c alculo num erico resolu˘c~ao num erica de sistemas...

Calculo NumericoResolucao numerica de sistemas lineares

Profa Dra Diane Rizzotto Rossetto

Universidade Tecnologica Federal do Parana

13 de marco de 2016

D.R.Rossetto — Resolucao numerica de sistemas lineares 1/69

Sistemas Lineares

Onde aparecem

I Calculo da tensao em uma estrutura metalica;

I Determinacao do potencial em redes eletricas;

I Resolucao numerica de uma EDP.

Sistemas Lineares

Definicao

Um sistema linear e um conjunto de equacoes lineares da forma:a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2... =

...an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

Sistemas Lineares

Definicao

Que pode ser matricialmente representado por Ax = b onde:

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

an1 an2 · · · ann

I A e a matriz dos coeficientes;

I b e o vetor do termo independente;

I x e a solucao do sistema.

Sistemas Lineares

Classificacao

1 Possıvel ou consistente: possui pelo menos uma solucao.I Determinado: unica solucao.I Indeterminado: mais de uma solucao.

2 Impossıvel ou inconsistente: nao possui solucao.

Sistemas Lineares

Classificacao

Sistemas Lineares

Classificacao

Sistemas Lineares

Classificacao

Sistemas Lineares

Classificacao

Sistemas Lineares

Estudaremos

I Metodos diretos

I Metodos iterativos

Sistemas Lineares

Metodos Diretos

Sistemas Lineares

Definicao

Dois sistemas lineares sao equivalentes quando admitem a mesmasolucao.

Sistemas Lineares Triangulares

Definicao

Uma matriz A triangular inferior e uma matriz quadrada A = (aij)tal que aij = 0 para i < j .

a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0

......

...an1 an2 an3 · · · ann

Definicao

Uma matriz A triangular inferior e uma matriz quadrada A = (aij)tal que aij = 0 para i < j .

a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0

......

...an1 an2 an3 · · · ann

Definicao

Uma matriz triangular superior e uma matriz quadrada A = (aij)tal que aij = 0 para i > j .

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

0 0 · · · a3n...

......

...0 0 · · · ann

Definicao

Uma matriz triangular superior e uma matriz quadrada A = (aij)tal que aij = 0 para i > j .

a11 a12 · · · a1n

0 a22 · · · a2n

0 0 · · · a3n...

......

...0 0 · · · ann

Definicao

Um sistema linear de ordem n triangular inferior tem a forma:a11x1 = b1

a21x1 + a22x2 = b2...

...an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

Como resolve-lo???

Definicao

Um sistema linear de ordem n triangular inferior tem a forma:a11x1 = b1

a21x1 + a22x2 = b2...

...an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn

Como resolve-lo???

Substituicao diretax1 = b1

xi =bi−

∑i−1j=1 aijxjaii

, i = 2, 3, · · · , n

Onde aii 6= 0 para i = 1, 2, · · · , n.

Definicao

Um sistema linear de ordem n triangular superior tem a forma:a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

...annxn = bn

Como resolve-lo???

Definicao

Um sistema linear de ordem n triangular superior tem a forma:a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2...

...annxn = bn

Como resolve-lo???

Substituicao regressivaxn = bn

xi =bi−

∑nj=i+1 aijxjaii

, i = n − 1, · · · , 1

Onde aii 6= 0 para i = 1, 2, · · · , n.

Sistemas Lineares

Pergunta

Como transformar um dado sistema linear em outro equivalente emais simples de ser resolvido???

Sistemas Lineares

Teorema

Seja Ax = b um sistema linear. Aplicando sobre as equacoes destesistema um sequencia de operacoes elementares escolhidas entre:

(I) trocar duas equacoes;

(II) multiplicar uma equacao por uma constante nao nula;

(III) adicionar um multiplo de uma equacao a uma outra equacao;

obtemos um novo sistema Ax = b equivalente ao sistema Ax = b.

