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Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave
I
I
IIII
III
III
1 2 3 45
67
8
9
10
4847464544
4342
41
40
39
Corona di statoreA
I
I
I
IIII
III
III
11
23
10
12
13
14
1516
1718
1920
21222426
39
37
36
35
3433
3231
3029
282725
38
Corona di rotore
BD
C
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Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave
I I I I II II II II III III III III
11 23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 26 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 37 36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 25 38
A B C D A
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Struttura degli avvolgimenti
+
+ +
Corona di statore
Traferro
++
ni
Corona di rotore +
+
Nelle cave sono alloggiati “lati attivi dei rispettivi avvolgimenti, le
matasse sono costituite da n conduttori percorsi dalla corrente i; i
lati attivi sono collegati tra di loro a costituire le fasi
dell’avvolgimento stesso, mediante collegamenti che giacciono
sulle testate della macchina
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Ipotesi di campo
Campo rotante: il calcolo del campo al traferro richiederebbe la soluzione
delle equazioni di Maxwell in una geometria complicata e in presenza di mezzi
non lineari; per semplificare il problema si introducono le seguenti
ipotesi di campo:
1. la permeabilità del ferro si suppone infinita;
2. la distribuzione del campo magnetico si ritiene identica in tutti i piani
perpendicolari all’asse della macchina;perpendicolari all’asse della macchina;
3. l’andamento delle linee del campo magnetico al traferro si suppone radiale
Campo generato dalle
matasse di una cava
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Campo magnetico prodotto da una fase
Essendo il traferro di piccolo spessore (qualche millimetro), è possibile
trascurare la curvatura delle superfici ad esso affacciate e quindi studiare il
campo in coordinate lineari invece che angolari
1° polo 3° polo 2° polo 4° polo
δ A
x
0
x
Hal traferro
τ
2τ 0
3τ
A′ B C D
l1 l2 l3 l4
0B
Hferro
ferroferro =
µ=
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Campo magnetico prodotto da una fase
H H H HA A A A⋅ − ⋅ = ⇒ =δ δ' '0
=⋅−⋅
=⋅−⋅
=⋅−⋅
niδHδH
0δHδH
niδHδH
DA
CA
BA
Circuitazione magnetica in corrispondenza delle linee passanti per A, B, C, D
(1)
DA
Solenoidalità di B in corrispondenza della superficie cilindrica S
( )( ) ( )( )[ ] 0HH0lτHµlτHµ2 BAB0A0 =+⇒=+
H Hni
H Hni
A C
B D
= =
= = −
2
2
δ
δ
Dalle (1) e (2) si ottiene:
(2)Rotore
Statore
S
δ
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Campo magnetico prodotto da una fase
( )H x
n ise x e x
n ise x
=
+ < < < <
− < <
20
2
3
22
2 2
3
2
δ
τ ττ
δ
τ τ
,
,
Scegliendo l’origine delle coordinate nel centro di un polo il campo H(x),
nell’intervallo [0, 2τ], ha la seguente espressione:
2 2 2δ
Il campo risulta periodico, di periodo 2τ, e simmetrico rispetto all’origine.
Lo sviluppo del campo in armoniche, mediante la Serie di Fourier fornisce la
espressione della prima armonica del campo:
( )
=
τ
πxHxH M cos)1( δπ 2
4 niH M =
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Campo magnetico prodotto da una fase
H
x
τ/2−τ/2 3τ/2
H
x
Onda stazionaria
( )
=
τ
π
πδ
xnixH cos
2)1(
( ) ( )txnI
txH M ωτ
π
πδcoscos
2,
=
δπ
nIHM
22=
( ) ( )
=
τ
πω
xtHtxH M coscos,
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Campo magnetico prodotto da una fase
la espressione dell’onda stazionaria può essere riscritta come segue:
( ) ( )txHtxH M ω
τ
πcoscos,
=
( ) ( ) ( ) ( )βαβαβα −++= cos2
1cos
2
1coscos
Tenendo conto della relazione trigonometrica:
la espressione dell’onda stazionaria può essere riscritta come segue:
( )
++
−= tω
τ
πcos
2
1tω
τ
πcos
2
1tx,
xH
xHH MM
( )
++
−=
v
xtH
v
xtHtxH MM ωω cos
2
1cos
2
1,
Raccogliendo ω e ponendo v =ωτ
π
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Campo magnetico prodotto da una fase
Un’onda stazionaria si può decomporre in due onde traslanti, una progressiva
(velocità v diretta secondo x) e una regressiva (velocità v diretta secondo −x).
