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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Definition 1: Sei B = ππ2 = 0,1 das Alphabet mit den Elementen 0 und 1. Seien auf π΅π΅ die folgenden 3 Operatoren definiert fΓΌr π₯π₯,π¦π¦ β B:
π₯π₯ + π¦π¦ β max π₯π₯,π¦π¦ π₯π₯ β π¦π¦ β min π₯π₯,π¦π¦ π₯π₯ β 1 β π₯π₯
Dann ist (B, +, Β·, οΏ½ ,0 ,1) eine Boolesche Schaltalgebra. Die Elemente 0,1 werden neutrale Elemente genannt. Besteht das Alphabet B aus mehr als den neutralen Elementen, so wird die darauf basierende Algebra als Boolesche Algebra bezeichnet.
Boolesche (Schalt-) Algebra (1)
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (2)
Satz 1: In dieser Algebra gelten folgende Rechengesetze β’ Kommutativgesetz: β’ Assoziativgesetz: β’ Distributivgesetz β’ Komplementgesetz: β’ Idempotenzgesetz: β’ Gesetz vom kleinsten
und grΓΆΓten Element: β’ de Morgansche Regeln:
π₯π₯ + π¦π¦ = π¦π¦ + π₯π₯ π₯π₯ + π¦π¦ + π§π§ = π₯π₯ + π¦π¦ + π§π§ π₯π₯ β π¦π¦ + π§π§ = π₯π₯π¦π¦ + π₯π₯π§π§ π₯π₯ + π₯π₯ = 1 π₯π₯ + π₯π₯ = π₯π₯ π₯π₯ + 0 = π₯π₯ und π₯π₯ + 1 = 1
π₯π₯ + π¦π¦ = π₯π₯ β π¦π¦
π₯π₯ β π¦π¦ = π¦π¦ β π₯π₯ π₯π₯ β π¦π¦ β π§π§ = π₯π₯ β π¦π¦ β π§π§ π₯π₯ + π¦π¦ β π§π§ = π₯π₯ + π¦π¦ β π₯π₯ + π§π§ π₯π₯ β π₯π₯ = 0 π₯π₯ β π₯π₯ = π₯π₯ οΏ½ΜΏοΏ½π₯ = π₯π₯ π₯π₯ β 0 = 0 und π₯π₯ β 1 = π₯π₯ π₯π₯ β π¦π¦ = π₯π₯ + π¦π¦
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (3)
Definition 2: Seien ππ,ππ β N mit ππ,ππ β₯ 1. Dann heiΓt eine Funktion ππ: Bππ β Bππ eine
Schaltfunktion. Definition 3: Eine Schaltfunktion ππ: Bππ β B heiΓt (n-stellige) Boolesche Funktion. Definition 4: Sei ππ: Bππ β B eine Boolesche Funktion und sei (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) β Bππ.
Dann heiΓt das Produkt π₯π₯1 β π₯π₯2 β β¦ β π₯π₯ππ der Elemente von (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ) ein Minterm von ππ. Der Minterm heiΓt einschlΓ€gig, wenn
ππ(π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) = 1.
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (4)
Satz 2: Jede Boolesche Funktion ist eindeutig darstellbar als Summe ihrer
einschlΓ€gigen Minterme. Definition 5:
Sei ππ: Bππ B eine Boolesche Funktion und sei (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) β Bππ. Dann heiΓt die Summe π₯π₯1 + π₯π₯2 + β―+ π₯π₯ππ der Elemente von (π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ) ein Maxterm von ππ. Der Maxterm heiΓt nullschlΓ€gig, wenn
ππ(π₯π₯1 , π₯π₯2 , β¦ , π₯π₯ππ ) = 0.
Satz 3: Jede Boolesche Funktion ist eindeutig darstellbar als Produkt ihrer
nullschlΓ€gigen Maxterme.
