bordanc-lucrare grad d.bordinc(2)
TRANSCRIPT
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
1/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
2/134
2
UNIVERSITATEA DE VEST DIN TIMIOARA
DEPARTAMENTUL PENTRU PREGTIREA PERSONALULUI DIDACTIC
Metodica rezolvrii problemelor
de coliniaritate i concuren
Coordonator tiinific:
PROF. UNIV. DR. ION DORU ALBU
Candidat:
Profesor DANIELA RODICA BORDNC
Unitatea de nvmnt: Liceul Tehnologic
IOSIF CORIOLAN BURACU
Prigor, Cara - Severin
Timioara
2013
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
3/134
3
CUPRINS
METODICA REZOLVRII PROBLEMELOR DE COLINIARITATE
I CONCUREN
Introducere ........4
CAP.I. NOIUNI PRELIMINARE ................5
1. Planul euclidian (axiomele lui Birkhoff)...........5
2. Spaiul vectorilor geometrici din planul euclidian (operaii, proprieti de calcul
vectorial).......14
3. Reper cartezian, sistem de coordonate n planul euclidian......21
Cap.II. COLINIARITATE.........................25
1. Ce nseamn o problem de coliniaritate?
Criterii de coliniaritate...........................................................................................25
2. Teoreme i probleme de coliniaritate (aplicaii).....................................................45
Cap.III. CONCUREN.........................................................................................................60
1. Ce nseamn o problem de concuren?
Criterii de concuren.............................................................................................60
2. Teoreme i probleme de concuren
(aplicaii).......................................................77
Cap.IV. DUALITATEA COLINIARITATECONCUREN............................................89
1. Teorema lui Desargues............................................................................................89
2. Proprietatea de dualitate polar (n raport cu un unghi, un
cerc)............................93
Cap.V. CONSIDERAII METODICE................................................................................100
.1. Observaii metodice (locul i rolul problematicii n programele colare)............100
.2. Chestiuni de evaluare...........................................................................................103
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
4/134
4
INTRODUCERE
Coliniaritatea i concurena sunt concepte fundamentale n geometrie. Att sub
aspectul teoretic, ct i sub cel al problemelor , al aplicaiilor , ele au preocupat pe
geometri nc din antichitatea greac ; contribuiile lui Euclid, Arhimede, Menelaus, Pappus,
Apollonius au trecut proba timpului rmnnd pn azi rezultate importante n domeniul
abordat de noi. Problematica a rmas n atenia multor nume ilustre din perioada Renaterii
i epocii moderne : Leonardo da Vinci, Federigo Commandino, Grard Desargues,
Evangelista Torricelli, Blaise Pascal, Giovanni Ceva, Isaac Newton, Leonard Euler, Carl
Friedrich Gauss, Victor Poncelet, Michel Chasles, Jacob Steiner .a.
Interesul pentru aceast tem este motivat de existena unui numr mare de propoziiimatematice foarte elegante, care concluzioneaz proprietile de concuren i coliniaritate,
n ipoteze, fie foarte generale, fie foarte speciale. Problemele de coliniaritate i concuren
reprezint adevruri n general uor de intuit, dar a cror demonstrare riguroas necesit
raionamente precise i o gam variat de tehnici specifice, solicitnd rezolvatorului nu
numai cultur matematic, dar i inventivitate. Se poate vorbi despre importana lor n
didactica geometriei la toate nivelurile, n special n ceea ce privete metodele diverse de
abordare i de rezolvare. Spre exemplu, propoziia binecunoscut : "n orice trapez
mijloacele bazelor, punctul de intersecie a laturilor neparalele i punctul de intersecie a
diagonalelor sunt coliniare" poate fi stabilit la clasa a VII-a utiliznd asemnareatriunghiurilor, eventual reciprocele teoremelor lui Menelaus i Ceva, la clasa a IX-a cu calcul
vectorial, la nivelul clasei a X-a folosind numere complexe, iar la nivelul clasei a XI-a cu
metoda coordonatelor carteziene sau utiliznd transformri geometrice.
Nu n ultimul rnd, remarcm c, n ultimii ani, tot mai multe probleme
de concuren i coliniaritate se propun la concursuri.
Aparent proprieti disparate, coliniaritatea i concurena sunt de fapt complementare, ntr-
o relaie direct mai mult dect formal, ele determinndu-se reciproc n exprimarea
dualismului armonic sau a dualismului polar. Cel mai simplu argument este c , uneori, aarta c trei drepte sunt concurente se reduce la a arta c punctul de intersecie a dou
dintre ele este coliniar cu dou puncte distincte aparinnd celei de a treia.
Structura lucrrii urmeaz firesc scopul propus. O prezentare a cadrului geometric i a
tehnicilor i "instrumentelor de lucru" necesare (plan euclidian,vectori geometrici sisteme
de coordonate, raport simplu ) face obiectul Capitolului I. Preliminarii. Capitolele II i III
trateaz coliniaritatea i respectiv concurena, dup acelai program: criterii, teoreme
importante i aplicaii, iar Capitolul IV este dedicat corelaiilor de dualitate care se pot stabili
ntre coliniaritate i concuren. Bibliografia conine peste 15 referine citate pe parcursul
lucrrii, din mult mai numeroasele surse pe care le-am consultat n timpul elaborrii acesteisinteze.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
5/134
5
Metodica rezolvrii problemelor de coliniaritate i concuren
CAPITOLUL I
PRELIMINARII
([1], [2], [5], [10], [14])
1. Planul euclidian (cu axiomatica dup Birkhoff)
n construcia riguroas a geometriei este nevoie de unele cunotine preliminare din
teoria mulimilor i de proprietile algebrice, de ordine, de continuitate i metrice ale
mulimii numerelor reale R . De asemenea , se consider o serie de noiuni, numite noiuni
primare sau fundamentale,precum i o serie de relaii primaresau fundamentale. Aceste
noiuni i relaii primare nu primesc n geometrie o definiie direct, informaii despre
coninutul lor fiind furnizate de un sistem de axiome , care este o colecie minimal de
propoziii independente , numite axiome. Axiomele sunt admise fr demonstraie i
reprezint punctul de plecare n construcia geometriei.
Celelalte noiuni geometrice ( noiuni derivate) sunt introduse treptat, cu ajutorul
noiunilor primare i al altor noiuni derivate , prin definiiidirecte. Proprietile geometrice
stabilite (deduse) prin demonstraii, cu ajutorul axiomelor i definiiilor, se numesc teoreme
(cele de importan mai mic sau care pregtesc alte teoreme se mai numesc leme sau
propoziii sauobservaii). Unele consecine directe ale unei teoreme se numesc corolare.
Exist diverse posibiliti de a alege ansamblul noiunilor i relaiilor primare, precum i
al propoziiilor primare ( axiomelor). n axiomatica lui G.D.Birkhoff (1884-1944) pentru
geometria plan se consider urmtoarele noiuni fundamentale: punct, dreapt, funcia
distan ntre dou puncte i funcia msur a unghiurilor. n alte sisteme axiomatice
noiunile fundamentale pot fi altele; de exemplu, n axiomatica lui Hilbert noiunile
fundamentale sunt: punct, dreapt, incidena, relaia ntre i congruena.
Axiomele geometriei n plan ,dup Birkhoff, se grupeaz n: axiome de apartenen,
axioma riglei, axioma de separare, axiomele unghiului, axioma de congruen i axioma
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
6/134
6
paralelelor.Structura matematic definit de aceste axiome se numete planul euclidian i
constituie cadrul geometric n care vom trata problematica de coliniaritate i concuren.
I.Axiomele de apartenen ( sau de inciden )
Primul grup de axiome se enun astfel:
I.1 Planuleste mulimea punctelor, pe care o notmcu E.
I.2 Orice dreapt este o submulime a lui E.
I.3 Orice dreapt conine cel puin dou puncte. n plan exist trei puncte care nu aparin
aceleai drepte.
I.4 Pentru dou puncte distincte exist o dreapt i numai una care le conine.
Dac A este un punct i d este o dreapt, relaia dA se citete astfel: punctul A
aparine dreptei d sau d conine A sau punctul A i dreapta dsunt incidente. Punctele A, B,
C se zic coliniare, dac exist o dreapt d , astfel ca .,, dCdBdA Fie A i B dou
puncte distincte. Potrivit axiomei I.4 exist o singur dreapt d , astfel nct dBdA , ;
aceast dreapt dva fi notat cu AB. O prim consecin se obine prin metodareducerii la
absurd. Ea const n a arta c ipoteza i negarea concluziei teoremei conduc la o
contradicie.
Teorem: Dou drepte diferite au cel mult un punct comun.
De asemenea, se poate formula prima definiie important.
Definiie. Fie d1, d2 dou drepte distincte din plan. Se spune c dreptele d1i d2 sunt
paralele i se scrie d1 || d2 , dac d1d2 = .n caz contrar, d1i d2 se numesc secante.
Un sistem de drepte care conin un punct AE se numetefascicul de drepte cu centrul
A. O familie de drepte paralele dou cte dou se numete fascicul de drepte paralele.
Familia tuturor dreptelor paralele cu o dreapt d se numete direcialui d.
II. Distana i axioma riglei
tim din experien c fixnd o unitate de msur (un segment etalon) i folosind
procedeul de msurare, fiecrei perechi de puncte putem face s-i corespund un numr
real (nenegativ) unic, distana dintre cele dou puncte. n axiomatica lui Birkhoff funcia
distan este o noiune fundamental. Admitem deci, c oricare ar fi punctele A,B E exist
un numr real unic, notat cu AB sau (A,B), care se numete distana ntreA i B. Pentru
dou puncte oarecare A i B, distana AB este un numr real unic.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
7/134
7
Cu imaginea reprezentrii numerelor reale pe o dreapt putem defini o coresponden
biunivoc ntre mulimea punctelor unei drepte i mulimea numerelor reale R. Prin axioma
urmtoare admitem existena i precizm proprietile unei astfel de funcii .
Axioma riglei: Fie d o dreapt oarecare i O, A d dou puncte distincte. Exist o
unic funcie f : MdM
x R, astfel nct s fie satisfcute urmtoarele condiii:
1.f este o funcie bijectiv ;
2. 0,0 AO xx ;
3.oricare ar fi punctele P,Qd , are loc relaia: .PQ xxPQ (formula distanei)
Prin aceast axiom se mai precizeaz c funcia ,: Rdf definit prin f(M) =M
x ,
este determinat n mod unic de condiiile 1), 2) i 3).
Definiie. Funcia Rdf : se numete sistem de coordonate carteziene normale
(s.c.c.n.) pe dreapta d, punctul A originea lui,iar numrulM
x abscisa sau coordonata
punctului M relativ la f .
Teorem: Oricare ar fi punctele P, Q, R coliniare, au loc urmtoarele proprieti:
.
;
;0;0
QRPQPR
QPPQ
QPPQPQ
Se spune c punctul M separpunctele A i B sau c M este ntreA i B , scriind A - M
- B sau B - M - A , dac A, B, M sunt coliniare i AM MB = AB.
Se numete segmentul deschiscu extremitile A i B figura :
(AB) := {M | A - M - B} .
Figura [AB] := (AB) {A,B} este segmentul nchisasociat.
