Brkforsting hj elevar som

startar i den vidaregande skulen

Jorunn Antun

Masteroppgve i matematikkdidaktikk

MAUMAT 650

Matematisk institutt, Universitetet i Bergen

1. mai 2015

i

Forord

Etter mange r som lrar i grunnskulen og den vidaregande skulen starta eg hausten 2011 p

eit deltidsstudium ved UiB: Erfaringsbasert master med fordjuping i matematikk. Eg har

alltid hatt glede av undervisa i matematikk, og eit ynskje om studera meir matematikk

utover det eg har hatt i fagkrinsen min.

I masteroppgva mi har eg underskt brkforsting hj elevar som startar i den vidaregande

skulen. Arbeidet har vore krevjande, men interessant og lrerikt. Det har vore verdifullt bde

med omsyn til eigenutvikling og refleksjonar kring matematikkundervisning generelt. Dette

hpar eg skulen og framtidige elevar vil f nytte av.

Nr eg no ser tilbake p desse fire ra, er det mange som fortener ein takk:

Ein stor takk til rettleiaren min, Christoph Kirfel, for hjelp og konstruktive innspel

undervegs gjennom heile prosessen.

Takk til mine medstudentar, srleg kull-11: Jill, Tone, Elin, Tom og Torbjrn, for

samarbeid, oppmuntring og sttte gjennom desse ra.

Takk til arbeidsgjevar for oppmuntrande ord og god tilrettelegging av arbeidstid slik

at det har vore mogleg for meg gjennomfra dette studiet kombinert med jobb.

Takk til elevane som deltok i denne underskinga, og srleg dei som lot seg

intervjua.

Takk til Sigrun som har lese korrektur p oppgva og kome med gode rd.

Og sist, men ikkje minst: Ein stor takk til Knut Rasmus for god hjelp, sttte og

oppmuntring undervegs i arbeidet med masteroppgva mi. Takk for tlmod, gode

innspel og hjelp til sortera tankar nr dette var naudsynt.

Bergen, 01.05.2015

Jorunn Antun

ii

Samandrag

Mlet for denne oppgva har vore f strre innsikt i kva brkforsting elevar som startar i

den vidaregande skulen kan ha. To forskingssprsml har lagt til grunn for arbeidet mitt:

1. Kva forsting av og dugleikar i brk og brkrekning kan ein finna hj elevar som

startar i den vidaregande skulen?

2. Kva misoppfatningar rundt omgrepet brk og brkrekning kan ein finna hj

elevane?

Trettito elevar har delteke i underskinga. Dei har nett starta i den vidaregande skulen, etter

ha gtt p ulike ungdomsskular spreidd over heile landet. Ein skriftleg kartleggingstest gav

informasjon om kva elevane meistra innan sentrale aspekt ved brk og moglege

misoppfatningar knytt til brk og brkrekning. Deretter vart om lag ein tredel av informantane

intervjua for f strre innsikt i korleis dei tenkjer. Datamaterialet vart analysert ut fr eit

konstruktivistisk syn p lring.

Underskinga mi viser eit stort spenn med omsyn til brkforsting. Utfordringar kjem i srleg

grad til synes i overgangane mellom kjennskap til prosedyrar, iverksetjing av prosedyrar og

forsting for korleis desse faktisk verkar. Nokre elevar har berre fragmentarisk innsikt i

prosedyrar. Andre elevar har eit isolert fokus p reglar; dei er kjend med ulike prosedyrar og

nyttar algoritmar ved operasjonar p brk. Feil som kjem fram er knytt til faktisk utfring av

prosedyrane; ulike reglar vert blanda saman, eller det stoppar opp for elevar nr ei prosedyre

ikkje kan nyttast direkte. Ein ser vidare dme p elevar som evnar sj samanhengar, og som

i praksis greier setja saman ulike prosedyrar og nytta brkomgrepet i ulike kontekstar.

Mange greier likevel fortsatt ikkje forklara kva dei gjer og kvifor dei gjer det dei gjer. Mangel

p forsting ser ut til vera den gjennomgande faktoren som set grenser for meistring p

hgare niv. Samla sett fr ein her stadfesta at eit grunnlag bygd p dugleikar utan forsting er

laust fundamentert; det skal lite til fr elevane vert usikre eller at reknereglar vert glymd.

Manglande forsting gjer at ulike misoppfatningar kjem til syne, bde nr brkar skal ordnast

og samanliknast, nr ekvivalente brkar skal lagast og ved operasjonar p brk. Underskinga

viser m.a. at fleire elevar overfrer kunnskap om bruk av dei naturlege tala til brk og

brkrekning, og at elevar strevar med sj og bruka ideen om ekvivalente brkar i ein strre

samanheng. Dei avdekka misoppfatningane gjev samla eit vidare innsyn i grunnleggjande

manglar knytt til brkforsting hj elevar som startar i den vidaregande skulen.

iii

INNHALD

1. INNLEIING s. 1

1.1. Bakgrunn og grunngjeving for val av tema .. s. 1

1.2. Ml for oppgva .. s. 2

1.3. Forskingssprsml s. 3

1.4. Avklaring av omgrep s. 3

1.4.1. Forsting . s. 3

1.4.2. Misoppfatning s. 6

1.5. Oppbygging av oppgva . s. 7

2. TEORI s. 9

2.1. Brk . s. 9

2.1.1. Kva er brk? .. s. 9

2.1.2. Omgrepsstrukturen for brk .. s. 10

2.1.2.1. Brk som del av eit heile .. s. 11

2.1.2.2. Brk som forhold s. 11

2.1.2.3. Brk som operator .. s. 12

2.1.2.4. Brk som kvotient .. s. 13

2.1.2.5. Brk som mlestorleik s. 13

2.1.2.6. Ekvivalente brkar . s. 14

2.1.3. Brken si historie .. s. 14

2.1.4. Brk i den norske skulen s. 18

2.2. Lring .. s. 19

2.2.1. Kva er lring? s. 19

2.2.2. Lringsteoriar s. 19

2.2.2.1. Den kognitive konstruktivismen s. 20

2.2.2.2. Den sosiale konstruktivismen s. 23

2.2.3. Omgrepsdanning s. 24

2.3. Elevar og brkomgrepet. Vanskar og misoppfatningar s. 29

2.3.1. Kompleksiteten i brkomgrepet . s. 30

2.3.2. Nytt notasjonssystem .. s. 31

2.3.3. Terminologi ... s. 31

2.3.4. Nye einingar .. s. 32

2.3.5. Ekvivalente brkar og tettleiken i dei rasjonale tala .. s. 32

iv

2.3.6. Interferens med dei naturlege tala .. s. 33

2.3.7. Omgjering mellom brk, desimaltal og prosent s. 35

2.3.8. Multiplikativ tenking . s. 35

2.3.9. Undervisning . s. 36

2.4. arbeida med omgrepsdanning i skulen . s. 38

2.4.1. Diagnostisk undervisning ............. s. 38

2.4.2. Undervisning om talforsting Number sense ............. s. 40

3. METODE s. 42

3.1. Datainnsamlingsmetode ... s. 42

3.1.1. Testen . s. 43

3.1.2. Intervjua . s. 46

3.2. Utval . s. 48

3.3. Pilotering .. s. 48

3.4. Gjennomfring . s. 50

3.5. Vidare arbeid med data s. 51

3.6. Reliabilitet og validitet . s. 52

3.7. Etiske refleksjonar s. 55

4. RESULTAT OG ANALYSE s. 58

4.1. Nokre statistiske ml s. 58

4.2. Resultat, kommentarar og analyse av einskildoppgver .. s. 60

4.2.1. Brk som del av eit heile s. 60

4.2.2. Brk som mlestorleik .. s. 63

4.2.2.1. Ekvivalens .. s. 63

4.2.2.2. Samanlikning av brkar . s. 67

4.2.2.3. Tallinja .. s. 72

4.2.2.4. Tettleik .. s. 76

4.2.2.5. Brk/desimaltal/prosent s. 79

4.2.3. Brk som forhold ... s. 80

4.2.4. Operasjonar p brk ... s. 86

4.2.4.1. Addisjon og subtraksjon. Brk som mlestorleik. . s. 86

4.2.4.2. Multiplikasjon og divisjon. Brk som operator og kvotient. . s. 90

4.3. Ei kort oppsummering .. s.101

5. DISKUSJON OG KONKLUSJON s.104

5.1. Diskusjon av resultat s.104

v

5.1.1. Dugleikar utan forsting s.104

5.1.2. Feil bruk av idar knytt til heile tal .. s.107

5.1.3. Kva er den heile? .. s.108

5.1.4. Oppdelingar .. s.109

5.1.5. Vanskar med multiplikativ tenking ... s.111

5.2. Diskusjon av metode og teori .. s.112

5.3. Konklusjon .. s.116

5.4. Tankar for undervisning .. s.116

5.5. Vidare forsking s.118

6. LITTERATURLISTE s.120

7. VEDLEGG s.127

1. Godkjenning fr NSD s.128

2. Godkjenning fr rektor .. s.129

3. Lyve til bruka oppgver fr CSMS-prosjektet .. s.130

4. Informasjonsskriv til elevar og fresette s.131

5. Intervjuguide .. s.133

6. Brktest .. s.134

7. Oversikt over oppgver; kjelder, kategorisering og resultat .. s.142

1

1. Innleiing

1.1. Bakgrunn og grunngjeving for val av tema

Eg har vore lrar i mange r frst i grunnskulen p dei fleste trinn, og seinare i den

vidaregande skulen. Faga eg har undervist i har vore matematikk, naturfag, musikk og

kroppsving. Gjennom desse ra har eg mtt mange flotte elevar. Nokre av dei har vore svrt

motivert for dei ulike skulefaga, for andre har motivasjon variert meir. Nr det gjeld

matematikkfaget, tykkjer eg det skil seg noko ut fr dei andre faga. Fleire elevar oppfattar

matematikkfaget som srs krevjande, og viser lita evne til halda ut nr ein skal jobba med

faget. Nokre av dei kan slita med manglande sjlvtillit og negative kjensler til faget. Stundom

har eg tenkt at det er drleg samsvar mellom dugleikar hj elevar og dei krava som er definert

i lreplanen. Nokre av desse observasjonane kan samsvara med m.a. det som har kome fram i

fleire PISA-underskingar1 (Kjrnsli & Olsen, 2013).

P den vidaregande skulen der eg no arbeider, kjem det mange skuleflinke elevar fr heile

landet. Dei aller fleste har gode karakterar i matematikk fr ungdomsskulen. Likevel opplever

eg at fleire av dei er usikre nr det gjeld brk og brkrekning. Nokre kan svara rett p

oppgver, men forstr ikkje kva dei gjer. Andre kan gje uttrykk for at brk verkar ulogisk,

forvirrande og er vanskeleg forst. Ved brk i algebra, t.d. i ei likning eller at ein skal

trekkja saman eit algebraisk uttrykk, stoppar det opp for mange elevar. Desse observasjonane

stemmer overeins med det som har kome fram i fleire TIMSS-underskingar2. I 2003 skra

norske elevar drlegast i emnet Tal og Algebra godt under det skalerte gjennomsnittet

(Grnmo, Bergem, Kjrnsli, Lie & Turmo, 2004). Den same tendensen finn vi igjen, bde i

TIMSS 2007 og TIMSS 2011, sjlv om ein her kan spora fagleg framgang (Grnmo &

Onstad, 2009; Grnmo, Onstad, Nilsen, Hole, Aslaksen & Borge, 2012). Men fortsatt er det

svrt f elevar p hgt niv. Ein grunn til dette kan vera manglande dugleikar i formell

talrekning og algebra (Grnmo et al., 2012).

