bt toan a2

BỘ CÔNG THƯƠNGTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM

TP. HCM

LÊ HỮU KỲ SƠN

Bài tậpToán cao cấp A2 - C2

MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Họ tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

TP. HCM – Ngày 4 tháng 9 năm 2012

Mục lục

1 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC 31.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9

3 KHÔNG GIAN VECTOR 103.1 Không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Không gian Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 12

4.1 Ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Giá trị riêng - vector riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 15

Tài liệu tham khảo 16

2

Chương 1

MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC

1.1 Ma trận

1. Thực hiện các phép toán trên ma trận

a) A =(1 2 −3 4

)410−5

; b) B =

(1 −3 25 1 0

) 2 2 −14 2 3−2 0 1

c) C =

(3 −1 30 −2 1

)3 24 10 1

( 2 4−3 1

); d)D =

(2 −1 23 4 −1

)043

(1 −2)

2. Cho A =

1 2−1 33 4

;B =

0 13 2−2 3

;C =

2 −31 24 −1

.

Tính (A+B) + C;A+ (B + C); 3A− 2B; (3A)t; (3A− 2B)t.

3. Cho ma trận A =

1 2 10 1 23 1 1

;B =

2 3 1−1 1 01 2 −1

;C =

2 −3 01 2 44 −1 0

.

Tính A.B.C và A.C +B.C.

4. Tính A =

a b cc b a1 1 1

1 a c1 b b1 c a

.

5. Cho ma trận

(1 02 1

), hãy tìm ma trận A2012.

6. Cho ma trận

(1 05 1



(cosα sinαsinα − cosα



(0 11 0



(0 01 0

). Tính ma trận (I − A)2012.

3

10. Cho ma trận J =

0 0 11 0 00 1 0

. Tính ma trận J2012


(0 01 0

). Hãy tính tổng sau

2012∑n=0

2nAn = I2 + 2A+ 4A2 + 8A3 + 16A4 + · · ·+ 22011A2011 + 22012A2012


(0 0−1 0


2012∑n=0

An = I2 + A+ A2 + A3 + A4 + · · ·+ A2011 + A2012


(0 −10 0


2012∑n=0

2nAn = I2 + 2A+ 4A2 + 8A3 + 16A4 + · · ·+ 22011A2011 + 22012A2012


(0 −10 0


2012∑n=0

An = I2 + A+ A2 + A3 + A4 + · · ·+ A2011 + A2012


0 1 10 0 10 0 0

. Hãy tính tổng sau

2012∑n=0

(−2)nAn = I3 − 2A+ 4A2 − 8A3 + 16A4 + · · ·+ (−2)2011A2011 + (−2)2012A2012


(a bc d

), hãy tính A2 − (a+ d)A+ (ad− bc)I2.

17. Tìm f(A) nếu

a. f(x) = x2 − 5x+ 3 với A =

(2 −1−3 3

);

b. f(x) = x2 − x− 1 với A =

2 1 13 1 21 −1 0.

.

18. Cho A là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i là i. Tìm phần tử ở dòng 1 cột3 của ma trận A2.

4

19. Cho A là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i là (−1)ii. Tìm phần tử ở dòng2 cột 3 của ma trận A2.

20. Cho A là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i cột j là (−1)i+j. Tìm phần tửở dòng 1 cột 2 của ma trận A2.

21. Cho A là ma trận vuông cấp 1000 mà phần tử ở dòng i là 2i−1. Tìm phần tử ở dòng 2cột 4 của ma trận A2.

22. Hãy tìm số n nguyên dương nhỏ nhất để ma trận An = 0 (ma trận-không), với

a. A =

0 1 00 0 10 0 0

b. A =

0 −1 −10 0 −10 0 0

c. A =

0 0 10 0 00 0 0

d. A =

0 0 1 10 0 0 10 0 0 00 0 0 0

e. A =

0 0 0−1 0 0−1 −1 0

1.2 Định thức

1. Biết các số 204, 527, 255 chia hết cho 17. Không tính định thức, chứng minh rằng:∣∣∣∣∣∣2 0 45 2 72 5 5

∣∣∣∣∣∣ chia hết cho 17.

