第５章気液界面波動と流動様式の遷移

　　

気液界面の波動

気液二相流を取り扱う上で最も重要なものの一つ

理論的な解析、実験的な解析

流動様式の遷移、伝熱限界等多くの現象に応用される

理論的な取扱は極めて難しい

ポテンシャル流についての解析

微小振幅についての線形解析

気液界面の波動の解析

２次元の水平二相流の界面波（熱の移動は伴わない）

現象を支配する方程式

気相と液相についての連続の式、運動量の式（ニュートン流体）

（連続の式）

0yv

xu gg =

∂∂

+∂∂

0y

vx

u LL =∂∂+

∂∂

気液界面の波動の解析

運動量の式（ニュートン流体）

���

����

�

∂∂+

∂∂ν+

∂∂

ρ−=

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

L2

2L

2

LL

LL

LL

L

yu

xu

xp1

yuv

xuu

tu

���

����

�

∂∂+

∂∂ν+

∂∂

ρ−−=

∂∂+

∂∂+

∂∂

2

L2

2L

2

LL

LL

LL

L

yv

xv

yp1g

yvv

xvu

tv

��

�

�

��

�

�

∂∂

+∂∂

ν+∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

g2

2g

2

gg

gg

gg

g

yu

xu

xp1

yu

vxu

ut

u

��

�

�

��

�

�

∂∂

+∂∂

ν+∂∂

ρ−−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

g2

2g

2

gg

gg

gg

g

yv

xv

yp1g

yv

vxv

ut

v

気液界面の波動の解析

境界条件　　y=hg で vg=0

　　　　　　　　　y=-hLで vL=0

気液境界面で　　 vg=vL =vi

気液境界面の方程式

dt 時間経つと界面はy方向にvi dt, x方向に

ui dt移動するので

ii vx

ut

=∂η∂+

∂η∂

)t,x(y η=

dtt

dtux

)t,x()dtt,dtux(dtvy iii ∂η∂+

∂η∂+η=++η=+

気液界面の波動の解析

運動量の境界条件

気液境界面で　　pl-pg=-σ/RR:曲率半径

2

2

32

2

2

x})x/(1{x

R1

∂η∂≅

∂η∂+∂η∂

=

気液界面の波動の解析

以上の方程式を解くことにより、気相液相の速度場と、界面の形状の変化が求まり、過界面の波動が完全に解析できる。

実際には、低レイノルズ数の場合以外は殆ど解析ができない

ポテンシャル流を仮定した解析

界面波の波長と伝播速度の関係を求める

実用上重要な界面現象の把握に役立つ

界面波の解析の方法

ポテンシャル流を仮定

界面波の形を微小振幅の線形波を与える

界面も境界として、速度ポテンシャルを求める

求めた速度ポテンシャルから速度、圧力を求め、界面での運動量バランス式を満たすように、波長と伝播速度の関係を求める。

非粘性流

渦度の保存則より初期に渦がなければ流れには渦は発生しない　　ζζζζk=rot uk=0

