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365 Análisis matemático para Ingeniería. M.MOLERO; A.SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

ECUACIONES DIFERENCIALES

ORDINARIAS

El Análisis ha sido durante trescientos años una de las ramas más

importantes de la Matemática, y las ecuaciones diferenciales constituyen la

parte central del Análisis, además es la que mejor permite comprender las

ciencias físicas y la técnica. Las cuestiones que plantean proporcionan una

fuente de teoría e ideas que permiten avanzar al pensamiento.

En este libro se pretende establecer la relación existente entre las

matemáticas puras y las aplicadas, por lo que se ha considerado muy

interesante introducir las ecuaciones diferenciales presentando muchos

ejemplos concretos y situaciones sencillas del mundo real, y de esta forma

conseguir dos objetivos, por un lado la comprensión de la importancia histórica

que las ecuaciones diferenciales han tenido en el desarrollo de la Matemática y

su actual vigencia y relevancia, es decir, el interés que tiene su estudio desde

el punto de vista matemático. Por otro lado, al estudiar modelos válidos para

explicar situaciones sencillas del mundo real, se motiva la aplicación en

contextos diversos y el tratamiento de diferentes cuestiones asociadas a ellos,

como existencia y unicidad de las soluciones de un problema de valor inicial,

estabilidad, problemas de contorno, comportamiento cualitativo de las

soluciones, que explican la solución del problema y permiten generalizar los

resultados. Para que el ingeniero pueda usar con confianza las ecuaciones

diferenciales debe tener un cierto dominio sobre las técnicas de solución y un

conocimiento suficiente sobre la teoría básica.

366 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias © M.MOLERO; A.SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA

Las ecuaciones diferenciales aparecen en casi todas las áreas de la

Ingeniería Civil, desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. Pero

también tienen como finalidad básica servir como instrumento para el estudio

del cambio en el mundo físico; por todo esto se exponen aplicaciones tales

como la del problema de la braquistócrona, las leyes de Kepler, el oscilador

armónico, la teoría del potencial, las ecuaciones depredador-presa, la

mecánica no lineal, el principio de Hamilton o el problema mecánico de Abel...,

pues el tratamiento matemático de estos problemas es un gran logro para

nuestra civilización.

La razón de esta gran cantidad de aplicaciones se debe a que la derivada

se puede interpretar como el índice de cambio de una variable respecto de la

otra, y las variables que explican los fenómenos se relacionan entre sí por sus

índices de cambio. Al expresar estas relaciones mediante símbolos

matemáticos se obtiene una gran cantidad de ecuaciones diferenciales.

Es interesante detenerse en algunas de las aplicaciones, pues como dice

Simmons1

1 Simmons, F. (1988): Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones y notas

históricas. McGraw-Hill.

: “... que tratan sobre este tema (ecuaciones diferenciales ordinarias)

me hacen pensar en un autobús turístico cuyo conductor conduce a gran

velocidad para cumplir sus horarios, y sus pasajeros tienen pocas o ninguna

oportunidad para gozar del paisaje. Es mejor que lleguemos algunas veces con

retraso; pero que obtengamos un mayor provecho del viaje”. Por ello es

necesario programar cuidadosamente el viaje, para detenerse y gozar de los

mejores paisajes de las ecuaciones diferenciales, aunque procurando llegar sin

retraso.

© M.MOLERO; A.SALVADOR; T. MENARGUEZ; L. GARMENDIA Ecuaciones diferenciales ordinarias 367

Para captar la naturaleza y el interés de las ecuaciones diferenciales y

desarrollar métodos para resolver problemas científicos y técnicos no es

conveniente construir una estructura matemática lógicamente impecable, y si

se tiene presente además los niveles de rigor comentados por Freudenthal es

preciso alcanzar exactamente el nivel de rigor adecuado, sin pasarse ni

quedarse cortos, y en algunas ocasiones, presentar argumentos

razonablemente convincentes, aunque puedan no ser auténticas

demostraciones para el profesorado de matemáticas. La historia proporciona la

génesis de los conceptos, y ya se sabe que muchos grandes matemáticos

cometieron, con la óptica actual, graves errores, pero que sin embargo aportan

noticia de la dificultad que pueden tener esos conceptos cuando son

aprendidos por primera vez. En este libro se trata por tanto de combinar, de la

forma más adecuada, el conocimiento teórico con una gran variedad de

aplicaciones.

Los objetivos que se plantean en esta sección son los siguientes:

1. Comprender los conceptos sobre ecuaciones diferenciales y sistemas de

ecuaciones diferenciales.

2. Introducir una serie de métodos y técnicas de solución que se deberán

manejar con soltura, que permitan calcular la solución de determinadas

ecuaciones diferenciales, y en particular de los sistemas de ecuaciones

diferenciales lineales y de las ecuaciones diferenciales lineales de orden

superior con coeficientes constantes.

3. Aplicar a problemas de valor inicial las hipótesis y conclusiones de los

teoremas de existencia y unicidad presentados, lo que en la actualidad


resulta de gran importancia para poder utilizar los métodos numéricos.

4. Saber realizar el análisis de las aplicaciones, con construcción de

modelos e interpretación de las soluciones.

5. Puesto que pueden presentarse problemas que, por los teoremas de

existencia y unicidad estudiados, se sabe que tienen solución, pero no se

conocen métodos para calcularla, (o son demasiado complicados), se

dedica una sección completa a la resolución numérica del problema de

valor inicial:

0

'= ( , )( )=o

y f x yy x y

6. Analizar el comportamiento cualitativo de las soluciones.

HISTORIA DE LAS ECUACIONES

DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales sirven como modelo matemático para el

estudio de problemas que surgen en disciplinas muy diversas. Desde sus

comienzos han contribuido de manera muy notable a solucionar muchas

cuestiones y a interpretar numerosos fenómenos de la naturaleza. Su origen

histórico es inseparable de sus aplicaciones a las ciencias físicas, químicas e

ingeniería, ya que para resolver muchos problemas significativos se requiere la

determinación de una función que debe satisfacer una ecuación en la que

aparece su derivada.

En la historia de las ecuaciones diferenciales se pueden considerar cinco


etapas2

Quizá se podría situar la primera idea sobre ecuación diferencial hacia

finales del siglo XVI y principios del siglo XVII en los trabajos realizados por

John Napier (1 550 – 1 617) cuando inventó los logaritmos. Vistas las tablas

confeccionadas por él, si se utilizara el simbolismo moderno del cálculo

infinitesimal, se podrían considerar como la resolución numérica de una

ecuación diferencial.

, donde cada una de ellas marca un avance definitivo. La primera etapa

iría desde los inicios hasta 1 820 cuando Cauchy publica su teorema de

existencia, que da inicio a la segunda etapa que marca la edad del rigor. La

tercera comienza en 1 870 con M. S. Lie (1 842 – 1 899) y la aplicación de la

teoría de grupos continuos a las ecuaciones diferenciales, particularmente

aquellos de la dinámica de Hamilton-Jacobi. La cuarta comienza en 1 880 con

el trabajo de E. Picard (1 856 – 1 941) y su teorema de existencia. La

construcción de las ecuaciones diferenciales es análoga a la teoría de las

ecuaciones algebraicas de Galois. La última etapa comienza en 1 930 donde el

análisis se hace más general. Ya E. H. Moore en 1 908 estudia ecuaciones con

un número infinito numerable de variables; ahora se estudiarán ecuaciones

diferenciales de dimensión infinita, y comienza el cálculo de variaciones y el

análisis funcional.

Lo infinitamente pequeño tenía para Galileo Galilei (1 564 – 1 642) una

importancia más inmediata que lo infinitamente grande, puesto que lo

necesitaba en su dinámica. Galileo analizó el comportamiento del movimiento

de un proyectil con una componente horizontal y uniforme, y una componente

vertical uniformemente acelerada, consiguiendo demostrar que la trayectoria

2 Bell, E. T. (1985): Historia de las Matemáticas. (2ª ed.). Edic. Fondo de Cultura Económica.


del proyectil, despreciando la resistencia del aire, es siempre una parábola.