Sistemas Lineares

Teorema

Sistemas Lineares

Teorema

Sistemas Lineares

Teorema

Sistemas Lineares

Teorema

Sistemas Lineares

Eliminacao de Gauss

Sistemas Lineares

Eliminacao de Gauss

I Consiste em transformar o sistema dado em um sistematriangular atraves de um sequencia de operacoes elementares,por exemplo:

1 Etapa 1, elimine a incognita x1 das equacoes 2, 3, · · · , n.2 Etapa 2, elimine a incognita x2 das equacoes 3, 4, · · · , n.3 Etapa n-1, elimine a incognita xn−1 da equacao n.

I Resolver o sistema triangular usando substituicao progressivaou regressiva.

Sistemas Lineares

Eliminacao de Gauss

Sistemas Lineares

Eliminacao de Gauss

Sistemas Lineares

Eliminacao de Gauss

Sistemas Lineares

Eliminacao de Gauss

Sistemas Lineares

Eliminacao de Gauss

Sistemas Lineares

Este procedimento sera feito considerando a matriz aumentada:

A = [ A | b ] =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2...

......

an1 an2 · · · ann bn

Sistemas Lineares

Exemplo 1

Resolver o sistema linear:3x1 + 2x2 + 4x3 = 1x1 + x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 − 2x3 = 3

Sistemas Lineares

Etapa 1 mi1 =

a1ij = a0

ij −mi1a01j

I i = 2, · · · , nI j = 1, · · · , n

Sistemas Lineares

Etapa 2 mi2 =

a2ij = a1

ij −mi2a12j

I i = 3, · · · , nI j = 2, · · · , n

Sistemas Lineares

Etapa k akij = ak−1

ij −mikak−1kj

mik =ak−1ik

ak−1kk

I k = 1, · · · , n − 1

I i = k + 1, · · · , nI j = k, · · · , n

Sistemas Lineares

Observacoes

1 O que acontece se resolvemos usando fracoes? E se naousamos fracoes?

2 No computador cada operacao e truncada e arredondada.

Sistemas Lineares

Observacoes

1 O que acontece se resolvemos usando fracoes? E se naousamos fracoes?

2 No computador cada operacao e truncada e arredondada.

Sistemas Lineares

Operacoes Aritmeticas

I Eliminacao: 4n3+3n2−7n6

I Resolucao do sistema: n2

I Total: 4n3+9n2−7n6

Sistemas Lineares

Exemplo 2

Resolver o sistema linear pelo metodo de Eliminacao de Gauss (usearitmetica de ponto flutuante com quatro algarismos significativose arredondamento):{

0, 003000x1 + 59, 14x2 = 59, 175, 291x1 − 6, 130x2 = 46, 78

Solucao exata: x1 = 10, 00 e x2 = 1, 000

Sistemas Lineares

Exemplo 2

Resolver o sistema linear pelo metodo de Eliminacao de Gauss (usearitmetica de ponto flutuante com quatro algarismos significativose arredondamento):{

0, 003000x1 + 59, 14x2 = 59, 175, 291x1 − 6, 130x2 = 46, 78

Sistemas Lineares

Observacoes

1 Uma troca de linhas e necessaria quando um dos elementospivo e nulo.

2 Para reduzir erros de arredondamento, quando o pivo e muitopequeno e necessario realizar uma troca de linhas.

Sistemas Lineares

Observacoes

Sistemas Lineares

Observacoes

Sistemas Lineares

Pivotamento Parcial

Determinar o menor p ≥ k tal que∣∣∣ak−1pk

∣∣∣ = max{∣∣∣ak−1

∣∣∣ , k ≤ i ≤ n}

e realizar a troca Lk ↔ Lp.

Pivotacao pelo maximo da coluna.

Sistemas Lineares

Pivotamento Parcial

Determinar o menor p ≥ k tal que∣∣∣ak−1pk

∣∣∣ = max{∣∣∣ak−1

∣∣∣ , k ≤ i ≤ n}

e realizar a troca Lk ↔ Lp.

Pivotacao pelo maximo da coluna.

