böj- och böjvridknäckning av stålpelare enligt eurokod 3

2010-05-27 Högskolan i Halmstad Sektionen för Ekonomi och Teknik Byggingenjörsprogrammet Examensarbete 15 hp

Böj- och böjvridknäckning av stålpelare

enligt Eurokod 3

Beräkningshjälpmedel

Johan Lind

Jimmy Lovén

Handledare: Göran Nilsson

Biträdande handledare: Bertil Nilsson

Böj- och böjvridknäckning av stålpelare enligt Eurokod 3 – Beräkningshjälpmedel

Johan Lind Jimmy Lovén



Abstrakt Metoden för att dimensionera stålpelare med avseende på böj- och böjvridknäckning enligt Eurokod 3 är omständlig och tidskrävande. Syftet med arbetet var att skapa beräkningshjälpmedel som underlättar dimensionering för hand enligt Eurokod 3. Först studerades bakgrunden till de befintliga dimensioneringsformlerna, hur de uppkommit och varför de ser ut som de gör. Sedan kunde hjälpmedel i form av interaktionsdiagram och tabeller tas fram. Interaktionsdiagrammen visar t.ex. olika kombinationer av tillåten normalkraft och moment för olika pelarprofiler och längder. För att göra det möjligt att konstruera interaktionsdiagram har tre specifika lastfall behandlats. Dessutom har arbetet begränsats till de vanligaste varmvalsade stålprofilerna. Resultatet har redovisats i en handbok med interaktionsdiagram för de olika fallen och profilerna. Dimensioneringshjälpmedlen förkortar beräkningstiden avsevärt vid handberäkningar.

Abstract The method for designing steel columns regarding flexural and lateral torsional buckling according to Eurocode 3 is verbose and time consuming. The point of this report was to create auxiliary means by which calculations according to Eurocode 3 can be made. First, the background to the existing design formulas was studied, how they emerged and why their appearances were chosen. Then, interaction diagrams and charts could be derived. The interaction diagrams shows for example different combinations of the allowed axial compression and moment of different column profiles and lengths. In order to make it possible to create the interaction diagrams, three specific load combinations have been treated. Besides that, the work has been limited to the most common hot rolled steel profiles. The results have been collected in a manual with interaction diagrams for the different cases and profiles. The auxiliary means shortens the time for calculation by hand substantially.

Förord Vi vill tacka Göran Nilsson för handledning, Bertil Nilsson för handledning och hjälp med datorprogrammet Mathematica, samt Bengt Hjort för vettiga synpunkter och åsikter. Vi vill även tacka Stålbyggnadsinstitutet för hjälp med litteratursökning. Halmstad, maj 2010 Johan Lind Jimmy Lovén



Innehållsförteckning 1. Inledning .......................................................................................................................1

1.1. Bakgrund ................................................................................................................1 1.2. Mål .........................................................................................................................2 1.3. Metod .....................................................................................................................2 1.4. Begränsningar .........................................................................................................3

2. Beteckningar .................................................................................................................5 DEL 1 3. Böjda och tryckta bärverksdelar enligt Eurokod 3 ................................................... 11

3.1. Interaktionsformler för andra ordningens moment ................................................. 11 3.2. Metod 1: Interaktionsfaktorer kij ........................................................................... 12

4. Bakgrund till reglerna i Eurokod 3 ............................................................................ 15 4.1. Ren knäckning ...................................................................................................... 15

4.1.1. Teori ............................................................................................................. 15 4.1.2. Dimensioneringsformler ................................................................................ 17

4.2. Vippning ............................................................................................................... 17 4.2.1. Teori ............................................................................................................. 17 4.2.2. Dimensioneringsformler ................................................................................ 20

4.3. Tryck och böjning ................................................................................................. 20 4.3.1. Teori ............................................................................................................. 20 4.3.2. Dimensioneringsformler ................................................................................ 22 4.3.3. Cm-faktorn ..................................................................................................... 22

4.4. Inverkan av elastisk-plastiska effekter ................................................................... 24 4.4.1. Teori ............................................................................................................. 24 4.4.2. Dimensioneringsformler ................................................................................ 26 4.4.3. Plasticitetsfaktorer ......................................................................................... 26

4.5. Inverkan av vippning vid normalkraft.................................................................... 27 4.5.1. Teori ............................................................................................................. 27 4.5.2. Dimensioneringsformler ................................................................................ 28 4.5.3. Vippningsfaktorer.......................................................................................... 29

4.6. Andra ändförhållanden .......................................................................................... 31 4.7. Sammanställning ................................................................................................... 31

DEL 2 5. Dimensioneringshjälpmedel ....................................................................................... 35

5.1. Fall 1..................................................................................................................... 37 5.1.1. Tvärsnittsklass 1 och 2 .................................................................................. 38 5.1.2. Knäckningsfaktorn χy .................................................................................... 39 5.1.3. Plasticitetsfaktorn Cyy .................................................................................... 39 5.1.4. Tvärsnittsklass 3 ............................................................................................ 42

5.2. Fall 2..................................................................................................................... 43 5.3. Fall 3..................................................................................................................... 45

6. Beräkningsexempel ..................................................................................................... 47 6.1. Exempel 1 ............................................................................................................. 47 6.2. Exempel 2 ............................................................................................................. 49



7. Resultat ....................................................................................................................... 51 7.1. Fall 1..................................................................................................................... 51 7.2. Fall 2..................................................................................................................... 52 7.3. Fall 3..................................................................................................................... 52 7.4. Kapaciteter ............................................................................................................ 52 7.5. Övrigt ................................................................................................................... 52

8. Källor .......................................................................................................................... 53 BILAGOR: Härledningar ............................................................................................................ Bilaga 1 Ren knäckning .................................................................................................... Bilaga 1.1 Vippning ............................................................................................................ Bilaga 1.2 Bakgrund till interaktionsformler ........................................................................ Bilaga 1.3 Andra ordningens moment .................................................................................. Bilaga 1.4 Cm-faktorer för vanliga fall ................................................................................. Bilaga 1.5 Beräkningar .............................................................................................................. Bilaga 2 Fall 1 .................................................................................................................. Bilaga 2.1 Fall 2 .................................................................................................................. Bilaga 2.2 Fall 3 .................................................................................................................. Bilaga 2.3 Dimensioneringshandbok ......................................................................................... Bilaga 3


Johan Lind Jimmy Lovén - 1 -

1. Inledning

1.1. Bakgrund 1975 hölls ett informationsmöte i Bryssel där den dåvarande EEC1-kommissionen presenterade projektet Eurocodes. Syftet med detta projekt var att ge EEC gemensamma konstruktionsregler för ”befrämjande av en fri byggmarknad inom gemenskapen”2. Idag, 35 år senare, börjar det närma sig den dag då dessa nya standarder (Eurokoder) ska ersätta de nationella standarderna. I Sverige kommer det att innebära att Boverkets

Konstruktionsregler (BKR) och andra svenska byggstandarder byts ut mot Eurokoderna samt en nationell bilaga. Idag går det bra att använda de två standarderna parallellt, men målsättningen är att vid utgången av 2010 skall Eurokoderna börja gälla fullt ut, vilket betyder att BKR då kommer att utgå. Den nya standardens dimensioneringsmetoder skiljer sig inom vissa områden från den nuvarande, vilket kan innebära problem för byggkonstruktören. Vissa dimensioneringsmetoder enligt Eurokod är t.ex. mer komplicerade och svårhanterliga än metoderna i de svenska standarderna. Ett exempel på ett område där den nya metoden är betydligt mer komplicerad än den nuvarande är böj- och böjvridknäckning av bärverksdelar (pelare och balkar) i stål. Böj- och böjvridknäckning är två liknande instabilitetsfenomen som kan uppkomma i en slank bärverksdel. Böjknäckning kan uppkomma både vid enbart tryck och samtidigt tryck och böjning, medan böjvridknäckning endast uppkommer vid samtidigt tryck och böjning. I en stålpelare blir ofta böj- eller böjvridknäckningen dimensionerande, eftersom stålpelare oftast är mycket slanka (pga. den höga hållfastheten i materialet). I de nuvarande svenska stålnormerna Boverkets handbok om stålkonstruktioner (BSK 07) finns relativt enkla metoder för att dimensionera en bärverksdel i stål med avseende på böj- och böjvridknäckning. I samband med övergången till Eurokod kommer emellertid dessa metoder att försvåras betydligt. De nya metoderna är omständliga och tidskrävande; dessutom är det svårt för konstruktören att skapa sig en förståelse för metoden pga. dess komplexitet. Detta kommer i framtiden bli ett problem för de konstruktörer som dimensionerar bärverksdelar i stål för hand (utan datorhjälpmedel). Alla konstruktörer som varit i kontakt med den nya dimensioneringsmetoden inser nog vikten av att ta fram någon form av hjälpmedel. Professorn i stålbyggnad, Bernt Johansson, beskriver i en artikel det arbete som förelåg reglerna för samtidigt tryck och böjning. Flera alternativa förslag diskuterades (inklusive BSK:s enkla regler) men tyvärr hade ingen från Sverige tid att vara med i diskussionerna. Resultat blev inte en utan två metoder som man kan välja mellan. Dessa bygger på interaktionsformler som innehåller ”en uppsjö av formler för koefficienter och de är långt ifrån användarvänliga”. Avslutningsvis skriver Johansson att det får ses som ett misslyckande att de inte valde en av de två metoderna.2

1 European Economic Community – internationell organisation för att främja ekonomisk integration mellan de dåvarande EG-länderna 2 B Johansson, ”Eurokod 3 – Stålkonstruktioner”, Väg- och vattenbyggaren, 2006:2



Vid kontakt med Stålbyggnadsinstitutet visade det sig att de i nuläget inte har några smidiga hjälpmedel eller metoder för att underlätta dimensioneringen av bärverksdelar i stål med avseende på knäckning enligt Eurokod 3 (den delen av Eurokod som behandlar stålkonstruktioner). Varför då ta fram hjälpmedel för handberäkning då den allra största delen av all dimensionering idag sker med hjälp av datorkraft? Till denna invändning finns flera svar. Dels är det inte alla konstruktörer som använder datorprogram; dessa är dyra och måste användas flitigt om de ska löna sig. Dessutom är inte alla program så avancerade att de kan hantera t.ex. böjvridknäckning av bärverksdelar. Hjälpmedlen kan också vara användbara då man snabbt vill undersöka ungefär vilken dimension man behöver i ett visst fall. I en sådan situation kan hjälpmedlen kanske göra dimensioneringen snabbare än en noggrann datorberäkning. Slutligen kan hjälpmedlen underlätta förståelsen för hur en bärverksdel uppför sig vid böj- eller böjvridknäckning. Ett interaktionsdiagram visar t ex. tydligt hur kapaciteten för en bärverksdel varierar för olika normallaster och moment.

1.2. Mål Målet med examensarbetet är ta fram enkla hjälpmedel, i form av tabeller och diagram, som underlättar konstruktörens arbete vid dimensionering av stålpelare med avseende på böj- och böjvridknäckning för hand. Hjälpmedlen ska utan undantag bygga på Eurokod 3:s dimensioneringsmetod.

1.3. Metod Kvantitativa studier kommer att användas för att ta fram en lösning på problemet. Eftersom studien inte är ett fenomen som kan studeras ”i verkligheten”, dvs. något som utreds genom empiriska undersökningar o. dyl. blir det svårt att genomföra studien enligt mallen för hur en kvantitativ studie görs. Den skiljer sig även så till vida att studien ska resultera i något konkret, nämligen beräkningshjälpmedel. Till en början läggs fokus på litteraturinsamling och litteraturinlärning, varefter problemet analyseras och hjälpmedel konstrueras. Man kan tänka sig olika typer av hjälpmedel, som skulle underlätta dimensioneringen. Att konstruera ett datorprogram (t.ex. i Microsoft Excel) ligger nära till hands, eftersom det är väldigt många olika parametrar som används. Men eftersom det finns kommersiella dimensioneringsprogram – som också måste anpassas till Eurokod – kommer sådana hjälpmedel snart finnas på marknaden. Då det för konstruktören är smidigare att kunna sköta all dimensionering i ett (kommersiellt) program, kommer han inte ha så stor användning av ett Excelprogram som endast hanterar böj- och böjvridknäckning av stålpelare. En annan metod skulle kunna vara att analysera instabilitetsfenomenet från grunden med hjälp av Finita elementmetoden (FEM), och utifrån den analysen konstruera t.ex. diagram som dimensioneringshjälpmedel. Men därigenom går man förbi den norm som man trots allt är bunden till. Stålpelarna skulle antagligen hålla, men dimensioneringen skulle inte göras enligt normen. Därmed sjunker användbarheten betydligt. Slutligen återstår alternativet att utifrån metoden i Eurokod 3 konstruera smarta diagram och tabeller som kan användas som hjälpmedel vid dimensioneringen. Därmed får man ett hjälpmedel som kan användas vid handberäkningar och som helt bygger på Eurokod 3.



Till en början studeras bakgrunden till beräkningsmetoden enligt Eurokod 3. Därefter inriktas studien på olika vanligt förekommande fall, för att antalet ingående parametrar ska reduceras. Slutligen konstrueras diagram och tabeller för de olika fallen som ska underlätta dimensioneringen. Till hjälp med det rent matematiska används datorprogrammet Mathematica.

1.4. Begränsningar Problemställningen är väl avgränsad i sin natur, då det redan från början fokuseras på det relativt smala området böj- och böjvridknäckning av stålpelare enligt Eurokod 3. Ytterligare avgränsningar har emellertid gjorts. Ansatsen avgränsas till tre fall, som beskrivs i kapitel 5. Anledningen till detta är dels tidsbegränsningen, dels behovet av att hålla antalet obekanta parametrar nere, för att överhuvudtaget kunna skapa dimensioneringshjälpmedel. Studien begränsas också till de varmvalsade profilerna IPE, HEA och VKR. Dessutom begränsas profilerna till de dimensioner som bedömts vara vanligast förekommande. Vad gäller tvärsnittsklasser kan det av samma skäl som för de olika fallen endast studeras tvärsnittsklasserna 1-3.



