calculo fraccionario y la transformada generalizada de fourier · resumen en el presente trabajo se...
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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL DE GUAYANAVICE-RECTORADO ACADEMICO
DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGIAAREA DE MATEMATICAS
CALCULO FRACCIONARIOY LA TRANSFORMADA GENERALIZADA DE FOURIER
Trabajo presentado como requisito parcial para optar al ingreso del Escalofon Universitario.
Prof. Orlando Baisdem Perez
Asesorado por el Prof. Hector Martınez
Puerto Ordaz, Diciembre del 2007.
Resumen
En el presente trabajo se estudia el Calculo Fraccionario con el objeto de ge- neralizar
la transformada de Fourier. Se define la derivada fraccionaria a partir de la integral de
Riemann-Lioville, de igual manera establecemos relaciones entre la derivada clasica y la
derivada fraccionaria, se generaliza el nucleo de la transformada de Fourier y se definen
algunas propiedades sobre el nucleo, ademas se definen algunas propiedades sobre el nucleo
de la transformada de Fourier, graficamos las derivadas y las integrales fraccionarıas de
algunas funciones; se realiza un codigo en Mathlab que permite el estudio del nucleo de la
Transformada. Por otra parte se mencionan algunas funciones especiales, tal es el caso de la
funcion Beta y Gamma. Tambien se utiliza la ley de composicion interna de Oldham-Spanier
para asegurar la existencia de la derivada fraccionaria.
Dedicatoria
A Dios Todopoderoso por iluminarme el camino.
A mi Familia, fuente inagotable de energıa.
i
Agradecimientos
Al profesor Hector Martınez, por su constante apoyo y dedicacion en el desarrollo de este
trabajo.
A los profesores Domingo Quijada y Silvino Rodriguez, por su amistad colaboracion y su
permanente apoyo.
ii
Indice general
Introduccion 1
1. Preliminares 3
1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. La Funcion Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1. Algunas propiedades basicas de la funcion Gamma . . . . . . . . . . 3
1.3. La Funcion Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Operador derivada clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1. Algunas propiedades del operador derivada clasica . . . . . . . . . . . 5
2. Calculo Fraccionario 7
2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Integral Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3. Tabla de Integrales Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4. Derivada Fraccionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1. Derivada Fraccionaria de un Monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5. Tabla de Derivadas Fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.6. Ley de los Exponentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7. Relacion entre la derivada clasica y la derivada fraccionaria . . . . . . . . . . 25
2.8. Regla de Leibniz Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.1. Derivada fraccional de un monomio negativo: . . . . . . . . . . . . . 28
2.8.2. Derivada fraccionaria de la funcion exponencial: . . . . . . . . . . . . 29
iii
2.9. Representacion en serie de la Generalizada de la Exponencial . . . . . . . . . 33
2.10. Generalizada de la exponencial con indice negativo . . . . . . . . . . . . . . 34
3. Transformada de Fourier en el Calculo Fraccionario 36
3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Transformada Clasica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Propiedades de la transformada clasica de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4. Grafica del nucleo de la transformada clasica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5. Derivada de la transformada clasica de Fourier con respecto a la frecuencia . 39
3.6. Derivada Fraccionaria de la Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . 40
3.7. Derivada fraccionaria de la amplitud de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.8. Generalizada de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.9. Propiedades del nucleo de la generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9.1. Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.9.2. Grafica del nucleo generalizado (caso1) . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.9.3. Grafica del nucleo generalizado (caso2) . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.10. Propiedades de la transformada generalizada de Fourier (FrFTG) . . . . . . 54
3.10.1. Demostraciones de las propiedades de la FrFTG . . . . . . . . . . . . 54
3.11. Inversa de la generalizada de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . 56
3.12. Esquema para la obtencion de la transformada continua generaliza de Fourier 57
3.13. Relacion entre la derivada fraccionaria y la transformada fraccionaria de Fourier 58
Conclusiones 60
Anexos 61
3.14. Codigo en Mathlab de las graficas realizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.14.1. Codigo de la derivadas fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.14.2. Codigo de la integral fraccionarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.14.3. Codigo del nucleo de la transformada clasica . . . . . . . . . . . . . 65
3.14.4. Codigo del nucleo de generalizado de la transformada . . . . . . . . 68
iv
Introduccion
La diferenciacion y la integracion generalmente las pensamos como operaciones discretas,
en el sentido que integramos o diferenciamos una funcion dada en orden n, donde n ∈ Z+.
Sin embargo, en algunas circunstancias es util diferenciar o integrar en orden υ, donde υ es
un valor arbitrario, ası se tiene la idea de los operadores fraccionarios. El concepto de los
operadores fraccionarios es tan antiguo como la de los enteros, no obstante , el interes teorico y
practico por estos operadores es cada dıa mayor, considerando ası sus aplicaciones en ciencia
y tecnologıa como campos de investigacion emergentes; entre los operadores fraccionarios
mencionaremos los siguientes:
1. Convolucion: convolucion fraccionaria, splines fraccionarios.
2. Transformadas integrales : transformada fraccionaria de Fourier
3. Derivada e integral : calculo fraccionario.
Los primeros trabajos sobre calculo fraccionario datan desde 1965, entre los matematicos
que han contribuido en este topico se encuentran: Euler, Laplace, Fourier, Abel, Lioville,
Riemann, Laurent y Weil.
El calculo fraccionario tiene aplicaciones en ecuaciones diferenciales, transformadas inte-
grales, teorıa de probabilidad, estadıstica, teorıa electromagnetica, teorıa de fluidos, etc.
En este trabajo pretendemos dar una introduccion a los conceptos fundamentales del calcu-
lo fraccionario como son: la derivada y la integral fraccionaria, estudiadas por Miller, Ross
(1993), ası como tambien algunas propiedades importantes de estas definiciones, y sus rela-
ciones.
1
Ademas abordaremos la definicion de la transformada de Fourier generalizada dada por
West, Bologna y Grigolini (2003), cuyo nucleo viene dado por una derivada fraccionaria, ver-
ificaremos que esta es una generalizacion de la transformada clasica de Fourier (FT), en el
sentido de que la transformada clasica de Fourier es un caso particular de esta generalizada.
Tambien analizaremos el nucleo de esta transformada y demostraremos ciertas propiedades
importantes del nucleo de este.
2
Capıtulo 1
Preliminares
1.1. Introduccion
Las funciones especiales se utilizan en muchas definiciones relacionadas con el calculo
fraccionario, tal es el caso de la funcion beta, gamma y gamma incompleta. Esta ultima
se utiliza en la derivada fraccionaria de un monomio y en la definicion de la integral de
Riemann-Lioville. Ademas la funcion gamma extiende el concepto de factorial a los numeros
complejos bajo ciertas condiciones. En este capıtulo tambien abordaremos la derivada clasica
como operador y alguna de sus propiedades.
1.2. La Funcion Gamma
Definicion 1.1 Sea Re (z) > 0, t ∈ (0,∞) la funcion gamma, esta definida como:
Γ(z) =
∫ ∞
0
e−ttz−1dt. (1.1)
La demostracion de la existencia de la integral que define la funcion Gamma la podemos ver
con detalles en [20], pp.1-3
1.2.1. Algunas propiedades basicas de la funcion Gamma
1. Γ(1) = 1.
3
2. Γ(z + 1) = zΓ(z), ∀z ∈ C .
3. Γ(1/2) =√
π .
Ahora realizaremos las demostraciones de las propiedades de la funcion Gamma dadas an-
teriormente:
Demostracion.
1. La demostracion de la propiedad 1 es directa de la definicion de la funcion Gamma.
2. La demostracion de la propiedad 2 la podemos encontrar en Lebedev (1972), pp.1-3.
Ahora haremos la demostracion de la propiedad 3.
3. Por definicion de la funcion Gamma se sabe que:
Γ(1/2) =
∫ ∞
0
e−tt−1/2dt
Ahora haciendo el cambio de variable u = t−1/2, t = u2, dt = 2udu tenemos que:
∫ ∞
0
e−tt−1/2dt = 2
∫ ∞
0
e−u2
du = 2
√π
2=√
π
Por lo tanto Γ(1/2) =√
π
Observacion 1 Observamos que si z, toma el valores enteros positivos desde n ≥ 1, en la
propiedad 2, se tiene que Γ(1 + 1) = 1Γ(1) = 1.
Ahora si aplicamos induccion matematica sobre n, es decir suponemos que
Γ((n− 1) + 1) = (n− 1)! es cierta, entonces que: Γ(n + 1) = n!.
4
1.3. La Funcion Beta
Definicion 1.2 Sean Re(x) > 0, Re(y) > 0, t ∈ (0, 1) entonces la funcion Beta esta
definida como:
β(x, y) =
∫ 1
0
tx−1(1− t)y−1dt, (1.2)
Proposicion 1 Sea x, y ∈ C, Re(x) > 0, Re(y) > 0, entonces
β(x, y) =Γ(x)Γ(y)
Γ(x + y)(1.3)
Demostracion. La demostracion de esta proposicion la podemos ver en Lebedev (1972),
pp.13-14
1.4. Operador derivada clasica
Definicion 1.3 Sea A el conjunto de funciones complejas de variable real, f : R −→ C,
donde f(t) = x(t) + iy(t), con x(t), y(t) funciones reales. Llamaremos operador derivada a
la aplicacion lineal Dt : A → A, definida por: Dt(x(t) + iy(t)) = x′(t) + iy′(t), donde x′(t) y
y′(t) denotan las derivadas de las funciones x(t) e y(t) respectivamente.
