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Instituto Carlos Ide Física Teórica y Computacional

Noviembre de 2017

BOLETÍN iC1 NÚMERO 3

Saludo

Este tercer número del Boletín recoge como es habitual algunos de los principales resultados de la investigación realizada durante esteaño por miembros del Instituto. Quiero además destacar aquí la variedad de actividades que se han impulsado este pasado año gracias a nuestra condición de Unidad de Excelencia de la UGR,y que abarcan desde el apoyo a la organización de congresos, como el XIV Granada Seminar on Computational andStatistical Physics y el First Workshop on Trapped-ion Experiments and Foundations of Quantum Theory, la concesión de becas a estudiantes de máster y doctorado tutelados por miembros del Instituto, el acondicionamiento de siete puestos de trabajo con su correspondiente mobiliario y equipos informáticos, lamejora del sistema de refrigeración deProteus, y la organización de los ciclos divulgativos Fronteras de la Físicay Crónicas de Física.

Esperamos que disfrutéis con su lectura.Agradezco en nombre del iC1 el trabajorealizado por los responsables del boletín, Francisco de los Santos (dlsantos@onsager.ugr.es) y Pablo Hurtado (phurtado@onsager.ugr.es).

Elvira RomeraDirectora

Fenómenos críticos cuánticos en sistemas

físicos de baja dimensionalidad

El desarrollo tecnológico y la fabricación denuevos sistemas de estado sólido estáalcanzando límites en los que los fenómenoscuánticos ya no pueden ser ignorados. Esto haabierto perspectivas, no solo en el desarrollode nueva física fundamental, sino también denuevas tecnologías cuánticas. Propiedadescuánticas exóticas de nanoestructuras ymateriales de baja dimensionalidad (puntos,cables y capas de escala nanométrica)encuentran nuevas aplicaciones en: medicina,células solares, láseres, cosmética, etc, yprincipalmente en el desarrollo de nuevastecnologías de la computación, información ycomunicaciones cuánticas.

En nuestro grupo de investigación estudiamoseste tipo de sistemas cuánticos,especialmente los fenómenos críticos que en

ellos aparecen, tales como transiciones defase cuánticas y topológicas. En este tipo detransiciones se genera, por ejemplo,entrelazamiento cuántico (un recursoindispensable en computación cuántica) paravalores críticos de algún parámetro de controldel sistema. También pueden cambiardrásticamente las propiedades electrónicasdel sistema, apareciendo propiedades deconducción exóticas como en los aislantestopológicos. El efecto Hall cuánticofraccionario es paradigmático en elconocimiento de nuevos estados de lamateria, que lleva asociados un nuevo tipo deorden, el orden topológico.

Manuel Calixto (calilxto@ugr.es) y ElviraRomera (eromera@ugr.es).

Mejoras de

PROTEUS

Se ha incorporado a Proteus la herramienta de controlde versiones git. Git registra los cambios realizados enlos archivos a lo largo del tiempo y permite recuperarversiones específicas. Comparado con otrosservidores, Git ofrece ventajas adicionales, tales como

permitir que cada miembro del proyecto disponga dela última versión de los cambios hechos por cualquierotro miembro y descartar cambios realizados y volvera versiones anteriores. Más información enhttps://gloton.ugr.es/gitlab.

BOLETÍN iC1 NÚMERO 3

Física y neurociencia

El estudio de fenómenos emergentes en el cerebro es hoy en día unade las áreas más dinámicas y prometedoras de disciplinas de la físicay las matemáticas, como la física estadística o la teoría de sistemasdinámicos, que ha dado lugar al desarrollo de disciplinas como laneurociencia teórica y computacional y la neurofísica. Uno de losaspectos que más motivan la investigación en neurociencia es elpoder comprender las propiedades computacionales del cerebro paraentender qué es lo que nos hace inteligentes o nos permite razonar, oestablecer las bases fundamentales de la conciencia. También entrelas principales motivaciones de la neurociencia actual está elcomprender el origen de ciertos trastornos neurológicos como elautismo y la esquizofrenia o enfermedades neurodegenerativas comola enfermedad de Parkinson y el Alzheimer, por su gran impactosocial y económico. El conocer las causas profundas de talesdesórdenes y sus consecuencias cognitivas es uno de los objetivosfundamentales que se plantean los neurocientíficos, ya que permitiríadiseñar estrategias para su posible cura o mitigar sus efectos. Hoy endía se sabe que la mayor parte de estos trastornos tienen su origen elel funcionamiento anómalo de determinados procesos biofísicos quepueden ocurrir a nivel subcelular, celular o de red en ciertas partes delcerebro.

