funcion par es que su grafica es sirnetrica con respectoeje y (vease la figura 19). Esto significa que si traza la grafica deIpara x ~ 0, obtiene tla gr6.fica con solo reflejar esta porcion con respecto al eje y.Sifsatisface f( - x) =f(x), para todo mimero x en su dorninio, en seguidafse cono

como funcion impar. Por ejemplo, la funcion f(x) =\"3 es impar porqueF I G U R A 1 9Una funci6n par

--~----~~----~~~~ xfe-x) = ( - X ) 3 =x3 =f(x)

La grafica de una funcion impar es simetrica respecto al origen (vease la figura 20). Sitiene la gr6.fica def para x ~ 0, puede obtener lagrafica entera al hacerla girar 180 0 alredor del origen.

F I G U R A 20Una funci6n impar

~ EjEMPLO !! Determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar 0 ningunde las dos.(a) f(x) =5 + x (b) g(x) = ] - X4 (c) hex)=x - x2S O L U C I O N(a) fe-x) =-X)5 + (-x) = (_I)5x5 + (-x)

=-x - X =-(x + x)=f{x)

En consecuencia, f es una funcion impar.(b) g(-x) =1 - ( - X ) 4 = 1 - X 4 = g(x)De modo que 9 es par.

(c) he-x) =2(-x) - ( - X ) 2 =-2x - x2Dado que h ( - x) ; ; - 6 hex) y h( -x) ; ; -6 - hex) , se conc1uye que 11no es pnr ni impar,En la figura 21 se muestran las graficas de las funciones del ejemplo II. Observe q

la grafica de h no es simetrica respecto al eje y ni respecto al origen.

yf

~- ; : x~

-]

F I G U R A 2 1 (a)

yI

yg 1 1

x

(b) (e)


11/

siempre que XL < X2 en I

20 IIII CAPiTULO I FUNCIONESY MODELOSFUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTESLa grafica que se muestra en la figura 22 sube desde A hasta B, desciende desde B hasta Cy vueIve a subir desde C hasta D. Se dice que la funci6nj esta creciendo sobre el intervalo[a , bJ, decreciendo sobre [b , c], y creciendo de nuevo sobre [c , d ]. Observe que si XL y Xson dos rnimeros cualesquiera entre a y b, con XL < X2 , entonees j (XL)


12/

SECCION 1.1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTARUNA FUNCION I I I ![1 J Se proporcio~an las graficas defy g.

(a) De los valores de f( -4) Y g(3).(b) j,Para cuales valores de x se tiene f(x) =(x)?(c) Estime la solucion de la ecuacion f{x) =-J.(d) i.En que intervalofes decreciente?(e) De el dominio y el intervale de f(f) De el dominio y el intervale de g.

yO J


13/

22 1 1 1 1 CAPiTULO I FUNCIONESY MODELOS

la terminal, sea x(t) la distancia horizontal recorrlda y ye t ) laaltitud del avi6n. Trace.(a) Una grafica posible de x(t).(b) Una grafica posible de yet).(c) Una grafica posible de la rapidez can respecto al suelo.(d) Una grafica posible de la velocidad vertical.

19. En la tabla se exhibe el mimero N (en rnil lones) de usuarios detelefonos celulares en el mundo. (Se prnporcionan estimacionessemestrales),

I ll)l)O 1 ' ) < ) 2 1


14/

SECCION 1 .1 CUATRO MANERAS DE REPRESENTARUNA FUNCION 1 1 1 1

52. Un rectangulo tiene un area de 16 rrr'. Exprese su perfrnetrocomo funcion de In longitud de uno de s us lad os .

53. Bxprese el area de un tr iangulo equilatero como funcion de Ialongitud de uno de los lados.

54. Exprese el area superficial de un cubo como funcion de su vo-lumen.

r u Una caja rectangular abierta, con volumen de 2 m', tiene unabase ouadrada. Exprese el urea superficial de la caja como fun-cion de Ia longitud de uno de los lados de la base.

56. Una ventana norrnanda tiene la forma de un rectangulo coro-nado por un sernicirculo, Si el perimetro de la ventana es de30 pies, exprese el urea A de ella como funcion del ancho xde la misma.

57. Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partirde un trozo rectangular de carton que tiene las dimensiones de12 pulgadas par 20 pulgadas, recortando cuadrados igualesde lado x en cada una de las esquinas y. a continuacion, doblandolos lados como se ilustra en la ligura. Exprese el volumen Vde la caja como funcinn de .r.I1 21

58. Una compafila de taxis cobra dos dolares por la primera milia(0 parte de una milla) y 20 centavos de dolar por cada decirnode milla (0 parte) subsiguiente. Exprese el costa C (en dolares) deun viaje como funcion de la distancia x recorrida (en millas),para 0 < x < 2, y dibuje la grafica de esta funcion,

~ En cierto pais, el impuesto sabre la renta se evahia como seindica a continuacion, No se paga impuesto sobre ingresos bastade 10 000 dolares, Cualquier ingreso superior a 10000 dolarespaga un impuesto del 1 0% del misrno, hasta un ingreso de20 000 dolares, Cualquier ingreso superior a 20 000 dolarespaga impuesto con una tasa del 1 5% .(a) Trace la grafica de la tasa R de impuesto como funcion del

ingreso 1.

(b) i,Cll,l[ impuesto corresponde a un ingreso de 14 000 dolay a otro de 26 000 dolares?

(c) Trace la grafica del impuesto total correspondieute Tcomfuncion del ingreso I.

60. Las funciones del ejemplo 1 0 y de los ejercicios 58 y 59(a) sconocen como funciones escalones porque sus gnificas parecescaleras, De otros dos ejemplos de funciones escalones quesurjan en la vida cotidiana.

6l-&2 Se muestrun las graficas defy g. Determine si cada funcioes par. impar 0 ninguna de las dos. E xp liq ue s u raz on am ie nto ,

6 1 . 62 . y

.\\\

63. (a) Si el punta (5, 3) esta sabre la grafica de una funcion par,i,cual otro punto tambien debe estar sobre la grafica?

(b) Si el punta (5, 3 ) esra sobre l a g ra fi ca de una fu nc io n im pai,cual otro punto tambien debe estar sobre la grafica?

64 . Una funcion j'tiene el dominic [-5,5] Y se muestra una parde su grafica.(a) Complete la grafica defsi se sabe que esta es par.(b) Complete la gnifica defsi se sabe que esta es impar,

-5~1---------~----------1---:~o 5 x

65-70 Determine sifes par~mpar a ni par ni impar. Si tiene unacalculadora graficadora, iiselap~ verificar de manera visual surespuesta ~