2. Beteckningar Balkstorheter L Bärverksdelens längd

crL Bärverksdelens knäckningslängd

h Tvärsnittets höjd

A Tvärsnittets area

effA Effektiv tvärsnittsarea

iI Tröghetsmoment

wI Välvningsstyvhet

TI Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor

iiel WW ,, Elastiskt böjmotstånd kring i-axeln

iplW , Plastiskt böjmotstånd kring i-axeln

ieffW , Effektivt böjmotstånd kring i-axeln

iw Förhållandet mellan plastiskt och elastiskt böjmotstånd

E Elasticitetsmodul

G Skjuvmodul

yf Sträckgräns

iλ Slankhetsparameter vid ren knäckning

maxλ Största värdet av yλ och zλ

0λ Slankhetsparameter för vippning vid konstant moment

LTλ Slankhetsparameter vid vippning

icrN , Elastisk böjknäcklast

TcrN , Elastisk vridknäcklast

TFcrN , Elastisk böjvridknäckningslast

crM Kritiskt vippningsmoment

)0(crM Kritiskt vippningsmoment vid ren böjning

)(NcrM Kritiskt vippningsmoment vid normalkraftens inverkan

Lasteffekter

EdN Dimensionerande normalkraft

EdiM , Dimensionerande moment kring i-axeln

)(, xM Edi Maximalt dimensionerande moment (i båda riktningar)

max,EdM Maximalt dimensionerande moment II

EdM max, Andra ordningens maximala moment

EdiM ,∆ Tillskottsmoment p.g.a. tyngdpunktens förskjutning kring i-axeln

ψ Förhållandet mellan ändmoment i en bärverksdel



Kapaciteter

RkN Karakteristisk normalkraftskapacitet

RdplN , Dimensionerande plastisk normalkraftskapacitet

RdbN , Normalkraftskapacitet med hänsyn till ren knäckning

RkiM , Karakteristisk momentkapacitet kring i-axeln

RdM Dimensionerande momentkapacitet

RdielM ,, Dimensionerande elastisk momentkapacitet kring i-axeln

RdiplM ,, Dimensionerande plastisk momentkapacitet kring i-axeln

Faktorer

ijC Faktor som tar hänsyn till plastiska effekter

**,βα Plasticitetsfaktorer vid dubbelaxligt moment

βα , Plasticitetsfaktorer vid dubbelaxligt moment och tvärsnittskontroll

0,, mimi CC Faktor som tar hänsyn till andra ordningens effekter

mLTC Faktor som tar hänsyn till vippningens inverkan på andra ordningens effekter

LT

LTLT

LTLT

e

dc

ba

,,

,,

Faktor som tar hänsyn till vippningens inverkan på plasticering

21 ,CC Faktorer som beror på lasten och ändförhållanden

Stödparametrar

iµ Förekommer i interaktionsformlerna

pln Förhållandet mellan dimensionerande normalkraft och normalkraftskapacitet

φ Förekommer vid beräkning av reduktionsfaktorer Övrigt

1Mγ Partialkoefficient med hänsyn till instabilitet

iχ Reduktionsfaktor för ren knäckning i i-riktningen

LTχ Reduktionsfaktor för vippning

ijk Interaktionsfaktor

v Nedböjning till följd av moment kring y-axeln

u Utböjning till följd av moment kring z-axeln

xδ Största utböjning längs bärverksdelen

gz Avståndet mellan lastens angreppspunkt och tvärsnittets skjuvcentrum

ϕ Vridning

yε Flyttöjning

η Generell initialimperfektion

α Imperfektionsfaktor



Axlar x Axel längs bärverksdelen

y Tvärsnittsaxel i styva riktningen (se figur 1)

z Tvärsnittsaxel i veka riktningen (se figur 1)

ζ Lokal axel längs bärverksdelen

ξ Lokal tvärsnittsaxel i styva riktningen (se figur 1)

η Lokal tvärsnittsaxel i veka riktningen (se figur 1)

y y

z

z

y y

z

z

Figur 1: Definition av tvärsnittsaxlar



Del 1



3. Böjda och tryckta bärverksdelar enligt Eurokod 3 I detta kapitel redovisas en dimensioneringsmetod för bärverksdelar av stål vid samtidigt verkande normalkraft och moment enligt Eurokod 3. Det är denna metod som kommer att ligga till grund för resterande del av rapporten.

3.1. Interaktionsformler för andra ordningens moment Första ordningens moment i styva och veka riktningen (y- och z-axeln) uppkommer genom transversallast i bärverksdelens längdriktning och/eller ändmoment. Om bärverksdelen dessutom belastas med en normalkraft uppstår andra ordningens moment till följd av utböjningen. I Eurokod 3 används följande interaktionsformler för att ta hänsyn till detta fenomen:

1/// 1,

,,

1,

,,

1

≤∆+

+∆+

+MRkz

EdzEdz

yz

MRkyLT

EdyEdy

yy

MRky

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

γγχγχ (3.1)3

1/// 1,

,,

1,

,,

1

≤∆+

+∆+

+MRkz

EdzEdz

zz

MRkyLT

EdyEdy

zy

MRkz

Ed

M

MMk

M

MMk

N

N

γγχγχ (3.2)4

där

EdN , EdyM , och EdzM , är de dimensionerande värdena för tryckkraft och maximalt moment kring y- och z-axeln

EdyM ,∆ , EdzM ,∆ är tillskottsmoment på grund av tyngdpunktens förskjutning (= 0 i tvärsnittsklass 1, 2 och 35)

yχ och zχ är reduktionsfaktorer på grund av böjknäckning6

LTχ är en reduktionsfaktor på grund av vridknäckning och böjvridknäckning7

yyk , yzk , zyk , zzk är interaktionsfaktorer

För beräkning av kij-faktorerna finns två olika metoder man kan använda. De två metoderna har uppstått utifrån olika sätt att närma sig interaktionsproblemet. I Sverige har det fastslagits att metod 1 bör användas8, varför endast denna metod behandlas i rapporten.

3 Ekv. 6.61 i SS-EN 1993-1-1:2005 4 Ekv. 6.62 i SS-EN 1993-1-1:2005 5 Tabell 6.7 i SS-EN 1993-1-1:2005 6 Avsnitt 6.3.1 i SS-EN 1993-1-1:2005 7 Avsnitt 6.3.2 i SS-EN 1993-1-1:2005 8 Bilaga NA (Nationellt valda parametrar m.m.) i SS-EN-1993-1-1:2005



3.2. Metod 1: Interaktionsfaktorer kij 9

Tabell 1: Interaktionsfaktorer kij

Interaktions- faktorer

Dimensioneringsförutsättningar

Elastiska tvärsnittsstorheter Tvärsnitt i klass 3 och 4

Plastiska tvärsnittsstorheter Tvärsnitt i klass 1 och 2

kyy

ycr

Ed

y

mLTmy

N

NCC

,

1−

µ

yy

ycr

Ed

y

mLTmyC

N

NCC

1

1,

−

µ

kyz

zcr

Ed

y

mz

N

NC

,

1−

µ

y

z

yz

zcr

Ed

y

mzw

w

C

N

NC 6,0

1

1,

−

µ

kzy

ycr

Ed

zmLTmy

N

NCC

,

1−

µ

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmy

w

w

C

N

NCC 6,0

1

1,

−

µ

kzz

zcr

Ed

zmz

N

NC

,

1−

µ

zz

zcr

Ed

zmz

C

N

NC

1

1,

−

µ

Hjälpfunktioner:

0

,

,

,

,

,

,

,

,

/

5,1

5,1

1

1

1

1

MRk

Ed

pl

zel

zpl

z

yel

ypl

y

zcr

Edz

zcr

Ed

z

ycr

Edy

ycr

Ed

y

N

Nn

W

Ww

W

Ww

N

N

N

N

N

N

N

N

γ

χ

µ

χ

µ

=

≤=

≤=

−

−

=

−

−

=

:myC se tabell 2

01 ≥−=y

TLT

I

Ia

( )ypl

yel

LTplmy

y

my

y

yyyW

WbnC

wC

wwC

,

,2

max2

max2 6,16,1

211 ≥

−

−−−+= λλ

med Rdzpl

Edz

RdyplLT

Edy

LTLTM

M

M

Mab

,,

,

,,

,205,0

χλ=

( )zpl

zel

y

zLTpl

z

mzzyz

W

W

w

wcn

w

CwC

,

,

5

2max

2

6,014211 ≥

−

−−+=

λ

med RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mac

,,

,

4

2

0

510

χλ

λ

+=

( )ypl

yel

z

y

LTpl

y

my

yzyW

W

w

wdn

w

CwC

,

,

5

2

max2

6,014211 ≥

−

−−+=

λ

med Rdzplmz

Edz

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

M

MC

Mad

,,

,

,,

,

4

0

1,02

χλ

λ

+=

( )zpl

zel

plLTmz

z

mz

z

zzzW

WneC

wC

wwC

,

,2

max2

max2 6,16,1

211 ≥

−−−−+= λλ

med RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mae

,,

,

4

0

1,07,1

χλ

λ

+=

9 Bilaga A i SS-EN 1993-1-1:2005



Forts. Tabell 1

=z

y

λ

λλ maxmax

0λ = slankhetsparameter för vippning på grund av konstant moment, dvs. Ψy = 1,0 i tabell 2

LTλ = slankhetsparameter för vippning

Om :112,0 4

,,

10

−

−≤

TFcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NCλ 0,mymy CC =

0,1,

0,

=

=

LTm

mzmz

C

CC

Om :112,0 4

,,

10

−

−>

TFcr

Ed

zcr

Ed

N

N

N

NCλ ( )

LTy

LTy

mymymya

aCCC

ε

ε

+−+=

11 0,0,

0,mzmz CC =

1

11,,

2 ≥

−

−

=

Tcr

Ed

zcr

Ed

LTmymLT

N

N

N

N

aCC

yelEd

Edy

yW

A

N

M

,

,=ε för tvärsnitt i klass 1, 2 och 3

yeff

eff

Ed

Edy

yW

A

N

M

,

,=ε för tvärsnitt i klass 4

ycrN , elastisk böjknäcklast kring y-axeln

zcrN , elastisk böjknäcklast kring z-axeln

TcrN , elastisk vridknäcklast

TFcrN , elastisk böjvridknäcklast

TI vridstyvhetens tvärsnittsfaktor

yI tröghetsmoment kring y-axeln

1C faktor som beror på lasten och ändförhållanden



Tabell 2: Faktor för ekvivalent konstant moment

Momentdiagram 0,miC

( )icr

Ediimi

N

NC

,

0, 33,036,021,079,0 −Ψ+Ψ+=

( ) icr

Ed

Edi

xi

miN

N

xML

EIC

,,2

2

0, 11

−+=

δπ

( )

=Edz

Edy

Edi M

MxM

,

,

, max

xδ är största utböjning längs bärverksdelen

icr

Edmi

icr

Edmi

N

NC

N

NC

,

0,

,

0,

18,01

03,01

−=

+=

Denna metod kan tyckas svårbegriplig och omständlig. Det introduceras en rad faktorer vars betydelse inte förklaras. I kapitel 4 kommer de ingående faktorerna förklaras närmare.



4. Bakgrund till reglerna i Eurokod 3 I detta kapitel redovisas bakgrunden till dimensioneringsformlerna i Eurokod 3 (se kapitel 3). Redovisningen bygger i sin helhet på den bakgrundsdokumentation som ECCS10 tekniska kommitté tillhandhåller11. Som tidigare nämnts täcker rapporten endast den ena metoden för att ta fram interaktionsfaktorerna (metod 1). Denna metod är framtagen så att varje koefficient i formlerna representerar en enskild fysikalisk effekt. Detta är en stor fördel för konstruktören eftersom det då är lätt att urskilja de dominerande effekterna.

4.1. Ren knäckning

4.1.1. Teori

Utgångspunkten är en fritt upplagd bärverksdel som endast är belastad med en normalkraft (se figur 2).

Figur 2: Fritt upplagd balk belastad med en normalkraft11

Denna bärverksdel förutsätts ha en initiell geometrisk imperfektion v0(x) som är sinusformad med maxvärdet e0,d vid bärkverksdelens mitt enligt:

=

L

xexv doo

πsin)( , . (4.1)

Denna imperfektion samt normalkraften orsakar ett andra ordningens moment i bärverksdelen, som i sin tur ger upphov till ytterliggare en nedböjning v(x). Den elastiska linjens ekvation lyder:

0)('' =+EI

Mxv . (4.2)

v(x) i ekv. (4.2) är utböjningen som endast orsakas av momentet i bärverksdelen (och innehåller alltså inte den initiella imperfektionen). Momentet längs balken blir: ( ))()( xvxvNM oEd += . (4.3)

Med detta moment insatt i ekv. (4.2) får vi:

10 European Convention for Constructional Steelwork, europeisk organisation som tagit fram Eurokods stålstandarder. 11 Rules for Member Stability in EN 1993-1-1, Background documentation and design guidelines



( ) 0)()()('' =++ xvxvEI

Nxv o

Ed (4.4)

som har lösningen:

−=

L

xe

NN

Nxv do

Edcr

Ed πsin)( , (4.5)

där Ncr är den kritiska knäckningslasten:

2

2

L

EIN cr

π= . (4.6)

Den totala utböjningen vmax uppkommer i bärverksdelens mitt, dvs. för x = L/2, och blir summan av v(L/2) och v0(L/2):

do

crEd

do

Edcr

crdodo

Edcr

Ed eNN

eNN

Nee

NN

Nv ,,,,max

/1

1

−=

−=+

−= (4.7)

Vid en elastisk tvärsnittskontroll av samtidigt tryck och böjning gäller allmänt:

1≤+Rd

Ed

Rd

Ed

M

M

N

N. (4.8)12

Med utböjningen enl. ekv. (4.7) blir en andra ordningens kontroll:

1/1

1 ,≤

−+

Rd

doEd

crEdRd

Ed

M

eN

NNN

N. (4.9)

Om man ökar normalkraften till kollaps, dvs. låter NEd = Nb,Rd = χ NRd kan ekv. (4.9) skrivas:

( )( ) ηχχλχχ ==−−el

doW

Ae ,

211 (4.10)

där slankhetsparametern λ definieras enligt:

cr

Rk

N

N=

2λ (4.11)

och imperfektionen η:

el

doW

Ae ,=η . (4.12)

12 ”Härledningar” (Bilaga 1)



η representerar en generell initialimperfektion som bl.a. tar hänsyn till egenspänningar, initialkrokigheter och oavsiktliga lastexcentriciteter. Eftersom en del av dessa imperfektioner beror på bärverksdelens längd har man valt att definiera den enligt:

( )2,0−= λαη (4.13) där α är en imperfektionsfaktor som bl.a. beror på tvärsnittets form och knäckningsaxeln, medan 0,2 anger gränsen för den högsta slankheten vid vilken knäckningseffekter ej uppkommer (dvs. då man endast behöver kontrollera tvärsnittet).

