calculo 1 - limites

ENGENHARIA FUNEDI-UEMG CÁLCULO I – LIMITES Prof. Luiz Elpídio M. Machado

LIMITES

1 – Introdução

O limite permite estudar o comportamento funcional de valores próximo a um número qualquer do domínio e para

valores muito grandes ou muito pequenos da variável.

Exemplo

Ex.-1 Determine o valor do limite 11

2

1lim -

-

®xx

x

.

Quando x tende a um pela direita, ou seja, para

+®1x

x

11

2

--

xx

2 3 1,5 2,5 1,1 2,1 1,01 2,01 1,001 2,001

211

2

1lim =

--

+®

xx

x

Para 2=x , 31

141212

2

=-

=--

.

Para 5,1=x ,

5,25,0

25,15,0

125,215,115,1

2

==-

=--

.

Para 1,1=x ,

1,21,021,0

1,0121,1

11,111,1

2

==-

=--

.

Para 01,1=x ,

01,201,0

0201,001,0

10201,1101,1101,1

2

==-

=--

.

Para 001,1=x

001,2001,0

002001,0001,0

1002001,11001,11001,1

2

==-

=--

.

Quando x tende a zero pela esquerda, ou seja,

para -

®1x

x

11

2

--

xx

0 1 0,5 1,5 0,9 1,9 0,99 1,99 0,999 1,999

211

2

1lim =

--

-®

xx

x

Para 0=x , 111

110

1010

2

=--

=--

=--

.

Para 5,0=x ,

5,15,075,0

5,0125,0

15,015,0

2

=--

=-

-=

--

.

Para 9,0=x ,

9,11,0

19,01,0

181,019,019,0

2

=--

=-

-=

--

.

Para 99,0=x ,

99,101,0

0199,001,0

19801,0199,0199,0

2

=--

=-

-=

--

.

Para 999,0=x ,

999,1001,0

001999,0001,0

1998001,01999,01999,0

2

=-

-=

--

=--

.

1

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Ex.-2 Determine o valor do limite ( )

xxsen

xlim

0®

.

Quando x tende a zero pela direita, ou seja, para

+® 0x

x ( )xxsen

1 0,841470984 0,1 0,998334166 0,01 0,999983333 0,001 0,999999833 0,0001 0,999999998

( )1lim

0

=+

®x

xsen

x

Quando x tende a zero pela esquerda, ou seja,

para -

® 0x

x ( )xxsen

-1 0,841470984 -0,1 0,998334166 -0,01 0,999983333 -0,001 0,999999833 -0,0001 0,999999998

( )1lim

0

=-

®x

xsen

x

Ex.-3 Determine o valor do limite ( )x

x

xlim0+®

.

x xx

1 1 0,1 0,794328234 0,01 0,954992586 0,001 0,993116048 0,0001 0,99907939 0,00001 0,999884877

( ) 1lim0

=+

®

x

x

x

Ex.-4 Determine se a afirmativa é verdadeira ex

x

x

=÷øö

çèæ +

+¥®

11lim , ou seja, se o limite tende para o valor dado.

x x

x÷øö

çèæ +

11

1 2 10 2,59374246

100 2,704813829 1000 2,716923932

10000 2,718145927 100000 2,718268237

1000000 2,718280469 O valor de e é aproximadamente 67182818284,2 , o limite está tendendo a este valor, logo a afirmativa é

verdadeira.

Exercício

Determine o valor do limite:

E-1. ( )

xx

x

cos1lim

0

-

®

E-2. ( ) x

x

x 1

0

1lim +®

2



E-3. ( )x

x

elim0®

E-4. ( )x

x

elim+¥®

E-5. ( )( )xx

lnlim0+®

E-6. ( )( )xx

lnlim+¥®

Exemplo

Verifique se o limite tende para o valor indicado

Ex.-5 ??????????????

Exercício

Verifique se o limite tende para o valor indicado:

E-7. ex

n

xn

=÷ø

öçè

æå=+¥® 0 !

1lim

E-8. 2

0 !2

lim ex

n

x

x

n

=÷÷ø

öççè

æå=+¥®

E-9. ( ) ( )2ln

1

1

1

lim =÷÷ø

öççè

æ -å=

-

+¥®

n

x

x

n x

E-10. ( )

4121

0lim

p=÷÷

ø

öççè

æ

+-å

=+¥®

n

x

x

n x

Resposta

R - 1 0

R - 2 e

R - 3 1

R - 4 ¥+

R - 5 ¥-

R - 6 ¥+

R - 7 Sim

R - 8 Sim

R - 9 Sim

R - 10 Sim

2 – Limites no Infinito

Definição – 2

Se f for uma função que está definida em um intervalo ] [¥+,a . O limite de f quando x cresce indefinidamente

é L , escrito ( ) Lf xx

=¥+®

lim se para todo 0>e , não importa quão pequeno, existir um número 0>N tal que se

Nx > então ( ) e<- Lf x .

Definição – 3

Se f for uma função que está definida em um intervalo ] [a,¥- . O limite de f quando x decresce

indefinidamente é L , notado por ( ) Lf xx

=¥-®

lim se para todo 0>e , não importa quão pequeno, existir um

número 0<N tal que se Nx < então ( ) e<- Lf x .

Teorema – 1

Se n for um número inteiro positivo qualquer, então:

(i) ( ) +¥=¥+®

n

x

xlim

3



(ii). ( )îíì

¥-¥+

=¥-®

imparfornse

parfornsex

n

x,

,lim

(iii) 01lim =

¥+®n

r r

(iv) 01lim =

¥-®n

r r

(iii) +¥=+

®

n

rr

1lim0

(iv) îíì

¥-¥+

=-

®imparfornse

parfornse

rn

r,

,1lim0

Definição – 4

A reta Ly = é denotada uma assíntota horizontal do gráfico da função f se pelo menos uma das seguintes

afirmativas for válida:

(i) ( ) Lf xx

=¥+®

lim e para um número N , se Nx > , então ( ) Lf x ¹ ;

(Ii) ( ) Lf xx

=¥-®

lim e para um número N , se Nx < , então ( ) Lf x ¹ .