Estudió el problema del espacio recorrido por un cuerpo en caída libre y se

puede considerar que utilizó para su resolución ecuaciones diferenciales. De

Pierre Fermat (1601-1665) dice Laplace que es el verdadero inventor del

cálculo diferencial.

Las ecuaciones diferenciales aparecen simultáneamente al cálculo

infinitesimal. Por ejemplo en 1 638 apareció el problema de la tractriz,

propuesto por René Descartes (1 596 – 1 650) a Fermat, que realmente es un

problema de tangentes a una curva, (no pudo resolverlo pues no conocía el

cálculo), y fue resuelto en 1 674 por Leibniz y en 1 690 por Jakob Bernoulli,

cuando ya se conocían los trabajos de Newton y Leibniz.

Las ecuaciones diferenciales comienzan con Isaac Newton (1 642 - 1727)

y Gottfried Withelm Leibniz (1 646 – 1 716). Dice este último “Considerando la

matemática desde el comienzo del mundo hasta la época de Newton, lo que él

ha hecho es, con mucho, la mitad mejor”. Muy pronto los científicos se dan

cuenta de que las ecuaciones diferenciales son la expresión matemática

de las leyes naturales.

Isaac Newton (1 642 – 1 727) nació el mismo año en que murió Galileo.

Los problemas que motivaron sus descubrimientos fueron el estudio de la

dinámica del punto y del sólido rígido. Sus primeros descubrimientos

matemáticos datan de 1 665 en que expresó funciones en series de potencias,

y empezó a pensar en la velocidad del cambio, o fluxión de magnitudes que

varían de manera continua tales como áreas, longitudes, distancias,

temperaturas, etc. asociando de manera conjunta ambos problemas, las series

infinitas y las velocidades de cambio.


Figura 1: Isaac Newton (1 642 – 1 727)

El “De analysi per aequationes numero terminorum infinitas”, publicado en

1 711, contiene la primera exposición sistemática del cálculo, donde formula un

método sistemático de diferenciación, (aunque no se distingue mucho del que

publicó Barrow en 1 670). En 1 742 se publicó “Methodus fluxionum et serierum

infinitorum”, escrito hacia 1 671, en el que ya aparecen ecuaciones

diferenciales. En 1 676 escribió “De quadratura curvarum” donde evitaba las

cantidades infinitamente pequeñas reemplazándolas por las llamadas “razones

primeras y últimas”, aunque su primera obra impresa: “Philosophiae naturalis

principia mathematica” fue en 1 687 siendo el trabajo científico más admirado

de todos los tiempos, donde es plenamente consciente del papel de las

ecuaciones diferenciales. Escribió, en la segunda ley de los principios, la

ecuación de una piedra que cae por acción de la gravedad en diferentes

medios: aire, agua, aceite... mv’ = mg – kv donde m, g y k son constantes

reales mayores que cero, con lo que se obtiene una ecuación diferencial en la

que se quiere encontrar v = v(t). Pero esta ecuación diferencial no proporciona

propiamente el estado sino que dice como evoluciona el sistema. Para conocer


el estado se debe imponer una condición inicial.

La influencia cultural fue tremenda. La naturaleza obedece a leyes

generales. Da origen a la concepción filosófica de Kant, al pensamiento de la

Ilustración y al determinismo científico por el que el conocimiento de estas

leyes llevaría a conocer completamente el pasado y el futuro. Este concepto de

que las leyes físicas son ecuaciones diferenciales es el único concepto de

Newton que, en opinión de Einstein, sigue hoy totalmente vigente.

Newton clasifica las ecuaciones diferenciales en tres tipos:

a) )x(fxy=

integral indefinida

b) )y(fxy=

c) )y,x(fxy=

caso general.

Cree saber resolverlas todas. Su método consiste en desarrollar la

función f en serie de potencias, derivar, y sustituir término a término. El cálculo

de coeficientes es recursivo y el primero es arbitrario (aunque la noción de

constante arbitraria es más tardía).

A modo de ejemplo se transcribe una expresión de Newton:

0000003000323 332 =−+−+−−++− yxyyyyxaxxaxxxyaxxayxaxxx

donde se puede observar que había una cierta vaguedad en el modo de

formulación.

Actualmente está claro que el descubrimiento de Newton precedió al de

Leibniz en unos diez años, así como que Leibniz hizo sus descubrimientos de

forma paralela a los de Newton, aunque a Leibniz le corresponde la prioridad


de su publicación, pues publicó en la revista “Acta Eruditorum” una exposición

del cálculo en 1 684.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1 646 – 1 716) leyó con atención las obras de

Pascal sobre la cicloide, y se dio cuenta, hacia 1 673, de que la determinación

de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias entre las

ordenadas y las abscisas, cuando estas diferencias se hacen infinitamente

pequeñas. Se hacía pues necesario crear un lenguaje y una notación

adecuados para tratar estos problemas, y lo elegido fue especialmente

afortunado ya que facilitó el razonamiento lógico. Utilizó la notación que hoy día

se emplea de dx y del signo de integral, fue el primero en introducir el término

“ecuación diferencial” y el término “derivar” en el sentido de “deducir” (en una

carta de Leibniz a Newton).

Figura 2: Gottfried Wilhelm Leibniz (1 646 – 1 716)

Dice Ince:3

3 Ince, E. L.: Ordinary Differential Equations. Longmans, Green, 1927.

“Todos nuestros vagos conocimientos sobre el nacimiento y el

desarrollo de la ciencia de las ecuaciones diferenciales se resume en una fecha

importante, el 11 de noviembre de 1 675, cuando por primera vez Leibniz


asertó en un papel la ecuación: ∫ =⋅ 221 ydyy ”.

El problema crucial que resolvió el cálculo de Newton y Leibniz fue el

siguiente. Si una variable y depende de otra x, y se conoce la tasa de variación

de y respecto de x para cambios muy pequeños de la variable x, lo que Leibniz

ya denotó: dy = f(x)⋅dx, entonces la determinación de y respecto de x se puede

realizar mediante el cálculo de un área, lo que es conceptualmente mucho más

simple. Esta idea de generalizar las operaciones de derivación e integración

como inversas la una de la otra, es el núcleo fundamental de sus

descubrimientos. Ya en el siglo XVII se habían resuelto muchos problemas

particulares: la tractriz, la braquistócrona, la catenaria y algunos problemas

isoperimétricos, pero el interés del trabajo de Newton y Leibniz reside en la

generalización. Leibniz descubre métodos de separación de variables de

resolución de ecuaciones homogéneas de primer orden y de ecuaciones

lineales de primer orden, utiliza en 1696 el cambio y = z1–n

En este periodo fundamentalmente se centra el esfuerzo en la búsqueda

de métodos particulares de resolución aplicables a diferentes tipos concretos

de ecuaciones diferenciales. Se pueden considerar los trabajos de los

hermanos Jakob Bernoulli (1 654 – 1 705) y Johann Bernoulli (1 667 – 1 748), y

del hijo de Johann, Daniel Bernoulli (1 700 – 1 782). La familia Bernoulli tuvo,

en tres generaciones, ocho matemáticos, de los que los tres ya citados fueron

extraordinarios.

, y mantiene

correspondencia con otros matemáticos, en especial con los hermanos

Bernoulli.


Figura 3: Jakob Bernoulli (1 654 – 1 705)

En 1 690 Jakob Bernoulli resuelve el problema de la isócrona y plantea

el problema de la catenaria. El problema de la braquistócrona, curva por la

que el tiempo de caída es mínimo, propuesto en 1 696 por Johann Bernoulli,

que es posible considerar como el origen del cálculo de variaciones, provocó

discusiones entre ellos. Daniel asocia su nombre a la famosa ecuación de

Bernoulli de la mecánica de fluidos.

Jacob Bernoulli estudió teología, pero pronto se dedicó a estudiar a

Newton y a Leibniz. Fue profesor de matemáticas en Basilea. Su hermano más

joven, Johann Bernoulli estudió medicina y se doctoró con una tesis sobre la

contracción de los músculos, aunque pronto se sintió fascinado por el cálculo.

En 1 695 fue profesor de matemáticas y física en Groningen, Holanda, y al

morir su hermano, le sucedió como profesor en Basilea. Daniel Bernoulli

estudió medicina como su padre y se doctoró con un trabajo sobre los

pulmones. También como su padre fue profesor de matemáticas en San

Petersburgo. Obtuvo diez premios de la Academia Francesa.