4.1.2. Dimensioneringsformler

Med hjälp av stödparametern Ф kan man nu ur ekv. (4.10) lösa ut reduktionsfaktorn χ:

11

22

≤

−+

=

λφφχ (4.14)13

där

( )( )22,015,0 λλαφ +−+= . (4.15)13

Slutligen blir den dimensionerande normalkraftskapaciteten för bärverksdelar i tvärsnittsklass 1, 2 och 3 med avseende på ren knäckning:

1

,

M

y

Rdb

fAN

γ

χ= (4.16)14

och för tvärsnittsklass 4:

1

,

M

yeff

Rdb

fAN

γ

χ= . (4.17)15

Stabilitetskontrollen får utseendet:

1,

≤Rdb

Ed

N

N (4.18)16

4.2. Vippning

4.2.1. Teori

En fritt upplagd balk som är belastad med ett konstant böjmoment My i styva riktningen studeras. Balken är s.k. gaffellagrad i ändarna. Det innebär att den vid ändarna kan rotera fritt kring y- och z-axeln (den styva respektive veka riktningen), men är förhindrad att rotera kring

13 Ekv. 6.49 i SS-EN 1993-1-1:2005 14 Ekv. 6.47 i SS-EN 1993-1-1:2005 15 Ekv. 6.48 i SS-EN 1993-1-1:2005 16 Ekv. 6.46 i SS-EN 1993-1-1:2005



x-axeln (dvs. vridningsförhindrad). Den är också fri till att välva, dvs. över- och underflänsen kan böja ut åt olika håll, så att ett från början plant tvärsnitt inte längre förblir plant. Om balken förutsätts ha en liten vridning φ(x) blir momenten kring de lokala axlarna ξ, η och ζ:

)('

)sin(

)cos(

xuMdx

duMM

MMM

MMM

yy

yy

yy

==

−≈−=

≈=

ζ

η

ξ

ϕϕ

ϕ

(4.19)17

Med hjälp av den elastiska linjens ekvation och momenten i ekv. (4.19) kan följande differentialekvationer ställas upp:

0)('' =+y

y

EI

Mxv (4.20)

0)('' =−z

y

EI

Mxu

ϕ. (4.21)

Olikformig vridning längs en balk beskrivs allmänt av differentialekvationen:

xTw MxIGxIE =− )(')(''' ϕϕ (4.22)18

där IT är vridstyvhetens tvärsnittsfaktor och Iw välvningsstyvheten. Med vridmomentet Mζ (den lokala ξ-axeln motsvarar den globala x-axeln) enligt ekv. (4.19) fås:

0)(')(')(''' =−− xuMxIGxIE yTw ϕϕ . (4.23)

Vid derivering av ekv. (4.23) fås:

0)('')('')('''' =−− xuMxIGxIE yTw ϕϕ . (4.24)

Med hjälp av ekv. (4.24) och (4.21) fås genom substitution av u’’(x):

0)('')(''''2

=−−z

y

TwEI

MxIGxIE

ϕϕϕ (4.25)

Till denna differentialekvation kan följande randvillkor ställas upp:

0)('')0(''

0)()0(

==

==

L

L

ϕϕ

ϕϕ (4.26)

17 ”Härledningar” (Bilaga 1) 18 Ekv. 6.1i Structural stability of steel: Concepts and Applications for Structural Engineers



Den första raden randvillkor kommer av att balken är gaffellagrad i ändarna. Därmed fås ingen vridning där. Randvillkoren i den andra raden innebär att ändarna inte är välvningsförhindrade. En lösning som uppfyller randvillkoren ansätts:

=

L

xAx

πϕ sin)( (4.27)

där A är en konstant. Genom att sätta in denna lösning i ekv. (4.25) kan det kritiska vippningsmomentet Mcr (My i ekv. (4.25)) bestämmas:

+=

2

2

2 L

EIGI

L

EIM w

Tz

cr

ππ (4.28)

I analogi med fallet ren knäckning kan man teoretiskt ställa upp en elastisk andra ordningens interaktionsformel med avseende på vippning. För en fritt upplagd balk med I-profil och gaffellagring i ändarna, belastad med ett konstant moment My,Ed i styva riktningen får den utseendet:

12

1

12

,

,

,

2

2,

,

,,0

2

2,,

,≤

+

−

+cr

Edy

Rdz

zcr

cr

Edy

Rdz

zcr

d

cr

EdyRdy

Edy

M

M

M

hN

M

M

M

Ne

M

MM

M (4.29)19

I denna ekvation återfinns böjmoment i den styva riktningen (första termen), andra ordningens böjmoment (andra termen) och andra ordningens vridmoment (tredje termen). Kontrollen av vippning ska kunna uttryckas på samma form som vid ren knäckning, dvs.:

1,

,≤

RdyLT

Edy

M

M

χ (4.30)

Analogt med knäckningen används slankhetsparametern LTλ :

cr

RkyLT

M

M ,2=λ (4.31)

Med hjälp av ekv. (4.30) och (4.31) kan ekv. (4.29) skrivas:




( )2

4

242

, 1

2

111

1

zy

LTLT

zLTLT

LT

zdo h

W

AA

We

λχλ

λλχ

χ+

−

−= (4.32)

Denna generella imperfektion är analog till den för ren knäckning, men betydligt mer komplex. Den innehåller nästan alla aspekter av en balks uppförande. Man har valt att hantera detta problem på liknande sätt som för ren knäckning. Vippningskurvorna har liknande utseende och samma imperfektionsfaktorer används som vid ren knäckning, dock med andra gränser.20


Reduktionsfaktorn χLT i det generella fallet blir:

11

22

≤

−+

=

LTLTLT

LT

λφφχ (4.33)21

där

( )( )22,015,0 LTLTLT λλαφ +−+= . (4.34)21

För valsat tvärsnitt och ekvivalent svetsat tvärsnitt kan reduktionsfaktorn χLT bestämmas på ett något annorlunda sätt. Bl.a. tar man då hänsyn till ytterliggare en gynnsam effekt som momentfördelningen kan medföra (utöver den effekt som behandlats ovan). Denna effekt beror på reducerade plastiska zoner längs balken, pga. det varierande momentet. Den generella metoden för att bestämma reduktionsfaktorn χLT har emellertid valts. Därför behandlas inte den alternativa metoden här.

4.3. Tryck och böjning

4.3.1. Teori

Stabiliteten för en pelare med en initialimperfektion belastad med en normalkraft NEd kan uttryckas enl. ekv (4.9):

1/1

1 ,≤

−+

Rd

doEd

crEdRd

Ed

M

eN

NNN

N (4.9)

där e0,d är den ekvivalenta geometriska imperfektionen. Sedan tidigare finns också sambandet:

( )( ) ηχχλχχ ==−−el

doW

Ae ,

211 (4.10)

20 Jämför Tabell 6.1 och 6.2 resp. 6.3 och 6.4 i SS-EN 1993-1-1:2005 21 Ekv. 6.56 i SS-EN 1993-1-1:2005



Ekv. (4.10) kan skrivas:

( )( )Rdpl

Rdel

doN

Me

,

,

2

,

11

χ

λχχ −−= (4.35)

Om pelaren belastas med ett första ordningens moment utökas ekv. (4.9) med ytterliggare en term:

1/1

1 max,≤+

−+

Rd

II

Ed

Rd

doEd

crEdRd

Ed

M

M

M

eN

NNN

N. (4.36)

II

EdM max är andra ordningens maximala moment, orsakat av första ordningens moment.

Momentet av första ordningen orsakar nämligen en utböjning vilken i kombination med normalkraften ger upphov till ett andra ordningens moment. Eftersom ekv. (4.36) är en andra ordningens tvärsnittskontroll av det mest utsatta tvärsnittet

behöver egentligen läget för detta snitt bestämmas, för att sedan kunna bestämma II

EdM max . För

att undvika detta används emellertid ett ekvivalent moment. Den verkliga första ordningens momentfördelning byts mot en sinusformad första ordningens dito som orsakar samma andra ordningens moment som den ursprungliga fördelningen (se figur 3). Det maximala momentet i den nya sinusformade momentfördelningen är det ekvivalenta momentet.

Figur 3: Verklig momentfördelning och den ekvivalenta sinusformade22

Det ekvivalenta momentet skrivs på formen Cm MEd där Cm är omvandlingsfaktorn. Nu kan

andra ordningens maximala moment II

EdM max bestämmas enligt:

crEd

EdmII

EdNN

MCM

/1

max

max−

= (4.37)23

med samma förstoringsfaktor som för ren knäckning. Med hjälp av ekv. (4.36) och (4.37) kan slutligen en elastisk andra ordningens kontroll av det mest utsatta tvärsnittet utryckas:

1/1

1

/1

1 ,≤

−+

−+

Rd

Edm

crEdRd

doEd

crEdRd

Ed

M

MC

NNM

eN

NNN

N (4.38)

22 Rules for Member Stability in EN 1993-1-1, Background documentation and design guidelines 23 ”Härledningar” (Bilaga 1)



Ekv. (4.38) kan också skrivas:

1/1

1≤

−+

Rd

Edm

crEdRd

Ed

M

MC

NNN

Nµ

χ (4.39)24

med:

crEd

crEd

NN

NN

/1

/1

χµ

−

−= (4.40)

Fördelen med den senare formen är att den klassiska kontrollen av ren knäckning uppkommer separat, skiljt från momenttermen. Dock går det inte att undvika att momenttermen innehåller normalkraften NEd eftersom denna påverkar storleken av andra ordningens moment.


Vid dubbelaxligt moment förstorar normalkraften momenten i både den styva och veka riktningen. Detta resulterar i ett komplicerat samband mellan instabiliteten i de båda riktningarna. Av bl.a. praktiska skäl bortser man emellertid från detta samband. Därmed avviker Eurokod 3 något ifrån en strikt teoretisk ansats på detta område. Denna förenkling medför att man vid kontroll av dubbelaxligt moment samt normalkraft använder två interaktionsformler för vardera riktningen. Interaktionsformlerna liknar ekv. (4.39) med den skillnaden att ytterliggare en momentterm (för moment i andra riktningen) har adderats:

( ) ( )1

/1/1 ,,,

,

,,,

,

,

≤

−+

−+

RdzelzcrEd

Edzmz

RdyelycrEd

Edymy

y

Rdply

Ed

MNN

MC

MNN

MC

N

Nµ

χ (4.41)

( ) ( )1

/1/1 ,,,

,

,,,

,

,

≤

−+

−+

RdzelzcrEd

Edzmz

RdyelycrEd

Edymy

z

Rdplz

Ed

MNN

MC

MNN

MC

N

Nµ

χ (4.42)

med:

ycrEdy

ycrEd

yNN

NN

,

,

/1

/1

χµ

−

−= (4.43)

zcrEdz

zcrEd

zNN

NN

,

,

/1

/1

χµ

−

−= (4.44)

Ekv. (4.41) och (4.42) utgör alltså en stabilitetskontroll av respektive riktning, förutsatt att ingen instabilitetsinteraktion uppkommer mellan de båda riktningarna.

4.3.3. Cm-faktorn

Som det beskrevs i teorin ovan (kapitel 4.3.1) används Cm-faktorn för att omvandla en rådande momentfördelning till en ekvivalent sinusformad sådan. Denna faktor är mycket




viktig då det gäller momentbelastade pelare. Kvaliteten på uttrycken för Cm-faktorn helt avgörande för hela interaktionsformelns giltighet. Det allmänna uttrycket för Cm-faktorn kan härledas ur ekv. (4.37):

max

max1

Ed

II

Ed

cr

Edm

M

M

N

NC

−= (4.45)

där maxEdM är det maximala första ordningens böjmoment och II

EdM max andra ordningens dito.

