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CALCUL MATRICIEL
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1. Matrices
• Définition:– Une matrice ayant m lignes et n colonnes est appelée une
matrice (m,n) ou mxn. Le couple de nombres (m,n) est appelé dimension de la matrice.
– On peut représente une matrice A par la notation aij. L’élément aij se trouve à l’intersection de la ièmeligne et de la j ièmecolonne.
=
mnm
n
aa
aa
A
K
MMM
K
1
111
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1. Matrices• Somme des deux matrices:
– Soient A et B des matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes. La somme de A et B écrite A+B est obtenue en sommant les termes de même emplacement:
– L’addition de matrices est associative et commutative . La somme de matrices de dimensions différentes n’est pas définie.
++
++=+
=
=
mnmnmm
nn
mnm
n
mnm
n
baba
baba
BA
bb
bb
B
aa
aa
A
K
MMM
K
K
MMM
K
K
MMM
K
11
111111
1
111
1
111
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1. Matrices
• Multiplication par un scalaire :– Le produit d’une matrice A par un scalaire λ noté λA
est la matrice obtenue en multipliant chaque élément de A par λ
=
mnm
n
aa
aa
A
λλ
λλλ
K
MMM
K
1
111
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1. Matrices
• Propriétés de la somme et de la multiplication par un scalaire:– Soit V l’ensemble de toutes les matrices (m,n) sur le
corps K. Quelles que soient les matrices A, B, Cde Vet quels que soient les scalaires λ , µ de K, on vérifie :
( )( )( ) ( )
00
1
==•
=+=++=+
A
AA
AA
AAA
BABA
µλλµµλµλλλλ ( ) ( )
( )ABBA
AA
AA
CBACBA
+=+=−+
=+++=++
0
0
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1. Matrices
• Multiplication de matrices:– Soient A une matrice (m,p) et B une matrice (p,n). Le produit
des deux matrices AB est une matrice (m,n) où le ij élément est obtenu en multipliant les termes de la ièmeligne de A par les termes de la j ièmecolonne de B
∑=
=
=
=
=
p
kkjikij
mnm
ij
n
pnp
n
mpm
p
bacavec
cc
c
cc
AB
bb
bb
B
aa
aa
A
1
1
111
1
111
1
111
K
MM
MMM
K
K
MMM
MMM
K
K
MMM
K
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1. Matrices
• Propriétés de la multiplication de matrices:– Il est important de remarquer que le produit de
matrices AB n’est pas défini si A est une matrice (m,p)et B une matrice (q,n) avec q ≠ p.
– le produit de matrices n’est pas commutatif : AB ≠ BA
– le produit de matrices est associatif : A (BC) = (AB) C
– le produit de matrices est distributif : A (B+C) = AB + AC
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1. Matrices
• Matrices identité :– Pour une dimension donnée et pour une matrice
quelconque A, la matrice identité I est définie par la relation :
AI = IA= A– La matrice identité est nécessairement une matrice
carrée (même nombre de colonnes que de lignes).– La matrice identité est l’élément neutre pour la
multiplication des matrices carrées de même dimension.
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1. Matrices
• Matrices inversibles :– Une matrice carrée A est dite inversible s’il existe
une matrice A-1, appelée matrice inverse de A telle que :
AA-1 = A-1A = I
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1. Matrices
• Matrices transposées :– La matrice transposée tA d’une matrice A est
obtenue en écrivant les lignes de A en colonnes.
=
=
mnnn
m
m
t
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
aaa
aaa
aaa
A
K
MKMM
K
K
K
MKMM
K
K
21
22212
12111
21
22221
11211
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2. Application du calcul matriciel• Résolution de systèmes d’équations
linéaires– Une matrice A (ou système d’équation linéaire) est
dite équivalente ligne à une matrice B (ou système d’équation linéaire) si B peut être obtenue à partir de A par un nombre fini d’opérations élémentaires sur les lignes telles que :
• L’échange de deux lignes
• La multiplication d’une ligne par un réel non nul
• La transformation d’une ligne en la somme d’un multiple de cette ligne plus un multiple d’une autre ligne
ji LL ↔
ii LkL •↔
jii LLL •+•↔ µλ
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2. Application du calcul matriciel
• Méthode du pivot de Gauss– Ramener le système d’équations linéaires, à l’aide
des opérations élémentaires sur les lignes, à un système échelonné
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3. Déterminants• Définition:
– Le déterminant d’une matrice A nécessairement carrée se calcule par développement à partir d’une ligne ou d’une colonne arbitrairement choisie .
– On appelle mineur d’un terme , par exemple du terme aij, le sous déterminant qui subsiste lorsqu’on a ôté la ligne i et la colonne j auxquelles appartient ce terme.
– Le cofacteur de ce terme est le produit de son mineur par (-1)i+j.
– Le déterminant noté |A| est la somme des produits des termes de la ligne ou de la colonne choisie par leur cofacteur.
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3. Déterminants• Propriétés
– les déterminants d’une matrice A et de sa transposée tA sont égaux :
– si A a une ligne ou une colonne de 0 alors |A|=0.– si A a deux lignes ou deux colonnes identiques alors |A|=0.– si une ligne de A est combinaison linéaire d’autres lignes , alors
|A|=0. Il en est de même pour les colonnes.