2. Tính các định thức sau

δ1 =

∣∣∣∣∣∣5 3 2−1 2 47 3 6

∣∣∣∣∣∣ δ2 =

∣∣∣∣∣∣1 1 1−1 0 1−1 −1 0

∣∣∣∣∣∣ δ3 =

∣∣∣∣∣∣a a a−a a x−a −a x

∣∣∣∣∣∣δ4 =

∣∣∣∣∣∣1 1 11 2 31 3 6

∣∣∣∣∣∣ δ5 =

∣∣∣∣∣∣0 1 11 0 11 1 0

∣∣∣∣∣∣ δ6 =

∣∣∣∣∣∣a b cb c ac a b

∣∣∣∣∣∣δ7 =

∣∣∣∣∣∣0 a 0b c d0 c 0

∣∣∣∣∣∣ δ8 =

∣∣∣∣∣∣a x xx b xx x c

∣∣∣∣∣∣ δ9 =

∣∣∣∣∣∣a+ x x xx b+ x xx x c+ x

∣∣∣∣∣∣δ10 =

∣∣∣∣∣∣sin a cos a 1sin b cos b 1sin c cos c 1

∣∣∣∣∣∣ δ11 =

∣∣∣∣∣∣1 1 1x y zx2 y2 z2

∣∣∣∣∣∣ δ12 =

∣∣∣∣∣∣x y x+ yx x+ y x

x+ y y y

∣∣∣∣∣∣δ13 =

∣∣∣∣2 31 2

∣∣∣∣ δ14 =

∣∣∣∣∣∣2 −3 10 2 21 3 m

∣∣∣∣∣∣ δ15 =

∣∣∣∣∣∣1 0 32 1 13 2 2

∣∣∣∣∣∣δ16 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

∣∣∣∣∣∣∣∣ δ17 =

∣∣∣∣∣∣∣∣0 a b ca 0 c bb b 0 ac c a 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ δ18 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 1 11 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 0 11 1 1 1 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣δ19 =

∣∣∣∣∣∣∣∣−4 −5 2 62 −2 1 36 −3 3 94 −1 5 6

∣∣∣∣∣∣∣∣ δ20 =

∣∣∣∣∣∣∣∣3 9 −4 −21 −2 0 32 3 0 −12 −1 2 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ δ21 =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1 11 −1 2 21 1 −1 31 1 1 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣5

3. Giải các phương trình và bất phương trình

1.

∣∣∣∣∣∣x x+ 1 x+ 2

x+ 3 x+ 4 x+ 5x+ 6 x+ 7 x+ 8

∣∣∣∣∣∣ = 0 2.

∣∣∣∣∣∣2 x+ 2 −11 1 −25 −3 x

∣∣∣∣∣∣ ≥ 0

3.

∣∣∣∣∣∣1− x 0 30 1− x 13 2 2− x

∣∣∣∣∣∣ = 0 4.

∣∣∣∣∣∣1− x 1 00 1− x 11 2 1− x

∣∣∣∣∣∣ = 0

5.

∣∣∣∣∣∣∣∣x 1 0 01 x 0 01 1 x 2−1 −1 2 x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 6.

∣∣∣∣∣∣∣∣1− x 0 1 10 1− x 0 01 0 2− x 11 0 1 2− x

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

7.

∣∣∣∣∣∣∣∣1 2x −1 −11 x2 −1 −10 0 x 10 0 0 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0

4. Chứng minh rằng

a.

∣∣∣∣∣∣a1 + b1x a1x+ b1 c1a2 + b2x a2x+ b2 c2a3 + b3x a3x+ b3 c3

∣∣∣∣∣∣ = (1− x2)

∣∣∣∣∣∣a1 +b1 c1a2 b2 c2a3 b3 c3

∣∣∣∣∣∣ ;b.