_____________________

1 PISA (Program for International Student Assessment) er eit internasjonalt prosjekt i regi av OECD

(Organisation for economic cooperation and development), der mlet er kartleggja 15-ringar sin kompetanse

og dugleikar innan fagomrda matematikk, naturfag, lesing og problemlysing. Denne underskinga vert

gjennomfrt kvart tredje r (www.pisa.no).

2 TIMSS (Trends in International Mathematics and Science Study) er eit internasjonalt forskingsprosjekt der

mlet er kartleggja elevar p 4. og 8. trinn i matematikk og naturfag. Denne lreplanbaserte underskinga vert

gjennomfrt kvart fjerde r (www.timss.no).

http://www.pisa.no/http://www.timss.no/

2

For mange elevar er det eit stort steg ta nr talomgrepet skal utvidast fr naturlege tal til

rasjonale tal (Birkeland, Breiteig & Venheim, 2011). Behr, Lesh, Post & Silver (1983)

uttrykkjer fylgjande: Rational-number concepts are among the most complex and important

mathematical ideas children encounter during their presecondary school years (Behr et al.,

1983, s. 91). Mange underskingar har vist at brk kan vera vanskeleg for elevar (Bjerke,

Eriksen, Rodal & nestad, 2013; Brown, Kchemann & Hodgen, 2010; Charalambous &

Pitta-Pantazi, 2007; Engstrm, 1997; Hart, Brown, Kchemann, Kerslake, Ruddock &

McCartney, 1981; Heron, 2014; Indrester, 1998; Kerslake, 1986; Lamon, 2005; McIntosh,

2007; Petit, Laird & Marsden, 2010; Vamvakoussi & Vosniadou, 2010; nestad, Rodal &

Eriksen, 2014). Nilsen (2008) har i si masteroppgve underskt 10. klassingar si taloppfatning

ved skulen der ho jobbar. Nr det gjeld brk, konkluderer ho med fylgjande: Begrep om

brk, brkoperasjoner og brkregning er svrt mangelfulle hos et stort flertall (Nilsen, 2008,

s.109). Elevane forstr m.a. ikkje likeverdige brkar, greier ikkje avgjera kva brk som er

strst og dei viser misoppfatningar ved addisjon av brkar med ulik nemnar (ibid.).

Mine eigne erfaringar, og det som har kome fram i underskingane nemnt ovanfor har gjort

meg nysgjerrig. Ein del forsking er gjort p yngre elevar. Eg ynskjer difor underskja meir

systematisk brkforsting hj elevar som startar i den vidaregande skulen. Kva meistrar dei?

Kva forstr dei? Kor ligg utfordringane? D brk og brkrekning inngr i mange emne i

matematikk, synest eg det er viktig ha ein solid kunnskap om dette, slik at eg som lrar kan

hjelpa elevane best mogleg s tidleg som mogleg. Dersom ein som lrar kjenner til korleis

elevar forstr brk og brkrekning, samt dei vanlegaste misoppfatningane og feilstrategiar, vil

ein kunna retta merksemda mot desse i undervisninga, og korrigera dei.

1.2 Ml for oppgva

Mlet for denne oppgva er f strre innsikt i kva forsting elevar som startar i den

vidaregande skulen har om brk og brkrekning. Eg ynskjer underskja korleis elevar

tenkjer nr dei lyser ulike oppgver der brk er involvert. Det vil eg m.a. gjera ved at

elevane skal rekna gjennom ein kartleggingstest med oppgver som dekkjer sentrale aspekt

ved brkomgrepet. Eg ynskjer f eit heilskapleg inntrykk av brkforstinga deira, og vil

difor g bredt ut i oppgvesettet. Det vil kunna gje meg informasjon om kva elevane meistrar,

og ein peikepinn p om nokre av dei har misoppfatningar knytt til brk og brkrekning. Ulike

misoppfatningar i ulike brkaspekt kan stundom sporast tilbake til samanliknbare

tankerekkjer, og kan slik vera i slekt med kvarandre. For f ei djupare forsting av korleis

3

elevar tenkjer kring brkomgrepet, vil eg intervjua nokre av dei om utvalde oppgver fr

testen. Gjennom samtalar med elevar vil eg kunna stilla oppflgingssprsml, og p den

mten f ei betre innsikt i og auka kunnskap om korleis dei tenkjer.

testa utfyllande alle sider ved ulike brkaspekt vil ikkje vera mogleg av omsyn til omfanget

p underskinga. Mlet er likevel at eg med mitt oppgvesett og intervju med elevar i

etterkant skal ha eit grunnlag for refleksjonar kring generell forsting av brkomgrepet hj

elevar som startar i den vidaregande skulen.

Brkforstinga hj elevane vert studert ut fr eit konstruktivistisk syn p lring, og det

teoretiske grunnlaget er m.a. prosedyreforsting/ omgrepsforsting. Misoppfatningar vert

brukt som eit verkty for skildra ei manglande omgrepsforsting. Den matematiske

konteksten vert brukt for strukturera testen og analysen, for slik synleggjera ulike aspekt

ved brkomgrepet (t.d. brk og illustrasjonar, ekvivalens, tettleik osb.).

1.3 Forskingssprsml

I arbeidet med denne oppgva har fylgjande problemstillingar lagt til grunn:

Kva forsting av og dugleikar i brk og brkrekning kan ein finna hj elevar som

startar i den vidaregande skulen?

Kva misoppfatningar rundt omgrepet brk og brkrekning kan ein finna hj elevane?

I arbeidet med svara p forskingssprsmla er det naudsynt diskutera funna mine opp mot

relevant forskingslitteratur retta mot m.a. misoppfatningar. Slik kan eg ska ei djupare

forsting av kvifor elevane tenkjer som dei gjer.

1.4 Avklaring av omgrep

1.4.1. Forsting

I matematikkdidaktikk har ein vore oppteken av skilja mellom vita korleis vs. vita

kvifor, og ulike namn har vorte nytta for skildra denne dualiteten (Hallett, Nunes & Bryant,

2010). Hiebert & Lefevre (1986, s. 3-4) nyttar orda procedural knowledge -

prosedyrekunnskap og conceptual knowledge - omgrepskunnskap. Prosedyrekunnskap kan

vera kunnskap om symbolske representasjonar og formelt sprk. Men det kan g vera

kunnskap om reglar og algoritmar for korleis oppgver kan lysast, for p den mten verta i

4

stand til utfra definerte handlingar (ibid.). I denne oppgva vil fokus i analysen liggja p

det siste. Omgrepskunnskap er knowledge that is rich in relationships (ibid.), i

motsetnad til prosedyrekunnskap. I dette nettverket av kunnskap vert einskilddelar bunde

saman med andre informasjonsbitar.

Matematikkdidaktikaren Rikard Skemp nyttar orda instrumentell og relasjonell matematisk

forsting (Skemp, 1976). Ved instrumentell forsting nyttar ein rules without reasons

(ibid., s.89). Ein elev veit kva han skal gjera, men ikkje kvifor. Har ein elev relasjonell

forsting veit han bde kva han skal gjera og kvifor, og han kan difor forklara samanhengen

mellom premissane i eit problem og den endelege lysinga p det (ibid.).

Den norske matematikkdidaktikaren Stieg Mellin-Olsen3 nytta omgrepa regeloppfatning og

strukturoppfatning (Mellin-Olsen, 1984). Ved ei regeloppfatning av eit omgrep har vi

kunnskap om reglar og prinsipp, og korleis dei vert brukt i praksis. Denne kunnskapen vert

sett p som statisk og isolert kunnskap. Har ein strukturoppfatning, forstr ein strukturen til eit

omgrep, den matematiske samanhengen det er satt inn i og kvifor ein regel har vorte som han

er (ibid.).

I denne oppgva skil eg ikkje mellom prosedyrekunnskap, instrumentell forsting og

regeloppfatning. Dette er ulike mtar skildra kva dugleikar ein har; at ein veit korleis ein

operasjon skal utfrast og korleis eit resultat har vorte til. Eg skil heller ikkje mellom omgrepa

omgrepskunnskap, relasjonell forsting og strukturoppfatning, som er ulike mtar skildra

kva forsting du har; t.d. sj samanhengar mellom kunnskap og vita kvifor ei prosedyre

fungerer. Nr ordet forsting vert nytta vidare i oppgva, meiner eg forsting knytt til

strukturar i matematikk.

Forsting og dugleikar vart ovanfor definert m.o.t. kvalitet; rik eller fattig p relasjonar. Dette

meiner Star (2005) er uheldig, d dei br handsamast som uavhengige dimensjonar. Begge

kan vera overflatisk (f samanhengar) eller djup (rik p relasjonar). Han er srleg oppteken av

den djupe prosedyreforstinga med fleksibel bruk av prosedyrar og effektive strategival.

Baroody, Feil & Johnson (2007) byggjer vidare p Star (2005) sine idear, og dei meiner at ei

djup prosedyreforsting ikkje kan eksistera utan ei djup omgrepsforsting og omvendt, medan

den overflatiske prosedyre- og omgrepsforstinga kan eksistera uavhengig av kvarandre. I

___________________

3 Stieg Mellin-Olsen arbeidde ei tid saman med Richard R. Skemp.

5

oppgva mi vil eg ikkje g vidare inn p desse teoriane. Det er ikkje alltid like lett avgjera

kor vidt ein elev har prosedyreforsting eller omgrepsforsting. All kunnskap let seg heller

ikkje kategoriserast p denne mten. Sjlv om dei er to ulike omgrep heng dei saman. Ein

auka kompleksitet med fleire variablar involvert vil kunna gjera arbeidet med kartleggja

brkforstinga hj elevane vanskelegare. Skal ein kunna underskja nrare kor vidt elevar har

bde djup prosedyreforsting og djup strukturforsting, m ein analysera datamaterialet p

elevniv for f danna elevprofilar. Dette er etter mi meining, formlstenleg om mlet er

kartleggja einskildelevar for so laga eit undervisningsopplegg for dei. Mitt hovudml er f

eit heilskapleg bilete av brkforstinga hj elevane hj heile klassen eller deler av han.

Gjennom mi erfaring som lrar kjenner eg meg igjen i teoriar knytt opp mot

prosedyreforsting og strukturforsting hj elevar, og ynskjer difor studera brkforstinga ut

fr dette. Elevar kan t.d. koma med utsegn om at brk er ulogisk og brkoperasjonar bestr av

meiningslause reglar. Ei meir systematisk undersking av kva forsting og dugleikar ein kan

finna hj elevar str d fram som metodologisk mest relevant for meg.

skilja mellom prosedyrekunnskap og omgrepskunnskap kan vera nyttig, d det kan vera til

hjelp for forst korleis ein elev lrer (Hiebert & Lefevre, 1986). Byrnes & Wasik (1991)

viser til ulike hovudargument som g talar for eit slikt skilje: Prosedyrekunnskap og

omgrepskunnskap er sopass ulike at dei ikkje kan sjast p som ein og same kunnskap. Dei

har ulike funksjonar; omgrepskunnskap ordnar og organiserer erfaringar, medan

prosedyrekunnskap er ei oppskrift p korleis ein skal n eit ml. Dessutan har det vist seg at

nokre elevar kan ha omgrepskunnskap, men mangla prosedyrekunnskap og omvendt (Byrnes

& Wasik, 1991, s.777). Eg viser elles til Sfard (1991) sin teori om relasjon mellom omgreps-

og prosedyreforsting skildra i punkt 2.2.3. Omgrepsdanning.