Los Bernoulli introdujeron los fundamentos para la clasificación de las

ecuaciones diferenciales. Los primeros esfuerzos estuvieron dirigidos a reducir


ecuaciones de primer orden a ecuaciones de variables separadas. Leibniz

redujo la ecuación homogénea mediante la sustitución y = u⋅x, y la lineal de

primer orden mediante y = u⋅v, y los Bernoulli redujeron a lineal la ecuación que

hoy lleva su nombre. Johann Bernoulli utilizó factores integrantes y probó que

la ecuación que hoy se denomina de Euler (pues Euler encontró la sustitución x

= et) puede reducirse de orden multiplicando por un factor xk

Es interesante analizar las dificultades que encontraban en la solución de

ecuaciones que hoy se consideran elementales, así como los logros que

alcanzaron. A finales del siglo XVII se conocían muchos de los métodos

elementales de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer

orden, y se dirigió la atención hacia las ecuaciones diferenciales de orden

superior y las ecuaciones en derivadas parciales. En la tumba de Jakob

Bernoulli aparece la espiral logarítmica y llevan su nombre la elástica de

Bernoulli y la lemniscata de Bernoulli. Johann Bernoulli resolvió las trayectorias

ortogonales a una familia dada como un reto con los ingleses. Por ejemplo,

Johann Bernoulli en 1 694, al utilizar el método de separación de variables para

integrar una ecuación diferencial, se dio cuenta de que en ocasiones, como

ocurre en la ecuación diferencial

.

xdx

ydy 2

= , se oculta la naturaleza de las

soluciones, y que si se multiplica por un factor integrante adecuado, como se

llamará más tarde, se obtiene una solución algebraica.

De forma simplificada se considera el siglo XVIII como el siglo de la

integración elemental de las ecuaciones diferenciales. Éstas se convirtieron

en el instrumento básico de investigación en problemas de mecánica,


geometría diferencial y cálculo de variaciones4

Las ecuaciones diferenciales encontrarán un gran número de aplicaciones

durante la segunda mitad del siglo XVIII. Su estudio llegó a ser una de las

disciplinas matemáticas más importantes debido a su utilización como

herramienta fundamental en el campo científico y por la gran cantidad de

problemas prácticos que con ellas se podían resolver. Los matemáticos más

famosos del siglo XVIII contribuyeron enormemente al desarrollo de las

ecuaciones diferenciales. Se pueden citar de una manera especial por la

importancia de sus trabajos en este campo a Euler (1 707 – 1 783), Clairaut (1

713 – 1 765), D’Alembert (1 717 – 1 783), Daniel Bernoulli (1 700 – 1 782),

Lagrange (1 736 –1 813) y Laplace (1 749 – 1 827). Se estudiaron los distintos

tipos de ecuaciones diferenciales integrables por cuadraturas, se elaboraron los

primeros procesos de aproximación y se introdujeron conceptos fundamentales

dentro de la teoría como los de solución singular y solución general de una

ecuación diferencial. Se estudiaron algunos tipos de ecuaciones de orden

superior y se elaboraron los cimientos para una teoría geométrica de las

ecuaciones en derivadas parciales.

y se relacionaron con la teoría

de funciones de variable compleja y con las series trigonométricas. Aparecieron

también algunos problemas físicos, como el problema de la cuerda vibrante,

formulados en ecuaciones en derivadas parciales.

Leonard Euler obtuvo importantes progresos en la teoría de ecuaciones

diferenciales, que utilizó en la resolución de problemas de mecánica celeste y

de balística. Sobre el trabajo de Euler en mecánica dijo Lagrange que era el

primer gran trabajo en el que se aplica el análisis a la ciencia del movimiento.

4 Guzmán, M. (1975): Ecuaciones diferenciales ordinarias. Teoría de estabilidad y control. Alhambra.


Con él, la teoría de las ecuaciones diferenciales se transforma en una disciplina

independiente, con sus dos ramas, ecuaciones diferenciales ordinarias y

derivadas parciales. Los resultados fueron recogidos en la magistral obra

“Institutiones calculi integralis” en cuatro tomos, publicados los tres primeros

entre 1 768 y 1 770 y el cuarto en 1 794, siendo utilizado desde entonces como

manual obligado para el estudio de matemáticas.

Figura 4: Leonhard Euler (1 707 – 1 783)

A él se deben varios cambios de variables, como aquellos que permiten

reducir ecuaciones de segundo orden en ecuaciones de primer orden, y creó el

concepto de factor integrante que proporciona la forma de integrar

directamente algunas ecuaciones diferenciales ordinarias. En 1 735 trabajó las

ecuaciones diferenciales mediante series, en 1 739 dio un tratamiento general

de las ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con coeficientes constantes

encontrando una solución exponencial, dando en 1 743 el método más general

de la ecuación característica, y resolviendo en 1 753 la ecuación no

homogénea.


La teoría general de coeficientes variables se debe a D’Alembert, en

1765, y el método de variación de parámetros a Lagrange en 1 776.

Figura 5: Jean Le Rond d’Alembert (1 717 – 1 783)

Estudió la denominada “Ecuación de Euler” y algún caso particular de la

ecuación de Bessel, (trabajada en un estudio más general por F. W. Bessel

(1784 – 1 846)), para lo que usó series de potencias. Por ejemplo, buscando la

solución de u”xx + u = 0, encontró la función: 2cos x, y la función: exi + e-xi

Un problema en el que se interesaron los matemáticos del siglo XVIII fue

el de encontrar el número de parámetros que determinan la solución de una

ecuación diferencial. Una ecuación diferencial ordinaria de orden n escrita en

forma explícita tiene una solución dependiente de n parámetros. Sin embargo

se encontraron ejemplos de ecuaciones diferenciales en forma implícita que

admitían soluciones con un número menor de parámetros, aunque, admitían

también otras soluciones denominadas soluciones singulares. Euler probó que

el número de parámetros necesarios en una ecuación diferencial lineal de

,

llegando por desarrollos en serie a la convicción de que ambas funciones

coinciden, (de donde nacen las primeras ideas sobre como debe ser una

función exponencial compleja).


orden n es exactamente igual a n.

El uso de factores integrantes, los métodos sistemáticos para resolver las

ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas, y obtener soluciones

particulares y generales e incluso soluciones singulares, son algunas de las

contribuciones de Euler, compartidas con Daniel Bernoulli, (que por ejemplo

resolvió y″ + k⋅y = f(x)) y D’Alembert. Daniel Bernoulli y Euler proponen, al

estudiar las oscilaciones de una barra, la ecuación diferencial de cuarto orden:

k4⋅yIV)

La resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias comenzó tan pronto

como se conoció la relación inversa existente entre los procesos de

diferenciación e integración. El problema de resolver ecuaciones en derivadas

parciales era un campo abierto a los pioneros. D’Alembert tuvo intereses muy

variados, pues publicó tratados sobre dinámica, música, el problema de los tres

cuerpos, la precesión de los equinocios, el movimiento en medios resistentes y

las perturbaciones del movimiento lunar. El estudio de la cuerda vibrante le

condujo a la ecuación en derivadas parciales: u”

= y, la más alta hasta entonces. Contribuye al método de solución en

series de potencias, a las series trigonométricas, y crea una primera discusión

sistemática del cálculo de variaciones. Se debe a Euler el procedimiento

numérico de resolución de ecuaciones diferenciales. Se fija en el método de las

isoclinas f(x, y) = cte., y para valores de x dados elige rectas verticales sobre

las que se calculan pendientes, introduciendo así el método de las poligonales

de Euler como una simplificación del método de las isoclinas.