Dac d este o dreapt, atunci fiecare pereche de puncte O , A d determin pe d dou
figuri :
d1:= {Md\O-| O nu separ A i M- ; d2:= { Md\O-| O separ A iM}
numite semidreptele deschise (opuse) determinate de O pe d. d1 se mai notez cu (OA .
[OA:= (OA{O} este semidreapta nchis cu origineaO, care conine pe A.
Pe mulimea semidreptelor deschise (nchise) ale unei drepte d se definete relaia de
echivalen : semidreptele (AB i (CD au acelai sens dac (AB (CD este o semidreapt. ncaz contrar, (AB i (CD au sensuri opuse.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
8/134
8
Dou segmente *AB+ i *CD+ se numesc congruente i se scrie *AB+ *CD+ , dac *AB+ i
*CD+ au aceeai lungime i.e. AB = CD. Se scrie *AB+ *CD+ dac AB CD .
Mijlocul segmentului [AB] este unicul punct M(AB) , pentru care [AM] [MB].
Fie punctele coliniare A, B, M pe dreapta d , M B.
Definiie. Se numete raportul n careM divide bipunctulsau segmentul orientat (A,
B) numrul kR \ {1} definit prin :
].[,
),[,
:
ABMMB
MA
ABMMB
MA
k
Un unghi n E este reuniunea a dou semidrepte nchise (laturile sale) avnd aceeaiorigine (vrful su). Dac h = *AB , k = *AC , atunci unghiul determinat de h i k este
khkh , care se mai noteaz prin : BAC , CAB, CAB , BAC sau A . kh este un unghi
nul, dac h = k ; kh este un unghi alungit dac h , k sunt semidrepte opuse ; n celelalte
cazuri kh este un unghi propriu.
Un poligon cu n laturi A1A2...An (unde n 3) este o linie poligonal nchis , cu
proprietate c oricare dou laturi adiacente au suporturi distincte i oricare dou laturi
neadiacente sunt disjuncte. Ak sunt vrfurile, iar [AkAk+1] sunt laturile sale ( nk ,1 ).
O figur F E se numetefigur convex dac
A, B E [AB] F .
Prin definiie, i F =A-, AE , sunt figuri convexe.
III. Axioma de separare a planului
Definiie.Fie d o dreapt i A,B dou puncte ale planului E, nesituate pe d. Se spune c
dreapta d separ punctele A i B sau c A i B sunt de o parte i de alta a lui d, dac
segmentul (AB) are un punct comun cu d i.e. d (AB) .n caz contrar se spune c A i B
sunt de aceeai parte a dreptei d sau c d nu separA i B .
Axioma de separare a planului: Fie o dreapt d i trei puncte distincte A, B, C E \ d .
Dac d separ punctele A, B i d nu separ punctele B, C, atunci d separ punctele C , A .
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
9/134
9
Consecin. O dreapt care intersecteaz un triunghi, dar nu conine niciun vrf al su,
intersecteaz exact dou laturi ale triunghiului.
Definiie.Fie A un punct nesituat pe dreapta d. Figura
(dA := { ME | d nu separ A, M-
se numete semiplanul (deschis) limitat ded care conine pe A, iar dreapta d este frontiera
sa.
[dA :=(dA d este semiplanul nchisasociat.
Observaii.1) Dac B(dA , atunci (dA = (dB.
2) Figura S' := {ME | d separ A, M- se numete semiplanul opuslui (dA n raport cu d.
Dac P (dA i Q S, atunci d separ P , Q.
3) (dA i S' sunt nevide , disjuncte , iar (dA S' = E \ d.
4) (dA i S' sunt figuri convexe.
Fie un unghi propriu CAB i b = AB , c = AC dreptele suport ale laturilor sale. Se
numete interiorul unghiului CAB figura :
( CAB ) := (bC (cB .
( CAB ) este o figur convex .
Un poligon A1A2...An se numete poligon convex dac oricare ar fi k{1,2,...,n}, toate
vrfurile diferite de Aki Ak+1sunt de aceeai parte a dreptei AkAk+1(An+1 = A1). n caz contrar,
A1A2...Anse numetepoligon concav.
Se numete interiorul poligonului convexA1A2...An figura
(A1A2...An) := ( )1A )( 2A ... ( )nA .
Se numete suprafaa poligonal convex cu frontiera A1A2...An figura
[A1A2...An] := A1A2...An(A1A2...An) .
AB
Cb
c
BAC
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
10/134
10
Se numete suprafa poligonalreuniunea unui numr finit de suprafee poligonale
convexe cu interioare disjuncte.
Teorem. Orice suprafa poligonal convex cu n laturi (n > 4) admite cel puin o
triangulare n n-2 suprafee triunghiulare. Orice suprafa poligonal este triangulabil .
IV. Axiomele unghiului
Vom nota cu U mulimea unghiurilor din E. Ultima noiune fundamental pe care o
introducem este inspiratde procedeul de msurare a unghiurilor cu raportorul.
Admitem existena unei funcii m: U*0,180+, numit funcia msur a unghiurilor(n
grade), care satisface urmtoarele axiome:
U.1. 0)( BOAm dac i numai dac BOA este un unghi nul; 180)( BOAm dac i
numai dac BOA este un unghi alungit.
U.2. (Axioma de construcie a unghiurilor) Fie (OA o semidreapt i S un semiplan
limitat de dreapta OA. Pentru orice numr )180,0( exist o semidreapt unic (OB
inclus n S , astfel ca )( BOAm .
U.3. ( Axioma adunrii unghiurilor) Dac BOA
i COB
sunt unghiuri adiacente cu(OB )( COA sau unghiuri adiacente suplementare, atunci
)()()( COAmCOBmBOAm .
n particular, suma msurilor unghiurilor adiacente suplementare este egal cu 180.
Dou unghiuri se numesc suplementare(respectiv, complementare) dac suma msurilor lor
este 180 (respectiv, 90). Dou unghiuri kh , '' kh se numesc opuse la vrfdac au acelai vrf
i laturile lor sunt semidrepte opuse, de pild (h,h') , (k,k') sunt perechi de semidrepte
opuse.
A1 A2
A3
A4
A5A6
A7
B5B6
B7
B8
B1 B2
B3
B4
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
11/134
11
Dou unghiuri BOA , ''' BOA U se numesc congruente i se scrie BOA ''' BOA ,
dac m( BOA ) = m( ''' BOA ). Un unghi BOA este un unghi dreptdac este congruent cu un
suplement al su , echivalent , dac m( BOA ) = 90.
Dou unghiuri sunt n relaia kh
'' kh , dac )
( khm )''( khm .
Teoreme. 1) Dou unghiuri care au acelai suplement ( respectiv, complement) sunt
congruente.
2) Dou unghiuri opuse la vrf sunt congruente.
3) Toate unghiurile drepte sunt congruente.
Dou dreptese numescperpendicularedac formeaz un unghi drept. Dac d i d' sunt
drepte perpendiculare, atunci se noteaz d d' sau d' d.
Teoreme. 1) Dou drepte perpendiculare formeaz patru unghiuri drepte.
2) Dat o dreapt d i un punct Ad , exist o unic dreapt d', astfel nct Ad' i d' d.
Semidreapta *OC se numete bisectoarea unghiului propriu BOA dac (OC ( BOA ) i
COA BOC . Bisectoarea unui unghi propriu exist i este unic.
Se numete mediatoarea segmentului[AB] dreaptacare conine mijlocul lui *AB+ i este
perpendicular pe AB.Mediatoarea unui segment exist i este unic.
Se numete unghi exterior al unui triunghiun unghi care este adiacent i suplementar
unuia dintre unghiurile triunghiului. Un triunghi are ase unghiuri exterioare, cte dou n
fiecare vrf ; unghiurile exterioare corespunztoare unui vrf sunt congruente.
Se numete unghiul a dou dreptecel mai mic dintre unghiurile formate de cele dou
drepte. Dac d1, d2sunt dou drepte din planul E , atunci m( ) 21dd [0, 90].
m( ) 21dd = 0 d1 || d2 ; m( ) 21dd = 90 d1 d2 .
Definiie.Dou triunghiuri ABC i ABC se numesc congruentei se noteaz ABC
ABC, dac exist o coresponden (omologie) ntre vrfuri,
A A' , B B' , C C',
astfel nct
),''()(),''()(),''()( CBBCCAACBAAB
' AA , ' BB , ' CC .
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
12/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
13/134
13
Teorema de existen i unicitate a perpendicularei. Fie dreapta d i punctul A E.
Exist o unic dreapt care conine pe A i este perpendicular pe d.
Teorema de existen a paralelei. Fie dreapta d i punctul A d. Exist cel puin o
dreapt care conine pe A i este paralel la d.
Definiie. Fie dreapta d i punctul AE . Se numete distana lui (de la)A lad numrul
real (nenegativ)
(A, d) := inf {(A,M) | Md}.
Dac M0d este astfel nct AM0d , atunci (A, d) = AM0 .
Teorema de loc geometric a bisectoarei. Bisectoarea unui unghi este locul geometric al
punctelor din interiorul unghiului situate la egal distan de laturile unghiului, reunit cu
vrful unghiului.
Criteriul de paralelism. Daca dou drepte distincte d1 , d2 formeaz cu o secant
comun d o pereche de unghiuri alterne interne ( respectiv corespondente , respectiv
alterne externe) congruente, atunci d1i d2sunt paralele.
Teorema triunghiului n geometria absolut. Pentru fiecare triunghi ABC din E are loc
relaia :
180)()()( CmBmAm .
VI.Axioma paralelelor
Pentru a obine geometria euclidianeste necesar
Axioma paralelelor. Fiind date o dreapt oarecare i un punct oarecare exterior dreptei,
cel mult o dreapt conine punctul dat i este paralel la dreapta dat.
Vom enuna cele mai importante teoreme de geometrie euclidian plan.
Teorema de unicitate a paralelei. Fie o dreapt d i un punct A d . Exist o dreapt
unic d , astfel nct A d i d|| d .
Teorema de paralelism. Dac dou drepte d1, d2 sunt paralele, atunci ele formeaz cu
orice secant comun perechi de unghiuri alterne interne congruente, corespondente
congruente, alterne externe congruente.(aceast teorem este reciproca criteriului de
paralelism ; ambele propoziii sunt frecvent utilizate n aplicaii)
Urmtoarele teoreme sunt echivalente cu axioma paralelelor.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
14/134
14
Teorema unghiului exterior. n orice triunghi msura unui unghi exterior este egal cu
suma msurilor unghiurilor interioare neadiacente lui.
Teorema triunghiului n geometria euclidian. Pentru fiecare triunghi ABC din E are
loc relaia :
180)()()( CmBmAm .
Corolar 1. Unghiurile ascuite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare.
Corolar 2. Suma msurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este 180(n-2).
Corolar 3. Suma msurilor unghiurilor exterioare ale unui poligon convex cu n laturi
este 360.
Dac a i d sunt dou drepte secante din E , atunci se numete proiecia paralel cu aa lui E pe dreapta d aplicaia care asociaz fiecrui punct M E punctul M' d , cu
proprietatea MM'|| a. Dac a d , atunci se numete proiecia paralel cu a se numete
proiecia ortogonal a luiEpe dreaptad.
Alte rezultate importante de geometrie euclidian sunt :
Teorema de determinare a unui triunghi. Date trei numere pozitive a, b, c , astfel nct
a + b c , b + c a , c + a b ,
exist un triunghi unic determinat (pn la o congruen) avnd laturile de lungimi a, b, c.