Nel caso in esame tali onde sono indicate come campi rotanti (diretto ed
inverso). Essi sono campi di ampiezza costante rotanti al traferro con velocità
angolare costante ωc
v =ωτ
Essendo e valendo la relazione: Rπ2pτ2 =
ωωτ
π
ωc
v
R R p= = =
v =ωτ
πEssendo e valendo la relazione: Rπ2pτ2 =
Il numero di giri al minuto si ottiene considerando che:
60
n2πω c
c =p
f60nc = per f = 50 Hz,
p = 2giri/min5001nc =
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Campo magnetico prodotto da una fase
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Campo prodotto dalle matasse delle diverse cave
Per un avvolgimento distribuito
l’andamento spaziale del campo
è più simile ad una sinusoide,
per via della sovrapposizione
dei campi generati dalle
matasse delle diverse cave
+ + + + + ++ + + + + +
2° polo 3° polo1° polo 4° polo
( ) π x
x
H
τ
2τ0
3τ
( )
=
=
⋅⋅=
τ
π
τ
π
xH
xHqkxH
M
Mat
cos
cos1)1(,
( )
=
τ
π xHxH M cos1)1(
δπ
nqIkH aM
22=
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Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Si suppone che:
1. Gli avvolgimenti siano tutti uguali ed equispaziati, cioè che ogni fase sia
spazialmente sfasata dalle fasi vicine di (2τ/m);
2. Il sistema di tensioni polifase sia simmetrico con pulsazione ω.
Essendo il circuito magnetico della macchina dotato di simmetria assiale, le
correnti assorbite dalle m fasi dell’avvolgimento, soggette al sistema delle m
tensioni simmetriche, costituiscono un sistema di m correnti equilibrato:tensioni simmetriche, costituiscono un sistema di m correnti equilibrato:
( ) ( )
( )
( ) ( )
i t I t
i t I tm
i t I t mm
M
M
m M
1
2
2
12
=
= −
= − −
cos
cos
...
cos
ω
ωπ
ωπ
( ) ( )
( )
( )
−=
−=
=
3
4πωtcosIti
3
2πωtcosIti
ωtcosIti
M3
M2
M1Per m = 3
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Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Correnti di avvolgimento in uno statore trifase:
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Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Nel caso trifase si ha:
( ) ( )
( )
−++
−=
−
−=
++
−=
=
2πx1πx144πx
π3
4ωt
τ
πxcos
2
1ωt
τ
πxcos
2
1π
3
2ωtcosπ
3
2
τ
πxcostx,
ωtτ
πxcos
2
1ωt
τ
πxcos
2
1ωtcos
τ
πxcostx,
2
1
MMM
MMM
HHHH
HHHH
Il campo generato da ogni fase può essere scomposto nel campo
rotante diretto ed inverso; sommando i tre campi, i campi diretti si
sommano, mentre quelli inversi si elidono
( )
−++
−=
−
−= π
3
2ωt
τ
πxcos
2
1ωt
τ
πxcos
2
1π
3
4ωtcosπ
3
4
τ
πxcostx,3 MMM HHHH
( ) ( ) ( ) ( )
−=
−=++= ωt
τ
πxcosωt
τ
πxcos
2
3tx,tx,tx,tx, ,321 TMM HHHHHH
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Campo prodotto da un avvolgimento trifase
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Campo prodotto da un avvolgimento polifase
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Campo prodotto da un avvolgimento polifase
Nel caso bifase, l’avvolgimento è costituito da due avvolgimenti uguali sfasati
spazialmente lungo il traferro di 90°. Gli avvolgimenti vengono alimentati con
due tensioni sinusoidali con pulsazione ω sfasate nel tempo di π/2. Trascurando
tutti i fenomeni di non linearità del sistema, le correnti che circolano nei due
