2012-9-26 1

第2章控制系统的数学模型

2012-9-262

第2章 控制系统的数学模型第2章 控制系统的数学模型

模型 分析

时域法

根轨迹法

频域法

设计校正

品质指标法

2. 动态结构图等数学模型。

本章主要讨论：

1.何用解析法来建立线性定常系统的微分方程(传递函数)。

2012-9-263

本章主要内容本章主要内容

数学模型的建立与线性化数学模型的建立与线性化

典型环节的传递函数

结构图的等效变换

脉冲响应函数2.4

2.1

2.2

2.3

对对自动控制系统性能的基本要求2.5

2012-9-264

模 型：动态模型；静态模型。

数学模型：微分方程 或传递函数称为自控系统的

数学模型。

建模方法：机理分析法

实验辨识法（测试法）

统计数据推演法

模型种类：微分方程

传递函数

动态结构图

2012-9-265

2.1 数学模型的建立与线性化

2.1.1 模型的建立

建模的方法步骤：

1.将系统分成若干个独立的环节,确定系统的

输入量、输出量。

2.找出系统及环节的输入量、输出量之间的信

息关系，确定支配关系的物理(化学)规律,

列写原始方程。

3.消去中间变量, 后得到只含输入、输出量

的数学模型。

2012-9-266

[例2-1]编写液位系统以流入量Q1为输入量，以水头H为输出量的数学模型。

设：液体是不可压缩的；液箱横截面积F在h的变化范围内为常数。

2.1.1 模型的建立

2012-9-267

1.将系统分成若干个独立的环节，确定系统的输入量、输出量。

在某个平衡状态下：

液箱 h↑h↑负载阀 q2↑q2↑ h↓h↓↑q1

液箱液箱

负载阀负载阀

q1

q2

q1-q2 h

q1-q2

2012-9-268

2.找出系统及环节的输

入量、输出量之间的信

息关系，确定支配关系

的物理（化学）规律，

列写原始方程。

）（121 dtdhFqq =−

系统处于层流状态时：

系统处于紊流状态时：

)/()(

3 秒米流量变化

米液位差变化=R ）（2

2qhR =

)3(2 hcq =

流量

h

雷诺数2000 3000

0

2012-9-269

3.消去中间变量， 后得到只含输入、输出量的数学模型。

当系统处于层流状态时，式（2）代入式（1）得

)5()()()11

sRQsHFRS =+（

1

1 )4(

RqhdtdhFR

dtdhF

Rhq

=+

=−

或

对式（4）在“0”初始条件下进行L变换

）（121 dtdhFqq =−

）（22q

hR =

2012-9-2610

传递函数定义:在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数，记为G(s).

整理式（5）

)6(1)(

)(

1 FRSR

sQsH

+=

FRSR

+1Q1(S) H(S)

)5()()()11

sRQsHFRS =+（

2012-9-2611

当系统处于紊流状态时：

式（3）代入式（1）得

如果以（q1-q2）为输入量，以h为输出量

由式（1）

非线性模型)7(1qhCdtdhF =+

)8(21 qqqdtdhF =−=

)9(1)()(

FSsQsH=

FSR+1

Q1(S) H(S)

）（121 dtdhFqq =−

)3(2 hcq =

2012-9-2612

分析

1.对同一个系统，不同输入、输出信号之间的模型是不同的。

2.对同一个系统，系统工作在不同信号区间，模型是不同的。

2012-9-2613

2.1.2 非线性模型线性化2.1.2 非线性模型线性化

具有连续变化的非线性函数的线性化，

可用切线法或小偏差法。在一个小范

围内，将用一段直线来代替非线性特

性（分段线性）。

一个变量的非线性函数 y=f(x)在x0处连续可微，则可将它在该点附件

用台劳级数展开。

增量较小时略去二阶及其以上导数项，则有

即Δy=kΔx式中K为比例系数，函数在x0点切线的斜率。

⋅⋅⋅⋅⋅⋅+−+−+== 2''' )0)(0(!2

1)0)(0()0()( xxxfxxxfxfxfy

)0)(0()0()(0 ' xxxfxfxfyy −=−=−

yyy Δ+

0

y0 AB

x0 xx Δ+0

2012-9-2614

[例2-2]将液位系统的非线性微分方程线性化。

解：∵

在工作点（q20,ho)附近线性化

∴

1qhCdtdhF =+

hcq =2

ch

RhR

hh

cq 0''

02

212

=== 其中

1'

