campos tensor i a les

8/17/2019 Campos Tensor i a Les

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Campos tensoriales

Torsten Fließ bach

Abstract

Los campos tensoriales pueden ser representados por sus componentes en coordenadas cartesianas.

Su propiedad tensorial se define formalmente por el comportamiento de dichas componentes bajo

transformaciones ortogonales. La diferenciación de campos tensoriales juega un papel importante

en electrodinámica. Con ayuda de una serie de ejemplos, a continuación se muestra cómo utilizar

los tensores para realizar operaciones diferenciales vectoriales.

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I. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES

En el espacio tridimensional ordinario introducimos un sistema de coordenadas carte-

sianas S con ayuda de las coordenadas (x1, x2, x3) = (x,y,z ) y de los vectores ortonormales

base (e1, e2, e3) = (ex, ey, ez). En el mismo espacio podemos considerar otro sistema de

coordenadas cartesianas S’ rotado en relación al primero; ambos con el mismo origen, pero

sus ejes se encuentran girados unos respecto a los otros. Las coordenadas en S’ se denotan

con (x1, x

2, x

3) y los vectores base (e

1, e

2, e

3).

Figure 1: Una partícula masiva P tiene las coordenadas

xP 1 , x

P 2

en el sistema S (representado

aquí en dos dimensiones) y las coordenadas

xP 1 , x

P 2

en el sistema S’ girado respecto al primero.

El vector de posición de la partícula r puede ser representado, según (1), por ambos conjuntos de

valores de las coordenadas.

Un vector físico es independiente del sistema de coordenadas. Ejemplos de vectores

físicos son el campo eléctrico E, el vector de posición r de una partícula P (ver figura 1) o

su velocidad v = ·

r. Semejante vector puede ser escrito en términos de los vectores base ei

de S o de los ei de S’:

r =3

i=1

xiei =3

i=1

xie

i (1)

Al contrario de la figura 1, no nos referimos a una partícula específica P; dejamos fuera el

índice P. Si multiplicamos a r por un factor arbitrario, las componentes xi y x

i contendrán

el mismo factor. Por lo mismo, la relación entre xi y x

i debe ser lineal:

x j =3

i=1

α jixi (transformación ortogonal) (2)

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Para ambas expansiones en (1) calculamos el producto escalar

r · r = r2 =

i x

2i

j x2 j =

j,i,k α jiα jkxixk

(3)

Ambas expresiones deben ser iguales para xi arbitrarias. De esto se tiene

3 j=1

α jiα jk = δ ik (ortogonalidad) (4)

El símbolo δ ik es la delta de Kronecker definida por

δ ik =

1 si i = k

0 si i = k(5)

Con los 3 × 3 números αik puede construirse la matriz α = (αij), y con los tres números

xi el vector columna x = (xi). Con esto, la ecuación (2) queda x = αx en notación

matricial. La relación (4) resulta en αT α = 1. Semejante matriz se llama ortogonal; las

transformaciones correspondientes también se llaman ortogonales. La matriz transpuesta

está dada por la matriz inversa,

αT = α−1 (6)

De x = αx, (2), se obtiene la transformación inversa x = αT x o

xi =3

j=1

α jix

j (7)

A continuación utilizaremos principalmente la notación en componentes.

II. DEFINICIÓN DE TENSOR

Ahora definimos formalmente la propiedad "tensor". Un tensor de rango N es una canti-

dad ti1i2···iN indizada N veces, cuyas componentes se transforman como el vector de posición,

es decir,

ti1i2···iN =3

j1=1

· · ·

3 jN =1

αi1 j1 · · ·αiN jN t j1 j2··· jN (tensor) (8)

En particular, llamamos escalar a un tensor de rango 0 y vector a un tensor de rango 1.

Por tensor se entiende el conjunto completo de las cantidades indizadas; las cantidades

ti1i2···iN por separado son las componentes del tensor. Así, las xi son las componentes del

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vector r o x = (x1, x2, x3). No obstante, con el afán de simplificar el lenguaje, también se

acostumbra referirse a las componentes como vector o tensor; por supuesto, en las ecuaciones

debe distinguirse muy bien entre r, x y xi.

De la definición (8) siguen inmediatamente algunas posibilidades para construir nuevos

tensores. Si A y B son tensores, entonces se tiene:

1. Adición: aAi1i2···iN + bBi1i2···iN es un tensor de rango N ; a y b son números.

2. Multiplicación: Ai1i2···iN Bi1i2···iM es un tensor de rango N + M .

3. Contracción:

j Ai1··· j··· j···iN es un tensor de rango N − 2. En partícular,

i AiBi y

r2 =

i x2i son escalares.

En (5) se define la delta de Kronecker por la asignación de valores numéricos fijos, lo que

la hace independiente del sistema de coordenadas S; en cualquier otro sistema S’ se sigue

teniendo δ ik = δ ik. La δ ik fijada de esta forma satisface la definición (8) de tensor, pues

δ ik(8)=

3n=1

3l=1

αinαklδ nl =3

n=1

αinαkn(4)= δ ik (9)

El símbolo de Kronecker δ ik es un tensor; también se le conoce como tensor unidad . La

matriz (δ ik) es la matriz unidad.