*aceast teorem este reciproca teoremei inegalitilor unui triunghi ; v. 2) de mai sus+
Teorema unghiurilor cu laturile paralele ( perpendiculare). Dou unghiuri care au
laturile respectiv paralele ( respectiv perpendiculare) sunt congruente sau suplementare.
Teoremele de concuren a liniilor importante ntr-un triunghi.n orice triunghi ABC ,
1) mediatoarele sunt concurente ntr-un punct O , care este centrul cercului
circumscrislui ABC ;
2) bisectoarele sunt concurente ntr-un punct I , care este centrul cercului nscis n
ABC ;
3) nlimile sunt concurente ntr-un punct H, numit ortocentrullui ABC ;
4) medianele sunt concurente ntr-un punct G, numit centrul de greutateal lui ABC;
5) simedianele sunt concurente ntr-un punct K, numitpunctul lui Lemoineal lui ABC
; (o simedianeste simetrica unei mediane printr-un vrf n raport cu bisectoarea
care are originea n acel vrf)
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
15/134
15
n cele ce urmeaz vom presupune cunoscut o serie de alte noiuni, relaii i
proprieti, care fac parte din edificiul geometric al planului euclidian : geometria
paralelogramelor i trapezelor, asemnarea figurilor geometrice, teorema lui Thales,
teorema bisectoarei, teoremele de asemnare a triunghiurilor, relaii metrice n triunghi,
cercul i proprietile sale, msura arcelor de cerc i a unghiurilor incidente la cerc,inscriptibilitate i circumscriptibilitate, lungimea arcului de cerc i a cercului, puterea n
raport cu un cerc, ariile figurilor geometrice plane etc. De asemenea, vom admite utilizarea
funciei msur n radiani a unghiurilor, atunci cnd este cazul. Trecerea de la o unitate de
msur la cealalt este dat prin :
)(
180
)( khkhm .
2.Spaiul vectorilor geometrici din planul euclidian
Direcie i sens n plan
Se numete direcien E definit de o dreapt d mulimea d
format din d i toate
dreptele din E paralele cu d.
d' d
echivalent cu d' = d sau d' || d.
Observaii. Oricare dintre dreptele unei direcii determin direcia respectiv. Dou direcii
distincte sunt disjuncte. Fiecare dreapt din E aparine unei singure direcii. Prin fiecare
punct din E exist cte o dreapt unic din fiecare direcie.
Pentru o direcie dat se introduce noiunea de sens. Se consider semidreptele *OA ,
*O'A' avnd aceeai direcie i.e. OA = O'A' sau OA || O'A' . Pentru cazul OA = O'A' , se
spune c *OA i *O'A' au acelai sensdac *OA [O'A' sau [O'A' *OA (v. i 1.II). Pentru
cazul OA|| O'A', se spune c *OA i *O'A' au acelai sensdac dreapta OO'nu separ A, A'.
Se numete sensuldeterminat de semidreapta *OA pe direcia dreptei OA mulimea format
din *OA i toate semidreptele din E care au acelai sens cu *OA.
Pe fiecare direcie din E exist exact dou sensuri, numite sensuri opuse. O direcie se
numete orientat dac s-a fixat unul din cele dou sensuri pe ea. Dou semidrepte din
direcii diferite nu se consider nici de acelai sens, nici de sensuri opuse. Fiecare punct din
plan este originea unei semidrepte unice din fiecare sens.
A'O'
O"A"
O d
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
16/134
16
Se numete unghiul a dou direcii unghiul a doi reprezentani din cele dou direcii.
Dac )',( dd
este unghiul direciilor d
i 'd
, atunci
m( )',( dd
) = m( )'dd [0, 90] ; ( )',( dd
) = ( )'dd [0, ].
Dou direcii se numescperpendiculare(normale,ortogonale) dac exist o pereche de
drepte din cele dou direcii care sunt perpendiculare.
d
'd
d d' m( )'dd = 90 echivalent cu m( )',( dd
) = 90 ( )',( dd
) =2
Unghiul a dou sensuri cu reprezentanii *OA i *OB este unghiul BOA , iar msura n
grade a unghiului a dou sensuri este cuprins n intervalul *0, 180+, respectiv msura n
radiani a unghiului a dou sensuri aparine lui *0, ] .
Vectori geometrici n plan
Produsul cartezian E E este mulimea bipunctelor(perechi ordonate de puncte) sau
segmentelor orientate din E . Bipunctul (A,B) E E are originea A , extremitatea B i
reprezentarea grafic o "sgeat" orientat de la A spre B. Un bipunct (A,B) determin
segmentul *AB+ , dar i un sens pe dreapta AB, anume sensul semidreptei [AB . Un bipunct
de forma (A,A) determin segmentul nul A- i este reprezentat grafic printr-un singur punct.
Dou bipunctesunt egale dac au aceeai origine i aceeai extremitate.
Dou bipuncte (A,B) , (A',B') se numesc bipuncte echipolentei se scrie (A,B) (A',B'),dac segmentele *AB'+ i *A',B+ au acelai mijloc. Prin definiie, toate bipunctele nule (A,A) ,
cu AE , sunt echipolente.
Definiie. Se numete vector geometric sau vector liber sau vector din E , cu
reprezentantul (A,B) , mulimea , notat cu AB , a tuturor bipunctelor echipolente cu (A,B).
AB := {(M,N)E E | (M,N) (A,B)} ;
''BAAB (A,B) (A',B') (A',B') AB (A,B) ''BA .
Vectorul AA se numete vectorul nul, iar vectorul BA se numete opusul vectorului AB .
Deoarece un vector este unic determinat de oricare dintre reprezentanii si, se admite
notarea vectorilor , independent de reprezentani, prin: ,...,,...,, vuba Vectorul nul se
noteaz cu 0 , iar mulimea tuturor vectorilor din E , numit spaiul vectorilor geometrici, se
va nota cu E
.
Teorem.Fiecare punct din E este originea unui reprezentant unic al unui vector dat.
i.e.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
17/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
18/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
19/134
19
se asociaz unui vector i unui numr real produsul vectorului cu numrul respectiv se
numetenmulire cu scalari a vectorilordin E
.
Observaie. nmulirea vectorilor cu scalari este corect definit, cci vectorul a nu
depinde de alegerea reprezentantului lui a . Vectorii a i a sunt coliniari, de acelai sens
dac > 0 i de sensuri opuse dac < 0 . n particular, (-1) a = - a , a E
. De asemenea,
au loc proprietile:
1) a = 0 a = 0 sau = 0 ;
2) ( a ) = () a ;
3) ( a + b ) = a + b ;
4) ( + ) a = a + a .
Teorem. Doi vectori a i b sunt coliniari dac i numai dac exist un numr real ,astfel nct a = b .
Observaie. Relaiile urmtoare arat comportarea modulului n raport cu adunarea i
nmulirea cu scalari a vectorilor :
,,, Eba
aa
baba R . ()
Teorem. Dac se noteaz cu (A,B;M) raportul n care punctul M B divide bipunctul
(A,B) , atunci sunt echivalente urmtoarele egaliti :
1) (A,B;M) = k , kR \{1} ;
2) MBkMA , kR \{1} ;
3)k
OBkOAOM
1, kR \{1}.
n particular,
Aa
O DO A
a a aD
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
20/134
20
M este mijlocul lui [AB] 0MBMA )(2
1OBOAOM .
Se consider doi vectori necoliniari OXi i OYj dinE
. Pentru fiecare vector v din
E
, exist dou numere reale unic determinate x, yR, astfel nct jyixv . Se spune cv este o combinaie liniar a vectorilor i i j , cu coeficienii x, y. x i y se numesc
coordonatele lui v n raport cu( i , j ) i se scrie v (x,y) relativ la ( i , j ).
Observaie. Fie vectorii jyixa , jyixb '' E
i scalarul R . Atunci
1) ba x = x' , y = y' ;
2) jyyixxba )'()'( ;
3) jyixa )()( ;
4) ba , coliniari '' y
y
x
x ;
5) Dac i i j sunt unitari i ortogonali, atunci 22 yxa .
Fie doi vectori nenuli OAa , OBb din E
i [0, ], unghiul vectorilor a i b ,
adic = ((( ),ba ) = ( )
BOA . Se numete produsul scalar al vectorilor a i b numrulreal
.00:,0
,0,0:,cos:
bsauadaca
badacababa
Produsul scalar al vectorilor a i b se poate exprima cu ajutorul unor proiecii :
'OBOAba ; OBOAba ' ; )(bpaba a ; bapba b )( ,
unde A' = pOB(A) , B' = pOA(B) , ')( OBbpa , ')( OAapb .
i
j
O
M
X
Y
M'
M"
v
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
21/134
21
Observaie. Produsul scalar are urmtoarele proprieti :
1) 00;0 aaaaa ;
2) abba ;
3) cabacba )( ;
4) ba )( baba )( ;
5) ( 222 2) bbaaba ;
6) 0,)(2
bbb
baap
b.
Teorem. Fie doi vectori a i b din E
. Sunt verificate proprietile :
1) 2aa , unde aaa :2 ("ptratul scalar al lui a ") ;
2) baba (inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz) ;
3) a i b sunt coliniari baba ; a b 0ba .
Observaie. Dac i i j sunt doi vectori unitari i ortogonali , atunci pentru oricare doi
vectori jyixa , jyixb '' E
se pot exprima n coordonate produsul scalar iunghiul celor doi vectori :
'' yyxxba ; cos =2222''
''
yxyx
yyxx
.
3.Repere carteziene i sisteme de coordonate
carteziene n planul euclidian
O A
B
B'
A'
a
b
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
22/134
22
Repere carteziene
Fie d o dreapt n planul euclidian. Se numete reper cartezian pe d o pereche
R = (O; e ), unde Od este un punct numit originea lui R , iar e E
este un vector nenulavnd direcia lui d, numit baza lui R. Dac e este un versor, atunci R se numete reper
cartezian normal (r.c.n.) . Dreapta d nzestrat cu un reper cartezian se numete ax (de
coordonate) .
Definiie. Se numete reper cartezian (r.c.) n planul euclidian E un ansamblu
R = (O; ji , ), format dintr-un punct OE i doi vectori necoliniari ji , E
. O se numete
originea lui R , iar ( ji , ) se numete bazalui R. Dac 1 ji , atunci R se numete reper
cartezian normal (r.c.n.) . Dac ji , atunci R se numete reper cartezian ortogonal .
Dac ji i 1 ji , atunci R se numete reper cartezian ortonormal(r.c.o.)
Reperele carteziene sunt instrumente matematice pentru coordonatizarea planului
euclidian, respectiv pentru implementarea metodei coordonatelorn plan.
Fie o dreapt d raportat la r.c.n. R = (O; e ) i punctul Xd, pentru care eOX . Dac
Md, atunci OM se numete vectorul de poziie al punctuluiM ; vectorii OM i eOX
sunt coliniari, deci exist un numr unic xR , astfel nct OM = x e . x se numete
coordonata luiM relativ lar.c.n. R = (O; e ) ; se scrie M(x) relativ la R.