I denne oppgva vert ein elev sine dugleikar underskt gjennom:

oppgver som kan lysast ved hjelp av ein algoritme eller innlrt prosedyre

Ein elev si forsting vert underskt gjennom:

oppgver som manglar moglegheit for nytta prosedyrar eller der slike prosedyrar

ikkje er naudsynt for lysa oppgvene

kor vidt eleven greier forklara kvifor ei prosedyre fungerer

6

oppgver knytt til ulike kontekstar, stundom gjennom ulike tekstoppgver, for sj

om dei forstr omgrepa i ulike samanhengar og greier bruka dei i ein meir kompleks

samanheng

Ei fyldigare skildring av korleis testen har vorte utforma finn ein i punkt 3.3.1.

1.4.2. Misoppfatning

Nr ein elev skal lra, hender det at misoppfatningar oppstr. Fr dei festa seg, kan det hindra

vidare lring. Ei misoppfatning er ufullstendige tankar knytt til eit omgrep, og er ein naturleg

del av lreprosessen (Brekke, 2002, s.10). I mte med ny informasjon vil ein tolka og

organisera dette ut fr det ein veit fr fr. Har ein t.d. avgrensa erfaringar med eit omgrep kan

dette fra til feilgeneraliseringar og misoppfatningar. Ei slik tenking hyrer heime i eit

konstruktivistisk syn p lring (sj punkt 2.2.2.1.), og kan forklara kvifor to elevar med same

undervisning kan ha ulike oppfatningar av eit omgrep.

Misoppfatningar er alts eit omgrep i eit tidleg stadium (Swan, 2001). Desse alternative

oppfatningane er satt i eit logisk system. Gunnar Gjone4

kategoriserer misoppfatningane i

ulike delar :

Overgeneralisering. Ein elev vil lett kunna gjera nokre generaliseringar av tidlegare

kunnskap som ikkje er rett. Det er slett ikkje alltid at idear og omgrep som gjeld i ein

situasjon kan overfrast til ein ny situasjon.

Overspesialisering. Ved overspesialisering kan ein elev m.a. leggja restriksjonar til eit

omgrep som ikkje er karakteristiske for heile omrdet.

Avgrensa omgrep. Dersom ein elev berre har erfaringar innanfor eit avgrensa felt av

eit omgrep, vil han kunna ha ein for snever tankemodell for kva som ligg i omgrepet.

Feiloversetjing. Dette er feil som kan koma nr ein elev skal omsetja mellom t.d. ord,

symbol eller formlar. Slike omsetjingar er vanskelege.

Det er viktig vera merksam p at kategoriane nemnt ovanfor ikkje ekskluderer kvarandre.

Misoppfatninga multiplikasjon gjer strre og divisjon gjer mindre er bde dme p

overgeneralisering, overspesialisering og avgrensa omgrep (ibid.).

_________________

4 Gunnar Gjone: Misoppfatninger, diagnostiske oppgaver og diagnostisk undervisning. Frelesing ved UIB, Det

matematisk-naturvitenskaplige fakultet. Bergen 07.03.14

7

Eit feilsvar kan oppst av ulike grunnar. Swan (2001) seier fylgjande:

Some may be simply due to lapses in concentration, hasty reasoning, memory overload or a

failure to notice salient features of a situation. Others, however, may be symptoms of deeper

misunderstandings or may not be mistakes at all they may be the result of alternative

interpretations of a situation (Swan, 2001, s.147).

Det ligg alts ei bestemt tenking bak ei misoppfatning. Denne tenkinga vert brukt noks

konsekvent; misoppfatningar er ikkje tilfeldige (Brekke, 2002).

I denne oppgva vert ein elev sine eventuelle misoppfatningar underskt gjennom:

oppgver som er laga slik at misoppfatningar eller uferdige omgrep vert avdekka, ogs

kalla diagnostiske oppgver

For meir informasjon her, sj punkt 2.4.1. Diagnostisk undervisning og punkt 3.1.1.

Testen.

1.5. Oppbygging av oppgva

I dette innleiingskapitlet har eg m.a. skrive litt om kvifor eg har vald fordjupa meg i elevane

si forsting av brk og brkrekning. Brk inngr i mange emne i matematikk, og ved ha

kjennskap til korleis elevar kan forst brk, kva dei meistrar, kor utfordringane kan liggja og

kva misoppfatningar dei kan ha, vil ein lettare kunna leggja til rette for ei undervisning der ein

betre kan hjelpa elevar i prosessen med konstruera ei solid brkforsting. Vidare har

forskingssprsmla som ligg til grunn for arbeidet med denne oppgva vorte presentert, samt

avklaring av omgrepa forsting og misoppfatning.

Kapittel 2 utgjer teoridelen i denne oppgva. Frste del handlar om brk. For f eit godt

utvikla brkomgrep, er det viktig ha ei solid forsting for ulike aspekt ved brk. Det vert so

gjeve ei oversikt over brken si historie. Brk har vore ein del av matematikken i fleire tusen

r, og er i dag eit gjennomgande tema i heile grunnskulen. Vidare i oppgva skriv eg om

lring. Her vert det gjeve ein presentasjon av teori som er relevant for denne oppgva, m.a.

konstruktivistiske lringsteoriar og teoriar om korleis omgrep vert danna. Deretter omtalar eg

nokre kjende vanskar og misoppfatningar elevar kan ha i mte med brk. Det har vist seg at

mange elevar har problem med meistra brkomgrepet (Hart et al., 1981; Brown et al., 2010).

Til sist ser eg p eit par undervisningsmetodar som kan vera nyttig i arbeidet med danna

solide omgrep hj elevar, med hovudvekt p diagnostisk undervisning.

8

Kapittel 3 omtalar kva forskingsmetode eg nyttar for f informasjon om og svar p

forskingssprsmla mine. Datainnsamlinga skjer ved hjelp av bde kvantitativ og kvalitativ

metode. Ved nytta ulike metodar, vil ein kunna studera eit fenomen fr fleire sider, noko

som kan gje ei fyldigare skildring av det eg forskar p. Vidare skriv eg litt om utvalet i

studien, korleis testen og intervjua vert gjennomfrt og korleis eg vil analysera informasjonen

som kjem fram. Til sist skriv eg litt om reliabilitet og validitet i underskinga mi, samt etiske

refleksjonar knytt til forsking i klasserommet.

Kapittel 4 omtalar resultat og analyse av underskinga. Frst vert nokre statistiske ml fr

kartleggingstesten presentert, deretter vert resultat p einskildoppgver kommentert og

analysert og prvd knytt opp mot anna forsking. Resultata og analysen er strukturert ut fr

matematisk kontekst. Eg har vald ei open tilnrming til datamaterialet for f eit heilskapleg

bilete av brkforstinga hj elevane.

I kapittel 5 diskuterer eg frst nokre av utfordringane og feil som gr igjen i datamaterialet

mitt. Dette vert prvd knytt opp mot teori og anna forsking. Deretter diskuterer eg om

metoden, oppgvene i testen, intervjua og det teoretiske grunnlaget var eigna til f svar p

forskingssprsmla mine. Til sist gjev eg ein kort konklusjon p arbeidet, kjem med nokre

tankar for undervisning og forslag til vidare forsking.

9

2. Teori

Dette kapitlet inneheld teori som er relevant for oppgva mi. Frst skriv eg litt om brk og

omgrepsstrukturen for brk. Ei forsting for ulike aspekt ved brk er m.a. naudsynt for f eit

solid brkomgrep (Bjerke et al., 2013). Eg prver deretter gje ei oversikt over brken si

historie, for so synleggjera kva kompetansemla i Lreplan i matematikk fellesfag seier

elevane skal kunna om brk og brkrekning i den norske grunnskulen i dag.

Vidare i dette kapitlet gjer eg greie for konstruktivistiske lringsteoriar og teoriar om korleis

omgrep vert danna. Deretter gjer eg greie for nokre vanskar og misoppfatningar ein kan finna

hj elevar nr det gjeld brk og brkrekning. Til sist ser eg p nokre arbeidsmtar som kan

avdekka omgrepsproblem hj elevar, og som kan vera med p byggja opp solide omgrep hj

dei. Hovudvekta her ligg p diagnostisk undervisning.

2.1. Brk

2.1.1. Kva er ein brk?

I Kunnskapsforlaget sitt matematikkleksikon finn ein fylgjande definisjon av brk: En brk

er et uttrykk p formen a

b. Streken kalles brkstrek; a kalles teller og b nevner (Thompson,

2006). Teljaren seier noko om kor mange brkdelar vi har, og nemnaren gjev namn til brken

(ibid.). Bde 2

3 og

3

2 er brkar, den frste er ein ekte brk, medan den andre er ein uekte brk.

11

2 er eit blanda tal som representerer brken

3

2. Ut fr definisjonen ovanfor er talet

2

3 g ein

brk. Eit slikt tal er ikkje like kjent i grunnskulen. Eg vil difor i denne oppgva avgrensa brk

til gjelda dei brkar som gr inn under rasjonale tal. Eit rasjonalt tal er eit tal som kan

skrivast p forma

, der a og b er heile tal og b 0. Ordet rasjonal stammar fr det latinske

namnet ratio, som betyr forhold (ibid.).

Ein brk kan representera ein operasjon eller eit objekt (Sfard, 1991). Bergsten, Hggstrm &

Lindberg (1997) skriv fylgjande: Uttrycket 24/3 t ex, kan representera dels en operation, dvs

tjugofyra dividerat med tre, dels et objekt, nmligen brket eller det rationella talet tjugofyra

tredjedelar (Bergsten et al., 1997, s.23). Dersom ein brk representerer ein operasjon, vert

brkstreken tolka som eit divisjonsteikn; tjuefire delt p tre. Representerer ein brk eit objekt,

snakkar vi om det rasjonale talet tjuefire tredelar. Dette krev at ein m kunna vera fleksibel

10

i tenkinga og kunna veksla mellom desse to mtane sj brk p, noko som har vist seg vera

krevjande for mange elevar (Birkeland et al., 2011).

Det er fleire grunnar for tileigna seg brkomgrepet (ibid., s.186):

Vi treng brk for kunna gje namn p ein storleik som er mindre enn eininga, og

storleikar mellom dei heile tala.

Vi treng i nokre hve brk for kunna gje eit eksakt svar ved divisjon. Ser ein p det

enkle divisjonsstykket 1: 3, so kan ikkje det uttrykkjast nyaktig som eit desimaltal

utan at ein m ta i bruk den repeterande desimaldelen. Det eksakte svaret er 1

3.

Vi treng brk for kunna uttrykkja forhold mellom storleikar.

Brk er ikkje eit isolert fenomen i matematikken. Det er knytt opp mot andre matematiske

idear som t.d. prosent og sannsyn, og er naudsynt basiskunnskap nr ein skal lra seg algebra,

geometri og andre aspekt ved hgare matematikk.

2.1.2. Omgrepsstrukturen for brk

I 1976 kom Thomas E. Kieren med ein teori om at brk ikkje bestr av eit einskild omgrep,

men inneheld ulike delomgrep (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Desse var: brk som

mlestorleik, brk som kvotient, brk som forhold og brk som operator. Kieren

identifiserte ikkje brk som del av eit heile som den femte delkonstruksjonen, men meinte

den gjennomsyra dei fire andre delkonstruksjonane (ibid.). Behr et al. (1983) vidareutvikla

Kieren sine idear, og kom med ein teoretisk modell der desse fem aspekta ved brk vart lenka

opp mot operasjonar p brk, ekvivalente brkar og problemlysing (ibid.). Her er brk som

del av eit heile sjlve fundamentet for utvikla dei andre aspekta i brkforstinga. For f ei

full forsting av dei rasjonale tala, m ein ha forsting for kvart delomgrep for seg, og for ei

integrering av desse.

Figur 1: Teoretisk modell der dei fem aspekta ved brkomgrepet vert relatert til ulike operasjonar p brk og

problemlysing (Behr et al., 1983, Figur 4.1).

