c1 sisteme dinamice continue, 01.10.2015, 0ra 6,30

8/17/2019 C1 Sisteme Dinamice Continue, 01.10.2015, 0ra 6,30

1/25

Capitolul 1

Curs 1: Sisteme dinamice continue

1. Noţiuni introductive

- Isocline, câmpuri de direcţie şi diagrame în spaţiul fazelor.

2. Analiza dinamicii modelelor unidimensionale dinamice continue

- !odelul !alt"us

- !odelul #arrod $omar

- !odelul %olo&

Isocline'cur(e de indiferen ), câmpuri de direcţie şi diagrame în spaţiul fazelor ț

-În multe modele economice, putem avea ecuații diferențiale sau cu diferențefinite ale căror soluții nu le putem determina explicit, chiar dacă avem formaimplicită a ecuației.

Pentru a avea informații relative la soluție putem analiza propriet)ț ile calitative ale soluț iei.

Considerăm ecuația diferențială de ordinul unu:

(1) Isocline'cur(e de indiferen )ț și câmpuri de direcț ie

Pentru fiecare pereche ( *, +), ecuația (1) specifică panta în acel punct.

raficul tuturor pantelor formea!ă câmpul de direcț ie al ecuaț iei diferenț iale șid) flu*ul soluț iilor.

C"mpul de direcție poate fi asemănat cu pilitura de fier care se orientea!ă după

for țele ma#netice.

1


2/25


3/25

, este tocmai isoclina f ( *,+)m scrisă în formă explicită.

$iagrama în spa iul fazelor'diagrama fazelor pentru modelele dinamice cu oț

singur) varia(il)

(%pa ul fazelor ț pentru un sistem dinamic este sta iul în care se pot repre!entațtoate stările posi&ile ale unui sistem, i mi carea acestora. Conceptul de spa iulș ș țfafelor a fost introdus la sf"r itul sec al *lea, de cătreș udi# /olt!mann,0enri Poincar, 2illard i&&s).

Considerăm *t funcție continuă de timp.

Considerăm o ecua ie diferen ialăț ț .

3olu ia ecua iei diferen iale, pentru t varia&il, se nume teț ț ț ș traiectorie.

C"nd , soluția se nume teș punct fi*, punct de

ec"ili(ru, punct critic sau soluț ie staț ionar).

acă traiectoria conver#e din orice punct ini ial, către punctul de echili&ruț , putem spune că punctul fix este de tip atractor.

Punct fix atractor , traiectoria x(t) crește p"nă la și scade după . 4ste un punct fix sta&il.

acă traiectoria se îndepărtea!ă de , din orice punct ini ial, spunem căț punctul fix este de tip repelor.

3

https://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmannhttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9https://en.wikipedia.org/wiki/Willard_Gibbshttps://en.wikipedia.org/wiki/Ludwig_Boltzmann


4/25

Punct fix repelor traiectoria x(t) se îndepărtea!ă de , este un punct fixinsta&il.

Analiza dinamicii pentru modelele dinamice unidimensionale continue

Exemplul 1:

Modelul de creștere a populației Malthus:

(5)

p(t) populația la momentul t

/ - rata constantă de creștere a populației, 678.

4cuația (5) este ecuație diferențială de ordinul unu liniară omo#enă, cuvaria&ile separa&ile.

9e!olvare:

*nte#ram ecua ia de mai sus:ț

nde C este constanta #enerali!ată ar&itrară.

4


5/25


6/25

$i#ura: Creșterea Balthusiană a populației

Figura: C"mpul de direcție pentru modelul creșterii Balthusiene a populației

Punctul fix, solu ia sta ionară, satisface ecua ia:ț ț ț

3ta&ilitatea punctului fix este dată de comportarea traiectoriei pentru.

6


7/25

deci sistemul este insta&il, c"mpul de direc ie se va îndepărta de punctul fix,ț punctul fix este de tip repelor.

În ca!ul sistemelor dinamice unidimensionale de ordinul înt"i omo#ene, solu+ia

#enerală a ecua+iei omo#ene este de forma .

acă , sta&ilitatea este asi#urată (ve!i cursurile de /a!ele ci&erneticiieconomiceD).

Exemplul 2: Modelul de creștere economică Harrod- Domar

1E5E-9o' 0arrod1EFG-4vse' omar 4ste un model post He'nesian timpuriu de creștere economică.* s-a reproșat insta&ilitatea soluției.Controversele academice au dus, după 1E?8 la de!voltarea modelului 3olo-3an.