1.4.1. Algunas propiedades del operador derivada clasica
1. Producto de una constante por una funcion: Dnt [Cf(t)] = CDn
t [f(t)], donde C es una
constante.
2. Ley distribuitiva: Dnt [f(t)± g(t)] = Dn
t [f(t)]±Dnt [g(t)].
3. Regla de Leibniz para el producto de dos funciones:
Dnt [f(t)g(t)] =
n∑
k=0
(nk)Dn−k
t [g(t)]Dnt [f(t)]
5
4. Ley de Composicion interna de Oldham y Spanier:
DN
[D(t− a)]N
{D−n
[D(t− a)]−nX(t)
}=
D−n
[D(t− a)]−n
{DN
[D(t− a)]NX(t)
}
+n−1∑
k=n−N
(t− a)k
k!X(k+N−n).
Nota 1 Las demostraciones de las propiedades desde 1 − 3 se pueden observar con detalle
en Miller,Ross (1993) pp.79-81
6
Capıtulo 2
Calculo Fraccionario
2.1. Introduccion
El nacimiento del calculo fraccionario data desde 1695, fecha de una carta del Marques
de L′Hopital a Leibniz. Desde entonces famosos matematicos, tales como Euler, Laplace,
Fourier,Abel, Lioville, Riemann, Laurent y Weyl han contribuido con el desarrollo del calcu-
lo fraccionario; que tambien recibe el nombre de diferenciacion e integracion de orden ar-
bitrario. El calculo fraccionario se ha aplicado a numerosos campos tales como:ecuaciones
diferenciales, teorıa de la probabilidad y estadıstica, flujo de fluidos, teorıa electromagnetica
o viscoleasticidad, tambien se han resuelto mediante el calculo fraccionario.
En realidad, no existe un unico calculo fraccionario, sino varias definiciones con diferentes
propiedades: cada uno de estos calculos exige sus propias condiciones a las funciones a las
que se aplica.
En este trabajo daremos una aproximacion al calculo fraccionario, definiremos la integral
fraccionaria desde el punto de vista de Riemman-Lioville y a partir de ella definiremos la
derivada fraccionaria sus formulas y propiedades.
7
2.2. Integral Fraccionaria
Definicion 2.1 Dada Re v > 0 y dado que f es continua a trozos en J ′ = (0,∞) e integrable
en algun subintervalo finito de J = [0,∞). Entonces para t > 0, llamaremos a:
0D−υt f(t) =
1
Γ(υ)
∫ t
0
(t− ξ)υ−1f(ξ)dξ (2.1)
la integral fraccionaria de Riemann-Liouville de f de orden υ.
Si f(t) = tµ, con µ > −1, podemos definir la integral fraccionaria a traves de la siguiente
expresion:
0D−υt tµ =
B(µ + 1, υ)
Γ(υ)tµ+υ =
Γ(µ + 1)
Γ(µ + υ + 1)tµ+υ, (2.2)
donde t > 0, µ > −1 υ > 0
En particular, si µ = 0, la integral fraccionaria de una constante K de orden υ es:
D−υK =K
Γ(υ + 1)tυ, (2.3)
Proposicion 2 El operador integral fraccionaria es un operador lineal, es decir el cumple
con las siguientes propiedades:
1. D−αx (f + g)(t) =c D−α
x f(t) + D−αx g(t)
2. Dυxλf(t) = λD−υ
x f(t), para todo escalar λ ∈ R
Demostracion.
1.D−αx (f + g)(t) =
1
Γ(υ)
∫ t
0
(t− ξ)υ−1(f + g)(ξ)dξ
=1
Γ(υ)
∫ t
0
(t− ξ)υ−1f(ξ)dξ +1
Γ(υ)
∫ t
0
(t− ξ)υ−1g(ξ)dξ
= D−αx f(t) + D−α
x g(t).
8
2.D−αx λf(t) =
1
Γ(υ)
∫ t
0
(t− ξ)υ−1λf(ξ)dξ
= λ1
Γ(υ)
∫ t
0
(t− ξ)υ−1f(ξ)dξ
= λD−αx f(t).
9
2.3. Tabla de Integrales Fraccionarias
Tabla 1
N funcion Integral fraccionaria
1 f(x) = (a− x)−1/2 1√π
ln(
√a +
√x√
a−√x), a > x
2 f(x) = ln(a + x)1√πb
[(1−
√x + a
x)lna+2
√x+a
tln(√
x + a +√
x)
]
3 f(x) = sin(ax)
√2
a[(sin(ax))C(x)− (cos(ax)S(x)]
4 f(x) = cos(ax)
√2
a[(cos(ax))C(x)− (sin(ax)S(x)]
5 f(x) = ln(x)2√
t√π
(ln4t− 2) ,
6 f(x) = [(a + bx)−1/2]2√πb
arcsin
√bx
a + bx
Nota 2 : Se esta calculando la integral fraccionaria con υ = 1/2, es decir D−υ(f(x)), sujeto
a las restricciones propias de la definicion
S(x) y C(x) representan la integral de Fresnel, las cuales se muestran a continuacion:
S(x) =
√2
π
∫ x√
π2
0
sint2dt =
∫ x
0
sin(π
2z2)dz
C(x) =
√2
π
∫ x√
π2
0
cost2dt =
∫ x
0
cos(π
2z2)dz
10
A continuacion daremos algunos ejemplos de integrales fraccionarias de algunas funciones
elementales.
Ejemplo 1 Sea f(t) = eat, donde a es una constante, puesto que eat es una funcion de clase
(C) entonces de la definicion (2.1) se tiene que:
0D−υt eat =
1
Γ(υ)
∫ t
0
(t− ξ)υ−1eaξdξ υ > 0
haciendo el cambio de variable x = t− ξ, obtenemos
D−υt eat =
eat
Γ(υ)
∫ t
0
xυ−1e−axdx
= tυeatγ∗(υ, at), donde γ∗(υ, at) = 1Γ(υ)tυ
∫ t
0xυ−1e−axdx υ > 0
Esto nos permite escribir (2.4) como:
D−υeat = tυeatγ∗(υ, at) = Et(υ, a). (2.4)
Nota 3 La funcion γ∗(υ, t) se le conoce como la funcion Gamma incompleta. Ademas de-
notaremos por Et(υ, a) la expresion tυeatγ∗(υ, at).
Ejemplo 2 Sea f(t) = cos(at), de la definicion (2.1), se obtiene que:
D−υcos(at) =1
Γ(υ)
∫ t
0
ξυ−1cosa(t− ξ)dξ υ > 0 (2.5)
En caso de que υ = 12
D−1/2cos(at) = Ct(1/2, a) (2.6)
=
√2
a[cos(at)C(x) + sen(at)S(x)] (2.7)
donde,
x =
√2at
πsiendo C(x) y S(x) integrales de Fresnel Miller,Ross (1993)p.301
Ahora mostraremos las graficas de algunas integrales dadas en la Tabla 1. Se mostraran
los casos 1,5 y 6, en cada caso se mostrara la funcion y su integral fraccionaria.
11
Figura 2.1: En la parte superior se puede apreciar la grafica de f(x) = (a− x)−1/2 para
a= 101 y x variando desde 0 hasta 100 con paso de 0, 05. En la parte inferior tenemos varias
graficas de su integral fraccionaria D−υx (a − x)−1/2 = 1√
πln(
√a+√
x√a−√x
). Con a variando desde
100 hasta 140 con paso de 1 y x toma los valores anteriores.
12
Figura 2.2: En la parte superior se puede apreciar la grafica de f(x) = Ln(x) para x variando
desde 0 hasta 1000 con paso de 0, 1. En la parte inferior tenemos varias graficas de su integral
fraccionaria D−υx Ln(x) = 2
√x√π
(ln4x− 2). Con x tomando los valores anteriores
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Figura 2.3: En la parte superior se puede apreciar la grafica de f(x) = (a + bx)−1/2 para x
variando desde 0 hasta 5 con paso de 0,05, a = 6, b = 4. En la parte inferior tenemos varias
graficas de su integral fraccionaria D−υx (a + bx)−1/2 = 2√
πbarcsin
√bx
a+bxcon x tomando los
valores anteriores, a variando desde 6 hasta 8 con paso de 0,02 y b variando desde 2 hasta 4
con paso de 0,02
14
2.4. Derivada Fraccionaria
Definicion 2.2 Sea f ∈ Cn([c, x)), υ ∈ C, x > 0 y 0 < Re(υ) ≤ 1, se define la derivada
fraccionaria de orden υ de la funcion f como:
cDυxf(x) =c Dn
x [cD−υx f(x)]. (2.8)
donde cD−υx representa la integral de Riemann-Liouville, es decir:
cD−υx f(x) =
1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1f(t)dt. (2.9)
Observacion 2 Como podemos observar en la ecuacion (2.9) la integral Riemann-Lioville
esta bien definida, puesto que la funcion (x− t)υ−1f(t) es continua.
Proposicion 3 Sea f una funcion n veces continuamente diferenciable entonces la derivada
fraccionaria de f de orden υ dada por la formula cDυxf(x) esta bien definida para x > 0.