Exemplo

Ache o limite:

Ex.-6 525

2

4lim -

-

®x

x

x

Ex.-7 525

2

6lim -

-

®x

x

x

Ex.-8 525

2

5lim -

-

®x

x

x

Ex.-9 6

1892

5lim -

+-

®x

xx

x

Ex.-10 6

1892

6lim -

+-

®x

xx

x

Ex.-11 6

1892

3lim -

+-

®x

xx

x

Ex.-12 2

652

2

2lim --

+-

® xx

xx

x

Ex.-13 6

6lim6 -

-

® x

x

x

Exercícios

Ache o limite:

E-11. 3

92

3lim -

-

® x

x

x

E-12. 49

72

7lim -

-

® x

x

x

E-13. 107

862

2

2lim ++

++

-® xx

xx

x

E-14. 5252

5lim -

-

® xx

x

E-15. 36

62

6lim -

-

® x

x

x

E-16. 4162

4lim -

-

® xx

x

E-17. 25

52

5lim -

-

® x

x

x

E-18. 128

1072

2

2lim +-

+-

® xx

xx

x

E-19. 9

32

3lim -

-

® x

x

x

4



E-20. 7492

7lim -

-

® xx

x

E-21. 1811

16102

2

2lim ++

++

-® xx

xx

x

E-22. 242

2lim -

-

® xx

x

E-23. 648

28

lim --

® xx

x

E-24. 86

652

2

2lim ++

++

-® xx

xx

x

E-25. 8642

8lim -

-

® xx

x

E-26. 4

22

2lim -

-

® x

x

x

E-27. 2012

18112

2

2lim ++

++

-® xx

xx

x

E-28. 9812

9lim -

-

® xx

x

E-29. 112

1lim -

-

® xx

x

E-30. 22132012

2

2

2lim ++

++

-® xxxx

x

E-31. 5

5lim

5 --

® xx

x

E-32. 11

11lim

11 --

® xx

x

E-33. 7

7lim

7 --

® xx

x

E-34. 17

17lim

17 --

® xx

x

E-35. 3

3lim

3 --

® xx

x

E-36. 19

19lim

19 --

® xx

x

E-37. 23

23lim

23 --

® xx

x

E-38. 2512

lim -+

¥+® tt

t

E-39. 13426

lim +-

¥-® xx

x

E-40. x

x

x 5472

lim -+

¥-®

E-41. xx

x 3251

lim -+

¥+®

E-42. 583

1272

2

lim +++-

¥+® xx

xx

x

E-43. 12

342

2

lim -+

¥-® s

s

s

E-44. 53

42lim -+

¥+® x

x

x

E-45. 3

2 5lim x

x

x

+

¥+®

E-46. 132 2

lim +-

¥+® yyy

y

E-47. 1752

3

2

lim +++-

¥+® xxxx

x

E-48. 28

5243

24

lim ++-+

¥-® xx

xx

x

E-49. 12

2734

24

lim ++-

¥+® x

xx

x

E-50. 3542 3

lim +-

¥+® yy

y

E-51. 14

71252

3

lim -+-

¥-® x

xx

x

E-52. ÷øö

çèæ +

¥-®2

13lim xx

x

E-53. ÷øö

çèæ -

¥+®

ttt

422lim

E-54. 1

562

3lim +

++

-® xxx

x

E-55. 1

562

1lim +

++

-® xxx

x

E-56. 6678 4

lim --

¥+® xx

x

E-57. 3

1582

7lim -

+-

® xxx

x

E-58. 3

1582

3lim -

+-

® xxx

x

E-59. 1

232

2lim -

+-

-® xxx

x

E-60. 1

232

1lim -

+-

® xxx

x

E-61. 6

1892

4lim +

++

-® xxx

x

E-62. 6

1892

6lim +

++

-® xxx

x

E-63. 66

782

4

lim --

¥-® x

x

x

E-64. 1

67²lim

0 -+-

® xxx

x

E-65. 1

67²lim

1 -+-

® x

xx

x

E-66. 6³678 4

lim --

+¥® xx

x

E-67. 6

1282

8lim -

+-

® xxx

x

E-68. 6

1282

6lim -

+-

® xxx

x

E-69. 3258 2

lim +-

¥+® xx

x

E-70. 7

782

9lim +

++

-® xxx

x

E-71. 7

782

7lim +

++

-® xxx

x

5



E-72. 31356

lim +-

+¥® xx

x

E-73. 1

10178 23

3lim -

-+-

® xxxx

x

E-74. 1

10178 23

1lim -

-+-

® xxxx

x

E-75. 1

452

1lim +

++

® xxx

x

E-76. 1

452

1lim +

++

® xxx

x

E-77. 34

4

62

6lim xx

xx

x +-

¥+®

E-78. 8

32122

9lim -

+-

® xxx

x

E-79. 8

32122

8lim -

+-

® xxx

x

E-80. 522

2382

3

lim -++-

-¥® xx

xx

x

E-81. 1

78²lim

3 -+-

® xxx

x

E-82. 1

78²lim

1 -+-

® xxx

x

E-83. xx

xx

x 624

734

34

lim --

+¥®

E-84. 8

16102

2lim -

+-

® xxx

x

E-85. 8

16102

8lim -

+-

® xxx

x

E-86. 572

2382

3

lim -++-

¥® xx

xx

x

E-87. 1

12198 23

2lim -

-+-

® xxxx

x

E-88. 1

12198 23

1lim -

-+-

® xxxx

x

E-89. 3

1 )1(6

lim --

® xx

x

E-90. 3

6116 23

3lim +

+++

® xxxx

x

E-91. 3

6116 23

3lim +

+++

-® xxxx

x

E-92. 5

10178 23

2lim +

+++

® xxxx

x

E-93. 5

10178 23

5lim +

+++

-® xxxx

x

E-94. 4

2 )2(

3lim -® x

x

x

E-95. 2

10178 23

4lim -

-+-

® xxxx

x

E-96. 2

10178 23

2lim -

---

® xxxx

x

E-97. 4

1 )1(6

lim -® xx

x

E-98.

E-99.

E-100.

E-101.