ストークスの定理

速度ポテンシャルφkが存在する（ポテンシャル流）

連続の式　　　　　　　　は

dSrotds kSC k uu ��� =

xu k

k ∂φ∂−=

yv k

k ∂φ∂−=

0yv

xu kk =

∂∂+

∂∂

0yx 2

k2

2k

2

=∂φ∂+

∂φ∂

ポテンシャル流の解

ラプラスの式

を変数分離法により解く

ここで気液界面を微少な線形波とする

C：波の速度、λ：波の波長　k=2π/λ, kη=2πη/λ≒0このときラプラスの方程式は

0yx 2

k2

2k

2

=∂φ∂+

∂φ∂

)ctx(kcos)y(Yxukmk −+−=φ

)ctx(ksin0 −η=η

0Ykdy

Yd 22

2

=−

双曲線関数

二階の微分方程式

の独立な解 Y=asinhky+bcoshkyY=C1exp(ky)+C2exp(-ky)と同等

0Ykdy

Yd 22

2

=−

2eekysinh

kyky −−=2eekycosh

kyky −+=

kycoshk)ky(sinh =′ kysinhk)ky(cosh =′00sinh = 10cosh =

βα+βα=β+α sinhsinhcoshcosh)cosh(βα+βα=β+α sinhcoshcoshsinh)sinh(

ycosh)ycosh( =−ysinh)ysinh( −=−

ポテンシャル流の解

速度ポテンシャルは

気相の上面でy方向速度0

これを代入して

)ctx(kcos)sihhkybkycosha(xu kkkmk −++−=φ

0)ctx(kcos)khcoshkbkhsinhka(y

v gggghy

g

hyg

gg

=−+=∂φ∂

−==

=

gggg khcosh/khsinhab −=

)ctx(kcos)yh(kcoshAxu

)ctx(kcos)yh(kcoshkhcosh

axu

gggm

gg

ggmg

−−+−=

−−+−=φ

ポテンシャル流の解

界面での気相のy方向速度、気相はugmで動

いているので

Agの求め方

この２式から

)ctx(kcoskhsinhkA)ctx(kcos)h(ksinhkAy

v ggggy

g

yg −≅−η−=∂φ∂

−=η=

η=

)ctx(kcosku)ctx(kcoskcx

ut gm00gm −η+−η−=

∂η∂+

∂η∂

g

gm0g khsinh

)cu(A

−η≅

igm vx

ut

=∂η∂+

∂η∂

ポテンシャル流の解

以上から気相の速度ポテンシャルは

同様にして液相の速度ポテンシャルも求まる

)ctx(kcoskhsinh

)yh(kcosh)cu(xu

g

ggm0gmg −

−−η+−=φ

)ctx(kcoskhsinh

)yh(kcosh)cu(xuL

LLm0LmL −+−η−−=φ

運動方程式

粘性がない流れ（完全流体）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)

ポテンシャルで書くと

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

(4)