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Boolesche (Schalt-) Algebra (5)
Definition 6: Die Darstellung einer Booleschen Funktion durch einschlΓ€gige Minterme
heiΓt auch disjunktive Normalform (DNF) einer Booleschen Funktion. Definition 7: Enthalten die Minterme einer DNF jeweils alle Eingangsvariablen, so ist
es eine kanonisch disjunktive Normalform (KDNF). Definition 8: Die Darstellung einer Booleschen Funktion durch nullschlΓ€gige
Maxterme heiΓt auch konjunktive Normalform (KNF) einer Booleschen Funktion.
Definition 9: Enthalten die Maxterme einer KNF jeweils alle Eingangsvariablen, so ist
es eine kanonisch konjunktive Normalform (KKNF).
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (6)
SΓ€tze 2 und 3 ermΓΆglichen das Auslesen der DNF bzw. der KNF aus einer Wahrheitstabelle, wie folgendes Beispiel zeigt:
ππ ππ ππ π¦π¦ Minterm Maxterm 0 0 0 1 ππ ππ ππ 0 0 1 0 ππ + ππ + ππ 0 1 0 0 ππ + ππ + ππ 0 1 1 1 ππ ππ ππ 1 0 0 0 ππ + ππ + ππ 1 0 1 1 ππ ππ ππ 1 1 0 0 ππ + ππ + ππ 1 1 1 1 ππ ππ ππ
π¦π¦ = ππ ππ ππ + ππ ππ ππ + ππ ππ ππ + ππ ππ ππ
π¦π¦ = ππ + ππ + ππ ππ + ππ + ππ ππ + ππ + ππ ππ + ππ + ππ KNF
DNF
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Boolesche (Schalt-) Algebra (7)
Korollar 1: Jede ππ-stellige Boolesche Funktion ist allein darstellbar durch die 2-
stelligen Booleschen Funktionen β+β und β Β· β sowie die 1-stellige Boolesche Funktion β οΏ½ β. Anders ausgedrΓΌckt: {+, Β·, οΏ½ } ist funktional vollstΓ€ndig.
Korollar 2: {+, οΏ½ } und { Β· , οΏ½ } sind funktional vollstΓ€ndig.
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Satz 4: π₯π₯ + π₯π₯π¦π¦ Beweis: π₯π₯ + π₯π₯π¦π¦ = π₯π₯ 1 + π₯π₯π¦π¦ π₯π₯ β 1 = π₯π₯ = π₯π₯ 1 + π¦π¦ Distributivgesetz = π₯π₯ 1 1 + π¦π¦ = 1 = π₯π₯ π₯π₯ β 1 = π₯π₯
Satz 5: π₯π₯ + π₯π₯π¦π¦ = π₯π₯ + π¦π¦ Beweis: π₯π₯ + π₯π₯π¦π¦ = π₯π₯ + π₯π₯ π₯π₯ + π¦π¦ Distributivgesetz = 1 β π₯π₯ + π¦π¦ Komplementgesetz = π₯π₯ + π¦π¦ kleinstes Element
Satz 6: π₯π₯π¦π¦ + π₯π₯π§π§ + π¦π¦π§π§ = π₯π₯π¦π¦ + π₯π₯π§π§ Beweis: π₯π₯π¦π¦ + π₯π₯π§π§ + π¦π¦π§π§ = π₯π₯π¦π¦ + π₯π₯π§π§ + π¦π¦π§π§ π₯π₯ + π₯π₯ π₯π₯ + π₯π₯ = 1, Komplementg. = π₯π₯π¦π¦ + π₯π₯π§π§ + π₯π₯π¦π¦π§π§ + π₯π₯π¦π¦π§π§ Distributivgesetz = π₯π₯π¦π¦ 1 + π§π§ + π₯π₯π§π§ 1 + π¦π¦ Distributivgesetz = π₯π₯π¦π¦ 1 + π₯π₯π§π§ 1 grΓΆΓtes Element = π₯π₯π¦π¦ + π₯π₯π§π§ kleinstes Element
Boolesche (Schalt-) Algebra (8)
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Satz 7: π₯π₯ + π¦π¦ π₯π₯ + π§π§ = π₯π₯π§π§ + π₯π₯π¦π¦
Beweis: π₯π₯ + π¦π¦ π₯π₯ + π§π§ = π₯π₯π₯π₯ + π₯π₯π§π§ + π¦π¦π₯π₯ + yz Distributivgesetz = π₯π₯π§π§ + π¦π¦π₯π₯ + yz Komplementgesetz = π₯π₯π§π§ + π₯π₯π¦π¦ Satz 6 Satz 8: π₯π₯ + π¦π¦ π₯π₯ + π§π§ π¦π¦ + π§π§ = π₯π₯ + π¦π¦ π₯π₯ + π§π§ Beweis: π₯π₯ + π¦π¦ π₯π₯ + π§π§ π¦π¦ + π§π§ = π₯π₯π§π§ + π₯π₯π¦π¦ π¦π¦ + π§π§ Satz 7 = π₯π₯π¦π¦π§π§ + π₯π₯π§π§π§π§ + π₯π₯π¦π¦y + π₯π₯π¦π¦z Distributivgesetz = π₯π₯π¦π¦π§π§ + π₯π₯π§π§ + π₯π₯y + π₯π₯π¦π¦z Idempotenzgesetz = π₯π₯π§π§ π¦π¦ + 1 + π₯π₯π¦π¦ 1 + π§π§ Distributivgesetz = π₯π₯π§π§ + π₯π₯π¦π¦ gr. und kl. Element = π₯π₯ + π¦π¦ π₯π₯ + π§π§ Satz 7
Boolesche (Schalt-) Algebra (9)
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Boolesche (Schalt-) Algebra (10)
Beispiel: Entwurf eines 2-bit - Multiplizierers
Zwei-Bit-mal-zwei-Bit-Multiplizierer
X1
Y1
X0
Y0
EingangX
EingangY
Z0Z1Z2Z3
4-Bit-Produkt Z
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Boolesche (Schalt-) Algebra (11)