E-102.

E-103.

E-104.

Resposta

R - 11 3

92

3lim -

-

® x

x

x

( )( ) ( )

63

9

63333

33

3

3

3

9

mindet00

33

93

39

2

3

33

22

3

2

3

2

3

2

3

lim

limlimlimlim

limlim

=--

=+=+=--+

=--

=--

=--

=--

®

®®®®

®®

x

x

xx

xx

x

x

x

x

MatemáticaaçãoerInxx

x

xxxx

xx

R - 12 49

72

7lim -

-

® x

x

x

6



( )( )

141

49

7

141

771

71

77

7

7

7

49

7

mindet00

4949

77

497

77

49

7

27

7722

72

7

227

lim

limlimlimlim

lim

=--

=+

=+

=+-

-=

--

=--

=--

=--

=--

®

®®®®

®

x

x

xxx

x

x

x

x

x

MatemáticaaçãoerInx

x

x

xxxx

x

R - 13 =++++

-® 10786

2

2

2lim xx

xx

x

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

32

107

86

32

5242

54

5242

107

86

mindet00

14141212

10272

8262

107

86

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

lim

limlimlim

lim

=++++

=+-+-

=++

=++++

=++++

=--

=+-+-+-+-

=++++

-®

-®-®-®

-®

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx


xx

x

xxx

x

R - 14 5252

5lim -

-

® xx

x

( )( ) ( )

10525

105555

55

5

5

5

25

mindet00

02525

55

255

525

2

5

55

22

5

2

5

22

5

lim

limlimlimlim

lim

=--

=+=+=-

-+=

--

=--

=-

=--

=--

®

®®®®

®

xx

xx

xx

x

x

x

x


x

x

xxxx

x

R - 15 36

62

6lim -

-

® x

x

x

( )( )

121

36

6

121

661

61

66

6

6

6

36

6

mindet00

36360

366

66

36

6

26

6622

62

6

226

lim

limlimlimlim

lim

=--

=+

=+

=-+

-=

--

=--

=-

=--

=--

®

®®®®

®

x

x

xxx

x

x

x

x

x

MatemáticaçaõerInx

x

x

xxxx

x

R - 16 4162

4lim -

-

® xx

x

7



( )

8416

84444

)4)(4(44

416

mindet00

44164

416

2

4

44

22

4

2

4

22

4

lim

limlimlimlim

lim

=--

=+=+=-

+-=

--

=--

=--

=--

®

®®®®

®

xx

xx

xxx

xx

x


x

x

xxxx

x

R - 17 255

25

lim --

® xx

x

101

25

5

101

551

51

)5)(5(5

5

5

25

5

mindet00

255

55

25

5

25

5522

52

5

25

25

lim

limlimlimlim

limlim

=--

=+

=+

=+-

-=

--

=--

=--

=--

®

®®®®

®®

x

x

xxxx

x

x

x

x


x

x

xxxx

xx

R - 18 128

1072

2

2lim +-

+-

® xx

xx

x

43

128

107

43

43

6252

65

)6)(2()5)(2(

128

107

mindet00

122.82

102.72

128

107

2

2

2

222

2

2

2

2

22

2

2

lim

limlimlim

limlim

=+-+-

=--

=--

=--

=----

=+-+-

=+-+-

=+-+-

®

®®®

®®

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx


xx

x

xxx

xx

R - 19 9

32

3lim -

-

® x

x

x

61

93

61

331

31

)3).(3(3

3

3

9

3

mindet00

93

33

9

3

23

3322

32

3

223

lim

limlimlimlim

lim

=--

=+

=+

=+-

-=

--

=--

=--

=--

®

®®®®

®

xx

xxxx

x

x

x

x


x

x

xxxx

x

R - 20 7492

7lim -

-

® xx

x

8



( )

14749

147777

)7).(7(77

749

.det00

04949

77497

749

2

7

77

22

7

2

7

22

7

lim

limlimlimlim

lim

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=+=+=-

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--

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=-

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=--

®

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®

xx

xx

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xx

x

MatemáticainaçãoermInx

x

x

xxxx

x

R - 21 1811

16102

2

2lim ++

++

-® xx

xx

x

76

1811

1610

76

9282

98

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1811

1610

mindet00

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16)2.(10)2(

1811

1610

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

lim

limlimlim

lim

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xx

xx

xx

xxxx

xx

xx


xx

x

xxx

x

R - 22 242

2lim -

-

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x

( ) ( ) ( )

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2222

24

mindet00

2244

2242

24

2

2

22

22

2

2

2

22

2

lim

limlimlimlim

lim

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=+=+=-

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--

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®

®®®®

®

xx

xx

xxx

xxx

MatemáticaçãoerInxx

x

xxxx

x

R - 23 64

82

8lim -

-

® x

x

x

( ) ( ) 161

881

81

888

8

8

64

8

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646488

648

88

64

8

limlimlimlim

lim

8822

82

8

228

=+

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-=

--

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=--

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®®®®

®

xxxx

x

x

x

x

MatemáticaerninaçãoInx

x

xxxx

x

161

64

82

8lim =

--

® x

x

x

R - 24 86

652

2

2lim ++

++

-® xx

xx

x

9



( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

21

86

65

21

4232

43

4.23.2

86

65

mindet00

81246104

82.62

6252

86

65

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

lim

limlimlim

lim

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=++++

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-®

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx


xx

x

xxx

x

R - 25 8642

8lim -

-

® xx

x

( )

( )( ) ( )

16864

168888

8888

864

mindet00

886464

88648

864

2

8

88

22

8

2

8

22

8

lim

limlimlimlim

lim

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=+=+=-

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--

=--

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=--

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®

®®®®

®

xx

xx

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xx

x


x

x

xxxx

x

R - 26 4

22

2lim -

-

® xx

x

( )( )

41

4

2

41

221

21

222

2

2

4

2

mindet00

4422

42

22

4

2

22

2222

22

2

222

lim

limlimlimlim

lim

=--

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--

=--

=--

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®

®®®®

®

x

x

xxxx

x

x

x

x


x

x

xxxx

x

R - 27 2012

18112

2

2lim ++

++

-® xx

xx

x

( ) ( )( ) ( )

