brete de f,log

UNIVERSIDAD DE COSTA RICA

SEDE DEL ATLANTICO

RECINTO TURRIALBA

INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123

FUNCION LOGARITMICA

CATALINA CAMACHO NAVARR0

ESTUDIANTES:

FRANCELA RAMIREZ SIRIAS B15336

SIVIANY CAMACHO MORA B31308

BRYAN RAMIREZ VEGA B35688

II CICLO

2013

Indice general

1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Contexto Historico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3. Funcion Logarıtmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1. Definicion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2. Caracterısticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3. Propiedades de los logarıtmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4. Funcion logaritmo natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5. Graficas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Aplicacion de la funcion logarıtmica en contextos extra-matematicos. . . . . . . 20

5. Campos cientıficos o historicos donde se emplea la funcion logarıtmica. . . . . . 23

5.1. En Psicologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.2. En Geologıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.3. En Geografıa y Estadıstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.4. En Astronomıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.5. En Fısica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.6. Intensidad del Sonido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.7. En Quımica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6. Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7. Bibliografıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3

FUNCIONES LOGARITMICAS INTRODUCCION A LA MATEMATICAS MA0123

1. Introduccion.

En este trabajo se llevara a cabo una investigacion de las funciones logarıtmicas. La cual es

muy importante ya que es un tema del cual desconocemos o si nos han hablado pero nunca nos

han explicado a fondo de la verdadera resolucion de este tipo de funciones. Empezaremos con

el trabajo conociendo su historia en la forma de como se desarrollo esta a traves del transcurso

del tiempo.

De esta misma manera nos profundizaremos en sus caracterısticas desde su definicion como su

criterio, dominio, codominio tambien su grafica, las intersecciones con los ejes, la concavidad

su monotonıa tambien su ambito de y esta misma manera sus asıntotas ası tambien lo que es

un logaritmo natural y una composicion entre la funcion logarıtmica y funcion exponencial.

Tambien demostraremos cada una de sus caracterısticas anteriormente mencionadas. Por otro

lado, indagaremos las propiedades que estas tienen y del mismo modo demostraremos cada una

de ellas paso por paso.

De esta manera explicaremos la resolucion de varios ejemplos de funciones logarıtmicas en los

diferentes contextos extra matematicos que nos ayudaran en un mejor entendimiento de esta

amplia funcion.

Y por ultimo buscaremos algunas areas en las cuales esta funcion logarıtmica es aplica y la

importancia de la misma para la resolucion de sus problemas.

4


2. Contexto Historico.

Hace casi 400 anos los logaritmos aparecieron para facilitarnos los calculos aritmeticos y geometri-

cos, esto permite durante anos poder trabajar con mas facilidad en el campo de agrimensura,

astronomıa y en el campo de la navegacion que fue lo que mas intereso a los cientıficos del siglo

XVII influenciados con los descubrimientos de Galileo y Kepler, con relacion de los cuerpos

celestes, tambien habıa gran interes economico y militar. Los cuerpos celestes eran de gran

importancia para los navegantes europeos que salıan en buscas de materia prima y nuevas re-

laciones comerciales. Con relacion al ambito militar, era necesario aproximar la trayectoria de

los proyectiles, alcance, altura y velocidad de las armas, por lo que el gobierno invertıa mucho

dinero para financiar la busqueda de soluciones provechosas.

En cuanto a la navegacion era de suma importancia debido a que los navegantes se aleja-

ban cada vez mas de las costas de donde partıan ya que no conocıan la latitud y longitud

(coordenadas terrestres) con precision, lo que ocasionaba problemas para la ubicacion, por lo

que se dificultaba la llegada al destino planteado, estos errores producıan grandes perdidas

economicas, por lo que el gobierno de Europa insto a los cientıficos para que construyan tablas

de datos cada vez mas aproximadas esto inspiro a John Napier de Escocia y a Jobst Burgi de

Suiza, a la elaboracion de los logaritmos. El termino logaritmo significa (numero razon) y fue

Napier quien utilizo el nombre por primera vez en 1619.

