calcul de structure

Calculs des Structures

●Modélisation & Choix des hypothèses simplificatrices (P Marin)● Symétries, Pb plan, Poutre, Plaque, Coque

●éléments finis (P Marin)

●Etude de cas de modélisation ( E. Frangin Schneider Electic)

●Maillage & Discussion autour des modèles (E Frangin)

●TD/projets (E Frangin)● Etude par groupe d’un problème de structures (2 séances)● Présentation de l’étude aux autres groupes (dernière séance –évaluation)

Formulation d’un problème de calcul de structure en statique

1 - Problème 3D La formulation générale d’un problème de structure est 3D (MMC)

D’autres formulations existent avec des hypothèses simplificatricesPoutre (RDM), Plaque, Plan

Le domaine sa frontière inconnues du problème sur

déplacements ( tenseur ordre 1)

auquel on associe les champs déformations ( tenseur ordre 2)

contraintes ( tenseur ordre 2)

est divisée en déplacement imposéeffort imposé

),,( zyxu

),,( zyx),,( yyx

),,( zyx

12

Formulation 3D en statique

● 1.a – Formulation forte ou locale- Équation d’équilibre: (1)

ou

En dynamique, cela devient :

- Conditions aux limites● déplacement imposé:

- blocage cas particulier déplacement imposé nul

● effort imposé: normale à la surface orientée vers l’extérieur

- bord libre cas particulier d’effort imposé nul

volumiquesforcesfavecfdiv dd

0

0, ijij f

Rgdfdiv /

2. surnFd

1suruu d

n

Toute partie de la frontière doit être soit à déplacement imposé, soit à effort imposé

21

21)2(

Dans le cas contraire, le problème est mal posé.

On ne dispose pas d’assez d’informations pour le résoudre

Problème de modélisation des conditions aux limites

(2) Au sens large : frontières + 3 directions perpendiculaires

Exemple 1


●Exemple 1 : Et si nous n’avions pas :


21

21)2(

u=u1

u=0

p

F

u=u1

u=0

p F

Modèle 1 Modèle 2

● Relation de comportement relation intermédiaire entre le déplacement et la déformation:

en petite perturbation:

- Cas de l’élasticité linéaire H opérateur de Hooke

- Cas de la thermoélasticité linéaire

- Matériau isotrope et coefficients de Lamé

deetudehistoireldefonction '

)(21 Tugradugrad

dITr )(2

isotropedilatationsidITavecuH thth ))((

))(( uH


H1

H2

●Matériau isotrope: et coefficients de Lamé

E module de Young et coefficient de Poisson Relation inverse:


dITr )(2

IdTrEE

)(1

)1(2)21)(1(

EetE

● Notation ingénieur plus pratique (abus de langage)

matrices symétriques

On utilise la relation de comportement en élasticité linéaire isotrope

que l’on peut écrire sous la forme

et

et

yzxzxyzzyyxx

yzxzxyzzyyxx

222

yzxzxyzzyyxx

yzxzxyzzyyxx

E

yzxzxyzzyyxx

222

22100000

02210000

00221000

000100010001

)21)(1(

D


angulairedistorsionxy :

De même la relation inverse devient

que l’on peut écrire sous la forme:

Formulation forte : forme très générale autre problème de physique stationnaire, thermique …

yzxzxyzzyyxx

E

yzxzxyzzyyxx

)1(2000000)1(2000000)1(2000000100010001

1

222

1 DCavecC


●1.b Unicité de la solution

Soit :u une solution du problèmev un champs de déplacement de corps rigide

w = u+ v

Les déformations et contraintes associées à u et w sont identiques

w vérifie toutes les équations sauf éventuellement les conditions aux limites en déplacement.


●1° cas: CL en déplacement imposent les 6 mobilités de corps rigide (« solide fixé dans l’espace »)

1 solution unique

●2° cas : le solide est mobile dans une ou plusieurs directions (mobilité qui ne déforme pas la structure)

w est solution si le solide est en équilibre infinité de solutions


●Exemple 2

Lequel de ces modèles peut poser des problèmes ?1 2 Les deux Aucun


Fp

Modèle 1 Modèle 2


● Formulation Forte – Locale● Définition locale du problème comme vu précédemment

● Formulation Faible – Globale● Travail des équations pour se ramener à un problème de minimisation● Théorème de la divergence + intégration par partie● Principe de puissances (travaux) virtuelles


●Formulation faible

●Soit un champ de déplacements (vitesses) virtuelou simplement une fonction vectorielle sur .