När böjningen av en bärverksdel orsakas av en transversallast – eller ändmoment och samtidig transversallast – är det svårt att ta fram ett exakt generellt teoretiskt uttryck för Cm, detta eftersom formen på andra ordningens momentfördelning har stor variation. Hursomhelst har man kommit fram till följande uttryck:

cr

Edm

N

N

LM

vEIC

−+= 11

20

02π

(4.46)

där M0 är första ordningens maximala böjmoment och v0 första ordningens maximala utböjning. För det vanliga fallet med en punktlast mitt på bärverksdelen kan ekv. (4.46) förenklas till:

cr

Ed

mN

NC 18,01−= (4.47)25

På motsvarande sätt blir Cm vid jämnt utbredd last:

cr

Edm

N

NC 03,01+= (4.48)25

I det senare fallet är normalkraftens inverkan på det ekvivalenta momentet ringa. Detta beror på att en jämnt utbredd last har en momentfördelning som liknar den sinusformade fördelning, till vilken det ekvivalenta momentet är relaterat. När momentfördelningen över en bärverksdel är linjär, med momentet MEd i ena änden och

EdMψ i andra )11( ≤≤− ψ , kan det ekvivalenta momentet teoretiskt bestämmas till:

( )( )crEd

crEd

cr

Edm

NN

NN

N

NC

/sin

/cos211

2

π

ψπψ +−

−= (4.49)

Det har gjorts olika försök till approximationer av detta uttryck, t.ex. med hjälp av ett ekvivalent konstant moment. I Eurokod 3 har emellertid följande approximation valts:




( )cr

Edm

N

NC 33,036,021,079,0 −++= ψψ (4.50)

4.4. Inverkan av elastisk-plastiska effekter

4.4.1. Teori

Än så länge har ett fullständigt elastiskt uppförande hos bärverksdelen förutsatts. Detta motsvarar inte riktigt hur en bärverksdel i stål egentligen uppför sig. Stål kan plasticera, dvs. ett tvärsnitt kan ”flyta” så att den maximala spänningen uppnås i delar av eller hela tvärsnittet. Möjligheten till plasticering beror bl.a. på slankheten; ju slankare en bärverksdel är, desto mindre blir de plastiska effekterna. I Eurokod 3 indelas tvärsnitt i olika tvärsnittsklasser (1-4). Man säger att tvärsnitt som tillhör klass 1 och 2 kan uppnå full plasticitet, och tvärsnitt som tillhör klass 3 och 4 är helt elastiska, dvs. de kan inte uppnå någon plasticitet alls. Denna indelning är emellertid något förvirrande vad gäller det verkliga uppförandet hos bärverksdelar. Färska numeriska simuleringar har nämligen visat att även bärverksdelar med tvärsnittsklass 3 utvecklar en viss plastisk kapacitet26. Det innebär att bärverksdelens uppförande inte alls eller bara delvis beror på tvärsnittsklass. Detta skulle man också kunna inse utifrån det faktum att knäckningskurvorna för ren knäckning och vippning är oberoende av tvärsnittsklass. Beräkningsmetoden i Eurokod 3 har olika interaktionsformler för elastisk-plastiska tvärsnitt (klass 1 och 2) och elastiska (klass 3 och 4). För de senare tas ingen, eller bara delvis, hänsyn till den plastiska kapaciteten. Först samtidig böjning i den styva riktningen och normalkraft för en bärverksdel i tvärsnittsklass 1 eller 2. För att tillåta plasticering av tvärsnittet ersätter man den elastiska momentkapaciteten Mel,Rd med C Mpl,Rd i ekv. (4.41):

1/1

1

,,

≤−

+Rdpl

Edm

crEdRdpl

Ed

MC

MC

NNN

Nµ

χ (4.51)

där C är en faktor som tar hänsyn till de plastiska effekterna (C = 1 ger full plasticitet). Denna faktor beror på normalkraften, bärverksdelens slankhet samt momentfördelningen, eftersom alla dessa faktorer påverkar graden av plasticitet. Dessutom måste C → 1 då normalkraften blir så liten att ren böjning dominerar (dvs. då full plasticitet kan uppnås). När bärverksdelens längd går mot 0 förenklas ekv. (4.51) till:

1,,

≤+Rdpl

Ed

Rdpl

Ed

MC

M

N

N (4.52)

eftersom förstoringsfaktorn försvinner, och χ = µ = 1. Detta uttryck måste jämföras med Eurokod 3:s tvärsnittskontroll av samtidigt tryck och böjning; dvs. C måste väljas så att ekv. (4.52) blir en bra approximation till tvärsnittskontrollen27. 26 Sid 35 i Rules for Member Stability in EN 1993-1-1, Background documentation and design guidelines 27 Kap. 6.2.9.1 i SS-EN 1993-1-1:2005



Eftersom den faktiska momentkapaciteten måste vara minst lika med den elastiska måste C också väljas så att:

RdplRdel MCM ,, ≤ (4.53)

dvs.

pl

el

W

WC ≥ . (4.54)

Därmed kan följande konstateras om C:

( )pl

elmEd

W

WCNfC ≥= ,...,, λ . (4.55)

Vid enbart dubbelaxligt moment, och med elastiska momentkapaciteten Mel,Rd ersatt med den plastiska Mpl,Rd förenklas ekv. (4.41) och (4.42) till:

1,,

,

,,

,≤+

Rdzpl

Edz

Rdypl

Edy

M

M

M

M (4.56)

På samma sätt som vid tryck och böjning måste detta uttryck bli en god approximation till en Eurokod 3:s tvärsnittskontroll vid dubbelaxligt moment. Detta hanterar man genom att införa koefficienterna α* och β* enligt:

1*,,

,

,,

,≤+

Rdzpl

Edz

Rdypl

Edy

M

M

M

Mα (4.57)

1*,,

,

,,

,≤+

Rdzpl

Edz

Rdypl

Edy

M

M

M

Mβ (4.58)

där faktorerna α* och β* anpassas till den dubbelaxliga tvärsnittskontrollen. I Eurokod 3 används följande tvärsnittskontroll (då normalkraft ej förekommer):

1,,

,

,,

,≤

+

βα

Rdzpl

Edz

Rdypl

Edy

M

M

M

M (4.59)28

där α och β är faktorer som tar hänsyn till plastiska effekter. Dessa faktorers värden beror på tvärsnittets form och är större eller lika med 1. α* och β* ska alltså ta hänsyn till plastiska effekter på samma sätt som α och β.

28 Ekv. 6.41 i SS-EN 1993-1-1:2005




Slutligen behandlas den plastiska inverkan vid dubbelaxlig böjning och normalkraft. Ekv. (4.41) och (4.42) utökas till:

( ) ( )

1/1

*/1 ,,,

,

,,,

,

,

≤

−+

−+

RdzplyzzcrEd

Edzmz

RdyplyyycrEd

Edymy

y

Rdply

Ed

MCNN

MC

MCNN

MC

N

Nαµ

χ (4.60)

( ) ( )

1/1/1

*,,,

,

,,,

,

,

≤

−+

−+

RdzplzzzcrEd

Edzmz

RdyplzyycrEd

Edymy

z

Rdplz

Ed

MCNN

MC

MCNN

MC

N

Nβµ

χ. (4.61)

Här har respektive elastisk momentkapacitet Mel,i,Rd ersatts med Cji Mpl,i,Rd. Det är tvunget att skilja på C-faktorerna med index, eftersom de tar hänsyn till olika typer av plastiska effekter. Cyy och Czz tar hänsyn till de plastiska effekter som uppkommer då böjningsplanet är det samma som knäckningsplanet, medan Cyz och Czy rör de effekter som uppkommer då böjningsplanet är vinkelrätt mot knäckningsplanet.

4.4.3. Plasticitetsfaktorer

Plasticitetsfaktorerna α* och β* (som tar hänsyn till plasticitet vid dubbelaxligt böjmoment) ska enligt tidigare bestämmas så att ekv. (4.57) och (4.58) blir en så god approximation som möjligt av tvärsnittskontrollen i Eurokod 3 (ekv. (4.59), se figur 4).

Figur 4: Dubbelaxlig interaktion29

Man har valt att ge dem följande värden:

y

z

w

w6,0* =α (4.62)

z

y

w

w6,0* =β (4.63)

där w är förhållandet mellan plastiskt och elastiskt böjmotstånd enligt:

5,1≤=el

pl

W

Ww (4.64)

29 Rules for Member Stability in EN 1993-1-1, Background documentation and design guidelines



Inga realistiska tvärsnitt har ett högre förhållande w än 1,5 (och därmed har man inte kunnat verifiera att högre w förekommer). Därför har man valt denna övre gräns. Slutligen de plasticitetsfaktorer som tar hänsyn till plasticitetseffekter vid samtidigt tryck och böjning. I metod 1 används följande uttryck:

( ) ( )ipl

jel

Rdpl

Edim

i

iiiW

W

N

NC

wwC

,

,

,

2

maxmax2

,

6,1211 ≥

+−−+= λλ (4.65)

( )ipl

jel

i

j

Rdpl

Ed

j

jm

jijW

W

w

w

N

N

w

CwC

,

,

,5

2

max2

,6,014211 ≥

−−+=

λ (4.66)

där maxλ representerar den högsta relativa slankheten hos bärverksdelen, dvs.

=z

y

λ

λλ maxmax (4.67)

Uttrycken för C innehåller alla de parametrar som krävdes i ekv. (4.55). De har valts så att de reduceras till en tvärsnittskontroll av ett rektangulärt tvärsnitt då bärverksdelens längd går mot 0. Uttrycken innehåller faktorn (w–1) som är den maximalt möjliga ökningen av momentkapaciteten från ren elasticitet till full plasticitet, ty:

el

elpl

el

pl

W

WW

W

Ww

−=−=− 11 . (4.68)

Övriga koefficienter i ekv. (4.65) och (4.66) har tagits fram genom kalibrering mot testresultat.

4.5. Inverkan av vippning vid normalkraft

4.5.1. Teori

Då en bärverksdel som utsätts för normalkraft och böjning dessutom riskerar att vippa uppstår en komplicerad interaktion mellan vippningen och de andra effekterna (t.ex. normalkraft och böjning eller dubbelaxlig böjning). Detta instabilitetsfenomen kallas då det gäller pelare ofta böjvridknäckning. Med hjälp av diffentialekvationer vid en elastisk andra ordningens teori kan man bestämma knäckningsformeln för en fritt upplagd bärverksdel med gaffellagring i ändarna, belastad med normalkraft och konstant moment. Om man antar en böjimperfektion i veka riktningen på sinusform enligt ekv. (4.1) blir knäckningsformeln för ett dubbelsymmetriskt I-tvärsnitt:



( )

( )12

/1

/1

1

/1

2)(

,

,

2,

2)(

2,

,

,

,,

,022,,,

,

,

≤

++−

⋅

⋅−

+−

Ncr

Edy

Rdz

zcr

Ncr

Edy

Rdz

zcr

RdzzcrEd

Ed

d

crEdyRdyycrEd

Edy

Rdpl

Ed

M

M

M

hN

M

M

M

N

MNN

N

eMMMNN

M

N

N

(4.69)30

där h är avståndet mellan flänsarnas tyngdpunkter. Mcr(N) är det kritiska vippningsmomentet vid normalkraftens inverkan:

−

−=

Tcr

Ed

zcr

EdcrNcr

N

N

N

NMM

,,

)0()( 11 (4.70)

Mcr(0) är det kritiska vippningsmomentet vid ren böjning enligt ekv. (4.28), och Ncr(T) den kritiska knäckningslasten med avseende på vridning enligt:

+

+=

2

2

)(L

EIGI

II

AN w

T

zy

Tcr

π (4.71)

Det har visats att varje term i ekv. (4.69) ger ett betydande bidrag till resultatet. Därför är det inte möjligt att förenkla uttrycket genom att eliminera några av termerna. För att kunna ta fram en dimensioneringsformel är det därför tvunget att förenkla den teoretiska ekvationen och ta hänsyn till de olika vippningseffekterna med hjälp av koefficienter, som baseras på numeriska studier och är kalibrerade mot testresultat. Ekv. (4.69) beskiver det sätt en bärverksdel vippar på som har blivit allmänt vedertaget och används ensamt i många standarder. Studier har emellertid visat att det finns fall då en bärverksdel vippar på ett annat sätt, vilket domineras av knäckningsdeformationer i planet kombinerade med vippningseffekter. Detta inträffar särskilt då en bärverksdel kollapsar pga. vippning mellan punktvisa stagningar. Denna insikt har resulterat i att det i Eurokod 3 finns två dimensioneringsformler, som täcker all knäckning i rummet hos bärverksdelar som är känsliga för vriddeformationer.


När en bärverksdel i tvärsnittsklass 1 eller 2 är utsatt för en normalkraft och dubbelaxligt moment, och där risk för vippning föreligger, utvecklas ekv. (4.60) och (4.61) till följande dimensioneringsformler:




( ) ( )1

/1*

/1 ,,mod,,

,

,,mod,,

,

,

≤

−+

−⋅

⋅+

RdzplyzzcrEd

Edzmz

RdyplyyycrEd

Edymy

LT

mLT

y

Rdply

Ed

MCNN

MC

MCNN

MCC

N

N

αχ

µχ

(4.72)

( ) ( )1

/1/1*

,,mod,,

,

,,mod,,

,

,

≤

−+

−⋅

⋅+

RdzplzzzcrEd

Edzmz

RdyplzyycrEd

Edymy

LT

mLT

z

Rdplz

Ed

MCNN

MC

MCNN

MCC

N

N

χβ

µχ

(4.73)

Vid tvärsnittsklass 3 och 4 förekommer inga plastiska effekter. Det innebär att faktorerna α* och β* försvinner samt att momentkapaciteterna Cii Mpl,i,Rd och Cij Mpl,j,Rd i ekv. (4.72) och (4.73) ersätts av de elastiska Mel,i,Rd. Kvar finns då dimensioneringsformlerna för tvärsnittsklass 3:

( ) ( )1

/1/1 ,,,

,

,,,

,

,

≤

−+

−+

RdzelzcrEd

Edzmz

RdyelycrEd

Edymy

LT

mLTy

Rdply

Ed

MNN

MC

MNN

MCC

N

N

χµ

χ (4.74)

( ) ( )1

/1/1 ,,,

,

,,,

,

,

≤

−+

−+

RdzelzcrEd

Edzmz

RdyelycrEd

Edymy

LT

mLTz

Rdplz

Ed

MNN

MC

MNN

MCC

N

N

χµ

χ (4.75)

Kontrollen för tvärsnittsklass 4 blir något annorlunda, eftersom man bl.a. använder en effektiv böjmomentkapacitet.