Sistemas Lineares

Exemplo 2

Resolver o sistema linear pelo metodo de Eliminacao de Gauss comestrategia de pivoteamento parcial (use aritmetica de pontoflutuante com quatro algarismos significativos e arredondamento):{

0, 003000x1 + 59, 14x2 = 59, 175, 291x1 − 6, 130x2 = 46, 78

Sistemas Lineares

Exemplo 2

Resolver o sistema linear pelo metodo de Eliminacao de Gauss comestrategia de pivoteamento parcial (use aritmetica de pontoflutuante com quatro algarismos significativos e arredondamento):{

0, 003000x1 + 59, 14x2 = 59, 175, 291x1 − 6, 130x2 = 46, 78

Sistemas Lineares

Refinamento da solucao

Considere o sistema linear Ax = b e

A solucao exata:

x∗ =

x∗1x∗2...x∗n

A solucao aproximada

x(0)a =

x(0)2...

Sistemas Lineares

I r (0) = b − Ax(0)a (dobrar a precisao)

I Ac(0) = r (0)

I x(1)a = x

(0)a + c(0)

Repetimos ate que

‖r (k+1) − r (k)‖∞‖r (k+1)‖∞

Sistemas Lineares

I Ac(0) = r (0)

I x(1)a = x

(0)a + c(0)

Repetimos ate que

‖r (k+1) − r (k)‖∞‖r (k+1)‖∞

Sistemas Lineares

I Ac(0) = r (0)

I x(1)a = x

(0)a + c(0)

Repetimos ate que

‖r (k+1) − r (k)‖∞‖r (k+1)‖∞

Sistemas Lineares

I Ac(0) = r (0)

I x(1)a = x

(0)a + c(0)

Repetimos ate que

‖r (k+1) − r (k)‖∞‖r (k+1)‖∞

Sistemas Lineares

I Ac(0) = r (0)

I x(1)a = x

(0)a + c(0)

Repetimos ate que

‖r (k+1) − r (k)‖∞‖r (k+1)‖∞

Sistemas Lineares

Fatoracao LU

Sistemas Lineares

Os passos utilizados para resolver um sistema Ax = b podem serutilizados para fatorar uma matriz.

I Se A = LU,

I Entao Ax = b pode ser escrito como (LU)x = b,

I A solucao pode ser encontrada resolvendo os sistemas:

1 y = Ux2 Ly = b

Sistemas Lineares

I Se A = LU,

1 y = Ux2 Ly = b

Sistemas Lineares

I Se A = LU,

1 y = Ux2 Ly = b

Sistemas Lineares

I Se A = LU,

1 y = Ux2 Ly = b

Sistemas Lineares

I Se A = LU,

1 y = Ux2 Ly = b

Sistemas Lineares

Pergunta

Como determinar os fatores L e U?

Sistemas Lineares

Vamos considerar o caso 3× 3:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Trabalharemos com a matriz dos coeficientes:

A = A(0) =

a(0)11 a

(0)12 a

a(0)21 a

(0)22 a

a(0)31 a

(0)32 a

Sistemas Lineares

Vamos considerar o caso 3× 3:

a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2

a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3

Trabalharemos com a matriz dos coeficientes:

A = A(0) =

a(0)11 a

(0)12 a

a(0)21 a

(0)22 a

a(0)31 a

(0)32 a

Sistemas Lineares

Concluımos que A = LU, onde

1 0 0m21 1 0m31 m32 1

a(2)11 a

(2)12 a

0 a(2)22 a

0 0 a(2)33

Ou seja,

I L = (M(0))−1.(M(1))−1

I U = A(2)

Sistemas Lineares

1 0 0m21 1 0m31 m32 1

a(2)11 a

(2)12 a

0 a(2)22 a

0 0 a(2)33

Ou seja,

I L = (M(0))−1.(M(1))−1

I U = A(2)

Sistemas Lineares

1 0 0m21 1 0m31 m32 1

a(2)11 a

(2)12 a

0 a(2)22 a

0 0 a(2)33

Ou seja,

I L = (M(0))−1.(M(1))−1

I U = A(2)

