caderno do aluno matemática 6ª serie 3º bimestre

7/11/2019 Caderno do aluno matemática 6ª serie 3º bimestre

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Caro(a) aluno(a),

Neste Caderno, você estudará um dos conceitos matemáticos mais importantesdo Ensino Fundamental: a proporcionalidade. Para tanto, são propostas váriassituações-problema para que se reconheça a existência da proporcionalidade e, emseguida, são eetuadas análises de situações que trazem grandezas direta ou inversa-mente proporcionais.

Esse conceito é utilizado em diversas situações do cotidiano: na interpretação

da escala de um mapa, na adaptação de uma receita culinária para mais pessoas, natabela de preços de um estacionamento que cobra por quantidade de horas, entremuitas outras.

Além disso, o Caderno convida você, aluno(a), a conhecer um pouco mais a his-tória de Leonardo da Vinci e seus estudos sobre as proporções ideais do corpohumano. Com essa leitura, você realizará atividades que buscam vericar as razõesentre as partes do corpo humano descritas por esse grande cientista, uma das gurasmais criativas do século XV.

Você terá, ainda, a oportunidade de estudar a ideia de proporcionalidade a partirdo “duplex”, um quebra-cabeça desenvolvido por Lewis Carroll, autor de Alice no país

das maravilhas . O desao consiste em transormar uma palavra em outra, trocandouma letra por vez e ormando, no decorrer da atividade, palavras conhecidas. Usando omesmo princípio, você poderá resolver problemas matemáticos por meio de tabelas.

Esperamos que você participe de todas as atividades propostas por seu proessore, com isso, possa aprender cada vez mais!

Equipe Técnica de Matemática

Área de Matemática

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENPSecretaria da Educação do Estado de São Paulo



Matemática - 6a série/7o ano - Volume 3

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 A NOÇÃO DE PROPORCIONALIDADE

VOCÊ APRENDEU?

Reconhecendo a proporcionalidade

1. Verique se as previsões eitas são conáveis e se há proporcionalidade entre as grandezas en-volvidas. Justique sua resposta.

a) Um pintor gastou 1 hora para pintar uma parede. Para pintar duas paredes iguais àquela, ele

levará 2 horas.

b) Um time marcou 2 gols nos primeiros 15 minutos de jogo. Portanto, ao nal do primeirotempo (45 minutos) ele terá marcado 6 gols.

c) Uma banheira contendo 100 litros de água demorou, aproximadamente, 5 minutos para seresvaziada. Para esvaziar uma banheira com 200 litros de água serão necessários, aproxima-damente, 10 minutos.

d) Em 1 hora de viagem, um trem com velocidade constante percorreu 60 km. Mantendo amesma velocidade, após 3 horas ele terá percorrido 150 km.

e) Um estacionamento cobra R$ 3,00 por hora. Por um automóvel que cou estacio-nado 2 horas, oi cobrado o valor de R$ 6,00. Se ele casse estacionado 6 horas, o valorcobrado seria de R$ 18,00.




4

2. Em cada um dos casos a seguir, verique se há ou não proporcionalidade direta entre as medidasdas grandezas correspondentes. Justique sua resposta.

a) A altura de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade?

b) O valor pago para abastecer o tanque de gasolina de um carro é diretamente proporcionalà quantidade de litros usada?

c) A massa de uma pessoa é diretamente proporcional à sua idade?

d) O perímetro de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado?

e) A distância percorrida por um automóvel em 1 hora de viagem é diretamente proporcionalà velocidade média desenvolvida?

Os limites da proporcionalidade

3. Analise as situações a seguir e avalie se elas são possíveis.

a) Um proessor corrige 20 provas em 1 hora de trabalho. Após 30 horas, ele terá corrigido600 provas.




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b) Um corredor percorre 10 km em 1 hora. Portanto, após 20 horas, ele terá percorrido 200 km.

c) Uma pessoa leu três livros na semana passada. Em um ano, ela lerá 156 livros.

LIÇÃO DE CASA

4. Verique se houve variação proporcional nos seguintes casos.

a) Uma empresa resolveu dar um aumento de R$ 200,00 para os uncionários. O saláriode João passou de R$ 400,00 para R$ 600,00, enquanto o salário de Antônio passou deR$ 1 000,00 para R$ 1 200,00. Houve proporcionalidade no aumento salarial dado aos doisuncionários? Justique sua resposta.

b) Uma empresa de inormática resolveu dar um desconto de 25% no preço de toda a sualinha de produtos. O preço de um computador passou de R$ 1 000,00 para R$ 750,00, eo de uma impressora passou de R$ 400,00 para R$ 300,00. Houve proporcionalidade nodesconto dado nos dois produtos? Justique sua resposta.




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VOCÊ APRENDEU?

Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais

5. Analise as situações e verique se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamenteproporcionais.

a) Um pintor demora, em média, 2 horas para pintar uma parede de 10 m2. Observe arelação entre o tempo gasto, o número de paredes pintadas e o número de pintores repre-sentados na tabela a seguir e complete as sentenças.

