1

Calculus 30 - Final ReviewUnit One ­ Introduction to Calculus1. Solve and express the answer using set and interval notation.

­9 < 5 ­ 7x < 26    4 

2. Use a sign analysis of factors to solve the following inequality.  Specify the solution using set and interval notation.

2

3. Find the equation of the piecewise function whose graph is shown.

3

4. Evaluate the limit of the following indeterminate quotient. 

5. Evaluate the limit of the following indeterminate quotient.

6. By using one­sided limits, determine whether the limit of the following indeterminate quotient exists.  Illustrate the results by sketching the graph.

4

7. Evaluate the limit by making the suggested change of variable.

8. Evaluate the limit if it exists using any appropriate technique.

5

Unit Two ­ Differentiation

9. Find the equation of the tangent line to the curve               at the point [­2, f(­2)].  Leave your answer in standard form.  

10. Differentiate using the Product Rule and simplify.

s = (t3 + 1)(3 – 2t2)

11. Differentiate and express your answer in a simplified factored form.

f(x) = (x2 + 3)3(x3 + 3)2

6

12. Find dy/dx.

a)

b)

7

13. Find the rate of change of the function at the given value of t.  

14. Use the Chain Rule to find dy/dx at the indicated value of x.

8

Unit Three ­ Applications of the Derivative

15. Find dy/dx using implicit differentiation.

y(x2 + 3) = y4 + 1

16. For the given curve, find the equation of the tangent line at the given point.

 x2  +  y2 = 1, (­8,­3)100   25

9

17. A cyclist traveling east at 30 km/h has passed through an intersection.  An observer, 56 m south of the intersection, watches the cyclist.  How is the distance between the cyclist and the observer changing when the cyclist is 33 m from the intersection?

18. If a ball is dropped from a height of 72 m above the ground, its height after t seconds is given by the function:  h(t) = 72 – 4.9t2.a) Find the average velocity of the ball between t = 1 and t = 3.b) Find the (instantaneous) velocity of the ball after 3s.    

10

19. A woman 2 m tall walks away from a streetlight that is 6 m high at the rate of 1.5 m/s.

a) At what rate is her shadow lengthening when she is 3 m from the base of    the light?b) At what rate is her shadow lengthening when she is 30 m from the base    of the light?

20. A box with an open top is to be made from a square piece of cardboard, of side length 100 cm, by cutting a square from each corner and then folding up the sides.  Find the dimensions of the box of largest volume.

21. A man lives on an island 1 km from the mainland.  His favourite pub is 3 km along the shore from the point on the shore closest to the island.  The man can paddle his canoe at 3 km/h and can jog at 5 km/h.  Determine where he should land so as to reach the pub in the shortest possible time.

11

Unit Four ­ Curve Sketching

22. Find the relative extrema and the points of inflection of the following polynomial function and then sketch the graph of the curve.f(x) = ­4x3 + 18x2 + 3

12

Unit Five ­ Derivatives of Logarithm and Exponential Functions 

23. Find the derivative of 

24. Differentiate: p(u) = (e2u – e­2u)2

13

Unit Six ­ Trigonometric Functions and Their Derivatives

25. Differentiate.

a) g(y) = sin πy cos πy b) y = (x + csc x)2

c) y = (cot x + sin x)2

14

26. One end of a ladder of length 5 m slides down a vertical wall.  When the upper end of the ladder is 3 m above the ground, it has a downward velocity of 0.5 m/s.  Find the rate at which the angle of elevation θ is changing at that time.

27. A lighthouse searchlight 1 km from shore makes one revolution every 45 s.  How fast is the spot of light moving along a wall on the shore when the spot is 500 m from the point P? 

15

Unit Seven ­ Antiderivatives and Differential Equations

28. Find the general antiderivative of each function and verify your results by differentiation.

a) b) 2sin(πx) ­ cos(πx)

c) d)10e5x ­ 2e­3x

16

29. A pebble is dropped from the 15th floor of a skyscraper 45 m above the ground.  At the same instant, a pebble is thrown downwards with a velocity of 20 m/s from the 20th floor 60 m above the ground.  Which pebble strikes the ground first?  Assume that the acceleration due to gravity is ­10 m/s2 and neglect the effect of air resistance.

30. The number of bacteria in a culture increases at a rate proportional to the number present.  If there are 1 000 bacteria at 1 pm and 1 200 at 3 pm, how many would there be at 8 pm?

31. A bowl of porridge initially at 80°C cools to 40°C in 15 minutes when the room temperature is 20°C.  Jan refuses to eat her porridge if it cools to a temperature below 50°C.  How long does she have before arriving at the table?  Assume Newton’s law of temperature change.

17

Unit Eight ­ Areas and Integrals

32. Use the Fundamental Theorem to evaluate each definite integral.  Verify the antiderivative by differentiation.

a)

b)

c)

18

33. Let A be the area of the region bounded by the curve   and the x­axis, over the given interval.  Express Area as a definite integral and find its value using the Fundamental Theorem of Calculus. 

34. Use u substitution to evaluate the following integrals.

a)

b)

19

Click here tosee graph

35. Find the area between y = ­x2 – x and y = x over the  interval –2 < x < 0.  Draw a sketch showing the element of area.

20

Click here to see graph

36. Find the total area enclosed by the curves y = x3 – x and y = x2 + x

21