El descubrimiento de los algoritmos se produjo mediante dos caminos que son, los calculos

trigonometricos para las investigaciones astronomicas aplicables a la navegacion y el calculo de

las riquezas acumuladas a lo que se refiere a las reglas de intereses compuestos, ambos caminos

inspiraron a John Napier y a Jobst Burgi en el descubrimiento de los logaritmos. Las tablas de

Napier se basaban en los llamados logaritmos naturales los cuales eran un poco complicados

usar. Briggs era un profesor de Gresham College de Londres que se intereso en la tabla que

haba elaborado Napier y juntos idearon la idea de elaborar logaritmos comunes y fue Briggs

5


quien transformo de la tabla de Napier en los logaritmos comunes la cual fue publicada en

1617, estas tablas fueron utilizadas para los calculos hasta alrededor de los anos 1972 donde

aparecieron las calculadoras manuales.

Los logaritmos nacen con la afinidad de simplificar mas aquellas tareas en las que se utilizan

las operaciones basicas para resolver laboriosos problemas en las que se necesitan exactitud, en

1631 Henry Briggs realiza la primera tabla en base 10, en su libro llamado Logarithmall Arith-

metike Briggs manifiesta la importancia de la confeccion de los logaritmos ”Los logaritmos son

numeros inventados para resolver mas facilmente los problemas de aritmetica y geometrıa... Con

ellos se evitan todas las molestias de las multiplicaciones y de las divisiones; de manera que,

en lugar de multiplicaciones, se hacen solamente adiciones, y en lugar de divisiones se hacen

sustracciones. La laboriosa operacion de extraer raaces, tan poco grata, se efectua con suma

facilidad... En una palabra, con los logaritmos se resuelven con la mayor sencillez y comodidad

todos los problemas, no solo de aritmetica y geometrıa, sino tambien de astronomıa.”(Tapia,

2003, p.6).

Naiper trabajaba originalmente con seno por lo que se dice que su investigacion esta basa-

da en la geometrıa, mientras que Briggs trabajaba su investigacion en un enfoque algebraico

ya que trabajaba por medio de sucesiones de progresiones aritmeticas y geometricas.

6


3. Funcion Logarıtmica.

3.1. Definicion.

La funcion logarıtmica con base b, b ∈ R+, b 6= 1, la funcion f : R+ → R, definida por

f(x) = logb x, donde:

logb x = y ⇔ by = x.

Logaritmo de un numero (x) es el exponente (y) al que hay que elevar la base (b) para que nos

de dicho numero (x), el numero x debe ser positivo (x > 0).

logb x, see lee logaritmo en base b de x.

Esta definicion nos dice que una ecuacion logarıtmica se puede escribir en una forma exponen-

cial equivalente, y viceversa. Ejemplos:

Forma Logarımica Forma Exponencial

logb 1 = 0 b0 = 1

logb b = 1 b1 = b

logb b−1 = −1 b−1 = b−1

3.2. Caracterısticas.

Criterio.

La funcion logarıtmica es una funcion cuyo criterio es de la forma f(x) = logb x,

con b ∈ R+, b > 1 y x > 0 . Se lee logarıtmo base b de x.

logb x = y ⇔ by = x

Dominio.

El dominio de la funcion logarıtmica es R+.

7


Codominio.

El codominio de la funcion logarıtmica es R.

Rango o Ambito.

El rango o ambito de la funcion logarıtmica es R.

Monotonıa.

Teorema.

La funcion logarıtmica f : R+ → R tal que f(x) = logb x, con b ∈ R+, b 6= 1, entonces

i) Si b > 1 f es creciente. ii) Si 0 < b < 1 f es decreciente.

Sea f : R+ → R con f(x) = logb x

i) Si b > 1.

Sean x1, x2 ∈ R+ tal que x1 < x2

f(x1) = y1 ⇔ logb x1 = y1 ⇔ by1 = x1 y

f(x2) = y2 ⇔ logb x2 = y2 ⇔ by2 = x2

Luego by1 < by2 , como b > 1

⇒ y1 < y2

⇒ f(x1) < f(x2)

ii) Si 0 < b < 1.