SITUAÇÕES A B C DNúmero de pintores 1 1 2 2

Número de paredes de 10 m2 1 2 1 2

Tempo gasto (horas) 2 4 1 2

• Otempogastoé proporcional ao número de pintores.

• Otempogastoé proporcional ao número de paredes.b) Um automóvel gasta 2 horas para percorrer 200 km, viajando com uma velocidade média

de 100 km/h. Observe a relação entre a velocidade média, a distância percorrida e o tempogasto na viagem representados na tabela a seguir e complete as sentenças.

SITUAÇÕES A B C D

Velocidade média (km/h) 100 100 50 50

Distância percorrida 200 400 400 100

Tempo gasto (horas) 2 4 8 2

• Adistânciapercorridaé proporcional à velocidade.

• Otempogastoé proporcional à velocidade.




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Leitura e Análise de Texto

Duplex Lewis Carroll, autor de Alice no país das maravilhas , era um matemático que ado-

rava desenvolver quebra-cabeças. Em 1879, ele criou o duplex, um quebra-cabeça queenvolvia a transormação de duas palavras com o mesmo número de letras. O desao con-sistia em partir de uma palavra e chegar a outra de mesmo tamanho, trocando uma letra por vez e ormando, no caminho, palavras conhecidas. Veja o exemplo a seguir.

• TransformarOUROemLIXO:

O U R O EtapasM U R O Trocar o O pelo M

M U D O Trocar o R pelo D

M E D O Trocar o U pelo E

L E D O Trocar o M pelo L

L I D O Trocar o E pelo I

L I X O Trocar o D pelo X

VOCÊ APRENDEU?

6. Agora é sua vez. Resolva os duplex a seguir.

TIA POR LISO POETA

LUA MAL PENA TANGO




8


Duplex, tabelas e proporcionalidade

Usando o mesmo princípio, podemos resolver problemas matemáticos por meio detabelas. Em vez de letras, o início e o m do encadeamento serão números. Por exemplo:

• Para azer uma dúzia de pães, um padeiro gasta, aproximadamente, 3 600 gramas dearinha. Quantos gramas de arinha serão necessários para azer 18 pães?

1o passo: Colocar as inormações em uma tabela.

Número de pães Farinha (gramas)

12 3 600

18 ?

2o passo: Vericar se as grandezas envolvidas são direta ou inversamente proporcio-nais. Se orem diretamente proporcionais, então as grandezas devem ser multiplicadas oudivididas pelo mesmo ator. No caso de serem inversamente proporcionais, se uma dasgrandezas or multiplicada por um número, a outra deverá ser dividida por esse mesmo

número e vice-versa.

3o passo: Assim como no duplex, o desao será transormar o número 12 em 18 pormeio de operações de multiplicação ou divisão, mantendo a proporcionalidade (direta ouinversa) entre as grandezas envolvidas.

Número de pães Farinha (gramas) Transormações

12 3 600 Divisão por 6

2 600 Multiplicação por 9

18 5 400

÷6 ÷6

.9 .9

Portanto, serão necessários 5 400 gramas de arinha para azer os 18 pães.




9

VOCÊ APRENDEU?

7. Na tabela a seguir, registraram-se a quantidade vendida e o valor recebido pela venda de ummesmo produto. Contudo, alguns valores não oram preenchidos. Preencha-a mantendo aproporcionalidade direta entre a quantidade vendida e o valor recebido.

Quantidade vendida Valor recebido

10 R$ 30,00

5

R$ 3,00

R$ 21,00

14

R$ 420,00

8. Um clube dispõe de uma quantia xa de dinheiro para comprar bolas de utebol para os treina-mentos. Com o dinheiro disponível, é possível comprar, de um ornecedor, 24 bolas a R$ 6,00cada uma. O gerente pesquisou outros abricantes e anotou as inormações na tabela a seguir.Complete-a, obedecendo ao princípio de proporcionalidade, e descubra qual oi o menor preço

pesquisado pelo gerente.

Preço de uma bola Número de bolas

R$ 6,00 24

R$ 12,00

R$ 4,00

72

R$ 24,00

144

R$ 72,00

Resposta:




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9. Para produzir 1 000 m de um cabo teleônico, 24 operários trabalham regularmente durante 6 dias.Quantos dias serão necessários para produzir 1 250 m de cabo com 10 operários trabalhando?

a) Indique se as grandezas, duas a duas, mantidas as demais constantes, são direta ou inversa-mente proporcionais.

•Fixando-seotempodetrabalho,aproduçãodecabosé proporcional ao número de operários.

•Fixando-seaquantidadedecabos,otempodeproduçãoé proporcional ao número de operários.

•Fixando-seonúmerodeoperários,aquantidadedecabosé proporcional ao tempo de produção.

b) Preencha a tabela a seguir, mantendo a proporcionalidade entre as linhas.

