Calculus for Engineering III SC402202

Lecture 10Double Integrals in Polar Coordinate Systems

Chapter 2 Multiple Integrals

1 ในหัวข้อนี้ เราจะศึกษาการหาปริพันธ์สองชั้นของฟังก์ชันในระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งมีประโยชน์อย่างในในกรณีที่ฟังก์ชันหรือบริเวณที่จะหาปริพันธ์สองชั้นแบบปกติทำได้ไม่สะดวก โดยมีรายละเอียดดังนี้

บทนิยาม 1. เราจะกล่าวว่า บริเวณ R ในระบบพิกัดเชิงขั้ว (r,θ) เป็น บริเวณเชิงขั้วอย่างง่าย (simple polar region) ถ้า R ถูกปิดล้อมด้วย

• รังสี θ = α และ θ = β โดยที่ α ≤ β และ β −α ≤ 2π

• ฟังก์ชันต่อเนื่อง r = r1(θ) และ r = r2(θ) โดยที่ 0 ≤ r1(θ)≤ r2(θ)

ตัวอย่างของบริเวณเชิงขั้วอย่างง่ายเป็นดัง Figure 1

Figure 1: บริเวณเชิงขั้วอย่างง่าย. ปรับปรุงจาก (Anton et al., 2012, น. 1018)

ในทำนองเดียวกันกับการประยุกต์ใช้ปริพันธ์สองชั้นหาปริมาตรของทรงตันที่ถูกปิดล้อมด้วยฟังก์ชันต่อเนื่องที่ไม่เป็นลบบนบริเวณ R ในระบบพิกัดฉาก ในหัวข้อนี้ เราสามารถพิจารณาการหาปริมาตรของทรงตันที่ถูกปิดล้อมด้วยฟังก์ชัน f (r,θ) ในระบบพิกัดเชิงขั้วที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและไม่เป็นลบบนบริเวณเชิงขั้วอย่างง่าย R กล่าวคือ

V =∫∫

R

f (r,θ)dA

1ABD12 : Section 14.3: 1-6, 7-10, 11-12, 13-16, 17-20, 23-26, 27-34, 35-38, 39, 44, 45, 46TWH14 : Section 15.4 : 1-8, 9-22, 23-26

1

ซึ่งเราเรียกพจน์ฝั่งขวามือว่า ปริพันธ์สองชั้นเชิงขั้ว (polar double integral) สำหรับการคำนวณค่าปริพันธ์สองชั้นเชิงขั้วเป็นไปตามทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1. ให้ R เป็นบริเวณเชิงขั้วอย่างง่ายที่มีขอบเขตเป็นรังสี θ = α และ θ = β และฟังก์ชันต่อเนื่อง r = r1(θ) และ r = r2(θ) ถ้า f (r,θ) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน R แล้ว

∫∫

R

f (r,θ)dA =∫ β

α

∫ r2(θ)

r1(θ)f (r,θ)rdrdθ

เนื่องจากข้อจำกัดด้านเวลาที่ทำการเรียนการสอน นักศึกษาสามารถศึกษารายละเอียดและที่มาของการหาปริพันธ์สองชั้นเชิงขั้วและทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องได้จาก Anton et al.,2012, น. 1019 - 1021

หมายเหตุ 1. ในการพิจารณาขอบเขตของบริเวณเชิงขั้วอย่างง่าย R อาจดำเนินการได้ดังนี้

1. ในขั้นตอนแรก ให้ตรึงค่า θ ไว้ก่อน และทำการลากรังสีจากจุดกำเนิดผ่านบริเวณเชิงขั้วอย่างง่าย R จะพบว่า รังสีตัดขอบเขตของ R อย่างมากสองจุด และจะได้ว่า จุดตัดที่ใกล้จุดกำเนิดมากที่สุดเป็นขอบเขตล่าง r = r1(θ) และจุดตัดที่ไกลจุดกำเนิดมากที่สุดเป็นขอบเขตบน r = r2(θ) ของการหาปริพันธ์ย่อยเทียบ r