%ota+ii, ipote!e:%t - economiile sunt propor ționale cu venitul 0t

It-investițiile (modificările în stocul de capital) sunt propor ționale cumodificările venitului@%tIt -la echili&ru, economiile sunt e#ale cu investițiile. s- propensitatea medie (e#ală cu cea mar#inală) către economisire@ v- ponderea investițiilor în sporul total al venitului, sau inversul productivită iițmar#inale a capitalului.

Bodelul:

7


8/25

9e!olvarea modelului:

4cua+ie diferen+ială liniară, de ordinul unu, cu coeficien+i constan+i, omo#enă.

eterminarea constantei de inte#rare:

=emă:

8


9/25

3crie i re!olvarea ecua iei:ț ț

Cu condițiile inițiale:

*nterpretare economică:În soluție, (traiectoria venitului):

-Iarranted rate of #rothD rata Austificată de creștereeconomică: se Austifică prin structura economică dată de parametrii modelului: s

iș

Punct fix:

=ipul de punct fix:

Punct fix de tip repelor , sistem #lo&al insta&il.3e spune #lo&alD sta&ilJinsta&il, dacă există un sin#ur punct fix.

9


10/25

$i#ura: Cîmpul de direcție pentru modelul 0arrod-omar

Temă: $olosind 4C4@ determinați traiectoriile pentru indicatorii: 0t, It,

t, cunosc"nd datele:

10


11/25

4xerci iu:ț

xemplul !:

Modelul de cre tere ec"ili#rată al lui Solo$ ș

*pote!e:

1. func ia de produc ie macroeconomică, de douăț țori diferen ia&ilă, omo#enă de #rad unu@ț

în!estrarea tehnică a muncii@

venitul per capita@

Calculul venitului per capita:

11


12/25

Presupunem func ia de produc ie omotetică (omo#enă de #rad unu:ț ț

)

>.$or a de muncă cre te cu o rată constantăț ș n, care este independentă devaria&ilele celelalte ale sistemului:

5. 4conomiile sunt o pondere constantă în valoarea venitului, (% s0 ), seste rata economiilor, dată exo#en: modelul lui 3olo este model decre tere economică exo#enă.ș

F. 4conomiile în echili&ru, sunt e#ale cu investi iile:ț

.

F. *nvesti iile &rute sunt e#ale cu varia ia stocului de capital (investi iaț ț țnetă) plus înlocuirea capitalului fix u!at:

nde este rata amorti!ării. !odelul lui %olo& în m)rimi totale

12


13/25

Înlocuind primele două ecua ii în a treia, o& inem:ț ț

4cua ia de dinamică a capitalului sau investi ia netă.ț ț

=ransformăm modelul în mărimi per capita:

;tunci:

!odelul lui %olo& în m)rimi percapita constă în ecua ia de dinamică ațîn!estrării tehnice a muncii sau investi ia netă în mărimi per capita de mai susț

i condi ia ini ială:ș ț ț

Putem re!olva ecua ia dinamică a capitalului per capita dacă dăm o formățanalitică func iei de produc ie per capia.ț ț

Presupunem că este o func ie Co&&-ou#las omotetică (omo#enă de #rad unu):ț

13


14/25

4cua ia de dinamică a capitalului per capita va fi:ț

4cua ia diferen ială o& inută este:ț ț ț

ecua ie diferen ială neliniară, omo#enă, de tip /ernoulli.ț ț

9e!olvarea ecua iei /ernoulli:ț

3chim&area de varia&ilă:

erivăm în raport cu timpul:

4xplicităm din rela ia de mai sus:ț

14


15/25

Împăr im ecua ia de dinamică laț ț :

Înlocuim în ecua ia de mai sus:ț


16/25

3olu ia #enerală a ecua iei omo#ene este:ț ț

nde C este constantă #enerali!ată ar&itrară.

3olu ia particulară este de forma termenului li&er:ț

Punem condi ia ca solu ia particulară să verifice ecua ia neomo#enă:ț ț ț

eterminăm constanta :

3olu ia #enerală a ecua iei neomo#ene este suma între solu ia #enerală aț ț ț

ecua iei omo#ene, plus o solu ie particulară:ț ț

eterminarea constantei de inte#rare:

Pentru

9e!ultă solu ia:ț

16


17/25

eterminarea traiectoriei venitului per capita:

Considerăm condi iile ini iale:ț ț

;tunci:

3au:

;ceasta este traiectoria echili&rată de evolu ie a în!estrării tehnice a munciiț(corespunde traiectoriei sta ionareJechili&rate, determinate din condi ia deț ț

echili&ruJsta ionariateț ).