Produção de cabos (m) Número de operários Tempo de produção (dias)

1 000 24 6

2 000 24

2 000 6

500 6

500 24

500 12

3 12

3 6

1 250 6

1 250 10




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LIÇÃO DE CASA

10. Para produzir 180 pias de granito, 15 pessoas trabalham durante 12 dias, em uma jornada de10 horas de trabalho diário. Procurando adequar sua empresa à nova legislação trabalhista, odiretor reduziu a jornada de trabalho de 10 para 8 horas ao dia e contratou mais uncionários. Ao mesmo tempo, a demanda por pias aumentou e será necessário aumentar a produção. Nessenovo contexto, quantos dias serão necessários para produzir 540 pias de granito, contando com25 pessoas trabalhando 8 horas por dia?

a) Relacione, duas a duas, as grandezas, mantidas as demais constantes, e indique o tipo deproporcionalidade envolvida (direta ou inversa).

b) Preencha a tabela a seguir e encontre a solução do problema.

Produção de piasNúmero de

uncionáriosTempo de

produção (dias)Número de horas

trabalhadas por dia

180 15 12 10

540 25 8

Resposta:




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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2RAZÃO E PROPORÇÃO

VOCÊ APRENDEU?

O conceito de razão

1. O que você entende por razão?

2. Procure no dicionário alguns signicados para a palavra “razão”.

3. Qual é o signicado da palavra “razão” em Matemática?

4. Calcule os resultados das razões a seguir e expresse-os em termos de porcentagem:

a) razão 3 : 150 b) razão 24 : 40




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c) razão 4 : 50 d) razão 9 : 125

e) razão 165 : 300

Escala

5. O que é escala? Explique por meio de um exemplo.

6. O mapa a seguir oi eito na escala 1 : 30 000 000 (lê-se “um para trinta milhões”). Utilizandouma régua e a escala ornecida, determine:

O C E A N

O A T L Â N T

I C O

BeloHorizonte

Brasília

São PauloRio de Janeiro

Florianópolis

SP

MGGO

RJ

ES

SC

PR

N

S

LO

1 : 30 000 000

© C o

n e x ã o E d i t o r i a l

Mapa ilustrativo. Elaborado especialmente parao São Paulo faz escola.




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a) a distância real entre Brasília e Rio de Janeiro;

b) a distância real entre Florianópolis e Brasília.

LIÇÃO DE CASA


Velocidade

Em Física, a velocidade é a medida da rapidez com que um objeto altera a sua posição.Em nosso cotidiano, a palavra “velocidade” geralmente signica velocidade média , que é arazão entre um deslocamento e o intervalo de tempo gasto para eetuar esse deslocamento.Dessa orma, quando nos reerimos à velocidade de um carro (80 km/h), ou deum corredor (4 m/s), estamos nos reerindo à sua velocidade média.

O conceito de velocidade pode ser estendido para outras situações análogas. Porexemplo: a pulsação ou requência de batimentos cardíacos exprime a rapidez com queo coração bate, ou seja, o número de batimentos por minuto. O normal em uma pessoa éter uma pulsação entre 60 e 100 batimentos por minuto.

7. Com base no texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, resolva as seguintes

questões.a) Qual oi a velocidade média de um automóvel que percorreu 530 km em 6 horas?

Resposta:




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b) Qual é a pulsação (batimentos por minuto) de uma pessoa cujo coração bate 12 vezes a cada10 segundos?

Resposta:

c) Qual é a velocidade de transmissão de dados na internet, em kbps (quilobytes por segundo),de um computador que leva 30 segundos para baixar um arquivo de 12 megabytes ?(Dica : 1 megabyte = 1 000 quilobytes .)

Resposta:

PESQUISA INDIVIDUAL

8. Pesquise qual é a dierença entre densidade de um material e densidade demográfca .

VOCÊ APRENDEU?

9. Com base na pesquisa anterior, resolva as questões a seguir.

a) 300 g de uma substância ocupam um volume de 450 cm 3. Determine a densidade dessasubstância.

Resposta:




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b) A população estimada do Estado de São Paulo, em 1o de julho do ano de 2007, era de,aproximadamente1, 40 653 736 habitantes. Sabendo que a área do Estado é de, aproxima-damente, 248 209 km2, calcule sua densidade demográca.

Resposta:

PIB per capita

10. Resolva as questões a seguir.

a) O PIB brasileiro em 2006, medido em dólares, oi de aproximadamente US$ 1,071 trilhão

para uma população estimada em 187 milhões de pessoas. Determine o PIB per capita bra-sileiro nesse ano.

Resposta:

b) O PIB da Índia em 2006 oi de US$ 903 bilhões, para uma população estimada em 1 bi-lhão e 150 milhões de habitantes. Determine o PIB per capita da Índia em 2006.

Resposta:

11. Seu proessor vai propor que você discuta com seus colegas se o resultado do PIB per capita brasileiro obtido na atividade anterior representa, de ato, a condição econômica da popu-lação brasileira. Escreva um parágrao sobre suas conclusões.