x65. f(x) = -,--;c + I.\26 6 . I(x) =-4---1x +

x67. f(") =--x+1 6 8. j(x) =lx l70 . I(x) =1+ 3.\) - .~

~------.~.~- .-- ....~-.--


15/

24 1 1 ! 1 CAPITULO I FUNCIONESY MODELOS

~~~~~~~~~11~.2~ MODELOS MATEMATICOS: UN CATALOGO DE FUNCIONES BAslCASUn modelo matematico es una descripcion matematica (con frecuencia mediante una funcion 0 una ecuacion), de un fenomeno del mundo real, como por ejemplo el tamafio de unpoblacion, la demanda por un producto, la rapidez de cafda de un objeto, la concentracion dun producto en una reaccion qufrnica, la expectativa de vida de una persona cuando nace 0costa de Ia reduccion de emisiones. EI proposito de este modelo es entender el fen6menoquiza hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.La figura I ilustra el proceso del modelado matematico, Una vez que se especifica u

problema del mundo real, la primera tarea consiste en formular un modelo matematico identificando y dandole un nombre a las variables independientes y dependientes, asf comhacer supuestos que simplifiquen, 10 suficiente, el fen6meno como para hacer que sea suceptible de rastrearse en forma maternatica, Utilicesu conocimiento acerca de la situaci6fisica y sus habilidades matematicas para obtener ecuaciones que relacionen las variablesEn aquellas situaciones en las que no existen leyes ffsicas que 10 guien, tal vez necesite rcabar informaci6n (ya sea de una biblioteca 0 de la Internet 0 llevando a cabo sus propioexperimentos) y analizarlos en forma de tabla con objeto de discernir patrones. A patir de esta representaci6n numerica quiza desee obtener una representaci6n grafica pomedio del dibujo de los datos. En algunos casos, la grafica puede hasta sugerir una formalgebraica adecuada.

Problema en elmundoreal--'

Formular Resolver Interpretar

Test

FIGURA 1 El proceso del rnodeladoLa segunda etapa es aplicar las matematicas que conoce (como por ejemplo el calcul

que se desarrollara en todas las partes de este libro) al modelo matematico formulado coel fin de deducir conclusiones matematicas. Despues, en la tercera etapa, tome esas conclusiones matematicas e interpretelas como informacion acerca del fenomeno original dmundo real por medio de ofrecer explicaciones 0 hacer predicciones. La etapa final es probar las predicciones que formulo verificandolas contra datos nuevos relativos al mundo reaSi las predicciones no se comparan de manera apropiada con la realidad, necesita afinarmodele 0 bien formular uno nuevo y empezar el ciclo de nuevo.

Un modelo matematico nunca es una representaci6n totalmente precisa de una situaci6ffsica, es una idealizacion. Un buen modele simplifica la realidad 10 suficiente como papermitir calculos rnatematicos pero es 1 0 suficienternente preciso para proveer conclusicnevaliosas, Es importante darse cuenta de los lfmites del modelo. En ultima instancia, la madnaturaleza tiene la ultima palabra.

Existen muchos tipos diferentes de funciones que pueden usarse para modelar correspondencias que se observan en el mundo real. En las secciones subsecuentes, analizaracomportamiento y las graficas de estas funciones y atendera ejemplos de situaciones mdeladas en forma apropiada por medio de esas funciones.MODELOS LINEALES

!il En el a psndic e B se rep asa la geom etriaa na lft ic a de la s r ec ta s,

Cuando dice que y es una funcion lineal de x, 10 que quiere dar a entender es que la grfica de la funcion es una recta, de tal manera puede usar la forma pendiente-interseccionde la ecuacion de una recta para escribir una formula para Ia funcion como

y = f(x) = mx + bdonde m es la pendiente de la recta y b es la coordenada al origen v,


16/

TA

20T=-lOh+2010

0 '\ IIF IG U R A 3

F IG U R A 2

SECCION 1.2 MODELOS MATEMATICOS: UN CATALOGO DE FUNCIONES BAslCAS llll

Una caracteristica representativa de las funciones lineales es que crecen en una prporcion constante. La figura 2, par ejernplo, presenta una grafica de la funcion linej(x) =x - 2 y una tabla de valores muestra. Observe que siempre que x aumenta en O.l,valor dej(x) se incrementa en 0.3. POl' esoj(x) se incrementa tres veces tan rapido comoDe este modo la pendiente de la grafica y =x - 2, en este caso 3, puede interpretarscomo la relaci6n de cambio de y con respecto ax.

i i\1y= 3.


17/

T A B L A 1

CA370

26 1 1 1 1 CAPiTULO I FUNC10NES Y MODELOS

~ EjEMPlO 2 En la tabla I se enumera el nivel prornedio de dioxide de carbono en laatmosfera, medido en partes pOI'millen en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 2002.Use la informacion que en ella aparece para encontrar un modelo para el nivel dedioxide de carbona.SOLUC lOHUse los datos que aparecen en la tabla I para tra za r la gra fic a de dispersi6n quese muestra en la figura 4, donde t representa el tiempo (en afios) y eel nivel de COz (enpartes por millen, ppm)

Nivcl de CO~ Nivcl de CO~Aiio (en ppm) Afro (en ppm)1980 338.7 1992 356.41982 34Ll 1994 358.91984 344.4 1996 362.61986 347.2 1998 366.61.988 351.5 2000 369.41990 354.2 2002 372.9

360

350

340

-t19~0 1985 1990 1995 2000

FIG U RA 4 Grafica de di spers ion para el nivel de CO2Observe que al parecer los puntas correspondientes a la informacion se encuentran cerca

de una recta, par tanto es natural que en este caso se elija un modelo lineal. Pero existennumerosas rectas posibles que se aproximan a estos puntas de informacion, par eso i,cmdebe escoger? A partir de la grafica, la linea que pasa pOI'el primero y el ultimo puntos dinformaci6n parece ser una posibilidad. La pendiente de esta recta es

372.9 - 338.7 34.2-2-0-02---1-9-80-=2-2- =1.5545y su ecuacion es

C - 338.7 =1.5545(t - 1980)o bien

r n C = 1.5545t - 2739.21La ecuaci6n 1 proporciona un modelo lineal posible para el nivel de dioxide de

carbono; se grafica en la figura 5.

F I G U R A 5M od ele lin eal a travesdel primero y ultimo

puntas de informacion

C370

360

350

340-t198O 1985 1990 1995 2000Si bien el modelo coincide razonablemente bien con la informacion, da puntas mas

altos que la mayor parte de los niveles reales de CO2 Par medio de un procedimiento


18/7

lli U n a c or np ut a do ra 'o u na c a lc ul ad or a g ra fi -c ador a enc uentr a la r ec ta de r egresi6 n p arm edia del m etoda de m inim os cuadredos. elc ua l c onsiste en reduc ir a l m inim a la sum a delos c ua dr ad os de la s dist anc ia s v er tic a lesen tr e los p unt as c or res po nd ien tes a d at os y larec ta . E n l a sec ci6 n 1 4.7 se ex plic an deta liesd e 1 0a n t er io r.

F IG U R A 6La recta de rcgrcsion

SECCION 1.2 MODELOS MATEMATICOS; UN CATALOGO DE FUNCIONES SASICAS I I I Ide estadistica conocido como regresion lineal, se obtiene un mejor modelo lineal. Sutiliza una calculadora graficadora, registre los datos de 1atabla 1 en el editor de datosy elija el comando de regresi6n lineal. (Con Maple use el comando Fit [least square]en el paquete de estadistica; con Mathernatica utilice el comando Fit). La maquina da lapendiente y la ordenada al origen y de la recta de regresion como

m = 1.55192 b=-2734.55De esta manera nuestro modelo de mfnimos cuadrados para el nivel de CO2 es

C = 1 .551 92 t - 2734.55En la figura 6 aparece la grafica de In recta de regresion asi como los puntos de infor-

macion, Al compararla con la figura 5 se observa que da una mejor coincidencia quenuestro modelo lineal anterior.

CA37 0

36 0

35 0

34 0~~;9+~-0-----19~8-5-----1~99-0-----1-9~95------20+0-0---7

i.!iI E JEMPLO 3 Use el modele lineal que proporciona la ecuacion 2 para estim ar el nivepromedio de CO2 correspondiente al afio 1987 y predecir el nivel para el 2010. Seguneste modelo, l,cuando excedera el nivel de CO2 las 400 partes por millen?SOlUCIOt lMediante la ecuac ion 2 con t=1987, se estima que el nivel promedio de CO2en 1987 fue

C(l987) =L55192)(l987) - 2734.55 ~ 349.12Esto es un ejernplo de interpolacion porque ha estimado un valor entre valores observados,(De hecho, el observatorio Mauna Loa inform6 que el nivel promedio de CO2 en 1987 fue348.93 ppm, de igual manera su estimado es bastante preciso.)Con t=2010, obtiene

C(2010) =1.55192)(2010) - 2734.55 =384.81 \e modo que se predice que el nivel prornedio de CO2 en el afio 2010 sera384.8 ppm_ Esto es un ejernplo de extrapolacion porque pronostic6 un valorfiwra dela region de las observaciones. Por consecuencia, esta mucho menos seguro acerca de lexactitud de su prediccion.

Al usar la ecuaci6n 2, observe que el nivel de CO2 excede las 400 ppm cuando1 .551 92 t - 2734_55 > 400

Al resolver esta desigualdad tienet> 3134.55 =2019.791.55192


19/7

28 1 1 1 1 CAPiTULO I FUNCIONES Y MODELOS

En consecuencia, se pronostica que el nivel de CO2 excedera de 400 ppm hacia elafio 2020. Esta prediccion es riesgosa hasta cierto punta porque implica un momentobastante remota can respecto a sus observaciones.

POLINOMIOSA una funcion P se le lama polinomio si

donde IIes un entero no negativo y los ruimeros ao, a" a2 , ... , all son constantes queconocen como coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier polinomioIR=-co, (0). Si el coeficiente principal a" # 0, entonces el grado del polinomio es 11. Pejemplo, la funcion

es un polinornio de grade 6.Un polinomio de grado I tiene la forma P(x)=ix + by de este modo es una funei

lineal. Un polinomio de grado 2 tiene la forma p(x) =ax? + bx + c se Ie llama fundeuadratica. Su grafica es siempre una parabola que se obtiene, como vera en la seccisiguiente, al cambial' la parabola y =ax', La parabola se abre hacia arriba si a >0 y haabajo si a < O . (Vease la figura 7.)

y

--------~--+-~~ x

F IG U R A 7Las graficas de las funcionescuadraticas son parabolas. (b) Y =_2X2 + 3x + J

Un polinomio de grado 3 tiene la formaP(x) =ax? + bx2 + ex + d a : ; . f 0

y se Ie da el nombre de funcion cubica, La figura 8 muestra la grafica de una funci6nbica en Ia parte (a) y graficas de polinomios de grados 4 y 5 en las partes (b) y (c). Madelante vera por que las graficas tienen las formas que se ilustran a continuacion.

y A

x

F IG U R A 8 (a) y =Xl - X +I (b) Y = ... - 3x 2 + X (c) y =3 .. 5 - 2 5 . 1 ' 3 + 60


20/

TABLA 2Tiempo Altura(segundos l (metros t

0 450I 4452 4.ll~ 408.'.: + 3755 3326 2 7 97 2 1 68 1 4 39 61

SECCION 1.2 MODELOS MATEMATICOS: UN CATALOGO DE FUNCIONES BAslCAS II!IUsualmente los polinomios se utilizan para modelar diversas cantidades que se su

