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09-10-2010
1
Cálculo vectorial
Operações com vectores
Prof. Luís Perna 2010/11
Grandezas Escalares e Vectoriais
Grandezas Escalares: São grandezas que ficam completamente definidas por um valor
numérico, com ou sem unidades.
• Ex: Área, Comprimento, Massa, …
Grandezas Vectoriais: São grandezas que para além do valor numérico e unidade,
ficam completamente definidas se conhecermos a sua direcção
e o seu sentido.
• Ex: Posição, Velocidade, Aceleração, Força, …
Vectores
Um vector representa-se: Analiticamente, por uma letra sobre a qual é desenhada uma
seta, a.
Graficamente, por um segmento de recta orientado,
compreendendo direcção, sentido e módulo (magnitude,
intensidade).
a
Vectores
A direcção do vector é definida pela recta suporte, ou linha de acção, que é colinear
com o próprio vector;
O sentido é o que vai da origem para a extremidade do vector;
O módulo do vector é o valor numérico que mede o comprimento do segmento de
recta orientado, representando-se por ou a.
• Se o módulo de um vector for igual a zero, o vector diz-se um
vector nulo e representa-se por 0.
a
Vectores
Vectores com o mesmo módulo,
mas direcções diferentes (logo
não se podem relacionar os
sentidos)
Vectores com
a mesma
direcção e
módulo, mas
sentidos
diferentes
(opostos)
Vectores com
a mesma
direcção e
sentido, mas
módulos
diferentes
Vector ligado
Um vector fica completamente definido desde que se
conheça a sua origem (ponto de aplicação), a sua
direcção, sentido e módulo.
Vector Ligado
a
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Vector deslizante
Se a origem de um vector puder ser deslocada
arbitrariamente sobre a sua recta suporte, este fica
definido pela direcção, sentido e módulo.
Vector deslizante
a
a
Vector livre
Se a origem de um vector puder ser deslocada
arbitrariamente no espaço, este fica definido pela
direcção, sentido e módulo.
Vector livre
a
aa
a
a
a
a
a
a
a
Adição de vectores livres
Praticar adição de vectores livres
Multiplicação por um Escalar
Seja k um número real e v um vector.
Subtracção de vectores livres Vector unitário
Um vector cujo módulo é igual à unidade chama-se
vector unitário ou versor;
Um versor é utilizado para indicar uma orientação
(direcção) e sentido positivo no espaço.
eyex
ez
x
y
z
eyex ez= = = 1
ey
ex
ez^k
j^
i^
=
=
=
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Módulo de um vector
Num sistema de eixos ortogonal, o módulo do vector
Representação cartesiana 2D
Os versores das direcções XX e YY designam-se,
normalmente, por i e j.
Um vector com origem em O e extremidade em P,
representa-se analiticamente por:
^ ^
Representação cartesiana 3D
Um sistema cartesiano a três
dimensões é definido por três
rectas orientadas e
perpendiculares entre si;
Os eixos designam-se
normalmente por eixo dos XX,
eixo dos YY e eixo dos ZZ;
Um ponto P fica perfeitamente
definido por um conjunto
ordenado do tipo (x, y, z).
Adição analítica de vectores
Subtracção analítica de vectores Multiplicação por um escalar
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Projecção de um vector sobre dois eixos
ortogonais
e y
x
y
e x
û
v
vx
vy
Chamam-se vectores projecção aos vectores vx e vy
v = vx + vy v = vx ex vy ey +
vx = vx ex
vy = vy ey
Versor û com direcção de v
v = v û û =v
v
û =v
vx ex vy ey +
v = vx ex vy ey +
û =vx ex
vy ey +
vx2
+ vy2
Produto escalar (ou interno) Produto escalar (ou interno)
Produto escalar (ou interno) Produto escalar (ou interno)
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Produto escalar (ou interno) Produto escalar (ou interno)
Produto escalar (ou interno) Produto vectorial (ou externo)
Produto vectorial (ou externo) Produto vectorial (ou externo)
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6
Produto vectorial (ou externo) Produto vectorial (ou externo)
Produto vectorial (ou externo)