Wahrheitstabelle: π₯π₯ Β· π¦π¦ = π§π§ π₯π₯1 π₯π₯0 π¦π¦1 π¦π¦0 π§π§3 π§π§2 π§π§1 π§π§0 0 Β· 0 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Β· 1 = 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 Β· 2 = 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 Β· 3 = 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Β· 0 = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 Β· 1 = 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 Β· 2 = 2 0 1 1 0 0 0 1 0 1 Β· 3 = 3 0 1 1 1 0 0 1 1 2 Β· 0 = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2 Β· 1 = 2 1 0 0 1 0 0 1 0 2 Β· 2 = 4 1 0 1 0 0 1 0 0 2 Β· 3 = 6 1 0 1 1 0 1 1 0 3 Β· 0 = 0 1 1 0 0 0 0 0 0 3 Β· 1 = 3 1 1 0 1 0 0 1 1 3 Β· 2 = 6 1 1 1 0 0 1 1 0 3 Β· 3 = 9 1 1 1 1 1 0 0 1
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Auslesen der DNF aus der Wahrheitstabelle und Minimierung
π§π§3 = π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦0
π§π§2 = π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 = π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1 π¦π¦οΏ½0 + π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 Distributivgesetz = π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 Komplementgesetz = π₯π₯1π¦π¦1 οΏ½Μ οΏ½π₯0 + π₯π₯0π¦π¦οΏ½0 Distributivgesetz = π₯π₯1π¦π¦1 οΏ½Μ οΏ½π₯0 + π¦π¦οΏ½0 Satz 5 = π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1 + π₯π₯1π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 Distributivgesetz
Boolesche (Schalt-) Algebra (12)
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
π§π§1 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 + οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1 π¦π¦οΏ½0 + π¦π¦0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦0 π¦π¦οΏ½1 + π¦π¦1 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 Distributivgesetz = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 Komplementgesetz = π₯π₯0π¦π¦1 οΏ½Μ οΏ½π₯1 + π₯π₯1π¦π¦οΏ½0 + π₯π₯1π¦π¦0 π₯π₯0 + π₯π₯0π¦π¦οΏ½1 Distributivgesetz = π₯π₯0π¦π¦1 οΏ½Μ οΏ½π₯1 + π¦π¦οΏ½0 + π₯π₯1π¦π¦0 οΏ½Μ οΏ½π₯0 + π¦π¦οΏ½1 Satz 5 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1 + π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦0 + π₯π₯1π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 Distributivgesetz
π§π§0 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 + οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦0 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦0 π¦π¦οΏ½1 + π¦π¦1 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦0 π¦π¦οΏ½1 + π¦π¦1 Distributivgesetz = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦0 + π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦0 Komplementgesetz = π₯π₯0π¦π¦0 οΏ½Μ οΏ½π₯1 + π₯π₯1 Distributivgesetz = π₯π₯0π¦π¦0 Komplementgesetz
Boolesche (Schalt-) Algebra (13)
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Ergebnis:
π§π§3 = π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦0 π§π§2 = π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1 + π₯π₯1π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 π§π§1 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1 + π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦0 + π₯π₯1π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 π§π§0 = π₯π₯0π¦π¦0 β’ Negationen der Eingangsvariablen mΓΌssen nur einmal realisiert werden β’ VerknΓΌpfungen der Minterme werden mittels Mehrfach-AND realisiert β’ Disjunktionen der Minterme werden durch Mehrfach-OR realisiert