xp1

yuv

xuu

tu

k

kk

kk

k

∂∂

ρ−=

∂∂+

∂∂+

∂∂

yp1g

yvv

xvu

tv

k

kk

kk

k

∂∂

ρ−−=

∂∂+

∂∂+

∂∂

xp1

xyyxxxt k

k2

k2k

2kk

2

∂∂

ρ−=

∂∂φ∂

∂φ∂+

∂φ∂

∂φ∂+

∂∂φ∂−

yp1g

yyxyxyt k2k

2kk

2kk

2

∂∂

ρ−−=

∂φ∂

∂φ∂+

∂∂φ∂

∂φ∂+

∂∂φ∂−

運動方程式

(3)式にdxを、(4)式にdyをかけて加える

流線に沿って積分

すでに求めたφkを代入して圧力分布が求まる

kk

2

k2

kk dp1gdyyx

d21

td

ρ−−=

��

���

��

���

��

���

∂φ∂+�

��

∂φ∂+�

��

∂φ∂−

( ) )t(Ft

gyvu21p k2

k2

kk

k +∂φ∂=+++

ρ

運動方程式

y方向の速度vkはx方向のukに比べて小さいので無視し、速度ポテンシャルはφk*を微少量として

これらを運動量式に代入して　　　　　　を平滑面での気相液相の界面の圧力として

xu2uu

*k

km2

km2

k ∂φ∂−= x

uu*k

kmk ∂φ∂−=

Lg p,p

gg0g

g2gmgg pgy)ctx(ksin

khsinh)yh(kcosh

k)cu(p +ρ−−η−

−ρ−=

LL0L

L2LmLL pgy)ctx(ksin

khsinh)yh(kcoshk)cu(p +ρ−−η+−ρ=

*kkmk xu φ+−=φ

界面での圧力

気液界面での圧力はy=ηを代入してκη≒0を用いて

界面での圧力差は表面張力による圧力

これに圧力の式、界面の式を代入して

これを解いて速度と波長の関係が求まる

g0g2

gmg0g p)ctx(ksin]gkhcothk)cu[(p +−η+−ρ−=

L0L2

LmL0L p)ctx(ksin]gkhcothk)cu[(p +−η−−ρ=

2

2

0g0L xpp

∂η∂σ−=−

k/)(gkkhcothk)cu(khcothk)cu( gLg2

gmgL2

LmL ρ−ρ+σ=−ρ+−ρ

界面波の性質

一般的な速度

安定解

IL=coth khL= coth 2πhL/λ,Ig=coth khg= coth 2πhg/λ

2lmgm2

ggll

ggll

ggll

gl

ggll

ggmgllml )uu()II(

IIII

k/g)(kII

IuIuC −

ρ+ρρρ

−ρ+ρρ−ρ+σ

±ρ+ρρ+ρ

=

��

���

�

πλρ−ρ

+λπσ

ρ•ρρ+ρ

≤−2

g)(2IIII

)uu( gl

ggll

ggll2lmgm

液深と気相高さが大きい場合

IL=coth khL≒1 Ig=coth khg≒1

最小値　　　　　　　　　の時

大気圧の水空気系で6.8m/s

��

���

�

πλρ−ρ

+λπσ

���

�

�

ρρ

+≤−2

g)(21)uu( gL

L

g2Lmgm

g)(2

gL0 ρ−ρ

σπ=λ

4/1

2g

gL

L

gLmgm

g)(12uu

���

�

���

�

ρρ−ρσ

���

�

�

ρρ

+=−

液深と気相高さが小さい場合

IL=coth khL≒λ/(2πhL) Ig=coth khg≒ λ/(2πhg)

2/1

g

ggL

2/1

L

L

g

ggLLmgm

hg)(

hhg)(uu

���

�

���

�

��

�

�

�

ρρ−ρ≅

���

�

���

�

��

�

�

�

ρ+

ρρ−ρ≤−

静止液面

ulm=ugm=0 （流れのない水面）

hg → ∞ （十分広い気相空間）　　

（池、運河、海等）

ρL≫ρg（大気圧の水－空気系）

　　　　 （＋方向のみの波の速度）��

���

�

λπ

ρπλρ+

λπσ

= l

l

lh2tanh2

g2

C

静止液面λが大きいとき(表面張力が無視できるとき)

　　hl/λ≫1の時（水深が波長より十分大きいとき、海面のうねり等）

　　　　　　　　（表面波）　

波の速度は波長の平方根に比例

　　hl/λ≪1の時（水深が波長より十分小さいとき、津波、潮汐、水路の波）

　　　　　　　　　　（長波、潮汐波）　

波の速度は水深の平方根に比例（波長に無関係）

πλ=

2gC

lghC =

静止液面λが小さいとき(表面張力が優勢の時、池の表面の小さな波)当然hL/λ≫1だから

　　　　 （表面張力波）　

波の速度は波長の平方根に反比例

λが中間的な値

hL/λ≫1の時（水深が波長より十分大きいとき）

　　　　 Cは で最小値　

λ0はラプラス長と呼ばれ大気圧の空気－水で1.7cm、C0は23cm/s

λρπσ=l

2C

πλ+

λρπσ=

2g2C

l g2

l0 ρ

σπ=λ4/1

l0

g2C ���

����

�

ρσ=

静止液面　　空気と水が逆転している場合（gを－gに置き換えればよい）

　　　　

Cは　 で虚数となり不安定

　　