( )( )( )( )

( )( )

87

2012

1811

87

10292

109

10292

2012

1811

mindet00

2024418224

202122

182.112

2012

1811

2

2

2

222

2

2

2

2

2

2

2

lim

limlimlim

lim

=++++

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=++++

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-®

-®-®-®

-®

xx

xx

xx

xxxx

xx

xx


xx

x

xxx

x

R - 28 9812

9lim -

-

® xx

x

10



( )

( )( ) ( )

18981

189999

9999

981

mindet00

08181

99819

981

2

9

99

22

9

2

9

22

9

lim

limlimlimlim

lim

=--

=+=+=-

-+=

--

=--

=-

=--

=--

®

®®®®

®

xx

xx

xxx

xx

x


x

x

xxxx

x

R - 29 112

1lim -

-

® xx

x

( )

( )( ) ( )

211

21111

1111

mindet00

011

1111

11

2

1

11

2

1

22

1

lim

limlimlim

lim

=--

=+=+=-

-+=

--

=-

=--

=--

®

®®®

®

xx

xx

xxxx


x

xxx

x

R - 30 22132012

2

2

2lim ++

++

-® xxxx

x

( ) ( )( ) ( )

98

2213

2012

00

2226420244

222.132

202.122

2213

2012

2

2

2

2

2

2

2

2

lim

lim

=++++

=+-+-

=+-+-+-+-

=++++

-®

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xx

xx

xx

xx

x

x

R - 31 5

5lim

5 --

® xx

x

( ) ( ) ( )( )

105

52

15

5

105

52

1

55

1

5

15

5

55

5

5

55

5

mindet00

55

55

5

5

lim

limlim

limlimlim

limlim

5

55

522

55

55

ouxx

ouxx

x

xx

x

x

xxx


x

x

xx

xxx

xx

=--

=+

=+

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+-

-=

-

-=

--

=--

=--

®

®®

®®®

®®

R - 32 11

11lim

11 --

® xx

x

11



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2211

112

111

11

2211

112

1

1111

1

11

111

11

1111

11

11

11

11

1111

11

mindet00

11111111

1111

lim

limlim

limlimlimlim

lim

11

1111

1122

112

1111

11

ouxx

ouxx

x

xx

x

x

x

x

xxx


x

xx

xxxx

x

=--

=+

=+

=--

+--

=-

-=

-

-=

--

=--

=--

®

®®

®®®®

®

R - 33 7

7lim

7 --

® xx

x

( )

147

72

17

7

147

72

1

77

1

7

1

)7)(7(

7

7

77

7

mindet00

7777

77

lim

limlimlimlim

lim

7

772

77

7

ouxx

ouxxx

x

x

xxx


x

xxxx

x

=--

=+

=+

=+-

-=

-

-=

--

=--

=--

®

®®®®

®

R - 34 17

17lim

17 --

® xx

x

3417

172

117

17

3417

172

1

17

1

)17).(17(

1717

17

mindet00

17171717

1717

lim

limlimlim

lim

17

171717

17

ouxx

ouxxx

xxx


x

xxx

x

=--

=+

=+-

-=

--

=--

=--

®

®®®

®

R - 35 3

3lim

3 --

® xx

x

( ) ( )

63

32

13

3

63

32

1

33

1

3

1

33

33

3

mindet00

3333

33

lim

limlimlim

lim

3

333

3

ouxx

ouxxx

xxx


x

xxx

x

=--

=+

=+

=+×-

-=

--

=--

=--

®

®®®

®

R - 36 19

19lim

19 --

® xx

x

12



( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

3819

192

119

19

3819

192

1

1919

119

19

19

1

1919

19

19

1919

19

mindet01919

191919

19

lim

lim

limlimlimlim

lim

19

19

191922

1919

19

ouxx

ouxx

xxx

x

x

xxx


x

x

xxxx

x

=--

=+

=--

+=

-+-

=-

-=

--

=--

=--

®

®

®®®®

®

R - 37 23

23lim

23 --

® xx

x

4623

232

123

23

4623

232

1

2323

1

23

1

)23)(23(

2323

23

mindet00

23232323

2323

lim

limlimlim

lim

23

232323

23

ouxx

ouxxx

xxx


x

xxx

x

=--

=+

=+

=+-

-=

--

=--

=--

®

®®®

®

R - 38 52

R - 39 3

26

R - 40 52

-

R - 41 35

-

R - 42 37

R - 43 2

R - 44 0

R - 45 0

R - 46 ¥+

R - 47 0

R - 48 ¥-

R - 49 23

R - 50 ¥+

R - 51 ¥-

R - 52 ¥-

R - 53 ¥-

R - 54 1

562

3lim +

++

-® xxx

x

224

25189

1)3(5)3(63

156 22

3lim =

--

=-

+-=

+-+-+-

=+++

-® xxx

x

21

562

3lim =

+++

-® xxx

x

R - 55 1

562

1lim +

++=

-® xxx

x

00

115)1(61

156 22

1lim =

+-+-+-

=+++

-® xxx

x

13



( )( )( ) ( ) 4515

151

156 limlimlim

11

2

1

=+-=+=+++

==+++

-®-®-®

xx

xxx

xx

xxx

41

562

1lim =

+++

=-®

xxx

x

R - 56 6678 4

lim --

¥+® xx

x

+¥=--

+¥=+¥

====--

¥+®

¥+®¥+®¥+®¥+®

6678

3)(4

34

68

68

6678

4

33344

lim

limlimlimlim

xx

xxxx

xx

x

xxxx

R - 57 3

1582

7lim -

+-

® xxx

x

54

3158

54

108

10155649

3715787

3158

2

7

22

7

lim

lim=

++-

==+-

=+

+´-=

++-

®

®

xxx

xxx

x

x

R - 58 3

1582

3lim -

+-

® xxx

x

( )