Fie acum planul E raportat la un r.c.o. R= (O; ji , ) i un punct oarecare ME . Vectorul
OME
se numete vectorul de poziie al punctului M i admite o exprimare unic de
forma OM = x i + y j ; (x,y) se numesc coordonatele luiM relativ laR; se scrie M(x,y) relativ
la R.
n aplicaii se vor considera, de regul, doar reperecarteziene ortonormale (r.c.o.).
Sisteme de coordonate carteziene(ortogonale)
dO X
Oi
j
X
YMe M
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
23/134
23
Alte instrumente matematice de coordonatizare a planului euclidian sunt sistemele de
coordonate carteziene ortogonale.
Aa cum s-a precizat n prima seciune, un sistem de coordonate carteziene normale
(s.c.c.n.) pe o dreapt d este o funcie bijectiv s : Md s(M) = x R , cuajutorul creia
distana ntre punctele lui d se calculeaz cu formula :
(M,N) = | x - y | , unde x = s(M) , y = s(N) , M, N d .
Punctul O = s-1(0)d este origineas.c.c.n. s , iar X = s-1(1)d estepunctul unitateal lui s.
Observaie. Exist o coresponden biunivoc ntre mulimea s.c.c.n. pe dreapta d i
mulimea r.c.n. pe d. Astfel, unui s.c.c.n. s : d R , cu originea O i punctul unitate X, i
corespunde r.c.n. R =(O;OX ) . Invers, unui r.c.n. R= (O; e ) i se asociaz s.c.c.n. s : d R
determinat unic (prin axioma riglei) de punctele O i Xd, pentru care OX = e ; dac Md
i exOM , atunci s(M):= xR.
M(x) relativ la s M(x) relativ la R.
Definiie. Se numete sistem de coordonate carteziene ortogonale (s.c.c.o.) pe E o
funcie S : E R2, care verific urmtoarele proprieti :
1) S este o funcie bijectiv ;
2) oricare ar fi punctele P,QE , are loc relaia:
22)()(),( QPQP yyxxQP , (formula distanei)
unde ),( PP yx = S(P), ),( QQ yx = S(Q) se numesc coordonatele carteziene ale punctelor P,
respectiv Q , relativ la S.
Observaii. 1) Un s.c.c.o. pe E poate fi construit , dac se dau dou drepte
perpendiculare ntr-un punct OE , notate OX , OY,pe care se consider cte un s.c.c.n. cu
originea O, mai precis, s' : OXR, s" : OYR , s' (O) = s"(O) = 0 , s'(X) = s"(Y) = 1. FunciaS : ME (s'(M'),s"(M"))R2 , undeM' , M" sunt proieciile ortogonale ale lui M pe OX ,
respectiv pe OY,definete un s.c.c.o. pe E .Dreptele OX , OY se numesc axele decoordonate
ale lui S .De aceea, s.c.c.o. se mai noteaz S =: OXY .
2) Exist o coresponden biunivoc ntre mulimea s.c.c.o. pe E i mulimea perechilor
ordonate de semidrepte perpendiculare cu origine comun din E .
Observaie. Exist o coresponden biunivoc ntre mulimea s.c.c.o. pe E i mulimea
r.c.o. din E. Fie S = OXY un s.c.c.o. pe E (se poate considera c OX = OY = 1). Lui S i se
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
24/134
24
asociaz n mod natural r.c.o. R:= (O ; OYOX, ) . Invers, dac R= (O ; ji , ) este un r.c.o.,
atunci s.c.c.o. asociat lui Reste S := OXY , unic determinat prin condiiile: jOYiOX , .
R.c.o. R= (O ; ji , ) i s.c.c.o. S = OXY asociat determin aceeai coordonatizare pe E,
cci :
M(x,y) relativ la S S(M) = (x,y) jyixOM M(x,y) relativ la R.
Teorem. Dac E este raportat la un r.c.o. , respectiv la s.c.c.o. , iar A(xA,yA) , B(xB,yB)
sunt puncte din E , atunci :
1) jyyixxAB ABAB )()( ;
2) AB = 22 )()( BABA yyxx ;
3) (A,B;M) = k
k
kyyy
k
kxxx
BAM
BAM
1
1 k =MB
MA
MB
MA
yy
yy
xx
xx
,
unde M(xM,yM) AB , M B .
O mulime de forma S = {A1(a1), A2(a
2), ... ,An(an)} , unde A1, A2,..., AnE este un sistem
de puncte, iar a1, a2, ..., anR este un sistem de numere reale cu proprietatea c a1+
a2+ ...+ an0, se numete sistem de puncte ponderate. Numerele a1, a2, ..., an se numesc
ponderile sau masele punctelor A1, A2,..., respectiv An din S .
Definiie. Un punct G se numete baricentrulsistemului S = {A1(a1), A2(a
2), ... ,An(an)}
dac verific urmtoarele condiii echivalente :
1.n
n
n
aaa
OAaOAaOAaOG
...
...21
2
2
1
1
, unde O este un punct din E ;
2. 0...2
2
1
1 n
n GAaGAaGAa .
n particular, dac a1= a2= ...= an= a 0 , atunci G se numete izobaricentrulsau centrul de
greutateal sistemului de puncte echiponderate S={{A1(a), A2(a), ... ,An(a)}.
Observaie. G este centrul de greutate al sistemului S= {A1, A2, ..., An- dac i numai
dac este verificat una din urmtoarele condiii :
1. )...(1
21 nOAOAOAn
OG , unde O este un punct din E ;
2. .0...21 nGAGAGA
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
25/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
26/134
26
O problem de coliniaritate nseamn a stabili proprietatea c dou sau mai multe
figuri geometrice (puncte, segmente, semidrepte) sunt pe aceeai dreapt (sunt coliniare).
ntruct nu exist un algoritm general pentru stabilirea unei astfel de proprieti, se pot
evidenia cteva modaliti de a demonstra, cu precdere, coliniaritatea a 3 sau mai multe
puncte, le vom grupa n dou categorii:
1) criterii geometrice,
2) criterii algebrice: - metoda vectorial
- metoda cu coordonate.
I. Criterii geometrice de demonstrare a coliniaritii
C.1. Punctele A, B, C sunt coliniare cu A B C dac m( CBA
)=180.
A B C
Motivaie.n adevr,dac m( CBA )=180, atunci unghiul CBA este alungit i A,B,C
sunt coliniare, cu ABC .
Exemple:
1. Fie punctul E interior ptratului ABCD i punctul F exterior ptratului, astfel nct
triunghiurile ABE si BCF s fie echilaterale. S se arate c punctele D, E i F sunt
coliniare.
Demonstraie:
D C
E
F
A B
E
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
27/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
28/134
28
Avem 0180)()'( AONmAOOm (unghiuri interne de aceeai parte a secantei). ns
)()()( OMAmOAMmAONm i ''AMOOMA (corespondente).
Prin urmare 0180)''()'()( AMOmOADmMAOm i cum M, M' sunt de o parte i de alta a
dreptelor AO i AO' rezult c M, A' i M' sunt coliniare.
C.2.Punctele A, B, C sunt coliniare cu A B C (sau B C A) dac
0)( CABm .
Motivaie: Dac 0)( CABm atunci laturile (AB si (AC coincid,prin urmare,
AB - C sau AC - B.
Exemple:
1. Fie ABC, A1, D sunt interseciile nlimii i bisectoarei duse din A pe BC, cu BC.
Fie B1proiecia lui B pe AD i C
1proiecia lui D pe AC. S se arate c punctele A
1,
B1i C
1sunt coliniare. (Se va considera AB < AC.)
Demonstraie: A
C1
M'
A
L'B
N'
N
O
L
M
O'
B1
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
29/134
29
B A1 D C
ABA1B
1i AA
1DC
1 sunt patrulatere inscriptibile. Avem :
)()( 11 BABmDABm i )()( 11 CADmCACm ; cum (AD bisectoare, rezult :
)()( 1111 CACmCABm rezult c 0)( 111 ACBm .
C.3.Demonstrarea coliniaritii folosind reciproca teoremei unghiurilor
opuse la vrf.
Teorem. Dac punctul B este situat pe dreapta EF, iar punctele A i C sunt situate de oparte i de alta a dreptei EF i )()( EBCmFBAm , atunci punctele A, B, C sunt coliniare.
A
E B F
C
Exemple:
1. Intersecia diagonalelor AC i BD ale rombului ABCD este punctul O, iar mijlocul
segmentului AB este M. S se decid dac M, O i mijlocul segmentului CD sunt trei
puncte coliniare.
Demonstraie:Fie P mijlocul [CD].
][][:,2
,2
OMOPdeciAB
OMCD
OP i DOPBOM (L.L.L.) , atunci
DOPBOM rezult M, O i P sunt coliniare.
A
D
M
BO
P
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
30/134
30
2. Dreapta lui Simson. Proieciile ortogonale ale unui punct M pe laturile unui triunghi
ABC sunt coliniare dac i numai dac punctele A, B, C, M sunt conciclice.
Demonstraie:
Fie P, Q, R proieciile lui M pe laturile *BC+, *CA+ i *AB+. Considerm cazul cnd ABC este
ascuitunghic i punctul M aparine arcului AC care nu conine punctul B. Din 090)( ABCm
se deduce c arcul AC ce conine punctul M este arc mic, deci 090)( AMCm i atunci
proiecia Q a punctului M pe *AC+ aparine segmentului. Dac proieciile lui M pe *AB+ i *BC+
sunt A, respectiv C, atunci, proieciile pe laturi A, Q, C sunt coliniare.
Considerm cazul cnd unul din unghiurile BCMBAM , este ascuit i cellalt
obtuz. Presupunem c BAM este obtuz. n acest caz, proiecia R a lui M pe *AB+, conduce
la A[BR].
C
P
B
O
Q
A R
M
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
31/134
31
Deoarece BCM este ascuit rezult P *BC+. (Dac, de exemplu C [BP], CMP are un
unghi drept i altul obtuz ceea ce este fals). Rezult c punctele P i R sunt n semiplane
opuse determinate de dreapta AC. Punctele Q i R aparin cercului de diametru AM i cum
Q*AC+, rezult c punctele Q i R sunt n semiplane opuse determinate de dreapta AM
rezult c patrulaterul AMQR este inscriptibil. Avem )()( RMAmRQAm 900 )( RAMm
900 )( MCBm 900 )()( CMPmMCPm )( CQPm . Din )()( CQPmRQAm i *QC i
*QA semidrepte opuse deci *QP i *QR opuse vom avea c P, Q, R coliniare.
Reciproc: Fie P, Q, R proieciile unui punct M pe laturile unui ABC, astfel nct P, Q, R
coliniare. Presupunem P [BC], Q [AC]. Rezult, conform axiomei de separare c A [BR]
sau B
[AR]. Presupunem A
[BR].
)
()
( MQCmCPMm 90
0
deci PQMC inscriptibil avemc )
()()( MCBmMCPmRQMm ()
. Din )()( ARMmAQMm 900+900=1800 deci MQAR inscriptibil.
Rezult )()( RAMmRQMm ().
Din () i () rezult c )()( RAMmMCBm , cum )()( RAMmMABm 1800, avem
)()( MABmMCBm 1800 atunci BCMA este patrulater inscriptibil rezult B, C, M, A sunt
conciclice.
C.4. Demonstrarea coliniaritii folosind postulatul lui Euclid ( Printr-un
punct exterior unei drepte se poate duce o paralel i numai una la o
dreapt dat.)
