Sumario

1 Tecnicas de Integracao 2

1.1 Integral por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Integral por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Integrais Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Fracoes Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Extensoes do conceito de integral 10

Capıtulo 1

Tecnicas de Integracao

1.1 Integral por substituicao

Sejam f(x) e F (x) funcoes tais que F ′(x) = f(x). Suponha g(x) uma funcao,

tal que Im(g) ⊂ Dom(F ), ou seja, sempre e possıvel a composicao F ◦ g.

Derivando F ◦ g:

[F (g(x))]′ = F ′(g(x)).g′(x) = f(g(x)).g′(x) (1.1)

Tomando a integral em relacao a x em ambos os membros da equacao acima:

ˆ[F (g(x))]′dx =

ˆf(g(x)).g′(x)dx

F (g(x)) + c =

ˆf(g(x)).g′(x)dx (1.2)

1.2 Integral por partes 3

Fazendo u = g(x)→ du = g′(x)dx:

ˆf(g(x)).g′(x)dx =

ˆf(u)du = F (u) + c (1.3)

ou seja, e possıvel adotar uma substituicao de variaveis conveniente (u = g(x))

de forma que a integral possa ser reescrita de maneira mais simples.

Exemplos:

a)´senxcosxdx.

b)´

2x1+x2dx.

1.2 Integral por partes

Formula: ˆudv = uv −

ˆvdu

Demonstracao:

Sejam f e g funcoes derivaveis em um intervalo (a, b). Derivando o

produto:

[f(x)g(x)]′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x)

f(x)g′(x) = [f(x)g(x)]′ − f ′(x)g(x) (1.4)

1.2 Integral por partes 4

Integrando ambos os membros (em relacao a x):

ˆf(x)g′(x)dx =

ˆ[f(x)g(x)]′dx−

ˆf ′(x)g(x)dx

ˆf(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−

ˆf ′(x)g(x)dx (1.5)

Fazendo

u = f(x)→ du = f(x)dx

v = g(x)→ dv = g(x)dx, temos:

ˆudv = uv −

ˆvdu

.

Exemplos:

a)´xe−2xdx

b)´x2senxdx

c)´sen3xdx

d)´lnxdx

1.3 Integrais Trigonometricas 5

Exercıcios:

1) Resolva as integrais usando o metodo de integracao por substituicao:

a)´

x5√x2−1

dx b)´

et

et+4dt c)

´tgxsec2xdx

d)´

4t√4t2+5

dt e)´

cos√x√

xdx

2) Resolva as integrais usando o metodo de integracao por partes:a)´xsen5xdx b)

´xln3xdx c)

´xcos2xdx

d)´

1x3 e

1xdx e)

´e3xcos4xdx

3) Resolva as integrais:

a)´

2x+3

dx b)´sen2xcosxdx c)

´ 10

x1+x4dx

d)´ π

3

0sen4xcosxdx e)

´excosx

2dx f)

´cos3xdx

4) Calcule (usando integrais) a area do cırculo de raio r.

1.3 Integrais Trigonometricas

A) As formulas a seguir sao muito uteis:

sen2x =1− cos2x

2e cos2x =

1 + cos2x

2(1.6)

Exemplo:

a)´sen2xdx

1.3 Integrais Trigonometricas 6

B) Para qualquer inteiro n, temos:

ˆsennxdx =

1

nsenn−1xcosx +

n− 1

n

ˆsenn−2xdx (1.7)

ˆcosnxdx =

1

ncosn−1xcosx +

n− 1

n

ˆcosn−2xdx (1.8)

Dem.: E uma consequencia direta da integracao por partes:

Exemplo:

b)´sen3xdx

C) Tambem pode-se integrar potencias de seno e cosseno usando: sen2x = 1− cos2x

cos2x = 1− sen2x

Exemplo:

c)´sen2cos2xdx

D) Substituicao trigonometrica

E a substituicao de um uma funcao qualquer por uma funcao seno ou

cosseno:

Exemplos:

d)´ √

9− x2dx

1.4 Fracoes Parciais 7

e)´

1√2+4x2dx

Exercıcios:

1) Resolva as integrais :a)´sen4xdx b)