23

158

2535)3(

)5()3(3

158

min00

3315249

3315383

3158

2

3

33

2

3

22

3

lim

limlimlim

lim

-=-+-

-=-=-=-

-´-=

-+-

=-+-

=-

+´-=

-+-

®

®®®

®

xxx

xx

xxx

xx

matemáticaaçãoindertex

xx

x

xxx

x

R - 59 1

232

2lim -

+-

-® xxx

x

( ) ( )4

312

3264

122232

123 2

2

2

2limlim -=

-=

-++

=--

+---=

-+-

-®-® xx xxx

41

232

2lim -=

-+-

-® xxx

x

R - 60 1

232

1lim -

+-

® xxx

x

14



( )( ) ( )

11

23

12121

1200

11231

1121.31

123

123

2

1

11

22

1

2

1

lim

limlim

lim

lim

-=-+-

-=-=-=-

--

=-+-

=-+-

=-+-

-+-

®

®®

®

®

xxx

xx

xxx

xx

xxx

x

xx

x

x

R - 61 6

1892

4lim +

++

-® xxx

x

( ) ( )

16

189

122

2183616

6418494

6189

2

4

22

4

lim

lim-=

+++

-=-

=+-

=+-

+-´+-=

+++

®

®

xxx

xxx

x

x

R - 62 6

1892

6lim +

++

-® xxx

x

( )

( )

36

189

33636

)6()3(6

189

00

0185436

6618)6(96

6189

2

6

66

2

6

22

6

lim

limlimlim

lim

-=+++

-=+-=+=+

+´+=

+++

Þ=+-

=+-

+-´+-=

+++

-®

-®-®-®

-®

xxx

xx

xxx

xx

AÇÃOINDETERMINx

xx

x

xxx

x

R - 63 66

782

4

lim --

¥-® x

x

x

( )

+¥=-

-

+¥=¥+´=÷øö

çèæ===

-

-

-¥®

-¥®-¥®-¥®-¥®

66

78

34

34

6

8

6

8

66

78

2

4

2

2

4

2

4

2

4

lim

limlimlimlim

x

x

xx

x

x

x

x

x

x

xxxx

R - 64 1

67²lim

0 -+-

® x

xx

x

61

67²

61

610

67(0)(0)²

167²

lim

lim

0

0

-=-+-

-=-

=-

+-=

-+-

®

®

x

xxx

xx

x

x

R - 65 1

67²lim

1 -+-

® x

xx

x

15



51

67²

561)6(1

)6()1(

1

67²

mindet 00

1177

1)1(6)1(7)²1(

167²

lim

limlimlim

lim

1

111

1

-=-+-

-=-=-=-

-´-=

-+-

=--

=-

+-=

-+-

®

®®®

®

x

xx

xx

xx

x

xx

Matemáticaaçãoerinx

xx

x

xxx

x

R - 66 6³678 4

lim --

+¥® xx

x

+¥=--

+¥=+¥´=÷øö

çèæ==

--

+¥®

+¥®+¥®+¥®

6³678

)(34

34

³68

6³678

4

44

lim

limlimlim

xx

xxx

xx

x

xxx

R - 67 6

1282

8lim -

+-

® xxx

x

( ) ( )

66

128

62

122

12646468

12888

6128

2

8

22

8

lim

lim

=-+-

==+-

=-

+-=

-+-

®

®

x

xx

xxx

x

x

R - 68 6

1282

6lim -

+-

® xxx

x

( ) ( )00

0124836

66

12686

6128 22

6lim =

+-=

-+-

=-+-

® xxx

x

Indeterminação matemática

( )( ) ( )

46

128

42626

626

128

2

6

66

2

6

lim

limlimlim

=-+-

=-=-=-

--=

-+-

®

®®®

xxx

xx

xxx

xx

x

xxx

R - 69 3258 2

lim +-

¥+® xx

x

( ) ( )

+¥=+-

+¥=¥+´===+-

¥+®

¥+®¥+®¥+®

3258

442

83258

2

22

lim

limlimlim

xx

xxx

xx

x

xxx

R - 70 7

782

9lim +

++

-® xxx

x

87

78

82

162

7728179

7)9(8)9(7

78

2

9

22

9

lim

lim

-=+

++

-=-

=-

+-=

+-+-+-

=+

++

-®

-®

xxx

xxx

x

x

16



R - 71 7

782

7lim +

++

-® xxx

x

00

075649

777)7(8)7(

778 22

7lim =

+-=

+-+-+-

=+

++

-® xxx

x


( )

67

78

61717

)1)(7(7

78

2

7

77

2

7

lim

limlimlim

-=+

++

-=+-=+=+

++=

+++

-®

-®-®-®

xxx

xx

xxx

xx

x

xxx

R - 72 31356

lim +-

+¥® xx

x

136

31356

136

136

31356

lim

limlimlim

=+-

==+-

+¥®

+¥®+¥®+¥®

xx

xx

xx

x

xxx

R - 73 1

10178 23

3lim -

-+-

® xxxx

x

21

10178

224

2788210517227

1310)3(17)3(8)3(

110178

23

3

2323

3

lim

lim

-=-

-+-

-=-

=+--+-

=-

-+-=

--+-

®

®

xxxx

xxxx

x

x

R - 74 1

10178 23

1lim -

-+-

® xxxx

x

00

0101781

1110)1(17)1(8)1(

110178 2323

1lim =

-+-=

--+-

=-

-+-

® xxxx

x


( )( ) ( )

41

10178

410711071

10711

10178

23

1

2

1

2

1

23

1

lim

limlimlim

=-

-+-

=+-=+-=-

+--=

--+-

®

®®®

xxxx

xxx

xxxx

xxx

x

xxx

R - 75 1

452

1lim +

++

® xxx

x

( ) ( )

51

45

52

102

45111

41511

45

2

1

22

1

lim

lim

=+++

==++

=+

++=

+++

®

®

xxx

xxx

x

x

R - 76 1

452

1lim +

++

® xxx

x

17



( ) ( )00

11451

114151

145 22

1lim =

+-+-

=+-

+-+-=

-+++

-® xxx

x


( )( ) ( )