Sean x1, x2 ∈ R+ tal que x1 < x2

f(x1) = y1 ⇔ logb x1 = y1 ⇔ by1 = x1 y

f(x2) = y2 ⇔ logb x2 = y2 ⇔ by2 = x2

Luego by1 < by2 , como 0 < b < 1

⇒ y1 > y2

⇒ f(x1) > f(x2)

8


Intervalos.

· Si b > 1, f es estrictamente creciente.

Nota: en el caso de la funcion logarıtmica es concava hacia arriba.

· Si 0 < b < 1, f es estrictamente decreciente.

Nota: en el caso de la funcion logarıtmica es concava hacia abajo.

Biyectividad.

Decimos que una funcion f : A ⊂ R −→ R es monotona si y solo si es creciente en A o de-

creciente en A. La funcion logarıtmica cumple lo anterior dicho ya que f : R+ −→ R y esta es

creciente o decreciente, entonces es monotona.

Por el teorema que dice ”Si f definida en A ⊂ R es una funcion monotona, entonces, conside-

rando su ambito B como su codominio, existe la funcion inversa f−1 : B ⊂ A”.

Como la funcion logarıtmica es monotona, y su rango es igual al codominio(f : R+ −→ R),

entonces existe la funcion inversa. Por lo tanto, la funcion logarıtmica es biyectiva.

9


Inversa.

Una funcion y su inversa cumplen las propiedades:

f−1(f(x)) = x, ∀x ∈ Df y f(f−1(x)) = x, ∀x ∈ Df−1

La inversa de la funcion logarıtmica f(x) = loga x es la funcion exponencial f−1(x) = ax.

Si f(x) = loga x⇔ f−1(x) = ax, entonces:

A) (f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = loga(f−1(x)) = loga a

x = x, con x ∈ R

B) (f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = af(x) = aloga x = x, con x > 0

∴ loga ax = aloga x

Intersecciones con los ejes.

Interseccion con el eje ”y”: no tiene.

Intrseccion con el eje ”x”: (1, 0).

Asıntota.

La funcion logarımica posee asıntota vertical x = 0, cuando x −→ 0+, f(x) −→ ±∞.

x = 0

A) Si b > 1, entonces x −→ 0+ se tiene que logb x −→ −∞.

B) Si 0 < b < 1, entonces x −→ 0+ se tiene que logb x −→ +∞.

10


3.3. Propiedades de los logarıtmos.

Logaritmo de una multiplicacion.

loga(xy) = loga x + loga y.

logaX = x⇔ ax = X

loga Y = y ⇔ ay = Y

⇒ loga(XY )

⇒ loga(ax · ay)

⇒ loga(ax+y)

⇒ x + y

⇒ loga X + loga Y

Logaritmo de una division.

b) loga

(x

y

)= loga(x÷ y) = logb x− loga y.

logaX = x⇔ ax = X

loga Y = y ⇔ ay = Y

⇒ loga

(X

Y

)⇒ loga

(ax

ay

)⇒ loga

(ax−y

)⇒ x− y

⇒ logaX − loga Y

11


Logaritmo de una potencia.

c) loga xn = n · loga x.

logaX = x⇔ ax = X

⇒ loga Xn

⇒ loga(ax)n

⇒ loga an·x

⇒ n · x

⇒ n loga X

Ejercicios.

a) loga x1n = 1

n· loga x.

logaX = x⇔ ax = X

⇒ loga X1n

⇒ loga(ax)

1n

⇒ loga a1nx

⇒ 1

nx

⇒ 1

nloga X

⇒ logaX

n

12


b) logan√x =

loga x

n.

logan√x =

loga x1n =

1

nloga x =

loga x

n

c)

logb b = 1⇔ b1 = b pues loga ax = x⇔ ax = ax.

d)

logb 1 = 0⇔ b0 = 1

Cambio de base.

loga x =logb x

logb a⇔ b > 0; b 6= 1.

loga x = A⇔ aA = x

logb x = B ⇔ bB = x

⇒ aA = bB

⇒ logb aA = logb b

B

⇒ A logb a = B

⇒ A =B

logb a

⇒ loga x =logb x

logb a

13


En particular:

loga x =ln x

ln a.