Boolesche (Schalt-) Algebra (14)
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Boolesche (Schalt-) Algebra (15)
Schaltnetz:
&
&
&
&
&
&
&
&
β₯1
β₯1
1 1 1 1
x1 x0 y1 y0
z0
z1
z2
z3
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Ableitung einer Full-NAND-Struktur:
π§π§3 = π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦0 = π₯π₯1π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦0 Idempotenzgesetz π§π§2 = π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1 + π₯π₯1π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 = π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1 + π₯π₯1π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 Idempotenzgesetz
= π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦1 β π₯π₯1π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 De Morgan π§π§1 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1 + π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦0 + π₯π₯1π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 = οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1 + π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 + π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦0 + π₯π₯1π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 Idempotenzgesetz
= οΏ½Μ οΏ½π₯1π₯π₯0π¦π¦1 β π₯π₯0π¦π¦1π¦π¦οΏ½0 β π₯π₯1οΏ½Μ οΏ½π₯0π¦π¦0 β π₯π₯1π¦π¦οΏ½1π¦π¦0 De Morgan π§π§0 = π₯π₯0π¦π¦0 = π₯π₯0π¦π¦0 Idempotenzgesetz β’ Realisierung mittels Mehrfach-NAND β’ Einzelne Negationen werden durch NAND mit zusammengeschalteten
EingΓ€ngen realisiert
Boolesche (Schalt-) Algebra (16)
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Boolesche (Schalt-) Algebra (17)
Schaltnetz:
&
&
&
&
&
&
&
&
β₯1
β₯1
x1 x0 y1 y0
z0
z1
z2
z3
& &
&
&
&
&
&
&
&&
&
&
&
& &
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Boolesche (Schalt-) Algebra (18)
Wichtig: NAND (NOR) - Operation ist nicht assoziativ!
Logikentwurf mit NAND- und NOR-Gattern nicht immer geradlinig, z.B. bei der Realisierung von NAND-Funktionen mit n Variablen durch Standard ππ-input-NAND-Gatter (n > m)
Beispiel:
a) Realisierung eines 3-input-AND mit 2-input-Gattern
b) Realisierung eines 3-input-NAND mit 2-input-Gattern
= β =
Falsch Richtig
&&
& &
&&
& &&
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Boolesche (Schalt-) Algebra (19)
β’ Zusammenfassung β Schaltfunktionen sind ein logischer Formalismus zur Beschreibung
von Schaltnetzen β Die Boolesche Algebra dient zur algebraischen Vereinfachung von
Schaltfunktionen β Schaltnetze mit weniger Gattern und Inputs sind einfacher und
kostengΓΌnstiger zu implementieren β Es ist von ΓΆkonomischen Interesse, minimale Schaltnetze zu
bestimmen β’ Probleme bei der algebraischen Minimierung:
β es gibt keine klare, methodische Vorgehensweise (Algorithmus), wie welche Regeln in welcher Reihenfolge angewandt werden sollen
β es ist nicht immer leicht zu bestimmen, wann ein Boolescher Ausdruck minimal ist
β’ mΓΆgliche LΓΆsung: β Karnaugh-Diagramme β Quine/McCluskey - Verfahren (bei mehr als 6 Variablen)
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Boolesche (Schalt-) Algebra (20)
Karnaugh-Plan
β ist eine graphische Technik zur Darstellung und Vereinfachung von Booleschen AusdrΓΌcken
β ist eine andere, zweidimensionale Darstellung von Wahrheitstabellen, wobei jede Zelle genau einen Minterm reprΓ€sentiert.