31

45

34141

411

45

2

1

11

2

1

lim

limlimlim

=-+++

=+-=+=+++

=-+++

-®

-®-®-®

xxx

xx

xxx

xx

x

xxx

R - 77 34

4

62

6lim xx

xx

x +-

¥+®

362

6

3326

626

34

4

4

4

34

4

lim

limlimlim

=+-

===+-

¥+®

¥+®¥+®¥+®

xxxx

xx

xxxx

x

xxx

R - 78 8

32122

9lim -

+-

® xxx

x

58

3212

515

13210881

8932)9.(12)9(

83212

2

9

22

9

lim

lim

-=-+-

-=-

=+-

=-

+-=

-+-

®

®

xxx

xxx

x

x

R - 79 8

32122

8lim -

+-

® xxx

x

00

032)8.(12)8(

83212 22

8lim =

+-=

-+-

® xxx

x


( )

48

3212

4484)8(

)4).(8(8

3212

2

8

88

2

8

lim

limlimlim

=-+-

=-=-=-

--=

-+-

®

®®®

xxx

xx

xxx

xx

x

xxx

R - 80 522

2382

3

lim -++-

-¥® xx

xx

x

( ) ( )

-¥=-++-

-¥=¥-´===-++-

-¥®

-¥®-¥®-¥®

522238

4428

522238

2

3

2

3

2

3

lim

limlimlim

xxxx

xxx

xxxx

x

xxx

R - 81 1

78²lim

3 -+-

® xxx

x

428

27249

1373.8²3

178²

lim3

-=-

=+-

=-+-

=-+-

® xxx

x

R - 82 1

78²lim

1 -+-

® xxx

x

18



( ) 6717)1(

)1)(7(1

78²

mindet00

11781

1171.8²1

178²

limlimlim

lim

111

1

-=-=-=-

--=

-+-

=-+-

=-

+-=

-+-

®®®

®

xx

xxx

xx

ticaaçãoMatemáerInx

xx

xxx

x

R - 83 xx

xx

x 624

734

34

lim --

+¥®

81

624

73

81

81

24

3

624

73

4

34

4

4

4

34

lim

limlimlim

=--

==--

+¥®

+¥®+¥®+¥®

xx

xx

x

x

xx

xx

x

xxx

R - 84 8

16102

2lim -

+-

® xxx

x

08

1610

06

06

1620482

16)2(1028

1610

2

2

22

2

lim

lim

=-+-

=-

=-+-

=-

+-=

-+-

®

®

xxx

xxx

x

x

R - 85 8

16102

8lim -

+-

® xxx

x

( )

68

1610

62828

)2)(8(8

1610

00

0168064

8816)8(108

81610

2

8

88

2

8

22

8

lim

limlimlim

lim

=-+-

=-=-=-

--=

-+-

=+-

=-

+-=

-+-

®

®®®

®

xxx

xx

xxx

xx

AÇÃOINDETERMINx

xx

x

xxx

x

R - 86 572

2382

3

lim -++-

¥® xx

xx

x

( ) ( )

+¥=-++-

¥+´====-++-

¥®

¥®¥®¥®¥®

572238

4428

28

572238

2

3

2

3

2

3

2

3

lim

limlimlimlim

xxxx

xxx

xx

xxxx

x

xxxx

R - 87 1

12198 23

2lim -

-+-

® xxxx

x

21

12198

212

122192821

12198

23

2

2323

2

lim

lim

=-

-+-

=-

-´+´-=

--+-

®

®

xxxx

xxxx

x

x

R - 88 1

12198 23

1lim -

-+-

® xxxx

x

19



00

1112119181

112198 2323

1lim =

--´+´-

=-

-+-

® xxxx

x

51

12198

512171)127(1

)1)(127(1

12198

23

1

22

1

2

1

23

1

lim

limlimlim=

--+-

=+´-=+-=-

-+-=

--+-

®

®®®

xxxx

xxx

xxxx

xxx

x

xxx

R - 89 3

1 )1(6

lim --

® xx

x

x

3)1(6

--

xx

x

3)1(6

--

xx

0 6 2 -4 0,9 5.100 1,1 -4.999 0,99 5.010.000 1,01 -4.990.000 0,999 5.001.000.000 1,001 -4.999.000.000 0,9999 12100001,5 ´ 1,0001 12109999,4 ´-

+¥=--

-®3

1 )1(

6lim x

x

x

-¥=--

-®3

1 )1(

6lim x

x

x

31 )1(

6lim -

-

® x

x

x

não existe

R - 90 3

6116 23

3lim +

+++

® xxxx

x

203

6.11.6

206

12033

63354273

6116

23

3

23

3

lim

lim

=+

+++

==+

+++=

++++

®

®

xxxx

xxxx

x

x

R - 91 3

6116 23

3lim +

+++

-® xxxx

x

( )( )

( ) ( ) ( )

23

611.6

229923332.33

611.6

32.3.3

3611.6

00

06335427

336)3.(11)3.(6)3(

36116

23

3

22

3

23

3

2

3

23

3

2323

3

lim

limlim

limlim

lim

=+

+++

=+-=+-+-=++=+

+++

++++

=+

+++

=+-+-

=+-

+-+-+-=

++++

-®

-®-®

-®-®

-®

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

x

xx

xx

x

R - 92 5

10178 23

2lim +

+++

® xxxx

x

20



125

10178

127

847

103432852

10)2(17)2(8)2(5

10178

23

2

2323

2

lim

lim

=+

+++

==+++

=+

+++=

++++

®

®

xxxx

xxxx

x

x

R - 93 5

10178 23

5lim +

+++

-® xxxx

x

( )

125

10178

12215252)5(3)5(235

10178

5)5()23(

510178

00

5)5(10)5(17)5(8)5(

510178

23

5

22

5

23

5

2

5

23

5

2323

5

lim

limlim

limlim

lim

=+

++

=+-=+-+-=++=+

+++

++++

=+

++

=+-

+-+-+-=

++++

-®

-®-®

-®-®

-®

xxxx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

x

xx

xx

x

R - 94 4

2x )2x(

x3lim -®

x 4)2(

3-xx

x

4)2(3-xx

1 3 3 9 1,9 4107,5 ´ 2,1 4103,6 ´ 1,99 81097,5 ´ 2,01 81003,6 ´ 1,999 1210997,5 ´ 2,001 1210003,6 ´ 1,9999 16109997,5 ´ 2,0001 16100003,6 ´ 1,99999 201099997,5 ´ 2,00001 201000003,6 ´