tan en las ciencias naturales y sociales. En la seccion 3.7, por ejemplo, se explica porlos economistas suelen usar un polinomio P(x) para representar el costo de producir x udades de una mereancia. El ejemplo siguiente usa una formula cuadratica para modelarcafda de una pelota.EjEtJ!PLO4 Desde la plataforma superior de observacion de la torre eN, a 450 m sobrenivel, se deja caer una pelota y en la tabla 2 se registra su altura II del suelo sobre el niveintervalos de un segundo. Encuentre un modelo que coincida con la informacion y iiselopara predecir el tiempo en que la pelota toea el suelo.S O l U C I O N En la figura 9 se traza una grafica de dispersion de la informacion y se observaque no es adecuada una grafica lineal. Perc parece ser que quizas los puntos de informcion se encuentren sobre una parabola, de este modo se hace la prueba con un modelocuadratico. Al utilizar una calculadora graficadora 0 una computadora provista de sistema algebraico (que utiliza el metodo de mfnimos cuadrados), se obtiene et modele cuadratico siguiente:

h=49.36 + 0.96t - 4.90t2

iJ "(metros)400 400

6 8

200 200

o8 I(segundos)2 4 6 2 4F IGURA 9Diagrama de dispersion para una pelota que cae

F IGURA 10Modelo cuadratico para una pelota que

En la figura 10 se traza la grafica de la ecuacion 3 can los puntos de informacion y seobserva que el modelo cuadratico da una coincidencia adecuada.La pelota toca el suelo cuando II =, de modo que se resuelve la ecuacion cuadrati

-4.90t2 + 0.96t + 449.36 = 0La formula cuadratica da

-0.96 ",(0.96)2 - 4( -4.90) (449.36)t= 2(-4.90)

La raiz positiva es t =9.67, por 1 0 tanto se pronostica que la pelota Jcma el suelo despude casi de 9.7 segundos. /

FUNCIONES DE POTENCIAUna funcion de 1aforma f(x) =C i, donde a es constante se llama funcion potencia. Cosidere varios casas.


21/

(i) a = n, donde n es un entero positiveLa figura 11 ilustra las graficas de I(x) =" para 1 1 =1,2, 3,4 Y 5. (Estes son poli-nomios con un solo termino.) Ya conoee la forma de las graficas de y = (una linea atraves del origen con pendiente 1) y y =2 [una parabola, vease el ejemplo 2(b) enla seccion 1.1].

30 1 1 1 1 CAPiTULO I FUNCIONESYMODELOS

y=x

I x I x

F IGURA 11 Gnificas deftx) =x" para n = l , 2, 3,4,5

F IGURA 12Familias de funciones de potencia

F IGURA 13Graficas de funciones rafz

La forma general de la grafica de I(x) = x" depende de si n es par 0 impar. Si n espar, en tal caso I(x) =" es una funci6n par y su grafica es semejante a la de la parabola y = x2. Si J! es impar, en tal caso f{x) =" es una funci6n impar y su grafica es similaa la de y =3. Sin embargo, observe en la figura 12 que conforme aumenta II, la graficahace mas plana cerca de 0 y mas pronunciada cuando I x I ~ 1. (Si x es pequeiia despuex2 es mas pequefia, x' aiin mas pequefia, X4 es mas pequefla y asf sucesivamente.)

x

\_ ,y=r

o x

(ii) a=lin, donde 11 es un entero positiveLa funci6n I(x) = 1(" = if;: es una funcion raiz. Para n = 2 es la funci6n rafz cuadradaI(x) = J X , euyo dominio es [0, c o ) y euya grafica es la mitad superior de la parabolax =2 , [Vease la figura 13(a).J Para otros valores pares de n, la grafica de y =f; : es similar a la de y = J X . Para n=3 tenemos la funcion rafz ciibica I(x) =f;; euyo dominioes I R . (recuerde que todo mimero real tiene una rafz cubica) y euya grafica se ilustra enfigura 13(b), La grafica de y =f; : para n impar (n > 3) es similar a la de y = if;;.

y

x

y

(1 , I ) (1,1)o x

(b) f(x)"" ~./~


22/

x

F IG UR A 14La funci6n reciproca

F IG UR A 15El volumen como una funci6n dela presi6n a temperatura constante

\Jl )'A1 2011

lV11I

-2111II

x

F IG URA 162X4_X2 + 1

j(x) = X2 - 4

SECCION 1.2 MODELOS MATEMATICOS: UN CATALOGO DE FUNCIONES SASICAS l l I I(iii}a=-lEn la figura 14 se presenta la grafica de la funcion reciproca f(x) =X-I = l/x. Su gfica tiene la ecuaci6n y= /x, 0 xy = Yes una hiperbola con sus ejes de coordenadacomo sus asintotas. Esta funcion surge en la ffsica y en la qufrnica en conexion conley de Boyle, la cual dice que, cuando la temperatura es con stante, el volurnen V degas es inversamente proporcional a la presion P:

cV=-Pdonde C es una constante. En estos terminos, la grafica de Vcomo una funci6n de P (veala figura 15) tiene la misma forma general que la mitad derecha de la figura 14.

o p

En el ejercicio 26 se analiza otra situaci6n en la que se utiliza una funci6n potencia pmodelar un fenorneno ffsico.

FUNCIONES RACIONALESUna funcion radonalf es una razon de des polinomios:

P(x)f(x)=- Q(x}donde P Y Q son polinomios. EI dominio consiste de todos los valores de x talesQ(x} - O.Un ejemplo sencillo de una funci6n racional es la funci6n f(x) =/x , cudominio es {x I x - O}; esto es la funci6n recfproca que se dibuja en la figura 14.funcion

2X4 - x2 +fex) = x2 - 4es una funei6n racional con dorninio {x I x - :t2}. En la figura 16 se ilustra su gnifica.

UNC10NES ALGEBRAICASSi una funci6n puede construirse usando operaciones algebraic as (como suma, resta, muplicacion y sacar rafces) se Ie llama funcion algebraica. Cualquier funcion racional autorticamente es una funcion algebraica. A continuacion dos ejemplos mas:

f(x) = . j X 2 + 1 X4 - 16 x2g(x) = . . f . : + (x - 2).ijx + ]x + x


23/

y y

x

32 II!! CAPiTULO I FUNCIONES Y MODELOSCuando trace funciones algebraicas en el capftulo 4, vera que sus graficas adoptan diversaformas. La figura 17 ilustra algunas de las posibilidades,

x

F IG U R A 1 7

En la teorfa de la relatividad surge un ejemplo de funciones algebraicas. La masa de unpartfcula con velocidad v, es

moII!=(v ) =Jl y ?- v- c-

donde Inoes 1amasa en reposo de la partfcula y c=3.0 X 105 kmjs es la rapidez de la IUen el vacfo,

(a) j(x) =sen x (b) g(x) =cos x

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS!ill L a s p a gi na s de r ef er en cia R P e st anl oca l iz adas a l f in a l de ll ib r o . La trigonometrfa y las funciones t ri gono rne tr ic as s e repasan en l a pagina de referencias 2tarnbien en el apendice D. En el calculo la convencion es que siempre se utiliza la me

dida en radianes (excepto cuando se indique 1 0 contrario). Por ejemplo, cuando se usafunci6n f(x) =sen x, se supone que sen x significa el seno del angulo cuya medida en radianes es x. Por consiguiente, las graficas de las funciones seno y coseno son como las quse ilustran en la figura 18.

--+-~~--+-~~--+-~~--4---~--4---~---~ x

F IG U R A 1 8 Observe que tanto para la funcion seno como coseno el dominio es (-00,00) y el a1cances el intervalo cerrado [-I,I]. En estos terminos, para todos los valores de x, se tiene

-I",;;en x ",;;I -1~os x ~ I0, en terminos de valores absolutos,

I senx I " , ; ; 1 I cos x I ~ IAdernas, los ceros de las funciones seno surgen en multiples enteros de 7 T ; es decir,

sen x= donde x = l!7T n es un mimero positivo


24/

SECCI6N 1.2 MODELOS MATEMAncos: UN CATALOGO DEFUNCIONES BAslCAS 1 1 1 1 33

Una propiedad importante de las funciones sene y coseno es que son funciones peri6-dicas y tienen periodos 2Tt. Esto significa que para todas las funciones de x,

sen(x + 2Tt) =en x cos(x + 2Tt) =os xLa naturaleza periodica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fen6menos repe-titivos como par ejemplo las mareas, los resortes vibratorios y las ondas sonoras. En el casodel ejernplo 4 de Ia secci6n 1.3, vera que un modelo razonable para el numero de horas de luzen Filadelfia t dias despues dell de enero esta dado por la funcion

[ 2Tt ]L(t) = 12 + 2.8 sen 365 (t - 80)

3 1 1 '2

La funcion tangente se relaciona con las funciones sene y coseno par medio de laecuacion

sen xtan x=--cos x3 1 1 ' X2 y su grafica se muestra en la figura 19. Es indefinida siempre que cos x = 0, es decir, cuan-

do x=:t Tt1 2, 3TtI2 , .... Su intervalo es (-co, co).Observe que la funci6n tangente tieneperiodos Tt :

y ) ' A

x

F IG UR A 19 tan(x + Tt ) = tan x para toda xy'" tan xLas tres funciones trigonometricas restantes (cosecante, secante y cotangente) son

reciprocas de las funciones seno, coseno y tangente. Sus graficas se ilustran en el apen-dice D.

FU NC IO NE S E XPO NEN CIA L ESLas funciones exponenciales son las funciones de la forma j(x) =a", donde la base a esuna constante positiva. En la figura 20 se muestran las graficas de y =2x Yy =O.5y Enambos casos el dominio es (-00, (0 ) y (0, (0 ) es el intervalo.

.rF IG URA 20 (a)y=2' (b)' =: (0.5)'

En Ia secci6n 1.5 se estudiaran las funciones exponenciales con mayores detalles y veraque resultan utiles para modelar muchos fenomenos naturales, como por ejempJo el creci-

~iento de la poblacion (si a > 1) y el decaimiento radiactivo (si a < 1).


25/

34 I I1 I CAPITULO I FUNCIONES Y MODELOS

F IG UR A 21

_ Q 2 J EJERC IC10S

FUNCIONES LOGARjTMICASLas funciones logaritmicas f(x) = log,,, donde la base a es una constante positivson las inversas de las funciones exponenciales. Las prirneras se estudian en la secion 1.6. En la figura 21 se muestran las graficas de cuatro funeiones logaritmicas cvarias bases. En eada caso el dominio es (0, 00), el intervalo es (-00, (0), y la funei6n erelentamente cuando x > I.FUNCIONES TRASCENDENTESEstas funeiones no son algebraicas. EI eonjunto de funeiones traseendentes incluyetrigonometrica, la trigonometrica inversa, exponencial y logarftmica, adem as comprendebuen mimero de otras funciones que nunca han recibido nombre. En el capitulo ] I se anlizaran las funciones trascendentes que se definen como sumas de series infinitas.

EjEMPlO :; Clasifique las funciones siguientes como uno de los tipos de funciones recianalizadas.(a) f(x) =5' (b) g(x) =5

l+x(c) hex) = r;1- vx

(d) u{t) =1 - t + 5t4S O l U ( I O N(a) f(x) =Yes una funci6n exponencial. (La x es el exponente.)(b) g(x) =5 es una funcion potencia. (Lax es la base.) Podrfa considerar tambien quees un polinomio de grado 5.

() l+x funci .(c) h x = r: es una uncion algebraica,1- vX(d) u( t) =1 - t + 5t4 es Ull polinomio de grado 4.

1-2 Clasifique cada funcion como funci6n potencia, funci6n rafz,polinomio (s efia le s u g ra do ), f un cio n r ac io na l, f un cio n a lg eb ra ic a, fun-cion trigonometrica, funci6n exponencial 0 funcion logarltrnica.1. (a) j(x) = i ; f X

(c) h(x) = x') + X4(e) sex) = tan 2x

x-62 . (a)y =--x+6(c) y = 10'

3-4 Haga coincidir cad a ecuacion con su grafica. Expliquesus selecciones. (No use una computadora ni una calculadoragraficadora, )

(b) g(x) = )1 - x"x" + I(d) rex) =--x' + x

x

(f) t(x) = [oglOxx 1(b) y = + --;===.;x=t