1 Fundação SEADE. Disponível em: <http://www.seade.gov.br/produtos/projpop/index.php>. Acesso em: 19 abr. 2010.




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Probabilidade

A probabilidade é um tipo especial de razão, na qual se compara o número de pos-

sibilidades de ocorrência de um evento particular com o número total de possibilidades

relacionadas a esse evento. Por exemplo, no lançamento de uma moeda, a probabilidade

de se obter a ace “cara” é de uma em duas, ou seja, uma chance em duas, ou 1 __

2, ou, ainda,

50%. É a razão entre o número de possibilidades de se obter “cara” (1) e o número total

de possibilidades, cara ou coroa (2). No lançamento de um dado numerado de 1 a 6,

a probabilidade de se obter o número 5 é de uma em seis, ou 1 __

6

, ou 16,7%.

VOCÊ APRENDEU?

12. Com base nas informações apresentadas na seção Leitura e Análise de Texto, resolva asquestões a seguir.

a) No lançamento de um dado numerado de 1 a 6, qual é a probabilidade de se obter um nú-mero par? E um número maior que 4?

Resposta:

b) Jogando-se ao acaso duas moedas, qual é a probabilidade de se obter duas coroas?

Resposta:




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c) Uma determinada urna contém 7 bolas, sendo 3 vermelhas e 4 pretas. Retirando-se umabola ao acaso, qual é a probabilidade de que ela seja vermelha? E de que ela seja preta?

Resposta:

d) Um baralho contém 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (copas, ouros, espadas epaus). Retirando-se uma carta ao acaso, qual é a probabilidade de se obter uma carta

de copas? E de se obter um valete?

Resposta:

LIÇÃO DE CASA

13. Para cada situação, preencha a tabela e calcule a razão entre as grandezas envolvidas. Em segui-da, verique se há proporcionalidade entre elas.

a) Se 5 bolas de utebol custam R$ 100,00, então 7 bolas custarão R$ 140,00.

Número de bolas Valor pago em reais Razão (preço por bola)

Resposta:




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b) Um automóvel percorreu 120 km em 1 hora e meia. Em 2 horas, ele terá percorrido 160 km.

Distância percorrida em km Tempo em horas Razão (velocidade)

Resposta:

c) Um supermercado vende 4 rolos de papel higiênico por R$ 3,00 e 12 rolos por R$ 8,00.

Número de rolos Valor pago em reais Razão (preço por rolo)

Resposta:

d) Em uma receita de milk-shake , recomenda-se colocar 3 bolas de sorvete de chocolate para2 xícaras e meia de leite (1 xícara equivale a 250 ml). Para 1 litro de leite, devemos colocar7 bolas de sorvete.

Bolas de sorvete Número de xícaras de leite Razão (bolas por xícara)

Resposta:




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e) Em determinado dia, US$ 20,00 eram vendidos por R$ 36,00 e US$ 50,00 por R$ 90,00.

Quantidade de dólares (US$) Valor em reais (R$) Razão (reais por dólar)

Resposta:


O Homem vitruviano e as razões no corpo humano

Leonardo Da Vinci oi uma das guras mais criativas de seu tempo. Ele viveu na Itáliano século XV e criou algumas das obras mais conhecidas do mundo, como a Mona Lisa, A última ceia e A virgem das rochas . Leonardo realizou estudos nas mais diversas áreas:pintura, arquitetura, engenharia, anatomia, entre outras. Ele conseguiu, como ninguém,aproximar a ciência da arte. Leonardo também produziu um estudo sobre as proporçõesdo corpo humano, baseado no tratado eito pelo arquiteto romano Marcus Vitruvius, noséculo I a.C. Vitruvius havia descrito as proporções ideais do corpo humano, segundo umpadrão de harmonia matemática. Assim como muitos outros artistas, Leonardo interessou-se

pelo trabalho de Vitruvius e registrou-o em um de seus cadernos de anotação. No meiodessas anotações, desenhou a gura de um homem dentro de um círculo e de um quadra-do. Essa gura, chamada de Homem vitruviano, acabou se tornando um de seus trabalhosmais conhecidos, simbolizando o espírito renascentista. O desenho de Da Vinci eviden-ciou a retomada e a valorização de princípios da tradição greco-latina, tais como beleza,harmonia, equilíbrio e proporção. Essa obra atualmente az parte da coleção da Gallerie dell’Accademia (Galeria da Academia), em Veneza, na Itália.

Reproduzimos, a seguir, alguns trechos do texto de Da Vinci que acompanham a gra-vura do Homem vitruviano.

“[...] O comprimento dos braços abertos de um homem é igual à sua altura [...]; desde oundo do queixo até ao topo da cabeça é um oitavo da altura do homem [...]; a maior largurados ombros contém em si própria a quarta parte do homem. [...] Desde o cotovelo até oângulo da axila é um oitavo da altura do homem. A mão inteira será um décimo da altura dohomem. [...] O pé é um sétimo do homem [...]; a distância entre o undo do queixo e o nariz eentre as raízes dos cabelos e as sobrancelhas é a mesma e é, como a orelha, um terço da cara.”