tt = u”xx, para la que dio en

1747, en las Memoirs de la Academia de Berlín, la solución u = f(x + t) + g(x −t),

donde f y g son, según D’Alembert, funciones arbitrarias que pueden

determinarse a partir de las condiciones iniciales. Euler dio en 1 753 para la


ecuación más general u”tt = a2⋅u”xx

La mayoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias no eran sencillas de

resolver mediante cuadraturas, y requerían ingeniosas sustituciones o

algoritmos especiales para encontrar su solución. Se descubrieron familias de

ecuaciones resolubles por artificios relativamente sencillos como las

ecuaciones de Bernoulli ya comentadas. Taylor en 1715 descubre el fenómeno

de las soluciones singulares. Alexis Claude Clairaut (1 713 – 1 765), precoz

matemático que a los diez años estudiaba ya los textos de L’Hôpital, identificó

la familia y = xy’ + f(y’), que además de la solución general y = cx + f(c) tiene

una solución singular, siendo una de las primeras de este tipo que se

encontraron. D’Alembert encontró la solución singular de la ecuación un poco

más general: y = xf(y’) + g(y’) que lleva su nombre. Euler considera una cierta

paradoja el hecho de que las soluciones singulares se obtengan “derivando” en

vez de “integrando”. Y Lagrange en 1776 demuestra que la envolvente de una

familia de soluciones de una ecuación diferencial, si existe, es también una

solución, y es una solución singular. Clairaut observó que las derivadas

parciales de segundo orden cruzadas de una función son iguales (hoy se

conocen las condiciones suficientes para que esto ocurra), y utilizó este hecho

en el familiar criterio de reconocimiento de las ecuaciones diferenciales

exactas. Escribió obras de matemáticas aplicadas que se hicieron famosas.

, la solución u = f(x + at) + g(x − at), y la

interpretación es diferente pues D’Alembert no concebía que la solución no

fuese continua, incluso con segundas derivadas continuas, mientras Euler

mantenía que f y g eran completamente arbitrarias, pudiendo ser discontinuas.

Una de las ecuaciones diferenciales ordinarias más interesantes del siglo

XVIII fue la ecuación que D’Alembert denominó de Riccati, y fue estudiada por


muchos matemáticos como los Bernoulli.

Produjo problemas la imposibilidad de obtener soluciones explícitas para

la ecuación de Riccati, que debe su nombre a Jacopo Riccati (1 676 – 1 754),

matemático italiano que consideró ecuaciones de la forma f(y, y’, y’’) = 0, o la

importante ecuación no lineal que lleva su nombre. Ya se habían encontrado

ecuaciones cuya solución únicamente se puede obtener como series de

potencias, como: xy’ = y2

, y los Bernoulli habían iniciado la integración

numérica sustituyendo derivadas por incrementos finitos.

Figura 6: Jacopo Riccati (1 676 – 1 754)

Daniel Bernoulli estudia en 1 724 valores de n para los que la ecuación

de Riccati es integrable por separación de variables. Euler fue el primero en

llamar la atención sobre que si se conoce una solución particular entonces,

haciendo una sustitución, se convierte en una ecuación diferencial lineal, por lo

que se puede hallar su solución general; o que si se conocen dos soluciones

particulares entonces se puede obtener la solución general por medio de una

simple cuadratura. En 1 841 Liouville demuestra que existen ecuaciones

diferenciales sencillas que no pueden resolverse por integración elemental.

La teoría de Galois cierra por radicales esta idea.


Lagrange (1 736 – 1 813) en su artículo “Recherches sur la nature et la

propagation du son” (1 759) se mostró de acuerdo con que las soluciones de la

ecuación diferencial deben ser continuas. Observó que es útil tratar ecuaciones

de la forma F(x, y, y’) = 0 y no siempre utilizar la variable x como independiente.

En “Nouvelles recherches sur la nature et propagation du son” (1 761)

transforma la ecuación en derivadas parciales en un par de ecuaciones

diferenciales ordinarias. Obtuvo las técnicas que se denominan de los

multiplicadores de Lagrange. También se debe a Lagrange la técnica que se

conoce como de variación de parámetros o de constantes para encontrar una

solución particular de una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de

orden n, o de un sistema, conociendo la solución general de la homogénea

asociada. Otra de sus contribuciones es el cálculo de variaciones, cuyo nombre

deriva de las notaciones usadas por Lagrange hacia 1 760. Trata de encontrar

una relación funcional y = f(x) para que una integral ∫ ⋅b

adx)'y,y,x(g tome un

valor máximo o mínimo. Como casos particulares están los problemas sobre

isoperimetrías o de descenso más rápido. Hizo también importantes

aportaciones a la mecánica analítica. El trabajo monumental de Lagrange

“Mecanique analytique” contiene las ecuaciones generales del movimiento de

un sistema dinámico, que hoy llevan su nombre, deduciendo las ecuaciones de

la mecánica aplicando el principio de mínima acción (o cálculo de variaciones

ya comentado).

En la misma época Laplace obtuvo y estudió la conocida ecuación que

lleva su nombre, y que aparece continuamente en problemas de hidrodinámica,

elasticidad y electromagnetismo, así como su famosa transformada que


permite resolver numerosas ecuaciones lineales. El trabajo de cinco volúmenes

“Traité de mecanique céleste” le valió el título de Newton de Francia.

Figura 7: Pierre Simon de Laplace (1 749 – 1 827)

Las posturas de Lagrange y Laplace proveen de dos filosofías distintas de

las Matemáticas. Para Laplace la naturaleza era esencial y las Matemáticas

una herramienta; mientras que para Lagrange las Matemáticas eran un arte

que justificaba su propia existencia.

En Boyce5

Monge, más conocido por sus trabajos en geometría, también hizo

aportaciones a las ecuaciones diferenciales que destacan por su visión

geométrica. Estudió ecuaciones de primer y segundo orden mediante el

se encuentra la siguiente afirmación de N. Bowditch: “No

puedo encontrar una afirmación de Laplace “Así, es evidente”, sin tener la

seguridad de que deberé emplear horas de trabajo intenso, para cubrir el

abismo y averiguar y demostrar lo evidente que es”. Mary Sommerville fue

traductora y comentarista de esta obra, y con sus explicaciones profundas hizo

posible que fuese comprendida.

5 Boyce, W. E.; DiPrima, R. C.: Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la

frontera. Editorial Limusa. (1ª edición). 1967. (10ª reimpresión) 1992.página 25.


método de las ecuaciones características. Introdujo transformaciones de

contacto, con las que es posible reducir ecuaciones a otras cuya solución sea

conocida. Observó que ecuaciones de la forma:

P(x, y, z)⋅dx + Q(x, y, z)⋅dy + R(x, y, z)⋅dz = 0

que según Euler no tienen sentido cuando no existen familias de superficies

que las satisfagan, pueden resolverse si se obtienen como soluciones

variedades de orden inferior, (como curvas). Posteriormente fueron

generalizadas a más dimensiones por Pfaff. Tanto ellas como sus

generalizaciones a sistemas, tienen aplicaciones en campos como

Termodinámica o Mecánica Clásica, por lo que posteriormente han sido

estudiadas por Grassmann, Frobenius, Lie, Darboux y Cartan. El formalismo de

formas diferenciales introducido por este último permite escribir de forma

elegante el teorema de Frobenius que establece cuando un sistema general de

ecuaciones de Pfaff admite factores integrantes.

Jacobi y Abel trabajaron sobre funciones elípticas. Jacobi descubrió un

método, que se denomina de Hamilton-Jacobi, que permite integrar un sistema

de ecuaciones canónicas de Hamilton por medio de una integral completa de

una ecuación en derivadas parciales de primer orden. Estudió un método que

extiende el de Charpit-Lagrange a dimensiones superiores a dos, que hace

comprender que el método anterior es una técnica para reducir la

dimensionalidad de los problemas considerados si uno es capaz de encontrar

cantidades conservadas en involución para el sistema de características, y que

en particular esto reduce el problema a resolver ecuaciones donde aparecen

jacobianos. También se deben a Jacobi las condiciones que llevan su nombre y

que debe satisfacer un problema de cálculo de variaciones para que un


extremal sea mínimo.

La influencia de Gauss en las ecuaciones diferenciales ordinarias es

menor que en otras ramas de la Matemática, y a veces indirecta. Estudió

ecuaciones hipergeométricas y funciones elípticas, e hizo también estudios en

geometría diferencial o variable compleja que incidieron indirectamente en las

ecuaciones diferenciales. Estudió también electromagnetismo y fluidos, por lo

que se debe mencionar su teorema de la divergencia.