Dac dreptele AB i BC sunt paralele cu o dreapt d, atunci n baza postulatului lui
Euclid, punctele A, B, C sunt coliniare.
Exemple:
1. Fie B' i C' mijloacele laturilor *AC+, respectiv [AB], ale unui triunghi ABC. S se
demonstreze c mijloacele nlimii, bisectoarei i medianei corespunztoare vrfului
A se afl pe dreapta B'C'.
A
M N P
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
32/134
32
B` C`
C`
B D E F C
Demonstraie:
Fie M, N i P mijloacele nlimii, bisectoarei i respectiv, medianei din vrful A. BC fiind
linie mijlocie n triunghiul ABC rezult c BC|| BC.
Din ABD, avem B'M || CD i cum D BC rezult c M B'C'. n ACE, [B'N] este linie
mijlocie i folosind acelai raionament rezult N B'C'. La fel se arat c PB'C'. Prin
urmare, punctele B', P, N, M, C' sunt coliniare.
2. Punctul de intersecie al diagonalelor unui paralelogram se afl pe dreapta ce
unete mijloacele a dou laturi ale paralelogramului.
B C
M N
A D
Demonstraie:
Fie paralelogramul ABCD, O punctul de intersecie al diagonalelor *AC+ i *BD+, iar M i N
mijloacele laturilor *AB+ i respectiv, *CD+. n triunghiul ABC, OM este linie mijlocie i, deci
OM || BC, iar ON este linie mijlocie n triunghiul BCD i avem ON || BC. Rezult M, O i N
sunt puncte coliniare.
O
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
33/134
33
A F
H
C
D
B
E G
O
3. Fie ABCD un trapez oarecare. *AB+ baza mare i *CD+ baza mic. Dac M este
simetricul punctului A fa de mijlocul P al laturii *BC+, iar N este simetricul punctului
B fa de mijlocul R al laturii *AD+, s se arate c punctele N, D, C, M sunt coliniare.
Demonstraie:
Din construcie, pentru c *AR+*RD+ i *NR+*RB+ rezult c ABDN este paralelogram rezult
DN || AB. Cum, prin ipotez, DC || AB, rezult c punctele N, D, C sunt coliniare. Analog, se
demonstreaz c i punctele D, C, M sunt coliniare. Prin urmare, M, N DC i deci punctele
N, D, C i M sunt coliniare.
4.
Fie un ABC nscris ntr-un cerc de centru O. Perpendiculara BE pe diametrul AD taie,
din nou cercul n F. Paralelele prin F la CD i CA, taie CA i CD n G, respectiv H. S se
arate c punctele E, G i H sunt coliniare.
Demonstraie:
Patrulaterul AEGF este inscriptibil deoarece )()( FGAmFEAm 900.
Atunci BCABFAEGA , de unde EG || BC. Patrulaterul CHFG este dreptunghi (fiind
paralelogram cu un unghi drept) i deci GCFCGH .
B
MCDN
A
R
P
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
34/134
34
Cum ACBABFGCF rezult ACBCGH , adic GH || BC. Cum EG || BC i
GH || BC rezult c E, G, H coliniare.
C.5. Demonstrarea coliniaritii pornind de la teorema lui Menelaus.
Teorema lui Menelaus
Fie un ABC i punctele A', B', C' situate pe dreptele BC, CA, AB (dou pe segmentele
laturilor triungiului iar celalalt n exterior sau toate 3 situate n afara laturilor triunghiului)
distincte de vrfurile triunghiului. Punctele A', B', C' sunt coliniare dac i numai dac are loc
relaia: 1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
Demonstraie:
Implicaia direct: Presupunem B'[AC], C' [AB], B [A'C], A', B', C'd i vrem s
demonstrm c are loc relaia enunat n teorema lui Menelaus. Construim CD || AB, Dd.
Conform teoremei fundamentale a asemnrii avem A'BC'~A'CD i AC'B'~CDB' rezult
c AC
CD
AB
CB
CD
BC
CA
BA
''
'i
'
'
' ; nmulind membru cu membru aceste egaliti, gsim:
AC
CD
CD
BC
AB
CB
CA
BA
'
'
'
'
'
'
vom avea c1
'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA
Implicaia reciproc:Presupunem c B'[AC], C[AB], B*A'C+ i (1) 1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BAi s
demonstrm c A', B', C'd (sunt coliniare). Vom demonstra c dreptele A'B' i AB nu sunt
paralele.
d
A'
C'
B'
D
CB
A
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
35/134
35
Presupunem prin reducere la absurd c A'B' || AB vom avea 1'
'
'
':,
'
'
'
'
AB
CB
CA
BAdeci
CB
AB
CA
BA
, nlocuind n relaia ()rezult BABCACBC
AC ,'',1
'
'ceea ce este fals.
Deci A'B'AB={C''}. Avem C''[AB] (conform axiomei de separare a planului),
punctele A', B', C'' sunt coliniare i aplicnd () gsim: 1''
''
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA, relaia care
mpreun cu () conduce la
''',''','''
,''
''''
'
'',
''
''
'
'CCBCBC
BC
AB
BC
AB
BC
BCAC
BC
BCAC
BC
AC
BC
AC
, deci A', B', C'
coliniare.
Observaie: Demonstraia teoremei este asemntoare i n cazul cnd toate
punctele se gsesc pe prelungirile laturilor.
Exemple:
1. Teorema Newton-Gauss
ntr-un patrulater complet, mijloacele celor trei diagonale sunt coliniare.
Definiie: Pentru un patrulater ABCD, se numete patrulater complet patrulaterul
ABCDEF, unde {E}=ABCD i F-=BCAD. Segmentele [AC], [BD], [EF] se numesc diagonale
ale patrulaterului complet.
Demonstraie:
D
A
B
C
FE
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
36/134
36
Fie patrulaterul complet ABCDEF, unde ABCD={E}, ADBC=F- i L, M, N mijloacele
diagonalelor AC, BD, EF. n BCE se noteaz cu G, H, K mijloacele laturilor *BE+, *EC+, *CB+.Avem urmtoarele: HK || AE deci HK trece prin mijlocul L al diagonalei AC; GK || ED, deci GK
trece prin mijlocul M al diagonalei BD, GH || BF, deci GH trece prin mijlocul N al diagonalei
EF.
Considerm GHK i punctele MGK, NGH, LKH. S demonstrm c ()
1NG
NH
LH
LK
MK
MG.
Punctele A, D, F fiind coliniare, putem scrie relaia lui Menelaus n raport cu BCE:
1AE
AB
FB
FC
DC
DE(). Folosind proprietatea liniei mijlocii avem: ,
2,
2
DCMK
DEMG
2
ABLK ,
2i
2,
2
FBNG
FCNH
AELH care nlocuite n () conduc la relaia() .
Dreapta celor trei puncte L, M, N se numete dreapta luiNewton-Gauss.
2. Teorema lui Carnot
Tangentele la cercul circumscris unui triunghi n vrfurile lui, intersecteaz toate
laturile opuse n puncte coliniare.
Demonstraie:
A
D
FNE
G
B
L
M
K
HC
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
37/134
37
Fie A', B', C' punctele n care tangentele la cerc duse n vrfurile A, B, C ntlnesc laturile
opuse [BC], [CA], [AB].
2
)()'()(
BAmAABmBCAm
i BAACAA ''
vom avea
BA
AA
AA
CA
AB
ACdeciBAAACA
'
'
'
':,'~'
rezult
)1('
':,
'
'
'
'2
22
BA
CA
AB
ACdeci
BA
AA
AA
CA
AB
AC
i analog pentru tangentele BB' i CC' are loc
)3('
'i)2(
'
'2
2
2
2
BC
BA
CB
AB
CA
CB
AC
BC
nmulind relaiile (1), (2), (3) membru cu membru, obinem: deciCB
AB
AC
BC
BA
CA,1
'
'
'
'
'
'
A', B', C' sunt coliniare. Dreapta celor trei puncte A', B', C' se numete dreapta Lemoinea
triunghiului.
C'
C
A
BA'
B'
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
38/134
38
3. Teorema lui Pascal
Laturile opuse ale unui hexagon nscris ntr-un cerc se taie dou cte dou n trei
puncte coliniare.
Demonstraie:Laturile AB, CD, EF se taie formnd GHK. Pentru a demonstra c punctele L, M, N sunt
coliniare, artm c punctele L, M, N de pe suporturile laturilor GHK verific relaia lui
Manelaus. n GHK, folosind teorema lui Manelaus pentru transversala DE, avem:
1LG
LK
EK
EH
DH
DG(); analog pentru transversala AF i BC. Avem:
1AG
AK
FK
FH
MH
MG() i 1
CH
CG
BG
BK
NK
NH(). Scriind pe rnd puterile punctelor G, H, K
fa de cerc, rezult: GDGCGAGB ()
HFHEHCHD
KBKAKEKF
nmulind ntre ele relaiile (), (), () i folosind relaiile () rezult c
1NK
NH
MH
MG
LG
LK, ceea ce conform teoremei lui Menelaus implic coliniaritatea punctelor
L, M, N
Observaii:
MN
L
E
F
KAB
G
C
D
H
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
39/134
39
P
DA
F
CNB
EO
M
1. Teorema lui Pascal rmne valabil i pentru hexagonul concav nscris ntr-un cerc.
2. Teorema lui Pascal este valabil i pentru pentagonul inscriptibil (degenerat dintr -un
hexagon cu dou vrfuri confundate).
n acest caz o latur este nlocuit cu tangenta la cerc n punctele de contact
confundate.
3. Teorema este adevrat i pentru patrulaterul inscriptibil; punctele de intersecie ale
laturilor opuse i ale tangentelor n vrfurile opuse la cerc, sunt patru puncte coliniare.
4. n cazul triunghiului nscris, obinem teorema lui Carnot.
C.6. Demonstrarea coliniaritii prin identificarea unei drepte ce conine
punctele respective.
Altfel spus, Punctele A, B, C au proprietatea p iar locul geometric al punctelor din plan cu
propietatea p este situat pe o dreapt.
Observaie. Aplicarea acestui procedeu presupune evident, cunoaterea de ctre rezolvator
a unor propieti p n condiiile specificate.
Exemple:
1. Fie trapezul ABCD (AD || BC) i fie M, N mijloacele bazelor AD i BC, iar P i O punctele
de intersecie ale laturilor neparalele, respectiv diagonalelor. S se demonstreze c
punctele M, O, N i P sunt coliniare.
Demonstraie:
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
40/134
40
Fie E i F punctele de intersecie cu laturileAB, respectiv CD ale paralelei la baze dus prin
O.
Din AEO~ABC, avemAC
AO
BC
EO i din DFO~DCB, avem
BD
OD
BC
OF . ns,
BD
OD
AC
AO i atunci rezult c
BC
OF
BC
EO de unde OFEO deci O mijlocul lui [EF]. Prin
urmare, punctele M, N i P sunt coliniare fiind situate pe mediana din P a APD.
2. Fie un triunghi ABC i D, E, F, G proieciile lui A pe bisectoarele interioare i exterioare
ale unghiurilor ABC i ACB . S se arate c punctele D, E, F, G sunt coliniare.