Disponível em: <http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/davinci/matematico.htm>.Acesso em: 19 abr. 2010.




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© B

e t t m a n n / C o r b i s -

L a t i n s t o c k




23

VOCÊ APRENDEU?

14. Com base no texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, preencha a tabela aseguir com as razões entre as partes do corpo humano descritas no texto de Leonardo Da Vinci.

Razão entre Fração Decimal %

Longitude dos braços e altura 1 __

11,0 100

Altura da cabeça e altura

Largura dos ombros e altura

Distância do cotovelo às axilas e altura

Comprimento da mão e altura

Comprimento do pé e altura

Distância do queixo ao nariz e ace

Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e ace

15. Agora, vamos vericar se as razões descritas por Leonardo Da Vinci no texto anterior real-mente correspondem ao corpo retratado em seu desenho. Para isso, você deverá medir ocomprimento de cada parte do corpo do Homem vitruviano, usando uma régua milimetrada.Em seguida, calcule as razões entre as medidas obtidas e a altura do homem ou a altura da ace.Registre os resultados obtidos na tabela, em porcentagem.

Medidas:

Altura do homem: cm Longitude dos braços: cm

Altura da cabeça: cm Largura dos ombros: cm

Do cotovelo às axilas: cm Comprimento da mão: cm

Comprimento do pé: cm Altura da ace (queixo à raiz dos cabelos): cm

Do queixo ao nariz: cm Da sobrancelha à raiz dos cabelos: cm




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Razão entre %

Longitude dos braços e altura

Altura da cabeça e altura

Largura dos ombros e altura

Distância do cotovelo às axilas e altura

Comprimento da mão e altura

Comprimento do pé e altura

Distância do queixo ao nariz e ace

Distância da sobrancelha à raiz dos cabelos e ace

LIÇÃO DE CASA

16. Compare as razões obtidas por meio das medidas ( Atividade 15 ) com aquelas descritas no textode Da Vinci ( Atividade 14 ). Os resultados caram próximos? Houve dierenças? O que poderiaexplicar as dierenças observadas (se houver)?




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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3RAZÕES NA GEOMETRIA

VOCÊ APRENDEU?

Ampliação de fguras

1. A gura a seguir mostra o desenho de uma caravela representado em uma malha quadriculada.

a) Considerando como unidade de medida os lados dos quadrados, determine o comprimentoe a altura da caravela.

b) Qual das guras a seguir corresponde a uma ampliação “proporcional” da caravela original?

I. II.

III. IV.

© C

o n e x ã o E d i t o r i a l

© C


© C


© C


© C





27

c) Qual oi a razão de ampliação utilizada?

Resposta:

Proporcionalidade no quadrado

2. Na malha quadriculada a seguir, desenhe 3 quadrados de lados iguais a 2 cm, 3 cm e 6 cm,respectivamente. Em cada um deles, trace uma diagonal ligando dois vértices opostos.Meça com uma régua o comprimento das diagonais obtidas e registre os valores na tabela.Em seguida, calcule a razão entre as medidas da diagonal e do lado de cada quadrado.

Quadrado Lado (l) em cm Diagonal (d) em cm Razão d __ l

Q

12

Q 2 3Q

36

a) Duplicando a medida do lado, a da diagonal também duplica?




28

b) E triplicando a medida do lado?

c) Há proporcionalidade entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado?

d) A razão obtida entre a diagonal e o lado desses quadrados se aproxima de qual dos números:® __

2 , ® __

3 ou ® __

5 ?(Observação: você pode utilizar a calculadora para obter uma aproximação.)

LIÇÃO DE CASA

3. Tomando como base a Atividade 2 , apresentada na seção Você aprendeu? , preencha a seguintetabela e responda às questões:

Quadrado Lado l

(cm)Perímetro P

(cm) Área A

(cm2)Razão P __

l Razão A __

l

Q 1

Q 2

Q 3

a) Há proporcionalidade entre a medida do lado e o perímetro do quadrado?

b) E entre a medida do lado do quadrado e sua área?

c) O que acontece com a área do quadrado quando duplicamos seu lado?

d) E quando triplicamos?




29

VOCÊ APRENDEU?

Ângulos e triângulos4. Na gura a seguir, cada um dos ângulos do triângulo retângulo oi associado a seu lado oposto.

Esse lado é o cateto oposto ao ângulo indicado. Por exemplo, o ângulo de 30º tem comocateto oposto o segmento AC. Vamos investigar se existe proporcionalidade entre os ângulosassinalados e os catetos opostos correspondentes.

a) Registre a medida dos catetos AB, AC e AD na tabela.