Muchos de los mecanismos que intervienen en los procesoscognitivos como la memoria, el aprendizaje, el procesamiento deinformación espacio-temporal, la aparición de memorias episódicas,etc., o aquellos que están involucrados en los trastornos neurológicosantes citados, como por ejemplo, la cinética del calcio intracelular uotros procesos que intervienen en el desarrollo del cerebro mediantela “poda sináptica”, son susceptibles de modelización matemática yde ser estudiados mediante técnicas de la física estadística o de lossistemas dinámicos.

Por todo esto, en los últimos años se vienen desarrollando diferentesiniciativas a nivel mundial (como “The Human Brain Project”, “The USBrain Initiative”, “The Human Connectome Project”, y “TheOpenworm Project”, por citar las más importantes), cuya finalidadúltima es integrar la ingente cantidad de información biológica queexiste hoy en día después de más de un siglo de estudio de los mediosneuronales en general y del cerebro en particular, en modelos

computacionales de los mismos, que permita describir y simular congran detalle dichos sistemas, y una vez construidos testear hipótesissobre el comportamiento emergente y los procesos cognitivosdescritos en los mismos.

En este contexto, el Grupo de Neurociencia Teórica y Computacionaly Neurofísica del IC1, lleva casi 25 años desarrollando modeloscomputacionales para tratar de encontrar las bases físicas ymatemáticas de los procesos cognitivos y otros fenómenosemergentes observados en el cerebro. En particular, en los últimosaños, los investigadores de dicho grupo hemos demostrado porprimera vez que existe una íntima relación entre fenómenosemergentes en sistemas magnéticos muy estudiados por los físicosde la materia condensada, y ciertos estados de la actividad cerebral[1]. Más concretamente hemos mostrado que estados desordenadostipo “vidrio de espín” pueden aparecer en el comportamiento de laactividad cerebral en forma de estados de actividad cortical alta (Up)y estados de actividad cortical baja (Down), observados y descritosampliamente en el córtex de los mamíferos, incluido el cerebrohumano, cuando existen un balance en el medio neuronal entrepoblaciones de neuronas excitadoras e inhibidoras.

Otro descubrimiento reciente del grupo es la explicación, mediantemodelos de redes neuronales basadas en ecuaciones maestrasincluyendo procesos de adición y eliminación de sinapsisdependiendo de la actividad cerebral, del fenómeno de la podasináptica observada durante el desarrollo cerebral en la infancia y laadolescencia [2]. En esta investigación se ha desarrollado un marcoteórico que podría ser útil para comprender algunos trastornosneurológicos como el autismo o la esquizofrenia, donde losmecanismos biofísicos involucrados en el desarrollo cerebral puedenestar alterados, o también puede ayudar estudiar procesosneurodegenerativos como los asociados al Alzheimer o a laenfermedad de Parkinson.

Referencias:[1] I. Recio and J.J. Torres, Emergence of low noise frustrated states in E/I balanced neural networks. Neural Networks vol 84, pages 91-101 (2016).

[2] A. P. Millán, J.J. Torres, S. Johnson, J. Marro, The concurrence of form and function in developing networks: An explanation forsynaptic pruning. ArXiv preprint arXiv:1705.02773.

Diagrama de fases (T,c) mostrando la región en la que aparecen estados vidrio de espín (estados frustrados)asociados a actividad cortical Up y Down del cerebro,

en un modelo de red neuronal balanceada Excitación/Inhibición.