Demonstraie:
Fie D, E proieciile lui A pe bisectoarele din B. Patrulaterul ADBE este dreptunghi i
atunci DE trece prin mijlocul C' al [AB].
Cum '2
'(' BCAB
ECABEEBC i EC'B isoscel) i
EBCEBCdeciEBCABE ':, (alt. int.) rezult c C'E || BC.
Deoarece paralela prin C' la BC este linie mijlocie n ABC rezult cC'E trece i prin
B', mijlocul *AC+. Prin urmare, punctele D i E se afl pe dreapta C'B'.
Analog, se arat c, punctele F i G se afl pe dreapta B'C'. Am identificat astfel,
dreapta B'C' pe care sunt situate punctele D, E, F i G.
II. Criterii vectoriale de demonstrare a coliniaritii
A
G
CB
D F
C' B' E
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
41/134
41
C.7. Fie A, B, C trei puncte distincte n plan. Punctele A, B, C sunt coliniare
dac i numai dac exist Rastfel nct ACAB .
( Relaia exprim condiia necesar i suficient ca vectorii AB i ACs fie coliniari).
Observaie. Propoziia rmne adevrat dac nlocuim condiia ACAB cu
,, ABACBCAC etc.
Exemple:
1. ntr-un triunghi centrul cercului circumscris, centrul de greutate i ortocentrul
sunt puncte coliniare.
Demonstraie: Fie ABC i O, G, H punctele specificate. Din relaia lui Leibniz avem
MCMBMAMG 3 ; pentru M = O se obine c OHOCOBOAOG 3 . Aadar
OG i OH sunt vectori coliniari, deci punctele O, G, H sunt coliniare i GH = 2OG. Dreapta
pe care se afl punctele O, G, H se numete dreapta lui Euler.
2. Se consider paralelogramul ABCD i punctele M [AB], N [DM] astfel nct AM
= MB i MD = 3MN. S se demonstreze c punctele A, N, C sunt coliniare.
Demonstraie: Folosind operaiile cu vectori se obin relaiile AN = AM+ MN i
CN = CD + DN . Se nmulete prima relaie cu 2 i prin adunare cu a doua egalitate se
obine: 2AN + CN = 2AM + 2MN + CD + DN = 2AM + 2MN 2AM 2MN= 0
Aadar 2AN + CN = 0, deci vectorii AN i CN sunt coliniari. Rezult c punctele A, N, C
sunt coliniare.
C.8. Punctele A, B, C sunt coliniare dac i numai dac exist dou
numere x, yRcu propietatea x + y = 1, astfel nct, pentru orice punct O
E2
s avem OByOAxOC .
A
C
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
42/134
42
O B
Demonstraie:
Implicaia direct: Fie raportul n care punctul C mparte segmentul AB , deci avem
CBCA , rezult
)(1
1OBOAOC
sau OBOAOC
11
1.
Notm1
1= x,
1= y, deci x y = 1 i OByOAxOC .
Implicaia reciproc: Fie x, y dou numere reale nenule, cu x y = 1, astfel nct
OByOAxOC .
Avem CByCAxOCyxCBOCyCAOCxOC )()()(
Cum x + y = 1 vom avea 0 CByCAx rezult c CBx
yCA vom avea c punctele C,
A, B sunt coliniare.
Observaie:
Punctele A, B, C sunt coliniare dac i numai dac exist un numr tR, t 0 astfel nct
OBtOAtOC )1( , O)( E2 (consecin a propietii anterioare).
C.9. Fie A, B, C trei puncte n plan de afixe CBA zzz ,, C.A, B, C sunt coliniare
dac i numai dac .*Rzzzz
AC
AB
Exemplu:
1. Artai c punctele A(1;2), B(-5;-1), C(7;5) sunt coliniare.
Demonstraie: Considerm afixele celor trei puncte:
,21 izA ,5 izB ,57 izC avem de artat c .*R
zz
zz
AC
AB
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
43/134
43
ntr-adevr: .136
36
2157
215 *Ri
i
ii
ii
zz
zz
AC
AB
III. Criterii de coliniaritate a trei puncte cu ajutorul coordonatelor
C.10. Trei puncte ),(),,(),,( CCBBAA yxCyxByxA sunt coliniare dac i numai
dac
AB
AC
AB
AC
yy
yy
xx
xx
ABAC mm
(adic cele dou drepte au coeficeniiunghiulari egali).
Exemplu:
1. Artai c punctele A(1;2), B(-5;-1), C(7;5) sunt coliniare.
Demonstraie: Determinm coeficienii unghiulari (pantele) ai dreptelor AB i AC iar dac
sunt egali rezult coliniaritatea celor 3 puncte.
2
1
15
21
AB
ABAB
xx
yym
2
1
17
25
AC
ACAC
xx
yym
Adic ACAB mm deci punctele A, B, C sunt coliniare.
C.11. Trei puncte ),(),,(),,( CCBBAA yxCyxByxA sunt coliniare dac i numaidac
0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
.
Exemple:
1. n planul euclidian raportat la un jioccs
;;0... se consider 8,4;1,2 BA i
11,6C . Artai c punctele sunt coliniare.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
44/134
44
Demonstraie:
A, B, Ccoliniare dac i numai dac: 0
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
0
1116
184
112
02244864416 00 , deciA, B, Ccoliniare.
2. n planul euclidian raportat la un jiOoccs
;;... fie punctele 3,0;8,4;0,8 CBA .
Dreapta BC intersecteaz axa OX n D, iar dreapta AB intersecteaz axa OY n E.
Artai c mijloacele segmentelor ,OB ,AC DE sunt coliniare.
Demonstraie.
Fie EOYABDOXBC ,
Se determin ecuaia dreptelorABi BCcalculnd coordonatele punctelor Di E.
BC:BC
B
BC
B
yy
yy
xx
xx
BC:83
8
40
4
yx
BC:5
8
4
4
yx
BC: 8445 yx
BC: 0322045 yx
BC: 01245 yx
DOXBC
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
45/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
46/134
46
0005
153 M, N, Pcoliniare.
2. Teoreme i probleme de coliniaritate (aplicaii)
1. Teorema lui Menelaus
Fie ABC un triunghi i D, E i F trei puncte coliniare distincte astfel nct DBC, EAC
i FAB (dou din puncte situate pe laturile triunghiului iar celalalt pe prelungirea celei de-a
treia laturi sau toate trei situate pe prelungirile laturilor triunghiului) . Atunci are loc relaia:
1FB
AF
EA
CE
DC
BD.
Demonstraia teoremei lui Menelaus folosind triunghiuri asemenea:
Demonstraie: A
B`
F
A`
E
C`
B C D
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
47/134
47
Proiectm vrfurile A, B i C ale triunghiului pe dreapta D EF, n punctele A`, B` i C`.
Aplicm teorema fundamental a asemnrii n urmatoarele perechi de triunghiuri:
DB`B~DC`C rezultDC
DB
CC
BB
`
`
AA`F~BB`F rezultFB
AF
BB
AA
`
`
CC`E ~AA`E rezultEA
CE
AA
CC
`
`.
nmulind cele trei relaii obinem: 1 FB
AF
EA
CE
DC
BD
.
Demonstraiateoremei lui Menelaus folosind omotetia
Demonstraie:
A
M E
F
B C D
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
48/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
49/134
49
Fie ,, rapoartele n care punctele''' ,, CBA divid bipunctele (B,C), (C,A), (A,B)
Deoarece ;'' CABA ;'' ABCB BCAC ''
;1
'
ACABAA ;
1
'
BABCBB
1
' ACCACC
Dar,
1111
11
1''''
ACABACABACAAABAB
ACAB
CBCABCCCCACA
111
1
11
1''''
Din ''' ,, CBA coliniare rezult ''AB i ''CA sunt vectori coliniari
1
1
11
1
1
11
11
1 deci
11
1
1
obinem
011 rezult c 1
Reciproca teoremei lui Menelaus
Fie ABC , dac 'A aparine lui BC, 'B aparine lui CA, 'C aparine lui AB i dac
''' ,, CBA sunt situate dou pe laturi i unul pe prelungirea laturii sau toate trei pe
prelungirile laturilor i dac 1'
'
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA() atunci punctele ''' ,, CBA sunt
coliniare.
Demonstraie:
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
50/134
50
Presupunem c dou dintre puncte sunt situate pe dou laturi ale triunghiului, iar
unul este situat pe prelungirea celei de-a treia laturi.
Presupunem c punctele ''' ,, CBA nu sunt coliniare.
Atunci dreapta ''BA ar intersecta laturaABntr-un punct C" diferit de 'C .
Aplicnd teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare '' ,BA ,C" obinem:
1''
''
'
'
'
'
BC
AC
AB
CB
CA
BA ()
Din relaiile ()i ()rezult cBC
AC
BC
AC
''
''
'
' .
Ar nsemna c segmentul AB este mprit de punctele interioare C' i C"n acelai
raportcontradicie (exist un singur punct interior unui segment care mparte segmentul
ntr-un raport dat). Rezult C"= C'i deci punctele ''' ,, CBA sunt coliniare
2. Aplicaie direct la teorema lui Menelaus
n figura de mai jos avem: AP = 6, PB = 16, BC = 30, CQ = 18 i CA = 24. Punctele P, Q
i R sunt coliniare. S se arate c R este mijlocul lui AC.
A
C'
C''
A
B'
A'
B C
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
51/134
51
P
R
B C Q
Rezolvare:
n ABC aplicm teorema lui Menelaus pentru punctele coliniare P, Q i R, avem:
1PB
AP
RA
CR
QC
BQavem 1:,1
18
48
16
6
RC
ARdeci
RC
AR, deci AR = RC, ceea ce nseamn c R
este mijlocul lui AC.
3. Teorema lui Euler
n orice triunghi ABC, ortocentrul, centrul de greutate i central cercului circumscris
triunghiului sunt coliniare (sunt situate pe aceiai dreapt, numit dreapta lui Euler).
Demonstraie:
Fie A` mijlocul segmentului BC, A`` punctul diametral opus lui A, H intersecia nlimilor, G
centrul de greutate i O centrul cercului circumscris. Deoarece BH || CA`` i CH || BA``
A
B C
B1
B`
H G O
A1 A`
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
52/134
52
A``
rezult c BHCA`` este paralelogram ; A` este mijlocul segmentului HA`, deci OA ll AH i OA`=
2
1 AH.
Fie {G} = HO AA`. Avem AHG ~ A`OG, raportul de asemnare fiind2
1
`
OA
AH
rezult AG = 2GA`, ceea ce arat c G estetocmai centrul de greutate al ABC.
Deci punctele H, G i O sunt coloiniare i HG = 2GO.
Demonstraia 2:
Fie A` mijlocul laturii BC i 1A proiecia lui A pe BC, analog considerm punctele B` i 1B .
AHB ~A`OB` (au laturile paralele), 2`
,2``
OA
AHavem
BA
AB.
Vom uni pe G cu H i G cu O. Pentru a arta c ` AGOAGH se observ c`GA
AG= 2,
G fiind centru de greutate, iar OGAAGH ` deci AHG~GA`O, adic semidreptele *GH i
[GO sunt n prelungire; n plus HG = 2GO.