'1 '1 qRhdtdhFR

dtdhFh

Rq =+=− 或

2012-9-2615

2-2 典型环节的传递函数

所谓典型环节就是构成系统的一些基本要素，不同性质的物

理系统常常有相同的数学模型。任何线性连续系统的数学模

型可以看作一些基本环节组合而成 。

1.放大环节（比例环节、无惯性环节 ）

式中：K-增益，储能元件

特点：无储能元件；输入输出量成比例，无失真和时间延迟。

实例：电子放大器，齿轮，电阻（电位器），感应式变送器等。

KsGsRsC

== )()()(

2012-9-2616

stL 1)](1[ =

sksC =)(KsG

sRsC

== )()()(

[例]如图所示为运算放大器。设输入为ui(t)，

输出为uo(t)，求其传递函数。

解:根据电路定律，可知该电路的微分方程为:

R1ui uo

+-

R2

图 运算放大器

式中，K= -R2/ R1

2

0

1

)()(R

tuR

tui −=

传递函数为:K

RR

sUsUsG

i

=−==1

20

)()()(

单位阶跃函数:r(t)=1(t)

单位阶跃响应:

kLtc sk == − ][)( 1

t

)()( tctr

0

1K<1

K>1

2012-9-2617

2.惯性环节

式中，T-时间常数

特点：

(1) 由一个储能元件，和耗能元

件组成,对突变的输入其输出不能

立即复现，输出无振荡；

(2)有一个负实数极点(-1/T)。

单位阶跃响应

σ

j

T1

−1

1)()()(

)()()(

+==

=+

TssRsCsG

trtcdt

tdcT

tTetc

TsssTs

sRsGsC

⋅−−=

+−=⋅

+==

1

1)(

]111[1

11)()()(

2012-9-2618

3.积分环节

其中T称为积分时间常数。

特点：

(1)有一个位于复平面坐标原点的极点。

(2)输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。

单位阶跃响应:

Tssk

sRsCsG

dttrktc1

)()()(

,)()(

===

∫=

σ

j

kttc =)(

t

)()( tctr

0

1 r(t)

C(t)

2012-9-2619

4.微分环节

(1)理想微分环节

其输出和其输入量的导数成比例，

其中，Td是微分时间常数;单位阶跃响应:

它是一个幅值为无穷大而时间

宽度为零的理想脉冲信号.(2)实际微分环节

单位阶跃响应

STsG d=)(

)()(1)( tTtdtdTtc dd δ==

dTt

dd

dd eKssT

sTKLtc−

− =+

= ]11

[)( 1

sTsTksG

d

dd

+=

1)(

kd=2,Td=1时

2012-9-2620

5.振荡环节

式中, -阻尼比；

-自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）

时有一对共轭复极点：

22

2

22 2121)(

nn

n

wswsw

TssTsG

++=

++=

ξξ

nω

)10(1 22,1 <≤−±−= ζζωζω nn jp

ζ

10 <≤ ξ

)1

tansin(1

1

]12

[)(

21

2

22

21

ξξ

ξ

ωξωω

ξω −+

−−=

⋅++

=

−−

−

twe

sssLtc

d

t

nn

n

n

单位阶跃响应:

σ

j [S]

nwξ−

21 ξ−nw

2012-9-2621

特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。

实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。

)(2

2

tuudt

duRC

dtud

LC ccc =++

2012-9-2622

6.延时环节

这是一个超越函数，可以认为它有无穷多个零点和极点。其中 为延迟时间。

特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。

单位阶跃响应

sesG τ−=)(

)(1)( τ−= ttc

τ

t

C(t)

1

τ

2012-9-2623

分析：典型环节可以是控制系统的任何一部分，如果是调节器（控制器），那么常见的就有

(1)比例调节器(P,propotional) u(t)=Ke(t)

(2)积分调节器(I,integral)

(3)比例-积分调节器(PI)

(4)比例-微分调节器(PD,differential)(5) PID

∫+=t

i

dtteT

tektu0

)(1)([)(

∫=t

i

dtteT

tu0

)(1)(

])()([)(dt

tdeTtektu d+=

])()(1)([)(0 dt

tdeTdtteT

tektut

di∫ ++=

2012-9-2624

Ic p( )

sKG s K= +

PI控制器

PI控制器的传递函数为：

PID控制器

PID控制器的传递函数为： Ic p D( )

sKG s K K s= + +

2012-9-2625

2-3 结构图的等效变换2-3 结构图的等效变换

2.3.1 典型连接的传递函数1.单元方块

2. 串联连接

1 2( ), ( ), , ( )nG s G s G sL

G(s)R(s) C(s)

G1(s) G2(s)U(s)