Ângulos Catetos (cm)

15º30º

60º

b) Duplicando o ângulo de 30º, o cateto oposto aumenta na mesma proporção? Veriquetomando por base os dados da tabela.

c) Triplicando o ângulo de 30º, o que acontece com a medida do cateto oposto?

d) As medidas dos ângulos são diretamente proporcionais às medidas dos catetos opostos a eles?

O15o

A

30o

60o

D

B

C




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Atividade para investigação!

Proporcionalidade na circunerência

Uma das características mais importantes de uma circunerência é a equidistância deseus pontos em relação ao centro. Por essa razão, ela é considerada a gura geométrica maispereita em termos de simetria. Além disso, qualquer que seja a circunerência, sua orma ésempre a mesma. Uma circunerência maior é uma ampliação pereita de uma menor. Será,então, que há proporcionalidade entre suas partes? É o que vamos vericar a seguir.

Material necessário: objetos circulares, por exemplo, um CD, uma lata de leite conden-sado, uma moeda, etc.; ta métrica; régua; compasso; olha de papel sulte.

Etapas:

I. Meça o comprimento da circunerência do objeto usando a ta métrica.

II. Coloque o objeto sobre o papel sulte e desenhe o seu contorno (circunerência).

Exemplo:

III. Marque três pontos quaisquer, A, B e C, na circunerência.

C A

B

© C

o n

e x ã o E d i t o r i a l




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IV. Usando o compasso, trace a mediatriz entre os pontos A e B e entre os pon-tos B e C.

C A

B

V. A interseção das duas mediatrizes é o centro da circunerência. Desenhe o diâme-tro da circunerência e meça seu comprimento com a régua.

5. Registre as medidas do comprimento da circunerência (C) e do diâmetro (D) do objetocircular na tabela. Em seguida, calcule a razão entre C e D. Registre também as medidas eas razões obtidas por quatro colegas que tenham escolhido um objeto dierente do seu.




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Objeto circular Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C

___ D

Média

a) A medida do comprimento e do diâmetro das circunerências variou de objeto para objeto?

b) E o valor da razão entre o comprimento e o diâmetro da circunerência?

c) Calcule a média das razões obtidas e registre-a na tabela acima.

d) Para uma circunerência pereita, o valor da razão entre seu comprimento e seu diâmetro se

aproxima de um valor constante, que vale aproximadamente 3,14. A essa razão oi dado onome de pi , representado pela letra do alabeto grego π. O valor da média que você calcu-lou cou acima, igual ou abaixo do valor de π? Se não oi igual, a que você atribuiria essadierença?

LIÇÃO DE CASA

6. Na malha quadriculada a seguir, desenhe três circunerências de raios iguais a 1 cm, 2 cm e3 cm, respectivamente, e trace seus diâmetros. Com o auxílio de uma ta métrica ou bar-bante e uma régua, meça o comprimento C de cada circunerência e de seu diâmetro D.Registre os valores obtidos na tabela e calcule a razão entre C e D.




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Circunerência Comprimento C (cm) Diâmetro D (cm) Razão C

___ D

C1

C2

C3

a) Calcule a razão entre o comprimento e o diâmetro de cada circunerência.

b) O que acontece quando duplicamos a medida do diâmetro da circunerência de 2 cmpara 4 cm?

c) E quando triplicamos o diâmetro da circunerência de 2 cm para 6 cm?

d) Existe proporcionalidade entre o comprimento da circunerência e seu diâmetro?




34

VOCÊ APRENDEU?

7. Se a razão entre o comprimento da circunerência (C) e seu diâmetro (D) é constante e vale, aproxi-madamente, 3,1, isso signica que podemos calcular C multiplicando D por esse valor. Ou seja,C = 3,1.D. Da mesma orma, conhecendo o comprimento C de uma circunerência, podemosobter seu diâmetro dividindo C por 3,1. Com base nessas ideias, resolva os seguintes problemas.

a) Uma pista de corrida oi construída na orma de um círculo. Sabendo-se que o diâme-tro dessa pista mede 2 km, calcule o comprimento da pista inteira.

b) Para azer uma circunerência, Marcos usou o compasso com abertura de 5 cm (raio).Quanto mede o comprimento dessa circunerência?

c) Usando um barbante, mediu-se o comprimento de uma lata cilíndrica. O resultado dessamedida oi 62 cm. Qual é o diâmetro dessa lata?

d) O aro de uma bicicleta mede aproximadamente 40 cm. A espessura do pneu é de aproxima-damente 3 cm. Qual é o comprimento da roda dessa bicicleta? Qual é a distância que essabicicleta deve percorrer em 10 pedaladas?




35


A razão áurea

Na Matemática, existem alguns números que são especiais e, por isso, recebem umnome próprio. É o caso do número pi (π), que vale aproximadamente 3,14159... e repre-senta a razão constante existente entre a circunerência de qualquer círculo e seu diâmetro.Dessa orma, em qualquer cálculo que envolva circunerências, a razão pi está presente. Umaspecto surpreendente desse número é o ato de que ele possui innitas casas decimais, semnenhum padrão aparente de repetição. Por essa razão, pi é classicado como um númeroirracional, isto é, que não pode ser gerado por uma divisão entre inteiros.