4.5.3. Vippningsfaktorer

Eftersom vippningseffekterna interagerar med i princip alla andra fysikaliska effekter (interaktionen mellan normalkraft och böjmoment, dubbelaxlig böjning mm.) är det tvunget att modifiera nästan alla koefficienterna. Följande koefficienter har kommit till eller modifierats:

• χLT – reduktionsfaktor med avseende på vippning (se kapitel 4.2) • CmLT – en ny faktor som tar hänsyn till normalkraftens inverkan på vippningseffekten • Cii,mod och Cij,mod – modifierade Cii och Cij för att ta hänsyn till vippningen • Cmy – utrycket för denna faktor har modifierats till en funktion av Cmy,0 (som är den

ursprungliga Cmy-faktorn) För att uppnå kontinuitet måste alla dessa nya faktorer försvinna då risk för vippning inte föreligger. Faktorn CmLT bestäms enligt:

( )( )1

/1/1 ,,

2

≥−−

=TcrEdzcrEd

LTmy

mLTNNNN

aCC (4.76)

Faktorn i nämnaren är förstoringen av det kritiska vippningsmomentet vid konstant böjmoment i styva riktningen, då bärverksdelen utsätts för en normalkraft. Faktorn aLT har



införts för att åstadkomma en jämn övergång mellan öppna och ihåliga tvärsnitt. Denna definieras enligt:

01 ≥−=y

TLT

I

Ia (4.77)

Denna faktor ska sättas till 0 då en bärverksdel inte kan vriddeformera. Faktorn Cmy modifieras enligt:

( )yLT

yLT

mymymya

aCCC

ε

ε

+−+=

11 0,0,

* (4.78)

där det i tvärsnittklass 1-3 gäller att:

yelEd

Edy

yW

A

N

M

,

,=ε (4.79)

och för tvärsnittklass 4:

yeff

eff

Ed

Edy

yW

A

N

M

,

,=ε (4.80)

Slutligen måste Cij-faktorerna modifieras för att ta hänsyn till den elastisk-plastiska interaktionen mellan normalkraft och böjmoment. För att de nya uttrycken ska likna de föregående (då ingen risk för vippning föreligger, ekv. (4.65) och (4.66)) används faktorerna bLT, cLT, dLT och eLT enligt:

( ) ( )ypl

yel

LT

Rdpl

Ed

my

y

yyyW

Wb

N

NC

wwC

,

,

,

2

maxmax2*

mod,

6,1211 ≥

−

+−−+= λλ (4.81)

( )zpl

zel

y

zLT

Rdpl

Ed

z

mzzyz

W

W

w

wc

N

N

w

CwC

,

,

,5

2

max2

mod, 6,014211 ≥

−

−−+=

λ (4.82)

( )ypl

yel

z

y

LT

Rdpl

Ed

y

my

yzyW

W

w

wd

N

N

w

CwC

,

,

,5

2

max2*

mod, 6,014211 ≥

−

−−+=

λ (4.83)

( ) ( )zpl

zel

Rdpl

EdLTmz

z

zzzW

W

N

NeC

wwC

,

,

,

2

maxmax2

mod,

6,1211 ≥

−+−−+= λλ (4.84)

där

Rdzpl

Edz

RdyplLT

Edy

LTLTM

M

M

Mab

,,

,

,,

,2

05,0χ

λ= (4.85)

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mac

,,*

,

4

2

0

510

χλ

λ

+= (4.86)



Rdzplmz

Edz

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

M

MC

Mad

,,

,

,,*

,

4

0

1,02

χλ

λ

+= (4.87)

RdyplLTmy

Edy

z

LTLTMC

Mae

,,*

,

4

0

1,07,1

χλ

λ

+= (4.88)

Här är *myC den modifierade faktorn enligt ekv. (4.78) och 0λ den relativa slankheten för

vippning vid specialfallet konstant böjmoment.

4.6. Andra ändförhållanden Hela bakgrunden ovan grundar sig på fallet med en fritt upplagd bärverksdel med gaffellagring i ändarna. Därför måste man vara försiktig då man utvidgar resonemanget till andra upplagsfall, t.ex. för en enskild bärverksdel med andra ändförhållanden eller en bärverksdel som ingår i en ramkonstruktion. Tester har emellertid visat att man ofta kan använda samma interaktionsformler, om man bara väljer lämpliga knäckningslängder och Cm-faktorer.

4.7. Sammanställning För att förenkla ekv. (4.72) och (4.73) introduceras interaktionsfaktorn kij, som definieras enligt Tabell 1. I figur 5 redovisas en sammanställning av de faktorer som interaktionsfaktorn beror på. Figuren ger en överskådlig bild av de ingående faktorerna och deras ursprung. Här kan man också se varför vissa faktorer försvinner, exempelvis vid tvärsnittsklass 3 och 4 (där inga plastiska effekter finns), eller då ingen risk för vippning föreligger etc.

Figur 5: Översikt över interaktionsfaktorn kij

kij

Cmi CmLT

icr

Ed

i

N

N

,

1−

µ

Cij

Andra ordningens

effekter

Moment-fördelning Vippning

j

i

w

w6,0

Plastiska effekter

Normalkrafts-beroende



Del 2



5. Dimensioneringshjälpmedel Antalet ingående parametrar i det allmänna fallet för böj- och böjvridknäckning av stålpelare är överväldigande. Av denna orsak torde det inte finnas någon möjlighet att ta fram ett dimensioneringshjälpmedel som hanterar det generella fallet. Istället väljs några olika – i praktiken ofta förekommande – specialfall. Därmed reduceras antalet ingående parametrar väsentligt, vilket också möjliggör dimensioneringshjälpmedel i form av interaktionsdiagram. Ett interaktionsdiagram är ett diagram som har olika typer av lasteffekter på axlarna. Kurvan i diagrammet täcker sedan in de olika kombinationer av lasteffekter som en pelare klarar av (se figur 6).

Figur 6: Exempel på interaktionsdiagram

Flera kurvor kan ritas i samma diagram, om det t.ex. finns någon parameter som behöver varieras.

Genom att använda relativa storheter (t.ex. Rd

Ed

N

N,

Rd

Ed

M

M och yλ ) kan man täcka in många

pelarprofiler i samma diagram (istället för att göra ett diagram till varje profil). Det innebär färre sidor för användaren att bläddra i, men istället får han räkna ut de relativa storheterna själv. Metoden med relativa storheter är inte alltid möjlig, t.ex. då antalet ingående balkspecifika parametrar är stort. I detta fall får interaktionsdiagrammen istället göras absoluta, med ett diagram för varje pelarprofil. En stor fördel med interaktionsdiagrammen är att de ger en bra förståelse för interaktionsfenomenen. Man ser tydligt vad som händer vid t.ex. minskad normalkraft eller ökad slankhet. En annan fördel är att diagrammen används för att bestämma om en viss pelare klarar en viss last. Man behöver inte lägga tid på att beräkna ett exakt utnyttjande, utan man kontrollerar istället helt enkelt om man ligger innanför gränsen. Följande specialfall har valts:



Tabell 3: Beaktade specialfall

Benämning Lastfall Lasteffekter Stagning Risk för böjvrid-knäckning

Fall 1 Fritt upplagd – Normalkraft – Jämt utbredd last i styva riktningen

Veka riktningen

Nej

Fall 2 Fritt upplagd – Normalkraft – Jämt utbredd last i styva riktningen

– Ja

Fall 3 Fritt upplagd – Normalkraft – Linjär moment-

fördelning med ψ = 0 – Ja

Alla dimensioneringshjälpmedel samlas i en handbok.31 För att konstruera interaktionsdiagrammen användes beräkningsprogrammet Mathematica32. Vid beräkningarna har värdena på stålets materialegenskaper (elastisticitetsmodulen E och skjuvmodulen G) valts enligt Eurocode 333.

Ett uttryck för att direkt bestämma λ har använts. Detta har härletts utifrån definitionerna på

slankhetsparametern λ och den kritiska knäckningslasten Ncr (här med längden L ersatt med knäckningslängden Lcr):

cr

Rk

N

N=

2λ (4.11)

2

2

cr

crL

EIN

π= (5.1)

Med hjälp av ekv. (4.11) och (5.1) kan den relativa slankheten λ bestämmas enligt:

1

2

2

11

λπ

ππλ

i

L

f

Ei

L

EI

fAL

L

EI

fA

N

N cr

y

crycr

cr

y

cr

Rk ===== (5.2)

Med tröghetsradien i definierad enligt:

A

Ii = (5.3)

Och hjälpparametern λ1:

31 ”Dimensioneringshandbok” (Bilaga 3) 32 ”Beräkningar” (Bilaga 2) 33 Avsnitt 3.2.6 i SS-EN 1993-1-1:2005



yf

Eπλ =1 (5.4)

För de aktuella fallen är pelaren ledad i båda ändar, varför knäckningslängden Lcr är lika med den verkliga längden L. Det kritiska vippningsmomentet Mcr för fall 2 och fall 3 har bestämts enligt:

( )

−++= gg

z

T

z

wzcr zCzC

EI

GIL

I

I

L

EICM 2

2

22

2

2

2

1π

π (5.5)34

Faktorerna C1 och C2 beror på lasten och ändförhållandena och har valts enligt tabell 4:

Tabell 4: Värden på faktorerna C1 och C233

Fall C1 C2

Fall 2 1,12 0,45 Fall 3 1,77 -

zg är avståndet mellan lastens angreppspunkt och pelarens skjuvcentrum. Detta avstånd har för fall 2 satts till h/2, eftersom det är det minst gynnsamma och oftast förekommande fallet. För fall 3 utgörs lasten av ett ändmoment, varför avståndet zg blir lika med noll. Eftersom C2 i ekv. (5.5) endast förekommer i produkten C2 zg har C2 inte fått något värde för fall 3 i tabell 4. I Eurokod 3 finns en gräns definierad som avgör huruvida risk för böjvridknäckning föreligger (se tabell 1). Det finns alltså fall då det teoretiskt föreligger risk för böjvridknäckning men då det i praktiken inte är någon risk, pga. en mycket låg slankhet. Detta gränsvärde för slankheten är emellertid mycket lägre än de slankheter som förekommer i interaktionsdiagrammen. Därför bortses det i beräkningarna för denna gräns, dvs. det förutsätts alltid risk för böjvridknäckning (i fall 2 och fall 3). Tvärsnittsklassen bestäms enligt Eurokod 335. Erforderlig pelarprofildata har hämtats från formelsamling36.

5.1. Fall 1 Fall 1 förekommer ofta i praktiken. I t.ex. en industrihall med stålstomme är de bärande pelarna ofta fritt upplagda (mellan golvet och en styv takskiva). De belastas ofta med en normalkraft (snö och egenvikt från taket) och en jämt utbredd last i styva riktningen (i form av vindlast). Pelaren stagas av ytterväggen.

För detta fall konstrueras relativa interaktionsdiagram med lasteffekterna Rd

Ed

N

Noch

Rd

Ed

M

M på

axlarna samt slankhetsparametern yλ för olika kurvor. Som tidigare konstaterats är fördelen med relativa interaktionsdiagram att man kan täcka in ett stort antal pelarprofiler i samma diagram. 34 Annex B i Rules for Member Stability in EN 1993-1-1, Background documentation and design guidelines 35 Tabell 5.2 i SS-EN 1993-1-1:2005 36 Byggformler och tabeller



För att underlätta beräkningen av lasteffekterna Rd

Ed

N

Noch

Rd

Ed

M

Mfinns kapaciteterna NRd och

MRd för HEA-, IPE- och VKR-profiler med olika stålkvaliteter tabellerade i handboken.

5.1.1. Tvärsnittsklass 1 och 2

Vid tvärsnittsklass 1 och 2, reduceras i detta specialfall de två interaktionsformlerna enligt ekv. (3.1) och (3.2) till följande:

1// 1,

,

1

≤+MRky

Edy

yy

MRky

Ed

M

Mk

N

N

γγχ (5.6)

med:

yy

ycr

Ed

y

myyyC

N

NCk

1

1,

−

=µ

(5.7)

och:

ycr

Edy

ycr

Ed

y

N

N

N

N

,

,

1

1

χ

µ

−

−

= . (5.8)

Vid jämnt utbredd last blir Cmy-faktorn:

ycr

Edmy

N

NC

,

03,01+= . (5.9)

Den andra interaktionsformeln, ekv. (3.2), försvinner eftersom det inte finns någon risk för knäckning i den veka riktningen. Dessutom försvinner alla faktorer som har med vippning eller dubbelaxligt moment att göra.

För att kunna rita ett relativt interaktionsdiagram behövs ett samband mellan Rd

Ed

N

N,

Rd

Ed

M

M och

slankhetsparametern yλ (som är dimensionslös).

Tidigare har den elastiska böjknäcklasten Ncr,y definierats:

2,

y

Rkycr

NN

λ= (5.10)

Med hjälp av ekv. (5.7) – (5.9) kan ekv. (5.6) skrivas:



11

1

103,01

,

,

2

2≤

−

++

Rdy

Edy

yyy

Rd

Edy

y

Rd

Ed

Rdy

Ed

M

M

C

N

NN

N

N

N

λχ

λχ

(5.11)

För att kunna rita ett relativt interaktionsdiagram måste på något sätt faktorerna χy och Cyy

(som inte enbart är funktioner av Rd

Ed

N

N,

Rd

Ed

M

M och yλ ) hanteras. Stålkvaliteten behöver inte

beaktas särskilt eftersom denna endast ingår vid beräkning av de ingående relativa parametrarna. Dock begränsas stålkvaliteten till S235 – S420 eftersom de imperfektions-faktorer som väljs endast gäller för dessa stålkvaliteter (se kapitel 5.1.2).