Demostracion. Haciendo el cambio de variable t = x− yλ donde λ = 1υ
υ − 1 = 1−λλ
, se tiene que: si t = c → y = (x− c)υ, t = x, y = 0 asi la integral en la ecuacion
(2.9) nos queda de la siguiente manera:
1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1f(t)dt =−λ
Γ(υ)
∫ 0
(x−c)υ
f(x− yλ)dy (2.10)
=1
Γ(υ + 1)
∫ (x−c)υ
0
f(x− yλ)dy (2.11)
Luego
cD−υx f(x) =
1
Γ(υ + 1)
∫ (x−c)υ
0
f(x− yλ)dy. (2.11)
15
Entonces de la ecuacion (2.8) se tiene que:
cDnx [cD
−υx f(x)] =
cD−υ
[cD(x− c)]−υ
[cD
n
[cD(x− c)]nf(x)
]+
υ−1∑
k=υ−n
(x− c)k
k!f(c)(k+n−υ)(2.12)
=1
Γ(υ + 1)
∫ (x−c)υ
0
[cD
n
[cD(x− c)]nf(x− yλ)
]dy (2.13)
+υ−1∑
k=υ−n
(x− c)k
k!f(c)(k+n−υ).
Es de hacer notar que en la identidad (2.12) usamos la ley de composicion de Oldham-Spanier
y en la identidad (2.13) se utiliza el hecho que se expresado en la ecuacion (2.4).
Ahora haciendo los cambios de variables:
υ − n = 0, k! = Γ(k + 1), k = υ − n, k = 0 → Γ(υ − n + k + 1)
La serie en la ecuacion (2.13) la podemos expresar como:
n−1∑
k=0
Dkf(c)
Γ(υ − n + k + 1)(t− c)υ−n+k
Ademas sabiendo que:
∫ (x−c)υ
0
[cD
n
[cD(x− c)]nf(x− yλ)
]dy =
∫ (x−c)υ
0
∂n
∂xnf(x− yλ)dy
Entonces podemos reescribir la ecuacion (2.13) como:
n−1∑
k=0
Dkf(c)
Γ(υ − n + k + 1)(x− c)υ−n+k +
1
Γ(υ + 1)
∫ (x−c)υ
0
∂n
∂xnf(x− yλ)dy
Luego
cDnx [cD
−υx ] =
n−1∑
k=0
Dkf(c)
Γ(υ − n + k + 1)(x− c)υ−n+k +
1
Γ(υ + 1)
∫ (x−c)υ
0
∂n
∂xnf(x− yλ)dy (2.12)
16
La integral que esta al lado derecho de la ecuacion (2.4) existe para x − c > 0, puesto quedn
dxn f(x) es continua, por lo tanto esto nos asegura la existencia de la derivada fraccionaria
cDυxf(x).
Proposicion 4 Sea c = 0 y f(x) = xµ, µ > 0, entonces
0Dυxf(x) =0 Dn
x [0D−υx f(x)] (2.13)
Demostracion. De la definicion de la integral de Riemann-Liouville sabemos que:
0D−υx xυ =
1
Γ(υ)
∫ x
0
(x− t)υ−1tµdt (2.14)
haciendo t1 = tx→ xt1 = t, dt = xdt1
0D−υx xυ =
1
Γ(υ)
∫ 1
0
(x− xt1)υ−1(xt1)
µxdt1
=1
Γ(υ)
∫ 1
0
xυ−1(1− t1)υ−1xµxtµ1dt1
=1
Γ(υ)xυ+µ
∫ 1
0
(1− t1)υ−1tµ1dt1
=B(µ + 1, υ)
Γ(υ)xµ+υ
=Γ(µ + 1)
Γ(υ + µ + 1)xµ+υ
entonces
0D−υx xυ =
Γ(µ + 1)
Γ(υ + µ + 1)xµ+υ (2.14)
Ahora si suponemos que Re (υ) > 0, x > 0, entonces tenemos de la ecuacion (2.13) lo
siguiente:
17
0Dυxxµ = 0D
nx
[Γ(µ + 1)
Γ(υ + µ + 1)xµ+υ
](2.15)
=Γ(µ + 1)
Γ(υ + µ− n + 1)xµ+υ−n (2.16)
Puesto que ν = n− υ, podriamos escribir la ecuacion (2.16) como:
0Dνxx
µ =Γ(µ + 1)
Γ(µ− ν + 1)xµ−ν , con, Re(ν) > 0 y x > 0 (2.16)
Luego de las ecuaciones (2.4) y (2.4), se puede concluir:
0Dνxx
µ =Γ(µ + 1)
Γ(µ− ν + 1)xµ−ν . (2.16)
para, µ > −1, x > 0; siendo ν un imaginario no puro.
Proposicion 5 El operador derivada fraccionaria es un operador lineal, es decir el cumple
con las siguientes propiedades:
1. cDυx(f + g)(t) =c Dυ
xf(t) +c D−υx g(t)
2. cDυxλf(t) = λcD
υxf(t), para todo escalar λ
Demostracion.
1.−c Dυx(f + g)(t) = cD
nx [cD
−υx (f + g)(t)]
= cDnx
[1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1(f + g)(t)dt
]
= cDnx
[1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1f(t)dt +1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1g(t)dt
]
= cDnx
[1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1f(t)dt
]+c Dn
x
[1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1g(t)dt
]
= cDnx [cD
−υx f(t)] +c Dυ
x[cD−υx g(t)]
= cDnxf(t) +c Dυ
xg(t)
18
Entonces
cDυx(f + g)(t) =c Dυ
xf(t) +c D−υx g(t).
2.−c Dυxλf(x) = cD
nx [cD
−υx λf(t)]
= cDnx
[1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1λf(t)dt
]
= cDnx
[λ
1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1f(t)dt
]
= λ cDnx
[1
Γ(υ)
∫ x
c
(x− t)υ−1f(t)dt
]
= λ cDυx[cD
−υx f(t)]
= λ cDυxf(t).
Observacion 3 En la demostracion de la proposicion (5) se utilizo, ademas de las defini-
ciones de la derivada y la integral fraccionaria dadas en la ecuaciones (2.8), (2.9), las
propiedades de linealidad de los operadores integral y derivada clasica.
2.4.1. Derivada Fraccionaria de un Monomio
Definicion 2.3 (Derivada fraccionaria de un Monomio) Sea xβ, un monomio con β+
1 6= 0,−1, ...,−n, la derivada fraccionaria α, con respecto a x, de xβ esta dada por:
Dαx [xβ] =
Γ(β + 1)
Γ(β + 1− α)xβ−α (2.17)
donde x,α ∈ R(C)
Nota 4 De aquı en adelante utilizaremos la siguiente notacion de derivada fraccionaria
Dνx[x
µ] en vez de 0Dνxx
µ
19
2.5. Tabla de Derivadas Fraccionarias
Se asume que todos los valores son reales, x > 0. El exponente υ del operador fraccionario
se asume como cualquier valor arbitrario (positivo, negativo, o cero) al menos que se diga lo
contrario. Las constantes a,c,λ,µ son irrestrictas al menos que se diga lo contrario.
Tabla 2
N funcion Derivada fraccionaria
1 f(x) = 1x−υ
Γ(1− υ), υ ∈ C, x > 0 y 0 < Re(υ) ≤ 1
2 f(x) = xλ Γ(λ + 1)
Γ(λ− υ + 1)xλ−υ, x > c = a = 0, λ > −1
3 f(x) = eax t−υeaxγ∗(−υ, ax) Re(υ) < 0
4 f(x) = ln(x)x−υ
Γ(1− υ)[ln(x)− γ − ψ(1− υ)]
5 f(x) = (a− x)−1/2
√a
πt
1
a− t, a > t
6 f(x) = (a + bx)1/2
√b
π[arcsin
√bx
a + bx+
√a
bx], b > 0
Nota 5 : γ∗ Es la funcion gamma incompleta.
Ahora mostraremos las graficas de algunas derivadas dadas en la Tabla 2. Se mostraran los
casos 1,2 y 6, en cada caso se observara la funcion y su derivada fraccionaria.
20
Figura 2.4: En la parte superior se puede apreciar la grafica de una funcion constante,
f(x) = 1. En la parte inferior tenemos D−υx [x]0 = x−υ
Γ(1−υ). Con x variando desde 0 hasta 5 con
paso de 0,1 y x toma los valores anteriores
.
21
Figura 2.5: En la parte superior se puede apreciar la grafica de,
f(x) = xλ, donde x toma valores positivos. En la parte inferior tenemos su derivada
fraccionaria Dυxxλ = Γ(λ+1)
Γ(λ−υ+1)xλ−υ. Con x variando desde 0 hasta 5 con paso de 0,05 y λ
variando desde −0,5 hasta 3 con paso de 0,25
.
22
Figura 2.6: Sea f(x) = (a+bx)1/2, en la parte superior se aprecia su grafica donde x varia entre
0 y 5 y b=3, en la parte inferior tenemos la grafica de su derivada fraccionaria Dυx(a+bx)1/2 =√
bπ[arcsin
√bx
a+bx+
√abx
], donde a varia desde 0,1 hasta 2 y x con el valor anterior
.
23
Ejemplo 3 Sea f(x) = x−1/2, entonces por la definicion dada en la ecuacion (2.17), se tiene
que:
D1/2x [x−1/2] =
Γ(1/2)
Γ(0)x−1 = 0
puesto que Γ(0) = ∞.