Cuando en la parte derecha de (8) se tiene el factor extra det(α), entonces t es un

pseudotensor . A través de la definición

ikl =

+1 si (i ,k,l) es una permutación par de (1, 2, 3)

−1 si (i ,k,l) es una permutación impar de (1, 2, 3)

0 en cualquier otro caso

(10)

introducimos el llamado símbolo de Levi-Cività ikl. Este se define, como δ ik, por la asig-

nación de valores numéricos fijos, lo que lo hace independiente del sistema de coordenadas

S. Es facil mostrar que ikl es un pseudotensor, pues

i1i2i3 = det (α)i1 j2 j3

αi1 j1αi2 j2αi3 j3 j1 j2 j3 = i1i2i3 (11)

Debido a la propiedad (10) ikl también es llamado tensor totalmente antisimétrico (o pseu-

dotensor). El producto vectorial (a× b) se define como

(a× b)i =3

k=1

3l=1

iklakbl (12)

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Si ai y bi son vectores, (a× b)i es un pseudovector. Por lo mismo, iklambn es un pseudotensor

de rango 5; después de contraer dos veces se recupera (12).

III. CAMPOS TENSORIALES Y SU DIFERENCIACIÓN

Para la electrodinámica los campos tensoriales son de gran interés, es decir, los tensores

que dependen de la posición. Un campo tensorial se define como una cantidad indizada

dependiente de las coordenadas F i1i2···iN que se transforma según

F i1i2···iN (x) =

3 j1=1

· · ·

3 jN =1

αi1 j1 · · ·αiN jN F j1 j2··· jN (x) (campo tensorial) (13)

Las coordenadas de la posición en el argumento se representan con x = (x1, x2, x3), y el

argumento se transforma simultáneamente según (2). Para un campo escalar y para uno

vectorial (13) resulta en

Φ(x) = Φ(x), Ai(x) =

3 j=1

αijA j(x) (14)

Además de las posibilidades conocidas para la construcción de nuevos tensores (adición, mul-

tiplicación, contracción), en el caso de campos tensoriales también se tiene la diferenciación.

En tal caso, ∂

i se comporta como un vector, pues

∂ i = ∂

∂xi=

3 j=1

∂x j

∂xi

∂

∂x j=

3 j=1

αij∂ j (15)

Con ayuda de la diferenciación, partiendo de un campo escalar Φ y de uno vectorial Ai, se

pueden construir los siguientes campos tensoriales:

(∇Φ(r))i = ∂ iΦ (campo vectorial) (16)

∇ ·A(r) =

3

i=1

∂ iAi (campo escalar) (17)

(∇×A(r))i =3

k,l=1

ikl∂ kAl (campo pseudovectorial) (18)

La propiedad tensorial de las cantidades resultantes se obtiene de las propiedades tensoriales

de las cantidades constituyentes (Φ, Ai, ∂ i, ikl) y de las reglas de cálculo para la construcción

de nuevos tensores (multiplicación y contracción).

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IV. COVARIANCIA

Los tensores se definieron a través de su comportamiento bajo transformaciones ortogo-

nales; al hacerlo nos limitamos a sistemas coordenados cartesianos. De la definición sigue que

las ecuaciones tensoriales son covariantes bajo transformaciones ortogonales, es decir, que

su forma permanece igual (invariancia de forma). Como ejemplo consideremos la ecuación

Ai = j

C ijB j (19)

que involucra los tensores Ai, C ij y B j; dichas cantidades se refieren a un sistema determinado

de coordenadas S. Escribamos (19) en forma matricial A = CB, multipliquemos por la

izquierda con α e incrustemos en la parte derecha ααT = 1. Con esto tenemos αA =

αCB = αCαT

αB, es decir, A

= C

B

o

Ai = j

C ijB

j (20)

En el sistema rotado S’ la ecuación tiene la misma forma que en el sistema S; las ecuaciones

tensoriales son invariantes de forma. Un ejemplo físico es la relación Li =

j Θijω j entre el

impulso angular Li, el tensor de inercia Θij y la velocidad angular ω j.

Las leyes fundamentales de la física son formuladas en sistemas inerciales (IS). Uno en-

cuentra que las distintas direcciones son equivalentes en un IS; esta simetría se conoce como

isotropía del espacio. Debido a la isotropía del espacio las leyes fundamentales no dependen

de la orientación del IS. Por lo mismo, las leyes son invariantes (como L = Θ · ω con ladiada Θ) o invariantes de forma (como Li = j Θijω j) bajo rotaciones. Esto se conoce dela mecánica. En electrodinámica, la covariancia de las ecuaciones de Maxwell bajo transfor-

maciones de Lorentz es de importancia central.