Outro número especial na Matemática, embora menos conhecido, é o f , representado

pela letra grega φ. Ele vale aproximadamente 1,618..., e, assim como o pi , tambémé irracional. O f decorre de uma razão muito especial, que pode ser encontrada nas maisdierentes situações, tanto na natureza (no ormato de uma concha, na espiral de uma marga-rida, no crescimento dos galhos de uma árvore), como nas construções humanas e suas artes(o Parthenon grego, a sede da ONU em Nova Iorque, alguns quadros de Leonardo Da Vinci,etc.). Por isso, essa razão oi chamada, também, de razão áurea ou proporção divina .

Concha Nautilus.

© G

a v i n

K i n g c o m e / S P L - L a t i n s t o c k

Templo Parthenon, 447-432 a.C., Atenas, Grécia.

© C

h a r l e s O ’ R e a r / C

o r b i s - L a t i n s t o c k




36

Leonardo Da Vinci, Mona Lisa, 1503-1507, óleosobre madeira, Museu do Louvre.

© G

i a n n i D a g l i O

r t i / C o r b i s - L a t i n s t o c k

A palavra “proporção” pode ser entendida de dierentes maneiras. No uso comum,proporção pode signicar a relação comparativa entre duas quantidades, como no casoda receita de um suco concentrado (uma parte de suco para três partes de água). Tam-bém pode signicar uma relação harmoniosa ou agradável entre dierentes partes. Porexemplo, no caso de um arranjo de fores beneito ou em uma construção de uma casa.

Na Matemática, o termo “proporção” reere-se à igualdade entre duas razões: oito estápara seis assim como quatro está para três. A razão áurea é especial porque mistura, dealguma orma, essas três ocorrências.

Podemos denir a razão áurea da seguinte maneira: se dividirmos um segmento (a) emduas partes, uma maior (b) e outra menor (a – b), a razão entre o segmento inteiro (a) ea maior parte (b) deve ser igual à razão entre esta maior parte (b) e a menor parte (a – b).

Todo (a)

Maior parte (b) Menor parte (a – b)

todo _____ maior =

maior ______ menor ⇒

a

__

b =

b _____ a – b

Essa proporção só acontece quando as razões valem, aproximadamente, 1,618, ou seja,o valor de f .




37

PARA SABER MAIS

• DISNEY.Donald no país da matemágica. Fábulas, v. 3.

• DOCKZI,G.O poder dos limites : harmonias e proporções na natureza, arte earquitetura. São Paulo: Mercuryo, 1990.

• DVD.O número de ouro. Série Arte & Matemática, TV Cultura.

• LÍVIO,Mário.Razão áurea: a história de , um número surpreendente. Rio de Janeiro: Record, 2006.

VOCÊ APRENDEU?

8. A gura a seguir é chamada de retângulo áureo, pois a razão entre seus lados vale, aproxima-damente, 1,618. Se tirarmos desse retângulo um quadrado de lado igual ao lado menor doretângulo, obteremos outro retângulo áureo, cujos lados também estão na razão áurea. Issopode ser eito continuamente, como mostram as guras a seguir:

1o) 2o)

3o) 4o)




38

Retângulo Lado maior (cm) Lado menor (cm) Razão

1o

2o

3o

4o

Média

a) Tire as medidas dos lados dos quatro retângulos assinalados e registre-as na tabela.

b) Calcule a razão aproximada entre as medidas do lado maior e do lado menor de cadaretângulo.

c) Calcule a média entre as razões obtidas.

d) A média cou próxima do valor da razão áurea?

Resposta:

Construção geométrica

9. A espiral áurea ou logarítmica é uma espiral que cresce segundo a razão áurea. O ormatoda concha Nautilus (apresentada na seção Leitura e Análise de Texto) aproxima-se deuma espiral desse tipo. A cada quarto de volta, a curva aumenta na razão de 1,618, aproxi-madamente. Essa espiral pode ser construída com base no retângulo áureo, como veremosa seguir.

Etapas:

• Usandoocompasso,traceumquartodecircunferêncianoquadradomaior(àdireita),comcentro no ponto A e raio igual ao lado desse quadrado.

• Façaomesmocomosegundoquadradomaior(emcimaàesquerda),comcentronopontoB,de modo a dar continuidade ao arco anterior.

• Repitaessaconstruçãoparatodososquadradosinternosaoretângulo.Oresultadonaléaespiral áurea.




39

C

D E

FG

B

A




40

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4GRÁFICO DE SETORES E PROPORCIONALIDADE

VOCÊ APRENDEU?

1. As circunerências a seguir oram divididas em 24 arcos de 1 cm cada um. Em cada uma delas,oi marcado um determinado ângulo central: 30º, 45º, 90º e 150º.