Karnaugh-PlΓ€ne mit den jeweiligen Mintermen: fΓΌr 2 Variablen: fΓΌr 3 Variablen:
ππ π΄π΄
0 1
π΅π΅ 0 π΅π΅ π΄π΄ π΅π΅ π΄π΄
1 π΅π΅ π΄π΄ π΅π΅ π΄π΄
ππ π΅π΅π΄π΄
0 0 0 1 1 1 1 0
πΆπΆ 0 πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄
1 πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄
0
1
0
1
0 0
0 1
1 1
1 0
0
1
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Boolesche (Schalt-) Algebra (21)
Hauptidee:
Horizontal und vertikal benachbarte Zellen entsprechen Mintermen, die nur bzgl. einer Variablen unterscheiden.
Es gilt: Benachbarte Einsen fΓΌhren zu Vereinfachungen Hinweis: eine bessere Vereinfachung wird hier zwecks ErlΓ€uterung des Prinzips nicht vorgenommen
Karnaugh-Plan
ππ = πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ + πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ + πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ + πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ + πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ + πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ + πΆπΆ π΅π΅ + πΆπΆ π΅π΅ + π΅π΅
ππ = π΅π΅ π΄π΄ ππ = π΅π΅ π΄π΄
ππ π΅π΅π΄π΄
0 0 0 1 1 1 1 0
πΆπΆ 0 πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄
1 πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄ πΆπΆ π΅π΅ π΄π΄
ππ π΅π΅π΄π΄
0 0 0 1 1 1 1 0
πΆπΆ 0 1 0 1 1
1 1 0 1 1
0 0
0 1
1 1
1 0
0
1
0 0
0 1
1 1
1 0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
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Boolesche (Schalt-) Algebra (22)
Fragestellung fΓΌr das Erstellen eines Karnaugh - Planes: Welche Minterme (Felder) werden von einem (vereinfachten) Produktterm ΓΌberdeckt?
Es gelten folgende Regeln: β Es werden 1-BlΓΆcke mit 1, 2, 4, 8 ... Zellen gebildet (2er-Potenzen) β Ein Block vereinfacht um so viele Variablen wie der Exponent der 2er-
Potenz der Anzahl der ΓΌberdeckten Zellen, also ππππ ππ β BlΓΆcke sollten folglich so groΓ wie mΓΆglich sein β Eine Zelle kann zu mehreren Produkttermen gehΓΆren β Die Variablenbelegung (Spalten- und Zeilenkopf) darf sich jeweils nur
um exakt eine Variablenbelegung unterscheiden β Karnaugh-PlΓ€ne reprΓ€sentieren geometrisch einen Torus: oberste Zeile ist auch benachbart zur untersten Zeile Spalte links auΓen ist benachbart zur Spalte rechts auΓen die Regeln bezΓΌglich Variablenbelegung gelten auch bezΓΌglich dieser Zeilen / Spalten
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Boolesche (Schalt-) Algebra (23)
Praktische Regeln zur Minimierung mittels Karnaugh-Plan: 1. Aufstellen der Wahrheitstabelle aus den logischen Bedingungen der
Aufgabenstellung, sofern nicht bereits vorhanden 2. Zeichnen des Karnaugh-Planes mit entsprechend vielen Zellen
( = Zeilenanzahl der Wahrheitstabelle) und Beschriftung der Zeilen / Spalten mit der Variablenbelegung entsprechend Gray-Code
3. Die Variablen werden im Spalten- / Zeilenkopf links beginnend und in genau der Reihenfolge angegeben, wie sie im Tabellenkopf der Wahrheitstabelle stehen. Die Funktionswerte werden passend in die Zellen eingetragen
4. Bilden von BlΓΆcken mit Zellen-Funktionswert 1 aus 2, 4, 8 oder 16 Zellen, so dass alle Einsen in mindestens einem Block sind. Wichtig ist ferner, BlΓΆcke maximaler GrΓΆΓe und in minimaler Anzahl zu finden, wobei Zellen mehrfach verwendet werden kΓΆnnen. Der Rest verbleibt ggf. als 1er-BlΓΆcke.