(d)y=x'O(f) y =cos e + sen e


26/

SECCI6N 1.2 MODELOS MATEMATICOS: UN CATALOGO DE FUNCIONES BAslCAS I I 1 I

4. (a ) y =:r(c) y =J (b) y = 3'(d) y =~

III(a) Encuentre una ecuaci6n para la familia de funciones linea-les con pendiente 2 y trace Ia grafica de varios miernbrosde la familia.

(b) Halle una ecuac ion para la familia de funciones lineales talque j(2) = I Y dibuje varios miembros de I n familia.

(c) i,Que funci6n pertenece a arnbas familias?6 . LQue tienen en corntin todos los rniernbros de Ia familia de fun-ciones lineales f(x) = + m(x + 3)? Trace I n grafica de vuriosrn iembros de la familia.

7. LQue tienen en cormin todos los miembros de I n familia de fun-ciones lineales f(x) = - x? Trace 1agrafica de varies miem-bros de la familia.

8. Halle las expresiones para las funciones cuadraticas cuyasgraficas son mostradas.

y

f Ii 4 , 2 )y

o 3 x9. Hallar una expresion para una funci6n cubical sU( -1) ""6 y

j( -1) =f(O) "" j (2) =O.10. Estudios recientes indican que la temperatura superficial de la

Tierra se ha estado increrncntando de rnanera firrne. Algunoscientfficos han model ado la temperatura mediante la funci6nlineal T = 0.02l + 8.50, donde T es Ia temperatura en "C y trepresenta afios desde 1900.(a) LQue representa la pendiente y la interseccion a T?(b) Utilice la ecuaci6n para predecir la temperatura superficial

global al promedio al 2100.1I. Si la dosificacion recomendada para un adulto de una droga es

D (en mg), entonees, para establecer la d6sis apropiada cpara un infante de edad a, el qufrnico farmaceutico utiliza laecuaci6n c = 0.0417D(a + I). Considere que la dosis para unadulto es 200 mg.(a) Hallar la pendiente de la grafica de c. LQue representa?(b) LCual es la d6sis para un recien nacido?

12. EI gerente de un bazar de fin de sernana sabe can base enexperiencias anteriores que si cobra x dolares por la rentade espacio en el bazar, entonces el niimero y de espaciosque puede reutar esta dado por la ecuaci6n y =00 - 4x.(a) Trace una grafica de esta funcion lineal. (Recuerde

que la renta que se cobra por espacio y el mimero deespacios que pueden rentarse no pueden ser cantidadesnegativas, )

(b) i,Que representan la pendiente, In ordenada al origen y y Iinterseccion x de la gnifica?

13. La relaci6n entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) yCelsius (C) esta dada par la funcion lineal F=C + 32.(a) Trace una gnifica de esta funcion.(b) i,Cual es la pendiente de la grafica y que representa? i,Cua

es la intersecci6n de F y que representa?14. Jason sale de Detroit a las 2:00 P.M. y conduce con rapidez

constante hacia el oeste a 10largo de In carretera 1-96. Pasa poAnn Arbor, a 40 millas de Detroit a Ius 2:50(a) Exprese la distancia recorrida en terminos del tiempo tran

currido.(b) Dibuje la gnifica de la ecuacion del inciso (a).(c) LCua! es In pendiente de esta Iinea? i,Que representa?

! ! 1 l Los biologos han notado que la cantidad de chirridos queemiten los grillos de cierta especie e st a r el ac io n ad a con In temperatura y la correspondencia parece ser casi lineal. Un grilloproduce 113 chirridos por minuto a 70F y 173 chirridos porm inu te a 80F.(a) Encuentre una ecuacion lineal que modele la tempera-

tura como una funci6n del numero de chirridos porminute N.(b) Leual es l a p e nd ie n te de I n gn if ic a ? i,Que representa?(c) Si los grillos estan chirreando alSO chirridos par minuto,

estime la temperatura.16. El gerente de una fabrica de muebles encontr6 que cuesta 2 20

dolares fabricar 100 sillas en un df a y 4 800 dolares producir300 en un diu.(a) Exprese el coste como una funcion del mimero de sillas

que se producen, supouiendo que es lineal. Luego trace lagraficu.

(b) i,Cuat es la pendiente de la grafica y que representa?(c) LCual es la interseccion de y de la grafica y querepresenta?

I I T J En la superficie del OCeUllO la presion del ugun es la misrna qula presion del aire por arriba del agua , 15 Ib/pulg'', Po r debajode la superficie, la presion del agua aumenta en 4.34 lb/pulg"por cada 10 pies de descenso.(a) Exprese la presion del agua como funci6n de [a profundi-

dad por debajo de In superficie del oceano.(b) i,A que profundidad es 100 lb/pulg" la presion?


27/


18 . EI costa mensual de conducir un autornovil depende del mimerode millas que se recorran. Lynn encontr6 que en el mes de ma-yo recorrer 480 millas Ie cost6 380 dolares y en junio le cost6460 dolares recorrer 800 millas.(a) Exprese el costa mensual C como una funcion de la distan-

cia recorrida d, suponiendo que la correspondencia linealprovee un modele adecuado,

(b) Utilice el inciso (a) para predecir el costa de conducir 1 500rnillas pOl' cada meso(c) Trace la g raf ica de l a f unc io n lineal. i,Que representa lapendiente?

(d) l,Que representa la intersecci6n de y?(e) l,Por que una funci6n lineal proporciona un modele apro-

piado en esta situacion?19-20 Determine, para cada una de las gnificas de dispersion, quetipo de funci6n elegiria como modelo para In informacion. Expli -que sus elecciones.19 . (a) (b)

y Y'!'

. .~ " :. ', . ..~.'. .~ .. .,.' +.+. . . . . .. ' . . , . ft'.' "..',""~o.':,

0 X 0 x20 , (a) (b)

)' y. .'.. .*i>~' .

" f t.. .".' .".".1 - ' ; 1 - .

-0 . 01 .

0 .r 0 x

~ 21. La tabla muestra las tasas de incidencia de ulcera peptica (a 10largo de toda la vida) respecto del ingreso de diversas familias(por cada 100 habitantes) segiin report6 el National HealthInterview Survey (Encuesta Nacional de Salud por medio deEntrevistas) en 1989.

Incidencia de ulceraIngrc,o (pOf cada 100 nabltanleSI$4000 14.!$6000 13.0$8000 13.4SI2000$16000$20000$30()OOS450UOS60000

12.512.012.410.59.48.2

(a) Trace una grafica de dispersion y determine si es adecuado unmodele lineal.

(b) Halle y dibuje un modelo lineal util izando el primero y elultimo puntos de informacion.

(c) Encuentre y dibuje l a l fn ea de regresion por mfnimos cua-drados.

(d) Utilice el modelo lineal del inciso (c) para estimar la inci-dencia de ulcera para un ingreso de 25 000 dolares,

(e) Segun el modele, l.que tan probable es que alguien que perci-be un ingreso de 80 000 dolares sufra ulcera peptica?

(f) l,Cree usted que serla razonable aplicar el modele a alguienque tiene un ingreso de 200 000 dolares?

f f i 22 . Los biologos han observado que la cantidad de chirridos queemiten los grillos de cierta especie parece estar relacionada conIn temperatura. La tabla muestra la cantidad de chirridos paradistintas temperaturas.

Temperatura Cantidad de chirridos Temperatura Cantidud de chirridus(OF) (chirridos/minuto} n~) (chirridos/minuto)50 20 75 14055 46 80 17360 79 85 19865 91 90 21170 In(a) Realice una grafica de dispersion de la informaci6n.(b) Encuentre y dibuje la linea de regresirin.(c) Use el modelo lineal de la parte (b) para estimar la cantidad

de chirridos a lOOF .f f i 2 3. La tabla proporciona las alturas ganadoras en las eompeten-

cias de saito con garrocha de los Juegos Olfrnpicos duranteel siglo xx.

Ano Allum (pies) Ailo Altura (pies)19()O 10.83 1956 14.961904 [ 1.48 1960 15.42190tl 12.17 19M 16.731912 12.96 [968 17.711920 13.42 1972 18.041924 12.% 1976 18.041 928 13.77 1980 18.961932 14.15 1984 18.851936 14.27 1988 [9.771948 14.10 1992 19.021952 14.92 1996 19.42

(a) Dibuje una grafica de dispersion y determine si un modelolineal es adecuado.

(b) Encuentre y dibuje la linea de regresion,(c) Utilice el modelo lineal para predecir la altura del salto con

garrocha ganador en los Juegos Olfmpicos del afio 2000 ycomparelo con la altura ganadora real de 19.36 pies.

(d) l,Es razonable usar el modelo para predecir las alturas ven-cedoras en los Juegos Olfrnpicos del afio 21007


28/7

SECCI6N 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIGUAS 1 1 1 1 3

r n 24. Un estudioque realizo Ia U.S. Office of Science and Technology(Oficina de Ciencia y Tecnologfa de Estados Unidos) en 1972estimo el costo (en d61ares de 1972) de reducir el costo de lasemisiones de vehfculos automotores en ciertos porcentajes:

r n 26. La tabla rnuestra las distancias medias (promedio) d de los planetas al Sol (suponiendo que la unidad de rnedida es Ia distan-cia de la Tierra al Sol) y sus periodos T (tiempo de revolucionen afios).

Reduccion de Co,w por vchiculo Rcduccion de Costo por vchiculoemisioncs {'i() (cu dolares l emisioncs ('i~) (eu dolares)

50 45 75 9055 55 80 10060 62 85 20065 70 90 37570 80 9 5 600

Planctn a TMercurio O.3S7 0.141Venus 0.71.; 0.615Tierra 1.000 r . o n oMarie 1.523 1.831Jupiter 5.203 !1.861Suturno 9.541 2':).457Urano 19.1':)0 84.008Neptune 30.086 164.784

Encuentre un modelo que capte la tendencia de "rendimientosdecrecientes" de esta informacion.r n 25 . Utilice la informacion que aparece en la tabla para modelar Japoblacion del mundo en el siglo xx por medio de una funci6n cii-bica. Utilice enseguida su modelo para estirnar In poblacion en elafio 1925. (a) Haga que un modelo de potencias coincida con lainformacion,

Poblacion Poblncion (b) La tercera ley de Kepler del movimiento planetario esta-Afln, (rnilloucs) Ailos (mil lones) blece que1900 1650 1':)60 3040 HEI cuadrado del periodo de revolucion de u n p la ne ta es1910 175() 1970 3710 proporcional al cuba de su distancia media!91() 1860 1980 4450 respecto del So!."1930 1070 1990 51S01940 230n 2000 6080 \950 2560 i .EI modelo que formul6 corrobora la tercera ley deKepler?

,------,FUNCION~UEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIG UAS. 3 1Esta secci6n inicia con las funciones basicas analizadas en la secci6n 1.2 para obtenefunciones nuevas mediante el desplazamiento, el alargamiento y la reflexi6n de sus grafcas. Tambien es mostrara como combinar pares de funciones por medio de operacionesaritmeticas estandar 0 por composicion.TRANSFORMACfONES DE FUNCIONESAl aplicar ciertas transformaciones a la grafica de una funci6n dada, puede obtener las graficas de ciertas funciones relacionadas, Esto le proporcionara la habilidad para trazar a mano las graficas de muchas funciones. Ademas Ie permitira escribir ecuaciones para graficaconocidas. En primer Ingar, se considera las traslaciones. Si c es un mimero positive, por 1tanto [a grafica de y =f(x) + c es precisamente la de y =f(x) desplazada hacia arriba undistancia de c unidades (ya que a cada coordenada y se incrementa el mismo mirnero c). Demismo modo, si g(x) =(x - c), donde c > 0, pOl' 1 0 tanto el valor de g en x es el mismoque el valor de f en x - c (c unidades a la izquierda de x). En consecuencia, la grafica dy = f(x - c) es precisamente la de y =(x) desplazada c unidades a Ia derecha (vease lfigura 1).