Curvas de poda sináptica obtenidas con un modelo de red neuronal evolutiva basada en una ecuación maestra que

reproduce la variación con la edad de la densidad de sinapsis en cerebros humanos.

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BOLETÍN iC1 NÚMERO 3

Evolución de galaxias en

grupos compactos

Grupo compacto HCG 87, observado con el telescopio espacial Hubble (hubblesite.org).

5O Ciclofronterasde la Física

El 3 de novimebre arrancó el quinto ciclo de conferencias Fronteras de la Física que promueve el Instituto iC1 y Computacionalsobre problemas abiertos en distintoscampos de la Física en general y sus posiblesconexiones con otras disciplinas. Las charlastienen lugar en viernes a las 12:30, son de 50 minutos de duración más otros 10 adicionales de preguntas y están orientadasa un auditorio de investigadores no especialistas y estudiantes interesados.

http://ic1.ugr.es/cicloconferencias.

4ª Jornadascientíficas del iC1

El 10 de noviembre de 2017 se celebraron en La Madraza las cuartas jornadascientíficas del iC1. La apertura corrió a cargo de la Rectora de la Universidad de Granada, Dña. Pilar Aranda. Las jornadas se abrieron con la mesa redonda Física enAndalucía: políticas científicas y retos, en la que participaron el Director General de investigación y ransferencia del conocimiento de la Junta de Andalucía, D. Manuel García León, el Vicerrector de Investigación y transferencia de la Universidad de Granada, D. Enrique Herrera, la Directora del iC1, Dña. Elvira Romera, el Vicerrector de investigación y transferencia de la Universidad de Málaga, D. Juan Teodomiro López, el Vicerrector de la de investigación de la Universidad de Sevilla, D. Julián Martínez , y el Vicerrector de investigación, desarrollo e innovación de la Universidad de Almería, D. Antonio Posadas.

A la mesa redonda siguieron una serie de charlas científicas y un almuerzo.

La materia visible de las galaxias consiste enestrellas, gas y polvo. El gas consisteprincipalmente de hidrógeno atómico ymolecular, siendo el gas molecular elmaterial del que se forman nuevas estrellas.Hoy sabemos que las galaxias en el pasadoeran diferentes de las galaxias del presente, yen particular, el ritmo al que se formanestrellas en las galaxias ha ido bajandodrásticamente a lo largo del tiempo. Lasgalaxias evolucionan de “activas” a “pasivas”,en lo que a la capacidad de formar estrellasse refiere. Las galaxias activas en formaciónestelar son normalmente de color azuldebido a la emisión de las estrellas reciénformadas, contienen abundante gas y suelentener una morfología con un disco plano,mientras las galaxias pasivas tienen un colorrojo debido a la luz emitida por sus estrellasmás viejas, contienen poco gas y suelentener una morfología elíptica o esferoidal.

¿Qué está causando está transición deactivas en formación estelar a pasivas, y enparticular, qué provoca el decrecimientodrástico en el ritmo de formación deestrellas? Hay muchos procesos que lopueden causar, desde eventos dramáticoscomo la fusión de dos galaxias, resultando enuna galaxia elíptica con apenas gas, hastaprocesos lentos como el paulatino consumodel gas disponible. Qué procesos son másrelevantes para frenar la formación estelar esaún una pregunta abierta.

Los llamados grupos compactos estáncompuestos de 3-10 galaxias que estánfuertemente ligadas por su gravedad. Engrupos compactos, las galaxias esferoidalesson más abundantes que fuera de grupos,sugiriendo que muchas galaxias en gruposhan pasado ya de activas a pasivas. Ladistribución del hidrógeno atómicodemuestra la presencia de fuertes fuerzasgravitatorias ya que en muchos grupos unafracción considerable del gas se encuentrafuera de las galaxias individuales. Por eso, losgrupos compactos son objetos ideales paraestudiar el efecto de la interacción entregalaxias en la evolución de éstas y, enparticular, su actividad de formación estelar.La observación del gas molecular, comocombustible directo de la formación estelar,es esencial.