• Théorème :– Soit B la matrice obtenue à partir de A :
• par multiplication d’une ligne ou d’une colonne de A par un scalaire kalors |B| = k |A|.
• en échangeant deux lignes ou deux colonnes de A alors |B |= - |A|.• en additionnant un multiple de ligne ou de colonne de A à un autre
alors |B| = |A|.
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4. Application des déterminants
• Inversion d’une matrice carrée:– Pour inverser une matrice carrée A, il faut :– avant tout calculer le déterminant de A qui doit être
non nul pour que A soit inversible.– Appliquer la relation :
• La commatrice de tA, notée comtA, est obtenue en remplaçant chaque terme de tA par son cofacteur .
AcomA
A t11 =−
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4. Application des déterminants
• Vecteurs linéairement indépendants– Théorème : Une condition nécessaire et suffisante
pour que le déterminant des composantes de nvecteurs soit non nul est qu’ils soient linéairement indépendants.
– Par conséquent, une condition nécessaire et suffisante pour que n vecteurs forment une base d’un espace vectoriel de dimension n est que le déterminant de leurs composantes soit non nul.
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4. Application des déterminants
• Système de Cramer – Un système est dit de Cramer s’il comporte n
équations linéaires avec n inconnues et si son déterminant est non nul.
– Pour ce type de système, chaque inconnue est donnée par :
où ∆ est le déterminant du système et ∆i est le déterminant obtenu en substituant dans ∆ à la colonne relative à l’inconnue celle formée des seconds membres des équations du système.
∆∆= ii
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5. Diagonalisation de matrices
• But:– Soit f l’application linéaire de l’espace vectoriel E dans E dont la
matrice dans la base B est A. Nous cherchons une nouvelle base B’ de E dans laquelle la matrice de f soit D c’est à dire une matrice diagonale .
=
=== −−
nnnnn
n
D
aaa
aaa
AavecPAPDsoitPDPA
λ
λλ
K
MOMM
K
K
K
MMMM
MMMM
K
00
00
00
2
1
21
11211
11
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5. Diagonalisation de matrices
• Equation caractéristique– Cette équation est de la forme C(λ) = 0 où C est le polynôme
caractéristique de la matrice A et constitue un polynômes de degré n qui admet n racines. Ces racines λ1,λ2,…,λn sont les valeurs propres de la matrice A.
( ) 00det
21
22221
11211
=
−
−−
=−
λ
λλ
λ
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
soitIM
K
MOMM
K
K
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5. Diagonalisation de matrices
• Valeurs et vecteurs propres– La relation constitutive est :
• Si toutes les valeurs propres sont distinctes on obtient ainsi nsystèmes distincts. Chacun d’eux fournit une direction propre sur laquelle on choisit un vecteur . Les n vecteurs ainsi obtenus constituent les vecteurs de la base B’ et sont des vecteurs propres associés à A.
• Si une valeur propre λ est multiple elle fournit un unique système qui doit donner plusieurs vecteurs propres. Une valeur propre d’ordre qfournit un système qui se réduit à l’équation d’un espace de dimension q au sein duquel on choisit q vecteurs propres linéairement indépendants
iii VVArr
λ=
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5. Diagonalisation de matrices
• Matrice de passage
– La matrice P est nécessairement inversible étant donné que ses composantes sont celles de vecteurs linéairement indépendants.
– On peut donc finalement écrire que :
=
=
+++=′
+++=′+++=′
n
nnnn
n
n
n
n
n
VV
xxx
xxx
xxx
Psoit
exexexe
exexexe
exexexerr
K
MKMM
K
K
rK
rrr
rK
rrr
rK
rrr
......1
21
22221
11211
12211111
12211111
12211111
== −
n
DavecPDPA
λ
λλ
0..0
0..
...
.0
0..0
2
1
1
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6. Application de la diagonalisation
• Puissance nième d’une matrice carrée– Le calcul de la multiplication matricielle est fastidieux si n est
élevé. Lorsque la matrice a été diagonalisée, l’opération est quasi immédiate.
– Soit A la matrice à élever à la puissance n et supposons sa diagonalisation effectuée. On peut alors montrer que :
== −
nn
n
n
nnn DavecPDPA
λ
λλ
K
MOMM
K
K
00
00
00
2
1
1
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6. Application de la diagonalisation
• Application à la résolution de systèmes différentiels linéaires – Soit, par exemple, le système différentiel linéaire à
coefficients constants suivant :
=
=
′′′
⇔
++=
++=
++=
ruo
bme
lac
Aavec
z
y
x
A
z
y
x
rzuyoxdt
dz
bzmyexdt
dy
lzaycxdt
dx
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6. Application de la diagonalisation
– Les coefficients aij sont des constantes. Si la matrice A a été diagonalisée, et en affectant d’indice 0chaque composante dans la base des vecteurs propres , on montre que :
– On obtient la solution générale par :
( )( )( )
===
⇒
=′=′=′
⇔
=
=
′′′
tkz
tky
tkx
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
D
z
y
x
330
220
110
010
010
010
0
0
0
3
2
1
0
0
0
0
0
0
exp
exp
exp
00
00
00
λλλ
λλλ
λλ
λ
=
0
0
0
z
y
x
P
z
y
x