DESPlAZAMIENTOS VERTICAlES Y HORIZONTA lE S Suponga que c > O. Para obtener lagrafica dey=ix) + c, se desplaza la grafica de y=ix) una distancia de c unidades hacia arribay =ix) - c, se desplaza la grafica de y =ix) una distancia de c unidades hacia abajoy=ix - c), se desplaza Ia grafica de y=(x) una distancia de c unidades hacia la derechay =fix + c), se desplaza la grafica de y =ix) una distancia de c unidades hacia Ia izquierda


29/7

38 I 1 1 1 CAPITULO I FUNCIONESY MODELOS

y

y=f(x)- c

yJ .

y=f(x)+e f\v y=cf(x)/ le>l).:

I) ~ - - ' l Z S - - i ' ; : /I rY=fIX)/ ~ ' - " Y =!Ix)/ c/x oC III

VY=-fIX)

F I G U R A ITraslacion de la grafica def

F I G U R A 2Alargamiento y reflexi6n de la grafica def

Considere ahora las transformaciones de alargamiento y reflexion. Si c > I, en tal cala grafica de y =f(x) es la de y =(x) alargada en el factor c en la direcci6n vertic(porque cada coordenada y se multiplica por el mismo mimero c)La grafica de y =f(x)la de y=(x) reflejada respecto al eje x, porque el punto (x, y) reemplaza al punto (x, -y(Vease la figura 2 y la tabla a continuacion, donde tambien se dan los resultados de otras tranformaciones de alargamiento, compresi6n y reflexion.)

tU..ARGAMIENTOS Y REFLEXIONES VERTICAlES Y HORIZONlAI .ES Suponga que c > 1 . P araobtener la grafica de

y=f(x), alarguese la grafica de y =f(x) verticalmente en un factor de cy=1 / [')f(x), comprfmase la grafica de y =(x) verticalmernte en un factor de cy =(cx), comprfmase la grafica de y =(x ) horizontalmente en un factor de cy =(x/c), alarguese la grafica de y =Ix ) horizontal mente en un factor de c)'=f(x), reflejese la grafica de y =(x ) respecto al eje xy =( -x), reflejese la grafica de y =(x) respecto al eje y

La figura 3 ilustra estas transformaciones de alargamiento cuando se aplican a la fucion coseno can c=2. Por ejempIo, para obtener la grafica de y = 2 cos x multipliqula coordenada y de cada punta en Ia grafica de y =osx par 2. Esto significa que Ia gfica de y =os x se alarga en direcci6n vertical por un factor de 2.

y yY"" 2cosx/ y=cosx

y=~cosx r~

2 v=cos.!.x- 2

x

F I G U R A 3

y=cosxy = cos2x


30/

SECCI6N 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIG UAS 1 1 1 1

& : : ; I EjEMP!.O I Dada la grafica de y =Y x , use las transformaciones para dibujary = - I X - 2, y = J x - 2, y = - - I X , y = 2 - I X y Y =0S O l U ( I O N En la figura 4( a) aparece la grafica de la funcion rafz cuadrada y =X, que seobtuvo de Ia figura 13(a) en la seccion 1 .2. En las otras partes de la figura, se h a tr az ad oy=I X - 2 al desplazarla 2 unidades hacia abajo; y =~ al desplazarla 2 unidadeshacia la derecha; y = - - I X al reflejarla respecto al eje x; y = 2 - I X al alargarla vertical-mente un factor de 2, y y =FX al reflejarla respecto al eje y.

y

o

y

x o

y

2

y

o

) ' A

x o o x

(a)y=J~'F IG U R A 4

(c)y=J~=2 (d)y= -J.~.

EjENPL O 2 Dibuje la funcion f(x) = x2 + 6x + 10 .S O l U ( I O N Al completar el cuadrado, escriba la ecuaci6n de la grafica como

y =2 + 6x + 10 =x + 3) 2 + IEsto quiere decir que obtiene la grafica desea~ parte de la parabola y = x2 y ladesplaza 3 unidades ala izquierda y , a continuacio~, 1 unidad hacia arriba (veasela figura 5). ""

) ' A

1-3,1)o x

F IG U R A 5 (b)y=(x+3)"+1

EjEf-01PLO3 Trace las graficas de las funciones siguientes:(a) y = sen 2x (b) y =I - sen xS O L U ( I O N(a) Obtiene la grafica de y =en 2x a partir de la de y =en x, si la comprime horizon-talmente lin factor de 2 (vease las figuras 6 y 7). De modo que, mientras el periodo dey =en x es 2r., el periodo de y =en 2. x es 2r.12=..

y A

x .v

/y=senx

F IG U R A 6 F IG U R A 7


31/


(b) Para obtener la grafica de y =1 - sen x, una vez mas empiece con y = sen x. Larefleja con respecto al eje x, para obtener la grafica de y =sen x y, a continuaci6n,desplacela 1 unidad hacia arriba para obtener y = - sen x (vease la figura 8).

y2 y =1-sen ,r

xF IG U R A 8

31 72

EjEMPLO 4 La figura 9 muestra graficas del nrimero de horas de luz diurna como funciones de la epoca del afio en diversas latitudes. Dado que la ciudad de Filadelfia esta ubicda a 40de latitud N, encuentre una funci6n que modele la duraei6n de la luz diurna enciudad mencionada.

F IG UR A 9Grafica de la duracion de laIuz diurna del 21 de marzo al

21 de diciembre en diversas latitudesF u e n te : L u c i a C . H a r ri so n . D . yUgh t. T. . i l/ gh r . D a r kn e s s aM T ImeI N ew Y o rk : S i lv e r . B u rd e tt . 1 9 3 5 1 p a g i o o 4 0 .

2018161 412

Homs [086420

I ~I V ' t . . ,~I

-O-j ~ ~- b..,~---',~"I ~ r . . - - " " -0-- ~I- ~~t--=: --0I 1\ ~ ~."

I I~I I . . _ ,I !I !I II !

200N300N400NSooN

Mar. Abr. May Jun. Jul. Ago. Sept. Oct, Nov. Die.

S O L U C ! O I lObserve que cada curva se pareee a una funci6n seno desplazada y a la r g a d a . A lobservar la curva de color azul parece que, en la latitud de Filadelfia, la luz diurna duraalrededor de 14.8 horas el 21 de junio y 9.2 horas el21 de diciembre, de manera que laarnplitud de la curva (el factor por el cual debe alargar la curva seno verticalmente) es1(14.8 - 9.2) =.8.

l,Por que factor necesita alargar la curva seno horizontalmente si mide el tiempo t endfas? Debido a que en un afio hay 365 dias, el periodo del modele debe ser 365 dias,Pero el periodo de y =en t es 27T, por consiguiente el factor de alargamiento horizontaes c=7T/365.

Se observa t ambien que Ia curva inicia su cicIo el 21 de marzo , el 8 00 . d fa del afio, demodo que desplace la curva 80 unidades hacia la derecha. Ademas, la desplaza 12unidades hacia arriba. En consecuencia, modele la duraci6n de Ia luz diurna en Filadelfisobre el r-esirno. dfa del afio mediante Ia funci6n

[ 2 7 T J(t ) =12 + 2.8 sen 365 ( z - 80 )Otra transformaci6n de cierto interes es tomar el valor absoluto de una funci6n. Si

y = If(x)l, en tal caso, segun la definici6n de valor absoluto, y = f(x) cuando f(x) ;;,y y =f(x) cuando f{x) < O . Esto dice c6mo obtener la grafica de y =f(x)1 a partirde la grafica de y ={x); la parte de la grafica que se encuentra arriba del eje x siguesiendo la misrna; la secci6n debajo del eje x se refteja respecto a este eje.


32/

yA~

x

(a) Y=X2 - 1

.r-I 0

(b) y "" Ix2 - 1 IF IGURA 10

(entrada)

g(x)

f(g(x)) (salida)F IG UR A 1 1El dispositivo fog esta constituidodel dispositivo g (primero) yen seguida el dispositivo f.

SECCI6N 1.3 FUNCIONES NUEVASA PARTIRDE FUNCIONES ANTIGUAS 1 1 1 1

~ EJEMPI.O . 5 Dibuje la f un cio n y =x 2 - I I.S O L U ( f O U En primer lugar, dibuje l a parabola y =2 - 1 de l a figura 1 0 ( a) desplazandoparabola y =2 hacia abajo 1 unidad. La grafica se encuentra debajo del eje x cuand-1 < x < 1,de modo que reflejamos esa parte de la grafica respecto al eje x para obtenla grafica de y =x2 - 1 1 de la figura lO(b)COMBINACIONES DE FUNCIONESSe pueden combinar las dos funciones J y g para formar funciones nuevas J + g, J - g, Jfig de manera semejante a la que aplica para sumar, res tar, multiplicar y dividir mimereales. Se definen la suma y resta de funciones mediante

(f + g)(x) =(x ) + g(x) (f - g)(x) =(x) - g(x)Si el dominio de f es Aye] de 9 es B, en tal caso el dominio de J + 9 es Ia intersecciA n B porque tanto J(x) y g(x) estan definidas. Por ejemplo, el dominio de J(x) =jXA = [0, (0 ) yel dominic de g(x) = -/2 - xes B = {-oo, 2J, de esa manera, el dominio(j+ g(x) =jX + . . , ! 2 = X es A n B=0,2JDe manera analoga, se definen el producto y el cociente mediante

ifg ) (x) =(x I g(x) ( f) (x) = J(x)9 g{x)EI dominio de fg es A n B, pero no puede dividir entre 0 y asi, el dominio de J /g{x E A n B I (x ) - O } . ~r ejemplo, si f(x) =2 Y g(x) = x - 1 , en tal caso, eI dominde la funcion racional if (x ) =/Cx - 1) es {x/x - I}, 0 bien (-00,1) U (1 , (0).

Existe otra manera de e ~binar dos funciones, para obtener una funcion nueva.ejemplo, considere que y =~) = .jii y u = g(x) =r+ 1 . Ya que ye s una funcionu y u es, en su momento, una funci6n de x, por ultimo surge que y es una funcion deCalcule esto mediante la sustituci6n:

y =J(u ) =f(g(x =e r + 1)x2 + 1El procedimiento se denomina composici6n porque la funci6n nueva es compuesta dedos funeiones conoeidas f y g.

En general, eonocidas dos funciones eualesquiera J y g, inicie con un ntimero x endominio de 9 y halle su imagen g (x). Si este rnimero g (x) esta en el dominic de f,seguida puede ca1cular el valor def(g(x. EI resultado es una funci6n nueva hex) =(g(que se obtiene al sustituir 9 en J . Esto se denomina composiei6n (0 composite) de f yse sefiala mediante fog ("f cfrculo g")

DEFINICION Conocidas dos funciones J y g, la funclon compuesta fo 9 (tambiendenominada la composicion de 1y g) se define mediante

if 0 g)(x) =(g(x)

EI dominio de log es el conjunto de todas las x en el dominio de 9 tal que g (x ) estael dominio de f. En otras palabras, (1 0 g)(x) esta definida cada vez que tanto g (x) y J(g(xesten definidas. La figura 11 exhibe como describir J o 9 en terrninos de dispositivos.


33/

42 I I I I CAPiTULO I FUNCIONES Y MODELOSEjEMPlO 6 Si f(x) = Xl Y g(X) = X - 3, encuentre las funciones compuestas fo 9y 9 0f.S O l U C I O N Tiene

(fo g)(x) =(g(x =(x - 3) =x - 3)1(g a f) (x) =(f{x = g( x2) = Xl - 3

~ I NOTAi Con base en el ejernplo 7 puede ver que, en general, fog # 9 0f.Recuerde,notaci6n fog significa que primero se aplica Ia funcion 9 y luego J. En el ejempJo 6, fo ges la funci6n que primero resta 3 y a continuacion eleva al cuadrado; 9 0f es la funci6que en primer luqar eleva al cuadrado y lueqo resta 3.

~ EjEMPLO 7 Si J(x) =X y g(x) =2 - x, encuentre cada funci6n y su dominio.(a) fog (b) go f (c) fo f (d) gog .S O L U C l O I 1

(b) ( g a f)(x) =(f(x =( J X ) =2 - . j X

(a) (fo g)(x) = f(g(x = f(J 2 - x) = J .J 2=X =;1 2 - xEI dominio de fog es {x 12 - x ;?; o} =x 1x """ 2} =-00, 2] .

Si 0 ,c; entonccs (I' -s : b'Para que J X este definida, debe tener x """O.Para que J 2 - . j X este definida debetener 2 - J X ;?; 0, es decir, Jx ~ 2, 0 bien, x ~ 4. Por esto, tiene 0 ~ x """4, asf eldominio de 9 of es el intervalo cerrado [0,4].(c) (fo f)(x) =(f(x =(/X) = 7 x =f XEI dominio de fa f es [0, co).(d) (g a g)(x) =(g(x =(J 2 - x) =2 - J 2 - xEsta expresi6n se define cuando 2 - x ;?; 0 Y 2 - J2 - x ;?; O . La primera desigualdadsignifica que x ~ 2, y la segunda es equivalente a J 2 - x ~ 2, 02 - X " " " 4, 0 bienx ;?; - 2. En estos terminos - 2 ~ x ~ 2, de esta manera el dominio de gog es el intervalo cerrado [ -2,2]'