En un estudio reciente para una muestra degalaxias en grupos compactos, hemoscomparado las propiedades del gasmolecular en galaxias activas en formaciónestelar, galaxias pasivas y galaxias que estánen la transición entre ambas fases. Lonovedoso de este estudio ha sido que laclasificación de las galaxias en activas,pasivas y en transición se ha realizado enbase a la emisión en infrarrojo de las galaxias,que refleja no solamente su contenido enestrellas, sino también las propiedades delpolvo interestelar. Hemos encontrado que lasgalaxias en transición tienen un contenido en

gas molecular más bajo que las galaxiasactivas, pero mayor que las galaxias pasivas,y que el gas molecular en galaxias entransición es menos eficiente en formarestrellas que en galaxias activas. Las causasprobables de esta situación son, aparte defuerzas gravitatorias, colisiones con gasintergaláctico que producen choques einyectan turbulencia en el gas molecular,bajando de esta forma su capacidad decolapsar y formar estrellas.

Más información en:

“The role of molecular gas in galaxytransition in compact groups”, 2017, U.Lisenfeld, K. Alatalo, C. Zucker ycolaboradores, A&A en prensa,https://arxiv.org/abs/1708.09159

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BOLETÍN iC1 NÚMERO 3

Mecánica cuántica y biología

Estructura esquemática de una célula solar polimérica, con un detallede la estructura molecular de la capa activa donde se produce elfenómeno de fotogeneración de carga eléctrica cuando sobre ellainciden los fotones.

La biología cuántica ha surgido a lo largo de la última década de launión entre la mecánica cuántica y la biología. Este campomultidisciplinar y emergente nace de la reflexión sobre los principiosbásicos que gobiernan las interacciones a nivel molecular enorganismos vivos.

Los descubrimientos recientes en los que la coherencia devibraciones nucleares favorece el transporte de excitanción en ciertoscompuestos de pigmentos ha generado numerosos trabajosenfocados al estudio de los principios fundamentales que lanaturaleza ha desarrollado haciendo uso de la coherencia entreestados de electrones y vibraciones acoplados. Los desafíos que labiología cuántica aborda van desde cuestiones fundamentalesrelacionadas con la interacción entre las escalas de energía dediferentes fenómenos, el estudio teórico de dichas observaciones ysus aplicaciones tecnológicas en complejos artificiales que imiten losmecanismos desarrollados por la naturaleza.

La investigación desarrollada por el investigador del Instituto Carlos IJavier Prior se ha centrado en este último año en el estudio dediferentes compuestos fotosintéticos, Light Harvesting Complexes(LHC). Hemos trabajado en el estudio del complejo Photo-System IIReaction Center (PSII RC). Su estudio nos permitirá profundizar en elentendimiento de su gran eficiencia y como las excitaciones sepropagan a lo largo del complejo durante la separación de carga.Hemos demostrando como la coherencia vibrónica entre los estadoselectrónicos juega un papel fundamental en los procesos deseparación de carga en el compuesto PSII RC, estando presentedurante la escala temporal de los procesos de transferencia deenergía y carga. Este fenómeno permite una eficiencia muy alta en latransformación de energía solar en energía electroquímica teniendoeste proceso una gran relevancia fisiológica.

También hemos trabajado en el estudio de materiales desordenadosorgánicos, como los polímeros conjugados logrando una mejorcomprensión de la física subyacente en los mismos.

En estos dispositivos estamos aplicando modelos de la física cuánticapara explicar los fenómenos que ocurren en el material cuando losfotones inciden en él generando excitones, parejas de electrón-huecoque deben disociarse y luego transportarse hacia los electrodos deforma eficiente. El tipo de efectos cuánticos observados, como son,por ejemplo, las correlaciones entre los niveles de energíafotogenerada y la energía vibracional del material, permiten

comprender mejor los fenómenos de generación y transporte deenergía eléctrica a partir de la luz del Sol en este nuevo tipo demateriales. Estas nuevas teorías están inspiradas en el estudio enprofundidad del proceso de fotosíntesis en las plantas.