(1) =>

●Intégration par partie + Théorème de la divergence

0)( ,

dfV ijiji V

dfVdSnVdV dTT

jiij .).(.,

V

Wint* Wext *


●Cas élastique linéaire● D symétrique

D

vuadDdDWTT

,.... ***int

VfdfVdSnVW dTT

ext ,.).(.*

Forme bilinéaire

On cherche u cinématiquement admissible tel que pour tout V cinématiquement admissible

VfVua ,),(

Formulation faible

)(21* T

VgradVgrad


● Recherche d’une solution approchée avec u appartenant à un espace fini E et combinaison linéaire de n fonction d’une base de cet espace.

● Equivalent à minimisation de l’énergie potentielle

Energie de déformation élastique + Travail des efforts extérieurs donnés

● La solution u minimise l’énergie potentielle de la structure

VfVua ,),(

UfUUaUJ

admissibleementcinématiquUavecU

,),(21)(

EddDUUaT

..21),(

21 UfWext ,


●Exemple : MEF, espace défini par une combinaison linéaire de fonctions simples

ui inconnues caractérisant la solution approchée (ui fixé par CL pour i>n) i fonctions de base de l’espace choisi

Minimisation de J

D’où le système matriciel :

),,(1

zyxuu i

l

ii

),,(,)),,(),,,((21)(

111

zyxufzyxuzyxuaUJ i

l

iii

l

iii

l

ii

nkkuUJ

k

1,0)(

),(2),( ikikki EdaK

),(,1

j

l

njjdkkk uafF

FUK avec

●Représentation des inconnues sur l’élément m nœuds sur l’élément, 3 ddl par noeud

matrice de dimensions (p, m*p) vecteur de dimension m*p, nombre total des inconnues de l’élément

Ei

mz

z

my

y

mx

x

m

m

m

Ez

Ey

Ex

E uN

u

uu

uu

u

NNNN

NNN

uuu

u .

.

.

.

..0.00.000.0.0.000.00.0.

1

1

1

1

1

21

EiuN

Méthode éléments finis

●Représentation de la déformation sur l’élément

Ei

mz

z

my

y

mx

x

ymyzmz

xmxzmz

xmxymy

zmz

ymy

xmx

Ei

Ez

Ey

Ex

Ez

Ey

Ex

yz

xz

xy

zz

yy

xx

uB

u

uu

uu

u

NNNNNNNN

NNNNNN

NNNN

uNuuu

ouuuu

yz

xz

xy

z

y

x

.

.

.

.

..0.0

.0.0.0.0..

.0.00.00.0.0.00.00.0.

.

0

0

0

00

00

00

222

1

1

1

,,1,,1

,,1,,1

,,1,,1

,,1

,,1

,,1


●Expression matricielle de l’énergie de déformation et de la matrice de raideur élémentaire

●Énergie de déformation élémentaire

●Matrice de raideur élémentaire (p*m,p*m)

en 3D (p*m,6) (6,6) (6,p*m)

E

T

EEiE

TEi

Ei

E

TTEi

E

TEd

dEBDBKavecuKu

dEuBDBudEDE

21

21

21

E

TE dEBDBK


●Expression des efforts élémentaires (termes complémentaires si Ud non nuls)

On pose

On peut donc exprimer le vecteur force élémentaire par

EddfuEddFuWufE

T

E

TEext EEE

..,2

EddfNuEddFNuWdoncet

uNuOr

E

TTEi

E

TTEi

Eext

EiE

..

.

2

ETE

iEext FuW .

EddfNEddFNFE

T

E

T

E

..2


Expression matricielle de l’énergie de déformation et de la matrice de raideur élémentaire


●Énergie de déformation totale

E

TE

EiE

TEi

Ei

E

TTEi

E

TEd

dEBDBKavecuKu

dEuBDBudEDE

21

21

21

iTid

E

TE

E

EiE

TEi

E E

T

d

uKuEencoreou

dEBDBKavecuKu

dEDE

21

21

21

●Expression des efforts élémentaires

avec

Travail virtuel des forces extérieures

EddfuEddFuWufE

T

E

TEext EEE

..,2

EddfNuEddFNuWdoncet

uNuOr

E

TTEi

E

TTEi

Eext

EiE

..