Durante la primera mitad del siglo XIX aparecen nuevas ideas generadas

en parte para dar respuesta a problemas de física matemática, siendo los más

notables los relacionados con las series de Fourier, y también en parte

originados por la transformación general que experimentó el análisis

matemático durante este periodo que dio lugar al planteamiento de nuevos

enfoques dentro de la teoría de ecuaciones diferenciales.

El punto de partida es el famoso trabajo sobre la difusión del calor de J.

B. Fourier (1 768 – 1 830) comenzado en 1 807 y publicado en 1 822, donde

para obtener la solución de la ecuación del calor

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

2

2

2

2

2

2

zu

yu

xuk

tu

con distintas condiciones de contorno, Fourier desarrolló de forma sistemática

el método de separación de variables, y llevando adelante las ideas de D.

Bernoulli llegó a la representación de soluciones en series trigonométricas,

indicando además que la clase de funciones que podían ser así representadas

era muy amplia. “Prueba” la convergencia de sus series a las correspondientes

funciones periódicas, utilizando razonamientos en muchos caso faltos de rigor,


que hoy día, mediante la teoría de distribuciones se pueden formular

correctamente.

Figura 8: Jean Baptiste Joseph Fourier ( 1768 – 1 830)

Por entonces las tres grandes L (Lagrange, Laplace y Legendre) criticaron

la memoria de Fourier por sus lagunas y vaguedad de razonamiento, y quizás

esta sea la causa para que comenzara la época del rigor. El trabajo de Fourier

desempeñó un papel catalizador en la nueva fundamentación del Análisis, pues

suscitó cuestiones como las condiciones exactas de representabilidad de

funciones mediante series trigonométricas. El primer resultado riguroso en esta

línea fue obtenido por Dirichlet, en 1 829, un año antes de la muerte de Fourier.

Con Cauchy comienza la edad del rigor, desde 1 820 a 1 870. Hacia

1810 se consideraba obvia la existencia de soluciones por desarrollo de series.

Cauchy dice de forma clara que no todas las ecuaciones diferenciales se

pueden resolver, pues nada garantiza que la serie sea convergente, e incluso si

converge, que sea hacia la función deseada. Cauchy desarrolló, entre 1 820 y

1830 en sus cursos de la Escuela Politécnica de París, los conocidos métodos

que permiten probar la existencia de las soluciones del problema de valor

inicial y’ = f(x, y); y(x0) = y0 que hoy se denomina problema de Cauchy,

adaptando el método del polígono de Euler a sus objetivos. En un manuscrito


recientemente encontrado dice: “la resolución del problema de valor inicial

daría la solución general”. Se debe a Cauchy en 1 824 la idea básica del

método de las aproximaciones sucesivas, mejorado por Peano en 1 890,

presentado en forma más moderna y general en 1 890 por E. Picard (1 856 -1

941), y en 1 894 por Lindelöf. Considera Cauchy la ecuación integral

equivalente: ∫ ⋅+=x

xdz))z(y,z(fy)x(y

00 y la analiza por el método que hoy

se conoce como el de las poligonales de Euler, aunque entonces él no lo

conocía.

De 1 839 a 1 842 utilizó el método de la mayorante si f(x, y) es analítica,

lo que se aplica bien en el campo complejo. En 1 842 en la reunión semanal de

la Academia, aplicó el método de la mayorante a las ecuaciones en derivadas

parciales, base de lo que hoy se denomina teorema de Cauchy-Kovaleskaya.

Extendió su teorema de existencia a ecuaciones de orden superior, y también a

ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas de ecuaciones diferenciales de

primer orden en el campo complejo. Las técnicas son también aplicables a

numerosas ecuaciones en derivadas parciales por lo que se debe recordar a la

matemática rusa Sofía Kovaleskaya (1 850 – 1 891) por sus resultados para la

resolución de ecuaciones con datos en forma normal sobre una superficie no

característica, y el teorema que lleva el nombre de Cauchy-Kovalevskaya que

demostró en 1 874, teorema fundamental de existencia de una única solución

analítica de un sistema de ecuaciones en derivadas parciales en forma normal.

Kovaleskaya presentó un ejemplo, sorprendente entonces, de una ecuación

que no cumple las hipótesis del teorema y no posee solución analítica alguna.


Figura 9: Sofía Kovaleskaya (1 850 – 1 891)

Los teoremas de existencia tuvieron importancia no sólo desde un punto

de vista teórico, sino también desde un punto de vista práctico, ya que

permitieron justificar la aplicación de los métodos de la teoría de ecuaciones

diferenciales a la física. Por otra parte los métodos utilizados en las

demostraciones de estos teoremas proporcionaron algoritmos para obtener

aproximaciones de la solución con el grado de exactitud deseada, así como

para medir el error de la aproximación, por lo que sirvieron de fundamento para

los procesos de integración numérica que fueron elaborados durante el siglo

XIX.

Se debe a Cauchy la memoria sobre la propagación de ondas ópticas

“Mémoire sur la théorie des ondes” que apareció en 1 815 precisamente

cuando tomaba forma definitiva la teoría ondulatoria de la luz por obra de

Young y de Fresnel, y el ser uno de los fundadores de la teoría matemática de

la elasticidad. Son importantes los trabajos de Cauchy sobre funciones

complejas, para tener en cuenta la relación entre variable compleja y la teoría

de ecuaciones diferenciales, que no se manifiesta únicamente en las

aplicaciones como la inversión de la transformada de Laplace, sino también en

los estudios llevados a cabo por Fuchs, Kummer, Riemann, Painlevé, Klein,


Poincaré, Hilbert, entre otros, sobre puntos singulares de las soluciones de las

ecuaciones diferenciales. Cuando se abordaban problemas de la Física

Matemática donde las condiciones iniciales no eran regulares (como por

ejemplo, una cuerda sometida a un fuerte plegamiento, tratado por Christoffel,

o la propagación de ondas planas con ondas de choque) la consideración de

singularidades era inevitable.

Hacia 1 869 seguía sin resolverse el problema de la unicidad de una

ecuación diferencial. En 1 854 Briot y N. Bouquet simplificaron la demostración

de Cauchy y analizaron el caso en que f(x, y) es singular en un punto del

campo complejo, comprobando que el radio de convergencia es el máximo

posible hasta que se alcanza la singularidad. El que la solución no sea única se

contradice con la idea de Laplace de que es posible un conocimiento completo

y se utiliza la aleatoriedad en el contexto de las ecuaciones diferenciales.

Peano trató la existencia local de soluciones e introdujo las inecuaciones

diferenciales probando que el ínfimo de las supersoluciones y el supremo de

las subsoluciones son soluciones. Picard, al final de un largo artículo,

trabajando sobre las ecuaciones de segundo orden trató las aproximaciones

sucesivas e impuso las condiciones de Lipschitz. La teoría de las sub y super

soluciones, y de las inecuaciones, no es válida para sistemas. Se tienen

entonces los métodos basados en la teoría de la integral:

∫ ⋅+=x

xdz))z(y,z(fy)x(y

00 . Vallé-Poussin asoció a la ecuación diferencial la

suma superior y la suma inferior. Este método admite alguna discontinuidad de

la función f lo que es importante en control. Caratheodory en 1 918 utilizó la

integral de Lebesgue. Lipschitz fue el primero que abordó los criterios de


unicidad, Jordan los simplificó y el método de Perrón de 1 926 unificó y mejoró

los métodos anteriores.

La formulación exacta del concepto de independencia lineal de un

sistema de funciones, de tanto interés dentro de la teoría de ecuaciones

diferenciales, proviene de la segunda mitad del siglo XIX, en la que se obtuvo

una condición para la independencia lineal en términos del determinante

llamado wronskiano, que había introducido H. Wronski (1 775 – 1 853) en la

primera mitad del siglo XIX.

Con la ecuación de Euler ya se observó que las soluciones son más

irregulares que la propia ecuación. A L. Fuchs (1 833 – 1 902) se debe el

concepto de sistema fundamental de soluciones y se debe también una nueva

orientación en la teoría de ecuaciones diferenciales con coeficientes

algebraicos, que pronto se transformó en una teoría analítica de ecuaciones

diferenciales, ocupándose de las propiedades generales de las soluciones de

ecuaciones diferenciales, no necesariamente lineales, en el campo complejo.