30º

65

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

90º

65

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

45º

65

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7

150º

65

4

3

2

1

0

23

22

21

20

191817

16

15

14

13

12

11

10

9

8

7




41

a) Registre na tabela a medida dos ângulos centrais e as medidas dos arcos correspondentes.

Ângulo central Medida dos arcos (cm)

b) Há proporcionalidade direta entre a medida dos arcos e os ângulos correspondentes?

c) Qual deve ser a medida do arco correspondente ao ângulo de 55°?

d) Calcule o ângulo central que corresponde ao arco de comprimento 7,5 cm.

O relógio e a proporcionalidade

2. O relógio da gura a seguir está marcando 1 hora. Com base em seus conhecimentos sobreângulos e proporcionalidade, determine:

a) Quantos graus o ponteiro das horas se deslocou do meio-dia até 1 hora?

Resposta:

© C





42

b) E o ponteiro dos minutos?

Resposta:

c) Desenhe, nos relógios a seguir, os ponteiros das horas e dos minutos nos seguintes horários:

(Observação: lembre-se de que o ponteiro das horas se desloca continuamente e de orma pro-porcional ao tempo decorrido.)

I. 12:30 II. 12:10

121

2

3

4

5

67

8

9

10

11

121

2

3

4

5

67

8

9

10

11

III. 2:00 IV. 2:30

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11




43

d) Preencha a tabela com os graus correspondentes aos horários marcados nos relógios, tendocomo reerência os ponteiros das horas e dos minutos às 12 horas em ponto.

Horário Tempo decorrido Ângulo em relação às 12 horasPonteiro das horas Ponteiro dos minutos

1:00 60 minutos

12:30 30 minutos

12:10 10 minutos

2:00 120 minutos

2:30 150 minutos

e) Quantos graus o ponteiro dos minutos se desloca em 1 minuto?

E o das horas?

LIÇÃO DE CASA

3. Represente os horários nos relógios e calcule a medida dos ângulos ormados pelos ponteirosdas horas e dos minutos em relação às 12:00.

a) 4:30 b) 3:20

121

2

3

45

67

8

9

10

11

121

2

3

45

67

8

9

10

11

Ponteiro das horas: Ponteiro das horas:

Ponteiro dos minutos: Ponteiro dos minutos:




44

c) 1:40 d) 5:15

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

121

2

3

4

56

7

8

9

10

11

Ponteiro das horas: Ponteiro das horas:

Ponteiro dos minutos: Ponteiro dos minutos:

VOCÊ APRENDEU?

4. Uma pesquisa oi eita com 420 pessoas para saber qual esporte elas mais praticavam. Os resul-tados encontram-se na tabela a seguir.

a) Calcule a porcentagem de cada esporte escolhido em relação ao total de entrevistados.

Esporte praticado Número de pessoas % em relação ao total

Futebol 210

Vôlei 105

Basquete 63

Corrida 42

Total 420 100

b) Qual dos grácos de setores a seguir representa melhor os dados da tabela? Justique suaresposta.

Gráco 1 Gráco 2




45

Gráco 3 Gráco 4

c) Que cor corresponde a cada um dos esportes?

5. O resultado de uma pesquisa eita com 80 pessoas com relação à preerência sobre o destino deuma viagem gerou o seguinte gráco:

Montanha

Outros

Cidadeshistóricas

Praia

a) Usando um transeridor, meça os ângulos centrais de cada setor circular representado nográco. Anote-os na tabela abaixo.

b) Calcule as porcentagens que representam a razão entre cada ângulo e 360º. Anote-as na tabela.

c) Calcule o número de pessoas que escolheu cada tipo de viagem. Anote na tabela.

Local Ângulo central % Número de pessoas

PraiaMontanhaCidades históricasOutrosTotal 100,0 80




46

6. Para saber qual era o programa cultural mais requentado pelos habitantes de uma cidade, oieita uma pesquisa, cujos resultados (em porcentagem) estão representados na tabela a seguir.

Programa preerido % Ângulo centralCinema 37,5

Música 25,0

Teatro 16,7

Dança 12,5

Outros 8,3

Total 100,0

a) Usando proporcionalidade, determine os ângulos correspondentes às porcentagens expres-sas na tabela.

b) Usando a circunerência abaixo, que oi dividida em 24 setores de 15º cada um, representeos resultados da pesquisa por meio de um gráco de setores.

(Dica : aça as aproximações dos ângulos centrais para valores inteiros.)




47

LIÇÃO DE CASA

7. Uma agência de viagens ez uma pesquisa sobre a nacionalidade das pessoas que viajarampela América Latina. A tabela a seguir mostra as porcentagens de turistas classicados pornacionalidade.

Nacionalidade % Ângulo central

Brasileiros 45

Argentinos 25

Chilenos 20

Outros 10

Total 100

a) Determine os ângulos correspondentes às porcentagens expressas na tabela.

b) Usando o compasso e o transeridor, represente as porcentagens da tabela em um gráco

de setores.

caderno do aluno matemática 6ª serie 3º bimestre

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