.

2

ETE

iEext FuW . EddfNEddFNF

E

T

E

T

E

..2

FuFuW Ti

EE

TEiext ..

Minimisation de l’énergie de déformation

FuK

niiuUJ

i

i

1,0)(

FuuKuUJ

FuuKuUJ

Tii

Ti

EE

TEi

E

EiE

TEi

.21)(

.21)(

Minimisation de l’énergie de déformation

Remarque: Présentation simplifiée avec déplacement imposé nul sinon terme complémentaire

Schneider Electric 25- Strategy & innovation – Innovation Efficiency – Simulation Expertise - EFR – Janvier 2012

● Tétraèdre à 4 nœuds Élément de degré 1, J,B et Ke constants

● Tétraèdre à 10 nœuds (+ les milieux des arêtes) variable de degré 2

Si éléments réels avec des bords droits, même transformation que pour un tétraèdre à 4 noeuds,

● J, composantes de F et G constantes, ● composantes de B sont des fonctions linéaires ● composantes de Ke fonctions paraboliques

ii

iE NudcbaU

4

1

12

3

4

ii

iE NujihgfedcbaU

10

1

222

MEF – Eléments 3D

●Hexaèdre à 8 nœuds (variable de degré 2, polynôme incomplet)

●Hexaèdre à 20 nœuds (+ milieux des arêtes), variable de degré 3, polynôme incomplet

● J constant et les composantes de Ke polynômes si les bords restent droits

● + Penta

MEF – Eléments 3D

H20Tet10

Tet4

Pent6 H8

●Remarques:Systèmes différentiels => recherche de solution approchée par

résolution d’un système matriciel Pour passer d’un problème à l’autre, il faut définir l’énergie élastique et

le travail des efforts extérieurs imposés

● 1.c Modèle ● Simplification (raisonné) permettant la résolution des équation – MEF

● Existe-t-il un modèle idéal ?

● Forces concentrées contraintes infinies

● Points singuliers lorsque la géométrie contient des points anguleux, la solution du problème peut être localement infinie (suivant le chargement)

Cela n’a pas de sens de chercher une valeur approchée locale de plus en plus

fine de la contrainte en ces points !!!


● 2 Modèles géométriques simplifiés

● 2.a Problème plan x et y directions du plan

Contrainte Plane Déformation Plane

Type des structures concernées:CP: Efforts et déplacements imposés dans le plan

Pièce plane mince avec un plan de symétrie (pas de flexion - membrane)

DP: Efforts et déplacements dans le plan, invariants suivant zPièce longue suivant z, section constante

0 xzyzzz 0 xzyzzz


H3H4


Photoelasticité

Tunnel

●On travaille alors sur une géométrie plane 2D

On cherche

auquel on associe

La relation de comportement est issue de celle 3D

),(),(yxuyxu

uy

x

xy

yy

xx

xy

yy

xx

et

2


●En déformation plane, la relation 3D devient :

DnoteraOn

E

xy

yy

xx

xy

yy

xx

221000101

)21)(1(


yzxzxyzzyyxx

E

yzxzxyzzyyxx

222

22100000

02210000

00221000

000100010001

)21)(1(

● En contrainte plane, on a

La relation de départ est 3DOr

Relation que l’on injecte dans la relation 3D

DnoteraOn

E

xy

yy

xx

xy

yy

xx

221000101

)1( 2

2

020

yyxxzz

zzyyxxzzzz


yzxzxyzzyyxx

E

yzxzxyzzyyxx

222

22100000

02210000

00221000

000100010001

)21)(1(

●Remarque●L’énergie de déformation s’écrit avec les notations 2D

●Il n’y a que 3 déplacements de corps rigide à bloquer pour avoir l’unicité de la solution (2 translations + 1 rotation)

●Plusieurs problèmes mécaniques différents peuvent se modéliser de la même façon

dDEdT

..21


●Représentation des inconnues sur l’élément m nœuds sur l’élément, p ddl par noeudInconnue vectorielle:

matrice de dimensions (p, m*p) vecteur de dimension m*p, nombre total des inconnues de l’élément

Ei

my

y

mx

x

m

mEy

Ex

E uN

u

uu

u

NNNNN

uu

u .