Ejemplo 4 Sea f(x) = x0, entonces de manera analoga al ejemplo anterior, se tiene que:
D1/2x [x0C] =
CΓ(1)
Γ(1/2)x−1/2 =
C√πx
2.6. Ley de los Exponentes
Teorema 2.1 Si f es continua en J y dado que υ, µ > 0. Entonces para todo t,
D−υ[D−µf(t)] = D−(µ+υ)f(t) = D−µ[D−υf(t)] (2.18)
Dado f(x) = x1/2, µ = 12, υ = 3
2entonces
Dµ[x1/2] =1
2
√π
Dυ[x1/2] = 0
Dµ[Dυx1/2] = 0
Dυ[Dµx1/2] = −1
4x−3/2
Dµ+υ[x1/2] = −1
4x−3/2
Para este ejemplo observamos que:
Dµ[Dυf(tx)] 6= Dµ+υf(x)
24
Definicion 2.4 (Funcion clase C) Se denomina funcion clase C∞(V) a aquellas funciones
definidas sobre (V) tales que ellas y sus derivadas de orden inferior o igual a m (respecto a
todas las combinaciones posibles de variables) son continuas en todo el entorno V.
En el siguiente teorema precisaremos unas condiciones bajo la cual la ley de los exponentes
se mantiene para los operadores fraccionarios.
Teorema 2.2 Dada f(x) una funcion de clase C. Entonces f(x) es de la forma xλη(x)
o xλ(lnt)η(x), donde λ > −1 y η(x) =∑∞
n=0 anxn, tiene un radio de convergencia R > 0.
Dado que X es un numero positivo menor que R. Entonces: Dυ[Dµf(x)] = Dµ+υf(x) para
todo x en (0, X] si:
(a) µ < λ + 1 y υ es arbitrario o,
(b) µ ≥ λ + 1, υ es arbitrario, y ak = 0 para k = 0, 1, ...., m− 1, donde m es el entero mas
pequeno, mas grande o igual que µ.
Ver demostracion en [24],pp 105− 107
2.7. Relacion entre la derivada clasica y la derivada
fraccionaria
Proposicion 6 Sea f(x), un monomio de la forma: f(x) = xk
Su primera derivada clasica es:
f ′(x) =d
dxf(x) = kxk−1
derivando a veces obtenemos la siguente formula general:
da
dxaxk =
k!
(k − a)!xk−a,
Aplicando las propiedades de la funcion Gamma, obtenemos
da
dxaxk =
(k + 1)
(k − a + 1)xk−a = Dα
x [xβ],
25
De esta forma llegamos a la derivada de un monomio vista anteriormente en (2.17)
Ahora calcularemos la media derivada de f(x) = x3
D1/2x [x3] =
Γ(4)
Γ(72)x
52 =
615√
π8
x52 =
16
5√
πx
52
Repitiendo este proceso
16
5√
πD1/2
x [x5/2] =16
5√
π
Γ(72)
Γ(3)x2 =
30√
π
10√
πx2 = 3x2
lo cual seria el resultado esperado de:
D12x
[D1/2
x [x3]
]= 3x2
26
Figura 2.7: La funcion f(x) = x3 se puede apreciar en la curva discontinua a trazos largos
de color verde, su derivada clasica se puede apreciar en la curva continua de color rojo y su
derivada fraccionaria discontinua de color azul
27
2.8. Regla de Leibniz Generalizada
Sea f , una funcion k veces diferenciable y g una funcion con derivada fraccionaria de
orden α − k, entonces la derivada fraccionaria de orden α, del producto fg, viene dado de
la siguiente manera:
Dαx [f(x)g(x)] =
∞∑
k=0
(αk )Dα−k
x [f(x)]Dkx[g(x)] (2.19)
Esta identidad es conocida como la regla de Leibniz generalizada, su demostracion se puede
ver con detalle en el texto [23]p88− 89. Observamos si la ecuacion (2.19), que define la regla
de Leibniz, hacemos g(x) = C, donde C es cualquier constante entonces tenemos que:
Dαx [f(x)g(x)] = Dα
x [f(x)C] = Dαx [f(x)]C (2.20)
2.8.1. Derivada fraccional de un monomio negativo:
Ahora consideremos el caso cuando el exponente del monomio es un entero negativo con
valor: β +1 = 0,−1, ...,−n. Consideremos el monomio la funcion f(x) = x−m con m definido
como un entero positivo.
Dnx [x−m] = (−1)n Γ(m+α)
Γ(m)x−(m+α)
con n ∈ N. Si restringimos el exponente a un valor real, usaremos un procedimiento
analogo para 0 < α < 1,
Dαx [x−m] = (−1)α Γ(m + n)
Γ(m)x−(m+n). (2.21)
28
2.8.2. Derivada fraccionaria de la funcion exponencial:
Sabemos que la expansion en serie de la funcion exponencial esta dada por:
ex =∑∞
k=0[x]k
k!, entonces si aplicamos la linealidad de la derivada fraccionaria y la definicion
de esta sobre cada uno de los monomios de esta serie tenemos que:
Dµx [ex] = Dµ
x [∞∑
k=0
[x]k
k!]
= Dµx [x0] + Dµ
x [x] + Dµx [
[x]2
2] + ....
=Γ(1)[x]−α
Γ(1− α)+
Γ(2)[x]1−α
Γ(2− α)+ ... +
Γ(n + 1)[x]n−α
n!Γ(n + 1− α)+ ..
=∞∑
k=0
[x]k−µ
Γ(k + 1− µ).
Donde definiremos la funcion exponencial generalizada Exµ, por la serie dada en la ecuacion
(2.22), esto es:
Exµ =
∞∑
k=0
[x]k−µ
Γ(k + 1− µ).(2.22)
y su grafica la apreciamos a continuacion
29
Figura 2.8: La generalizada de la funcion exponencial es graficada para valores positivos y
negativos del indice. En la parte superior se grafica Exµ para µ = 0 hasta −0,4 con paso de
−0,1. En la parte inferior se grafica Exµ para µ = 0 hasta 0,4 con paso de 0,1
30
Por otra parte, si en la funcion exponencial introducimos una constante a ∈ C(R), y
realizamos un procedimiento analogo al realizado anteriormente, obtenemos que:
Dµx [eax] = Dµ
x [∞∑
k=0
[ax]k
k!]
= Dµx [[ax]0] + Dµ
x [ax] + Dµx [
[ax]2
2] + ....
= Dµx [x]0 + aDµ
x [x] + a2Dµx [
[x]2
2] + ....
=Γ(1)[x]−α
Γ(1− α)+ a
Γ(2)[x]1−α
Γ(2− α)+ ... + an Γ(n + 1)[x]n−α
n!Γ(n + 1− α)+ ..
=∞∑
k=0
ak[x]k−µ
Γ(k + 1− µ).
entonces
Dµx [eax] =
∞∑
k=0
ak[x]k−µ
Γ(k + 1− µ). (2.23)
Ahora, considerando la definicion de Eatµ , expresada por la ecuacion [2.22] se tiene que:
Eaxµ = a−µ
∞∑
k=0
ak[x]k−µ
Γ(k + 1− µ). (2.24)
entonces
Dµx [eax] = aµEax
µ (2.25)
Esta ultima ecuacion expresa la relacion entre la derivada fraccionaria y la funcion exponen-
cial generalizada. En la ecuacion (2.23) que define la derivada fraccionaria si la constante
a = iw, entonces tenemos que:
Dµx [eiwx] =
∞∑
k=0
[iw]k[x]k−µ
Γ(k + 1− µ). (2.26)
31
Por otra parte, si tomamos como constante a = ix y hacemos un razonamiento analogo al
dado anteriormente, pero calculamos la derivada fraccionaria de orden α de la exponencial
eiwx, con respecto a la variable w, tenemos que:
Dµw[eiwx] =
∞∑
k=0
[ix]k[w]k−µ
Γ(k + 1− µ). (2.27)
Nota 6 Podemos observar que en las ecuaciones (2.26) y (2.27) se define a la derivada
fraccionaria de la funcion eax, por intermedio de una serie de potencia, la cual es facil
comprobar que converge, es decir, la derivada fraccionaria expresada de esta manera esta
bien definida.
32
2.9. Representacion en serie de la Generalizada de la
Exponencial
Una segunda expansion para la generalizada de la exponencial pued ser obtenida de la
manera siguiente:
Dµx [ex] =
∞∑
k=0
(µ
k
)Dµ−k
x [x0]Dkx[e
x] = ex
∞∑
k=0
(µ
k
)xk−µ
Γ(k + 1− µ). (2.28)
Como Dkx[e
x] = ex nos queda:
Dµx [ex] = ex
∞∑
k=0
(µ
k
)Dµ−k
x [x0] = ex
∞∑
k=0
(µ
k
)xk−µ
Γ(k + 1− µ).
aplicando la derivada fraccionaria, obtenemos:
Dµx [ex] = ex
∞∑
k=0
(µ
k
)xk−µ
Γ(k + 1− µ)= ex
∞∑
k=0
(µ
k
)xk−µ
Γ(k + 1− µ).