5. Auslesen der minimierten Terme, indem alle Variablen in einen Produktterm aufgenommen werden, deren Variablenbelegung im jeweiligen Block konstant ist. Eine 0 ergibt eine negierte Variable und eine 1 eine nichtnegierte Variable. Verbinden der Produktterme mittels OR zu einer DNF.
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Boolesche (Schalt-) Algebra (24)
Beispiel 1:
Karnaugh-Plan aus Wahrheitstabelle
ππ1 = π₯π₯1 + π₯π₯3π₯π₯2 ππ1 = π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯3π₯π₯2x1 + π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 +π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1
DNF aus Wahrheitstabelle Minimiert mittels Karnaugh-Plan
π₯π₯3 π₯π₯2 π₯π₯1 ππ1(π₯π₯3, π₯π₯2, π₯π₯1) 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0
ππ1 π₯π₯2π₯π₯1
0 0 0 1 1 1 1 0
π₯π₯3 0 1 1 0 1
1 1 0 0 1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0 0
0 1
1 1
1 0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (25)
Regeln fΓΌr das Vereinfachen von Booleschen AusdrΓΌcken: β’ Γberdeckung aller Einsen mit
minimaler Anzahl von BlΓΆcken β’ Wahl von BlΓΆcken maximaler GrΓΆΓe β’ Mehrfache Γberdeckung mΓΆglich
Beispiel 2:
Karnaugh-Plan mit Block (Minterm) Γber alle vier Ecken
ππ2 = π₯π₯3π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯2 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯1
ππ2 = π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3x2x1 +π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 +π₯π₯4x3x2x1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 +π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1
ππ2 π₯π₯2π₯π₯1
0 0 0 1 1 1 1 0
π₯π₯4π₯π₯3 0 0 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1
1 1 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
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1
1
0 1
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1 1
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1 0
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (26)
Beispiel 3:
Karnaugh-Plan mit Block aus 8 Einsen
ππ3 = π₯π₯3 + π₯π₯4π₯π₯1
ππ3 = π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 +π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 +π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1
ππ3 π₯π₯2π₯π₯1
0 0 0 1 1 1 1 0
π₯π₯4π₯π₯3 0 0 0 1 1 0
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 0
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
0
1
1
0
0 1
1
1
1
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1 1
1
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0
0
0
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (27)
Es gilt: Es kann mehrere minimale LΓΆsungen geben.
Beispiel 4:
Karnaugh-PlΓ€ne mit mehreren gleichwertigen LΓΆsungen
ππ4 = π₯π₯4π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯1
ππ4 = π₯π₯4π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯1
ππ4 = π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 +π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 + π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1 +π₯π₯4π₯π₯3π₯π₯2π₯π₯1
ππ4 π₯π₯2π₯π₯1
0 0 0 1 1 1 1 0
π₯π₯4π₯π₯3 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0
ππ4 π₯π₯2π₯π₯1
0 0 0 1 1 1 1 0
π₯π₯4π₯π₯3 0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0
1 1 0 1 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
1
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0 1
1
1
0
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1 1
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1 0
0
0
0
0
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
1
0
0
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0 1
1
1
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1 1
0
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1 0
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (28)
DonΒ΄t care - Bedingungen d: β’ Treten auf, wenn bei Schaltnetzen gewisse Eingangsbelegungen nicht
mΓΆglich sind
β entsprechende Ausgangsbelegungen sind egal (donΒ΄t care), da sie im Anwendungsszenarium nicht vorkommen
β Ausgangsbelegung kann 0 oder 1 sein β Definition: Ausgangsbelegung ππ: = 0 + 1 β Folglich kann eine implizite Belegung mit 0 oder 1 vorgenommen
werden, so dass hierdurch eine einfachere LΓΆsung entsteht β’ Die MΓΆglichkeit, einen Ausgang beliebig zu definieren, kann zur
Vereinfachung der Schaltfunktion genutzt werden.