Es posible tamar la composici6n de tres 0mas funciones. Por ejernplo, la funci6n copuesta fa 9 0 h se e n cu e ntr a a l aplicar primero h, a continuaci6n 9 y , luego,j, como sigue

(fa go h)(x) =(g(h(x)

S O l U [ I O N (fa 9 0 h){x) = f(g(h{x) =(g(x + 3 (x + 3 ) 1 0= f x + WO) =---::-'--(x + 3 ) 1 0 +

E jE to'lP LO 8 Encuentre f a g a h si f(x) = x/(x + 1), g(x) =lO Y hex ) = X + 3.

Hasta ahora, ha usado la composici6n para construir funciones compJicadas a parde otras mas sencillas. Pero en calculo a menudo resulta iitil descomponer una funcicomplicada en otras mas sencillas, como en el ejemplo siguiente.


34/

SECCI6N 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIR DE FUNCIONES ANTIG UAS IH I

EJEf4PlO 9 Dada F(x) =os'(x + 9), encuentre las funcionesj, 9 y h tales queF =o 9 0 h.S O l U ( I O N Como F(x) =cos(x + 9 ) ] 2 , Ia f6rmula dada para F dice: primero slime 9,despues tome el coseno del resultado y , por ultimo, eleve al cuadrado. De modo que

Entonceshex) = + 9 f(x) =2g(x) =os x

(fa 9 0 h)(x) = j(g(h(x) = j(g(x + 9 =(cos(x + 9 = [cos(x + 9)]2 =(x )

JERC I C I OSr n Suponga que se da la grafica de/. Escriba las ecuaciones paralas graficas que se obtienen a partir de la grafica de1, como seindica a continuaci6n.(a) Desplacela 3 unidades bacia arriba.(b) Desplacela 3 unidades hacia abajo.(c) Desplacela 3 unidades a la derecha,(d) Desplacela 3 unidades a la izquierda.(e) Reflejela respecto al eje x.(f) Reflejela respecto al eje y.(g) Alarguela verticalmente un factor de 3.(h) Contraigala vertical mente un factor de 3.

2 . Exp1ique c6mo se obtienen las graficas siguientes a partir de lagrafica de y =(x).(a) y =f(x)(c) y = -f(x)(e) y =(5x)

(b) y =(x - 5)(d) Y = -5f(x)(f) y=f(x) - 3

3. Se da Ia grafica de y =f(x). Haga que coincida cada ecuacioncan su grafica y mencione los motivos de sus elecciones.(a) y =f(x - 4) (b) y =(x) + 3(c) y = U{x) (d) y = -f{x + 4)(e) y =f(x + 6 )

@

x6

-3

4. Se da la grafica de/. Dibuje las graficas de las funcionessiguientes.(a) y =f(x + 4 ) (b) )'=(x ) + 4

(c) y =f(x) (d) y =tf(x) + 3)

1/1\/1/ \/ :/ I0 1 .\W Se da la grafica de/. Usela para trazar la graflca de las funcio-

n~~ientes.(a) y ~~2X)(c) )' - \( -x)

(b) y ={tx)(d) y = -f( -x)

y

r-- IV -,I'"0 1 ; ' " ./ i--: .\6-7 Se da la grafica de y =J3x - Xl. Use transforrnaciones paracrear una funcion cuya grafica sea como la que se ilustra,

y

.v

1.5

o 3

6. y'--t-----l--O;1!--~-4 _)U3 -)-2.5o .\.


35/

44 I I I I CAPiTULO I FUNCIONES Y MODELOS8. (a) i,C6mo se relaciona [a grafica de y = sen x con la grafica

de y =en x'! Use su respuesta y la figura 6(a) para grafi-car v= senr,

(b) i,C6mo se relaciona la grafica de y =[+ .jX con la grafi-ca de y = .jX? Use su respuesta y la figura 4(a) para gra-ficar y =[+ .jX.

9-24 Dibuje cada funei6n a mano, no por medio de la situacion depuntas, sino a partir de la grafica de una de [as funeiones estanda-res que se dan en la secci6n 1 .2 y, luego, aplicando las t ransforrna-eiones apropiadas,9. y=-x3 10 . y = [ - x2Il.y=(x+I)" 12 .y=x2-4x+313. y = [ + 2 cos x 14 . y =4 sen 3x[]I] y = sen(x/2) I16 . y=--x- 417.y=~19. y = ~(X2 + 8x )

13 . y = (x + 2)4 + 320. y = 1 + x - 1

22 1 . y=--x + 1 1 ( 1 T )2. v =- tan x - -. 4 42 3 . y = [sen x I 24. y = I x 2 - 2 x I25 . La ciudad de Nueva Orleans esta ubicada a una Iatitud 30oN.

Use [a figura 9 para encontrar una funcion que modele el mi-mero de horus de luz diurna en esa ciudad como funcion de laepoca del afio, Para verificar la precision de su modelo, util iceel hecho de que el 31 de marzo, en Nueva Orleans el Sol sale alas 5:51 A.M. y se pone a las 6: 18 P.M.26. Una estrella variable eS aquella euyo bril lo aumenta y disminu-ye alternadamente. Para [a estrella variable mas cercana DeltaCefida, el tiempo entre periodos de brillo maximo es 5.4 dfas,el brillo promedio (0 magnitud) de la estrella es 4.0 y su brillovaria en una magnitud de 0.3S. Halle una funcion que modeleel brillo de Delta Cefida como una funcion del t iempo.r u (a) i,C6mo se relaciona la grafica de y = f(l x J ) con la grafica

def?(b) Dibuje y =sen I x I.(c) Dibuje y = i X I .

28 . Use la grafica defque se dio para dibujar y = l/f(x). i,Cuaiescaracterfsticas def son las mas importautes para trazar Ia grafi-ca de y = l/f(x)? ExpJique como se usan,

29-30 Encuentre f + g, f - g, fg y fig y establezca sus dominI 2 : ! l f(x) =3 + 2X2, g(x) =x2 - I30. fCc) = j3:::-;, g(x) = f;i2="l

3l-36 Encuentre las funciones (a) fa g, (b) 9 af, (c) fa f, y(d) go g y sus dominios.31 . f(x) =2 - 1 g(x) =x + 132 . f(x) = I - 2 , g(x) = i' + 3x + 433. f(x) =I-3x, g(x) =osx34 . f(x) = J X , g(x) = ~

I x + 1[ill f(x) = x +~, g(x) = + 2x36 . f(x) = --, g(x) = sen 2xI+ x

37-40 Encuentre fa g a h.37. f(x) = - I, g(x) = 2 : > : , h(;r) = - I38. f(x) =x - 1, g(x) =2, hex) = - x39. f(x) =.,rx-=3, g(x) = x2 , h(x) = xl + 2

x40. fix) =an x, g(x) =--, hex) =j;x- I41-46 Exprese la funci6n en la forma t- g.41 . F(x) = (x 2 + 1)'0

$:42 . F (x) = sen(.jX)

43 . F (x) = sr :1 + \ I ; > : 44. G(x) = .45. u( t ) = J C O S i tan t~ t ( l ) =1 + tan t

47-49 Exprese la funci6n en la forma fa g 0 h.47. H (x) = I-3 "49 . H(x) = sec']v ' X )

48 . H(x) =2 + ]x ]

50. Uti lice la tabla para evaluar cada expresi6n(a) f(g( 1 ) )(d) g(g(1)

(b) gU(1))(e) (g 0/)(3)

(c) f(f(1))(f) (fa g)(6)

x 1 2 3 4 5 6j ( x ) 3 I 4 2 2 5! J ( . \ ' ) 6 3 2 ! 2 3


36/

SECCION 1.3 FUNCIONES NUEVAS A PARTIRDE FUNCIONES ANTIGUAS 1 1 1 1

51. Use las graficas dadas de fy 9 para evaluar cada expresion, 0bien, explique por que no esta definida,(a) f(g(2) (b) g(f(O)(d) (g 0f ) (6 ) (e) (g" g)( -2 )

(c) (fo 9)(0)(f) (fo f )(4)

s1 / " - il/Y /f\ /2 II

/0,"" 2 .r1 " ' . . 1 /

52. Use las graficas dadas de fy 9 para estirnar el valor de f(g(xpara x=-5, -4, -3, ... ,5.Use estas estimaciones para tra-z ar una g ra fi ca a p ro x ir n ad a de f 09.

y\ ,./ f ' - . , . g /)([

-,/\ \j0 [ \ x\ / \il\ / \['-" \

.... 1 . -. - _. _ -, . . .. - - _ . _ .. .._- . ...... .'.r u Se deja caer una piedra en un lago, que crea una ala circularque viaja hacia afuera can rapidez de 60 cm/s,(a) Exprese el radio r de este circulo como funcion del tiempo

t (en segundos),(b) Si A es el area de este circulo como funcion del radio, en-

cuentre A 0 r e interpretela.54 . Se infla un b al on e sf er ic o y el radio del mismo se incrementa

en una cantidad de 2 crn/s.(a) Exprese el radio r del balon como una funci6n del tiempo t

(en segundos).(b) Si Ves el volumen del balon como una funci6n del radio,

halle V 0 r e interprete55. Un barco se mueve can una rapidez de 30 km/h paralelo a1

borde recto de la playa. El barco esra a 6 km de la playa y pasapor un faro al media dia.(a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una

funcion de d, la distancia que el barco recorre desde elrnedio dfa; es decir, hallar f de modo que s =f(d)

(b) Exprese a d como una funcion de t,el tiempo transcurrido des-de el media dfa; es decir, hallar g de tal manera que d =get)(e) Hallar t> g i,Que representa esta funcion?

56. Un avion vuela can rapidez de 350 rni/h, a una altitud de unamilia y pasa directamente sobre una estacion de radar en elinstante t = 0(a) Exprese la distancia horizontal d (en millas) que el avi6n ha

volado como funcion de I.(b) Exprese la disrancia s entre el avion y la estacion de radar

como funcion de d.(c) Aplique la cornposicion para expresar s como funcion de t,

57. La funci6n de Heaviside H esta definida parH(t) = { o si f < 01 si t;3 0

Se usa en el estudio de los circuitos electricos para representaro le ad a r ep e nt in a de c o rr ie n te e le c tr ic a , 0 de vo ltaje, cu ando u nterruptor se c i er r a i n st an t aneamen te.(a) Dibuje la funcion de Heaviside.(b) Trace la grafica del voltaje Vet ) en un circuito, si el inte-rruptor se cierra en el instante t=0 y se aplican instanta-

neamente 120 volts al circuito, Escriba una formula paraVet) en terrninos de Hit).

(c) Dibuje el voltaje Vet ) en un circuito, si el interrupter se ciITaen el instante 1= segundos y se aplican de manerainstantanea 240 volts al circuito, Escriba una formula paraVet) en terminos de H(! ) . (Note que partir de t= corres-ponde a una traslacion.)

58. La funci6n de Heaviside que se definio en el ejercicio 57 pueutilizarse tambien para definir la funci6n rampa y =tH(t),cual representa un aumento gradual del voltaje 0 la corrienteun circuito.(a) Dibuje [a funei6n rampa y =H(I).(b) Dibuje el voltaje V(t) en un circuito si el interrupter se cierr

en el instante t = 0 y el voltaje se incrementa gradualmentebasta 120 volts durante un intervalo de 60 segundos, Escribuna formula para V(t) en terminos de H(t), para t e ; ; : 60.

(c) Trace la grafica del voJtaje V(t) en un cireuito, si el inte-rruptor se cierra en el instante t= segundos y el voltajese incrementa gradual mente hasta 100 volts durante linperiodo de 25 segundos, Escriba una formula para Vet) enterruinos de H(I), ar a t e ; ; : 32.

5 9. Se afy g funciones line les con ecuaciones fix} = mix + hig(x) = m2X + b- , i,Tamb n fo g es una funcion lineal? Si esasf, l,cual es la pendiente de su grafica?

60. Si invierte x dolares al 4% de interes compuesto anual, por10 tanto Lacantidad A(x) de la inversios despues de un afioA(x) = 1.04x. Hallar A 0A, A 0 A 0 A, Y A 0 A 0 A 0 A . i,Querepresenran estas composiciones? Encontrar una formulapara la composicion de IIcapias de A.

61. (a) Si g(x) =x + I y h(x) = 4x2 + 4x + 7 , encuentre unafund6nftal que t= 9=h. (Piense que operaciones tendrque efectuar en Ia formula para 9 para terminal' par obtenela formula para 1 1 . )

(b) Si f(x) =x + 5 Yhex) =x2 + 3x + 2, encuentre unafuncion 9 tal que fo 9=.

62. Si f(x) = + 4 y hex) =x - 1, encuentre una funcion talque 9 =i= h.

63. (a) Supongo quefy 9 son funciones pares. i,Que puede decirsobre f + 9 Yf 9?(b) i,Que dina si.fy 9 son impares?

64. Supongo quef es par y 9 es impar. i,QlIe puede decir sobrefg?!illSuponga que 9 es una funcion par y sea II =f 0 9. (,h siempre euna funcion par?

66. Suponga que 9 es una funcion impar y sea II =.f 0 9.i,Es IIsiempre una funcion impar? i,Que pasa sifes impar? l,Quepasa si f es par?


37/

46 I I I I CAPiTULO I FUNCIONES Y MODELOS