Por ejemplo:

log2 14 =ln 14

ln 2≈ 2, 63906

0, 693147≈ 3, 8074.

Notas en la resolucion de ecuaciones exponenciales aplicando logarıtmos:

Recordemos las relaciones:

a) logb x = a⇔ ba = x

b) logb x = logb y ⇔ x = y

1. Las propiedades de los logaritmos tambien se pueden utilizar para resolver ecuaciones ex-

ponenciales (especialmente las que no se pueden transformar a potencias de igual base). Esto,

convirtiendolas en ecuaciones logarıtmicas y luego se resuelven utilizando el siguiente procedi-

miento:

bx = a

log bx = log a

x · log b = log a

x =log a

log b.

14


Al igual que la funcion logaritmo natural se ha definido como inversa de la funcion logaritmo

natural, podemos definir la funcion exponencial f(x) = ax, es decir:

y = logax ⇔ ay = x.

Si a = e, la funcion dada por loge x = ln x es simplemente la funcion logaritmo natural.

Las funciones logarıtmicas referidas a bases distintas de e comparten muchas propiedades con

la funcion logaritmo natural.

Si a = 10, la funcion log10 x se llama funcion de logaritmo comun. Los logaritmos comunes

(o decimales) fueron introducidos por el matematico escoces John Napier(1550-1617). En ese

tiempo los logaritmos se utilizaban como ayuda para el calculo numerico. Con la creacion de

las modernas calculadoras, ese uso de los logaritmos ha desaparecido.

Ejemplos.

a) log10 103 = 3

b) log2 1 = 0

c) log10 x2y = 2 log10 x + log10 y

d) log2

1

x= log2 x

−1 = − log2 x

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3.4. Funcion logaritmo natural.

Sea x un numero real positivo. La funcion logaritmo natural, denotada por ln x, se define:

ln x = y ⇔ ey = x. (ln x se lee ”logaritmo natural de x”).

Dado que la funcion f−1(x) = In x, se define como la inversa de f(x) = ex, se sigue que

su grafica es la reflejada de la funcion exponencial natural, como muestra la figura x. Otras

propiedades de la funcion logaritmo natural se deducen tambien directamente de su definicion

como inversa de la exponencial natural. Recogemos algunas de ellas en la siguiente lista.

Las funciones inversas cumplen:

f(f−1(x)) = x y f−1(f(x)) = x.

Como (x) = ex y f−1(x) = ln x son inversas una de la otra, podemos concluir que:

ln ex = x y eln x = x.

Ejemplos:

a) ln (3x− 4) = 3

3x− 4 = e3

3x = e3 + 4

x =e3 + 4

3≈ 8, 0285.

b) y = e2x−5

ln y = In e2x−5

ln y = 2x− 5

5 + ln y = 2x

1

2(5 + ln y) = x

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c) Si se depositan P dolares al 8 por 100 de interes, compuesto de forma continua, A¿Cuanto

tiempo tardara en doblarse el capital?

Pe0,08t = 2P

e0,08t = 2

0, 08t = ln 2

t =ln 2

0, 08≈ 8, 66

En consecuencia, el balance se dobla a los 8 anos y 8 meses.

Ejercicios.

1.

log2 8 + log3 27 + log5 125 =

log2 23 + log33 + log5 53 =

3 + 3 + 3 =

9

17


2.

1

2log2 36 + log2

(2

3

)=

log2(36)12 + log2

(2

3

)=

log2√

63 + log2

(2

3

)=

log2 6 + log2

2

3=

log2

(6 · 2

3

)=

log2 4 =

log2 22 =

2

3.