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Beispiel: Klimaanlage
Boolesche (Schalt-) Algebra (29)
Hinweis: Bei ErhΓΆhung der Temperatur kann die Luft mehr Wasserdampf aufnehmen, was zur Verringerung der relativen Luftfeuchte fΓΌhrt.
Inputvariable Bedeutung, wenn 0 Bedeutung, wenn 1 π»π» (heiΓ) < 22Β°πΆπΆ > 22Β°C πΎπΎ (kalt) > 15 Β°C < 15Β°C πΉπΉ (feucht) < 75 % > 75 % ππ (trocken) > 40 % < 40 %
Output Bedeutung, wenn 0 Bedeutung, wenn 1 ππ Kaltlufterzeuger aus Kaltlufterzeuger an ππ Warmlufterzeuger aus Warmlufterzeuger an π π Entfeuchter aus Entfeuchter an ππ Befeuchter aus Befeuchter an
Inputvariable
Bedeutung, wenn 0
Bedeutung, wenn 1
(heiΓ)
(kalt)
(feucht)
(trocken)
Output
Bedeutung, wenn 0
Bedeutung, wenn 1
Kaltlufterzeuger aus
Kaltlufterzeuger an
Warmlufterzeuger aus
Warmlufterzeuger an
Entfeuchter aus
Entfeuchter an
Befeuchter aus
Befeuchter an
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (30)
π»π» πΎπΎ πΉπΉ ππ Bedeutung ππ ππ π π ππ 0 0 0 0 OK 0 0 0 0 0 0 0 1 Trocken 0 0 0 1 0 0 1 0 Feucht 0 0 1 0 0 0 1 1 UnmΓΆglich ππ ππ ππ ππ 0 1 0 0 Kalt 0 1 0 0 0 1 0 1 Kalt/Trocken 0 1 0 1 0 1 1 0 Kalt/Feucht 0 1 0 0 0 1 1 1 UnmΓΆglich ππ ππ ππ ππ 1 0 0 0 HeiΓ 1 0 0 0 1 0 0 1 HeiΓ/Trocken 1 0 0 0 1 0 1 0 HeiΓ/Feucht 1 0 1 0 1 0 1 1 UnmΓΆglich ππ ππ ππ ππ 1 1 0 0 UnmΓΆglich ππ ππ ππ ππ 1 1 0 1 UnmΓΆglich ππ ππ ππ ππ 1 1 1 0 UnmΓΆglich ππ ππ ππ ππ 1 1 1 1 UnmΓΆglich ππ ππ ππ ππ
Bedeutung
0
0
0
0
OK
0
0
0
0
0
0
0
1
Trocken
0
0
0
1
0
0
1
0
Feucht
0
0
1
0
0
0
1
1
UnmΓΆglich
0
1
0
0
Kalt
0
1
0
0
0
1
0
1
Kalt/Trocken
0
1
0
1
0
1
1
0
Kalt/Feucht
0
1
0
0
0
1
1
1
UnmΓΆglich
1
0
0
0
HeiΓ
1
0
0
0
1
0
0
1
HeiΓ/Trocken
1
0
0
0
1
0
1
0
HeiΓ/Feucht
1
0
1
0
1
0
1
1
UnmΓΆglich
1
1
0
0
UnmΓΆglich
1
1
0
1
UnmΓΆglich
1
1
1
0
UnmΓΆglich
1
1
1
1
UnmΓΆglich
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Karnaugh-Diagramm mit donβt care Bedingungen fΓΌr den Warmlufterzeuger:
β’ BlΓΆcke werden so gewΓ€hlt, dass sich eine maximale Γberdeckung ergibt β’ ππβs kΓΆnnen einbezogen werden, wenn vorteilhaft β’ Somit grΓΆΓtmΓΆgliche Vereinfachung β’ Ergebnis: ππ = πΎπΎ
Boolesche (Schalt-) Algebra (31)
Verwendung von donβt-care- Bedingungen, soweit sich dadurch grΓΆΓere oder weniger BlΓΆcke ergeben
ππ π»π»πΎπΎ
0 0 0 1 1 1 1 0
πΉπΉππ 0 0 0 1 ππ 0
0 1 0 1 ππ 0
1 1 ππ ππ ππ ππ
1 0 0 1 ππ 0
0 0
0 1
1 1
1 0
0 0
0
1
0
0 1
0
1
0
1 1
1 0
0