Las ecuaciones cuyas singularidades son todas regulares se denominan

fuchsianas, en ellas la rotación en torno al punto singular transforma una

solución de un conjunto de soluciones linealmente independientes en una

combinación lineal de las mismas. Fuchs observó hacia 1 865 que en las

ecuaciones no lineales las singularidades son móviles, por ejemplo: y’ = y2

cxy

−=

1

tiene de solución cuya singularidad depende de la constante y por

tanto del valor inicial. Frobenius en 1 874 desarrolló en serie y probó la

convergencia en los puntos singulares regulares. Se ocuparon también de este

problema, entre otros, Hilbert, Poincaré, Klein, desarrollando Painlevé entre 1


900 y 1 906 una teoría general.

Riemann obtuvo la solución general de la ecuación hiperbólica no lineal

de segundo orden de dos variables, para la que demostró que es posible

reducirla siempre a una ecuación lineal de segundo orden, técnica que se

emplea en el estudio de la dinámica de gases. Estudió también soluciones

discontinuas para estas ecuaciones, y aunque anticipó el concepto de onda de

choque, no obtuvo la solución correcta, debida a Hugoniot, pues realizó la

hipótesis errónea de que la entropía es constante a lo largo de la

discontinuidad. A él se debe el estudio del grupo de monodromía.

Los problemas de contorno, que aparecen en geometría diferencial,

teoría de ecuaciones integrales y en física matemática (ecuaciones del calor y

ondas), cuyas soluciones se obtienen mediante el método de variables

separadas, dan lugar a los problemas conocidos con los nombres de J. Sturm

(1 803 – 1 855) y J. Liouville (1 809 – 1 882).

Figura 10: J. Liouville (1 809 – 1 882)

Consisten en tratar de resolver una ecuación de la forma: (Py’)’ + Gy = 0,

donde P y G son funciones dependientes de x y de un parámetro λ, y

suponiendo conocidos en dos puntos del eje x los valores de combinaciones

lineales de y(x) y de y’(x). Especial interés presentan los teoremas de


oscilación de Sturm que permiten examinar la oscilación de dos soluciones

comparándola con otras como las de la ecuación elemental y” + λy = 0. Se

caracterizan por la existencia de un parámetro λ con el que, para valores

particulares que se denominan autovalores, el problema de contorno tiene

soluciones no triviales. Los teoremas de Sturm permiten obtener soluciones de

los problemas de Sturm-Liouville mediante las técnicas que se denominan de

“tiro”, en la dirección de las primeras investigaciones en este área. La

herramienta más poderosa ha sido la función de Green, y el uso que de ella

hizo Freldhom a principios de siglo, demostrando que dicha función es analítica

en el parámetro λ, excepto para los autovalores donde presenta polos, lo que

permite de nuevo utilizar las potentes técnicas de variable compleja en el

tratamiento de estos problemas.

Figura 11: Lejeune Dirichlet

El estudio de los problemas de contorno para la ecuación de Laplace y la

formulación del principio de Dirichlet son de la segunda mitad del siglo XIX. El

desarrollo de la teoría de ecuaciones en derivadas parciales de orden superior

al primero se realizó en íntima conexión con problemas de física y en particular


de elasticidad. Se desarrolló el cálculo de variaciones, aparecieron ejemplos de

funciones que no satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange. El carácter

central del problema de Dirichlet asociado a la ecuación de Laplace hizo que se

trabajase intensamente en su solución. Se desarrollaron las técnicas de la

teoría de potencial y ecuaciones integrales para el estudio de ese problema. La

generalización de los operadores diferenciales a funciones absolutamente

continuas o derivables en casi todo punto hizo aparecer la noción de solución

generalizada. Tienen su origen en el problema de Dirichlet, que inicialmente fue

invalidado por Weierstrass, e influyó decisivamente en el desarrollo del análisis

funcional y la topología, particularmente en la consideración de los espacios

funcionales y en el concepto de compacidad.

La teoría de distribuciones, que tiene su origen en Dirac, Heaviside y

Sobolev, fue sistematizada por Schwartz y Gelfand. Estudiaron las aplicaciones

a los problemas en ecuaciones en derivadas parciales. La idea más interesante

es la sustitución del concepto de función por el de distribución, que viene a

generalizar el de función. La clase de funciones admisibles consideradas por

Levi es esencialmente lo que hoy se conoce como espacio de Sobolev 12H , es

decir, funciones integrables tales que su derivada en el sentido de las

distribuciones pertenece también a L2

• La sustitución de una ecuación diferencial por otro modelo de sistema

físico. (Lagrange, Riemann, Christoffel...).

. Algunos métodos de definición de

soluciones generalizadas de ecuaciones en derivadas parciales son:

• La sustitución de varios límites por uno. (Derivadas de Dini).

• Diferenciación en casi todo punto. (Lebesgue, Levi, y sirvió para la


introducción de los espacios de Sobolev).

• Método de las curvas y superficies de prueba. (Se parte del teorema

de Stokes, y al integrar la ecuación diferencial ésta se convierte en

una ecuación integro-diferencial por lo que se generaliza. Se emplea

en la teoría del potencial).

• Método de las funciones test. (La ecuación diferencial se multiplica

por una función y el resultado se integra por partes, con lo que el

operador diferencial se transfiere a esta función test. Su origen está

en el estudio de ecuaciones hiperbólicas y parabólicas. Es el método

básico de la teoría de distribuciones).

• Método de las sucesiones. (Se define la solución generalizada como

límite de una sucesión de soluciones clásicas: Euler, Laplace,

Sobolev, Schwartz...)

Una ecuación integral6

6 Kline, M. (1972): El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. (Vol. I,

II y III). Alianza.

es una ecuación en la que aparece una función

incógnita bajo un signo integral, y el problema de resolver dicha ecuación

consiste en determinar esa función. Muchos problemas de la física matemática

conducen a ecuaciones integrales. Los primeros problemas aislados tratados

por este procedimiento se deben a Laplace, con su ecuación que recibe el

nombre de transformada de Laplace y trabajaron en ellos Poisson, Fourier,

Abel, Liouville, y Neumann. Vito Volterra (1 860 – 1 940), que fue el primer

fundador de la teoría de las ecuaciones integrales, ideó un método para

resolver las ecuaciones integrales del segundo tipo, y estudió las del primer

tipo. Erik Ivar Fredholm (1 866 – 1 927) recogió las ideas de Volterra y las


utilizó para continuar resolviéndolas, y usó la analogía entre estas ecuaciones y

las ecuaciones algebraicas lineales para establecer el teorema de la alternativa

que lleva su nombre.

David Hilbert (1 866 – 1 943) pensó que el estudio de las ecuaciones

diferenciales tenía interés para la teoría de integrales definidas, el desarrollo de

funciones arbitrarias en serie, la teoría de ecuaciones diferenciales lineales, la

teoría del potencial y el cálculo de variaciones. Estableció la teoría espectral

general para núcleos simétricos y demostró el teorema del eje principal

generalizado para las formas cuadráticas simétricas, en el que aparecen las

autofunciones y los autovalores, por lo que encontró que se podía generalizar

un producto escalar entre funciones. Demostró el teorema que se conoce como

de Hilbert-Schmidt, que demuestra que una función puede expresarse como un

desarrollo en serie de las autofunciones. Hizo un tratamiento de las formas

cuadráticas infinitas, probando que toda forma cuadrática acotada y con

continuidad completa puede transformarse mediante una transformación

ortogonal única en una suma infinita de cuadrados siendo los coeficientes los

autovalores. Aplicó estas formas cuadráticas a las ecuaciones integrales.

Definió sistema ortogonal completo de funciones, y demostró la

desigualdad generalizada de Bessel que es equivalente a la completitud.