Por último el grupo de Javier Prior ha trabajado en el campo de latermodinámica cuántica que es una disciplina dentro de la física queestudia la relación entre estas dos teorías independientes. El interéspor este campo ha aumentado en los últimos años al habersematerializado experimentalmente el desarrollo de motores detamaño nanométrico. Hemos realizado una propuesta experimentalpara la implementación de un refrigerador cuántico por medio deátomos en cavidades ópticas. En la actualidad un grupo experimentalde la Universidad de Singapur está trabajando en dicha propuesta.

Referencias:

1) Elisabet Romero, Javier Prior, Alex W. Chin, Sarah E. Morgan,Vladimir I. Novoderezhkin, Martin B. Plenio, Rienk van Grondelle,Quantum-coherent dynamics in photosynthetic charge separationrevealed by wavelet analysis, Scientific reports 7, 2890 (2017).

2) S Oviedo-Casado, A Urbina, J Prior, Magnetic field enhancementof organic photovoltaic cells performance, Scientific reports, 7, 4297(2017).

3) VI Novoderezhkin, E Romero, J Prior, R van Grondelle, Exciton-vibrational resonance and dynamics of charge separation in thephotosystem II reaction center, Physical Chemistry Chemical Physics19 (7), 5195-5208 (2017).

4) MT Mitchison, M Huber, MP Woods, J Prior, M Plenio, Realising aquantum absorption refrigerator with an atom – cavity system,Quantum Science and Technology 1 (1), 015001 (2016).

5) S Oviedo-Casado, J Prior, AW Chin, R Rosenbach, SF Huelga, MBPlenio, Phase dependent exciton transport and energy harvestingfrom thermal environments, Phys. Rev. A 93, 020102(R) (2016).

Complejo fotosintético “Photo-System II Reaction Center”

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La fuerza nuclear más precisa que nuncaEl potencial de Granada es la determinación más precisa hasta la fecha de la fuerza nuclear

Seminarios iC1 Crónicas de Física

El iC1 ha puesto en marcha este año el ciclo de conferencias de carácter divulgativo Crónicas de Física. Las conferencias están dirigidas al público general y se han impartido hasta la fecha las siguientes:

• Magnetismo cósmico, Eduardo Battaner, febrero de 2017.• ¡Somos críticos!- Física, vida y mente, Joaquín Marro, marzo de

2017.• La física de la vida, Julyan Cartwright, abril de 2017. • La matemática está en el ojo del observador, Andrei Martínez

Finkelsthein, mayo de 2017. • De los circuitos cuánticos a la supremacía cuántica, Juan José

García Ripoll, octubre de 2017.

Las conferencias tienen lugar en La Madraza y en la Facultad de Ciencias. Más información en http://ic1.ugr.es

Ernest Rutherford, en su famoso experimento de 1911, lanzópartículas alfa contra finas láminas de oro, revelando la existencia delnúcleo atómico. Gracias a ello se supo que el núcleo atómico,formado por protones y neutrones, es extremadamente pequeño,unas cien mil veces más que el propio átomo. ¿Por qué el núcleo semantiene unido y no revienta debido a la repulsión eléctrica entre losprotones? La fuerza nuclear es una manifestación de la llamadainteracción fuerte y es la que mantiene unidos los núcleos atómicos.En última instancia, la fuerza nuclear hace posible la estabilidad de lamateria y nuestra existencia.

Basándose en la incipiente teoría cuántica de campos, Yukawapredijo en 1935 que la interacción fuerte se debe al intercambio departículas llamadas mesones, y que el alcance de la fuerza esinversamente proporcional a la masa de dichas partículas. El pión, elmesón predicho por Yukawa, fue descubierto experimentalmente en1949 y se midió su masa. Su alcance corresponde a 1.4 fm, unadistancia aún menor que el radio nuclear. Pero las propiedades delpion no proporcionan mucha más información. ¿Cómo se determinala intensidad de la fuerza nuclear? Su carácter sub-microscópicoimpide medidas directas, como en el caso de la fuerza gravitatoria yde la fuerza eléctrica usando péndulos de torsión, por ejemplo (noolvidemos que los protones no se pueden “sujetar” con pinzas).

