calcolo differenziale per funzioni di piÙ variabili - 3
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CALCOLODIFFERENZIALE PER FUNZIONI DI PIÙ VARIABILI - 3.
Argomenti della lezioneArgomenti della lezione
Forme quadratiche. Criteri Forme quadratiche. Criteri per i punti d’estremo liberi.per i punti d’estremo liberi.
Differenziazione di funzioni da Differenziazione di funzioni da RRmm a R a Rnn..
FORME QUADRATICHE.FORME QUADRATICHE.
Vogliamo dare condizioni sufficientiper l’esistenza di punti d’estremo (max o min) relativi.
A questo scopo definiremo e studieremo brevemente le forme quadratiche.
Una forma quadratica su RRm m è un polinomio omogeneo di grado duenelle variabili h1, h2, … , hm.
q(h1, h2, … , hm) = aijhihji,j=1
m
Con notazione vettoriale, si scrive
q(h1, h2, … , hm) = hTAh, h RRmm
È facile riconoscere che una formaquadratica si può pensare generatada una matrice simmetrica, cioè con
aij=aji
e quindi A = AT
Qualche semplice esempio...
È, come si ricorderà, la forma quadratica associata al differenziale secondo di una funzione nel punto x0. La chiameremo l’Hessiano di f in x0.
(Dijf)(x0) hihji,j=1
mhTHh =
Una forma quadratica q(h1, h2, … , hm) si dice
1. Definita positiva (negativa) se per ogni h RRmm, h≠ 0, q(h) > 0 (< 0).
2. Semidefinita positiva (negativa) se per ogni h RRmm, h≠ 0, q(h) ≥ 0 (≤ 0), ma esiste h≠ 0 tale che q(h) = 0.
3. Indefinita se esistono h1, h2 RRmm, tali che q(h1) > 0 e q(h2) < 0 .
Data la matrice A associata a una forma quadratica q(h1, h2, … , hm), diremo minori principali (di NW) i minori formati con le prime k righee k colonne di A.
M1= a11
a11 a12M2=
a21 a22
Mk=
a11 a12 a1k...a21 a2
2
a2k...... ... ...ak1 ak2
akk
......
Mm=
a11 a12 a1m...a21 a2
2
a2m...... ... ...am1am2
amm
......
= det A
Criterio(di Jacobi - Sylvester )
Sia data la forma q(h1, h2, … , hm) = hTAh.
a) hTAh è definita positiva se esolo se Mk> 0 per k = 1, 2, … , m
b) hTAh è definita negativa se e solo se (-1)kMk> 0 per k = 1, 2, … , m
Nel caso delle f.q. in due variabili,possiamo provare un criterio più completo.
q(h1,h2) = ah12 + 2bh1h2 + ch2
2 =
= a(h1 + (b/a)h2)2+ ((ac-b2)/a)h22
= (h1 h2) ( ) h1
h2( )a b
b c
A =a bb c( )
= hTA h
dove
Allora la f.q. q(h1,h2)
a) è definita positiva (negativa) se
e solo se det A > 0 e a > 0 (< 0)
b) è indefinita det A <0
c) è semidefinita positiva (negativa) se e solo se det A = 0 e a > 0 (< 0)
oppure a = 0 e c > 0 (< 0)
Teorema
Sia f : A Rm R, una funzione C2(A).
Se in x0 è f(x0)= 0 e se
i) d2fx0 è definito positivo, allorax0 è punto di minimo relativo.
ii) d2fx0 è definito negativo, allorax0 è punto di massimo relativo.
iii) d2fx0 è indefinito, allora x0 non è punto né di max né di min relativo.
iv) d2fx0 è la f.q. nulla o è semidefinito, allora nulla si può concludere in
generale.
In particolare, per funzioni di due In particolare, per funzioni di due variabili:variabili:
H(x0,y0) =
∂2f____∂x2
∂2f_____∂x∂y
∂2f_____∂x∂y
∂2f____∂x2
Se Se det H(x0,y0) > 0 ee∂2f____∂x2
> 0
allora allora (x0,y0) è punto di min rel. è punto di min rel.
Se Se det H(x0,y0) > 0 ee∂2f____∂x2
< 0
allora allora (x0,y0) è punto di max rel. è punto di max rel.
Se Se det H(x0,y0) < 0
allora allora (x0,y0) è punto di sella.è punto di sella.
Se Se det H(x0,y0) = 0
allora nulla si può in generaleallora nulla si può in generalesulla natura di sulla natura di (x0,y0)..
Calcoli ed esempi a parte..
Differenziazione diDifferenziazione difunzioni da Rfunzioni da Rmm a R a Rnn..
Una funzione f : A Rm Rn , A aperto, fa corrispondere a ognix A un solo y Rn.
y Rn ha n componenti, ciascuna funzione delle m componenti di x
Dunque y = f(x) corrisponde a nfunzioni fi : A Rm R, i = 1,.., n
f : A Rm Rn è continua in x0 A se e solo se ciascuna delle componentifi : A Rm R, i = 1,.., n è continua in x0 A.
f : A Rm Rn ha limite l Rn per x x0 se e solo se ogni componente fi : A Rm R ha limite li per x x0.
Diremo che f : A Rm Rn è differenziabile in x0 A se esisteun’applicazione lineare L : Rm Rn
tale che, se x = x0 + h (x, x0,h Rm)
f(x) = f(x0) + L h + (h) |h|
con (h) 0 se h 0
Si verifica che f : A Rm Rn è differenziabile se e solo se lo sonole sue componenti. Si trova che il differenziale di f è rappresentato dalla seguente matrice L con m colonne ed n righe
L =
D1f1(x0
) D2f1(x0)
Dmf1(x0)
D1f2(x0) D2f2(x0) Dmf2(x0)
D1fn(x0)D2fn(x0) Dmfn(x0)
..
..
..
.. .. .. ..
Nella matrice L ogni riga è il differenziale di una componente fi
di f .
Ci interesserà nel seguito la seguente formula di derivazione di funzione composta più generale di quella già dimostrata.
Teorema(Derivazione di funzione composta )
Sia f : A Rm Rp, A aperto,
differenziabile in x0, g : Rn A Rm , aperto, x0 = g(u0), esistano finite in u0
tutte le derivate ∂ui gk (u0), i=1,..,n , k = 1,..,m , allora
F(u) = f(g(u)), aperto, ha tutte le
derivate parziali ∂ui Fr. E vale
∂Fr___∂uk
(u0) = ∂fr___∂x1
∂g1___∂uk
∂fr___∂xm
∂gm___∂uk
+ +
Un accenno di calcolo a parte..
r = 1,…, p.