UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

Ingeniera Civil ASIGNATURA: Clculo III

Ingeniera civilDocente: Gamboa Ferrer LEYDIDIANCurso:Calculo IIITema :Teorema de Integrales de Lnea: Teorema de Green.Integrantes: ARANA ASTOPILCO, Jean Pierre CERDAN RONCAL, LORENAGutirrez Gonzales CynthiaVASQUEZ RONCAL, FRANK 2015- I

NDICEI. INTRODUCCION. 1II. JUSTIFICACION....2III. OBJETIVOS3

A. OBJETIVO GENERALEB. OBJETIVO ESPECIFICO

IV. MARCO TEORICO4V. PROBLEMAS RESUELTOS ...15VI. PROBLEMAS PROPUESTOS.21

I. Introduccin

El teorema de Green establece la relacin entre una integral de lnea alrededor de una curva cerrada y simple, y una integral doble sobre la regin D limitada al plano C.El teorema de Green se llama as por el cientfico britnico George Green y es un caso especial del ms general Teorema de Stokes.Este tipo de teoremas resulta muy til ya que dados un campo vectorial y una curva cerrada simple sobre cual hay que integrarlo, podemos elegir la posibilidad mas simple entre poder integrar el campo directamente sobre la curva o bien integrar la diferencia de sus derivadas parciales cruzadas sobre el recinto que este delimitando la curva.Por otra parte, la relacin as establecida entre la integral de la lnea sobre una curva y la integral doble sobre la regin interior a sta, permite a veces obtener informacin sobre una funcin o su integral en un espacio a partir del comportamiento de esta funcin sobre la frontera de dicho recinto.

II. OBJETIVOS

OBJETIVO GENERAL

Investigar cuales son los diferentes casos del teorema, para saber identificarlos y utilizarlos como herramienta para resolver los diferentes ejercicios.

OBJETIVOS ESPECFICOS Detallar cuales son mtodos de aplicacin del teorema de Green. Utilizar los mtodos de resolucin de Green para aplicar a los diferentes ejercicios que se proponga durante las clases. Definir los conceptos de los diferentes casos.

III. MARCO TERICO

Integrales de LneaEste teorema es uno de los ms utilizados en anlisis matemtico, ya que permite cambiar las integrales para su mejor resolucin. Cabe remarcar que es de suma importancia que la curva sea cerrada, si esto no sucede, no es posible aplicar el teorema de Green.

Una integral puede ser evaluada en un intervalo [a,b], como una integral simple:

Tambin puede ser evaluada una integral doble sobre una regin:

Esta integral se evala como integral definida, cuyos extremos dependen de la regin considerada. Vamos a definir una integral que es similar a la integral simple excepto que, en lugar de integrar sobre un intervalo [a, b], o sobre una regin, integramos sobre una curva C. Una integral de lnea es aquella integral cuya funcin es evaluada sobre una curva.Integral de lnea de campos vectorialesClculo de trabajo:Para nuestro estudio, vamos a considerar la integral de lnea de campos vectoriales, y una de sus aplicaciones, que es el clculo de trabajo. Primero vamos a definir la integral de lnea para un campo vectorial en R2, y luego se generalizar para R3.Supngase que F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j, representa un campo de fuerzas en R2 (en R3 este campo podra ser el campo gravitacional, o un campo electromagntico), y sea C una curva suave definida por : r(t) = x(t)i +y(t)j para a t b.Queremos calcular el trabajo que realiza el campo F, para mover un objeto sobre la curva C, desde un punto a, hasta un punto b.Vamos a dividir la curva c en pequeos segmentos, quedando determinados n subintervalos.Dentro del subintervalo [ tk ; tk+1 ] escogemos un punto interior ck (o punto muestra)

Figura 1:

Sobre la curva, el punto Pk es el extremo del vector posicin y Pk+1 es el extremo del vector posicin .

es la longitud del segmento de curva Pk Pk+1

Rrecordemos que el trabajo est dado por W= Fd si la fuerza est dirigida a lo largo de la lnea de movimiento del objeto. Si la fuerza es un vector que apunta en alguna otra direccin debemos considerar W = F. D siendo D el vector desplazamiento.El trabajo se define como el producto de la componente de la fuerza en la direccin de D, por la distancia recorrida.