Queda la posibilidad de usar protones como proyectiles para hacerloschocar contra otros protones o neutrones y estudiar cómo se desvíanlas trayectorias de los protones por la interacción. Esto es lo que hizoRutherford hace 100 años para constatar la naturaleza eléctrica de lasfuerzas entre núcleos a distancias mayores que su propio tamaño. Atodo esto hay que añadir el punto de vista de la cromodinámicacuántica (QCD), la teoría fundamental de la interacción fuerte que sepostuló en 1973. En esta teoría la interacción se formula en términosde quarks y gluones, como se muestra en la figura.

En los últimos cinco años, los investigadores del grupo de FísicaHadrónica del IC1 hemos realizado el análisis más completo hasta lafecha de los datos experimentales de colisiones entre protones yneutrones. Se trata de más de 8000 datos que fueron medidos enaceleradores de partículas de todo el mundo y entre 1950 y 2013.Hemos utilizado avanzadas técnicas estadísticas de validación paraseleccionar los datos mutuamente consistentes. Nuestro análisis hasido posible gracias a que hemos utilizado una representación“granulada” de la fuerza nuclear. El “potencial de Granada” se hamuestreado con la resolución espacial mínima permitida por elprincipio de incertidumbre de Heisenberg, del orden de 0.6 fm.

La base de datos de Granada ha permitido validar o refutar ciertasaproximaciones muy complejas de la teoría de la interacción fuerte.Actualmente varios grupos de físicos nucleares en Jülich (Alemania),JLAB (EEUU) y Cracovia (Polonia) están usando nuestra base dedatos para sus investigaciones teóricas sobre la fuerza nuclear y parael estudio de reacciones nucleares entre núcleos ligeros. El resultadomás notable de nuestra investigación ha sido la determinación de lafuerza nuclear con la mayor precisión hasta la fecha, una parte en5000. Esto nos ha permitido descubrir que los neutrones interactúanentre sí algo más intensamente que los protones, un resultado que seha publicado recientemente en Physical Review:

R. Navarro Pérez, J.E. Amaro, E. Ruiz Arriola, Precise Determination ofCharge Dependent Pion-Nucleon-Nucleon Coupling Constants,Phys.Rev. C95 (2017), 064001.

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Complejidad cuántica

La complejidad es una característicafundamental de los sistemas del mundo realal mismo nivel que, por ejemplo, su tamaño ysu peso. Sin embargo, la cuantificación delas nociones intuitivas de complejidad es unatarea no-trivial habida cuenta de susmúltiples facetas relacionadas con losdiversos aspectos del desorden interno delsistema y de su conexión con los fenómenosde orden-desorden y regularidad-aleatoriedad. Lo cual hace pensar que noexiste una única magnitud físico-matemáticaque describa nuestra intuición de lacomplejidad, sino que se necesitannumerosos cuantificadores de la misma.

Los métodos funcionales de la densidad delos sistemas multi-electrónicos junto con lateoría de la información de los sistemascuánticos finitos han proporcionado varioscuantificadores de la complejidad de talessistemas tal como ésta se manifiesta en laenorme diversidad de las geometríastridimensionales que pueden tomar lasdensidades de probabilidad electrónicas desus estados cuánticos permitidos según lamecánica cuántica no-relativista. Estadiversidad aumenta muy rápidamentecuando se consideran los grados de libertadrelativistas de los constituyentes mono-particulares del sistema y/o si la dimensióndel espacio de configuración del sistemaaumenta.

Algunos de estos funcionales de la densidadson muy conocidos y utilizados en ciencia ytecnología, desde la mecánica estadística y lafísica cuántica a la genética, la economía y lastecnologías cuánticas (e.g., criptografía,teleportación, computación, metrología).Estos funcionales cuantifican facetasespecíficas del desorden interno del sistema;cabe mencionar entre ellas a las medidasentrópicas de tipo Fisher, Shannon y susdiversas generalizaciones.