Transformó la ecuación integral en un sistema de infinitas ecuaciones lineales

con infinitas incógnitas que se resuelve calculando los coeficientes de Fourier

de una función, por lo tanto, si el sistema tiene solución única, la ecuación

integral también la tiene. Probó que la ecuación tiene una única solución para

toda función, si el valor del parámetro no coincide con ningún autovalor, o si

coincide, tiene solución si se dan unas condiciones de ortogonalidad. Aplicó


estos resultados al problema de Sturm-Liouville, que relacionó con la función

de Green. Esta función se utiliza para resolver problemas físicos y técnicos, por

ejemplo en dinámica de gases, convirtiendo ecuaciones diferenciales en

ecuaciones integrales. Seguidores de esta obra son: Schmidt, Riesz, Fischer,

Weyl. Riesz y Fischer probaron la correspondencia biunívoca entre las

funciones de cuadrado integrable y las sucesiones de cuadrado sumable de

sus coeficientes de Fourier. Las funciones son consideradas puntos de un

espacio de Hilbert.

Otras direcciones son los resultados de regularidad de Bernstein y

Gevrey. Las ecuaciones que se utilizan en la física matemática son estudiadas

por Hilbert, Volterra y Hadamard entre otros, y de ello arranca la teoría de los

espacios de Hilbert y el análisis funcional, lo que permite formular de manera

abstracta muchos problemas, recibiendo un importante impulso con los trabajos

de Banach. El análisis funcional se desarrolló a partir de la introducción de los

espacios de funciones de Hilbert, y de la obra de Banach que proporcionó

instrumentos que se han aplicado en las ecuaciones diferenciales, como los

operadores compactos o la teoría espectral, o como el análisis de las

desigualdades a priori.

Se ha puesto de manifiesto que en muchos campos de la matemática se

utilizan transformaciones u operadores que actúan sobre funciones: el operador

diferencial, el operador integral, el operador lineal L en ecuaciones

diferenciales, o una ecuación integral que actúan sobre una función para

producir otra. El análisis funcional tiene como idea estudiar estos operadores

dentro de una formulación abstracta de una teoría general de operadores

actuando sobre clases de funciones. Se puede considerar a las funciones como


puntos de un espacio por lo que el operador transforma puntos en puntos con

lo que se tiene entonces una generalización de las transformaciones

geométricas. Si el operador transforma una función en un número real o

complejo entonces se llama un funcional, reservándose el nombre de operador

exclusivamente a los que transforman funciones en funciones.

Los antecedentes de la teoría abstracta de funcionales se encuentran

en Riemann, Giulio Ascoli (1 843 – 1 896) y Cesare Arzelà. Hadamard y Borel

ya lo sugirieron. La inició Volterra con su trabajo sobre cálculo de variaciones.

Maurice Fréchet unificó las ideas de los antecesores y aplicando las ideas de la

teoría de conjuntos de Cantor formuló los conceptos para espacios de

funciones. Introdujo los espacios métricos y la norma, y conceptos como

continuidad, diferencial y diferenciabilidad de un funcional. Charles Albert

Fischer (1 884 – 1 922) mejoró las definiciones. Y las formulaciones finales

fueron realizadas por Elizabeth le Stourgeon (1 881 – 1 971) para obtener las

condiciones necesarias para que un funcional admita un mínimo y se pueda

utilizar en el cálculo de variaciones. Leonida Tonelli (1 885 – 1 946) se propuso

reemplazar los teoremas de existencia de las ecuaciones diferenciales por

teoremas de existencia para minimizar integrales curvas, utilizando

asiduamente el concepto de semicontinuidad inferior.

La primera tentativa de elaborar una teoría abstracta de funcionales y

operadores lineales fue hecha por E. H. Moore que intentó un planteamiento

axiomático. Hilbert consideró una función dada por sus coeficientes de Fourier

con respecto a una sucesión ortonormal de funciones, pero no llegó a

considerar esos coeficientes como coordenadas de un punto del espacio, ni

usar un lenguaje geométrico. Este paso lo dieron Schmidt y Fréchet, con lo que


las funciones son puntos de un espacio de dimensión infinita que se denomina

espacio de Hilbert. Se introdujeron los conceptos de norma y producto escalar,

y se obtuvo la desigualdad de Bessel, la de Schwarz y la desigualdad triangular

para las normas. Schmidt y Fréchet observaron, en 1 907, que el espacio de

las funciones de cuadrado sumable L2 tiene una geometría análoga a la del

espacio de las sucesiones formadas por los coeficientes de Fourier, y utilizando

la correspondencia biunívoca del teorema de Riesz-Fischer se definió una

distancia en L2, y se comprobó que L2 es un espacio completo. Para los

espacios Lp

La parte central del análisis funcional se ocupa de la teoría abstracta de

los operadores que aparecen en las ecuaciones diferenciales e integrales; esta

teoría unifica la teoría de autovalores para ecuaciones diferenciales e integrales

y para transformaciones lineales. Si el núcleo es simétrico, el operador es

autoadjunto. Para operadores autoadjuntos arbitrarios los autovalores son

todos reales, y las autofunciones correspondientes a autovalores distintos son

ortogonales entre sí.

, introducidos por Riesz, que también son completos, se probó el

teorema de representación que lleva su nombre.

Hasta ahora se ha definido la norma partiendo de un producto escalar.

Stefan Banach (1 892 – 1 945), Hahn, Helly y Wiener trabajaron sobre normas.

Banach construyó un espacio dotado de una norma que en general no está

definida sobre un producto escalar, que es un espacio vectorial normado y

completo. Una diferencia entre los espacios de Banach y los de Hilbert es que

en los primeros (que no sean también de Hilbert) no se puede hablar de

ortogonalidad. Espacios de Banach son los espacios Lp, los espacios de

funciones continuas, los espacios de funciones medibles acotadas, siempre


que se defina una norma adecuada. Estudió los operadores sobre estos

espacios y los utilizó para la resolución de ecuaciones integrales formulados de

una forma abstracta. En 1 929 introdujo Banach el concepto de espacio dual o

adjunto de un espacio de Banach, que es el espacio de todos los funcionales

lineales continuos acotados sobre el espacio dado.

La idea de espacios de funciones y operadores parecía la abstracción por

la abstracción, pero como dijo Weyl, fue favor de la fortuna que fuese el

instrumento adecuado para la mecánica cuántica, en la que los autovalores son

los niveles de energía de un electrón en un átomo, y las autofunciones los

correspondientes estados cuánticos estacionarios del sistema, y la diferencia

entre dos autovalores proporciona la frecuencia de los cuantos de luz emitida,

definiendo el espectro de radiación de la substancia. En 1 926 Erwin

Schrödinger presentó su teoría cuántica basada en ecuaciones diferenciales.

Esta aplicación estimuló el trabajo en la teoría abstracta en espacios de Hilbert

y operadores, tarea que emprendió John von Newmann en 1 927, que ofreció

un tratamiento axiomático y un buen número de resultados sobre operadores

lineales, donde la integración se entiende generalmente en el sentido de

Lebesgue-Stieljes. Se continuó aplicando el análisis funcional al problema

generalizado de los momentos, a la mecánica estadística, a los teoremas de

existencia y unicidad de ecuaciones en derivadas parciales, a los teoremas del

punto fijo, en el cálculo de variaciones, en la teoría de representación de

grupos continuos compactos, entre otros.

Dos nuevas direcciones merecen la atención, una relacionada con la

teoría de grupos y otra con la mecánica celeste y la astronomía. F. Klein

señaló en 1 872 que las diversas geometrías pueden caracterizarse por su


grupo de transformaciones. S. Lie las aplicó en 1 873 a las ecuaciones

diferenciales. Si una ecuación diferencial permanece invariante al efectuar una

transformación continua entonces se dice que admite ese grupo de

transformaciones, y clasificó las ecuaciones diferenciales por sus grupos de

transformaciones. Se aplican con éxito las nuevas ideas del álgebra al estudio

de las ecuaciones diferenciales por Picard en 1 883 y 1 887. Se creó una teoría

de estructura de ecuaciones diferenciales lineales probando Vessiot que una

ecuación diferencial lineal de orden superior al primero no es resoluble por

cuadraturas. La construcción de una teoría general de resolución por

cuadraturas resulta imposible, al ser pocas las ecuaciones que pueden

resolverse así. Los trabajos de Lie cerraron este tipo de problemas.