11

2.1.2.1. Brk som del av eit heile

Dette aspektet ved brk skildrar ein bestemt del av ein heilskap. Denne heilskapen kan vera

kontinuerleg, som t.d. ein pizza som skal delast i fire like store delar. Kvar del vert d 1

4.

Delane m ha same storleik, men dei treng ikkje sj like ut (McIntosh, 2007). Men heilskapen

kan g vera ei mengde av diskret objekt, som t.d. at det opp i ein boks ligg fem kvite og tre

svarte kuler. D er 3

8 av kulene i boksen svarte (Behr et al., 1983). Brken er her ei

samanlikning mellom talet p delar ein har og det totale talet p delar som den heile er delt

opp i, og sett fr dette perspektivet m teljaren i brken vera mindre eller lik nemnaren

(Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007).

For meistra brk som del av eit heile m ein elev m.a. forst at vi snakkar om ei inndeling i

like storleikar, men delane treng ikkje ha same form, og han m forst at alle delane til saman

skal utgjera heila. Dess fleire delar heila vert delt inn i, dess mindre er kvar del (ibid.). Ein m

g kunna rekonstruera eit heile nr ein del er gjeve (Boulet, 1998, referert i Pantziara &

Philippou, 2012).

2.1.2.2. Brk som forhold

Dette aspektet ved brk gjev ei samanlikning mellom to mengder. Forholdet mellom ein del

og eit heile kan uttrykkjast direkte som ein brk, medan forholdet mellom to delar av eit heile

kan ikkje uttrykkjast p denne mten (Brekke & Tinnes, 2001). Messing er ei legering som

bestr av ein del sink og fire delar kopar. Dette forholdet skriv vi som 1:4, men den samla

mengda er fem. I begge desse typane av forhold handlar det om storleikar av same slaget

(ibid.). Snakkar ein om forhold som bind saman storleikar av ulike slag, som t.d. 7 kr. per kilo

potet, kallar vi dette ei rate. Ei rate er eit tal med ei samansett eining; t.d. kr/kg eller m/s.

For synleggjera ulike tilnrmingar til lysa eit problem, kan ein sj p fylgjande dme

(henta fr Brekke & Tinnes, 2001, s.34-35): Ein ynskjer finna ut kva 6 liter br vil vega

dersom 15 liter av dei same bra veg 10 kg. Samanliknar ein forholdet mellom 15 liter og 10

kilo, nyttar ein seg av rate-tenking. Her skjer samanlikninga p tvers av mla. Samanliknar ein

forholdet mellom 15 liter og 6 liter, snakkar ein om forhold. Her skjer samanlikninga innanfor

mlet liter. Eit forholdstal p tvers av mla vert kalla ein funksjonsoperator, medan eit

forholdstal innanfor eit ml vert kalla skalarfaktor (ibid.). Forhold og ratar er ordna par, og

dette er viktig vera merksam p, srleg om ein ynskjer samanlikna ulike forhold (Lamon,

2005).

12

For meistra brk som forhold, m ein elev m.a. forst kva det vil seia at det er ein relasjon

mellom to mengder, og at to storleikar i eit forhold kan endra seg i lag utan at forholdet

mellom dei vert endra (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Ein m g sj at nr to

storleikar i eit forhold vert multiplisert med same tal, vil forholdet fortsatt vera uendra. Dette

er naudsynt kunnskap for m.a. kunna forst likeverdige brkar.

2.1.2.3. Brk som operator

Brk som operator kan sjast p som ein funksjon som verkar p ein storleik, eit objekt eller

ei mengde (Behr, Harel, Lesh & Post, 1993, s.19). Ein operator kan alts endra ei mengde til

ein brkdel av den opphavlege mengda. Dette kan gjerast p ulikt vis; 2

3 av 6 kan t.d. visast

som multiplikasjon av ein divisjon av ei mengde (2 kopiar av 6:3) eller som divisjon av ein

multiplikasjon av ei mengde (2 kopiar av 6 skal delast p 3). Nr brk vert brukt som

operator, skjer bde krymping og strekking (Lamon, 2005).

Dersom ein operasjon vert gjort p resultatet av ein annan operasjon, kallar vi det for

samansetning. Desse to operasjonane kan ein sl saman til ein enkel operasjon. Kieren (1980)

illustrerer brk som operator p fylgjande mte: 1

8 operator kan vera ein matematisk

modell for ei maskin som pakkar tte tyggegummi i ei pakke. Dersom vi har 400

tyggegummi, vil dei pakkast i 400 1

8 = 50 pakker. Fortset vi med dmet og nyttar

1

10

operator som pakkar 10 pakker med tyggegummi i ein kartong, kan vi seia at 1

80 (=

1

8

1

10 )

operator pakkar tyggegummi i kartongar.

Brk som operator kan vera med p auka forstinga for multiplikasjon av brk. Mange

elevar er kjend med ein modell for multiplikasjon som gjenteken addisjon. Den kan gje

meining nr ein arbeider med dei naturlege tala, men er ikkje god nok for ei solid forsting av

operasjonar p brk (Lamon, 2005). Ved operasjonar som 3 1

5 kan dette sjast p som

gjenteken addisjon; 1

5 +

1

5 +

1

5, men ved operasjonen

2

3

4

5 gjev det ikkje meining addera

4

5 to

tredels gongar. Multiplikasjonsteiknet m tolkast som av. Vi skal alts ha 2

3 av

4

5. Vi m sj

p kor mykje 4

5 er av ein heil, for so ta

2

3 av dette. tolka multiplikasjonsteiknet som av

kan fra til at operasjonar som i utgangspunktet kan vera vanskeleg forst, gjev meir

meining (Bjrnestad, 2011). Men denne overgangen fr tolka multiplikasjonsteiknet som

gjenteken addisjon til av m presiserast for elevane.

13

For forst brk som operator, m ein elev m.a. kunna tolka brken p ulike mtar (Lamon,

2005). 3

4 kan sjast p som 3 [

1

4 av ei eining], eller som

1

4 av [3 einingar]. Ein elev m vita at

dela ei eining p 4 og multiplisera resultatet med 3, er det same som multiplisera eininga

med 3

4. For visa god forsting m ein elev g vera i stand til namngje ein enkel brk for

beskriva ein samansett operasjon der to multiplikative operasjonar vert nytta, den eine p

resultatet av den andre.

2.1.2.4. Brk som kvotient

Brk kan sjast p som eit resultat av ein divisjonssituasjon (Behr et al.,1983). Svaret p

divisjonen a:b =

. Her er a dividend, b divisor og

kvotient. Nr vi deler 3 p 5, fr vi brken

3

5. Dette er ein numerisk verdi.

For meistra brk som kvotient, m ein elev m.a. forst at ein snakkar om lik/rettferdig

deling, og han m vita at det ikkje fins avgrensingar p storleiken til brken. Teljaren kan vera

mindre, lik eller strre enn nemnaren, og storleiken p svaret kan vera mindre, lik eller strre

enn storleiken vi starta med (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Ein m g kunna kjenna

igjen brk ved divisjon, og ein m ha ei forsting for dei to modellane for divisjon:

delingsdivisjon og mlingsdivisjon. Delingsdivisjon gjev svar p kor mykje kvar fr av det vi

hadde i utgangspunktet. Eit dme her kan vera tre pizzaer skal delast likt mellom fire

personar. Kvar person fr d 3

4 pizza. Vi ser her at nemninga i svaret er lik nemninga vi hadde

i utgangspunktet (Martinussen & Smestad, 2010). Mlingsdivisjon gjev svar p kor mange det

blir. Eit dme her kan vera seks liter saft skal fordelast p flasker som tek 2

3 liter. Til saman fr

ein ni flasker med saft. Vi ser her at nemninga p dividend og divisor er lik, mens nemninga i

svaret er ulik nemninga i utgangspunktet (ibid.). Birkeland et al. (2011) meiner at ved

konkretisering av divisjon vil det kanskje vera mest naturleg nytta delingsdivisjon nr

divisor er eit heilt tal, medan mlingsdivisjon kan vera meir aktuelt nr divisor er ein brk.

2.1.2.5. Brk som mlestorleik

Dette aspektet ved brk skildrar ein talstorleik, som t.d. 3

5, eller noko ein vil mla, som t.d.

3

5

liter. Brk som mlestorleik er relatert til ei eining. Denne eininga kan vera ein fysisk storleik,

som t.d. eit avgrensa omrde. Ynskjer ein mla arealet av eit omrde, m ein velja ei

14

passande eining, dekka omrdet med ho for so telja opp talet p einingar. Om ikkje heile

omrdet vert dekka, m ein nytta delar av eininga for dekka resten (Kieren, 1980).

Men eininga kan g vera eit linjestykke, som t.d. tallinja (Birkeland et al., 2011). Ein brk kan

sjast p som ein brkdel av ei linje og som eit punkt p ei linje. Ei tallinje kan ofte innehalda

meir enn eit heile, og skil seg fr andre brkmodellar m.a. ved at einingane er kontinuerlege,

dvs. at det ikkje er noko visuell skilnad mellom dei (Petit et al., 2010). Dette br ein elev vera

merksam p. Bruk av tallinja kan vera til hjelp for utvikla ei solid forsting av tal generelt,

og for brk som talstorleik. Her kan ein m.a. f fram verdien til ein brk, og vi kan sj ulike

brkar si plassering i forhold til kvarandre (Dahl & Nohr, 2010). Dessutan kan den vera med

p hjelpa oss til sj at vi kan ha mange symbol for same talverdi.

For meistra brk som mlestorleik, m ein elev m.a. kunna plassera tal p tallinja, bde der

sjlve linja utgjer den heile, og der tallinja inneheldt fleire heile. Ein elev m forst tettleiken i

dei rasjonale tala, dvs. at det er uendeleg mange tal mellom to gjevne brkar, han m kunna

samanlikna to brkar (Lamon, 2005), og han m kunna dela eit heile i meir enn halveringar.

2.1.2.6. Ekvivalente brkar

Dersom to brkar er uttrykk for same storleik, er dei likeverdige (McIntosh, 2007). Talparet 2

3

og 6

9 er dme p to likeverdige brkar ogs kalla ekvivalente brkar. Ekvivalens betyr ein

klasse av tal, der alle tal er representantar for same talstorleik (Indrester, 1998). Vi fr alts

mange ulike namn p same talstorleik nr talomgrepet vert utvida fr naturlege tal til brk.

Dette m brukast tid p. Det er slett ikkje sikkert at ein elev forstr kva ein likeverdig brk er

eller poenget med finna likeverdige brkar, sjlv om han reint mekanisk greier rekna dette

ut (McIntosh, 2007). Det er difor viktig at dette vert presisert for elevane. forst likeverdige

brkar er ein fresetnad for kunna rekna med brk, og er ein sentral del av talforstinga

(ibid., s. 29). Ein elev m m.a. forst at forholdet mellom teljar og nemnar er uendra, sjlv om

tala i teljar og nemnar aukar eller minkar.

2.1.3. Brken si historie

Vi finn former for brkrekning heilt tilbake til det gamle Egypt og Mesopotamia.

Framstillinga skissert under byggjer i hovudsak p Holme (2008), Holme (2004) og

Johansson (2004).

15

Babylonarane hadde ein hgt utvikla matematikk, og vr kunnskap om den babylonske

matematikken skuldast i stor grad den tyske forskaren Otto Neugebauer, som tyda mange

leirtavler som var funne i ruinane i Babylon. Det er fr den gamalbabylonske epoken (ca.

3000-1600 f.Kr.) at vi har dei fleste matematiske leirtavlene. Babylonarane hadde eit

posisjonssystem med 60 som grunntal, men med eit element av titalsystem. Tala vart skrive

med kileskrift p leirtavler. Dei hadde berre to symbol; ein kile for 1 og eit hjrne for 10,

og tala vart skrive additivt med desse teikna. Fr 60 av starta dei p nytt. Ein ny posisjon vart

innfrt som gav talet p 60-arar osb. Dei brukte same system for tal mindre enn 1, og hadde

ikkje teikn for komma. Eit problem med eit slikt system var at eit tal kunne tolkast p fleire

mtar. Ein kile kunne vera symbol for 1, 60, 602 eller 60

3, men det kunne g bety

1

60,

1

602 osb.