Sin embargo, tales magnitudes no sonsuficientes para describir y cuantificar elgrado de estructura y complejidad de lossistemas naturales. La exploración (ycuantificación) de la mezcla de simplicidad ycomplejidad, regularidad y aleatoriedad,orden y desorden, constituye un desafíocientífico de primer orden desde la física departículas y la cosmología a los sistemascomplejos adaptativos y últimamente losseres vivos. Sin embargo, no se conocenleyes universales que gobiernen lacomplejidad de los sistemas físicos. Mientrasque la segunda ley de la termodinámicaindica una entropía siempre creciente, lacomplejidad parece comportarse de formaabsolutamente diferente.

El plasma caliente que dominaba el universoen sus comienzos y el estado final deequilibrio térmico que predice su muertetérmica, llaman la atención por susimplicidad. Sin embargo, entre ambosextremos existen las estrellas, las galaxias yla vida indicándonos que el universo escomplejo; y por ello es interesante. Paraabordar esta cuestión con el fin de formalizarcuantitativamente de forma más completa lanoción intuitiva de complejidad de unsistema físico, se han propuesto numerosasmedidas teórico-informacionales de diversasofistificación para describir y cuantificar elgrado de complejidad de un sistema físico.Estas medidas pueden, en términosgenerales, separarse en dos grandes grupos.

Por un lado están las medidas decomplejidad intrínsecas, que dependen deuna distribución de probabilidadcaracterística del sistema y describensimultáneamente varias facetas de lacomplejidad del sistema, tales como e.g. lasmedidas de Fisher-Shannon, LMC y Crámer-Rao. Estas medidas presentan una serie depropiedades muy interesantes (e.g., son

invariantes bajo replicación, traslación ytransformaciones de escala) y constituyen unbuen indicador de la estructura, organizacióny correlación en los sistemas naturales [1-3].Por otro se hallan las medidas decomplejidad extrínsecas o de tipoKolmogorov y sus extensiones, que se basanen la idea de que la complejidad de unsistema o un proceso puede cuantificarse porla complejidad de su modelo matemáticomás sencillo: el modelo que requiere lainformación mínima del pasado para predecirel comportamiento óptimo del sistema en elfuturo. Recientemente se ha mostrado queestos modelos, conocidos como ε-machines,pueden simplificarse aún más por medio dela lógica cuántica y están dando lugar anuevas medidas de complejidad basadas enlas denominadas ε-machines cuánticas [4].

[1] L. Rudnicki, I.V. Toranzo, P. Sánchez-Moreno and J.S. Dehesa, Monotonemeasures of statistical complexity. PhysicsLetters A 380(3), (2016) 377.[2] K.D. Sen (Ed.). Statistical Complexity:Applications in Electronic Structure. Springer,2011, New York.[3] Ver también las memorias doctorales deIrene Valero Toranzo (2017) y David PuertasCenteno (2018).[4] R. Tan, Daniel R. Terno, J. Thompson, V.Vedral, M. Gu, Towards quantifyingcomplexity with quantum mechanics, Eur.Phys. J. Plus 129 (2014) 191.

Jesús Sánchez-Dehesa (dehesa@ugr.es).

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Apuntes de Física:

el desorden con la entropía

Francisco de los Santos.Departamento de Electromagnetismo y Física de la materia e Instituto Carlos I de Física teórica y computacional. Universidad de Granada, E-18071 Granada. Email: fdlsant@ugr.es