W = Figura 2:Fk es el vector de campo correspondiente a un tiempo t = ckTk es el vector tangente unitario a la curva en el punto ck.El producto escalar Fk . Tk nos da la componente del vector de campo en la direccin del vector tangente en el punto t = ck.t = at = b

El trabajo realizado por F para mover un objeto a lo largo del segmento de curva Pk Pk+1es: Wk = Fk . Tk skEl trabajo realizado a lo largo de la curva (desde a hasta b ) es aproximadamente:

W Si consideramos un nmero mayor de segmentos en la particin, obtendremos una mejor aproximacin. Si el nmero de segmentos tiende a infinito o la norma de la particin (longitud de sk) tiende a cero, las sumas se aproximan a la integral de lnea, el trabajo es:

W = integral de lnea sobre la curva c Forma de clculo:a) Forma vectorial:La integral de lnea, la resolvemos como una integral definida. Para ello debemos parametrizar la curva c, para poder determinar los extremos de integracin.En el integrando tenemos un producto escalar donde F(x,y) = M(x,y) i+ N(x,y)j y el vector tangente unitario sabemos que es: T = r(t) / r(t) , en funcin vectorial vimos tambin que:r(t) = v(t) , r(t) = v(t) (rapidez) como ds es un escalar, ds = v(t) dt, en trminos del vector posicin: ds = r(t) dtA las componentes del vector de campo las ponemos en funcin del parmetro t, es decir:x = x(t) e y = y(t) con lo que F es ahora F( rt )

Reemplazando: F T ds = donde r(t) dt = drPara a t b nos queda:

Forma vectorial de la integral de lnea

Ejemplo:Calcular el trabajo que realiza el campo F(x,y) = x2 i + xy j para mover una partcula desde el punto ( 0,0) al punto (1,1) sobre la curva c dada por r(t) = ti + t2jDel vector posicin, obtenemos x e y en funcin de t:si r(t) = ti + t2j tenemos que: x(t) = t e y(t) = t2 reemplazando en F(x,y) nos queda:F(x,y) = t2 i + t t2 j = t2i + t3jCalculamos r(t) = i +2tjReemplazamos en la integral:

Podemos cambiar la parametrizacin de la curva c, y el valor de la integral de lnea no cambia. No ocurre lo mismo si consideramos otra curva que una los puntos (0,0) y (1,1)Ejemplo: Si observamos la curva c, y = x2 dado que x = t e y = t2.Si queremos hacer x = t si mantenemos la relacin anterior sera r(t) = t i + t jLa curva que une los puntos sigue siendo y = x2.

Para esta nueva parametrizacin: F(x,y) = ti + t3/2j ; r(t) =

Para otra curva que una los mismos puntos el valor de la integral cambia.Si unimos los puntos (0,0) y (1,1) con la curva dada por r(t) = ti + tj, y resolvemos el ejemplo anterior, se puede comprobar que el valor de la integral de lea cambia y es I = 2/3b) Forma diferencial:Otra forma de resolver la integral de lnea es expresando el integrando en trminos de las variables x e y.Hemos visto en funcin vectorial que r(t) = x(t)i + y(t)j, multiplicamos miembro a miembro por dt:r(t) dt = x(t) dt i + y(t) dt j en forma diferencial nos queda: dr = dx i + dy j si reemplazamos en la integral:

Forma diferencial de la integral

Teorema fundamental de la integral de lneaSea c una curva suave a trozos situada en una regin abierta R dada por:r(t) = x(t)i + y(t)j para a t bSi F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j es conservativo en R y las funciones M y N tienen derivadas continuas en dicha regin, entonces:

siendo f la funcin potencial.

Demostracin:Como el campo vectorial es conservativo, se cumple F(x,y) = f(x,y) si reemplazamos en la integral:

Vamos a trabajar con el integrando de la ltima integral.

f r(t) = =

En el enunciado se pide que M y N tengan derivadas continuas, esto nos asegura que la funcin f es diferenciable, por la regla de la cadena podemos escribir el producto anterior como:

f r(t) = en la integral nos queda:

Independencia de la trayectoria:Como vemos en el teorema fundamental, si el campo es conservativo, el valor de la integral, solo depende del punto inicial y punto final de la curva c.Si c1 y c2 son curvas en la regin que tienen el mismo origen y el mismo extremo entonces:

Las integrales de lneas de campos conservativos son independientes de la trayectoria.