∣∣∣∣∣∣1 a a3

1 b b3

1 c c3

∣∣∣∣∣∣ = (a+ b+ c)

∣∣∣∣∣∣1 a a2

1 b b2

1 c c2

∣∣∣∣∣∣ ;5. Hãy tính định thức của ma trận

2 b− 2 2− bb− 2 b2 + 4 4b2− b 4b b2 + 4

Đáp số : định thức ma trận bằng 0.

6. Tính định thức cấp n: Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣5 3 0 0 · · · 0 02 5 3 0 · · · 0 00 2 5 3 · · · 0 0· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 0 · · · 2 5

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣7. Tính định thức Vandermond: Dn =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 x1 x21 · · · xn−11

1 x2 x22 · · · xn−12

· · ·1 xn x2n · · · xn−1n

∣∣∣∣∣∣∣∣1.3 Ma trận nghịch đảo

1. Tìm số thực m để ma trận A =

(m 10 m− 1

)(m− 1 0

1 m− 1

)(m− 1 0

1 m− 2

)khả

nghịch.


0 1 0 00 m 1 00 m m2 14 0 0 0

. Hãy tìm phần tử dòng 1 cột 4 của A−1.

6

Đáp số :−14.


(1 23 4

)và B =

(1 2 33 2 1

). Tìm ma trận X thỏa AX = B.


(1 23 4

)và B =

(7 7 11 7 7

). Tìm ma trận X thỏa AX = B.

5. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình

(2 13 2

)X

(−3 25 −3

)=

(−2 43 −1

)


−1 2 −32 −6 51 −3 2

X =

1 02 10 −1

7. Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình X

1 −2 02 −2 31 −1 1

=

(2 1 00 −1 1

)

8. Tìm ma trậnX thỏa mãn phương trình

3 0 18 1 15 −3 −2

1 −1 11 0 −11 1 −2

X =

3 0 18 1 15 −3 −2

9. Tìm ma trậnX thỏa mãn phương trìnhX

−1 2 13 −2 02 −3 −1

2 3 50 −1 62 0 6

=

2 3 −50 −1 62 0 6


2

8 −1 51 6 −2−2 4 0

X −

17 −3 92 11 −3−5 7 2

X =

1 20 −12 1


2X

1 0 12 −2 1−2 3 −3

+X

−1 2 −5−4 5 35 −4 2

X =

(1 −2 02 3 1

)

12. Cho A =

0 1 1 · · · 11 0 1 · · · 11 1 0 · · · 1· · ·1 1 1 · · · 0

. Tìm A−1.

1.4 Hạng của ma trận

1. Tìm hạng của các ma trận sau

1)

2 −1 3 −2 44 −2 5 1 72 −1 1 8 2

; 2)

1 3 5 −12 −1 −3 45 1 −1 77 7 9 1

; 3)

4 3 −5 2 38 6 −7 4 24 3 −8 2 74 3 1 2 −58 6 −1 4 −6

7

4)

1 3 −1 67 1 −3 1017 1 −7 223 4 −2 10

; 5)

0 1 10 32 0 4 5216 4 52 98 −1 6 7

; 6)

2 2 1 5 −11 0 4 −2 12 1 5 0 1−1 −2 2 −6 1−3 −1 −8 1 −11 2 −3 7 −2

2. Tìm m để hạng của ma trận A =

1 2 3 45 8 11 m+ 152 3 4 53 5 7 m+ 10

bằng 2.

Đáp số : m = −1.

3. Biện luận hạng của các ma trận sau theo tham số m

A =

3 m 1 21 4 7 21 10 17 44 1 3 3

; B =

−1 2 1 −1 1m −1 1 −1 −11 m 0 1 11 2 2 −1 1

; C =

3 1 1 4m 4 10 11 7 17 32 2 4 3

8

Chương 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

1. Cho hệ phương trình Ax = B ⇐⇒

−5 1 1 2 −126 −7 −4 −2 131 −8 −5 −4 2

x =

abc

. Tìm điều kiện

của a, b, c để hệ có nghiệm.Đáp số : a− b+ c = 0.