avvolgimenti risultano anch’esse sinusoidali con pulsazione ω e sfasate nel
tempo di π/2. Risulta quindi, con riferimento sempre alla sola prima armonica
spaziale del campospaziale del campo
( )
+++
−=
+
+=
++
−=
=
πτ
πω
τ
πω
π
τ
ππω
τ
πω
τ
πω
τ
πω
xtH
xtH
xtHtxH
xtH
xtH
xtHtxH
MMMMMMa
MMMMMMp
cos2
1cos
2
1
2cos
2cos),(
cos2
1cos
2
1coscos),(
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Campo prodotto da un avvolgimento bifase
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Fem indotta dal campo in una fase statorica
B
x
O
vc
BM
( )
−= ωt
τ
πxcosBtx,B M
O
Poiché il campo si muove rispetto agli avvolgimenti di statore, il
flusso concatenato con questi varia nel tempo, determinando in essi
l’insorgere di una fem indotta
( )e td
dt= −
ϕ
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Fem indotta dal campo in una fase statorica
B
x
O
vc
BM
Il flusso varia con legge sinusoidale e pulsazione
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )tpωcosπ
τlH2µpωtpωsin
π
τlH2µ
dt
dte
tpωsinπ
τlH2µvt
τ
πsinπ
τH2µldxvtx
τ
πcosHµt
cM0ccM0
cM0M0
τ
0
M0
−=
−=
=
=
−= ∫ϕ
cpωω =
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Fem indotta dal campo in una fase statorica
Il valore efficace Φ del flusso concatenato con la spira vale:
π
lτHµ2 M0=Φ
Considerando i numeri complessi rappresentativi (trasformata di Steinmetz) del
flusso concatenato con una spira, Φ, e della fem in tale spira, Es, si ha:
ΦjωE −=s
Se l’avvolgimento è costituito da Ns spire (corrispondenti a 2N conduttori attivi),
si può dimostrare che il fasore della f.e.m. indotta in esso dal campo rotante è:
ka è il fattore di avvolgimento ed è minore di 1; il flusso è quello che si
concatena con la spira al centro della fase
Φ2
jΦjEN
kNk asa ωω −=−= Φ= NkE a22
ω
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Fem indotta dal campo in una fase statorica
B
vc
BM
x
O
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Fem indotta dal campo in tre fasi statoriche
B
x
vc
BM
1 2 3
O
Un campo rotante induce nelle tre fasi di un avvolgimento distanziate tra loro di
120 º tre fem sfasate nel tempo di un terzo del periodo
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Campo rotante
• Un avvolgimento di fase percorso da corrente sinusoidale genera al traferro
un’onda stazionaria, scomponibile in due onde controrotanti
• Tre avvolgimenti sfasati spazialmente di 120° (se la macchina è a due poli, p=1,
in generale di 120°/p) e percorsi da tre correnti sfasate nel tempo di un terzo di
periodo, generano al traferro un campo rotante
• Due avvolgimenti sfasati spazialmente di 90° (se la macchina è a due poli, in
generale di 90°/p) e percorsi da due correnti sfasate nel tempo di un quarto di generale di 90°/p) e percorsi da due correnti sfasate nel tempo di un quarto di
periodo, generano al traferro un campo rotante
• In entrambi i casi il campo rotante ruota al traferro con velocità angolare
ωc = ω /p
• Un campo rotante genera nell’avvolgimento di una fase una fem indotta
sinusoidale nel tempo di pulsazione ω = p ωc
• Le fem indotte negli avvolgimenti di tre fasi equispaziate disposte a 120° l’una
dall’altra sono sfasate nel tempo di 2/3 π