~~~~~~~~~BALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORASEn esta secci6n, se supondra que tiene acceso a una calculadora graficadora 0 a una comtadora con software para trazar graficas. Se dara cuenta de que el uso de uno deaparatos Ie da capacidad para trazar graficas de funciones mas complicadas y resolverblemas mas complejos de 10 que serfa posible de otra forma. Tambien encontrara algude las dificultades que se pueden presentar con estas maquinas.Ambos dispositivos pueden dar graficas muy exactas de las funciones. Pero, en e

pitulo 4, vera que s610 usando el calculo puede estar seguro de haber descubierto todosaspectos interesantes de una grafica.Una calculadora graficadora a una computadora presentan una parte rectangular d

grafica de una funci6n en una ventana de visualizaci6n 0pantalla, a los cuales se h arfencia simplemente como rectangulo de visualizaci6n. La pantalla predeterminada anudo da una imagen incompleta 0 engafiosa, de modo que es importante elegir con cuidel rectangulo de visualizaci6n. Si elige que los valores x varfen desde un valor minimaXmin =a hasta un valor maximo de Xmdx =b y que los valores y varien desde uno rmo de Ymin = hasta uno maximo de Ym(/X = d , entonces Ia parte visible de l a g ra fi cencuentra en el rectangulo

la, d J Y =d ib, tilr---------------,

(a. c ) (b,cl=cF I G U R A 1L a panta U a de [a , b1 por [c , d J

2

~2

I(a) [-2,2] por [-2, 2]