2. Định m để hệ phương trình sau vô nghiệm

x+my + z = mx+ 2y + 2z = 12x+ (m+ 2)y + (m2 + 2)z = m2 +m

Đáp số : m = 2.

3. Tìm m để 2 hệ sau có nghiệm chung{x− y + z + 2t = 2m2x− 3y − 2z − 5t = 2

và

{2x+ 3y + z − 5t = 3m5x− 9y − 11z − 26t = −1

Đáp số : m = 32.

4. Giải các hệ phương trình sau

1)

2x− y − z = 43x+ 4y − 2z = 113x− 2y + 4z = 11

; 2)

x+ y + 2z = −12x− y + 2z = −44x+ y + 4z = −2

; 3)

x− 3y + 4z + t = 12x− 5y + z − 5t = 25x− 13y + 6z = 5

4)

x+ 2y + 4z = 315x+ y + 2z = 293x− y + z = 10

; 5)

x+ y + 2z + 3t = 13x− y − z − 2t = −42x+ 3y − z − t = −6x+ 2y + 3z − t = −4

; 6)

x+ 2y + 3z + 4t = 52x+ y + 2z + 3t = 13x+ 2y + z + 2t = 14x+ 3y + 2z + t = −5

7)

y − 3z + 4t = −5x− 2z + 3t = −43x+ 2y − 5t = 124x+ 3y − 5z = 5

; 8)

x− 2y + z + t = 1x− 2y + z − t = −1x− 2y + z + 5t = 5

; 9)

x+ y − 3z = −12x+ y − 2z = 1x+ y + z = 3x+ 2y − 3z = 1

5. Tìm m để hệ

x+ 3y + 4z − t = 22x+ 7y + 4z + t = m+ 11x+ 5y − 4z + 5t = m+ 9

có nghiệm và giải với m đó.

9

Chương 3

KHÔNG GIAN VECTOR

3.1 Không gian vector

1. Trong R3 , trong các hệ sau, hệ nào là hệ phụ thuộc tuyến tính

A A = {u1 = (5, 4, 3), u2 = (3, 3, 2), u3 = (8, 1, 3)},B B = {u1 = (2,−1, 3), u2 = (3,−1, 5), u3 = (1,−4, 3)}C C = {u1 = (1, 2, 3), u2 = (4, 5, 6), u3 = (7, 8, 9)}D D = {u1 = (0, 1, 2), u2 = (1, 2, 7), u3 = (0, 4, 4)}.

2. Cho P2 là tập hợp các đa thức bậc bé hơn hoặc bằng 2 với hệ số thực. Chứng minh rằng

a. Họ A = {p1(x) = 1 + 2x + 3x2, p2(x) = 2 + 3x + 4x2, p3(x) = 3 + 5x + 7x2} là phụthuộc tuyến tính.

b. Họ B = {q1(x) = 1, q2(x) = 1 + x, q3(x) = 1 + x+ x2} là độc lập tuyến tính.

c. Họ {p(x), p′(x), p”(x)}, trong đó p′(x), p”(x) là đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của p(x) =ax2 + bx+ c; a, b, c ∈ R là độc lập tuyến tính.

3. Chứng minh rằng tập hợp F = {y = (y1, y2, y3, y4)|y2 + y3 + y4 = 0} là một không gianvector con của R4.

4. Tìm điều kiện để vector (x, y, z) không phải là một tổ hợp tuyến tính của hệF = {u = (1, 2, 1), v = (1, 1, 0), w = (3, 6, 3)}.Đáp số : y = x+ z.

5. Trong R4, với W = 〈{u1, u2, u3}〉 = 〈{(−1, 1, 1, 0), (0,−2, 1, 1), (−1, 0, 1,−2)}〉. Chou = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4. Tìm điều kiện để u ∈ W .Đáp số : 7x1 + 2x2 + 5x3 − x4 = 0.

6. Trong R3 xét hai cơ sở A, B. Biết ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là P =

4 0 11 4 41 1 2

và tọa độ x đối với cơ sở A là [x]A = (13, 13, 13). Tìm tọa độ của x đối với cơ sở B.Đáp số : [x]B = (1,−6, 9).