（大きな波長の波は不安定となる、Rayleigh－Taylor 不安定と呼ぶ）

πλ−

λρπσ=

2g2C

l

g2

l0 ρ

σπ=λ>λ

水平流のスラギング

有限振幅波の解析

簡単な解析

波頂部での気体圧力

　　　　　　　　　　　　　　より

)9.0kh(coth45.0)9.0khcoth(k/g)uu(

g2

gg

L2lmgm −+−ρ

ρ≤−

)uu(2

pp 2gm

20g

g0gg −

ρ=−

0gggg u)hh(hu ∆−=

��

�

�

��

�

�−

��

�

�

�

∆−ρ

−= 1h/h1

1u2

pp2

g

2gm

gg0g

水平流のスラギング

波頂部での液相圧力

pg0<pL0となると波が発達する

界面波の理論

( ) hgpp gLg0L ∆ρ−ρ−=

2/1

g

ggL

2/1

2

g

ggm

hg)(

1h/h1

1

)h/h(2u

���

�

���

�

��

�

�

�

ρρ−ρ

�����

�

�

�����

�

�

−��

�

�

�

∆−

∆≥

2/1

g

ggLLmgm

hg)( uu

���

�

���

�

��

�

�

�

ρρ−ρ≥−

実験結果

実際には有限振幅波∆hが不明。実験式

∆h /hg=0.58

円管内成層流

2/1

g

ggLgm

hg)(5.0u

���

�

���

�

��

�

�

�

ρρ−ρ≥

2/1

LL

g

g

gLpgm dh/dA

Acosg)(Cu

���

�

���

����

�

�

ρθρ−ρ

≥

( )D/h1C Lp −=

液滴発生限界

Woodmansee

5.5h)cu(

We p2

gmgp =

σ−ρ

= 5.1h)cu(

We L2

gmgL =

σ−ρ

=

液滴発生限界

• 最も簡単なモデル– ポテンシャル流に基づく気液界面のKelvin-

Helmholtz不安定

•大気圧の水－空気系で6.7m/s程度– Kutateladze数

– K≧C （理論式ではK=1.4）• Cを3～4程度にとれば実験結果と合う

( ) 4/1

2g

gg g12u

��

���

��

���

ρρ−ρσ

��

���

ρρ

+≥ �

�

( ) 4/1

2g

gg

uK

��

���

��

���

ρρ−ρσ

=�

液滴発生限界

• Kutateladzeの式

K = 23 Rel-1/3 （水平流）

　　　　　　　　　　　　　　　（垂直流）

　　　　　　液膜レイノルズ数

実用的な範囲での平均値－－－3～4の値

( )073.0

2/12/3g

2

2/32/1g

24.0g3/1

gRe34K

��

�

�

��

�

�

ρ−ρνσ

���

����

�

ρρ+ρ

���

����

�

νν

=−

−

���

�

�

�

l

l

l

ll

u4DjReνδ≡

ν≡

液滴発生限界• Steen & Wallisの式

• Ishii &Gromlesの式

　　　　　　　　　　　　　　　　　Rel≦1635

　　　　　　　　　　　 Rel≧1635

Relが大きいところ（液膜厚さが厚い）ところでは一定値

42/1

gg 1046.2u −×=��

�

����

�

ρρ

σµ

�

��

���

� ≥=

��

���

� ≤=���

����

�

ρρ

σµ

µ−

µ−

µ

151N Re1.35

151N ReN78.11u

3/1

3/18.02/1

g

��

���

�

�

��

���

� ≥=

��

���

� ≤=���

����

�

ρρ

σµ

µ

µµ

151N 1116.0

151N Nu 8.0

2/1g

�

��

�

� ( )gg

N

ρ−ρσσρ

µ=µ

�

�

�

�

液滴発生限界の式の相互比較大気圧１５゜Ｃの空気水系二相流

　　

フラッディング現象と界面波

液相と気相の速度は逆方向

波に重力が影響しないg=0

IL=coth kym≒λ/(2πym)>>1 Ig=coth khg≒1フラッディング条件

λが未定−−−実験値

��

���

�

λπσ

ρ•ρρ+ρ

≤+ 2IIII

)uu(ggll

ggll2lmgm

2/1

gLmgm

2uu���

�

���

�

λρπσ=+

フラッディングの相関式

Wallisの式

C=0.725～0.75(角張った入り口）

C=0.88～1(なめらかな入り口）

CUU *L

*g =+

g

gL

g*g )(gD

UU

ρρ−ρ

=

L

gL

L*L )(gD

UU

ρρ−ρ

=

極大熱流束

各沸騰から膜沸騰への遷移

蒸気ー水界面の不安定性

蒸気膜の波長

蒸気柱の直径λ0/2Rayleighの不安定性

��

���

�

λπσ

ρ•ρρ+ρ

≤+ 2IIII

)uu(ggll

ggll2lmgm

2/1

gl

gllmgm

2uu���

�

���

�

ρρρ+ρ

λπσ=+

g)(2

gL0 ρ−ρ

σπ=λ

20λπ=λ

20

g 2A �

�

���

� λπ=

2/1

gl

L

4/1

2g

gLfgggmgcrit

g)(157.0

AHAu

q���

�

���

�

ρ+ρρ

���

�

���

�

ρρ−ρσ

=ρ

=

lmLggmgg u)AA(uA ρ−=ρ