breves comentarios - equações de schröendinger (versão preliminar).pdf
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As Equaes de Schrdinger e Aplicaes
Prof. Fbio Cezar Gonalves de Souza
Tucuru/PA 2015
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IntroduoQual o objetivo da mecnica clssica?
Resp.: Encontrar x(t)!Para encontrar x(t), aplicamos a
segunda Lei de Newton:
Satisfazendo as condies iniciais doproblema x(t0).
= = =
2
2d x UF ma mdt x
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IntroduoO objetivo da mecnica quntica
anlogo ao da mecnica clssica.x(t) funciona na mecnica quntica?
Resp.: no funciona.Devemos encontrar uma funo de
onda .Equao de Schrdinger:(x,t)
= +
2 2
2(x,t) (x,t)i U(x) (x,t)t 2m x
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Introduo A equao de Schrdinger desempenha
um papel central na mecnica quntica.
Sua importncia comparada as Leis deNewton na mecnica clssica.
A compreenso de todo o sistema damecnica quntica baseia-se nassolues dessa equao.
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IntroduoBreve histrico do desenvolvimento da
teoria quntica: 1900 Max Planck
A radiao de corpo negro:
= = =
pi pi
= =
hE hf E h E2 2EE
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Introduo 1905 Albert Einstein
Efeito fotoeltrico:
Teoria da relatividade:= = E hf E
E hf h hp p p 2c fk
p k
= = = =pi
=
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Introduo 1924 Louis de Broglie
Como a luz parece ter ambas aspropriedades, de onda e de partcula, natural perguntar se a matria (por exemplo,eltrons e prtons) pode ter ambas ascaractersticas, de onda e partcula.
Comprimento de onda dado por:
= =h hp mv
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Introduo 1926 Erwin Schrdinger
Formula a mecnica ondulatria levando em considerao as hipteses de de Broglie.
1927 Davisson e Germer Confirmam experimentalmente as hipteses
de de Broglie, comprovando a difrao de eltrons.
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A Funo de OndaPara caracterizar matematicamente
uma onda classicamente, precisamos deuma funo do tipo:
Que atende a seguinte equao de onda:
f(x vt)
=
2 2
2 2 2f 1 f
x v t
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A Funo de Onda Conhecendo para um movimento
ondulatrio, temos toda informaonecessria sobre o movimento.
descreve a distribuio deprobabilidade de uma partcula no espao.
O modulo quadrado da funo deonda , de uma partcula em cadaponto a densidade probabilidade deencontrar a partcula nas vizinhanas doponto.
(x,t)
(x,t)
2(x,t)
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A Funo de Onda Uma partcula em 1-D, a grande-
za e a probabilidade de encontraruma partcula no tempo t, no eixo x emtorno do ponto x.
Essa interpretao, requer que:
Existe uma probabilidade de 100% deencontrar a partcula em algum lugar douniverso.
2(x,t) dx
2(x,t) dx 1 =
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A Funo de OndaEm geral, podemos dizer que para uma
onda plana temos:
Derivando em relao ao tempo:
= = ikx i t i(kx t )0 0(x,t) e .e e
(x,t)
= =
(x,t) (x,t)i (x,t) E (x,t) it t
Felipe-PCHighlight
Felipe-PCSticky Note valido identificar a forma ou artificio matematico utilizado.
creio que ficar para a hora da apresentao, indicar q para chegar no resultado foi utilizado a relao de numeros complexos q (ixi=-1) e (i/i=1).
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A Funo de OndaTomando a segunda derivada de em relao a x:
(x,t)
= =
+ =
22
2
22
2
(x,t) (x,t)ik (x,t) k (x,t)x x
(x,t) k (x,t) 0x
Felipe-PCSticky Noteindicar a relao utilizada para o sinal negativo.
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A Funo de OndaPara a partcula livre ( ):
Eq. de Schrdinger para a partcula livre.
= =cinE E ;U 0
+ =
+ = + =
= =
22
2
22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
(x,t) k (x,t) 0x
(x,t) p 2m (x,t) 2m(x,t) 0 E (x,t) 0x 2m x
(x,t) (x,t) (x,t)E (x,t) i2m x t 2m x
Felipe-PCSticky Noteno verifiquei uma indicao anteriormente na apresentao de que E=p/2m.
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A Funo de OndaMas, no caso geral, no-relativstico:
Eq. de Schrdinger dependente do tempo (postulado).
= + = +
= +
= +
2
cin
2
2 2
2
pE E U(x) E U(x)2m
pE (x,t) (x,t) U(x) (x,t)2m
(x,t) (x,t)i U(x) (x,t)t 2m x
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A Funo de OndaEm determinadas situaes (casos de
E constante) podemos escrever , daseguinte maneira:
Substituindo essa expresso na eq. deSchrdinger, obteremos:
Eq. de Schrdinger independente do tempo.
(x,t) = i t(x,t) (x)e
[ ]2 2
E (x) (x) U(x) (x) (x) E U(x) (x) 02m 2m
= + + =
Felipe-PCSticky Notepor que? sugestao que seja explicado matematicamento o porque, e como se parte de uma funo dependente de (x,t) e chega em uma funo dependente apenas de (x).
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A Partcula Livre em 1-D
Vamos utilizar o resultado obtidoanteriormente, para analisar o movimentode uma partcula livre (U(x)=0)), que sedesloca em uma dimenso:
[ ]
[ ]
2 2
2
2 2
2 2
22
2
(x) E U(x) (x) 02m x
2m (x) E U(x) (x)2m x
(x) k (x) 0x
+ =
=
+ =
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A Partcula Livre em 1-D
A soluo geral da forma:
Como:
ikx ikx(x) Ae Be = +ie cos isen =
[ ]i(kx t )i(kx t )(x) A 'coskx B'senkx A ' (A B);B' i(A B)(x,t) A e Be +
= + = + = = +
Felipe-PCSticky NoteRelao de Euler
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A Partcula Livre em 1-D
Quando a soluo for do tipo:
Onda propagantepara a direita.
i(kx t )(x,t) A e
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A Partcula Livre em 1-D
Ou do tipo:
Onda propagantepara a esquerda.
[ ]i(kx t )(x,t) e +
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A Partcula Livre em 1-D
Para o clculo de , faamos:
e
onde
(x,t)0A
B 0= =
ikx0(x) e =
i(kx t )0(x,t) e =
2k(k)2m
= =
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A Partcula Livre em 1-D
A densidade de probabilidade de encontrara partcula ser:
Ou seja, constante para
2* * 2
0(x,t) (x,t) = = = =
x < < +
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O Princpio da Incerteza
O