7. Tìm tọa độ (x1, x2, x3, x4) của vector u = (1, 1, 1, 1) theo cơ sở {u1 = (0, 1, 1, 1), u2 =(1, 0, 1, 1), u3 = (1, 1, 0, 1), u4 = (1, 1, 1, 0)}.

10

8. Tìm tọa độ (x1, x2, x3) của vector u = (m,m, 4m) theo cơ sở {u1 = (1, 2, 3), u2 =(3, 7, 9), u3 = (5, 10, 16)}.Đáp số : x1 = −m, x2 = −m, x3 = m.

9. Cho biết ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U = {u1, u2, u3} sang cơ sở chính tắc E là

A =

1 1 20 −1 0−1 −1 −1

. Tìm tọa độ (x1, x2, x3) của vector u = (1, 0, 1).

Đáp số : x1 = 3, x2 = 0, x3 = −2.

10. Trong không gian R3 cho hai cơ sở, cơ sở chính tắc E vàF = {f1 = (−1, 1, 1); f2 = (1,−1, 1); f3 = (1, 1,−1)}. Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từF sang E?

Đáp số : PF→E =

0 0.5 0.50.5 0 0.50.5 0.5 0

.

11. Tìm số chiều và cơ sở của không gian con không gian R3 các nghiệm của hệ phương

trình thuần nhất

x1 − 2x2 + x3 = 02x1 − x2 − x3 = 0−2x1 + 4x2 − 2x3 = 0

12. Tìm số chiều và cơ sở của không gian con không gian R4 các nghiệm của hệ phương

trình thuần nhất

x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 01

2x1 + x2 +

3

2x3 + 2x4 = 0

1

3x1 +

2

3x2 + x3 +

4

3x4 = 0

1

4x1 +

1

2x2 +

3

4x3 + x4 = 0

13. S = {x1, x2, x3, x4, x5} là một họ vector trong R4. Tìm hạng của S nếu x1 =(1, 1,−1,−1);x2 = (1,−1, 1,−1);x3 = (3, 1,−1, 1);x4 = (3,−1, 1,−1);x5 = (2, 0, 0, 0).

3.2 Không gian Euclide

1. Trong không gian EUCLIDE R3 với tích vô hướng thông thường, cho ba vector x =(2, b, c); y = (1,−2, 2); z = (2, 2, a). Tìm a, b, c để ba vector trên tạo thành một hệ trựcgiao.

2. Trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ các vector x1 = (1, 2, 3) và x2 =(3, 1, 2).

Đáp số : y1 =

(1√14,

2√14,

3√14

); y2 =

(31√1050

,−8√1050

,−5√1050

).

3. Trực giao hóa và trực chuẩn hóa Gram-Schmidt hệ các vector x1 = (1, 1, 1); x2 =(1, 1, 0) và x2 = (1, 0, 0).

4. Trong không gian EUCLIDE R3 cho không gian vector conW = {x ∈ R3|2x1+x2−x3 =0}. Tìm một cơ sở trực giao và một cơ sở trực chuẩn của W .

5. Trong không gian EUCLIDE R4 cho không gian vector con W = {x ∈ R4|x1+x2+x3 =0, −x1 + x2 + x4 = 0}. Tìm một cơ sở và một cơ sở trực chuẩn của W .

11

Chương 4

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

4.1 Ánh xạ tuyến tính

1. Trong các ánh xạ sau, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính

1. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (x2 − x3, x1 + x3, 3x1 − x2 + 2x3)

2. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + 2, x3 + 3)

3. f : R2 → R, f(x1, x2, ) = |x2 − x1|4. f : R2 → R2, f(x1, x2) = (2x1, x2)

5. f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x21, x2)

6. f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x2, x1)

7. f : R2 → R2, f(x1, x2) = (0, x2)

8. f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x1, x2 + 1)

9. f : R2 → R2, f(x1, x2) = (2x1 + x2, x1 − x2)10. f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x2, x2)