+¥=--®

42 )2(

3lim x

x

x

+¥=-+®

42 )2(

3lim x

x

x

+¥=-®

42 )2(

3lim x

x

x

R - 95 2

10178 23

4lim -

-+-

® xxxx

x

32

10178

326

2106812864

2410)4(17)4(84

210178

23

4

2323

4

lim

lim

-=-

-+-

-=-

=-+-

=-

-+-=

--+-

®

®

xxxx

xxxx

x

x

R - 96 2x

10x17x8x23

2xlim -

-+-

®

21



32x

10x17x8x

35262)5x6x(2x

)2x)(5x6x(2x

10x17x8x

00

01034328

2210217)2(82

2x10x17x8x

23

2x

22

2x

2

2x

23

2x

2323

2x

lim

limlimlim

lim

-=-

-+-

-=+´-=+-=-

-+-=

--+-

=-+-

=-

-´+-=

--+-

®

®®®

®

R - 97 4

1 )1(6

lim -® xx

x

x 4)1(

6-xx

x

4)2x(

x6

-

0 0 2 12 0,9 4104,5 ´ 1,1 4106,6 ´ 0,99 81094,5 ´ 1,01 81006,6 ´ 0,999 1210994,5 ´ 1,001 1210006,6 ´ 0,9999 16109994,5 ´ 1,0001 16100006,6 ´ 0,99999 201099994,5 ´ 1,00001 201000006,6 ´

+¥=--®

41 )1(

6lim x

x

x

+¥=-+®

41 )1(

6lim x

x

x

+¥=-®

41 )1(

6lim x

x

x

R - 98

R - 99

R - 100

R - 101

R - 102

R - 103

R - 104

3 – Reta Tangente a uma Função

Definição – 1

Suponhamos que a função f seja contínua em 1x . A reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )1

,1 xfxP = é:

22



(i) a reta que passa por P tendo inclinação ( )1xta , dada por ( )( ) ( )

x

ffa xxx

xxt D

-= D+

®D

11

1 lim0

, se o limite existir;

(ii) a reta 1xx = se ( ) ( )

x

ff xxx

x D

-D+

®D +

11lim0

e ( ) ( )

x

ff xxx

x D

-D+

®D -

11lim0

forem ¥+ ou ¥- .

Calcule o valor da inclinação da reta tangente à função no ponto de abscissa 1x .

E-105. ( ) 83 -= xf x em 51 -=x .

E-106. ( ) 52 +-= xf x em 41 =x .

E-107. ( ) 134 -= xf x em 01 =x .

E-108. ( ) 154 2 ++= xxf x em 31 =x .

E-109. ( ) 172 2 +-= xxf x em 21 =x .

E-110. ( ) 283 2 -+-= xxf x em 11 =x .

E-111. ( ) 635 2 +-= xxf x em 01 =x .

E-112. ( ) xxf x 72 3 -= em 11 -=x .

E-113. ( ) 156 23 ++-= xxf x em 11 =x .

E-114. ( ) 1473

-+

=xx

f x em 21 -=x .

E-115. ( ) 52 += xf x para 61 =x .

E-116. ( ) 32 -= xf x para 21 =x .

E-117. ( ) 32 -= xf x para 51 -=x .

E-118. ( ) 16 23 -+= xxf x para 11 =x .

E-119. ( ) 16 23 -+= xxf x para 01 =x .

E-120. ( ) 54 23 ++-= xxf x para 31 =x .

E-121. ( ) 324 3 +--= xxf x para 21 -=x .

E-122. ( ) 43

-+

=xx

f x para 71 =x .

E-123. ( ) 43

-+

=xx

f x para 11 -=x .

E-124. ( ) 8372

--

=xx

f x para 41 =x .

Definição – 2

Suponhamos que a função f seja contínua em x . A reta tangente ao gráfico de f no ponto ( )( )xfxP ,= é:

(i) a reta que passa por P tendo inclinação ( )1xta , dada por ( )( ) ( )

x

ffa xxx

xxt D

-= D+

®Dlim

0

, se o limite existir;

(ii) a reta 1xx = se ( ) ( )

x

ff xxx

x D-D+

®D +lim

0

e ( ) ( )

x

ff xxx

x D-D+

®D -lim

0

forem ¥+ ou ¥- .

Exemplo

Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função

Ex.-14 ( ) 543 2 +-= xxf x

Ex.-15 ( )23 7xxf x -=

Ex.-16 ( ) 4732+-

=x

xxf x

Exercício

Determine a expressão que representa a inclinação da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico da função

23



E-125. ( ) 564 2 ++= xxf x

E-126. ( ) 976 2 -+-= xxf x

E-127. ( ) 145 3 --= xxf x

E-128. ( ) 1282 23 ---= xxf x

E-129. ( ) 7225

+-

=xx

f x

Resposta

R - 105 3

R - 106 2-

R - 107 4

R - 108 29

R - 109 1

R - 110 2

R - 111 3-

R - 112 1-

R - 113 8-

R - 114 8131

-

R - 115 2

R - 116 4

R - 117 10-

R - 118 15

R - 119 0

R - 120 102-

R - 121 50-

R - 122 97

-

R - 123 257

-

R - 124 165

R - 125 ( ) 68 += xa xt

R - 126 ( ) 712 +-= xa xt

R - 127 ( ) 415 2 -= xa xt

R - 128 ( ) xxa xt 166 2 --=

R - 129 ( ) ( ) 272

39

+=

xa xt

4 – Aplicação

4.1 – Movimento retilíneo

Serão usadas unidades do sistema internacional de medidas (SI) para o tempo e o comprimento, segundo ( )s e

metro ( )m , respectivamente.

4.1.1 – Velocidade

A velocidade de um corpo é definida como a variação da posição pela variação do tempo, ou seja, ( ) ( )

12

12

tt

PPv tt

-

-=

A velocidade é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero. Para determinar a velocidade instantânea

em um tempo específico usa-se o limite ( )( ) ( )

1

1

1

1 lim tt

PPv tt

ttt -

-=

®

, para determinar a função velocidade usa-se o limite

( )( ) ( )

t

PPv ttt

tt D

-= D+

®Dlim

0

.