.

.

.0.000.0.

1

1

1

21

EiuN


●Représentation de la déformation sur l’élément (exemple 2D contrainte ou déformation plane)

Ei

my

y

mx

x

xmxymy

ymy

xmx

EiE

y

Ex

Ey

Ex

xy

yy

xx

uB

u

uu

u

NNNNNN

NN

uNuu

ouuu

xy

y

x

.

.

.

..

.0.00.0.

.0

0

2

1

1

,,1,,1

,,1

,,1


●Expression matricielle de l’énergie de déformation et de la matrice de raideur élémentaire


●Matrice de raideur élémentaire (p*m,p*m)

en 2D (p*m, 3) (3,3) (3,p*m)

E

T

EEiE

TEi

Ei

E

TTEi

E

TEd

dEBDBKavecuKu

dEuBDBudEDE

21

21

21

E

TE dEBDBK


●Expression des efforts élémentaires (termes complémentaires si Ud non nuls)

On pose

On peut donc exprimer le vecteur force élémentaire par

EddfuEddFuWufE

T

E

TEext EEE

..,2

EddfNuEddFNuWdoncet

uNuOr

E

TTEi

E

TTEi

Eext

EiE

..

.

2

ETE

iEext FuW .

EddfNEddFNFE

T

E

T

E

..2


● Problèmes axisymétriques Solide de révolution d’axe , chargement respectant cette symétrie

Par symétrie, on a alors

pas de déplacement suivant et les déplacements indépendants de En coordonnées cylindriques, on a alors

zzzz

r

rrrr

uru

u

,

,

),(0),(

zru

zruu

z

r

e

z

Formulation Axisym. en statique

0

2 ,,

zr

rzzrrz uu

S

axe

S

●La restriction de la relation de comportement 3D:

et avec ces notations

On peut alors travailler sur une section 2D associée à un axe avec comme inconnues:

DE

z

zz

rr

z

zz

rr

22)21(000

010101

)21)(1(

S

T

S

Text dlrVfddzdrrVfdW 22*

),(),(zruzru

uz

r


dzdrrEdS

T

.

● Problèmes axisymétriques:● Mêmes éléments (forme) qu’en 2DMais

Différences

rNmrNzNmzNzNmzN

rNm

rN

rNmrN

B

,.,1,.,1,.,10.0

0.0.10.0,.,1

x

y

r

z

rzzrrzzzzzr

rrrr uuuruu ,,,, 2

référenceE

TE ddrBDBJK

MEF – Concept et organisation

●Remarques

●Il n’y a aucune simplification / modèle 3D => Même résultat que le modèle 3D

●un seul mouvement de corps rigide, la translation suivant z

●La rotation dans le plan (r,z) et la translation suivant r induisent une déformation (par l’intermédiaire de )


Formulation Axisym.

●Exemple : problème axisymétrique

Axe de symétrie

Jusqu’où le modèle est valable ??

●2.c Poutres droites Hypothèse: état antiplan de contrainte

Avec G module de cisaillement

Sections droites restent planes et indéformables

points de la section droite => mouvement de corps rigide

)1(22

EGavecG

E

xyxy

xxxx

0000

xz

xy

xzxyxx

GMuuxxx

xetxuxuxu

xu GM

z

y

x

z

y

x

G

)()()(

)()()()(

)(

Formulation poutre en statique H5

●Barre en traction compression

Mouvement de la section:

Déformation:

Énergie de déformation

00000000,xxu

ugrad

0 etxuu xG

dxESNdxuSE

duEdEd

moyennelignemoyennelignexx

xxxxxx

22

,

2,

21)(

21

)(21

21


●Poutre droite en flexion + ‘cisaillement’ (suivant z)

Mouvement de la section:

Déformation:

000

002

02

000000

,

,,

,

,zxy

zxyxz

xy

zxz u

uy

uy

ugrad

zyG etyuu

0

000

0

0

y

z

z

yM uy

zyuu


Commentaires : poutres

●2 théories

Erreur % solution analytique

Elongation

Bernoulli

Timoshenko

Timoshenko

Bernoulli

●Théorie d’Euler Bernouilli (sans cisaillement)Les sections droites restent droites

