Con frecuencia se tiene la idea de que las mate-

máticas no son agradables y que se hicieron solo

para los más inteligentes. Por otro lado, creo que

como matemáticos no consideramos la importancia didác-

tica que puede tener la historia de la disciplina; sin embar-

go, el tiempo, la práctica y la experiencia nos dejan ver que

es por medio del desarrollo histórico de las matemáticas

que podemos explicarnos algunos de sus conceptos más

complicados. ¿Qué tienen que ver Dios, el cielo, el infinito,

Buzz Lightyear y cierto conjunto de números? Pues bien,

déjame contarte una gran historia.

-No sé qué es eso y no me interesa -fue una de las respuestas que encontré al intentar platicar sobre los números transfinitos. Antes de llegar a este punto pregunté sobre el infinito y estas fueron algunas respuestas:

-El cielo es infinito.

-Dios es infinito –dijo una segunda voz.

-Podemos contar 1, 2, 3 y así hasta infinito –terció alguien.

-“Al infinito y más allá” dice un conocido personaje de películas infantiles –mencionó otra persona.

Verónica González Meza

Cantor: el hombre que le habló de tú al infinito

¡Ay la culebra!Hace 3000 años se conocía en algunas culturas a una

serpiente de nombre Uróboros, palabra que significa

“alimento”. Pero si estas pensando que se llamaba así

porque formaba parte de la alimentación de esos pue-

blos te equivocas, pues su nombre se debe a que ella

era su propio alimento. ¡Así es! Uno de los muchos mi-

tos que se conocen acerca de esta serpiente relata que

los dioses usaron sus poderes adivinatorios y vieron las

terribles cosas que dicho monstruo haría, de tal suer-

te que decidieron deshacerse de ella arrojándola al mar

donde quedaría atrapada hasta el fin de los días; así,

creció tanto que su cuerpo alcanzo a rodear el mundo

y sus dientes mordieron su cola. Los alquimistas (véase

recuadro 1) pintaban a esta serpiente con colores verde

y rojo; el color verde se asocia con el principio mientras

que el rojo simbolizaba finalización.

La serpiente Uróboros representa la personifi-

cación de fenómenos naturales subiendo hasta cierta

altura y cayendo bruscamente, para volver a empezar,

simbolizando la eternidad, de ahí que en ocasiones se

afirma que el símbolo del infinito matemático que co-

nocemos adopta una de las tantas formas en que se

representaba a Uròboros. Lo cierto es que nadie está

seguro de por qué o quién fue el primero en darle al in-

finito la representación de una cuerda cerrada; algunos

se lo atribuyen a John Wallis -un famoso matemático- y

a su obra publicada en 1655, que llevaba por nombre De

sectionibus conicus.

Para citar este artículo en formato APA copia el siguiente texto y completa la información indicada en los paréntesis

“González, V. (2012). Cantor: el hombre que le habló de tú al infinito [Ver-sión electrónica], Ciencia Compartida, 5, 6-12. Recuperado el (día) de (mes) de (año), de (dirección electrónica).”

Y llegó CantorComo te podrás dar cuenta este asunto del

infinito empieza a ser interesante. Pero falta

mucho más. Resulta que la eternidad y el infi-

nito siempre se han relacionado con la teolo-

gía; Isaac Newton, al referirse a Dios, señaló:

“Él es eterno e infinito, omnipotente y omnis-

ciente; esto es, su duración se extiende desde

la eternidad a la eternidad y su presencia del

infinito al infinito.” Por aquellos años, hablar

del infinito parecía ser un problema para los

científicos pues las discusiones casi siempre

llevaban a conflictos teológicos y filosóficos.

En el siglo XIX -específicamente el 3

de marzo de1845- nace un personaje que lle-

varía por nombre Georg Cantor (se pronuncia

acentuando la “a”); aunque hoy se le reconoce

por ser el fundador de la teoría de conjuntos,

en su momento sus trabajos generaron gran

polémica entre los matemáticos de su tiempo.

Una inacabada discusión sobre este

matemático es acerca de su origen, pues hay

quienes afirman que él era judío; la realidad

es que su madre era católica, su padre había

sido bautizado como luterano y Georg Cantor

fue educado como protestante. Sin embargo,

sus abuelos paternos habían sido judíos y en

las leyes nazis ¡bastaba con tener abuelo ju-

dío de nacimiento para ser considerado como

Georg Cantor 1845 -1918

tal! El padre de Cantor se dedicaba al comercio y

a Georg le fue prohibido estudiar matemáticas por-

que dicha actividad no garantizaba una economía

satisfactoria; pero su vocación triunfó y logró ob-

tener el permiso de su padre, hecho que Cantor

agradeció escribiéndole lo siguiente: “¡Mi querido

papá! Ya puedes imaginarte cuánto me ha alegra-

do tu carta; ella determina mi futuro…Espero que

aún tendrás ocasión de vivir alegrías a mi costa,

querido padre, ya que mi alma y todo mi yo viven

en mi vocación; lo que el hombre quiere y puede,

aquello a lo que le conduce una voz desconocida y

misteriosa, ¡eso lo llevará adelante!”