4

-4 r-~-----t---t_---__l4

-4(b)[-4, 4J por [-4,4]

F IG U R A 2 Graficas deflx) =x2 + 3

[a, b ] X [c, d J =(x, y) I a ~ x ~ b , c ~ y ~ d }que se muestra en la figura 1. A este espacio se Ie refiere como el rectdngulo de vilizacion de [a, b] por [c, dJ .La maquina dibuja 1agrafica de una funci6njde modo muy semejante a como uste

hana, Sinia los puntos de la forma (x,J(x)) para un cierto mimero de valores igualmeespaciados de x entre a y b. Si un valor x no esta en el dominio dejo si j(x) queda fuerectangulo de visualizaci6n, la maquina pasa aI valor x siguiente. Une cada punto con eterior para formar una representaci6n de la grafica de fEjH 'IP I.O I Dibuje la grafica de la funci6n j(x) =2 + 3 en cada uno de los siguienterectangulos de visualizaci6n.(a) [-2, 2J por [ -2,2](c) [-1O,lOJpor[-5,30J

(b) [-4, 4Jpor [-4, 4J(d) [-50, 50J por [ -100, 1000]

2

S O l U O ( J I ! Para el inciso (a), seleccione el intervalo al establecer Xmin = -2, Xmax =Ymin = -2 Y Ymdx =. En la figura 2(a), aparece la grafica resultante. [La pantallaen blanco! Un momento de reftexi6n da la explicaci6n: observe que x2 ~ a para todade modo que x2 + 3 ~ 3 para toda x. Por 1 0 tanto, el intervalo de la funci6n j(x) =2es [3,00). Esto significa que la grafica de j esta por completo fuera de la pantalla [-2,por [-2,2]'

En la figura 2, tambien se muestran las graficas para las pantal1as de los incisos (b),y (d). Observe que obtiene una imagen mas completa en los incisos (c) y (d), pero eninciso Cd)no se ve con c1aridad que la intersecci6n con el eje y es 3.

30 1000

~5(c) [ -1O, IOJ por [~ 5, 3 0] (d) [-50,50] por [-100, 1000]


38/7

4

-[

F IG U R A 3

5

-5i-----i----..........J 5

-5F I G U R A 4

20

-2 0(a)

F IG U R A 5 y = x3 - I 5 0 x

SEC CION 1.4 CALCULADORAS GRAFICADORAS Y COMPUTADORAS !II!Can base en el ejemplo I, la elecci6n de un rectangulo de visualizaci6n puede dar l

a una gran diferencia en el aspecto de una grafica. A veces es necesario cambiar a untangulo de visualizacion mas grande para obtener una imagen mas global de la grafica.ro una pantalla demasiado grande tambien puede ser engafiosa, En el ejemplo siguientconocimiento del dominio y del intervalo de una funci6n a veces proporciona informacsuficiente para seleccionar un buen rectangulo de visualizaci6n.EjEM PlO 2 Determine un rectangulo de visualizaci6n apropiada para la funcionf(x) =)8 - 2X2 Yiisela para trazar la grafica de!S O L U ( I O N La expresi6n para.f(x) esta definida cuando

Debido a eso, el dominio defes el intervalo [-2,2]' Adernas, ~ .)8 - 2X2 ~ v '8 =2J2 =2.83

de modo que el a1cance defes el intervalo [0, 2J2].Elija el rectangulo de visualizacion de modo que el intervalo x sea algo mayor quedominio y que el intervalo y sea mayor que el alcance. Si 1 0 define en [ - 3, 3J por [ -1,obtiene la grafica que se muestra en la figura 3.EjEMPlO 3 Dibuje la funci6n y =3 - 1SOx.S O L U C I O N En este caso, el dominio es I R . , el conjunto de todos los mimeros reales. Esono ayuda a seleccionar un rectangulo de visualizaci6n. Experimente. Si empiezacon el rectangulo de visualizaci6n [-5, 5J par [-5, 5J, obtiene la grafica de la figura 4Al parecer esta en blanco, pero en realidad es cas! tan ~ que se mezc1a canel ejey. " "~

Si cambia el rectangulo de visualizacion a [ -20, 20] par [ -20, 20J , obtiene laimagen que se muestra en la figura 5(a). La grafica parece consistir en rectas verticalepero sabe que no es correcto. Si mira con cuidado mientras se traza la grafica, yeaque esta sale de la pantalla y vuelve a aparecer durante el proceso. Esto indica quenecesita vel'mas en direcci6n vertical, de modo que cambie el rectangulo de visualizacioa [-20,20] par [ -500,500]. En la figura 5(b) aparece la grafica resultante. Todavno revela todas las caracterfsticas principales de la funci6n, de modo que pruebe c[ -20, 20] par [ -1 000, I OOOJen la figura 5(c). Ahara tiene mas confianza de concan un rectangulo de visualizaci6n apropiada. En el capitulo 4 sera capaz de vel' qla grafica que se muestra en la figura 5(c) revela tad as las caracterfsticas principalede la funci6n.

500 1000

20

-500 -1000(b) (c}


39/7

48 1 1 1 1 CAPiTULO I fUNCIONES Y MODELOS

!!li EI asp ec to de la s gnjlic as de la figura 6dep ende de la rna quina q ue se use. E s p osib leq ue la s q ra flc as q ue ob tenga c on su d i sp nsit iv og ra fic a dor no se p ar ez ca n a est as figur as, p er otarnbien s e r a n bas tan te inexactas.

F I G U R A 6Grafica de I(x) =sen 50 x en cuatro

rectangulos de visualizacion

1. 5

-1.5F I G U R A 7f(xl "" sen 50x

~ E jEM P LO 4 Trace la grafica de la funci6nj(x) =en 50 x en un rectangulo de visua-I izacion apropiada.S O L U C I O N En la figura 6 ( a) se ilustra la grafica de j producida por una calculadora grafica-dora usando un rectangulo de v is ua li za ci on [ -12, 12] por [ -1.5, 1.5J. A primera vista,la grafica parece ser razonable. Pero si cambia el rectangulo de visualizaci6n a las quese presentan en las siguientes partes de la figura 6, la grafica se ve muy diferente. Algoextrafio esta pasando.

1.5 1.5

-1.5 -1.5(a) (b)

1.5 1.5

-9

-1.5(d)

-1.5(e)

Para explicar las grandes diferencias en el aspecto de estas graficas y hallar un rec-tangulo de visualizacion adecuado, necesita hallar el periodo de la funci6n y =en 50 x.Puntos que la funcion y =en x tiene el periodo 27T,y la grafica de y = sen 50 x secomprime horizontal mente por un factor de 50, el periodo de)' =en 50 x es

27T 7r-=-=0.12650 25Esto sugiere que s610 debe tratar con valores pequefios de x con el fin de mostrar s610unas cuantas oscilaciones de la grafica. Si elige el rectangulo de visualizacion [-0.25,0.25] por [ - 1.5, 1.5], obtiene la grafica que se muestra en la figura 7,

Ahora sabe en d6nde estuvo el error en la figura 6. Las oscilaciones de y =sen50 x son tan rapidas que cuando la calculadora sinia los puntos y los une, falla en la ma-yor parte de los puntos rnaximos y rnfnimos y, en consecuencia, da una impresi6n muyengafiosa de la grafica, 0

Ha visto que el uso de un rectangulo de visualizacion inadecuado puede proporcionaruna impresi6n engafiosa de la grafica de una funcion. En los ejemplos 1 y 3, resolvi6 eproblema al cambial' a un rectangulo de visualizaci6n mas grande. En el ejemplo 4, tuvoque reducirlo. En el ejemplo siguiente, vera una funcion para la que no existe un rectangu-10 de visualizacion sencilla que revele la verdadera forma de la grafica.fi!] E j E t < 1 P L O 5 Trace la grafica de la funci6n j(x) =enx + I~ cos 100x.S O l U C I O N En la figura 8 aparece la grafica de j producida por una calculadora graficadora conel rectangulo de visualizacion [-6.5, 6.5] por [-1.5, 1.5]. Se ve muy semejante a la graficade y=en x, pero con algunas protuberancias. Si realiza un acercamiento hacia el rec-tangulo de visualizacion [-0.1,0.1] por [-0.1,0.1], puede vel' con mucho mayor claridad


40/

w D tra form a de ev ita r la rec ta ex tra iia esc am b ia r el m o d o de tra zsr la s gra tic as enla calculadora. de m a nera ta l que l os p u nt a sno S8 unan,

F IG U R A 1 0

SECCION 1.4 CALCULA

cap 1 - funciones y modelos - pag 10-81

Documents