Sistemas Lineares

1 0 0m21 1 0m31 m32 1

a(2)11 a

(2)12 a

0 a(2)22 a

0 0 a(2)33

Ou seja,

I L = (M(0))−1.(M(1))−1

I U = A(2)

Sistemas Lineares

1 0 0m21 1 0m31 m32 1

a(2)11 a

(2)12 a

0 a(2)22 a

0 0 a(2)33

Ou seja,

I L = (M(0))−1.(M(1))−1

I U = A(2)

Sistemas Lineares

Exemplo 3

Fatorar a matriz do seguinte sistema:3x1 + 2x2 + 4x3 = 1x1 + x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 − 2x3 = 3

Sistemas Lineares

Pergunta

Quando e possıvel realizar esta fatoracao?

Sistemas Lineares

Teorema

Seja A = (aij) uma matriz quadrada de ordem n, e Ak o menorprincipal, constituıdo das k primeiras linhas e k primeiras colunasde A.

Se det(Ak) 6= 0 para k = 1, 2, · · · , n − 1, entao existe uma unicamatriz triangular inferior L = (lij), com l11 = l22 = · · · = lnn = 1, euma unica matriz triangular superior U = (uij) tal que A = LU.

Alem disso det(A) = u11u22 · · · unn.

Sistemas Lineares

Teorema

Sistemas Lineares

Teorema

Sistemas Lineares

Exemplo 4

E possıvel realizar a fatoracao LU da matriz associada ao sistema:3x1 + 3x2 + x3 = 72x1 + 2x2 − x3 = 3x1 − 1x2 + 5x3 = 5

Sistemas Lineares

Se a realizacao do processo de Eliminacao de Gauss so for possıvelcom a realizacao de troca de linhas, entao

PA = LU

onde P e uma matriz de permutacao.

Sistemas Lineares

Observacoes

1 Teoricamente estes procedimentos obtem a solucao dequalquer sistema nao-singular;

2 Para amenizar erros de arredondamento precisamos de umatecnica de pivoteamento;

3 Provocam preenchimento em matrizes esparsas.

Sistemas Lineares

Metodos Iterativos

Sistemas Lineares

I A partir de uma aproximacao inicial x (0) gerar uma sequencia{x (k)} que deve convergir para a solucao exata x∗.

I A ideia dos metodos que vamos estudar e baseada nosmetodos de ponto fixo para encontrar zeros de funcoes:

Sistemas Lineares

I A partir de uma aproximacao inicial x (0) gerar uma sequencia{x (k)} que deve convergir para a solucao exata x∗.

I A ideia dos metodos que vamos estudar e baseada nosmetodos de ponto fixo para encontrar zeros de funcoes:

Sistemas Lineares

Converter Ax = b em um sistema equivalente da forma x = Tx + c

Φ(x) = Tx + c e uma funcao de iteracao dada na forma matricial.

A sequencia e gerada calculando-se

x (k+1) = Tx (k) + c .

Sistemas Lineares

x (k+1) = Tx (k) + c .

Sistemas Lineares

x (k+1) = Tx (k) + c .

Sistemas Lineares

Gauss Jacobi

Sistemas Lineares

Dado Ax = b, a matriz do sistema onde ser escrita como

A = L + D + U.

0 0 · · · 0a21 0 · · · 0...

......

...an1 an2 · · · 0

0 a12 · · · a1n

0 0 · · · a2n

......

0 0 · · · 0

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

......

...0 0 · · · ann

Sistemas Lineares

Dado Ax = b, a matriz do sistema onde ser escrita como

A = L + D + U.

0 0 · · · 0a21 0 · · · 0...

......

...an1 an2 · · · 0

0 a12 · · · a1n

0 0 · · · a2n

......

0 0 · · · 0

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

......

...0 0 · · · ann

Sistemas Lineares

Supondo que det(D) 6= 0, podemos transformar Ax = b emx = Tx + c com:

I T = −D−1(L + U)

I c = D−1b

Basta escrever Dx = −(L + U)x + b

O processo iterativo definido por