Kva tal det var, mtte tolkast ut fr samanhengen, av den forklarande teksten som fylgde med.

Babylonarane brukte g mange tabellar til lysing av rekneoppgver og andre matematiske

problem, som t.d. multiplikasjon, kvadrattal, kubikktal og resiproktabellar (brkar med 1 i

teljar).

Det babylonske talsystemet har store fordelar ved utarbeiding av resiproktabellar. 1

2 = (30),

1

3 = (20),

1

4 = (15),

1

5 = (12),

1

6 = (10),

1

8 = (7)(30),

1

9 = (6)(40).

1

9 er alts lik

6

60 +

40

602 . Vi

ser her at t.d. ml og vekt kunne uttrykkjast med stor presisjon i 60-talsystemet. 1

7 er den frste

stambrken5 som ikkje let seg framstilla som ein endeleg desimalbrk i 60-talsystemet (jfr.

vrt 10-talsystem; her er det 1

3).

Kunnskap om egyptisk rekning og matematikk har vi m.a. ftt fr Rhind-papyrusen. Den har

av mange forskarar vorte datert til 1650 f.Kr. Dette er ein kopi av ein tidlegare tekst som

skrivaren Ahmes har kopiert, og han fortel at papyrusen stammar fr Midtriket - i perioden

fr 2000-1800 f. Kr. Rhind-papyrusen er truleg ei matematisk lrebok, forma som ei

oppgvesamling med lysingar brukt av skriftlrde. Teksten inneheld 85 matematiske

problem knytt opp mot praktiske situasjonar. Han inneheld forklaringar til og dme p

brkrekning, multiplikasjon og divisjon, areal- og volumutrekningar og problem som i dag

ville vorte lyst med linere likningar.

Egyptarane sitt talsystem var eit additivt titalsystem (inga posisjonsystem). Dei hadde symbol

___________________

5Ein stambrk er ein brk p forma

1

n.

16

for 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 og 1000000. Nr dei skulle skriva eit tal, skreiv dei

symbola og kor mange det var av kvart symbol ved sidan av kvarandre. Ved hjelp av desse

teikna kunne egyptarane addera, subtrahera, multiplisera og dividera heiltal. Dei hadde ingen

teikn for desse operasjonane, ein skildra det med ord kva som skulle gjerast. Brken 1

vart

skrive med eit elliptisk teikn over symbolet for talet n.

Rhind-papyrusen startar med ein tabell over brkar p forma 2

for odde n mellom 5 og 101,

uttrykt som sum av stambrkar. At det ikkje er jamne tal i denne tabellen, skuldast nok at vi

d kan forkorta brken med to. Dette m egyptarane ha visst. Egyptarane skreiv alle brkar

som stambrkar bortsett fr brken 2

3.

2

5 vart skrive som

1

3 +

1

15. Dei skreiv aldri ein brk som

ein sum av to like stambrkar. Grunnen til det veit vi ikkje.

Ein brk p forma 2

kan opplysast p mange vis. Kva reglar egyptarane har nytta i

tilnrminga nr dei skulle velja kva opplysing dei ville bruka, er usikkert. Men Frandsen

(1996) nemner m.a. at fylgjande reglar kan ha vore nytta:

sm nemnarar er fretrekkja

inga opplysing har meir enn fire stambrkar

dess frre stambrkar opplysinga har, dess betre

jamne nemnarar er fretrekkja framfre odde nemnarar, sjlv om ein d kan f

strre nemnarar

Matematikken i det gamle Hellas var under pverknad fr matematikken bde i Egypt og

Babylon. Greske filosofar og matematikarar tok gjerne reiser dit. Dei vart p den mten kjend

med stambrkar og brkar i 60-talsystemet. Dei kjende g til vanlege brkar. Pytagorearane

sg p tal som noko som er samansett av einingar, men sjlve eininga 1 vart ikkje sett p

som tal. Aristoteles skilde mellom tal og storleikar. Eit tal vart generert ut fr ei udeleleg

eininga, medan ein storleik kunne delast opp i mindre delar. Euklid delte same synet. Forhold

mellom to heiltal vart difor sett p som ein mleprosess, og ikkje som eit tal. Ein snakka ikkje

om

2, men om

1

2 A (Thompson,1991, referert i Engstrm, 1997).

Ni bker om matematikkens kunst er ei av kjeldene for kjennskap til matematikken i Kina, og

her finn ein ei oppsummering av matematikken som var kjend fram til ca. r 100 f.Kr. Den

inneheld 246 problem fr dagleglivet med generelle lysingsmetodar. Brkrekning var

17

velutvikla hj kinesarane, og dei sette m.a. brkar p samnemnar. Desimalbrk med grunntal

10 vart g nytta.

P 800-talet e.Kr. skreiv den arabiske matematikaren al-Khwarizmis ned store delar av

matematikken som til d var kjent. Eit kapittel i boka Dixit algorizmi handlar om brk.

Brkane vart kalla for brotne tal (Engstrm, 1997). Al-Khwarizmis skildrar m.a. korleis ein

kan delast i mindre delar og han viser ein metode for multiplikasjon av stambrkar og vanlege

brkar (ibid.). Det desimale posisjonssystemet vart g handsama i denne boka.

Brk har alts vore ein del av matematikken i fleire tusen r, men symbolbruken har endra og

utvikla seg med tida. Det var p 1600-talet, d den moderne algebraen oppstod, at dei meir

abstrakte symbola vart teke i bruk i staden for ord og setningar. No hadde g skiljet mellom

tal og storleikar gradvis vorte brote ned i Europa. Simon Stevin (1548-1620) var den som

fyrst formulerte at eit tal representerer ein kvantitet og ikkje berre ei samling av einingar

(Gjone, 1998). I starten av lArithmtique skriv han at eininga er eit tal (talet 1), og denne

eininga kan delast inn i mindre delar om ein ynskjer det.

Det var g Stevin som introduserte desimaltala i Europa. I lreboka De Thiende innfrer han

desimaltala og ein notasjon for rekna med dei. Ein eigen skrivemte for desimaltala er

omtalt i frste del av boka, og han poengterer her at desimaltal berre er enkle siffer til venstre

for eit teikn (talsiffer i ein sirkel). Siste del av boka omtalar rekneoperasjonar p desimaltal.

Her viser han at ein kan rekna p same mte med dei heile tala som med desimaltal. Ein m

berre ta omsyn til teikna (ibid.). Han anbefalte at desimaltalsystemet burde innfrast for

lengder og vekt, men dette vart ikkje gjort fr vel 200 r seinare, d det metriske systemet vart

innfrt i Frankrike (Engstrm, 1997).

Desimaltal kan sjast p som spesialtilfelle av brk, der nemnaren er potensar av 10. Difor

kan ein kalla desimaltala for desimalbrkar. Er talet p desimalar endeleg, har vi ein endeleg

desimalbrk. Er desimaltala periodiske, har vi ein periodisk uendeleg desimalbrk. I dag vert

desimaltalsystemet nytta i dei fleste land for uttrykkja storleikar, som t.d. mynt-, ml- og

vekteiningar. Det gjer oss i stand til skriva so sm tal ein vil, og det gjev reknetekniske

fordelar samanlikna med brk (Birkeland et al., 2011). Men vi treng brk m.a. for kunna gje

eit eksakt svar ved divisjon, for uttrykkja forhold mellom storleikar og det har nr

samanheng med algebraiske uttrykk (McIntosh, 2007). Brk er basis for fleire emneomrde i

ulike fag i skulen. I matematikk er brk m.a. basis for forsting av sannsynsrekning,

trigonometri og algebra. Ein m forst brk for forst forhold i geometrien, og det er ein

18

fordel forst brk nr ein skal lra om prosent. Ein m forst utviding av brkar for kunna

forst og handtera algebraiske omskrivingar. I fysikk er brk basis for m.a. forsting av

tettleik, trykk og legeringar, og i kjemi for forsting av konsentrasjon.

Utviklinga av tallinja skjedde parallelt med talutviklinga i Europa fr 1600-talet. I 1637

innfrte Ren Descartes koordinatsystemet i La Geometrie. Her fikserer han to linjer, og

skildrar geometriske figurar med likningar som avstandar til dei to faste linjene. I 1685 nytta

John Wallis ei tallinje for illustrera addisjon og subtraksjon med negative tal i boka Algebra.

Tala vart d sett p som punkt p ei linje. Det var frst p 1800-talet at tallinja vart akseptert

av dei fleste matematikarar. I 1872 kom Richard Dedekind med ideen om dei reelle tala i

Stetigkeit und Irrationalzahlen. Han definerte irrasjonale tal ved hjelp av det dedekindske

snitt, og presiserte at dei reelle tala mtte ha same kontinuitet som den rette linja. Tala p

tallinja vart no sett p som eit kontinuerleg heile.

2.1.4. Brk i den norske skulen

Kompetansemla i Lreplan i matematikk fellesfag, gjeve i Kunnskapslftet av 2006

(K 06), viser at brk er eit gjennomgande tema i grunnskulen (Utdanningsdirektoratet, u..).

Etter 2. trinn skal elevane kunna dobla og halvera.

Etter 4. trinn skal elevane kunna bruka enkle brkar som ein halv, ein kvart og ein

tredel i praktiske samanhengar.

Etter 7. trinn skal elevane kunna rekna med brkar; finna samnemnar og utfra

addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av brkar. Dei skal kunna sj samanheng

mellom brk, prosent og desimaltal, og dei skal kunna plassera brk p ei tallinje.

Etter 10. trinn skal elevane kunna rekna med brk, utfra divisjon av brkar og

forenkla brkuttrykk, samt rekna med brk i likningar og formlar der variablar kan

inng. Dei skal g kunna rekna om mellom heile tal, desimaltal, brk, prosent og

promille, uttrykkja slike tal p varierte mtar og vurdera i kva for situasjonar ulike

representasjonar er formlstenlege.

19

2.2. Lring

2.2.1. Kva er lring?

I skulen har vi dei seinare ra retta merksemda vr meir mot lring i staden for undervisning.

Ein snakkar no mykje om leggja til rette for god lring, og ein snakkar om lreprosessane

(Dysthe, 2001a). Lring er ein kompleks prosess som kan skje i eit samspel mellom

menneske, mellom eit menneske og symbolsk materiale (t.d. tekst, bileter, film) eller mellom

eit menneske og ulike ting, materiale eller naturen (Imsen, 2005). Det er vanskeleg gje ein

eintydig definisjon av lring d det finst mange ulike syn p kva lring er. Dette kan

illustrerast ved sj p to noks ulike definisjonar p lring:

Lring er en relativt permanent atferdsforandring som oppstr p grunnlag av erfaring

(Hilgard og Atkinson, 1967, sitert i Imsen 2005, s.168).

Lring omfatter alle forandringer i menneskets personlighetsliv som ikke direkte eller

indirekte kan fres tilbake til visse arvelig bestemte faktorer (Harbo og Myre, 1963, sitert i

Imsen, 2005, s.168).

I begge definisjonane vert lring sett p som eit resultat av erfaringar. Men i den frste

definisjonen ser ein p lring som det kunna gjera noko ein ikkje greidde fr, og det ein har

lrt, kan observerast. Lring i flgje den andre definisjonen er ein indre prosess og kan ikkje

observerast direkte. Det er ein vidtfemnande prosess der ein skal kunna tileigna seg bde

kunnskapar, dugleikar og haldningar (Imsen, 2005).