Asi tenemos:
e−xExµ =
∞∑
k=0
(µ
k
)xk−µ
Γ(k + 1− µ). (2.29)
Si el indice de la derivada es un valor entero, µ = N, entonces tenemos que coinciden la
generalizada de la exponencial y la exponencial Neperiana, Exµ = ex
Si k = µ, se obtiene lo siguiente:
e−xExµ =
∞∑
k=0
(µ
k
)xk−µ
Γ(k + 1− µ)=
(µ
µ
)= 1, µ = entero, (2.30)
33
2.10. Generalizada de la exponencial con indice nega-
tivo
Ahora consideremos la situacion cuando el ındice es un entero negativo µ = −1,−2...
Ex−1 = D−1
x [ex] =∞∑
k=0
[x]k+1
Γ(k + 2). (2.31)
Ahora bien, si reacomodamos la serie haciendo j = k + h, nos queda:
Ex−1 =
∞∑j=1
xj
Γ(j + 1)= ex − 1. (2.32)
Como se menciono anteriormente, la expansion en serie de una funcion exponencial esta dada
por:
ex =∞∑
j=0
tj
j!
=∞∑
j=0
xj
Γ(j + 1)
= 1 +∞∑
j=1
xj
Γ(j + 1)
Ex−1 = 1 +
∞∑j=1
xj
Γ(j + 1)= ex
=∞∑
j=1
xj
Γ(j + 1)= ex − 1
Tambien podriamos escribir la generalizada de la exponencial con ındice negativo a traves
de una integral, puesto que el inverso del operador derivada es el operador integral.
Ex−1 = D−1
t [ex] =
∫ x
0
eτdτ = ex − 1
= D−1x [ex] = eτ |x0 = ex − e0 = ex − 1
(2.33)
34
Para el caso µ = −2, utilizaremos la definicion (2.22)
Ex−2 = D−2
x [ex]
=∞∑
k=0
xk+2
Γ(k + 3)
Reordenando la serie y haciendo j = k + 2 obtenemos lo siguiente:
Ex−2 =
∞∑j=2
xj
Γ(j + 1)= ex − 1− x (2.34)
Como sabemos que:
∞∑j=0
xj
j!= ex
si desarrollamos la serie hasta j = 2 y si hacemos j! = Γ(j + 1):
∞∑j=2
xj
Γ(j + 1)+ 1 + x = ex
finalmente se comprueba que:
Ex−2 =
∞∑j=2
xj
Γ(j + 1)= ex − 1− x
Ahora escribiremos la generalizada de la exponencial con indice negativo como una inte-
gral doble
Ex−2 = D−2
x [ex] =
∫ x
0
dτ2
∫ τ2
0
eτ1dτ1 =
∫ x
0
(eτ2 − 1)dτ2 = ex − 1− x (2.35)
35
Capıtulo 3
Transformada de Fourier en el CalculoFraccionario
3.1. Introduccion
En esta seccion abordaremos la definicion de la transformada fraccionaria de Fourier,
desde el punto de vista del calculo fraccionario, donde su nucleo esta definido por la funcion
exponencial generalizada, este esta en funcion de la derivada fraccionaria. Esta transfor-
mada es una generalizacion de la transformada clasica de Fourier, en el sentido de que la
transformada de Fourier es un caso particular de la transformada generalizada cuando α = 1.
3.2. Transformada Clasica de Fourier
Definicion 3.1 Sea L el espacio vectorial de todas las funciones suaves f (infinitamente
diferenciables) tal que:
γm,n(f) = supx ∈R
|xmf (n)(x)| < ∞,
∀m, n = 0, 1, 2, . . . entonces la transformada de Fourier F , es un operador integral lineal que
mapea una funcion dada f ∈ L sobre F (ξ) el cual esta definido como:
F (ξ) =
∫ ∞
−∞f(x)e−2πiξxdx (3.1)
36
su nucleo es e−2πiξx, (en algunos casos el nucleo se define como: eiwx) y la transformada
inversa de Fourier esta definida por:
f(x) =
∫ ∞
−∞F (ξ)e−2πiξxdξ.
3.3. Propiedades de la transformada clasica de Fourier
Algunas propiedades de la transformada de Fourier vienen dadas por la siguiente proposi-
cion. Sea
F (ξ) =
∫ ∞
−∞f(x)e−2πiξxdx
1. f(x− h) ∈ L → F (ξ)e−2πiξh, donde h ∈ R, f ∈ L
2. f(x)e2πixh → F (ξ − h), donde h ∈ R, f ∈ L,
3. |M |−1f( xM
) → F (Mξ), donde M > 0, f ∈ L,
4. f′(x) → F (ξ)2iπh , donde f ∈ L,
5. −2πxif(x) → ddξ
F (ξ),donde f ∈ L.
37
3.4. Grafica del nucleo de la transformada clasica
Figura 3.1: Sea f(x) = eiwx, donde f(x) es el nucleo de la transformada clasica de Fourier
38
3.5. Derivada de la transformada clasica de Fourier con
respecto a la frecuencia
La derivada de la transformada de Fourier con respecto a la frecuencia w dada por:
d(f(w))
dw=
∫ ∞
−∞(ix)eiwxf(x)dx
Ahora si derivamos nuevamente obtenemos que:
d2(f(w))
dw2=
∫ ∞
−∞(ix)2eiwxf(x)dx
derivando n veces la transformada de Fourier se tiene que:
dnf(w)
dwn=
∫ ∞
−∞(ix)neiwxf(x)dx (3.2)
La ecuacion (3.2) la podemos expresar de la siguiente manera:
dnf(w)
dwn= inFT [xnf(x); w] (3.3)
Es decir lo que se tiene en la ecuacion (3.3) es la transformada de Fourier del producto
xnf(x). Por tanto, usaremos por notacion FT para hacer referencia a la transformada de
fourier de una funcion.
De manera analoga podemos expresar la derivada de la transformada de Fourier con respecto
al tiempo x, es decir:
FT[dnf(x)
dxn; w
]=
∫ ∞
−∞eiwx dnf(x)
dxndx (3.4)
cuando integramos por parte n veces, cada integracion por parte genera un factor (−iw)
FT[dnf(x)
dxn; w
]=
∫ ∞
−∞(−iw)neiwxf(x)dx (3.5)
39
la funcion y sus primeras n derivadas desaparecen, cuando x → ±∞, por lo que no hay
contribucion de las fronteras despues de cada una de las integraciones por partes. Ahora se
obtiene:
FT [[dnf(x)
dxn; w
]= (−iw)nFT [f(x); w] = (iw)nf(w) (3.6)
que toma como inverso la transformada de Fourier
dnf(x)
dxn= (−i)nFT −1[wnf(w); x] (3.7)
3.6. Derivada Fraccionaria de la Transformada de Fouri-
er
Primeramente aplicando la formula de Leibniz y luego utilizando la definicion de la deriva-
da fraccionaria de orden α− k, entonces obtenemos lo siguiente:
Dαx [f(x)] =
∞∑
k=0
(α
k
)Dα−k
x [x0]Dkx[f(x)] (3.8)
=∞∑
k=0
(α
k
)xk−α
Γ(k − α + 1)Dk
x[f(x)] (3.9)
Sabemos que la formula de inversion de la transformada de Fourier esta dada por:
f(x) =
∫ ∞
−∞e−iwxf(w)dw (3.10)
Ahora si derivamos k veces la expresion dada en la ecuacion (3.10) con respecto a x, se tiene
que:
Dkx[f(x)] =
∫ ∞
−∞e−iwx(−iw)kf(w)dw (3.11)
Ahora sustituyendo esta ultima identidad en la ecuacion (3.9), esta la podemos reescribir
como:
40
Dαx [f(x)] =
∞∑
k=0
(α
k
)xk−α
Γ(k − α + 1)
∫ ∞
−∞e−iwx(−iw)kf(w)dw (3.12)
Ahora escribiremos la serie como la generalizada de la exponencial
E−iwxα =
∞∑
k=0
(α
k
)(−iwx)k−α
Γ(k − α + 1)e−iwx (3.13)
ası (3.12) se reduce a:
Dαx [f(x)] =
∫ ∞
−∞E−iwx
α (−iw)αf(w)dw (3.14)
La ecuacion (3.14) es la derivada fraccionaria de la funcion f(x) expresada como una trans-
formada de Fourier con respecto a la variable independiente w, esto proporciona una manera
de calcular la derivada fraccionaria de una funcion sin utilizar la expansion de la serie. La
ecuacion (3.14) es analoga a la derivada de la funcion dada en (3.7) con la funcion exponencial
e−iwx reemplazada con la generalizada de la funcion E−iwxα .
3.7. Derivada fraccionaria de la amplitud de Fourier
De un manera similar tomaremos la derivada fraccionaria de la transformada de Fourier
con respecto a la variable de la transformada.
Dαw[f(w)] =
∞∑
k=0
(α
k
)Dα−k
w [w0]Dkw[f(w)]
=∞∑
k=0
(α
k
)wk−α
Γ(k − α + 1)Dk
w[f(w)]
(3.15)
donde introduciremos la inversa de la transformada de f(w) dada en (3.10)
41
Dαw[f(w)] =
∞∑
k=0
(α
k
)wk−α
Γ(k − α + 1)
∫ ∞
−∞eiwx(ix)kf(x)dx (3.16)
ahora escribiremos la serie (3.16) como la generalizada de la exponencial.