4.1.2 – Aceleração

A aceleração de um corpo é definida como a variação da velocidade pela variação do tempo, ou seja,

( ) ( )

12

12

tt

vva

-

-=

24



A aceleração é dita instantânea quando a variação do tempo tende a zero. Para determinar a aceleração instantânea

em um tempo específico usa-se o limite ( )( ) ( )

1

1

1

1 lim tt

vva tt

ttt -

-=

®

, para determinar a função aceleração usa-se o limite

( )( ) ( )

t

vva ttt

tt D

-= D+

®Dlim

0

.

Exemplo

Ex.-17 Dada a função posição ( ) 745 3 +-= ttP t , determine a velocidade instantânea no tempo st 3= .

Ex.-18 Seja ( ) 462 -+= ttv t , determine a aceleração instantânea no tempo 0=t .

Exercícios

Dada a função posição determine a velocidade instantânea no tempo dado.

E-130. ( )

732

+-= ttPt

em st 2= .

E-131. ( )

4543

-+= ttPt

em st 1= .

E-132. ( ) 23

4+

=tt

Pt

em 0=t .

Dada a função velocidade determine a aceleração instantânea no tempo dado.

E-133. ( ) ttv t 72 3 +-= em st 41 = .

E-134. ( )23 8ttv t -= em st 11 = .

E-135. ( ) 1

542 +-

=t

tv t em st 21 = .

Respostas

R - 130 sm1

R - 131 sm17

R - 132 sm2

R - 133 289 sm-

R - 134 213 sm-

R - 135 2

258

sm ou 232,0 sm

4.2 – Economia

E-136. O custo médio por disco em reais que a Companhia Herald Record tem ao fabricar x videodiscos é dado pela função

custo médio ( )x

C x7500

6,6 += . Calcule ( )x

x

Clim¥+®

e interprete o resultado obtido.

E-137. O custo médio (em reais) obtido pela Gravadora Lincoln por semana na fabricação de q CDs é dado por

( )q

qC q000.2

20001,0 ++-= , para 000.60 £< q . Interprete a variação de C neste intervalo.

E-138.

E-139. A arrecadação mundial total pela exibição de um filme de grande sucesso de bilheteria é aproximada pela função

( ) 4

7202

2

+=

t

tA t onde ( )tA é medido em milhões de reais e t é o número de meses do filme em cartaz.

a) Qual é a arrecadação de bilheteria após o primeiro mês de lançamento?

25



b) E após o segundo mês?

c) E após o terceiro mês?

d) Qual será a arrecadação do filme a longo prazo?

E-140. Um estudo de despesas com automóveis baseado em carros populares (quatro cilindros) modelo 1992 revelou que o

custo médio (prestações, combustível, seguro, manutenção e depreciação), medido em centavos por quilômetro, é

aproximado pela função ( ) 40,536030

2,2+=

xC x onde x denota o número milhares de quilômetros rodados em 1

ano.

a) Qual é o custo médio ao dirigirmos um determinado veículo por 5000 km/ano?

b) E por 10.000 km/ano?

c) E por 15.000 km/ano?

d) E por 20.000 km/ano?

e) E por 25.000 km/ano

f) Use os das anteriores para esboçar o gráfico da funçãoC .

g) O que acontece com o custo médio quando o número de quilômetros cresce ilimitadamente?

E-141. Numa certa cidade, descobriu-se que seu principal reservatório de água foi contaminado com tricloroetileno, um

composto químico cancerígeno, em razão de um vazamento ocorrido num depósito de lixo químico abandonado. Uma

proposta submetida aos membros do conselho da cidade indica que o custo, medido em milhões de reais, da remoção

de p por cento do poluente tóxico é dada por ( ) pp

C p -=

1005,1

para 1000 << p .

a) Determine o custo da remoção de 50%, 60%, 70%, 80%, 90%, 95%, 99% e 99,9%do poluente.

b) Calcule ( )px

Clim100®

e interprete o resultado.

E-142. Um grande grupo imobiliário está construindo um complexo de casas, escritórios, lojas, escolas e igrejas numa área de

5.000 acres no distrito de Ermida (Santo Antônio dos Campos), em Divinópolis. Como resultado desse investimento, os

projetistas estimam que a população de Ermida (em milhares) daqui a t anos será dada por

( ) 405

200125252

2

++++

=tt

ttP t .

a) Represente o gráfico de P na região retangular [ ] [ ]30,050,0 ´ .

b) Qual será a população de Ermida a longo prazo?

Resposta

R - 136 R$ 6,60. O custo médio da fabricação de videodiscos se aproxima de R$6,60 por disco a longo prazo.

R - 137 (a) R$144 milhões

(b) R$360 milhões

(c) R$498,5 milhões

(d) R$720 milhões

R - 138 (a) 228,23 centavos/milha

(b) 91,45 centavos/milha

(c) 68,99 centavos/milha

(d) 61,68 centavos/milha

(e) 58,47 centavos/milha

(f)

26



(g) 53,4 centavos/milha

R - 139 (a) ( ) milhõesC 5,150 = ; ( ) milhõesC 25,260 = ; ( ) milhõesC 5,370 = ; ( ) milhõesC 0,680 = ;

( ) milhõesC 5,1390 = ; ( ) milhõesC 5,2895 = , ( ) milhõesC 5,14899 = ; ( ) milhõesC 5,14989,99 =

(b) O limite não é definido, à medida que a porcentagem de poluentes a ser removido se aproxima de 100%, o custo

se torna extremamente alto.

R - 140 (a)

(b) 25.000 habitantes

Bibliografia

LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução Cyro de Carvalho Patarra. Revisão técnica

Wilson Castro Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto. 3. ed. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. v.1. 685p.

TAN, S.T. Matemática aplicada á administração e economia. 5.ed. americana Trad. Edson de Faria. São

Paulo: Pioneira Thompon Learning, 2003. 638p.

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calculo 1 - limites

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