Dei ulike oppfatningane om kva lring er, har m.a. ulikt syn p kunnskap. Nokre ser p

kunnskap som ferdig ytre kunnskap som skal overfrast til ein elev, medan andre ser p

kunnskap som noko eleven sjlv m konstruera nr han lrer (ibid.).

2.2.2. Lringsteoriar

Ulike lringsteoriar omtalar ulike delar av lreprosessen. I eit behavioristisk syn p lring

skjer lring ved at ein byggjer opp sambindingar mellom stimulus (det som pverkar) og

respons (det som vert resultatet) i medvitet (Birkeland et al., 2011). Lring vert styrt utanfr,

ml og innhald for lringa er klart definert og verkemiddel for n mla er ulike former for

pskjning og straff. Lraren er den som formidlar kunnskap til ein elev. Eleven lrer ved

ta imot og ta etter det han hyrer eller ser. Nr ein elev greier gjera noko (synleg) han ikkje

greidde fr, har lring skjedd (Imsen, 2005). Det er dette synet p lring som ligg til grunn

for den tradisjonelle undervisninga, der ein gradvis gr gjennom nytt stoff, repeterer og har

20

individuelle prvar med tilbakemelding (Dysthe, 2001b). Mi erfaring som lrar bde i

grunnskulen og den vidaregande skulen seier meg at det truleg er fleire av elevane som

deltek i underskinga mi som er vane med denne type undervisning. Kritikken mot dette

lringssynet har m.a. vore at det er for snevert; lring bestr av fleire samansette prosessar.

Tankar og kjensler eit menneske har, og at sprk har ein viktig funksjon i kommunikasjon, er

aspekt som g m takast omsyn til (Slj, 2001). Nr ein elev lrer, hender det at

misoppfatningar vert danna. forst og forklara kvifor dette skjer, vil g vera vanskeleg ut

fr eit behavioristisk syn p lring.

Dei kognitive lringsteoriane har fokus p indre tankeprosessar hj den som lrer (Imsen,

2005). Informasjonen eit menneske mter skal oppfattast, tolkast og organiserast. Ulike

modellar har vorte utvikla for forklara korleis ytre stimuli kan endrast og lagrast i minnet.

Arbeidet i denne oppgva byggjer p eit konstruktivistisk lringssyn, som er den viktigaste

lringsforstinga innan dei kognitive teoriane (Dysthe, 2001a). I konstruktivismen ser ein p

kunnskap som noko som fins i medvitet hj eit individ, og som det sjlv m byggja opp

gjennom ein kontinuerleg konstruksjons- og rekonstruksjonsprosess (Imsen, 2005). Den

kognitive konstruktivismen legg vekt p at konstruksjon av kunnskap skjer mellom menneske

si individuelle utforsking i hve til den fysiske omverda, medan den sosiale konstruktivismen

legg vekt p at denne konstruksjonen skjer gjennom samhandling mellom menneske (ibid.).

2.2.2.1. Den kognitive konstruktivismen

Lring er alts, i flgje konstruktivismen, ein prosess som skjer i medvitet hj eit menneske.

Kunnskap vert tolka og organisert ut fr eigne erfaringar. Ein lrar kan ikkje overfra

kunnskap til ein elev, men m leggja til rette for aktivitetar som kan stimulera til lring.

Lring skjer gjennom utforsking av og erfaring med den fysiske omverda, samt refleksjonar

kring erfaringane og organisering av dei i etterkant.

HANDLING

REFLEKSJON LRING

ERFARING

Figur 2: Konstruktivisme (Brekke, 2002, Figur 1)

21

Drivkrafta i lringa er ein indre motivasjon for prva forst og forklara omverda (Imsen,

2005). Eleven er aktiv. Dysthe (2001b, s.38) skriv m.a. fylgjande:

lring er alts ein aktiv konstruksjonsprosess der elevane tar imot informasjon, tolkar den,

knyter denne saman med det dei alt veit og reorganiserer dei mentale strukturane om det er

ndvendig for passe inn ny forsting. Evne til tenkje og forme omgrep veks ut av

situasjonar der den lrande sjlv prver seg fram og er aktiv, heller enn ved absorbere det

andre seier.

Nr ein mter noko nytt, vil ein alts prva forklara det ut fr erfaringar ein har. Dersom ein

har avgrensa erfaringar med eit omgrep kan dette fra til at ein gjer nokre generaliseringar

som ikkje er rett. Misoppfatningar vert danna. Dette er sentral teori i oppgva mi og kan

forklara kvifor t.d. to elevar kan oppfatta eit omgrep p ulike mtar.

Ein viktig mlberar for det kognitivt-konstruktivistiske perspektivet p lring er den

sveitsiske filosofen og psykologen Jean Piaget (Imsen, 2005). Han prvde skildra kva som

skjer i lreprosessen, og var oppteken av dei mentale strukturane. Han meinte at ytre forhold

erfart gjennom handling vert representert p det indre planet som eit aktivt handlingsmnster.

Desse indre representasjonane kalla han for skjema. Skjema som har med tenking gjera,

kalla han for kognitive skjema. Dette er skjema som kan hentast fram og nyttast i nye

situasjonar uavhengig av tid og stad. Fleire skjema kan operera saman. Dei kan vera

organisert i mnstre, og vert d kalla kognitive strukturar. Nr eit skjema vert endra grunna

nye erfaringar med omgjevnadene, skjer det ei kognitiv utvikling (ibid.).

Piaget hevdar vidare at samspelet vrt med omverda vert regulert av to prosessar samstundes;

assimilasjon og akkomodasjon (Slj, 2001). Nr vi mter noko nytt, vil ein prva forklara

det ved ta i bruk det ein kan fr fr. Den nye informasjonen vert tilpassa dei allereie

eksisterande skjemaa ein har utan at ein treng endra sjlve strukturen. Dette vert kalla

assimilasjon. Ved assimilasjon vil nye fenomen oppfra seg som forventa, og ein elev vil

prva tilpassa omgjevnadene til seg sjlv.

Dersom det nye vi mter ikkje kan forklarast ut fr det ein kan fr fr, vil det ikkje passa inn i

dei eksisterande skjemaa vre. Eigne oppfatningar m reviderast eller eksisterande skjema m

endrast ved utdjupa eller utvida strukturane. Dette vert kalla akkomodasjon, og utgjer sjlve

lreprosessen. Drivkrafta i denne lreprosessen er trongen til indre likevekt. Nr ny

informasjon ikkje stemmer med det ein veit fr fr, fr vi ein mental konflikt. Denne

ubalansen kan koma som eit resultat av biologisk mogning, eller som eit resultat av nye

erfaringar (Imsen, 2005). Nr ein elev har ftt denne kognitive konflikten, vil han prva

22

finna ut korleis ting verkeleg heng saman. Den sjlvregulerte prosessen med omstrukturera

dei eksisterande skjemaa startar for skapa balanse igjen (ibid.).

I undervisninga vert det d viktig at ein som lrar planlegg slik at balansen mellom

assimilasjon og akkomodasjon vert passe stor nr eit problem skal lysast. Assimilasjon kan

stadfesta og gje ei kjensle av meistring, og akkomodasjon kan fra til utvikling. Slik kan

elevane oppleva lring som ei utfordring, og som motivasjon for lysa ei oppgve. Vert den

mentale konflikten for stor, kan det opplevast negativt og fra til manglande interesse for

faget.

I flgje Piaget er det to typar kunnskap som kan utviklast hj ein elev: Figurativ og operativ

kunnskap. Den figurative kunnskapen er statisk, basert p hukommelse og vert lagra i minnet

som isolerte fakta og detaljar. Solvang (1992, s.90) skriv fylgjande: At en elev har utviklet

figurativ kunnskap betyr at han har utviklet et skjema der bare kunnskapens ytre trekk er

med. Dme p figurativ kunnskap kan vera pugging av formlar og reglar i matematikken

utan forsting. Denne type kunnskap kan minna om prosedyrekunnskap/ instrumentell

forsting/ regeloppfatning nemnt i punkt 1.4.1., og er ein del av det eg vil underskja i

oppgva mi.

Ein operativ kunnskap er kunnskap og forsting av prosessane som vert nytta nr ein lyser ei

oppgve6. Han kan g kallast logisk tenking. Nr ein har utvikla skjema for ei tankeskapt

handling, har ein operativ kunnskap. Denne tankeskapte handlinga m vera reversibel, ho m

kunna setjast saman med andre handlingar, ho m vera ein del av ei heilskapsforsting og ho

m kunna internaliserast, dvs. tenkjast utan gjennomfra ho (Solvang, 1992). Reversibel

tenking er kunna snu ei handling i omvendt rekkeflgje. Addisjon og subtraksjon er

motsette rekneoperasjonar. Dersom vi har 1

3 og legg til

1

3 fr vi

2

3. Men vi kan koma tilbake til

utgangspunktet ved ta bort 1

3 fr

2

3. Multiplikasjon og divisjon er g motsette

rekneoperasjonar. 3 4 = 12. Men d er 12

4 = 3. Dme p operativ kunnskap kan vera forsting

av ein algoritme som vert brukt for lysa ei matematikkoppgve. Denne type kunnskap kan

minna om omgrepskunnskap/ relasjonell forsting/ strukturoppfatning nemnt i punkt 1.4.1.

Ogs dette er ein del av det eg vil underskja i mi oppgve.

________________

6 Ein br vera merksam p at hj Piaget str omgrepet operativ kunnskap for strukturforsting, medan Sfard

nyttar omgrepet operasjonell forsting i betydninga prosedyreforsting (sj s.27).

23

Kritikken mot Piaget sin teori har m.a. vore at han fokuserer for einsidig p den mentale sida

ved lring og tek ikkje omsyn til sprket eller den sosiale samhandlinga mellom menneske.

Sprket vert sett p som viktig i den grad det stttar opp om lringa til den einskilde (Dysthe,

2001b), og det er frst etter at ein har etablert ein viss kvalitet i tenkinga, at det vert uttrykt i

ord. Denne kritikken frte m.a. til at ein fekk utvikla ein meir generell teori med fokus p det

sosiale fellesskapet mellom menneske som fundament for lring (Imsen, 2005).

Mi tolking av elevsvara baserer seg i all hovudsak p den kognitive konstruktivismen. Men eg

har sett at intervjua kan stimulera til lring gjennom samhandling. Eg vel difor gje ein kort

omtale av den sosiale konstruktivismen.

2.2.2.2. Den sosiale konstruktivismen

Dei sosialkonstruktivistiske teoriane flyttar fokuset bort fr lring som ein individuell

prosess, til lring som ein sosial prosess der kunnskap vert konstruert i eit fellesskap (Dysthe,

2001b). Eit menneske utviklar seg i ei samhandling med eit sosialt fellesskap prega av kultur

og sprk. Kommunikasjon og sprkbruk er eit sentralt bindeledd i desse mentale prosessane

(Dysthe, 2001a). Drivkrafta i lringa er vera eit sosialt vesen, og det delta i eit fellesskap

er kjenneteiknet p kunna noko (Imsen, 2005; Dysthe, 2001b). Kunnskap vert alts sett p

som noko som bde er knytt til eit menneske sitt kognitive system og mennesket som ein del

av kulturen (Imsen, 2005).

Ein viktig mlberar for det sosial-konstruktivistiske perspektivet var Lev Vygotsky (1896-

1934). For han var lring og tenking noko som skjer i eit sosialt samspel mellom eit individ

og andre menneske, og ikkje berre i medvitet hj eit individ. Den sosiale aktiviteten er

utgangspunkt for intellektuell utvikling, og sprket er eit viktig hjelpemiddel her. Mediering

er eit omgrep Vygotsky nyttar om ein kognitiv reiskap mellom stimulering og handling.