´sen2xcos2xdx c)

´sen3xcos5xdx *

d)´

dxx2√x2−5 e)

´secxdx f)

´ √4 + x2dx

g)´

ex√4−e2xdx

* use senaxcosbx = 12sen(a + b)xsen(a− b)x

2) Mostre que: senaxcosbx = 12sen(a + b)xsen(a− b)x

3) Calcule a area interior a elipse de equacaox2

a2+ y2

b2= 1

1.4 Fracoes Parciais

Define-se a funcao racional como a funcao do tipo h(x) = P (x)Q(x)

, onde P (x) e

Q(x) sao polinomios e Q(x) 6= 0. Para calcular a integral da funcao racional,

escrevemos-a em forma de uma soma de funcoes mais simples, denominadas

fracoes parciais, e por conseguinte,calculamos a integral. Ha varios casos a

serem estudados. O primeiro (e mais simples), e o caso em que o gram do

polinomio do numerador e maior que o grau do polinomio do denominador,

em que uma simples divisao de polinomios resolve o problema:

=⇒ P (x)Q(x) = f (x) + R(x)

Q(x)

1.4 Fracoes Parciais 8

Exemplo:

a)x2+4x+2

Seguem, as tecnicas para o caso em que o grau do denominador e maior

que o do denominador:

A) Caso linear:

(i) Fatores lineares distintos:

Exemplos:

b)´

5x−4x2−x−2

dx

c)´

x+20x2−2x−8

dx

(ii) Fatores lineares repetidos:

Exemplo:

d)´

3x2+4x+2x(x+1)2

dx

1.4 Fracoes Parciais 9

B) Caso quadratico:

(ii) Fatores quadraticos irredutıveis diferentes:

Exemplo:

e)8x2+3x+20x3+x2+4x+4

(ii) Fatores quadraticos irredutıveis repetidos:

Exemplo:

e)x2+x+2x(x2+1)2

Exercıcios:

1) Resolva as integrais:

a)´

x3+2x2−3x+1x3+3x2+2x

dx b)´

t+7(t+1)(t2−4t+3)

dt

c)´

2xx(x+2)(x2−1)dx d)

´4t5−3t4−6t3+4t2+6t−1

(t+1)(t2−1) dt

e)´

dyy4−16 f)

´2t2−t+1t(t2+25)

dt

g)´

6x2−8x−1(x−2)(2x2−3x+5)

dx

Capıtulo 2

Extensoes do conceito de

integral

DEFINICAO: Seja f integravel em [a, t] para todo t > a. Definimos:

ˆ ∞a

f(x)dx = limt→∞

ˆ t

a

f(x)dx

desde que o limite exista e seja finito. Tal limite e chamado integral impropria

de f estendida de f no intervalo [a,+∞[.

Da mesma form, temos, para f integravel em [t, a],

ˆ a

−∞f(x)dx = lim

t→−∞

ˆ a

t

f(x)dx.

Caso a integral impropria resulte em um limite finito, dizemos que ela converge

e caso o limite seja infinito, dizemos que a mesma converge.

11

Exemplos

a)´ +∞

11x2dx

b)´ +∞

11xdx

DEFINICAO: Seja f nao limitada em ]a, b] e integravel em [t, b] pata

todo t ∈]a, b[. Define-se

ˆ b

a

f(x)dx = limt→a+

ˆ b

t

f(x)dx

desde que o limite exista e seja finito.

Exemplos

c)´ 1

01√xdx

d)´ 1

01xdx

12

Exercıcios:

1) Calcule (se existir):

a)´ +∞1

1x2dx b)

´ +∞0 e−sxdx; (s > 0) c)

´ +∞0

11+x2dx

d)´ +∞1

13√x4dx e)

´ +∞1 exdx f)

´ 0−∞ xe−x

2

dx

g)´ +∞−∞

14+x2dx

2) Determine m para que:´ +∞−∞ f(x)dx = 1

sendo f(x) =

{m se |x| ≤ 30 se |x| > 3

3) Calcule (se existir):

a)´ 10

13√xdx b)

´ 10 lnxdx c)

´ 10

1√1−x2

dx

d)´ +1

−11|x|dx