G1(s)G2(s)R(s) C(s)

)()()()()()s(G sRSGsC

sRsC

== 即

)()()()()( 21 sGsG

sRsCsG ==

R(s) C(s)

对于 个串联环节,n 其传递函数分别为：

则其等效环节的传递函数为： 1 2( ) ( ) ( ) ( )nG s G s G s G s= L

2012-9-2626

3.并联连接 G1(s)R(s) C(s)

G2(s) (±)

+

G1(s) (±)G2(s)R(s) C(s)

x

1 2 3( ) ( ) ( ) ( )G s G s G s G s= − +

2012-9-2627

4.反馈连接

开环传递函数

前向通道的传递函数

)()( 1)()(1)(

)()(

±=

±=

sHsGsG

sRsC

G(s)R(s) C(s)

H(s)

+−+ )(

闭环极点：1+开环传递函数=0的根

开环极点：开环传递函数=0的根

2012-9-2628

−+ )(

U(s)

X1(s)

X2(s)

Y(s)

−+)(+

+ −+ )(

U(s)

X2(s)

X1(s) −+)(+

+

−+ )(

U(s)

X1(s)

X2(s)

Y(s)

−+)(

+

Y(s)

2.3.2 综合点(相加点)和分支点的变位运算

1.相加点的变位运算

2012-9-2629

G1(s)

G2(s)

Y1(s)

Y2(s)

Y(s)G2(s)

G1(s)

Y2(s)

Y1(s)

Y(s)

G1(s)

G2(s)

Y1(s)

Y2(s)

Y(s)

2.分支点的变位运算

2012-9-2630

3.分支点的前(后)移动

G2(s)

G1(s)U(s) Y(s)

X(s)G1(s)G2(s)

G1(s)U(s) Y(s)

X(s)

4.相加点(综合点)的变位

G2(s)

G1(s)U(s) e Y(s)

X(s)G2(s)/G1(s)

G1(s)U(s) Y(s)

X(s)

__

Y(s)=G1(s)U(s)-G2(s)X(s)

2012-9-2631

分析1.等效变换主要运用线性系统的迭加原理。2.变换前后输出量信号保持不变。3.不要将信号相加点和分支点相邻，不可移动。

4.相邻综合点可互换位置、可合并…

5.相邻引出点可互换位置、可合并…

6.不是典型结构不可直接用公式。

G

H-

A BG H

-A B1

H

2012-9-2632

[例2-3]根据结构图所示系统，将输出量C(s)用R1(s),R2(s)表示。

G2(S)G2(S)

G1(s)G1(s)

H(s)H(s)

R2(s)

R1(s)

C(s)

_+

+

+

2012-9-2633

解:1.求C(s)=f(R1(s)),今R2(s)=0

)()()(1)()(

)()(

21

21

1

1

sHsGsGsGsG

sRsC

+=

)()()(1)(

)()(

21

2

2

2

sHsGsGsG

sRsC

+=

)()()()(1

)()()()()(1

)()()()()( 221

21

21

2121 sR

sHsGsGsGsR

sHsGsGsGsGscscsC

++

+=+=

2.求C(s)=f(R2(s)),今R1(s)=0

∴

2012-9-2634

[例2-4]化简如图所示系统方框图,并求传递函数U1(s)/U2(s)。

解：

-

1( )U s

1

1R

- 1

1sC

- 2

1R 2

1sC

2 ( )U sA B

分支点B向后移动

-

1( )U s

1

1R

- 1

1sC - 2

1R 2

1sC

2 ( )U sA B

2sC

(1)

2012-9-2635

第二个小回路化简

-

1( )U s

1

1R

- 1

1sC

2 ( )U sA

2sC

2 2

11R C s +

-

1( )U s

1

1R

- 1

1sC - 2

1R 2

1sC

2 ( )U sA B

2sC

(2)

2012-9-2636

相加点A前移(3)

-

1( )U s

1

1R

- 1

1sC

2 ( )U sA

2sC

2 2

11R C s +

-

1( )U s

1

1R- 1

1sC

2 ( )U sA

1 2R C s

2 2

11R C s +

2012-9-2637

-

1( )U s 2 ( )U sA

1 2R C s

2 2

11R C s +1 1

11R C s +

22

1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2

( ) 1( ) ( ) 1

U sU s R R C C s R C R C R C s

=+ + + +

(4)

2012-9-2638

2-4 脉冲响应函数2-4 脉冲响应函数

单位理想脉冲函数的定义：

单位理想脉冲的面积，即冲量为

设线性定常系统的传递函数为G(s),则

C(s)=G(s)R(s) （1）

若输入信号是一个单位理想脉冲，即

其L变换为

将式（2）代入式（1）得： C(s)=G(s)