Dysthe (2001b s. 46) skriv m.a.: Omgrepet mediering eller formidling blir brukt om alle

typar sttte eller hjelp i lreprosessen, anten det er av personar eller reiskapar i vid forstand.

Sprket vert dermed ein viktig medierande hjelpar i lringa (Imsen, 2005; Dysthe, 2001b).

Det ein tenkjer kan uttrykkjast gjennom sprket, samstundes som sprket kan endra korleis

ein tenkjer. P den mten kan sprk og tenking utvikla kvarandre (Swan, 2001). Her skil m.a.

Vygotsky seg fr Piaget, som meinte at sprket kjem frst etter at eit omgrep har vorte danna.

Dette kan vera relevant for mi oppgve, srleg i intervjusituasjonane der elevar skal forklara

korleis dei tenkjer nr dei lyser ei oppgve. setja ord p eigne tankar i ein dialog mellom

lrar og elev, kan fra til at lring skjer.

24

For Vygotsky er lring ein overgang mellom to utviklingsniv. Ein elev kan gjera ein ting

saman med andre fr han kan gjera det leine (Imsen, 2005). Skilnaden mellom det eleven

kan klara gjera leine og det han kan klara med hjelp fr andre, kalla han for den proksimale

utviklingssona eller den nraste utviklingssona (ibid.). Her signaliserer Vygotsky m.a. at alle

har eit utviklingspotensial. Undervisninga br difor leggjast opp slik at ein elev fr noko

strekkja seg etter, med fokus p kva eleven kan klara ved hjelp av andre. Det er i denne sona

den kognitive utviklinga skjer. Ein som kan meir enn barnet vil kunna fungera som ein

medierande hjelpar. Mlet er at barnet til slutt skal kunna klara lysa problema p eiga hand

(ibid.). Ogs her skil Vygotsky seg fr Piaget, d Piaget meinte at vi ikkje skal krevja meir

enn det ein elev er moden for.

2.2.3. Omgrepsdanning

Eit omgrep er ikkje ein einsleg persepsjon, men a convenient capsule of thought that

embraces thousands of distinct experiences and that is ready to take in thousands more

(Sapir, 1970, sitert i Swan 2001, s.152). Eit omgrep er organisk, og kan endrast og utviklast

for gje meining (Swan, 2001). Matematikk er bygd opp av ei mengde omgrep. Brekke

(2002, s.5) seier m.a. fylgjande: Et karakteristisk trekk ved matematiske begreper er at de

ikke har vokst fram isolert, men eksisterer i et nettverk av enkelte ider. Vi kaller slike

nettverk av ider for begrepsstrukturer. Ein omgrepsstruktur, ogs kalla eit mentalt skjema,

utgjer stabile strukturar i minnet. Desse kan gjera matematikken meir meiningsfull enn

isolerte omgrep og faktakunnskapar, dei kan lettare tilpassast nye situasjonar og dei er lettare

reparera om vi har hugsa noko feil (Birkeland et al., 2011).

Piaget meinte, som nemnt i punkt 2.2.2.1., at lring skjer i eit komplisert samspel mellom

gamalt og nytt. Omgrep kan verta danna ved at dei vert assimilert i den eksisterande

strukturen. Eit dme her kan vera nr elevane skal lra multiplikasjon av naturlege tal. Dette

vert ofte lrt som gjenteken addisjon. 2 3 = 3 + 3. Ein elev har tidlegare erfaringar med

addisjon, og difor kan multiplikasjonsomgrepet assimilerast i omgrepsstrukturen som allereie

fins. Men eit omgrep kan g verta danna ved at skjema vert akkomodert. Nr ein elev fr nye

erfaringar som ikkje stemmer overeins med tidlegare tankar og rynsler, oppstr ein kognitiv

konflikt som eleven d vil prva lysa for skapa balanse igjen. Eit dme her kan vera nr

talomgrepet skal utvidast fr naturlege tal til rasjonale tal. Skjema ein har om kva eit tal er m

d utvidast slik at dei stemmer med reglar og definisjonar som gjeld for dei rasjonale tala. Ser

ein t.d. p operasjonen 1

2 3, gjev det ikkje meining addera tre ein halv gong. Her m skjema

25

for multiplikasjon endrast, slik at ny kunnskap kan assimilerast (ibid.). I lring av omgrep

skjer det heile tida ein assimilasjon og akkomodasjon, og eit omgrep vert utvikla so lenge ein

gjer nye erfaringar med det.

Skemp (1971) skil mellom to ulike omgrep. Dei primre omgrepa fr vi danna gjennom

erfaringar med omverda (t.d. raud ) og dei sekundre omgrepa er abstrahert fr andre omgrep

(t.d. farge). Raud er eit dme p ein farge. Omgrepet farge er d av hgare orden enn

omgrepet raud. Det er eit abstrakt omgrep, meir fjernt fr erfaringane fr omverda. Dersom

A er eit dme p B, og B er eit dme p C, kan vi seia at B er av hgare orden enn A, og C er

av hgare orden enn bde A og B (ibid.). Slik kan vi f ei kjede av omgrep som byggjer p

kvarandre. Dersom ein elev berre har forsting for omgrep av lgare orden, kan dette fra til

at ein gjer nokre generaliseringar som ikkje stemmer om ein skal operera p omgrep av

hgare orden. Dette kan igjen fra til at misoppfatningar vert danna.

Nr matematiske omgrep skal lrast, m ein i flgje Skemp (1971) merka seg to viktige

prinsipp:

1. Concepts of a higher order than those which a person already has cannot be communicated

to him by a definition, but only by arranging for him to encounter a suitable collection of

examples (Skemp, 1971, s.32).

Eit tal er ein abstraksjon og eit omgrep av hgare orden. Skal ein elev forst innhaldet i

omgrepet m ein arbeida med mange ulike dme. Ein brk kan i starten visast som ein del av

eit heile; ein halv kan vera ein halv pizza, ein halv meter, ein halv liter, ei mengde brikker lagt

i to like store haugar etc. Ein halv kan samanliknast med storleikar som bde er strre og

mindre. Men seinare kan brken g visast som resultat av ein divisjon (1:2= 1

2) eller som eit

forholdstal (1:2). Med gode dme kan det vera lettare for ein elev overfra denne

kunnskapen til nye situasjonar, og p den mten danna eit overordna omgrep (Birkeland et al.,

2011).

2. Since in mathematics these examples are almost invariably other concepts, it must first be

ensured that these are already formed in the mind of the learner (Skemp, 1971, s.32).

Ein elev m alts vera kjent med omgrep av lgare orden fr desse kan abstraherast til omgrep

av hgare orden. Skal ein elev forst brk og operasjonar p brk, m han forst dei

underliggjande omgrepa for at det heile skal gje meining. Brk er igjen basis for fleire

emneomrder i ulike fag i skulen, og ei manglande forsting for brkomgrepet vil f fylgjer

for forstinga i dei emneomrda.

26

Nr ein elev skal lra eit omgrep av hgare orden, m dei alts ha ei forsting for dei

underliggjande omgrepa. I ein lresituasjon m desse underliggjande omgrepa vera

tilgjengelege i medvitet hj ein elev (ibid.). Her kan ein lrar hjelpa til. Den amerikanske

psykologen David Ausubel brukar omgrepet advance organizers, ei kognitiv bru, om eit

hjelpemiddel som skal vera med p danna eit bindeledd mellom kunnskapsstrukturane ein

elev har og nytt lrestoff (Imsen, 2005). Nr eit omgrep skal lrast, m dei kognitive

strukturane hj ein elev vera klar for ta imot det nye. Ein lrar kan byggja ei kognitiv bru

ved friska opp att relevant fagstoff og visa samanhengen omgrepet hyrer heime i, fr

detaljert undervisning tek til (ibid.). Dette kan bidra til at ein elev lettare ser samanhengen

mellom omgrepet og resten av matematikken. Slik vert det forma ein indre heilskapsstruktur

som gjev grunnlag for meiningsfull lring (ibid.).

Eit omgrep hyrer alts til tankesystemet vrt og vert bygd opp gjennom erfaringar som kan

klassifiserast saman. Omgrepet fr eit namn eller eit symbol, og kan slik nyttast i

kommunikasjon med andre. Men ein m her vera klar over at det er slett ikkje sikkert at ein

elev har forsttt innhaldet og meininga i eit omgrep, sjlv om han brukar symbola rett.

Birkeland et al. (2011) ppeikar at det er ein viktig forskjell mellom eit omgrep og namnet

eller symbolet p omgrepet:

Uten erfaringer med hva et symbol str for, blir symbolet bare et merke p ei tavle, p et papir

eller en skjerm. I matematikkundervisningen er det s alt for lett operere med navn og

symboler, der begrepene ideene de str for ikke har ftt bygge seg opp hos eleven.

Symbolene blir da uten mening. Skal elevene lse oppgaver med slike symboler, m de lage

seg regler som gr p symbolene, ikke p meningen (Birkeland et al., 2011, s.33).

Slike sjlvlaga reglar kan igjen avdekka om eleven har feiloppfatningar eller uferdige omgrep,

og p den mten gje informasjon om ei manglande strukturoppfatning. avdekka

omgrepsproblem hj ein elev vert omtala seinare, sj punkt 2.4.1. Diagnostisk undervisning.

Psykologen Jerome Bruner var m.a. oppteken av at sprket er viktig i lringa for kunna sj

samanhengar, og p 1960-talet utvikla han ein teori om at vi tek i bruk tre ulike

representasjonsformer i den intellektuelle utviklinga vr (Imsen, 2005). Det einaktive systemet

inneheld dugleikar og handlingar, og er det frste eit barn tek i bruk. Det ikoniske systemet er

eit visuelt minne, det inneheld frestellingar og er det neste eit barn tek i bruk. Det symbolske

systemet inneheld m.a. ord og sprk, og er det siste eit barn tek i bruk. Handlingar i samvirke

med andre menneske og visuelle stimuli vert difor viktige nr omgrep skal lrast (ibid.). I

matematikkundervisninga kan bruk av konkretar fra til at ein elev dannar indre

27

frestellingar, og desse kan igjen koplast opp til matematiske symbol. Symbola vil kunna setja

ein elev i stand til forst dei formelle og abstrakte eigenskapane ved omgrepet (ibid.).

Den israelske matematikkdidaktikaren Anna Sfard diskuterer i artikkelen On the Dual

Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different Sides

of the Same Coin, strukturell og operasjonell forsting av matematiske omgrep. Ho meiner

ein m kunna sj eit omgrep, som t.d. eit tal, bde operasjonelt som prosess og strukturelt som

objekt. Har ein ei operasjonell forsting av eit omgrep, meistrar ein prosessar og algoritmar.

Ein brk kan d t.d. verta sett p som resultatet av ein divisjon med heiltal. Har ein ei

strukturell forsting, ser ein p omgrepet som eit abstrakt objekt, som ein reell ting eller ein

statisk struktur. Ein brk kan d t.d. sjast p som eit tal p ei tallinje. Desse to ulike

tilnrmingane til eit omgrep er komplementre, det er naudsynt ha bde operasjonell og

strukturell forsting for kunna skildra eit matematisk omgrep fullt ut (ibid.). Sfard snakkar

om ein dualitet meir enn at dei gjensidig ekskluderer kvarandre, og gr nok her lenger enn det

Piaget gjer med figurativ og operativ kunnskap (sj punkt 2.2.2.1. Den kognitive

konstruktivismen) og med Mellin-Olsen si regelforsting og strukturoppfatning/ Skemp si

instrumentell og relasjonell forsting/ Hiebert & Lefevre si prosedyreforsting og

omgrepsforsting (sj punkt 1.4.1. Forsting). Ho meiner at den operasjonelle forstinga

kjem fr den strukturelle forstinga, som er ei forsting p eit hgare niv. Desse tankane er

grunnleggjande hypotesar for lring, og fell intuitivt inn under mi erfaring som lrar

gjennom mange r. Skal elevar ha ei fullgod brkforsting, m dei ha bde operasjonell og

strukturell forsting. Dette kan difor vera eit viktig underlag i arbeidet mitt med tolka

resultata.