11. f : R2 → R2, f(x1, x2) = ( 3√x1, 3√x2)

12. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (x1, x1 + x3 + x2)

13. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (0, 0)

14. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (1, 1)

15. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (2x1 + x2, 3x2 − 4x3)

2. Hãy tìm ma trận chính tắc của mỗi ánh xạ tuyến tính sau

1. f(x1, x2) = (2x1 − x2, x1 + x2)

2. f(x1, x2) = (x1, x2)

3. f(x1, x2, x3) = (x1 + 2x2 + x3, x1 + 5x2, x3)

4. f(x1, x2, x3) = (4x1, 7x2,−8x3)5. f(x1, x2, ) = (x2,−x1, 3x2 + x1, x1 − x2)6. f(x1, x2, x3, x4) = (7x1 − 2x2 − x3 + x4, x2 + x3,−x1)7. f(x1, x2, x3) = (0, 0, 0, 0, 0)

8. f(x1, x2, x3, x4) = (x4, x1, x3, x2, x1 − x3)

12

3. Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 −→ R4, định bởi

f(x, y, z, t) = (x+2y+4z− 3t, 3x+5y+6z− 4t, 4x+5y− 2z+3t, 3x+8y+24z− 19t).

Xét không gian vector con V = {(x, y, z, t)/f(x, y, z, t) = (0, 0, 0, 0)}. Tìm số chiều vàmột cơ sở của V .Đáp số : không gian vector V có số chiều bằng 2 và một cơ sở của nó{v = (8,−6, 1, 0), u = (−7, 5, 0, 1)}.

4. Cho T : R2 → R2 là ánh xạ nhân với ma trận

(2 −1−8 4

)1. Vector nào sau đây ∈ Im(T ): (1,-4); (5,0); (-3,12).

2. Vector nào sau đây ∈ Ker(T ): (5,10); (3,2); (1,1).

5. Tìm nhân và ảnh của các ánh xạ tuyến tính sau

1. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (x1 − 2x2 + x3, 2x1 − x2 − x3, x1 + x2 − 2x3)

2. f : R3 → R3, f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3, x1 + x2 + x3)

6. Cho f : R4 → R3, và A =

1 −3 2 −22 −1 2 −11 2 0 1

. Với f(x) = AX, X ∈ R4, hãy xác định

nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính f .

7. f là một ánh xạ ma trận xác định như sau

A =

1 −1 35 6− 47 4 2

; B =

2 0 −14 0 −20 0 0

;

C =

(4 1 5 21 2 3 0

); D =

1 4 5 0 93 −2 1 0 −1−1 0 −1 0 −12 3 5 1 8

Hãy tìm1. Một cơ sở và số chiều cho Im(f);2. Một cơ sở và số chiều cho Ker(f);

8. Cho f : R2 → R2 là ánh xạ tuyến tính có tính chất f(1, 1) = (2, 0); f(0, 1) = (3, 1).Tính f(1, 0) và tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc của R2.

9. Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 −→ R2, ma trận của f đối với cơ sở F = {(2, 1), (1, 1)} là(2 21 1

). Hãy tìm biểu thức của f .

Đáp số : f(x, y) = (5y, 3y).

10. Xét cơ sở S = {v1, v2, v3}, trong R3 trong đó v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 5, 3), v3 = (1, 0, 10).Tìm công thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi T (v1) =(1, 0), T (v2) = (1, 0), T (v3) = (0, 1). Tính T (1, 1,−1), trong các cơ sở chính tắc củaR3 ,R2.

13

4.2 Giá trị riêng - vector riêng

1. Tìm các giá trị riêng và vector riêng của các ma trận

A =

(6 −44 −2

); B =

(5 22 8

); C =

(9 1212 6

)2. Tìm các giá trị riêng và vector riêng của các ma trận

A =

2 −1 1−1 2 −10 0 1

; B =

3 −1 1−1 5 −11 −1 3

; C =

6 2 22 3 −42 −4 3


−8 9 −9−10 13 −10−4 6 −3

, hãy tìm các giá trị riêng của ma trận A?