Eiwxα =
∞∑
k=0
(α
k
)(iwx)k−α
Γ(k − α + 1)eiwx (3.17)
que cuando se reinserta en (3.16), se obtiene:
Dαw[f(w)] =
∫ ∞
−∞(ix)αEiwx
α f(x)dx (3.18)
3.8. Generalizada de la transformada de Fourier
Asi, observamos que (3.14) y (3.18) son analogas a las propiedades de la transformada
de Fourier dadas en (3.5) y (3.7). La relacion entre una funcion y su amplitud de Fourier
es la misma entre la derivada fraccionaria de una funcion y su transformada de Fourier, con
la exponencial reemplazada por su generalizada. Tambien la relacion entre la derivada de la
transformada de Fourier de una funcion y la funcion, es la misma existente entre la derivada
fraccionaria de la transformada de Fourier de la funcion y la funcion con la exponencial
reemplaza por su generalizada.
Lo mencionado anteriormente nos permite introducir la definicion de la transformada
generalizada de Fourier.
Definicion 3.2 Sea L el espacio de las funciones absolutamente integrables f , la transfor-
mada generalizada de Fourier fα es un operador lineal que mapea la funcion dada f ∈ Lsobre fα(w), donde:
fα(w) ≡∫ ∞
−∞Eiwx
α f(x)dx (3.19)
42
donde Eiwxα es el nucleo de la transformada generalizada.
Ahora demostraremos que la serie que define el nucleo de la transformada generalizada
es convergente, para ello usaremos el criterio del cociente para determinar la convergencia
de la serie:
En (2.24), haciendo a = iw, tenemos que:
Eiwxµ = |(iw)−µ|
∣∣∣∣∞∑
k=0
(iw)k[w]k−µ
Γ(k + 1− µ)
∣∣∣∣. (3.20)
Demostracion. Por la propiedad de la funcion Gamma
Γ(z + 1) = zΓ(z), entonces Γ((k + 1− α) + 1) = (k + 1− α)Γ(k + 1− α)
Aplicando el criterio del cociente:
Limk→∞
∣∣∣∣(iw)k+1wk+1−α(iw)−α
Γ(k + 1 + 1− α)
∣∣∣∣÷∣∣∣∣(iw)kwk−α(iw)−α
Γ(k + 1− α)
∣∣∣∣
Limk→∞
∣∣∣∣(iw)k+1wk+1−α(iw)−αΓ(k + 1− α)
(iw)kwk−α(iw)−α(k + 1− α)Γ(k + 1− α)
∣∣∣∣
Limk→∞
∣∣∣∣(iw)w(iw)−α
(it)−α(k + 1− α)
∣∣∣∣ < 1.
la serie que define el nucleo de la transformada generalizada converge.
Por otra parte:
∣∣∣∣∫ ∞
−∞Eiwx
α f(x)dx
∣∣∣∣ ≤∫ ∞
−∞
∣∣∣∣∞∑
k=0
(iwx)k−α
Γ(k − α + 1)
∣∣∣∣|fx|dx < M
∫ ∞
−∞|fx|dx < ∞
por lo tanto fα(w) existe.
43
3.9. Propiedades del nucleo de la generalizada
La generalizada de la transformada de Fourier se define como:
fα(w) ≡∫ ∞
−∞Eiwx
α f(x)dx
y su nucleo es:
Eiwxα = (iw)−α
∞∑
k=0
(ixw)k−α
Γ(k + 1− α)
Entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1. Simetria Diagonal
Kα(x,w) = Kα(w, x) (3.21)
2. Simetria puntual
Kα(−x,w) = Kα(x,−w) (3.22)
3. La generalizada de la exponencial
4. Traslacion del Kernel
5. Transformada de una traslacion (Caso clasica)
6. Transformada de una traslacion (Caso fraccionario)
7. Producto del Kernel por su conjugado
3.9.1. Demostraciones
Demostracion.
1.- La propiedad es directa al aplicar la propiedad comutativa del producto.
Se conoce que:
Kα(x,w) = Eiwxα = (iw)−α
∞∑
k=0
(ixw)k−α
Γ(k + 1− α)
44
Entonces
Kα(−x,w) = E−iwxα = (iw)−α
∞∑
k=0
(−iwx)k−α
Γ(k − α + 1)
= E−iwxα = Kα(x,−w)
2.− Eiwx1 = eiwx
K1(x,w) = Eiwx1 =
∞∑
k=0
(1
k
)(iwx)k−α
Γ(k − α + 1)eiwx = eiwx
3.-
Eiw(x−x′)α = (iw)−αe−iwx′Dα
t [eiwx] (3.23)
E−iw(x−x′)α = (−iw)−αe−ixwx′Dα
x [e−iwx] (3.24)
4.-
f(x− x′) =
∫ ∞
−∞eiw(x−x′)f(x)dx
= e−iwx′∫ ∞
−∞eiwxf(x)dx
= e−iwx′ f(w)
5.- Por [3.23] y [3.24]
fα(f(x− x′)) =∫∞−∞ E
iw(x−x′)α f(x)dx
= e−iwx′∫ ∞
−∞(iw)−αDα
x [eiwx]f(x)dx
= e−iwx′∫ ∞
−∞Eiwx
α f(x)dx
= e−iwx′ fα(f(x))dx
45
6.-
Eiwxα ∗ Eiwx
β = (iw)−αDαx [eiwx] ∗ (iw)−βDβ
x [eiwx]
= (iw)α+β ∗Dα+αx [eiwx]
= Eiwxα+β
7.- Se puede ver que:
Eiwx
α = E−iwxα
E−iwxα = (−iw)−αDα
x [e−iwx]
= (−iw)−α
∞∑
k=0
(−ixw)k−α
Γ(k + 1− α)
= (−iw)−α
∞∑
k=0
(−1)k−α(ixw)k−α
Γ(k + 1− α)
= (−iw)−α(−1)α
∞∑
k=0
(ixw)k−α
Γ(k + 1− α)(−1)k
Ahora aplicamos el teorema 2.18
Eiwxα ∗ E−iwx
α = (iw)−αDαx [eiwx] ∗ (−iw)−α(−1)−αDα
x [eiwx](−1)k
= (−iw)−2α(−1)−αD2αx [eiwx]
Kα(x,w) ∗Kα(x,w)
Kα(x,w) = Kα(−x,w), por lo tanto:
46
Eiwxα ∗ E−iwx
α =∞∑
k=0
(iwx)k−α
Γ(k − α + 1)eiwx ∗
∞∑
k=0
(−iwx)k−α
Γ(k − α + 1)
= (iwx)−α(−iwx)−α
∞∑
k=0
(iwx)k
Γ(k − α + 1)
∞∑
k=0
(−iwx)k
Γ(k − α + 1)
.
47
3.9.2. Grafica del nucleo generalizado (caso1)
Sea
Eiwxα = (iw)−α
∞∑
k=0
(ixw)k−α
Γ(k + 1− α)
el nucleo generalizado de la transformada de Fourier,
Figura 3.2: En la grafica superior se puede apreciar la parte real de la generalizada del nucleo.
En la grafica inferior apreciamos la parte imaginaria del nucleo; en ambos casos α varia desde
0 hasta −0,8 con paso de −0,1 y con angulo de inclinacion de 20 grados
48
Figura 3.3: En la grafica superior se puede apreciar la parte real de la generalizada del nucleo.
En la grafica inferior apreciamos la parte imaginaria del nucleo; en ambos casos α varia desde
0 hasta −0,8 con paso de −0,1 y con angulo de elevacion de 60 grados
49
Figura 3.4: En la grafica superior se puede apreciar la parte real de la generalizada del nucleo.
En la grafica inferior apreciamos la parte imaginaria del nucleo; en ambos casos α varia desde
0 hasta −0,8 con paso de −0,1 y con angulo de inclinacion de 90 grados
50
3.9.3. Grafica del nucleo generalizado (caso2)
Sea
Eiwxα = (iw)−α
∞∑
k=0
(ixw)k−α
Γ(k + 1− α)
el nucleo generalizado de la transformada de Fourier,
Figura 3.5: En la grafica superior se puede apreciar la parte real de la generalizada del nucleo.
En la grafica inferior apreciamos la parte imaginaria del nucleo; en ambos casos α varia desde
0 hasta 0,8 con paso de 0,1 y con angulo de inclinacion de 20 grados
51
Figura 3.6: En la grafica superior se puede apreciar la parte real de la generalizada del nucleo.
En la grafica inferior apreciamos la parte imaginaria del nucleo; en ambos casos α varia desde
0 hasta 0,8 con paso de 0,1 y con angulo de inclinacion de 60 grados
52
Figura 3.7: En la grafica superior se puede apreciar la parte real de la generalizada del nucleo.
En la grafica inferior apreciamos la parte imaginaria del nucleo; en ambos casos α varia desde
0 hasta 0,8 con paso de 0,1 y con angulo de inclinacion de 90 grados
53
3.10. Propiedades de la transformada generalizada de
Fourier (FrFTG)
Sea fα la FrFTG de la funcion f entonces se cumplen las siguientes propiedades:
1. Linealidad: Sea h(x) = {λf1(x) + βf2(x)}α, entonces fα(h(x)) = λf1α(x) + βf2α(x).
2. Traslacion si tenemos la funcion f trasladada en a con a ∈ R, es decir f(t−a), entonces
fα(f(t− a)) = exp{−2πiξa}fα(ξ).
3. Escalacion si tenemos la funcion f y a, con a ∈ R, entonces fα(f(at)) = 1|a| fα
(ξa
).