Problème: Ed définie ssi défini par morceaux=> continu ( 3D ou continu)

dxdxud

EIdxudSyE

duyEdEd

y

moyenneligne

zz

moyennelignexxy

tion

xxyxxxx

2

2

22

,sec

2

2,

21)(

21

)(21

21

0 xzxy zxyu ,

xxyu ,

xyu , u


00000000,xzy

● Théorie avec cisaillement (poutre épaisse cisaillement non négligeable)

avec

2 variables par nœuds (=> continus)

dxGST

EIMf

dxuGSEI

duGyEdEd

moyenneligne

y

zz

z

moyennelignezxyxzzz

zxyxzxyxyxxxx

22

2,

2,

2,

2,

21

21

)(212

21

yz uetyz uet

zxyyxzzz uGSTetIEMf ,,


000

002

02

,

,,

zxy

zxyxz

u

uy

●Problème Cisaillement non constant sur la section

=> idée de la répartition de la contrainte tangentielle

xy

zetydeTdefonctiondoncet yxyxy


S’ section réduite, calculée à partir de la répartition de la contrainte de cisaillement

Exemple poutre rectangulaire circulaire

(La flexion suivant y fait apparaître des propriétés identiques)

'

2

sec

221

EST

d y

tionxyxy

SS109'

SS65'


●Poutre complète

avec

Il y des problèmes si le centre de torsion n’est pas sur la ligne moyenneCouplages supplémentaires torsion – flexionCertains codes tiennent compte de ces couplages et demandent en entrée des précisions supplémentaires sur la position du centre de torsion (cf Rdm)

torsionntcisaillemezflexionntcisaillemeyflexiontraction EdEdEdEdEd //

dSGJEd xxtorsion

2,2

1


●Approximations

Rdm: Rétrécissement section Cisaillement mal représenté

Gauchissement de la section en torsion Problème de la validité sur les encastrements, les appuis …

Plus généralement : Rdm valable loin des points d’application des conditions aux limites ( principe de Saint-Venant )


Plaque et coque

●Une dimension petite par rapport aux autres – épaisseur

●Plaque = surface plane●Coque = surface non plane

● Non étudié dans ce module●Peut-être vu comme assemblage d’éléments plaques●Equivalent des poutres courbes pour les poutres

● 2.c Plaques 1 dim plus petite, h épaisseur, plan de symétrie

L longueur caractéristique du plan moyen

Hypothèse

Segments droits restent ‘indéformables’

points du segment droit => mouvement de corps rigide

0zz

GMuuxx

xetxuxuxu

xu GMy

x

z

y

x

G

0)()(

)()()()(

)(

4 20L/h3D Plaque épaisse mince

z

Formulation plaque en statique H6

●2 phénomènes● Problème de membrane => 2D contrainte plane● Flexion (généralement + rigide en membrane qu’en flexion)Effets découplés (faux en coque)

Comme pour les poutres en flexion : effet de cisaillement (Bernoulli vs. Timoshenko )

Plaque (Mindlin-Reissner 1945 vs Kichhov-Love 1888)

F F


●2 théories Reissner Mindlin (épaisse)

segment droit indéformable – cisaillement Kirchoff Love (mince) segment droit reste droit, perpendiculaire au plan moyen déformé -

sans cisaillement

Formulation plaque en statique

Reissner Mindlin Kirchoff Love

H6

●Cas général mouvement du segment:

déformation:

022

22

22

,,

,,,

,,,,

,,,,,,,

xyzyxz

xyzyxyy

xxyyxyyx

yxzxxyyxyyxxyxx

uu

uzu

zuu

uzuuzu

z

xy

yx

y

x

z

y

x

M

uzuzu

zuuu

u

00

0


● 3 types de déformations● Membrane

● Flexion

● Cisaillement

soit pour la déformation totale

Remarque: les déformations de cisaillement et de membrane constantes dans l’épaisseur et celle de flexion varie linéairement