Đáp số : {−2, 1, 3}

4. Tìm trị riêng thực và vector riêng của ma trận A =

3 3 21 1 −2−3 −1 0

và xác định các

không gian vector riêng tương ứng.


2 1 00 1 −10 2 4

và xác định các không

gian vector riêng tương ứng.


2 2 11 3 11 2 2

và xác định các không

gian vector riêng tương ứng.

7. Tìm trị riêng và vector riêng của các ma trận sau, từ đó hãy chéo hóa các ma trận (nếu

được) A =

15 −18 −169 −12 −84 −4 −6

; B =

0 −8 −6−1 −8 71 −14 11

; C =

2 0 11 1 1−2 0 −1

14

Chương 5

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

1. Viết ma trận của các dạng toàn phương sau:

1. f(x1, x2) = 3x21 − 4x1x2 − x222. f(x1, x2, x3) = x21 − 2x1x2 − x1x33. f(x1, x2, x3) = 2x21 − 2x22 + 5x23 − 8x1x2 − 16x1x3 + 14x2x3

4. f(x1, x2, x3) = 2x1x2 − 6x2x3 + 2x3x1

5. f(x1, x2, x3) = 2x21 + 3x1x2 + 4x3x1 + x22 + x236. f(x1, x2, x3) = −4x1x2 − 4x1x3 + 3x22 − 2x3x2 + 3x237. f(x1, x2, x3) = x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

8. f(x1, x2, x3) = x21 − 2x22 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3

9. f(x1, x2, x3) = x21 − 3x23 − 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3

2. Đưa về dạng chính tắc dạng toàn phương

1. f(x1, x2, x3) = 2x1x2 − 6x2x3 + 2x3x1

2. f(x1, x2, x3) = 2x21 + 3x1x2 + 4x3x1 + x22 + x233. f(x1, x2, x3) = −4x1x2 − 4x1x3 + 3x22 − 2x3x2 + 3x234. f(x1, x2, x3) = x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3

5. f(x1, x2, x3) = x21 − 2x22 + x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3

6. f(x1, x2, x3) = x21 − 3x23 − 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2x3

3. Cho dạng toàn phương Q(x) = x21+2x22+2x23+2x1x2− 2x1x3 = xTAx. Bằng phép biếnđổi trực giao, và với cơ sở trực chuẩn{

y1 =

(2√6,−1√6,1√6

), y2 =

(1√3,1√3,−1√3

), y3 =

(0,

1√2,1√2

)}.

Hãy đưa dạng toàn phương này về dạng chính tắc.Đáp số : g(z) = 3z22 + 2z23

4. Khảo sát tính chát xác định (dấu) của dạng toàn phương sauf(x1, x2, x3) = 5x21 + x22 + 4x1x3 − 4x3x2 + 5x23

5. Khảo sát tính chát xác định (dấu) của dạng toàn phương sauf(x1, x2, x3) = 3x21 + x22 + 5x23 + 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3

6. Định m để dạng toàn phương sau xác định âmf(x1, x2, x3) = −5x21 − x22 −mx23 − 4x1x2 + 2x1x3 + x2x3

15

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Kính (Chủ biên), Bộ môn Toán, Giáo trình Toán cao cấp A2-C2, TrườngĐại học Công Nghiệp Thực Phẩm TP.HCM, 2012.

[2] Trần Lưu Cường (Chủ biên), Nguyễn Đình Huy, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Bá Thi, NguyễnQuốc Lân, Toán Cao Cấp 2 Đại Số Tuyến Tính, Nhà xuất bản giáo dục, 2005.

[3] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Lê Trọng Vinh, Dương Thủy Vỹ, Bài tập Toán Học CaoCấp Tập 1 (Dùng cho sinh viên các trường cao đẳng). Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam,2010.

[4] Nguyễn Đình Trí (Chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh. Bài tập TOÁN CAO

CẤP Tập một Đại số và hình học giải tích. Nhà xuất bản giáo dục, 2010.

16

bt toan a2

Documents