Una curva que tiene el mismo punto inicial que final, es una curva cerrada. Por el teorema fundamental, podemos concluir que si F es continuo en una regin R, y conservativo, entonces la integral de lnea sobre una curva cerrada es nula. Condiciones equivalentes:Las siguientes condiciones, nos permiten definir un campo vectorial conservativo sobre una regin abierta simplemente conexa R: F = f es independiente de la trayectoria. para toda curva cerrada c en R

TEOREMA DE GREENSea D una regin simplemente conexa con frontera c suave a trozos orientada en sentido contrario al avance de la agujas del reloj. Si M, N, y sus derivadas son continuas en una regin abierta que contenga a R, entonces:

Demostracin:Vamos a demostrar el teorema en dos partes, teniendo en cuenta las propiedades de la integral de lnea y las de la integral doble.1 Parte:

Demostramos que: Sea D la regin: D= { (x,y) / a x b, g1(x) y g2(x) }La curva C = C1 + C 2+ C 3 + C4

Por lo tanto la integral de lnea cerrada, la podemos descomponer en la suma de 4 integrales abiertas. Sobre C1: y = g1(x) M(x,y) = M( x,g1(x)) y a x b C2: x = b por lo tanto dx = 0 C3: y = g2(x) M(x,y) = M( x,g2(x)) y b x a C4: x = a por lo tanto dx = 0

1En la integral doble consideramos la regin como y- simple:

2

Comparando 1 con 2 tenemos: 2 Parte:

Demostramos que: Sea D la regin: D= { (x,y) / h1(y) x h2(y), c y d }La curva C = C1 + C 2+ C 3 + C4Ahora: sobre C1 y = c por lo tanto dy = 0C2 x = h2(y) N(x,y) = N( g2(y),y) para c y dC3 y = d por lo tanto dy = 0C4 x = h1(y) N(x,y) = N(g1(y), y) para d y c

3En la integral doble consideramos la regin como x- simple:

4

Comparando 3 con 4 vemos que se verifica la igualdad, y queda demostrado el teorema.

Demostracin de la condicin suficiente de campo conservativo en R2:

Ahora demostramos que si es conservativo

Si se cumple la condicin, en el teorema tenemos: hemos visto que la integral sobre una curva cerrada, si el campo es conservativo es nula, por lo tanto si las derivadas son iguales F es conservativo. Aplicaciones:1. El teorema de Green, nos permite calcular el trabajo como una integral doble, esto se utiliza cuando es mas sencillo expresar la regin que encierra la curva C, como una regin x simple o y simple en lugar de descomponer la curva C en suma de curvas suaves.2. Otra aplicacin es el clculo de rea de una regin como integral de lnea. Esto ltimo se utiliza cuando la regin es mas sencilla trabajarla con su contorno, que como x- simple o y- simple.Para esta aplicacin, el integrando de la integral doble, deber cumplir la condicin:

Reemplazando en el teorema:

Podemos considerar que y para ello deber ser: N= 1/2x y M = -1/2 y

Reemplazamos en la integral de lnea:

Problemas resueltos

Problemas aplicados

Problemas propuestos) Determinacin de un rea mediante una integral de lnea. Determine el rea de la regin limitada por la hipocicloide que tiene la ecuacin vectorial yx11-1-1

r(t) = cos3t i + sen3t j , 0 t 2

) Limitaciones en la aplicacin del Teorema de Green. Dado

F(x;y)= (P;Q) = (-y i + x j) / (x2 + y2)

a) Calcular su integral de lnea sobre el crculo x2 + y2 = 1

b) Calcular , donde D es la regin encerrada por la curva del punto a).c) Discutir si estos resultados estn de acuerdo o no con el Teorema de Green.

) Aplicacin del teorema de Green a un problema fsico sobre una regin con agujeros. Determinar el momento de inercia de una arandela homognea de radio interno a, radio externo b y masa M, respecto a uno de sus dimetros. yxabC2C1

) Utilice el Teorema de Green para calcular la integral , donde C es la frontera de la regin situada en el interior del rectngulo limitado por y Teorema de Integrales de Lnea: Teorema de Green20