%emă:

educe i traiectoria de evolu ie a în!estrării tehnice a muncii în ca!ul modeluluiț țde cre tere echili&rată al lui 3olo.ș

%raiectoria de e&olu ie a stocului total de capital ț (se o& ine multiplic"ndț

traiectoria venitului per capita, cu ):

17


18/25

------------------------------------------------------------

%emă: educe i traiectoria de evolu ie a capitalului total.ț ț

Punctele sta ionare:ț

Punctele fixeJsta+ionareJde echili&ru sunt:

iș

Bodelul 3olo are deci două puncte fixe.

%u poate fi #lo&al sta&il, întruc"t aceasta este o proprietate posi&ilă pentrusistemele cu un sin#ur punct fix.

a sistemele cu mai multe puncte fixe sta&ilitateaJinsta&ilitatea se sta&ile teș pentru fiecare punct fix în parte: este sta(ilitate'insta(ilitate local), într-ovecin)tate a punctului fi* .

Pentru modelul 3olo, primul punct fix este local insta&il, iar al doilea estelocal sta&il:

18


19/25

9e!ultă că:

, deci este atractor

acă traiectoria conver#e către , re!ultă

este repelor , întruc"t traiectoria se depărtea!ă de acest punct fix,

c"nd .

Într-o vecinătate a lui , traiectoria tinde către , sistemul este local sta(il.

Întruc"t traiectoria tinde asimptotic către , sistemul este local, asimptoticsta#il .

$i#ura: =raiectoria în!estrării pentru diferite valori inițiale ale lui 6(t).

19


20/25

$i#ura: C"mpul de direcție pentru modelul lui 3olo.

Analiza traiectoriei 'n spa iul fazelorț :

9epre!entăm #rafic func iaț

20


21/25

9epre!entăm #rafic cur&a , adică , în

planulPuncte sin#ulare:

erivăm func+ia în raport cu / Ki e#alăm derivata cu!ero, pentru a afla punctele sin#ulare.

21


22/25

, este punct sin#ular.

Pentru a afla natura punctului sin#ular, calculăm derivata a doua:

, punct de maxim.

6(t)

8 max 8

L L L L L L8- - - - - -

9e!ultă deasupra a&scisei (la st"n#a lui )și su&

a&scisă (la dreapta lui ).

(n&esti ia #rută i in&esti ia de compensareț ș ț

Investi ia de compensareț este destinată înlocuirii capitalului fix u!at i dotăriișcu capital a personalului intrat în activitate.

22


23/25

În punctul , investiția &rută este e#ală cu investiția decompensare:

$i#ura: *nvestițiile &rute și investițiile de compensare

Pentru 6 , , respectiv investițiile &rute sunte#ale cu investițiile de compensare.

acă , investi iile de compensare sunt mai mici dec"t investi iileț ț &rute i stocul de capital per capita va cre te.ș ș

acă 67 , investițiile de compensare devin mai mari dec"t investițiile &rute, ceea ce determină scăderea stocului de capital per capita, cu valoareacapitalului necesar în!estrării sporului de for ță de muncă și a capitalului fixu!at.

sf/ sunt investițiile &rute, care în condi ii de echili&ru, tre&uie să fie e#ale cuțeconomiile@

23


24/25

sunt investițiile de compensare: compensea!ă capitalul fix u!at șiîn!estrarea tehnică a muncii pentru sporul populației.

;m o&+inut re!ultatele:

capitalul crește@

capitalul scade@

capitalul răm"ne la valoareastaționară, pe temen indefinit.

%emă:

etermina i traiectoria în!estrării tehnice a muncii, a capitalului total, aț popula iei totale, a venitului per capita i a venitului total, cunosc"nd datele:ț ș

, pentru =18 ani.

)ata de cre tere ec"ili#rată: ș

4ste rata de cre tere a indicatorilor macroeconomici pe traiectoria echili&ratăș .

9ata de cre tere echili&rată a venituluiș

9e!ultă:

;tunci:

24


25/25

9ata de cre tere echili&rată a venitului este n, e#ală cu rata de cre tere aș ș popula iei.ț

Pentru stocul total de capital :

3e traiectoria de creştere ec"ili(rat), rata de creștere a capitalului și a

venitului sunt constante și egale cu rata de creștere a populaț iei, n.

c1 sisteme dinamice continue, 01.10.2015, 0ra 6,30

Documents