Chương 4

PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀMNHIỀU BIẾN. 4.1. Tính đạo hàm riêng cấp một của các hàm số sau:

a) f(x, y) =x3 + y3

x2 + y2;

b) f(x, y) = ln(x +√

x2 + y2);

c) f(x, y) = y2 sinx

y;

d) f(x, y) = ln(x + ln y);e) f(x, y) = exy cos x sin y;

f)f(x, y) = xy3(x > 0).

. 4.2. Tính đạo hàm của các hàm hợp sau:a) z = eu2−2v2

, u = cos x, v =√

x2 + y2;

b) z = ln(x2 + v2), u = xy, v =x

y;

c) z = x2 ln y, x =u

v, v = 3u− 2v;

d) z = uev + ve−u, u = ex, v = yx2;

e) z = xe

x

y , x = cos t, y = e2t;f) z = x

√1 + y2, x = te2t, y = e−t.

. 4.3. Tính vi phân toàn phần của các hàm số:

a) z = sin(x2 + y2);b) z = ex(cos y + x sin y);

c) z = ln tgy

x;

d) z = arctgx + y

x− y;

e) z = exy + e−

yx ;

f) z =yRx

et2dt;

g) z =

xyR

xyt2 cos 2tdt;

h) u = y2√

x3 − 3y3√

z2;i) u = xey + yez + zex;

j) u = xy2z, (x > 0).

. 4.4. Dùng vi phân, tính gần đúng các số sau:

a) 3È

(1, 02)2 + (0, 05)2;b) ln( 3

√1, 03 + 4

√0, 98− 1);

c)È

9.(1, 95)2 + (8, 1)2;

d)È

sin2 1, 55 + 8.e0,015.

. 4.5. Tính đạo hàm của các hàm số ẩn xác định bởi các phương trình sau:

http://maths3.wordpress.com 9

a) x3y − y3x = a4, tính y′;b) xey + yex − exy tính y′;c) y5 + 3x2y2 + 5x4 = 0 tính y′;

d) 3 sin√

xy− 2 cos

√x

y+ 1 = 0 tính y′;

e) x + y + z = ez, tính z′x, z′y;

f) x3 + y3 + z3 = 3xyz, tính z′x, z′y;

g) xy2z3 + x3y2z = x + y + z, tính z′x, z′y;

h) xey + yz + zex = 0, tính z′x, z′y;

i)xyz = cos(x + y + z), tính z′x, z′y;

j) y2zex+y − sin(xyz) = 0 tính z′x, z′y.

. 4.6. Tìm cực trị của các hàm số

a) z = 4(x− y)− x2 − y2;b) z = x2 + xy + y2 + x− y + 1;c) z = x + y − xry;d) z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2;

e) z = xy ln(x2 + y2);f) z = (x− y)2 + (x + y)3;g) z = x2y3(3x + 2y + 1);h) z = x4 + y4 − 2(x− y)2.

. 4.7. Chứng minh rằng:

a) Hàm số u(x, y) = ln1√

x2 + y2thỏa mãn: ∆u =

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0

b) Hàm số u(x, y, z) = ln1√

x2 + y2 + z2thỏa mãn phương trình ∆u =

∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0.