4. Si f(x) es una funcion par entonces fα(ξ) es par.
5. Si f(x) es una funcion impar entonces fα(ξ) es impar.
6. Si α = 1, entonces fα(ξ) = f(ξ), donde f(ξ) es la transformada clasica de Fourier.
3.10.1. Demostraciones de las propiedades de la FrFTG
Demostracion.
1.
fα(h(x)) =
∫ ∞
−∞Eα
iwx(λf1(x) + βf2(x))dx
=
∫ ∞
−∞Eα
iwx(λf1(x))dx +
∫ ∞
−∞Eα
iwx(βf2(x))dx
= λ
∫ ∞
−∞Eα
iwx(f1(x))dx + β
∫ ∞
−∞Eα
iwx(f2(x))dx
= λfα(f1(x)) + βfα(f2(x)).
2.
fα(f(t− a)) =
∫ ∞
−∞Eiwx
α f(t− a)dt,
54
Haciendo t− a = x, dt = dx entonces tenemos que:∫ ∞
−∞Eiwx
α f(t− a)dt =
∫ ∞
−∞Eiw(x+a)
α f(x)dx
=
∫ ∞
−∞Dα
x [exp{iw(x + a)}][iw]−αf(x)dx
=
∫ ∞
−∞Dα
x [exp{iwx}] exp{iwa}[iw]−αf(x)dx
= exp{iwa}∫ ∞
−∞Dα
x [exp{iwx}][iw]−αf(x)dx
= exp{iwa}fα(f(x)).
Por lo tanto
fα(f(t− a)) = exp{iwa}fα(w).
Nota 7 En la demostracion de la propiedad de traslacion usamos la definicion de la deriva-
da fraccionaria dada en la ecuacion (2.25), ademas utilizamos la propiedad expresada en la
ecuacion (3.25) y finalmente se uso la definicion de la transformada generalizada de Fourier.
3.De la definicion de la FRFTG tenemos que:
fα(f(at)) =
∫ ∞
−∞Eiwt
α f(at)dt. (3.25)
Ahora haciendo at = x, en la ecuacion (3.25) dta
= dx y suponiendo que a > 0, entonces
tenemos que: ∫ ∞
−∞Eiwx
α f(at)dt =1
a
∫ ∞
−∞E
iwxa
α f(x)dx. (3.26)
Por otra parte si asumimos que a < 0, se intercambian los limites de integracion y tenemos
que: ∫ ∞
−∞Eiwx
α f(at)dt =1
a
∫ −∞
+∞E
iwxa
α f(x)dx. (3.27)
Por lo tanto de las ecuaciones(3.26), (3.27)obtenemos que:
fα(f(at)) =1
|a| fα
(ξ
a
).
55
4.
fα(f(x)) =
∫ ∞
−∞Eα
iwxf(x)dx (3.28)
=
∫ ∞
−∞Eα
iwxf(−x)dx
= fα(f(−x)).
Por lo tanto fα(f) es par, el caso cuando f es impar la demostracion es similar.
3.11. Inversa de la generalizada de la transformada de
Fourier
Ahora construiremos la inversa de esta transformada introduciendo la funcion:
g(x) =f(x)
(ix)α(3.29)
asi que escribiremos la transformada fraccionaria de Fourier como:
fα(w) =
∫ ∞
−∞(ix)αEiwx
α g(x)dx (3.30)
En terminos de la derivada fraccionaria con respecto a la frecuencia, tenemos:
fα(w) = Dαw
[ ∫ ∞
−∞eiwxg(x)dx
](3.31)
entonces, por el segundo enfoque de la generalizada de la exponencial, se tiene
Dαw
[eiwx
]= (ix)αEiwx
α (3.32)
La integral (3.31) representa la transformada clasica de Fourier de g(x), aquella g(w), asi
que (3.31), puede ser escrita formalmente como:
fα(w) = Dαw[g(w)] (3.33)
56
La ecuacion (3.33) puede ser invertida para obtener
g(w) = D−αw [fα(w)] (3.34)
tomando la inversa de la transformada de Fourier de (3.33)
g(x) =
∫ ∞
−∞
dw
2πe−iwxD−α
w [fα(w)] (3.35)
o en terminos de la funcion original, usando (3.29), tenemos
f(x) = (ix)α
∫ ∞
−∞
dw
2πe−iwxD−α
w [fα(w)] (3.36)
la ecuacion (3.36) define la inversa de la generalizada de la transformada de Fourier dada en
(3.19). La inversa de la generalizada de la transformada de Fourier es verificada sustituyendo
la definicion de la generalizada de Fourier en (3.36) para obtener
f(x) = (ix)α
∫ ∞
−∞
dw
2πe−iwxD−α
w [Dαw[g(w)]] (3.37)
pero
D−αw Dα
w = 1
Asi que:
f(x) = (ix)α
∫ ∞
−∞
dw
2πe−iwxg(w) (3.38)
usando la transformada de Fourier en (3.29).
3.12. Esquema para la obtencion de la transformada
continua generaliza de Fourier
Martinez (2006), desarrollo un esquema para la obtencion de la transformada:
1. Se calcula la derivada fraccionaria Dαw[eiwx]
2. Calculamos [ix]−αDαw[eiwx]e−iwxf(x) y hacemos g(x) = [ix]−αDα
w[eiwx]e−iwxf(x)
57
3. Calculamos la transformada ordinaria g(t) =∫
[ix]−αDαw[eiwx]e−iwxf(x)eiwt
4. Finalmente usamos la identidad Eixwα = Dα
w[eiwx](ix)−α, obteniendo la transformada
fraccionaria generalizada continua de Fourier.
3.13. Relacion entre la derivada fraccionaria y la trans-
formada fraccionaria de Fourier
Sabemos del analısis clasico de Fourier que la transformada ordinaria esta definida por:
f(ξ) =
∫ ∞
−∞f(x) exp{2πixξ}dx.
y su formula de inversion esta dada por:
f(x) =
∫ ∞
−∞f(ξ) exp{−2πixξ}dξ.
Ahora si le aplicamos la derivada fraccionaria de orden −α. con respecto a t, a la formula
de inversion de la transformada clasica de Fourier obtenemos que:
D−αx [f(x)] = D−α
x
[∫ ∞
−∞f(ξ) exp{−2πixξ}dξ
]
=
∫ ∞
−∞f(ξ)D−α
x [exp{−2πixξ}]dξ
=
∫ ∞
−∞f(ξ)(−2πiξ)−αE−2πixξ
−α dξ
= f−1α [f(ξ)(−2πiξ)−α].
Por lo tanto
D−αx [f(x)] = f−1
α [f(ξ)(−2πξi)−α]. (3.39)
Finalmente aplicamos a ambos lados de la identidad dada en la ecuacion (3.39) la formula
de la transformada fraccionaria generalizada de orden α y obtenemos que:∫ ∞
−∞D−α
x [f(x)]E2πixξα dx = f(ξ)(−iwx)−α. (3.40)
58
Por lo tanto hemos demostrado que la transformada fraccionaria de Fourier generalizada
de la derivada fraccionaria de orden −α, de la funcion f(x) con respecto a x es igual a
f(ξ)(−2πiξ)−α, que es la relacion que expresa la ecuacion (3.40) entre la derivada fraccionaria
y la transformada fraccionaria de Fourier generalizada. Ademas en la ecuacion (3.39), ten-
emos una forma de calcular la derivada fraccionaria de orden −α en el dominio frecuencia
ξ, vıa la inversa de la transformada generalizada de Fourier de la funcion f(ξ)(−2πiξ)−α.
Nota 8 La base teorica de esta transformada generalizada fraccionaria expresada en esta
seccion es adoptada del texto de Ozaktas (1996) y Bultheel, Martınez (2006) el esquema para
la obtencion de esta Bultheel, Martınez (2006) las propiedades del nucleo generalizado de la
transformada de Fourier es parte del aporte de este trabajo.
59
Conclusiones
Con la realizacion de este trabajo podemos concluir lo siguiente:
La funcion Gamma extiende el concepto de factorial a los numeros complejos, ya que
para Re (z) > 0, tenemos que: Γ(z) =∫∞0
e−ttz−1dt.
El calculo fraccionario es una rama del analisis matematico que estudia la posibilidad
y consecuencias de calcular derivadas e integrales de orden υ, donde Re(υ) > 0 para el
caso de la integral fraccionario y 0 <Re(υ) ≤ 1 en el caso de la derivada fraccionaria.
No existe un unico calculo fraccionario, sino varias definiciones con diferentes propiedades,
cada una de estas definiciones exige sus propias condiciones de las funciones que se apli-
ca. En nuestro caso, hemos aplicado las definiciones de Riemman-Lioville.
La derivada y la integral fraccionaria son operadores lineales. Por otro lado se utilizo la
ley de composicion interna de Oldham-Spanier para definir la existencia de la derivada
fraccionaria, en este mismo sentido podremos agregar que la existencia de la derivada
fraccionaria exige que la funcion sea continuamente diferenciable.
El nucleo de la transformada fraccionaria de Fourier se define a partir de la derivada
fraccionaria de la funcion exponencial y sobre ese nucleo fueron demostradas algunas
propiedades, las cuales se mencionaron en este trabajo.