Sfard (1991, s.18) meiner vidare at utviklinga av eit omgrep fr prosess til abstrakt objekt er

ein lang og vanskeleg prosess som gr gjennom 3 niv: interiorization condensation

reification. Eg vil nytta dei norske orda internalisering, kondensasjon og reifikasjon vidare i

oppgva. P internaliseringsnivet vert ein elev fortruleg med prosessar utfrt p enklare

matematiske objekt, som igjen kan gje opphav til nye omgrep. P kondensasjonsnivet fr ein

eit betre heilskapsinntrykk. Ein greier lengre sekvensar av operasjonar med fleire element

utan mtta g i detalj, ein greier veksla mellom ulike representasjonar av omgrepet,

kombinera prosessar, samanlikna og generalisera. So lenge eit omgrep er forbunde med ein

prosess, er ein p kondensasjonsnivet. Internalisering og kondensasjon representerer gradvise

endringar i utviklinga. Nr ein har ndd reifikasjonsnivet, ser ein p omgrepet i eit totalt nytt

lys, som eit ferdig utvikla objekt lausrive fr prosessar. Ein forstr hovudeigenskapane til

28

omgrepet og relasjonen mellom ulike representasjonar. Reifikasjon (tingleggjering) er det

mest avanserte nivet i lreprosessen, og er vanskeleg n. Det er eit sprang i

omgrepsutviklinga, og kan stundom opplevast som eit plutseleg lys som gr opp for ein. Her

gr ein fr operasjonell til strukturell forsting.

Sfard ppeikar at desse tre niv str i eit hierarktisk forhold til kvarandre, ein kan ikkje n eit

niv fr dei underliggjande niva er ndd. Dessutan meiner ho at reifikasjon av ein prosess

kan skje samstundes med internalisering av ein prosess p eit hgare niv (sj figur 3).

Figur 3: Generell modell for omgrepsdanning (Sfard, 1991, s.22, Figur 4)

Reifikasjon er alts naudsynt for gje meining til prosessar p eit hgare niv, samstundes

som prosessar p eit hgare niv er naudsynt for at reifikasjon p eit lgare niv skal skje.

Dette kan sjast p som ein vond sirkel i lresamanheng (Sfard, 1991); ein m bde vera i

stand til utfra algoritmar for forst eit omgrep, samstundes som ein m forst for

meistra oppgvene teknisk. Innan ulike emne i matematikk har kondensasjonsnivet ein

tendens til vara lenge, og ein del elevar vil ha problem med n reifikasjonsnivet. Det er

ein lang og hard veg fr eit omgrep vert reifisert hj ein elev, ein m ha ei god forsting i

matematikk for koma p dette nivet. Elevar kan oppleva at det vert gjeve for lita tid p

skulen til kvart emne, og matematikk kan d lett opplevast meiningslaust. Sfard (1991, s.33)

skriv fylgjande:

The main problem with this delay in reification and with the resulting periods of doubts about

meaning is that they may bring a permanent harm a life-long apprehension of mathematics

and conviction that it cannot be learned. Some people may be unable to recover from the

29

shock caused already by the first encounter with the problematic situation. Those who are not

prepared to actively struggle for meaning (for reification) would soon resign themselves to

never understanding mathematics.

Den greske psykologen Stella Vosniadou har utvikla ein forklaringsmodell for korleis barn

lrer nye omgrep, og misoppfatningar som kan oppst i den samanheng (Vamvakoussi &

Vosniadou, 2010). Nr talomgrepet skal utvidast til rasjonale tal, vil ein elev byggja p

kunnskapen han har om dei naturlege tala. Dette skjer ved hjelp av assimilasjon og

akkomodasjon. Prosessen med reorganisera kunnskapsstrukturane er vanskeleg og

tidkrevjande, fragmentert og motstridande i starten, og eigna til danna syntetiske omgrep.

Syntetiske omgrep represent an intermediate state of knowledge that creates a bridge

between the students initial perspective of number and the intended scientific perspective,

which is not yet available to the student (ibid., s.187). Mange misoppfatningar er syntetiske

modellar der elevane prver assimilera ny informasjon i den eksisterande kunnskapen.

2.3. Elevar og brkomgrepet. Vanskar og misoppfatningar.

Kor vidt det er prosedyrekunnskap eller omgrepskunnskap som kjem frst i utviklinga av

brkomgrepet hj ein elev, er det ulike meiningar om. Gray & Tall (2007) har gjort

underskingar som stttar synet p at prosedyrekunnskap kjem fr omgrepskunnskap.

Brkforstinga kan starta p eit prosedyreniv. Nr ein elev t.d. ser at ulike delingssituasjonar

kan enda opp med same mengde, kan merksemda skifta fr ein delingsprosess til resultatet

som eit objekt. Dette er i trd med Sfard sitt syn p omgrepsdanning. Byrnes & Wasik (1991)

har gjort underskingar som stttar synet p at omgrepskunnskap kjem fr

prosedyrekunnskap. Dei meiner m.a. at det kunna kjenna igjen ekvivalente brkar og ordna

dei ligg til grunn for prosedyreforsting av t.d. addisjon av brkar med ulik nemnar. Hallett et

al. (2010) har gjort underskingar som m.a. viser at elevar kan ha bde prosedyrekunnskap og

omgrepskunnskap, men som to separate kunnskapar utan at det eine leier til det andre.

Samstundes viste det seg at elevar som hadde begge delar, gjorde det betre enn dei som ikkje

hadde det. Dette siste er i trd med Sfard sitt syn om at eit omgrep ikkje er forsttt fr ein

greier sj det bde operasjonelt og strukturelt.

Nr talomgrepet skal utvidast til gjelda brk kan elevar oppleva dette som vanskeleg.

(Birkeland et al., 2011; Vamvakoussi & Vosniadou, 2010; McIntosh, 2007; Indrester, 1998;

Nilsen, 2008; Bjerke et al., 2013; Lamon, 2005). Nokre grunnar til dette og misoppfatningar

som kan oppst vert omtala under.

30

2.3.1. Kompleksiteten i brkomgrepet

Ein brk kan ha ulike tydingar i ulike samanhengar (sj punkt 2.1.2. Omgrepsstrukturen for

brk), og denne kompleksiteten kan bidra til gjera det vanskelegare for ein elev lra brk

(Lamon, 2005; Pantziara & Philippou, 2012). Ser ein p brken 3

4, kan den tolkast som:

ein del av eit heile; tre av fire like delar

ein kvotient; svaret p divisjonsstykket 3 : 4

ein operator; tre firedelar av ei mengde/storleik

eit forhold; tre delar til fire delar, her vert det samla talet p delar sju

ein mlestorleik; eit punkt p ei tallinje (Pantziara & Philippou, 2012, s.63)

Skal ein elev ha eit godt utvikla brkomgrep, m han meistra ulike aspekt ved brk (Bjerke et

al., 2013). Ein for snever tankemodell av brk vil ikkje kunna gje ei fullgod forsting. I ein

modell av brk som del av eit heile er t.d. brken ei samanlikning mellom talet p delar ein

har og det totale talet p delar som den heile er delt opp i. I eit slikt perspektivet m teljaren i

brken vera mindre enn nemnaren (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Ein brk som 5

4 vil

d ikkje gjeva meining. Vi kan ikkje ha fem av fire.

Har ein berre erfaringane knytt opp mot brk som del av eit heile, vil denne kunnskapen

kunna verta overfrt til t.d. tallinja (Heron, 2014). Ei tallinje inneheld ofte meir enn ein heil

og desse gjentakande einingane er kontinuerlege, dvs. at det er ingen visuell skilnad mellom

dei. Det kan d vera lett blanda saman det mla ein brkdel av ei linje og brk som punkt

p ei linje (Petit et al., 2010). Dette er noko ein finn igjen hj Kerslake (1986). I denne

underskinga vart elevar i alderen 12-14 r intervjua for underskja kva kunnskapar dei har

om m.a. brk. Berre ein av 15 elevar greidde plassera 2

3 rett p ei linje. 13 av dei sg ikkje p

inndelinga av linja, men plasserte brken p to, som var 2

3 av heile linja. Dei tolka avstanden

fr null til tre som den heile i staden for sj at tallinja innehaldt tre heile. Ein snever

tankemodell for brk som del av eit heile kan fra til at det vert vanskeleg justera den

mentale konstruksjonen slik at den passar med brk som tal (ibid.).

Eit anna dme p at ein for snever tankemodell for brk vil kunna gje ei mangelfull

brkforsting kan vera dersom ein berre ser p brk som ein talstorleik (Bjerke et al., 2013).

Alle brkar er avhengig av ei eining (Lamon, 2005). Ein brk er ein relativ storleik der

eininga/ den heile varierer fr situasjon til situasjon. Ein halv er strre enn ein firedel nr

31

brkane er relatert til same heile. Men ein halv treng slett ikkje alltid vera strre enn ein

firedel dersom dei er relatert til ulike heile. Dette er det viktig at elevar fr erfaringar med.

2.3.2. Nytt notasjonssystem

Med brk skal to tal symbolisera ein talstorleik. Dette er nytt. Ein elev m ta omsyn til

forholdet mellom begge tala samstundes. Korkje teljar eller nemnar gjev meining i seg sjlv.

Vert ein av dei endra, vil verdien av brken g verta det (Petit et al., 2010). For ein elev kan

dette vera lett glyma. Teljar og nemnar vil d kunna operera som to uavhengige tal og ikkje

som ein verdi (ibid.).

Notasjonen av blanda tal kan g fra til forvirring hj ein elev. 3 1

2 er det same som tre heile

og ein halv. I algebra har elevar lrt at 3x er det same som 3x, vi har her eit usynleg

gangeteikn. 3 1

2 skal ikkje tolkast som 3

1

2, men som 3 +

1

2, her har vi eit usynleg

addisjonsteikn. Denne forskjellen er det viktig at elevar vert gjort merksam p (Birkeland et

al., 2011).

Brk og divisjon er nrt knytt saman, og brkstreken kan i mange tilfelle tolkast som

divisjonsteikn (McIntosh, 2007). Brken 3

7 kan d representera rekneprosessen tre delt p sju.

Det er viktig at ein elev vert medviten om dette. Samstundes skal han vera i stand til sj p 3

7

som eit tal. Skal ein elev f eit godt utvikla brkomgrep, m han kunna veksla mellom desse

to mtane sj brk p (Birkeland et al., 2011).

2.3.3. Terminologi

Eit omgrep som t.d. forkorta noko, er brukt bde i kvardagen og i

matematikkundervisninga. I kvardagssprket betyr det gjera noko kortare/mindre (i tid, i

lengde etc.), medan det i matematikken betyr t.d. at nr ein forkortar ein brk, fr vi ein annan

skrivemte for same tal. Talet har ikkje mindre verdi. Nr ein i undervisninga nyttar omgrep

som bde vert brukt i kvardagen og i matematikken, er det viktig synleggjera korleis desse

omgrepa vert definert i dei ulike kontekstane. Elles kan det fra til ei misoppfatning om at t.d.

2

5 er mindre enn

4

10.

32

I kvardagen vert heller ikkje alltid brksprket brukt like presist. Ein kan t.d. snakka om den

strste halvdelen eller berre brkdelen av. Dette kan fra til misoppfatninga om at brk

ikkje ndvendigvis betyr deling i like store delar (McIntosh, 2007).

Erfaringar