La mecánica celeste ya fue estudiada por Lagrange, Laplace, Hamilton y

Jacobi, que proveen de una teoría planetaria con el problema de los tres

cuerpos, el uso sistemático del método de las perturbaciones de Hanser. Las

soluciones de Delaunay siguen siendo la mejor prueba para evaluar un nuevo

sistema de álgebra simbólica. Las ecuaciones de Hill de 1 877 modelizan el

movimiento de la luna y Adams y Le Verrier teorizaron en 1 845/46 sobre la

existencia de Neptuno. Surgió el problema de la estabilidad de sistemas y de

control, como el control de la máquina de vapor de Watt, o el diseño de control

de Airy, astrónomo real, para seguir a las estrellas. Maxwell en “On Governors”

relacionó las ideas básicas de las nociones de estabilidad con las raíces del

polinomio característico.

La geometría, con el estudio de la geometría diferencial, las geometrías

no euclideas y la topología, incide en la física matemática, donde aún hoy se

trabaja estableciendo condiciones para las soluciones de las ecuaciones.


Interesa saber el comportamiento de las soluciones en todo su dominio, lo que

se denominó la teoría cualitativa de las ecuaciones diferenciales. La teoría

cualitativa de ecuaciones diferenciales fue creada simultáneamente por

Poincaré (1 854 – 1 912) y Liapunov (1 857 – 1 918). La contribución más

importante en este campo del siglo XIX se debe a H. Poincaré que introdujo la

topología al estudiar las propiedades de las trayectorias.

Henri Poincaré fue ingeniero de minas, y su tesis de doctorado fue un

trabajo sobre ecuaciones diferenciales, sobre teoremas de existencia, lo que

contribuyó al estudio de las funciones automorfas (se observa de nuevo la

relación entre ecuaciones diferenciales ordinarias y la variable compleja). Sus

cursos en la Sorbona trataban temas tan distintos como capilaridad, elasticidad,

termodinámica, óptica, electricidad, telegrafía, astronomía, cosmogonía...

abriendo nuevas ramas de la Matemática. Poincaré pensaba que para saber si

el sistema solar es estable y conocer si un cuerpo permanece en un lugar del

cielo, o se escapa, no tiene sentido iniciar el estudio cuantitativo si no se

conoce antes el comportamiento de las soluciones, por lo que hace falta un

Figura 12: Henri Poincaré (1 854 – 1 912)


estudio cualitativo. Poincaré se propuso averiguar el comportamiento de las

soluciones de una ecuación diferencial o de un sistema de dos ecuaciones en

todo el plano, y hacerlo sin integrar las ecuaciones, utilizando únicamente las

propiedades de las funciones.

Definió punto singular de y’ = f(x, y) como un punto que anula a f(x, y).

Clasificó los puntos singulares, estudiando el comportamiento de las soluciones

con respecto a estos puntos. Se deben a él las técnicas geométricas de

análisis de un espacio de fases, donde en un sistema autónomo bidimensional

se visualizan las soluciones como curvas paramétricas y al eliminar el

parámetro se representan las trayectorias; se deben también a él también el

estudio del caso lineal con los focos, nodos, puntos de silla y centros, y el caso

más general, el estudio local en los puntos críticos, en los puntos de silla o en

los centros; la definición de índice de un punto singular, y las propiedades

globales de los puntos singulares, el estudio de ciclos límites (órbitas cerradas

que corresponden a trayectorias periódicas) y el teorema de Poincaré-

Bendixon. Poincaré estudió las soluciones sobre un toro. También estudió las

singularidades de ecuaciones no lineales en el campo complejo, e introdujo y

sistematizó los desarrollos asintóticos que hoy se llaman de Poincaré, aunque

ya habían sido usados cincuenta años antes por Stokes.

Estudió las ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes

racionales para las que obtuvo una sorprendente generalización de las

funciones elípticas. Comprobó que ciertas funciones que se pueden obtener a

partir de cocientes de dos soluciones independientes de la ecuación lineal de

segundo orden, admiten grupos de transformaciones análogos a los de las

funciones elípticas, pero que son un subgrupo lineal de las transformaciones de


Möbius, grupos estrechamente relacionados con los grupos cristalográficos en

el espacio de Lobatchewsky. Estudió también condiciones para que las

ecuaciones diferenciales tengan integrales algebraicas. Muchas de estas

técnicas fueron usadas en el estudio de los problemas de la mecánica clásica y

en particular en el problema de los tres cuerpos. En su obra “Les méthodes

nouvelles de la méchanique celeste” introdujo la idea de reducir los

hamiltonianos a formas canónicas, y descubrió la compleja estructura que

pueden tener las variedades estables e inestables de iteraciones de

aplicaciones en problemas de mecánica clásica, anticipándose en los

desarrollos en lo que hoy se denomina teoría del caos, intuyendo muchas de

las dificultades de la teoría de perturbaciones. I. Bendixson prosiguió estos

trabajos hacia 1 901.

De forma independiente se tienen los trabajos de la escuela rusa. Las

investigaciones de Liapunov, discípulo de Chebichev, surgieron de la

astronomía. Buscaba figuras en equilibrio de un fluido en rotación diferentes del

elipsoide. Se ocupó también de la estabilidad del equilibrio y del movimiento de

un sistema mecánico determinado por un número finito de parámetros. Estos

estudios se utilizaron en la investigación de las oscilaciones de sistemas físicos

y mecánicos. Su tesis doctoral trató sobre el problema general de la estabilidad

de los movimientos. Se deben a él el primer método de Liapunov, que se basa

en escribir la solución en forma de serie, y el método directo o segundo método

de Liapunov que se utiliza en los sistemas físicos disipativos. La escuela rusa

se caracterizó por una eficaz organización entre matemáticos, físicos e

ingenieros.

Los trabajos de Poincaré y Liapunov pasaron inadvertidos durante un


tiempo.

Una teoría cualitativa abstracta de los sistemas dinámicos fue

desarrollada por G. D. Birkhoff (1 884 – 1 944). George Birkhoff fue el mejor

discípulo de Poincaré. Para analizar los sistemas dinámicos distinguía entre

sistemas constantes, periódicos, casi-periódicos, recurrentes, estables de

Poisson, centrados... La noción abstracta de sistema dinámico se debe a

Whitney (1 918), que sin necesidad de usar ecuaciones diferenciales, define

así: Un sistema dinámico es un par (X, f) donde X es un espacio topológico y f

una función continua de S × X → X tal que f(0, x) = x; f(t+s, x) = f(t, f(s, x)),

donde S es un semigrupo, usualmente N, Z o ℜ.

Es interesante comentar la demostración de los teoremas ergódicos de

Von Neumann y Birkhoff, el desarrollo de la teoría de sistemas dinámicos y sus

muchas aplicaciones tanto dentro de otras ramas de la Matemática, como en

otras ciencias y técnicas, como las dinámicas caóticas, que ya fueron

anticipadas por Hadamard. Por poner un ejemplo, se puede comentar que los

estudios sobre el sistema de Lorenz y su atractor, llevan a Feigenbaum a

mostrar la universalidad existente en la cascada de bifurcaciones mediante el

doblamiento de periodos que lleva su nombre.

Los problemas más importantes de la teoría cualitativa de ecuaciones

diferenciales se han centrado en el estudio de la naturaleza de los puntos

críticos, de los ciclos límites, en el comportamiento global y asintótico de las

trayectorias en un entorno de los puntos críticos y ciclos límites, en la teoría de

bifurcaciones y en los conceptos de estabilidad estructural. La noción de

estabilidad estructural fue introducida por Andronov y Pontryagin en 1 937. De

forma intuitiva se puede explicar que un sistema dinámico es estructuralmente


estable cuando una variación pequeña de las ecuaciones induce una

transformación de las trayectorias que apenas se diferencia de las anteriores,

con lo que se tendra la misma estructura de puntos críticos y ciclos límites.

Andronov y Pontryagin estudiaron las condiciones de estabilidad estructural en

un sistema de dimensión dos. Andronov conectó la práctica de sus problemas

con diodos, con las teorías de Poincaré, relacionando los resultados del

oscilador de Van der Pol con los ciclos límites de Poincaré. Hacia 1 960 se

sintetizaron las dos grandes escuelas.

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