4. Dreapta ortic
Fie ABC un triunghi neisoscel i nedreptunghic i fie A` proiecia lui A pe BC, B`
proiecia lui B pe AC i C` proiecia lui C pe AB (A`, B`, C` sunt vrfurile triunghiuluiortic). Fie {M} = BC B`C`, {P} = AC A`C`, {N} = AB A`B`. Atunci M, N i P se gsesc
pe o aceiai dreapt (numit dreapta ortic a triunghiului).
Demonstraie:
N
P A
C` B`
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
53/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
54/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
55/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
56/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
57/134
57
A F
H
C
D
B
E G
O
F CB
E
A H D
GO
Atunci BCABFAEGA , de unde EG || BC. Patrulaterul CHFG este dreptunghi (fiind
paralelogram cu un unghi drept) i deci GCFCGH .
Cum BCACGHACBdeciABFGCF , adic GH || BC. Cum EG || BC i GH ||
BC E, G, H coliniare.
10.n trapezul isoscel ABCD (BC || AD), circumscris unui cerc, fie E, F, G, H punctele de
tangen ale cercului cu laturile AB, BC, CD i DA, iar O punctul de intersecie al
diagonalelor. S se arate c punctele E, O i G sunt coliniare.
Demonstraie: *EB+ [BF], [EA] [AH] ca tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc.
Atunci avem:AD
BC
AH
BF
EA
EB ;
OD
BO
AD
BCdeciBOCAOD :,~ .
DinOD
BO
EA
EBdeci
OD
BO
AD
BC
AD
BC
EA
EB :,i
i conform R.T. Thales rezlt c EO || AD.
Analog se arat c OG || AD i atunci rezult c punctele E, O i G sunt coliniare.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
58/134
58
11.Un patrulater inscriptibil are diagonalele perpendiculare. S se arate c
perpendiculara dus din punctul de intersecie al diagonalelor pe una din laturi trece
prin mijlocul laturei opuse.
Demonstraie:
Fie patrulaterul inscriptibil ABCD cu AC BD i fie P punctul de intersecie al diagonalelor.
Fie apoi PF BC i E mijlocul *AD+. Prelungim FP i fie E' punctul de intersecie al dreptelor
FP i AD. Avem CPFDBCDAC . ns 'APECPF (opuse la vrf) i deci
'APEDAC rezult E'AP isoscel rezult c E'P = E'A.
Analog se arat c E'PD este isoscel rezult E'P = E'D. Din E'P = E'A i E'P = E'D vom avea
E'A = E'D rezult c E' mijlocul *AD+, de unde E=E'. Aadar dreapta FP trece prin mijlocul
*AD+, adic punctele F, P i E sunt coliniare.
12.n ABC se consider punctele M, N, P pe laturile *BC+, *CA+ i respectiv *AB+, astfel
nctPB
PA
NA
NC
MC
MB . Se noteaz cu D mijlocul *BC+, iar prin Q simetricul lui A fa
de mijlocul *MN+. S se demonstreze c punctele P, D i Q sunt coliniare.
Demonstraie:
A
E
D
E'
P
O
F
C
B
A
P
S
BM D C
N
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
59/134
59
Paralela dus prin N la BC taie latura *AB+ n S, atunci:MCBM
NACN
SASB i, deci, SM || AC.
DinPB
PA
MC
BM
SA
SB , urmeaz c SB = PA i SA = BP.
Patrulaterul MSNC este paralelogram i, deci, SC trece prin mijlocul segmentului *AQ+;
urmeaz c patrulaterul ASQC este paralelogram. Am redefinit astfel punctul D ca fiind
mijlocul diagonalei *PQ+ a paralelogramului BQCP, de unde urmeaz c P, D i Q sunt
coliniare.
13.Fie ABC nscris n cercul de centru O, cu 00 45)(i60)( CmBm
. S se
demonstreze c mijlocul M al laturii *AC+, centrul O al cercului i proiecia D a lui A pe
latura [BC] sunt coliniare.
Demonstraie:
Deoarece AM=MC OM AC. Notm D' intersecia dreptelor OM i BC; atunci D'MC este
dreptunghic isoscel pentru c 045)( Cm
. Rezult c D'M=MC=MA vom avea c AD'C este
dreptunghic i deci AD' BC. Cum din ipotez AD BC rezult c D' = D. Prin urmare, M, O,
D sunt puncte coliniare.
A
M
O
600 0
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
60/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
61/134
61
Deoarece FE[ i FC[ formeaz cu dreapta ADFAD unghiurile congruente
DFCAFE , rezult c FE[ i FC[ sunt n prelungire, deci punctele C, F, E sunt
coliniare.
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
62/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
63/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
64/134
64
Fie TMPAC . Analog se arat c CPTAMT sinsin i aplicnd teorema
sinusului n triunghiurile ATMi CTPobinem relaia:CP
AM
CT
AT (2)
Deoarece AQAM , CPCN , din relaiile (1) i (2) rezultCT
AT
CS
AS , adic punctele Si
Tcoincid. Deci dreptele MP, NQ,ACsunt concurente n T.
C.2. Dreptele 1d, 2d , 3d sunt concurente dac i numai dac 1 2 { }d d M i
3M d .
Exemple:
1. Fie un trapez ABCD ( ||AB CD ). Se construiesc n exterior triunghiurile echilaterale
ABM i CDN. S se arate c dreptele AC, BD i MN sunt concurente.
M
A B
O
D C
N
Demonstraie:
Fie { }O AC BD
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
65/134
65
Deoarece OAB~OCB rezultOA AB
OC DC i cum ,AB AM DC CN obinem :
OA AM
OC CN ()
Dar )()()()(60)( OCNmOCDmDCNmBAOmMAOm
i deci MAO ~NCO(conform relaiei ()). Obinem astfel c )()( NOCmMOAm ,
adic O MN i drepteleAC, BD, MNsunt concurente.
2. Fie ABCD un patrulater convex i ( )M AB , ( )N BC , ( )P CD i ( )Q DA . Dac
dreptele MN, PQi ACsunt concurente s se arate c dreptele NP, MQ i BD sunt
concurente sau paralele.
O
C
P
N
B
S O D
M Q
A
Demonstraie:
Fie { }O MN PQ AC
Aplicm teorema lui Menelaus i obinem:
1MA NB OAMB NC OC
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
66/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
67/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
68/134
68
Punctul I se numete centrul cercului nscris n triunghi deoarece se gsete la
aceeai distan fa de cele trei laturi ale triunghiului.
2. nlimile unui triunghi sunt concurente.
Demonstraie:
Fie H-=AA BB i C-= CH AB
Ducem paralela prin C la AB i notm cu A i B punctele de intersecie ale acestei paralele
cu dreptele AA, respectiv BB.
DinHC
HC
CA
ACavemCHAHAC
"
"
":,"~" (1).
Analog, din :,'~" avemCHBHBC HC
HC
CB
BC "
"
" (2)
Din relaiile (1) i (2) obinem:"
"
"
"
"
"
"
"
CB
CA
BC
ACsau
CB
BC
CA
AC (3)
Dar din ,'
'":,'~'"
BA
CA
BA
CAavemBAAACA de unde
'
'"
BA
CABACA
(4)
B''
C
A''
A'B
C''C'
H
B'
A
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
69/134
69
Analog, din'
'",
'
'":,'~'"
AB
CBABCB
AB
CB
AB
CBavemABBBCB
(5)
Cu relaiile (4) i (5), egalitatea (3) devine :
'
'
'
'
''
''':
'
"
"
"
"
CB
AB
BA
CA
CBBA
ABCA
AB
CBAB
BA
CABA
CB
CA
BC
AC
i din lema 2, avem
Aplicnd lema 1obinem :
1'
'
CABC
CBACdeci
'
'
'
'
BC
AC
BC
CA , adic "' CC i deci trei nlimi sunt concurente.
Punctul H se numete ortocentrul triunghiului.
Observaie: Faptul c n demonstraia de mai sus s-a folosit un triunghi ascuitunghic nu
este esenial, demonstraia se face la fel i n cazul unui triunghi obtuzunghic.
Cazul triunghiului dreptunghic este banal.
3. Medianele unui triunghi sunt concurente.
Demonstraie:Fie ABC n care *AA+, *BB+, *CC+ sunt mediane.
A B``
C`` B`
C`
B A` C
A
Fie G- =AA BB
Deoarece *CC+ este median, avem CA = CB (1)
'
'
'
'
'
'
'
'
"
"
BC
AC
CABC
CBAC
CABC
ACBA
BC
CB
AB
AC
BC
AC
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
70/134
70
Ducem paralela prin C la AB i notm cu A i B punctele de intersecie a dreptelor AA,
respectiv BB cu aceast paralel. Fie C-=CG AB.
Din )2("
"
":,"~"
GC
GC
CA
ACavemCGAGAC .
Analog, din )3("
"
":,"~"
GC
GC
CB
BCavemCGBGBC
Din relaiile (2) i (3) obinem : )4("
"
"
"
"
"
"
"
CB
CA
BC
ACsau
CB
BC
CA
AC
Dar, din )5(":,"" ABCAavemBAAACA .
Analog, din )6(":,''" ABCBavemABBBCB .
Cu relaiile (5) i (6), realia (4) ne conduce la )7("" BCAC .
Comparnd relaiile (1) i (7), obinem c ,"' CC deci cele trei mediane ale ABC sunt
concurente. n plus, din relaia (2) : ,"
"
"
GC
GC
CA
AC deducem c
2
1"
GC
GC ceea ce
exprim faptul c G se afl pe mediana GC la 2/3 de vrful C i la 1/3 de punctul C de peAB.
Punctul G se numete centrul de greutate al triunghiului.
4. Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente.
Demonstraie:
Mediatoarele sunt concurente cci sunt nlimi n triunghiul median ABC al triunghiului
dat ABC. Punctul O de intersecie al mediatoarelor triunghiului se numete centrul cercului
circumscris triunghiului.
5. Fie I, punctul de intersecie al diagonalelor trapezului ABCD, E i F mijloacele
bazelor *AB+ i *CD+ ale trapezului, iar G i H mijloacele diagonalelor *AC+ i *BD+.
Se iau punctele I i I, simetrice punctului I n raport cu G, respectiv H. S se
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
71/134
71
arate c dreptele EF, HI i GI sunt concurente i 2GK =KI, unde K este punctul
de intersecie al dreptelor GI i HI.
Demonstraie:
Cum I este simetricul lui I fa de G, iar I este
simetricul lui I fa de H rezult 'GIIG i
"HIHI .
Prin urmare, GI i HI sunt mediane n "'III i
Deci EF, HI i GI sunt concurente, iar 2GK = KI.
C.4. Demonstrarea concureneifolosind teorema lui Ceva
Teorema lui Ceva:
Fie ABC i punctele M AB, N BC i P AC astfel nct MBMA , NCNB ,
PAPC i dreptele AN, BP, CM s nu fie paralele dou cte dou. Atunci dreptele AN, BP,
CM sunt concurente dac i numai dac 1 .
Observaii:
Formularea clasic a teoremei lui Ceva este urmtoarea: n ABC punctele A` (BC), B`
(AC), C`(AB) sau doar unul din punctele A`, B`, C` aparin triunghiului i AA`, BB`, CC` nu
sunt paralele dou cte dou, n aceste condiii:
AA`, BB`, CC` sunt concurente 1`
`
`
`
`
`
BC
AC
AB
CB
CA
BA.