2. ในขั้นตอนต่อไป ให้จินตนาการว่ารังสีที่ลากในขั้นตอนแรกนั้นสามารถเคลื่อนที่ไปทั่วR จะได้ว่า มุมที่เล็กที่สุดที่ทำให้รังสีตัดกับ R เป็นขอบเขตล่าง θ = α และมุมที่มีค่ามากที่สุดที่ทำให้รังสีตัดกับ R เป็นขอบเขตบน θ = β ของการหาปริพันธ์ย่อยเทียบθ

ตัวอย่าง 1. จงหาค่าของ ∫∫

R

sinθdA

โดยที่ R อยู่ในควอรันต์ที่หนึ่งและปิดล้อมด้วย r = 2 และ r = 2(1+ cosθ) ดัง Figure 2

Figure 2: บริเวณเชิงขั้วอย่างง่าย R. ปรับปรุงจาก (Anton et al., 2012, น. 1022)

2

em01285240050

anIlsinoda f fesingrdrdoR Oso 8 2

inositatoradoO o

Éitersofsino kinddoso

ในทำนองเดียวกันกับการประยุกต์ใช้ปริพันธ์สองชั้นหาพื้นที่ของบริเวณ R ในระบบพิกัดฉาก เราสามารถหาพื้นที่ของบริเวณเชิงขั้วอย่างง่ายในระบบพิกัดเชิงขั้วได้โดย

∫∫

R

1dA =∫ β

α

∫ r2(θ)

r1(θ)rdrdθ

ตัวอย่าง 2. จงใช้ปริพันธ์สองชั้นเชิงขั้วหาพื้นที่ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้งกลีบกุหลาบ r =

sin3θ ในจตุภาคที่หนึ่ง ดัง Figure 3

Figure 3: เส้นโค้งกลีบกุหลาบ r = sin3θ . ปรับปรุงจาก (Anton et al., 2012, น. 1023)

3

as

5A 170 0 r o

FEIT d

I si do

1cos20 Isinso

D

ในบางครั้งการหาปริพันธ์สองชั้นในระบบพิกัดฉาก xy อาจทำได้ไม่สะดวก แต่เมื่อแปลงเป็นระบบพิกัดฉากแล้ว สามารถหาคำนวณปริพันธ์สองชั้นเชิงขั้วได้ง่ายกว่าปริพันธ์สองชั้นในระบบพิกัดฉาก ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 3. จงหาค่าของ∫ 1

−1

∫ √1−x2

0(x2 + y2)3/2dydx

4

the gettyse roosog orsino

EI

www.msn.T.ii.itiiiiiy oaTrrn iaiofRd.EMn fory Wxyz

32

for o r 232 83

Tom y F reno NÉr'sinto 1 roastIsinotorso I VELIKI

best g FalTodo f forty dydse J Ii drdo

Ks t y o 0 0 8 0

ft drdoOr ro

FEI door

E ID

ตัวอย่าง 4. จงหาค่าของ∫ 0

−4

∫ √16−x2

−√

16−x2xdydx

5

y of y 16 K KgbTy At y lbset sky's16

Dormroom es tu fNya ETH i

IDown ferry th

ontfor o tooso8 4zero y our

80hrf fadyda Sercosordrdo

O E r ose 4 y s Ft D

ตัวอย่าง 5. จงหาค่าของ∫ 1

1√2

∫ x√

1−x2

1x2 + y2 dydx

6

Downgnomesnow

y y ÉFt se

n n set ringV51

Dormferry'satty for o EKI n t rcoso r fo seco

r seco

Our ya rsino torso Egg a tomo 1

IEDroom y F y a setsety I 82 1

redhot you Ost r secoMf fitzaydn f f ErdrdoWE g Ft Oso r t

JOY IfdidoD

o ro r r

ตัวอย่าง 6. จงหาพื้นที่ซึ่งถูกปิดล้อมด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย เส้นตรง y = 2 เส้นตรง x =

2√

3 แกน X และแกน Y ในจตุภาคที่หนึ่ง

7

O

WI I

g 2

furarm spliffsHiiiiiIllrooso 2Br gig 2B seco

Orb o o

Our tan o E I o f

DormR2ram rs 1

Tar Y z

8sin 2 rs

V 2C se

Ooh O Toour O EA If rdrdo Sfrdrdo ffrdrdo

R R r Rz

Fida FijiO O 8 s I

Ost r seD