⎩⎨⎧

≠=∞

=000

)(tt

tδ

∫+∞

∞−== 1)( dttS δ

)()( ttr δ=

）（21)]([)( == tLsR δ

2012-9-2639

脉冲响应函数的定义：在零初始条件下，线性定常系统对理想脉冲信号的时域响应函数。用g(t)表示。

例1：已知系统的脉冲响应函数如下，求系统的传递函数。

g(t)=0.1(1-e-t/3)解：G(s)=L[ 0.1(1-e-t/3)]

)13(1.0]

1331[1.0

+=

+−

ssss=

例2：已知系统的传递函数如下，

求系统的脉冲响应函数。

解：相当于

∴

25625

)()()( 2 ++==

sssRsCsG

tetwewtg

www

wwwsws

w

td

twn

ndn

nnnn

n

n 4sin25.6sin1

)(

41,6.0,5

62,252

3

2

2

222

2

−− =−

=

=−===

==++

ζ

ζ

ζζ

ζζ

2012-9-2640

2.5 信号流图与梅逊公式2.5 信号流图与梅逊公式

一、信号流图及其组成

信号流图是由节点和支路组成的信号传递网络，是线性方程组变量间关系的图形表示。

例1 为节点：表示变量或信号

为支路：有方向，有权U(S)

I(S)

I(S) U(S)

R

R

RI(S) U(S)

2012-9-2641

例

4个节点，6条支路

节点 相加点、分支点

源节点 阱节点 混合节点

前向通路 前向通路总增益

P1=ace； x1 x2 x3 x4

P2=be； x1 x3 x4

x1 x2 x3 x4

a

b

c

d

f

434

213

412

11

fxexxcxbxxdxaxx

xx

+=+=+=

=

2012-9-2642

x1 x2 x3 x4

a

b

c

d

f

回路：起点和终点在

同一节点，且信号通

过任一节点不多于一

次的闭合通路。

回路增益

L1=ced; x2 x3 x4 x2L2=f; x4

不接触回路：回路间没有

公共节点。

X1X2 X3

X4

x1 x2 x1回路增益：L1=ad

x3 x4 x3回路增益： L2=cf

2012-9-2643

二、信号流图的绘制

1.由系统的传递函数(微分方程)绘制

“结果”只能出现在方程的左边一次,其余作为”原因”例: 绘制RLC电路的输入电压

与电容电压输出之间的

信号流图.

∑=

==n

iiijj njsxsGsx

1)2,1()()()( L

2012-9-2644

2.由系统结构图绘制信号流图

结构图 信号流图

输入量 源节点

输出量 阱节点

方框 支路

传递函数 增益

相加点、分支点 混合节点

2012-9-2645

三、信号流图的等效变换

1.加法-并联支路的简化

2.乘法-串联支路的简化

3.支路移动法则-混合节点的吸收

4.自回路的消除

2012-9-2646

四、Mason(梅逊)增益公式

△: 流图的特征式= 1 - 所有不同回路传递函数乘积之和+每两个互不接触回路传递函数乘积之和-每三个…

n:从输入节点到输出节点的前向通路总数；

Pk :第k条前向通路传递函数的乘积；

△k:与第k条前向通路不接触部分的△回路。

k

n

kkpsG Δ

Δ= ∑

=1

1)(

∑∑∑ −+−=Δb c

cba

a LLL ..........1

2012-9-2647

1 1 2( ) ( )L G s G s= −

1 ( )G s

例：控制系统的方框图如图所示,画出信号流图，并用Mason公式求传递函数 Y(s)/R(s)

2 ( )G s

3 ( )G s

+-

( )R s ( )Y s( )E s

[解] ( )R s( )E s

( )E s

( )Y s ( )Y s1

1

1

1−

1 ( )G s 2 ( )G s

3 ( )G s

只有一个回路：

1 1 21 1 ( ) ( )L G s G sΔ = − = + 1 1Δ =2 1Δ =

2

1

( ) 1( ) k k

k

Y s PR s =

= ΔΔ∑

1 2 3 2

1 2

( ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( )

G s G s G s G sG s G s

+=

+

2012-9-2648

本章小结

1.建模

2012-9-2649

2.控制系统方框图的化简及传递函数

方框图化简的本质 代数方程组的图解法

基本的方框图化简

串联方框图的化简

并联方框图的化简

单回路反馈的化简

解除交叉结构的方法 移动分支点或相加点