5.1.2. Knäckningsfaktorn χy

Tidigare har följande konstaterats om knäckningsfaktorn χy (se kapitel 4.1):

( )λαχ ,fy = . (5.12)

α är en imperfektionsfaktor som är beror på typen av profil samt knäckningsriktningen. Följande värden anger Eurokod 3 vid knäckning i styva riktningen och vid stålkvaliteterna S235 – S420: Tabell 5: Imperfektionsfaktorn α vid knäckning i styva riktningen och stålkvalitet S235 – S42037

Profil Gränser Imperfektionsfaktorn α

Valsad I-profil (tf ≤ 40 mm) h/b > 1,2 0,21

h/b ≤ 1,2 0,34

Varmvalsat konstruktionsrör (VKR) 0,21

Genom att rita ett interaktionsdiagram för respektive värde på α (0,21 respektive 0,34) kan alla valsade I-profiler och VKR-rör för stålkvaliteterna S235 – S420 täckas in. I handboken38 har profilerna med α = 0,21 för kallats för grupp 1 och profilerna med α = 0,34 för grupp 2.

5.1.3. Plasticitetsfaktorn Cyy

Plasticitetsfaktorn Cyy blir vid fall 1 (med 0=LTb och yλλ =max ):

( )ypl

yel

plymy

y

ymy

y

yyyW

WnC

wC

wwC

,

,222 6,16,1211 ≥

−−−+= λλ (5.13)

där

5,1,

,≤=

yel

ypl

yW

Ww (5.14)

och

37 Tabell 6.2 i SS-EN 1993-1-1:2005 38 ”Dimensioneringshandbok” (Bilaga 3)



Rd

Ed

plN

Nn = . (5.15)

Med hjälp av ekv. (5.14) och (5.15) kan ekv. (5.13) skrivas (så länge wy ≤ 1,5):

( )yRd

Edymy

y

ymy

y

yyywN

NC

wC

wwC

16,16,1211

222 ≥

−−−+= λλ (5.16)

Eftersom Cmy endast är en funktion av Rd

Ed

N

N och yλ (se ekv. (5.9)), är det endast kvoten wy

som på något sätt måste hanteras. Följande värden på kvoten wy förekommer för aktuella profiler:

Tabell 6: Extremvärden för wy för olika profiler39

Profil wy,max wy,min HEA 1,14 1,10

IPE 1,16 1,12

VKR (kvadratiska) 1,26 1,16

Totalt: 1,26 1,10

Kvoten wy påverkar plasticitetsfaktorn Cyy på olika sätt, beroende framförallt på

slankhetsparametern yλ (se figur 7). Vid låga slankheter ger en ökning av wy en ökning av

Cyy. Vid höga slankheter däremot ger en ökning av wy ett lägre Cyy. Det gränsvärde för yλ då

extremvärdena för wy ger samma Cyy är cirka 0,90.

Figur 7: Plasticitetsfaktorn Cyy för olika kvoter wy och slankheter

För stora och små slankheter motsvarar ett extremvärde för wy också ett extremvärde för Cyy. Det innebär att man genom att plotta grafer för de extrema värdena på wy täcker in alla

39 Byggformler och tabeller



tänkbara Cyy. Detta gäller inte kring gränsvärdet för yλ . Där är emellertid skillnaderna i Cyy så små i förhållande till wy att det inte spelar någon roll i ett diagram (där man ändå har avläsningsfel). Slutligen kan interaktionsdiagram för profiler i tvärsnittsklass 1 eller 2 ritas upp (se figur 8), ett för varje grupp (α = 0,21 respektive 0,34). I varje diagram, och för olika slankheter, ritas två grafer med extremvärdena för wy (1,10 respektive 1,26).

Extremvärdena på slankheten yλ i diagrammen har valts med utgångspunkt från gränserna i ett diagram med knäckningskurvor40. Övriga slankheter har valts med så jämna värden och intervall som möjligt.

Figur 8: Interaktionsdiagram för fall 1, TK 1 och 241

Man ser att inverkan av kvoten wy – och därmed plasticitetsfaktorn Cyy – är som störst vid låga slankheter. Detta är vad som kan förväntas, eftersom en pelare uppför sig mer plastiskt ju lägre slankheten är. Man ser också, som tidigare konstaterats, att ett högt wy är gynnsamt vid låga slankheter men icke gynnsamt vid höga.

Alla kurvorna konvergerar då kvoten 0→Rd

Ed

N

N. Då elimineras alla normalkraftsberoende

effekter (såsom t.ex. plasticering) och kvar återstår som sig bör endast en kontroll av

momentet. Då kvoten 0→Rd

Ed

M

M övergår interaktionen till fallet ren knäckning. Eftersom

kapaciteten med avseende på knäckning är starkt beroende av slankheten yλ skär kurvorna x-axeln på helt skilda ställen.

40 Figur 6.4 i SS-EN 1993-1-1:2005 41 ”Dimensioneringshandbok” (Bilaga 3)



Skillnaden mellan de två grupperna är normalkraftskapaciteten med avseende på knäckning. För grupp 2 används en större imperfektionsfaktor vilket resulterar i lägre normalkraftskapacitet. Det innebär att kurvorna för denna grupp förskjutits till vänster.

5.1.4. Tvärsnittsklass 3

Vid tvärsnittsklass 3 räknar man inte med några plastiska effekter. Det innebär att plasticitetsfaktorn försvinner och ekv. (5.11) förenklas till:

1

1

103,01

,

,

2

2≤

−

++

Rdy

Edy

y

Rd

Edy

y

Rd

Ed

Rdy

Ed

M

M

N

NN

N

N

N

λχ

λχ

(5.17)

Genom att hantera imperfektionsfaktorn på samma sätt som tidigare kan två interaktionsdiagram, ett för vardera grupp, ritas, som täcker in samtliga profiler (HEA, IPE och VKR). Interaktionsdiagrammen får utseendet enligt figur 9:

Figur 9: Interaktionsdiagram för fall 1, TK 342

Genom att jämföra interaktionsdiagrammen för de olika tvärsnittsklasserna inses det som väntat att de plastiska effekterna är mest verksamma vid låga slankheter. Vid höga slankheter skiljer sig de olika diagrammen mycket lite, eftersom pelarens uppförande då i högsta grad är elastiskt.

Vid tvärsnittsklass 3 och riktig låg slankhet ( yλ = 0,2) påminner – återigen som sig bör –

interaktionsdiagrammen om en ren elastisk tvärsnittskontroll (vilken är rätlinjig, jämför ekv. (4.8)).

42 ”Dimensioneringshandbok” (Bilaga 3)



5.2. Fall 2 För fall 2 gäller att pelaren är fritt upplagd, belastad med en normalkraft samt en jämnt utbredd last i styva riktningen, men inte stagad i någon riktning. Det innebär att den kan knäcka i båda riktningarna, samt böjvridknäcka. Fall 2 kan förekomma vid liknande situationer som fall 1, t.ex. för en ytterväggspelare i en stålhall. I detta fall är emellertid ytterväggen inte tillräckligt styv för att kunna staga stålpelaren. Att en yttervägg är fäst i pelaren innebär inte i sig att pelaren är stagad; för att pelaren ska kunna betraktas som stagad måste väggen vara så styv så att den kan stå emot pelarens försök att knäcka i veka riktningen. Fall 2 begränsas till HEA- och IPE-profiler. För dessa profiler är risken för böjvridknäckning stor, pga. dess låga vridningsstyvhet. För VKR-profiler torde fallet inte vara lika relevant, eftersom dessa rörprofiler har stor vridningsstyvhet och därmed låg böjvridknäcknings-benägenhet. Endast HEA 100 – HEA 500 tas med, eftersom större dimensioner bedöms vara mycket ovanliga. Dessutom begränsas IPE-profilerna till IPE 100 – IPE 400, eftersom de större dimensionerna tillhör tvärsnittsklass 4. I detta fall reduceras interaktionsformlerna inte alls på samma sätt som i fall 1. De enda delarna som försvinner är de som beaktar dubbelaxligt moment, eftersom endast moment i styva riktningen förekommer. De delar som berör böjvridknäckning inkluderas. Dessutom måste båda interaktionsformlerna beaktas, eftersom pelaren kan knäcka i båda riktningarna. För tvärsnittsklass 1-3 fås:

1// 1,

,

1

≤+MRkyLT

Edy

yy

MRky

Ed

M

Mk

N

N

γχγχ (5.18)

1// 1,

,

1

≤+MRkyLT

Edy

zy

MRkz

Ed

M

Mk

N

N

γχγχ (5.19)

med

yy

ycr

Ed

y

mLTmyyyC

N

NCCk

1

1,

−

=µ

(5.20)

z

y

zy

ycr

Ed

zmLTmyzy

w

w

C

N

NCCk 6,0

1

1,

−

=µ

(5.21)

för tvärsnittsklass 1 och 2 samt

ycr

Ed

y

mLTmyyy

N

NCCk

,

1−

=µ

(5.22)



ycr

Ed

zmLTmyzy

N

NCCk

,

1−

=µ

(5.23)

för tvärsnittsklass 3. Ekv. (5.20) – (5.23) innehåller bl.a. följande hjälpfunktioner:

ycr

Edmy

N

NC

,

0, 03,01+= (5.24)

( )LTy

LTy

mymymya

aCCC

ε

ε

+−+=

11 0,0, (5.25)

yelEd

Edy

yW

A

N

M

,

,=ε (5.26)

1

11,,

2 ≥

−

−

=

Tcr

Ed

zcr

Ed

LTmymLT

N

N

N

N

aCC (5.27)

Det inses att detta fall inte kan lösas med hjälp av relativa variabler, såsom det gjordes för fall

1. Detta beror bl.a. på att lasteffekterna NEd och MEd ibland förekommer ensamma, och inte

alltid ingående i kvoterna Rd

Ed

N

N och

Rd

Ed

M

M. Dessutom förekommer inte endast en

slankhetsparameter ( yλ i fall 1) utan yλ , zλ och LTλ .

I fall 2 förekommer följande typer av parametrar:

• Balkparametrar (t.ex. A, W, i, L osv.) • Stålkvalitet (fy) • Lasteffekter (NEd och MEd)

Detta fall löses genom att rita absoluta interaktionsdiagram, ett för varje pelarprofil. Istället

för relativa storheter plottas NEd och MEd på axlarna. Slankhetsparametern yλ i fall 1 ersätts

med pelarens absoluta längd L. Stålkvaliteten fy väljs enligt Europastandarden EN 10025. Förvisso kan de olika profilerna fås i fler kvaliteter än standardkvaliteten, men denna kvalitet förutsätts vara vanligast. Standardkvaliteten för profilerna HEA och IPE redovisas i tabell 7:

Tabell 7: Stålkvaliteter enligt Europastandarden EN 1002543

Profil Stålkvalitet HEA S355J2

IPE 80 – 140 S275JR

IPE 160 – 600 S275J2

43

Stålbyggnad



I fall 1 konstruerades olika diagram för olika tvärsnittsklasser och värden på imperfektionsfaktorn α. Eftersom diagrammen nu är profilspecifika behövs inte detta längre. Imperfektionsfaktorn och tvärsnittsklassen bestäms istället direkt av pelarprofilen. Då det gäller tvärsnittsklassen har en förenkling gjorts, på den säkra sidan. Tvärsnittsklassen beror egentligen på förhållandet mellan normalkraften och momentet. Det innebär att en pelarprofil kan ha olika tvärsnittsklass för olika kombinationer av normalkraft och moment, dvs. i olika delar av interaktionsdiagrammet. Endast en tvärsnittsklass för varje pelarprofil har emellertid bestämts. Denna klass har bestämts för den mest ogynnsamma kombinationen av normalkraft och moment, vilket inträffar vid rent tryck. I det fallet blir hela livet utsatt för tryck, och inte både tryck och drag som vid momentbelastning. På detta sätt kan alla parametrar bestämmas, och maximala momentet MEd kan plottas som funktion av normalkraften NEd och längden L. Ett exempel på interaktionsdiagram för pelarprofilen HEA 120 redovisas i figur 10. Samtliga interaktionsdiagram redovisas i handboken44. I diagrammet syns tydligt att kurvorna ändrar riktning i en viss punkt. Vid denna punkt ändras vilken av interaktionsformlerna som är dimensionerande (ekv. (5.18) resp. (5.19)). De olika längderna L har valts utifrån värden på minimal och maximal relativ slankhet i veka

riktningen ( zλ = 0,5 resp. 2,5). I diagrammet anges också vilken tvärsnittsklass pelarprofilen har vid rent tryck.

Figur 10: Interaktionsdiagram för fall 2, HEA 120

5.3. Fall 3 För fall 3 gäller att pelaren är fritt upplagd, belastad med en normalkraft samt ändmoment i styva riktningen. Momentfördelningen är alltså linjär med ett maximalt moment vid ena




änden och nollmoment i andra (ψ = 0). Pelaren är inte stagad i någon riktning. Det innebär att den kan knäcka i båda riktningarna, samt böjvridknäcka. Detta fall kan t.ex. förekomma för en pelare mitt inne i en byggnad, där lasten från taket angriper excentriskt via en konsol. Eftersom pelaren sitter inne i byggnaden finns det ingen vägg som stagar den. Därmed finns det inte heller någon nämnvärd transversallast i form av vindlast. Liksom för fall 2, och av samma skäl, begränsas detta fall till HEA- och IPE-profiler. Av samma skäl som för fall 2 konstrueras också i detta fall absoluta, profilspecifika interaktionsdiagram. Den enda skillnaden mot fall 2 är de delar som beror på momentfördelningen, nämligen vippningsmomentet Mcr och faktorn Cmy som tar hänsyn till andra ordningens effekter. Ett exempel på interaktionsdiagram för pelarprofilen HEA 120 redovisas i figur 11. Samtliga interaktionsdiagram redovisas i handboken45.

Figur 11: Interaktionsdiagram för fall 3, HEA 120




6. Beräkningsexempel Nedan följer två beräkningsexempel som visar hur man använder interaktionsdiagrammen i handboken46 för att dimensionera en stålpelare med avseende på böj- eller böjvridknäckning.