Es justo decir que ya como estudiante no era

uno de los más brillantes, pero sus profesores le

reconocían su ingenio. Fue esta época en la que

despertó su interés por la metafísica, la religión ca-

tólica, la filosofía y por supuesto el infinito, llegando

a escribirse con teólogos, cardenales e incluso con

el Papa para convencerlo de la bondad y necesi-

dad de su teoría del infinito.

Contar para distinguirLa velocidad de publicaciones de Cantor, hacia que

no todos los matemáticos entendieran por comple-

to de lo que estaba hablando, pues no solamente

hablaba del infinito como algo plenamente acepta-

ble en matemáticas, sino que fue más allá creando

conceptos como el de “número transfinito”. Veamos

esto con un poco más de cuidado.

Para comenzar quisiera plantear la idea de “cardinalidad”. La cardinalidad de

un conjunto se define de una forma muy sencilla: es el número de elementos

que tiene dicho conjunto. Por ejemplo, si tenemos el siguiente conjunto

la cantidad de elementos que tiene es 5, es decir, la cardinalidad del conjun-

to A es 5; esto, en lenguaje matemático, se escribe así .

Veamos otro ejemplo. Consideremos el siguiente conjunto:

¿Cuál sería la cardinalidad del conjunto V? ¡Exacto! El conjunto tiene 12

elementos, por lo tanto:

Ahora pensemos en conjuntos un poquito -¡ja!- más grandes. Por

ejemplo, pensemos en el conjunto de toooooodos los números naturales, es

decir, 1,2,… al cual llamaremos א (aleph). ¿Cuál es su cardinalidad? Rápi-

damente nos damos cuenta de que dicho conjunto tiene un número infinito

de elementos, y por tanto su cardinalidad es infinita. Cantor decidió llamar a

esa cardinalidad 0א (se lee “Aleph cero”) y estableció que este era el primer

numero transfinito.

“Ahora pensemos en conjuntos un poquito”

A= {a,c,c,d,e}

#A=5

#V=12

V={2,4,6,8,10,12,14,16,18,19,20}

Rectas y planos… ¿en verdad son tan diferentes?

Aquello fue sólo el comienzo. Cantor comenzó

a preguntarse sobre la cardinalidad de todos

los números reales, es decir, sobre la cardina-

lidad que tiene el conjunto formado por todos

los puntos de la recta numérica. ¿Te puedes

imaginar eso? En efecto, si la cardinalidad del

conjunto de los números naturales es infinita

(acabamos de decir que es ), la del conjun-

to de puntos que tiene la recta debe de ser

también infinita. Pero… ¿esos infinitos son

del mismo tamaño? Cantor demostraría ma-

temáticamente que eso no es cierto, o dicho

de otra forma, probaría que el infinito de los

números reales es más grande que el infinito

de los números naturales. Así fue como na-

cieron los transfinitos Alef 1, Alef 2, etc. ¿Qué

extraño, no?

Pero la cosa no paró ahí. Cantor logró

demostrar que es posible poner en correspon-

dencia cada punto de una recta con un pun-

to del plano, sin que sobren ni falten puntos

en cualquiera de los dos conjuntos. En otras

palabras, aquel matemático alemán demos-

tró que el conjunto de puntos en el plano y el

conjunto de puntos en la recta son equivalen-

tes. ¡Pero está clarísimo que una recta es más

“pequeña” que un plano! Eso es cierto…des-

de el punto de vista geométrico, pero desde el

enfoque de la teoría de conjuntos la cosa es

muy diferente.

Genialidad incomprendidaLa teoría de Cantor no era nada fácil de entender

y él fue muy criticado por semejantes planteamien-

tos. Acarreó muchas diferencias de opiniones e in-

cluso discusiones lógicas, pero ya hablaremos de

eso en otra ocasión. Lo que sí es un hecho es que,

pese a la mala cara que la mayoría de los matemá-

ticos le pusieron a sus propuestas, Cantor siempre

estuvo seguro de sus ideas y nos acercó al infinito,

al tiempo que desarrolló muchos trabajos lógicos.

Además, su teoría de conjuntos fue adoptada en

los 70’s como método de enseñanza en la educa-

ción básica, decisión que se criticó y lamentó por

diversos sectores, ya que semejante teoría es una

base para el aprendizaje de matemáticas universi-

tarias, mas no para el sistema de educación básica.

Al gran genio matemático lo sorprendió la

muerte el 6 de enero de1918 mientras estaba inter-

nado en una clínica de salud mental, pues siempre

tuvo problemas de depresión, una de ellas motiva-

da por la muerte de uno de sus hijos, pues a pesar

de su enorme pasión por las matemáticas se casó

y formó una familia. Existe una carta que escribió

días antes de morir, en la que el mensaje principal

era que pronto se recuperaría y regresaría a casa.

Así hemos llegado al final de nuestro recorri-

do por el jardín de esos números un tanto extraños

llamados transfinitos. Ahora, cuando alguien men-

cione aquella frasecita que dice “al infinito y más

allá”…tal vez te acuerdes de que, gracias a Cantor,

sí se puede ir más allá •