La transformada clasica de Fourier es un caso particular de la transformada fraccionaria
generalizada de Fourier, ya que para α = 1, Eiwxα = eiwx
60
Anexos
3.14. Codigo en Mathlab de las graficas realizadas
3.14.1. Codigo de la derivadas fraccionarias
Codigo de la derivada de un monomio.
clear
clear all
u=0.5;
t=0:0.01:100;
b=0
tic
prod=(gamma(b+1)./gamma(b+1-u)).*t.^(b-u)
hold on
plot(t,prod);
hold off
pause(0.5)
toc
%Derivada de un monomio
clear
clear all %U representa la fraccion de la derivada
u=0.5;
61
% t es la variable
t=0:0.05:5;
% b representa el exponente
for b=-0.5:0.25:5
tic
prod=(gamma(b+1)./gamma(b+1-u)).*t.^(b-u)
hold on
plot(t,prod);
hold off
pause(0.1)
end toc
%Este codigo grafica la derivada fraccionaria de f(x)=(a-x)^{-1/2}
clear
clear all
%caso clasico
t=0:0.05:5;
% variamos la constante y la misma variable para obtener multiples
b=2:0.02:4;
% graficas en el mismo plano
for a=0.02:0.02:2
tic
% formula de la derivada fraccionaria de f(x)
prod=(sqrt(b./pi)).*(asin(sqrt((b.*t)./(a+b.*t)))+sqrt(a./(b.*t)))
hold on
plot(t,prod),
hold off
pause(0.5),end toc
62
3.14.2. Codigo de la integral fraccionarias
% Este codigo grafica la integral fraccionaria de f(x)=(a-x)^{-1/2}
clear
clear all
t=0:0.05:100; %variamos la constante a y la variable t para obtener
for a=100:1:140 %multiples graficas
tic
%formula de la integral fraccionaria de f(x)
prod=1./sqrt(pi).*log((sqrt(a)+sqrt(t))./(sqrt(a)-sqrt(t))) hold
on
plot(t,prod),
hold off
pause(0.5)
end
toc
% Este codigo grafica la integral fraccionaria de f(x)=ln(x)
clear
clear all
%t=1:0.0001:2;
%variamos la constante a y la variable t para obtener
for t=0.5:0.1:1000 %multiples graficas
tic
prod=(2.*sqrt(t)./sqrt(pi)).*(log(4.*t)-2); %se aplica la formula
de la integral fraccionaria
hold on
plot(t,prod)
hold off
end toc
63
% Este codigo grafica la integral fraccionaria de f(x)=[(a+bx)^{-1/2}]
clear
clear all
t=0:0.05:5; %variamos la constante y la variable para obtener
b=2:0.02:4; %multiples graficas
for a=0.02:0.02:2
tic
%se aplica la formula de su integral fraccionaria
prod=(2./sqrt(pi.*b)).*asin(sqrt((b.*t)./(a+b.*t)))
hold on
plot(t,prod),
hold off
pause(0.5)
end toc
% Nucleo de la transformada clasica, se grafican los dos casos
% exponencial positiva y negativa
t=[0:0.05:2];
w=[0:0.05:2];
y=exp(i*w.*t); %exponencial negativa
y1=exp(-i*w.*t); %exponencial positiva
subplot(2,1,1);
plot(imag(y))
subplot(2,1,2);
plot(imag(y1));
xlabel(’Conj. del nucleo de la transformada de
Fourier’),ylabel(’Amplitud’),
64
title(’Nucleo de la transformada de Fourier’)
hold off
3.14.3. Codigo del nucleo de la transformada clasica
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Este archivo calcula el nucleo generalizado el cual esta
definido como
%Sum_ k=0^n [(at)^(k-mui)]/[gamma(k+1-mui)]
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clear clear all
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Este caso es para visualizar el proceso asintotico del
nucleo alrededor de
%la exponecial clasica.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%a=1/2;
%a=0;
a=1;
%%Esto porque queremos que aparezca en la formula del
nucleo generalizado
%%la exponencial exp(i*w*t)
w=[0: 0.15325:2*pi];
%Caso general donde la comnstante es a=i*w
%a=i*w;
%El intervalo de variacion de la variable t
t=[0:0.05:2]; tic
65
disp(’Aproximacion decrece asintotica a la funcion
exponencial’)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Esta subrrutina calcula el nucleo de la exponecial
generalizada
%El mui representa la fraccion del angulo que debe ser
0<Re(mui)<=1
% for mui=-0.1:-0.1,
%for mui=0:-0.1:-0.8,
for mui=0:-0.1:-0.4,
prod=0;
sum=0;
gam=0;
%En esta parte simplemente calculamos (a.*t).^k,
donde a=i*w, ademas
%se calcula la sumatoria que esta involucrada en la
definicion del
%nucleo generalizado
%Esto viene dado por su sum=sum+w1./gam
for k=0:1000,
w1=(a.*t).^k;
gam=gamma(k+1-mui);
sum=sum+w1./gam;
end
%Revisar que para el caso t=0, el termino
(a.*t).^-(mui)=0 y por lo
%tanto prod=infinito o tiende a infinito
%Finalmente calculamos el nucleo generalizado
66
prod=(a.*t).^-(mui).*sum
hold on
subplot(2,1,1);
%plot(real(prod))
% figure(2),
plot(prod),
xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),
%title(’Funcion exponencial generalizada’)
hold off
pause(0.1)
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Case {’Crecimiento’, ’Asintotico’}
% disp(’Aproximacion crece asintotica a la funcion
exponencial’)
%Esto representa la fraccion del angulo alfa para la
derivada fracionaria
%for mui=0.1:0.1,
%for mui=0:0.1:0.8,
for mui=0:0.1:0.4,
prod=0;
sum=0;
gam=0;
for k=0:1000,
w1=(a.*t).^k;
gam=gamma(k+1-mui);
67
sum=sum+w1./gam;
end
prod=(a.*t).^-(mui).*sum;
hold on
subplot(2,1,2);
%plot(real(prod))
plot(prod)
xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),
%title(’Funcion exponencial generalizada’)
hold off
pause(0.1)
end toc
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
3.14.4. Codigo del nucleo de generalizado de la transformada
clear
clear all
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%Este caso es para visualizar el proceso asintotico del nucleo
alrededor de
%la exponecial clasica.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%a=1/2;
%a=0;
%a=1;
68
%%Esto porque queremos que aparezca en la formula del nucleo
generalizado
%%la exponencial exp(i*w*t)
%w=[0: 0.15325:2*pi];
%Caso general donde la comnstante es a=i*w
%a=i*w;
%El intervalo de variacion de la variable t
%t=[0:0.05:2];
N=15; t=(-N:N)/N*5; w=(-N:N)/N*5; [T,W]=meshgrid(t,w);
%[T,W]=meshgrid(0: 0.15325:2*pi);
l2=length(T) a=i*W; tic
disp(’Aproximacion decrece asintotica a la funcion
exponencial’)
%El mui representa la fraccion del angulo que debe ser
0<Re(mui)<=1
%for mui=-0.00001:-0.00001,
%for mui=-0.001:-0.001:-0.004,
for mui=0:-0.1:-0.8,
prod=0;
sum=0;
gam=0;
%En esta parte simplemente calculamos (a.*t).^k, donde
a=i*w, ademas
%se calcula la sumatoria que esta involucrada en la
definicion del nucleo
%generalizado
69
%Esto viene dado por su sum=sum+w1./gam
for k=0:0.001:0.5,
%w1=(a.*t).^k;
w1=(a*T).^k;
gam=gamma(k+1-mui);
sum=sum+w1./gam;
end
%Revisar que para el caso t=0, el termino (a.*t).^-(mui)=0
y por lo
%tanto prod=infinito o tiende a infinito
%Finalmente calculamos el nucleo generalizado
%prod=(a.*t).^-(mui).*sum;
prod=(a*T).^-(mui).*sum;
l4=length(prod)
hold on
figure(1),
subplot(2,1,1); mesh(T,W,real(prod)),
%view(-24,62), xlabel(’x’), ylabel(’\xi’),
title([’parte real, a = ’,num2str(a)])
subplot(2,1,2); mesh(T,W,imag(prod)),
%view(-24,62), xlabel(’x’), ylabel(’\xi’),
title([’parte imag, a = ’,num2str(a)])
view(3)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%subplot(2,1,1);
%plot(t,prod),
%xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),
%title(’Funcion exponencial generalizada’)
70
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
hold off
%figure(2),
pause(1.1)
end
%Case {’Crecimiento’, ’Asintotico’}
% disp(’Aproximacion crece asintotica a la funcion exponencial’)
%for mui=0.3:0.3,
for mui=0:0.1:0.8,
prod=0;
sum=0;
gam=0;
for k=0:0.001:0.5,
%w1=(a.*t).^k;
w1=(a.*T).^k;
gam=gamma(k+1-mui);
sum=sum+w1./gam
end
%prod=(a.*t).^-(mui).*sum
prod=(a.*T).^-(mui).*sum;
71
hold on
figure(2),
subplot(2,1,1); mesh(T,W,real(prod)),
%view(-24,62), xlabel(’x’), ylabel(’\xi’),
title([’parte real, a = ’,num2str(a)])
subplot(2,1,2); mesh(T,W,imag(prod)),
%view(-24,62), xlabel(’x’), ylabel(’\xi’),
title([’parte imag, a = ’,num2str(a)])
view(3)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%subplot(2,1,2);
%plot(t,prod),
%xlabel(’Dominio tiempo’),ylabel(’Amplitud’),
%title(’Funcion exponencial generalizada’)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
hold off
%figure(2),
pause(0.1)
end toc
72
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