6.1. Exempel 1 Förutsättningar: Lastfall fritt upplagd, stagad i veka riktningen Pelartyp HEA fyd 355 MPa

L 7,0 m

NEd 150 kN

q 6 kN/m

Förutsättningarna uppfyller villkoren för fall 1 i handboken. Testa HEA 140. För denna profil gäller: Tvärsnittsklass 2 (vid fy = 355 MPa) A 3 142 mm

2

Wpl,y 173 500 mm3 iy 57,3 mm

Först bestäms det dimensionerande momentet MEd:

kNmLq

M Ed 278

66

8

22

=⋅

==

Sedan bestäms de relativa storheterna Rd

Ed

N

N,

Rd

Ed

M

Moch yλ . MRd och NRd fås från

kapacitetstabellerna i handboken.

134,0103,1115

0001503

=⋅

=Rd

Ed

N

N

440,0104,61

10276

6

=⋅

⋅=

Rd

Ed

M

M

37,1355/2359,933,57

0006

/2359,93=

⋅==

ydy

y

fi

Lλ

För att få reda på vilken av linjerna som blir gränsen (eller hur nära respektive linje gränsen går) måste kvoten wy beräknas:


NEd

qL



12,14,155

5,173

,

,===

yel

ypl

yW

Ww .

I handboken tillhör HEA 140 grupp 1, ty h/b ≤ 1,2. Det aktuella interaktionsdiagrammet (för tvärsnittsklass 2) visas i figur 12. Eftersom wy ≈ 1,1 gäller de heldragna kurvorna i diagrammet. Då den aktuella slankheten (1,37) ligger mellan två kurvor i interaktionsdiagrammet får den aktuella kurvan interpoleras fram.

Figur 12: Interaktionsdiagram för fall 1 och TK 1 och 2 Eftersom den aktuella punkten täcks in av den aktuella gränsen klarar sig tvärsnittet. Slutsats: HEA 140 är tillräcklig vid dimensionering med avseende på böjknäckning.

Aktuell gräns

( 37,1=yλ )

0,134

0,440



6.2. Exempel 2 Förutsättningar: Lastfall fritt upplagd, ej stagad i veka riktningen Pelartyp IPE fyd 275 MPa

L 2,5 m

NEd 200 kN

e 0,5 m

Förutsättningarna uppfyller villkoren för fall 3 i handboken. Testa IPE 270. För denna profil gäller: Tvärsnittsklass 2 (vid fy = 275 MPa ) A 4595 mm2

Wpl,y 484 000 mm3 iy 112,3 mm Det dimensionerande momentet MEd blir: kNmeNM EdEd 1005,0200 =⋅=⋅=

Det aktuella interaktionsdiagrammet (för fall 3 och IPE 270) redovisas i figur 13:

NEd

L

e



Figur 13: Interaktionsdiagram för fall 3 Eftersom den aktuella punkten täcks in av den aktuella gränsen klarar sig tvärsnittet. Slutsats: IPE 270 är tillräcklig vid dimensionering med avseende på böj- och böjvrid-knäckning.

L=2,5 m



7. Resultat Det är möjligt att skapa dimensioneringshjälpmedel vid dimensionering av stålpelare med avseende på böj- och böjvridknäckning enligt Eurokod 3, trots dimensioneringsformlernas komplexitet och oöverskådlighet. Dock lyckades vi inte ta fram ett hjälpmedel som täcker det generella böj- och böjvridknäckningsfallet; detta tror vi inte är möjligt utan datorhjälp, där t.ex. alla parametrar matas in varefter resultatet beräknas. Istället för att angripa det generella fallet inriktade vi oss på tre ofta förekommande fall. Därmed reducerades antalet ingående parametrar kraftigt, och vi fick möjlighet att konstruera olika typer av interaktionsdiagram som på ett överskådligt sätt visar t.ex. normalkrafts- och momentkapaciteten som funktion av pelarens längd. För att återkoppla till den valda metoden kan det konstateras att den fungerade väl för vårt syfte. Instuderingen gav oss en bra grund inför arbetet med normerna och Mathematica var ett mycket kraftfullt och användbart hjälpmedel vid framtagningen av interaktionsdiagrammen. Vårt arbete är inte heltäckande eftersom det är begränsat bl.a. till speciella fall, pelarprofiler och tvärsnittsklass 1-3. Det finns alltså mer att göra. De olika fallen kan bli fler, likaså typen av pelarprofiler. Dessutom skulle pelarprofiler i tvärsnittsklass 4 kunna behandlas på ett liknande sätt. En användare kan – med hjälp av ett matematikprogram – ta fram de interaktionsdiagram som just han har behov av. Nedan följer en sammanfattning av de fall vi behandlat. Samtliga interaktionsdiagram och tabeller återfinns i handboken47.

7.1. Fall 1 I fall 1 är pelaren fritt upplagd, stagad i veka riktningen, och belastad med en normalkraft och en jämnt utbredd last i styva riktningen. P.g.a. stagningen förekommer ingen risk för böjvridknäckning. För detta fall lyckades vi skapa relativa interaktionsdiagram som visar vilka kombinationer av

kvoterna Rd

Ed

N

Noch

Rd

Ed

M

Msom en pelare med den relativa slankheten yλ klarar av.

För att täcka in tvärsnittsklass 1-3 och olika pelarprofiler fick vi skapa fyra olika interaktionsdiagram enligt tabell 7: Tabell 8: Olika interaktionsdiagram för fall 1

Diagram Tvärsnittsklass Pelarprofiler 1 1-2 I-profil (h/b > 1,2)

VKR

2 1-2 I-profil (h/b ≤ 1,2) 3 3 I-profil (h/b > 1,2)

VKR

4 3 I-profil (h/b ≤ 1,2)




För tvärsnittsklass 1-2 fick vi också rita två kurvor, för extremvärden på kvoten wy. Användaren får interpolera mellan dessa kurvor för den aktuella kvoten wy.

7.2. Fall 2 I fall 2 är pelaren fritt upplagd, belastad med en normalkraft och en jämnt utbredd last i styva riktningen, men utan stagning. Detta innebär att det föreligger risk för böjvridknäckning. För detta fall var vi tvungna att konstruera absoluta och profilspecifika interaktionsdiagram, dvs. ett diagram för varje pelarprofil. Dessa diagram visar olika kombinationer av lasteffekterna NEd och MEd, som funktion av pelarens längd. Orsaken till att diagrammen behövde göras profilspecifika var att dimensioneringsformlerna innehåller ett stort antal profilspecifika parametrar. Eftersom interaktionsdiagrammen är profilspecifika behövde vi i detta fall inte konstruera olika diagram för olika tvärsnittsklasser, eftersom tvärsnittsklassen kunde bestämmas för varje enskild pelarprofil.

7.3. Fall 3 I fall 3 är pelaren fortfarande fritt upplagd och ostagad. Däremot är den förutom normalkraft belastad av ett ändmoment i styva riktningen. Fortfarande föreligger risk för böjvridknäckning. Av samma orsak som för fall 2 tvingades vi också i detta fall konstruera absoluta och profilspecifika interaktionsdiagram. Även dessa diagram visar olika kombinationer av lasteffekterna NEd och MEd, som funktion av pelarens längd.

7.4. Kapaciteter Vi tog också fram tabeller som anger normalkrafts- och momentkapaciteten för olika pelarprofiler och stålkvaliteter. Dessa kan användas för dimensionering vid fall 1, vid

beräkning av kvoterna Rd

Ed

N

Noch

Rd

Ed

M

M.

7.5. Övrigt Förutom de konkreta resultaten ovan har vårt arbete också resulterat i en betydligt större förståelse för fenomenen böj- och böjvridknäckning, samt hur de dimensioneringsmässigt hanteras i Eurokod 3 och framförallt metod 1. Vi begriper nu i betydligt högre grad vad de olika parametrarna och hjälpfunktionerna står för. Dessutom har vi fått en inblick i den bakomliggande teorin, samt hur teoretiska och empiriska studier kompletterar varandra vid framtagning av dimensioneringsformler. Vi är glada att vi har haft möjligheten att arbeta med instabilitetsfenomen för stålpelare, och tror att vi kommer att ha nytta av våra nyvunna kunskaper i vårt framtida yrkesliv.



8. Källor Normer: Eurokod 3: ”Dimensionering av stålkonstruktioner – Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader”, SS-EN 1993-1-1:2005, SIS, 2005, utgåva 1 Rättelse: ”Eurokod 3: Dimensionering av stålkonstruktioner – Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader”, SS-EN 1993-1-1:2005/AC:2009, SIS, 2009, utgåva 1 Böcker: N Boissonnade, R. Greiner, J.P. Jaspart och J. Lindner, Rules for Member Stability in EN

1993-1-1, Background documentation and design guidelines, ECCS, 2006

Stålbyggnad, Stålbyggnadsinstitutet, 6:e upplagan, 2008 T V Galambos, A. E. Surovek, Structural stability of steel: Concepts and applications for

Structural Engineers, John Wiley & Sons, Inc, 2008 P Johannesson, B Vretblad, Byggformler och tabeller, Liber, 2005, 10:e upplagan Rapporter: P Kaim, “Spartial buckling behaviour of steel members under bending and compression”, Technische Universität Graz, 2004 Artiklar: B Johansson, ”Eurokod 3 – Stålkonstruktioner”, Väg- och vattenbyggaren, 2006:2


Johan Lind

Jimmy Lovén


Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilagor


Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 1

Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 1: Härledningar

Bilaga 1

Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 1

Johan Lind - 1 - Jimmy Lovén

1.1 Ren knäckning Här följer en härledning av uttrycket för en elastisk tvärsnittskontroll:

Rd

Ed

Rd

Ed

M

M

N

N+≥1

De spänningar som uppkommer i tvärsnittet visas i figur 1:

N/A M/W

Figur 1: Spänningar i tvärsnittet

Normalkraften ger upphov till spänningen:

A

N Ed=σ

och den maximala spänningen som momentet orsakar blir:

W

M Ed=σ

Vid samtidig normalkraft och moment får den sammanlagda spänningen inte överstiga

gränsvärdet σmax, dvs.:

W

M

A

N EdEd +≥maxσ

Ur definitionerna av normalkrafts- och momentkapaciteten fås följande uttryck för arean A

och böjmotståndet W:

max

max

max

max

σσ

σσ

RdRd

Rd

Rd

MWWM

NAAN

=⇒=

=⇒=

Genom att utnyttja detta i ekvationen ovan kan följande uttryck erhållas:

Bilaga 1


maxmax

max// σσ

σRd

Ed

Rd

Ed

M

M

N

N+≥

Som förenklas till det ursprungliga uttrycket för en elastisk tvärsnittskontroll:

Rd

Ed

Rd

Ed

M

M

N

N+≥1

1.2 Vippning Om en balk som har en initiell sidoimperfektion utsätts för ett moment i styva riktningen

riskerar den att vippa. Sidoimperfektionen resulterar i balken utsätts för ett vridmoment (se

figur 2). Vridmomentet orsakar i sin tur en vridning av balken som resulterar i moment i

balkens veka riktning.

x

y

du

dx

My

M

Balken

Mp

Mp

MM

Figur 2: Tvärsnittsfigur och planfigur

Det ursprungliga böjmomentet My kan delas upp i två komposanter, Mp och Mζ (se figur 3).

Vid små vinklar gäller att:

( )( )( ) 1cos

sin

tan

≈

≈

≈

ααααα

Med utböjningen u i veka riktningen gäller för vinkeln α (för små vinklar):

dx

du

dx

du≈⇒= ααtan

Vridmomentet Mζ blir (fortfarande med små vinklar):

Bilaga 1


( ) )('sinsin xuMdx

duM

dx

duMMM yyyy =≈

== ας

Momentet My består också av en momentvektor Mp som verkar vinkelrätt mot balken (se figur

2):

( ) yyp MMM ≈= αcos

Denna vektor kan delas upp i ytterliggare två vektorer som för ett litet värde för vinkeln φ

blir:

( ) ( )( ) ( ) ϕϕϕ

ϕϕ

η

ξ

yyp

yyp

MMMM

MMMM

−≈−=−=

≈==

sinsin

coscos

1.3 Bakgrund till interaktionsformler

Stabilitetskontroll vid böjning i styva riktningen

Följande interaktionsformel för stabilitetskontroll vid böjning i styva riktningen ska härledas.1

12

1

12

,

,

2

,

2

2

,

,

,

,0

2

2

,,

, ≤

+

−

+cr

Edy

Rdz

zcr

cr

Edy

Rdz

zcr

d

cr

EdyRdy

Edy

M

M

M

hN

M

M

M

Ne

M

MM

M

Det maximala värdet av en stabilitetskontroll vid böjning i styva riktningen kan uttryckas:2

1ˆˆ

,

2

,

,,

2

2

,

,

2

,,

=+

+

elMycr

izcrycrs

ycr

zcry

elzM

i

ely

y

MDM

vNMNi

M

NM

MD

v

M

M

ω

ω

Med beteckningarna enligt denna rapport blir det:

1ˆˆ

,

2

,,,

2

2

,

2

,

,,

, ≤+

+

elMcr

izcrEdycrs

cr

zcrEdy

RdzM

i

Rdy

Edy

MDM

vNMNi

M

NM

MD

v

M

M

ω

ω

För I-sektioner gäller att3

22

4

,,,

2

,,

2

hM

hMM

hNNi

Rdzelzel

zcrcrs

==

=

ω

ω

1 Ekv. 19 i Rules for Member Stability in EN 1993-1-1, Background documentation and design guidelines 2 Ekv. 3.32 i “Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression” 3 Avsnitt 3.3.5 i ”Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression”

Bilaga 1


där DM är en amplifikationsfaktor som tar hänsyn till vippning:4

2

2

2

,,

2

11cr

y

Nycr

y

MM

M

M

MD −=−=

och iv̂ är den sinusformade utböjningen till följd av den initiella imperfektionen i mitten (dvs.

e0,d). Detta ger:

12

1

1

1

21

4

1

1

1ˆ1

2

,

,

2

,

2

2

,

,

,

,0

2

2

,,

,

,2

2

,2

,0,,

2

,

2

,

2

,

,0

,2

2

,,

,

,

2

,,,

2

2

,

2

,

,0

,,

,

≤

+

−

+⇒

≤

−

+

−

+⇒

≤+

+

cr

Edy

Rdz

zcr

cr

Edy

Rdz

zcr

d

cr

EdyRdy

Edy

Rdz

cr

Edy

cr

dzcrEdyzcr

cr

zcrEdy

d

Rdz

cr

EdyRdy

Edy

elMcr

izcrEdycrs

cr

zcrEdy

d

RdzMRdy

Edy

M

M

M

hN

M

M

M

Ne

M

MM

M

hM

M

MM

eNMh

N

M

NMe

MM

MM

M

MDM

vNMNi

M

NMe

MDM

M

ω

ω

Stabilitetskontroll vid böjning i styva riktningen samt normalkraft

När balken utöver böjning i styva riktningen också utsätts för en normalkraft gäller följande

uttryck för det maximala värdet på stabilitetskontrollen: 5

1ˆˆ

,

2

,,

,,

2

2

,,

,

2

,,

=+

+++

elMNycr

izcrycrs

Nycr

zcry

zelzM

i

elyy

y

pl MDM

vNMNi

M

NM

D

N

MD

v

MD

M

N

N

ω

ω

Eftersom det fortfarande gäller I-sektioner kan ovanstående definitioner också tillämpas på

detta uttryck, med tillägget för följande amplifikationsfaktorer6:

ycr

z

zcr

y

N

ND

N

ND

,

,

1

1

−=

−=

Detta ger:

4 Ekv. 3.12b i ”Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression” 5 Ekv. 3.31 i ”Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression” 6 Ekv. 3.11 och 3.12 i ”Spatial buckling behaviour of steel members under bending and compression”

Bilaga 1


( )

( ) 12

/1/1

1

/1

21

4

111

1ˆˆ

2

)(

,

,

2

,

2

)(

2

,

,

,

,,

,022

,

,,

,

,

,2

2

2

)(

,0,,

2

,

2

)(

,

2

,

,

,2

)(

2

,

,0

,

,

,

,

2

)(

,,,

2

2

)(

,

2

,

,,

,

≤

++−−

+

−+⇒

−

+

+

+

−

−

+

−

+⇒

≤+

+++

Ncr

Edy

Rdz

zcr

Ncr

Edy

Rdz

zcr

RdzzcrEd

Ed

d

crEdy

RdyycrEd

Edy

Rdpl

Ed

Rdz

cr

y

Ncr

dzcrEdyzcr

Ncr

zcrEdy

zcr

Ed

Ed

Rdz

Ncr

Edy

d

Rdy

ycr

Ed

Edy

Rd

Ed

elMNcr

izcrEdycrs

Ncr

zcrEdy

z

Ed

RdzM

i

Rdyy

Edy

Rd

Ed

M

M

M

hN

M

M

M

N

MNN

Ne

MM

MNN

M

N

N

hM

M

MM

eNMh

N

M

NM

N

N

N

MM

M

e

MN

N

M

N

N

MDM

vNMNi

M

NM

D

N

MD

v

MD

M

N

N

ω

ω

1.4 Andra ordningens moment När en bärverksdel utsätts för både moment och normalkraft uppkommer andra ordningens

moment. Vi utgår från elastiska linjens ekvation med nedböjningen v i styva riktningen:

0'' =+EI

Mv

Momentet längs bärverksdelen utgörs dels av det sinusformade ekvivalenta momentet M1:

=L

xMCM Edm

πsin1

och andra ordningens moment M2 som blir produkten av normalkraften NEd och nedböjningen

v:

vNM Ed=2

Med M = M1 + M2 fås följande utseende på elastiska linjens ekvation:

0EI

1sin'' =

+

+ vNL

xMCv EdEdm

π

Vi ansätter en lösning som uppfyller randvillkor (v(0) = 0, v(L) = 0):

Bilaga 1


=L

xAv

πsin

Efter två deriveringar fås:

−=L

x

L

Av

ππsin''

2

2

.

Insättning i den ursprungliga ekvationen ger:

0EI

1sinsinsin

2

2

=

+

+

−L

xAN

L

xMC

L

x

L

AEdEdm

ππππ

vilket ger följande uttryck för amplifikationsfaktorn A:

Edcr

Edm

Ed

Edm

NN

MC

NL

EI

MCA

−=

−=

2

2π.

Amplifikationsfaktorn A är ett uttryck för den maximala nedböjningen (ty vmax = A). Det

maximala andra ordningens momentet II

EdM max, blir summan av det ekvivalenta momentet och

det maximala tillskottet pga. andra ordningens moment, dvs.:

crEd

Edm

Edcr

EdEdm

Ed

Edcr

Edm

EdmEdEdmEdEdm

II

Ed

NN

MC

NN

NMC

NNN

MCMCNAMCNvMCM

/11

maxmax,

−⇒

−+=

=−

+=+=+=

Enligt ekv. (4.36) i rapporten har en andra ordningens tvärsnittskontroll följande utseende:

1/1

1 max,, ≤+−

+Rd

II

Ed

Rd

doEd

crEdRd

Ed

M

M

M

eN

NNN

N

där

( )( )

Rdpl

Rdel

doN

Me

,

,

2

,

11

χλχχ −−

=

är den ekvivalenta geometriska imperfektionen. Med uttrycken för II

EdM max, och e0,d insatt fås:

( )( )

1/1

111

/1

1

,

,

2

≤−

+

−−−

+Rd

Edm

crEdRdpl

Rdel

Rd

Ed

crEdRd

Ed

M

MC

NNN

M

M

N

NNN

N

χλχχ

Slankhetsparametern λ definieras enligt:

Bilaga 1


{ }cr

Rd

M

Mcr

Rk

N

N

N

N==== 0.11

1

2

γγ

λ

Med hjälp av det kan ekvationen ovan skrivas om:

( )( )

( )

( )

( )

( )

( )

crRd

EdRdEdcrEdcrRd

Rd

Edm

cr

EdRd

Rd

Ed

Rdpl

Ed

Rd

Edm

Rd

Edm

cr

EdRd

Rd

Ed

Rdpl

Ed

Rd

Edm

crRd

EdRdEd

Rdpl

Ed

Rd

Edm

cr

Ed

Rdpl

Ed

Rdpl

Ed

crRd

Ed

Rd

Ed

Rd

Edm

cr

Ed

Rdpl

Ed

Rdpl

Ed

Rd

EdcrEd

crEd

Rd

Edm

cr

Ed

cr

Ed

Rdpl

Ed

Rdpl

Ed

Rd

EdcrEd

Rd

Edm

crEd

cr

Ed

crEdRdpl

Ed

crEdRdpl

Ed

crEdRd

Ed

Rd

Edm

crEdcr

Rd

Rdpl

Ed

crEdRd

Ed

Rd

Edm

crEdcr

Rd

cr

Rd

Rdpl

Ed

crEdRd

Ed

Rd

Edm

crEd

crRdcrRk

Rdpl

Ed

crEdRd

Ed

Rd

Edm

crEdRdpl

RdelcrRd

Rd

Ed

crEdRd

Ed

NN

NNNNNNN

M

MC

N

NN

N

N

N

N

M

MC

M

MC

N

NN

N

N

N

N

M

MC

NN

NNN

N

N

M

MC

N

N

N

N

N

N

NN

N

N

N

M

MC

N

N

N

N

N

N

N

NNN

NNM

MC

N

N

N

N

N

N

N

N

N

NNN

M

MC

NN

N

N

NNN

N

NNN

N

NNN

N

M

MC

NNN

N

N

N

NNN

N

M

MC

NNN

N

N

N

N

N

NNN

N

M

MC

NN

NNNN

N

N

NNN

N

M

MC

NNN

MNN

M

N

NNN

N

χχχχ

χχ

χχ

χχ

χχ

χχ

χχ

χχ

χχ

χχ

χχχχ

χχχ

22

,

,

2

,

,,

2

,,

,,

,,

,

,

2

,

,

,

1

1

1

1

1/1

/1/1

1/1

1

/1

1

/1

1

/1

1

1/1

111

1

/1

1

1/1

11

1

/1

1

1/1

1

//1

/1

1

1/1

1/11

/1

1

+−−≤⇒

−−−≤⇒

≤+−

+⇒

≤+−

+⇒

≤++−+−⇒

≤++−+−⇒

−≤+−+−+−⇒

≤−

+

+−

−+

−−

−+⇒

≤−

+

−+−

−+⇒

≤−

+

+−−

−+⇒

≤−

+

+

+−−

−+⇒

≤−

+

−−

−+

Bilaga 1


( )

( )( )( )( )

1/1

1

/1

/1

1/1

1

1/1

1

1/1

1

1/1

1

/1

1

/1/1

1

2

2

2

22

22

≤−−

−+⇒

−≤−

⇒

−

+−−+≤

−⇒

−

−+≤

−⇒

−

−+≤

−⇒

−

+−−≤

−⇒

−

+−−≤

−⇒

Rd

Edm

crEdcrEd

crEd

Rd

Ed

Rd

Ed

Rd

Edm

crEd

EdcrRd

crEdEd

Rd

Edm

crEd

EdcrRd

crEdEd

Rd

Edm

crEd

RdEdcrRd

crEdEd

Rd

Edm

crEd

RdEdcrRd

EdRdEdcrEdcrRd

Rd

Edm

crEd

crEdcrRd

EdRdEdcrEdcrRd

Rd

Edm

crEd

M

MC

NNNN

NN

N

N

N

N

M

MC

NN

NNN

NNN

M

MC

NN

NNN

NNN

M

MC

NN

NNNN

NNN

M

MC

NN

NNNN

NNNNNNN

M

MC

NN

NNNN

NNNNNNN

M

MC

NN

χχ

χχ

χχχ

χ

χχχ

χ

χχχ

χ

χχχχχ

χ

χχχχχ

χ

Detta kan förenklas ytterligare genom att införa en faktor µ:

crEd

crEd

NN

NN

/1

/1

χµ

−

−=

vilket leder till den slutliga ekvationen (4.39) i rapporten:

1/1

1≤

−+

Rd

Edm

crEdRd

Ed

M

MC

NNN

Nµ

χ

1.5 Cm-faktorer för vanliga fall I metod 1 i Eurokod 3 redovisas förutom den allmänna formeln enligt ekv. (4.46) i rapporten,

också två mer hanterliga uttryck för vanligt förekommande fall: en fritt upplagd balk med en

punktlast i mitten, och en med en jämnt utbredd last.

Det allmänna uttrycket för faktorn Cm är:

cr

Edm

N

N

LM

vEIC

−+= 11

2

0

0

2π

Punktlast

För en punktlast i mitten av en fritt upplagd balk är det maximala momentet

4

0

PLM =

och den maximala nedböjningen

Bilaga 1


EI

PLv

48

3

0 =

Insatt i uttrycket för Cm fås:

cr

Ed

cr

Ed

cr

Ed

mN

N

N

N

N

N

EI

PL

LPL

EIC 18,011

48

1411

48

4

1 23

2

2

−≈

−+=

−+= ππ

Jämnt utbredd last

För en fritt upplagd balk med en jämnt utbredd last gäller:

EI

qLv

qLM

384

5

84

0

2

0

=

=

Detta ger följande formel för faktorn Cm:

cr

Ed

cr

Ed

cr

Edm

N

N

N

N

N

N

EI

qL

LqL

EIC 03,011

384

5811

384

5

8

1 24

22

2

+≈

−+=

−+= ππ

Normalkraftens inverkan blir i detta fall nästan försumbar, vilket är väntat eftersom Cm är en

faktor som omvandlar den rådande momentfördelningen till en sinusformad sådan. Vid jämnt

utbredd last är första ordningens momentfördelning emellertid i princip redan sinusformad,

varför det ekvivalenta momentet blir i stort sätt detsamma som det faktiska (dvs. faktorn Cm ≈

1).

Bilaga 2

Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 2

Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 2: Beräkningar

Bilaga 2

Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 2

Johan Lind

Jimmy Lovén

Denna bilaga publiceras inte.

Kontakta författarna för mer information.

Bilaga 2

Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 3

Johan Lind

Jimmy Lovén

Bilaga 3: Dimensioneringshandbok

Bilaga 3

Johan Lind

Jimmy Lovén

Dimensioneringshandbok

Böj- och böjvridknäckning av stålpelare enligt Eurokod 3

Innehåll:

• Interaktionsdiagram för tre olika fall

• Kapacitetstabeller för HEA-, IPE- och kvadratiska VKR-profiler

Upplagsfall: Fritt upplagd Lastfall: Normalkraft + jämnt utbredd last Stagning: I veka riktningen, ej risk för böjvridknäckning Stål: S235 – S420

1

Grupp 1: I-profil (h/b > 1,2) Grupp 2: I-profil (h/b ≤ 1,2) VKR-profil Tvärsnittsklass 1 och 2:

Tvärsnittsklass 3:

€

λy =L

iy 93,9 235/ fy,wy =

Wpl, y

Wel, y

≤ 1.5 Kapaciteterna NRd och MRd finns på s. 20-23.

Upplagsfall: Fritt upplagd Lastfall: Normalkraft + jämnt utbredd last Stagning: Nej, risk för böjvridknäckning Stål: S355 Tvärsnittsklassen som visas i diagrammen avser rent tryck.

2


3


4


5


6


7


8


9


10

Upplagsfall: Fritt upplagd Lastfall: Normalkraft + ändmoment (ψ = 0) Stagning: Nej, risk för böjvridknäckning Stål: S355 Tvärsnittsklassen som visas i diagrammen avser rent tryck.

11


12


13


14


15


16


17


18


19

böj- och böjvridknäckning av stålpelare enligt eurokod 3

Documents