V. CÁLCULOS CON EL OPERADOR NABLA

Las operaciones vectoriales gradiente, divergencia y rotacional se definen independiente-

mente de la elección de las coordenadas. Por lo mismo, ecuaciones vectoriales como

∇ · (ΦA) = A · ∇Φ + Φ∇ ·A (21)

son invariantes bajo transformaciones de coordenadas. Debido a dicha invariancia, es sufi-

ciente demostrar tales relaciones para algún sistema especial de coordenadas. Para tal fin,

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las coordenadas cartesianas resultan ser muy útiles. A continuación mostramos, con ayuda

de una serie de ejemplos, cómo se pueden demostrar tales relaciones en forma sistemática

en coordenadas cartesianas.

Primero expresamos el gradiente, la divergencia y el rotacional con ayuda del operador ∇.

Sólo se escribirán las componentes (y no los correspondientes vectores unitarios), es decir,

∇i = ∂ i. Los productos escalares que eventualmente surjan se realizarán contrayendo los

índices correspondientes. Con esto, (21) puede demostrarse como sigue:

∇ · (ΦA) =3

i=1

∂ i (ΦAi) =3

i=1

(∂ iΦ)Ai +3

i=1

Φ (∂ iAi) = A · ∇Φ + Φ∇ ·A (22)

Para

∇ · ∇×A = 0 (23)

damos una demostración detallada y ejemplar:

∇ · ∇×A1.=i,j,k

∂ iikl∂ kAl2.=i,k,l

ikl∂ i∂ kAl

3.=k,i,l

kil∂ k∂ iAl4.=k,i,l

kil∂ i∂ kAl

5.= −

k,i,l

ikl∂ i∂ kAl6.= −

i,k,l

ikl∂ i∂ kAl7.= 0 (24)

Cada uno de los pasos en esta demostración son:

1. Debido a la invariancia bajo transformaciones de coordenadas basta con demostrarlo

para coordenadas cartesianas.

2. La derivada parcial ∂ i no actúa sobre ikl, pues dicha cantidad está compuesta por

valores numéricos constantes.

3. El nombre de los índices de suma es arbitrario (índices mudos). Por lo mismo, podemos

renombrar a i, k, l como k,i, l.

4. Debido a la, de antemano supuesta, diferenciación de Al(x) se pueden intercambiar las

derivadas parciales. Aquí se asume que el campo tensorial es diferenciable dos veces,

por lo menos.

5. Para el tensor totalmente antisimétrico se tiene kil = −ikl.

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6. Se intercambia la seriación de las sumas,

k

i

l · · · =

i

k

l · · · . Esto siempre

es posible para sumas finitas.

7. El resultado se diferencia de la tercera expresión sólo por un signo menos. Por lo

mismo, debe ser cero.

El lector puede demostrar de forma análoga que

∇×∇Φ = 0 (25)

Otro operador diferencial es el operador de Laplace:

∇2 = ∇ · ∇ =3

i=1

∂ 2

∂x2i=

3i=1

∂ i∂ i (26)

La parte derecha se cumple para coordenadas cartesianas. La forma independiente de lascoordenadas ∇2 se define para un campo escalar. No obstante, el operador diferencial en

la parte derecha de (26) también puede ser aplicado a un campo vectorial A. La canti-

dad ∇2A definida de esta forma puede expresarse en términos de operaciones vectoriales

independientes del sistema de coordenadas,

∇2A = ∇ (∇ ·A) −∇× (∇×A) (27)

Para demostrar esta relación expresamos la parte derecha en coordenadas cartesianas:

(∇ (∇ ·A) −∇× (∇×A))i = j

∂ i∂ jA j −

k,l,m,n

ikl∂ klmn∂ mAn

= j

∂ i∂ jA j −k,m,n

(δ imδ kn − δ inδ km) ∂ k∂ mAn

= j

∂ i∂ jA j −n

∂ n∂ iAn +k

∂ k∂ kAi = ∇2Ai =

∇2A

i

(28)

VI. EJERCICIOS

1: Demuestre que ∇ · (A×B) = B · ∇ × A − A · ∇ × B evaluando las componentes

cartesianas. Haga lo mismo con ∇ × (ΦA), ∇ × (A×B) y ∇ (A ·B).

2: La ecuación Ai =

j C ijB j se cumple en cualquier sistema de coordenadas cartesianas.

Se sabe que Ai y B j son tensores. Demuestre que C ij es un tensor de rango 2.

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3: Argumente el último paso en (11).

4: Muestre que ∇ · (rΦ) = r · ∇Φ + 3Φ.

5: Demuestre que ∇ ×∇Φ = 0 usando el mismo tipo de cálculos de (24).

6: En (28) se utilizó

l ikllmn = δ imδ kn − δ inδ km. Demuestre dicha relación.

[1] Tomado del libro "Elektrodynamik" de Torsten Fließ bach (Spektrum, 1997). Traducción de

José M. Méndez A.

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