B
CD
A
I'
G H
I
F
E
K
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
72/134
72
Cu precauiile necesare, ambele formulri sunt utilizate.
Folosind reciproca teoremei lui Ceva se pot regsi uor concurena medianelor i
bisectoarelor.
De obicei implicaia direct se numete teorema lui Ceva sau teorema cevienelor iar
implicaia indirect se numete reciproca teoremei lui Ceva.
Demonstraie:Notm{O} = BP AN, {S} = MC AN. Aplicm teorema lui Menelaus pentru
triunghiul ABN i transversala CM. Se obine relaia 1OA
ON
CN
CB
Mb
MA sau
1
1
OA
ON, (1). Din teorema lui Menelaus n triunghiul ACN i transversala BP
obinem : 1SN
SA
PA
PC
BC
BN, de unde rezult c
11
1
SN
SA, (2). Dreptele AN, BP, CM
sunt concurente dac i numai dac O = S. Din relaiile (1) i (2) se obine c )1( =
))1
(1
sau ) )1)(1( =0.
Dac 1 atunci 1 i teorema este demonstrat.
Dac 1 atunci NCNB sau 0BC
Exemple:
1.
n triunghiul ABC cu m(A
) =900
, construim AD BC, D*BC+ i bisectoarea [AE, E*BC+. Notm cu L i F proieciile punctului E pe catetele *AB+ i
A
M P
B N C
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
73/134
73
* AC+. S se arate c dreptele AD, BF i CL sunt concurente.
Demonstraie:
Fie a, b, c lungimile laturilor [BC], [AC], [AB].Aplicnd teorema bisectoarei, avem:
(1) ;b
c
CE
BE EF ||AC rezult
EB
CE
LB
AL (2)
Din (1) i (2) rezultcb
LBAL (3)
EF||AB rezult cEB
CE
FA
CF (4)
C
Din (1) i (4) vom aveac
b
FA
CF (5)
Conform teoremei catetei, obinem c
2
=BDa i b
2
= CD a, deci, 2
2
b
c
DC
BD
(6)
Din (3), (5)i (6) : 12
2
c
b
b
c
c
b
FA
CF
DC
BD
LB
AL i conform teoremei lui Ceva,
dreptele AD, BF i CL sunt concurente.
2. (Teorema lui Gergonne). Fie triunghiul ABC i D, E, F punctele de contact ale
cercului nscris cu dreptele BC, CA, AB. S de demonstreze c AD, BE i CF sunt
concurente.
Demonstraie:
Avem AE = AF, BF=BD i CD =CE ca tangente
duse dintr-un punct exterior la cerc. innd
seama de aceste egaliti, avem:
,1FB
FA
EA
EC
DC
DBdeci, conform reciprocei
teoremei lui Ceva, dreptele AD, BE i CF sunt
concurente sau paralele.
A
B D E
LF
A
F
B D C
E
G
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
74/134
74
Mai mult, D *BC+ i *BC+ Int ( BAC ) rezult c
D Int ( BAC ). Aplicnd teorema transversalei, rezult c *AD [BE] ; de aici rezult
c *AD+ nu poate fi paralel cu BE.
Deci dreptele AD, BE i CF sunt concurente.Punctul de concuren se noteaz cu G i se numete punctul lui Gergonne.
Observaie:Dreptele care unesc punctele de contact ale fiecrui cerc exnscris unui
triunghi cu vrfurile opuse sunt concurente (teoremele adjuncte ale lui Gergonne).
Demonstraia este asemntoare. Punctele Ra, Rb i Rcse numesc puncte adjuncte ale lui
Gergonne.
C.5. Izogonalele a trei ceviene concurente sunt drepte concurente.
n particular, simedianele unui triunghi sunt concurente (punctul lui Lemoine al
triunghiului).
Dreptele CM i CM sunt izogonale n raport cu unghiul C dac ele fac acelai unghi cu
laturile acestuia, sau, altfel spus, dou drepte izogonale sunt egal nclinate pe bisectoarea
unghiului.
Cevienele izogonale cu medianele unui triunghi se numesc simedianele triunghiului.
Exemple:
1. (Teorema lui Steiner).
Dac dou ceviene izogonale din vrful A al unui triunghi taie latura opus *BC+ n
punctele D i E, atunci are loc relaia :2
2
AC
AB
CE
BE
CD
BD .
Demonstaie:
Ducem prin punctele B i C dreptele d i d, paralele la AC, respectiv AB i considerm
punctele d AD = M-, d AE = {N}.
Fie AD i AE ceviene izogonale din vrful A al triunghiului ABC rezult m(A 1) = m( 2A ).
Din d||AC rezultAC
BM
CD
BDavemCADBMD ,~
Din d'||AB rezultCN
AB
CE
BEavemCENBEA ,~
Din m( 1
A )= m( 2
A ) (prin ipotez )i m( MBA )
A
C
NM
B D E
(d')(d)
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
75/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
76/134
76
11BA , 22BA , 33BA sunt concurente exit un unic P astfel nct P 11BA , P 22BA , P
33BA
,,, 321
xxx astfel nct 1111)1( OBxOAxOP
2222)1( OBxOAx
=
3133)1( OBxOAx oricare ar fi punctual O.
Poziia lui P pe fiecare din dreptele 11BA , 22BA , 33BA se poate preciza considernd
O = P. Astfel 1111)1( PBxPAx 2222)1( PBxPAx 3133)1( PBxPAx = 0 ,
deci 11
11
1PBx
x
PA ,2
2
22
1PBx
x
PA , 33
33
1PBx
x
PA , adic
1);,(
1
111
x
xPBA ,
1);,(
2
222
x
xPBA ,
1);,(
3
333
x
xPBA .
Exemple:
1. Fie triunghiulABCi CCBBAA ,, cele trei nlimi. Dac HBBAA
atunci CCH .
Demonstraie:
Fie nlimile AA' i CC' i H punctul lor de intersecie. Se unete B cu H i se
prelungete segmentul BH pn n .ACB Atunci ;HBHCBC ;HAHBAB
A
B CA'
B'
H
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
77/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
78/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
79/134
79
07510:3 yxd
Stabilii dac dreptele1
d , 2d i 3d sunt concurente.
Demonstraie:
Calculnd 040760401528
7510
421
312
Deci dreptele1
d , 2d i 3d sunt concurente.
2. Se consider ntr-un s.c.c.o urmtoarele drepte:
05:1 yxd
012:2 yxd
052:3 yxd
Stabilii dac dreptele1
d , 2d i 3d sunt concurente.
Demonstraie:
Calculnd 012520225
052
121
511
Deci dreptele1
d , 2d i 3d nu sunt concurente.
2. Teoreme i probleme de concuren (aplicaii)
1. Demonstrarea teoremei lui Ceva folosind metoda analitic
n ABC punctele A` (BC), B` (AC), C`(AB) sau doar unul din punctele A`, B`, C`
aparin triunghiului i AA`, BB`, CC` nu sunt paralele dou cte dou, n aceste condiii:
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
80/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
81/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
82/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
83/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
84/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
85/134
85
6. Teorema lui Nagel. DacA', B', C' sunt punctele de contact ale cercurilor exnscrise
cu laturile triunghiului ABC, BCA , CAB , ABC , atunci dreptele AA',
BB', CC'sunt concurente (Punctul Nde concuren al celor trei drepte se numete
punctul lui Nagel).
Demonstraie:
Fie a, b, c lungimile laturilor triunghiului (BC= a,AC = b,AB = c) i fiepsemiperimetrul
triunghiului.
Fie ABx , CAy , atunci: ayx i bycx
Rezult: bacx 2 , adic cpx i bpy
Se obine:bp
cp
CA
BA
. n mod analog se obin relaiile:
cp
ap
AB
CB
;
ap
bp
BC
AC
A
BC
C'
A'
B'N
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
86/134
86
Rezult: 1
BC
AC
AB
CB
CA
BA i din reciproca teoremei lui Ceva rezult c drepteleAA', BB',
CC'sunt concurente.
7.
Fie un paralelogramABCDi fie E, F BD astfel nct FDEFBE . Se noteaz
GAEBC , HAFCD , LCEAB , MCFAD . S se arate c
drepteleAC, EF, LHsunt concurente.
Demonstraie:
Triunghiurile ADEi BCFsunt congruente (AD=BC, BDBFED3
2 , CBEADE )
rezult relaia CFAE ()
Triunghiurile ADFi BCEsunt congruente (AD = BC, BDBEFD3
1 , CBEADF )
rezult relaia ECAF ()
Din () i () rezult c patrulaterulAECFeste paralelogram.
Deci drepteleACi EFtrec prin punctul O(mijlocul segmentului AC i al segmentului EF
).
Rezult c drepteleAC, EFi LHsunt concurente.
8. Bisectoarele exterioare a dou unghiuri a unui triunghi sunt concurente cu
bisectoarea interioar a celui de-al treilea unghi ntr-un punct aI (centrul cercului
exnscris).
A D
CB
M
G
HLO
F
E
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
87/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
88/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
89/134
89
Aceast egalitate este echivalent cu:CN
ANCD
BM
BDAM
care mai poate fi scris:
1AN
CN
CD
BD
BM
AM, de unde folosind teorema reciproc a teoremei lui Ceva rezult cAD,
BNi CMsunt concurente.
10. Considerm paralelogramul ABCD i fie E, F puncte pe diagonala BD, astfel nct
BE=EF=FD. Se noteaz cu G, H, L, M punctele de intersecie ale perechilor de drepte
BC i AE, CD i AF, AB i CE, respectiv AD i CF. S se demonstreze c dreptele AC, EF
i LH sunt concurente.
Demonstraie:
AD=BC, CBFEDA
, DE=BF, rezult c ADEBCF atunci AE = CF
AD=BC, CBEFDA
, DF=BE, rezult c ADFBCE atunci AF = EC
Rezult c AECF paralelogram i EF trece prin mijlocul O al diagonalei *AC+.
Cum AF || EC, AHCL paralelogram i prin urmare, diagonala *LH+ trece prin mijlocul O al
diagonalei *AC+. Aadar, dreptele AC, EF i LH sunt concurente.
A M D
H
CGB
L
EO
F
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
90/134
90
11.S se arate c perpendicularele prin mijloacele laturilor unui triunghi pe laturile
triunghiului ortic (determinat de picioarele nlimilor triunghiului dat) sunt
concurente.
Demonstraie:
Fie D, E i F picioarele nlimilor n ABC i fie A, B, C mijloacele laturilor *BC+, *CA], [AB].
Ducem AM FDPBEF ', i .' DEHC n BEC dreptunghic, AE este mediana
relativ la ipotenuz i deci
.
2
' BC
EA Analog AF este median n BCF dreptunghic
Aadar, EFA' este isoscel. Cum AM este nlimea relativ la baz n EFA" isoscel
rezult c AM este i mediatoarea segmentului *EF+. Analog, se arat c BP i CN sunt
mediatoarele laturilor *FD+, respective *DE+. Prin urmare, dreptele AM, BP i CN, fiind
mediatoarele laturilor triunghiului FDE sunt concurente ntr-un punct Q.
AA'DB
C'
F
A
E
B'
NQ
P
M
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
91/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
92/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
93/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
94/134
-
8/10/2019 Bordanc-lucrare Grad D.bordinc(2)
95/134
95
Se noteaz cu O punctul de intersec