1

2log2A + log2B − log2C − log2D =

log2A12 + log2B

3 − log2C − 2 log2D =

log2

√A + log2B

3 − log2C − log2D2 =

log2

√A ·B3

C ·D2

4.

log3

(A2 ·B5 ·

√C

D3

)=

log3A2 + log3B

5 + log3

√C − log3D

3 =

2 log3A + log3B +log3C

2− 3 log3D

18


5.

log

(x√x

3√

x2 · y · z5

)=

log x√x− log 3

√x2 · y · z5 =

log x52 − log(x2 · y · z5)

13 =

3

2log x− 1

3log x2 · y · z5 =

−3

2log x− 1

3− 1

3log y − 1

3z5 =

−3

2log x− 2

3log x− 1

3log y − 5

3log z

3.5. Graficas.

Para graficar la funcion f : R+ → R, f(x) = logb x. Se toman los puntos (1,0) y (b,1). Se-

guidamente realizar los desplazamientos o movimientos de translacion vertical o horizontal,

reflexiones en los ejes de x o y, elongaciones o compresiones, si la funcion los posee. Las graficas

log2 x y log 12x, respectivamente.

19


4. Aplicacion de la funcion logarıtmica en contextos extra-

matematicos.

1. El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 A¿Que tan intenso fue el terre-

moto de Ica del 15 de agosto en el 2007 del 7,9 con respecto al de Lima?

Para resolver la siguiente problema aplicaremos la formula M = log

(I

I0

), donde M

es la magnitud, I es la intensidad del terremoto y I0 es la intensidad de un terremoto

estandar de referencia.

M2007 = 7, 9

M1940 = 8, 2

M2007 −M1940 = log

(I2007I0

)− log

(I1940I0

)

⇔ 7, 9− 8, 2 = log

I2007I0

I1940I0

⇔ −0, 3 = log

(I2007I1940

)⇔ 10−0,3 =

I2007I1940

⇔ 0, 501 =I2007I1940

Por lo tanto: el terremoto de Ica fue aproximadamente la mitad de intenso con respecto

al de Lima.

20


2.Cuando se degrada el 90 % del valor inicial de la kriptonita roja deja de ser peligrosa para

superman. Cuando la kriptonita lleque a las 15 horas le quedara la mitad de vida y la radioac-

tividad inicial es igual a I0. El modelo para la degracion radioactiva es : N(t) = I0(2kt), donde

N(t) representa la cantidad de material radioactivo restante, t representa el tiempo en horas

(hrs) y el 2 que representa la mitad de vida (vida media) de la kriptonita. A¿Por cuanto tiempo

estara en peligro superman?

t N(t)

0 I0

151

2I0 =

I02

N(15) =1

2I0 = I0(2

k(15))

⇒ 1I02I0

= 215k

⇒ log2

1

2= log2 215k

⇒ −1 = 15k log2 2

⇒ −1 = 15k

−1

15= k

Con lo anterior se encontro el valor de k y ahora lo sustituimos en la formula, un 10 % de

1 = 0,1.

N(t) = I0

(2

−115

t)⇒ 0,1 I0 = I0(2

−t15 )

⇒ 0,1 = 2−t15

⇒ 0,1 = 2−t15

⇒ ln 0,1 = ln 2−t15

⇒ ln 0,1 =−t15

ln 2

⇒ −15 · ln 0,1

ln 2= t

⇒ 49,83 = t Por lo tanto: superman estara en peligro durante 49,83 horas.

21


3.Sitios para desperdicios peligrosos de acuerdo con cifras seleccionadas de 1981 a 1995, el

numero de sitios mas profundos para desechos peligrosos en Estados Unidos se aproxima con

la funcion definida por

f(x) = 11,34 + 317,01 log2 x

donde x = 1 corresponde a 1981, x = 2 a 1982, y asi sucesivamente.(Fuente: Agencia para la

proteccion del medio ambiente.)

Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1984

x=4 En el siguiente paso se sustituye la x por 4 que es el valor segun la secuencia que se le

asigna a 1984.

f(x) = 11,34 + 317,01 log2 4

= 11,34 + 317,01 · 2

= 645,36

Use la funcion para aproximar el numero de sitios en 1988.

En el siguiente paso se sustituye la x por 8 que es el valor segun la secuencia que se le asigna

a 1984.

f(x) = 11,34 + 317,01 log2 8

= 11,34 + 317,01 · 3

= 962,37

22


5. Campos cientıficos o historicos donde se emplea la

funcion logarıtmica.

5.1. En Psicologıa.

Ernest Heinrich Weber establecio la ley de la sensacion. Estos y otros descubrimientos llevaron

a la conviccion de que era posible explicar mediante principios fısico-quımicos todos los actos

humanos, lo que permitio considerar a la psicologıa y mas particularmente a la psicofısica co-

mo posibles ciencias. Esta ley establece lo siguiente: S = K logeE + C, Donde S = sensacion,

E = estımulo y K = una constante, la constante de Weber, distinta para cada modalidad sen-

sorial.

5.2. En Geologıa.

La escala de Richter se utiliza para medir la fuerza de un terremoto. La formula que da la

magnitud de un sismo en esta escala es: Magnitud de R = B + log10(a/T ). Donde a es la

amplitud del movimiento del suelo en micras (medida por la estacion receptora), T es el periodo

de la onda sısmica en segundos y B un factor relacionado con el debilitamiento de la onda con

el incremento de distancia al epicentro.

5.3. En Geografıa y Estadıstica.

Una formula en geografıa es: Si P0 es la poblacion inicial (es decir, la existente cuando co-

menzamos a contar), existe una constante de crecimiento k en cada poblacion, de manera

que el numero de individuos al cabo de un tiempo t, viene expresado por una ley del tipo

P (t) = P0ekt. La ley de crecimiento de la poblacion queda como P (t) = 500e0,47t. Llamado

modelo logıstico donde A (nivel de saturacion) B y K son constantes que dependen de cada

poblacion particular.

23


5.4. En Astronomıa.

Tambien en astrologıa midiendo la magnitud aparente (m) de una estrella, planeta o de otro

cuerpo celeste que es una medida de su brillo aparente; es decir, la cantidad de luz que se

recibe del objeto. Mientras que la cantidad de luz recibida depende realmente del ancho de la

atmosfera, las magnitudes aparentes se normalizan a un valor que tendrıan fuera de la atmosfera.

La magnitud aparente en la banda x se puede definir como: Donde Fx es el flujo observado en

la banda x, y C es una constante que depende de las unidades de flujo y de la banda.

5.5. En Fısica.

Velocidad propocional al espacio recorrido. En Fısica se estudian situaciones en las que la

velocidad de un movil es proporcional al espacio que lleva recorrido (ası ocurre con las fuerzas

de rozamiento). Es facil comprobar que cuanto mas pequeno sea el intervalo en el que cambiamos

de velocidad, mas nos acercamos a la magica expresion.

Que es la autentica formula del movimiento. Hemos hablado de un caso en que la velocidad era

proporcional al espacio recorrido. Parecida es la situacion que describe la Ley del Newton del

enfriamiento de los cuerpos. Esta ley establece que el enfriamiento de un cuerpo es proporcional,

en cada instante, a la diferencia con la temperatura ambiente. Precisando, la ley dice que si T0

es la temperatura inicial con que introducimos un cuerpo en un ambiente a una temperatura

de Ta grados, al cabo de un tiempo t la temperatura del cuerpo es:

Donde k es una constante, llamada constante de enfriamiento, particular de cada cuerpo.

5.6. Intensidad del Sonido.

La intensidad del sonido es el flujo de energıa por unidad de area que produce medida en watts

por metro cuadrado. Las intensidad de sonido mınima que puede escucharse (el umbral de

audibilidad) es aproximadamente 10-2W/m2. La sonoridad de un sonido se define como:

L= 10 logI

10−2, donde I es la intensidad y L se mide en decibelios.