Qué útil es que muchas magnitudes físicas tengan nombres tomadosdel lenguaje ordinario. Puede uno ahorrarse su definición cualitativaporque, como ocurre por ejemplo con la longitud o el tiempo, bastacon el concepto que cada cual tenga de ellas. Pero no siemprenuestras definiciones intuitivas coinciden con las formales y así ocurreque, aunque siga siendo indudablemente útil llamar fuerza a lasfuerzas y trabajo al trabajo, para evitar anfibologías es necesarioaclarar que pese a que cuesta trabajo sostener inmóvil un libro pesadocon los brazos, no se realiza trabajo macroscópico alguno. Sucedealgo parecido con la entropía. Se la identifica muy a menudo con eldesorden de un sistema, fiando sin más su significado a lo que cadauno entienda por desorden, palabra que puede tener interpretacionesmuy diferentes según quien la use. Por ejemplo, está muy extendidala idea de que la ley del incremento de entropía describe la tendenciade todos los cuerpos a romperse, desgastarse o, en general, aevolucionar hacia estados menos ordenados. Cabría esperar entoncesque la oxidación de los metales, por lo que tiene de deterioro odegradación, condujese a estados de mayor entropía. No obstante,recurriendo a libros de tablas de propiedades de sustancias es fácilcomprobar que en la reacción de oxidación del hierro 4Fe + 3O2 →

2Fe2 O3, la entropía de los productos es inferior a la de los reactivos en549'753 J/K por mol (sin que esto implique que decrezca la entropía deluniverso).

Existen ejemplos aún más llamativos. El más famoso, y durantemucho tiempo controvertido, es la congelación de un sistema deesferas duras. Consiste éste en un conjunto de partículas de diámetrodado que no interactúan entre sí salvo cuando colisionan, en cuyocaso, por ser rígidas e impenetrables, los choques son elásticos.Poseen la propiedad, como los gases ideales, de que su energíainterna, U, sólo depende de la temperatura, pero, al contrario queellos, son susceptibles de cambiar de estado de agregación. Cabeimaginar un conjunto de esferas duras confinadas en un recipientecerrado de volumen fijo. Si se aumenta la presión a temperaturaconstante partiendo de un estado líquido, se observa unasolidificación, es decir, un cambio de fases de un estado desordenadoa otro ordenado. La Termodinámica afirma que en estascircunstancias de temperatura, volumen y número de molesconstantes, el sistema tenderá a minimizar su energía libre deHelmholtz, F=U-TS. Siendo la temperatura fija, también lo es Uporque depende exclusivamente de ella, y, en consecuencia, F sólopuede disminuir si aumenta la entropía, S. Se tiene pues unaordenación espontánea acompañada de un aumento de entropía. Esteresultado, de principios de los años 50, se recibió con gran

escepticismo hasta que las simulaciones numéricas llevadas a cabo en1957 por William Wood y J. D. Jacobson, por un lado, y Berni Alder yThomas Wainwright por otro, proporcionaron las primerasindicaciones de la congelación de un fluido de esferas duras, en lo quepuede considerarse la primera ocasión en la que se dilucida unacuestión física de fondo mediante el uso de ordenadores. La paradojase aclara notando que la entropía está relacionada con el logaritmodel volumen accesible a cada partícula. El de un fluido es muy superioral de los sólidos cristalinos, en los que puede verse como el espaciopor donde una partícula puede moverse hasta chocar contra otrassitas en los lugares de la red adyacentes. Sin embargo, el volumendisponible por partícula disminuye rápidamente conforme aumenta ladensidad. Se anula en el caso de fluidos cuando se alcanza el llamadopunto de empaquetamiento aleatorio, en el que las esferas ocupanaproximadamente un 64% del volumen total, mientras que en el casode cristales se anula cuando dicha fracción es ligeramente superior al74% (como conjeturó Johannes Kepler). Por lo tanto, a altasdensidades las esferas duras ganan volumen accesible cuando secristalizan total o parcialmente.

Hoy abundan los ejemplos en los que se observan aumentossimultáneos del orden visible y la entropía, que se han venido enllamar cambios de fase entrópicos. No hay espacio aquí paradetallarlos y explicar por qué no existe contradicción alguna entreellos y la definición precisa de entropía que da la Física estadística, nipor qué no se viola la segunda ley de la Termodinámica. El lector quebusque la expresión "entropía de Boltzmann" hallará la respuesta y setopará con una de las ecuaciones más simples y profundas de la Física.

Fluido de esferas duras cercano al punto de empaquetamientoaleatorio (izquierda) y el mismo fluido cristalizado (derecha).