1
0
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Boolesche (Schalt-) Algebra (32)
Zusammenfassung: β’ Es wurde gezeigt, wie sich kombinatorische Schaltnetze bzw. Schaltungen mit
einem bestimmten, gewΓΌnschten Verhalten auf der Basis von Gattern in folgenden Schritten realisieren lassen: β Das gewΓΌnschte Verhalten wird in Form von Wahrheitstabellen
beschrieben. β Durch Anwendung von algebraischen oder graphischen Methoden wird
daraus eine Schaltfunktion abgeleitet. β Der resultierende Schaltung wird durch die Verbindung der den
Operatoren entsprechenden Gattern mit den zugehΓΆrigen Variablen als EingΓ€ngen erzeugt.
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Vorlesung Technische Informatik 1 WS 2019 T. Ihme
Umsetzung logischer Schaltfunktionen
β’ Mit fortschreitender Technologie wurde es mΓΆglich, die Anzahl der Gatter pro Chip exponentiell zu erhΓΆhen. Je nach erzielter Integrationsdichte unterscheidet man verschiedene Technologien: β SSI (< 20 Gatter pro Chip) β MSI (> 20 Gatter, komplette Realisierung einer hΓ€ufig benutzten
logischen Funktion wie z.B. Multiplexer) β LSI ( Realisierung kompletter Systeme, z.B. Mikroprozessoren auf
einem Chip) β VLSI (Produktion von Speicherchips von enormer KapazitΓ€t, moderne
Hochleistungsprozessoren)
Boolesche (Schalt-) Algebra (33)
Boolesche (Schalt-) Algebra (1)Boolesche (Schalt-) Algebra (2)Boolesche (Schalt-) Algebra (3)Boolesche (Schalt-) Algebra (4)Boolesche (Schalt-) Algebra (5)Boolesche (Schalt-) Algebra (6)Boolesche (Schalt-) Algebra (7)Boolesche (Schalt-) Algebra (8)Boolesche (Schalt-) Algebra (9)Boolesche (Schalt-) Algebra (10)Boolesche (Schalt-) Algebra (11)Boolesche (Schalt-) Algebra (12)Boolesche (Schalt-) Algebra (13)Boolesche (Schalt-) Algebra (14)Boolesche (Schalt-) Algebra (15)Boolesche (Schalt-) Algebra (16)Boolesche (Schalt-) Algebra (17)Boolesche (Schalt-) Algebra (18)Boolesche (Schalt-) Algebra (19)Boolesche (Schalt-) Algebra (20)Boolesche (Schalt-) Algebra (21)Boolesche (Schalt-) Algebra (22)Boolesche (Schalt-) Algebra (23)Boolesche (Schalt-) Algebra (24)Boolesche (Schalt-) Algebra (25)Boolesche (Schalt-) Algebra (26)Boolesche (Schalt-) Algebra (27)Boolesche (Schalt-) Algebra (28)Boolesche (Schalt-) Algebra (29)Boolesche (Schalt-) Algebra (30)Boolesche (Schalt-) Algebra (31)Boolesche (Schalt-) Algebra (32)Boolesche (Schalt-) Algebra (33)