24


5.7. En Quımica.

Desintegracion radioactiva. Algunos atomos son inestables y se desintegran espontaneamente

emitiendo radiaciones. Se ha observado que el tiempo en que determinada substancia se reduce

a la mitad, llamado vida media, es una constante caracterıstica de ella e independiente de la

cantidad que haya. La ley de Rutherford sobre la desintegracion radiactiva dice que el numero

de atomos de un elemento radiactivo transformados en un tiempo determinado es proporcional

al nAomero de atomos de ese elemento que esten presentes en la sustancia, en particular, la

formula que describe la desintegracion es de la forma: N(t) = N0 · ekt.

PH de una sustancia. El pH de una solucion se define como − log [H+], siendo [H+] la con-

centracion de iones de hidrogeno en moles/litro. Cuando el pH es menor que 7 la solucion es

acida, si es igual a 7 es neutra y, cuando es mayor, es alcalina. El pH es una medida de la acidez

o basicidad de una solucion. El pH es la concentracion de iones hidronio [H3O+] presentes en

determinada sustancia. La sigla significa potencial de hidrogeno. Esto es: pH = − log10(Ah30+)

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6. Conclusion.

En base a nuestro trabajo podemos identificar la multifunciones que tienen los logaritmos en

las diferentes areas donde esta se emplea para encontrar solucion a los diferentes problemas que

estas se encuentran ası mismo podemos resaltar la ayuda que estas brindan a la sociedad y que

resultan indispensables.

Por otro lado este trabajo fue de gran ayuda para nosotros como estudiantes ya que nuestro

principal interes era entender la funcion logarıtmica ya que los conocimientos que tenıamos de

esta eran verdaderamente pocos y los que sabıamos eran por el uso de una calculadora tıpi-

co de la ensenanza que se brindan en los colegios. Entonces lo tomamos como un reto poder

comprender, analizar y trabajar la funcion logarıtmica que para nosotros era impensable po-

der resolverla. Tambien querıamos analizar su comportamiento desde grafica la cual logramos

entender.

Uno de nuestros principales objetivos era lograr que nosotros la comprendieramos y ya tenien-

do el manejo de esta con nuestro trabajo lograr que nuestros companeros tambien la logren

entender.

Por otro lado queremos resaltar un aspecto importante ya que nosotros como futuros profesores

si queremos que nuestros estudiantes logren entender lo que es un logaritmo tiene que estar en

nuestros objetivos desarrollarle en clase para que a ellos nos les pase lo que nos paso a nosotros

y tengan una mejor preparacion el dıa que logren ingresar a la universidad.

Tambien notamos que los logaritmos no son difıciles de entender con practica y sabiendo aplicar

sus propiedades se nos va a facilitar del uso tan importante que tienen estos en la resolucion

de muchos problemas que nos enfrentamos en nuestro diario vivir.

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7. Bibliografıa.

Arias Tencio, F. Barrantes Campos, H. (2010). Introduccion a la matematica formal desde las

funciones. (Universidad de Costa rica ed.).

Araya Fernandez, M. (2006). Matematica 10A◦. Larson, R. Hostetler, R. Edwards, B. (1995).

Calculo y Geometrıa Analıtica.

Avila H, J. (2011). Algebra y trigonometrıa: ejemplos y ejercicios. (Instituto Tecnologico de

Costa Rica ed.).

Fuentes, Edgar. Matematica 1. Editorial I.C.E.R., Costa Rica, 1998

Meneases, Roxana. Matematica 10. Ediciones FARBEN, Costa Rica, 1998

Jimenez, Reinaldo. Introduccion a la teorıa de las funciones. Academia de Matematica AMP,

Costa Rica, 2003

Martınez, Roxana. Funciones, conceptos basicos. MEP. Costa Rica, 2005. Publicado por Javier

R. Trigoso, el lunes abril 21 del 2008

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brete de f,log

Education

funcion logartmica

funcion exponencial

funcion logaritmo natural

codominio tambien

tipo de funciones

misma manera

asntotas as tambien

concavidadsu monotona