xyz

yxz

cyz

cxzc u

u

,

,

22

xxyy

yx

xy

fxy

fyy

fxx

zz

,,

,

,

2

xyyx

yy

xx

mxy

myy

mxx

m

uuuu

,,

,

,

2

c

m z


●Théorie de Kirchoff Love

cisaillement nul

On peut réécrire les déformations de flexion

et donc

Le problème fonction de u uniquement, mais l’énergie de déformation définie => u C1

yxzxyz

yyz

xxz

fxy

fyy

fxx

uuuu

zz

,,

,

,

2

zm

yzx

xzyc u

u

,

,

00


●Théorie de Reissner Mindlin

Le problème fonction de u et de mais l’énergie de déformation définie

=> u et C0


● Contrainte nulle

● K-L

● R-M

'

221000101

)1( 2

DnoteraOn

E

xy

yy

xx

xy

yy

xx

''

222

000000000000

000)1()1(

000)1()1(

22

22

DnoteraOn

GG

G

EE

EE

yz

xz

xy

yy

xx

yz

xz

xy

yy

xx

zz


●Energie de déformation

après intégration dans l’épaisseur

dDEdT

..21

cEdfEdmEdEd


dSGhcEd

dSDhfEd

dSDhmEd

cSm

Tc

Sm

T

mSm

Tm

21

'122

1

'21

3

H6

●CisaillementComme pour les poutres, le cisaillement ne peut pas être constant dans l’épaisseur (nul en h/2 et – h/2)

Coefficient correcteur de l’énergie de cisaillement (idem à la section réduite)

65,

21

prisntgénéralemekdSGhkcEd cSm

Tc


●K-LEd c nulle et Ed f fonction des dérivées secondes de u uniquement

L’énergie de déformation définie => u C1

H6

MEF – Eléments Plaques●Eléments plaques●Membrane identique à la contrainte plane, même Ke●On ne s’intéresse qu’à la partie de Ke provenant de la flexion et du

cisaillement

●Éléments de Kirchoff -Love , Flexion sans cisaillement

pour pouvoir calculer ces dérivées secondes, il faut avoir uz, uz,x et uz,y

continus uz C1

pour un triangle à trois nœuds 3 ddl/nœud uz, uz,x et uz,y uz s’expriment en fonction de ces 9 ddls

xyzyyzxxzT

Sm

T uuuavecdSDhfEd ,,,

3

2'122

1

MEF – Eléments Plaques

Problème si uz cubique => 10 coefficients, un coefficient de trop Plusieurs solutions possibles => nombreux éléments => problème convergence => sensibilité à la distorsion

●Eléments de Kirchoff discrets

●Éléments de type Mindlin ou on annule le cisaillement en certains points de l’élément (DKT – DKQ)

ii

iE NujihgfedcbaU

10

1

223322


● Eléments de Mindlin (partie flexion + cisaillement)

● 3 inconnues par nœuds x , y et uz => C0● Élément le + simple, triangle 3 nœuds

xuyuetxxyyyxxyavec yzxzTc

T ,,,,,,

3

3

1

1

1

.

.

y

x

y

x

Z

E

u

1’ 2’

3’

MEF – Concept et organisation●Matrice de rigidité élémentaire

Avec et

matrices de rigidité élémentaires:

Kf en h3 et Kc en hProblème quand h->0, Kf<<Kc alors que le cisaillement devrait devenir

négligeable

ESm

T

FSm

T

FT

E dSBcBcGhdSBDBhEdcfEd

'

1221 3

YNyNxNyN

xNxNBF

,1.,1,100.0,10,3.,100

0.01,13.10,1

NyNNNxN

Bc

dSBcBcGhKcetdSBDBhKfSm

T

FSm

T

F '12

3


●Blocage en cisaillement (shear locking)Cet élément de Mindlin devient faux pour les plaques minces.

Les inconnues servent à résoudre mieux l’équation locale de cisaillement (de faible importance) et il n’y a plus d’inconnue pour résoudre l’équation de flexion.

Problème classique des formulations mixtes (exemple matériaux incompressibles)

●Amélioration: Kc sous intégrée (- de point de gauss que nécessaire)

=> amélioration du comportement et atténuation de l’effet de shear locking

Ansys Ref.Ansys_Shell181

Ansys_Shell281

Exemple d’application

●Beaucoup ……

calcul de structure

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