bloque iv límite y continuidad

BLOQUE IV: LÍMITE Y CONTINUIDADProf. María del Valle Heredia

1

1. NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE

Sea la siguiente función:

f ( x )=¿ {2x2−4 si x<2¿ ¿¿¿

Vemos que no está definida para x = 2.

¿Qué sucede a f ( x ) cuando x se aproxima a 2? Es decir, ¿se aproxima f ( x ) a algún número específico cuando x tiende a 2?

Para responder esta pregunta hacemos dos cosas: calcular algunos valores de f ( x ) para x próxima a 2 y realizar una

gráfica aproximada de y=f ( x )

Luego llegamos a la siguiente conclusión: f ( x ) tiende a 4 cuando x tiende a 2.

En símbolos es: límx→2 f ( x ) = 4 “el límite cuando x tiende a 2 de f ( x ) es 4”

Si f ( x ) se hace arbitrariamente próximo a un único número L , cuando x se aproxima hacia c por ambos lados

decimos que el límite de f ( x ) cuando x tiende a c , es L , y escribimos:

límx→c f ( x ) = L


2

Sobreentenderemos dos cosas: que existe el límite y que el límite es L .

2. LÍMITES LATERALES

De la tabla anterior podemos observar que:

- cuando x se aproxima a 2 por derecha los valores de la función tienden a 4: límx→2+ f ( x ) = 4 (límite por derecha)

- cuando x se aproxima a 2 por izquierda los valores de la función tienden a 4: límx→2− f ( x ) = 4 (límite por izquierda)

Llamamos límite lateral por derecha si x se aproxima hacia c por valores mayores que el propio c : límx→c+ f ( x ) = L

Llamamos límite lateral por izquierda si x se aproxima hacia c por valores menores que el propio c : límx→c− f ( x ) = L

Es imposible determinar L si los límites laterales no coinciden.

El límite de una función si existe, es único.

3. EXISTENCIA DE LÍMITES

Si f es una función y c y l son números reales, entonces:

límx→cf ( x )=L

⇔ límx→c+ f ( x ) = L y

límx→c− f ( x ) = L

El límite L existe si y solo si los límites laterales son iguales.

Ejemplo 1: Veamos si existe el limx→2 f ( x ) siendo

f ( x )=¿{12 x2si x≤2 ¿¿¿¿


3

Vemos que los límites laterales son distintos:

límx→2−

≠límx→ 2+

⇒no existe

limx→2 f ( x )

Ejemplo 2: Analicemos ahora la función f ( x )=1−x

2

x2

Calculemos el límx→0

1−x2

x2

Desde la gráfica podemos decir:

- cuando x se acerca a 0 por la derecha o por la izquierda, f ( x ) crece indefinidamente

- como f ( x ) no se aproxima a un número real L cuando x tiende a 0, entonces no existe el límite

Los dos últimos ejemplos nos dicen que existen dos razones por las cuales no existe el límite de una función en un número real c :

- f ( x ) tiende a números distintos según nos acerquemos a c por la derecha o por la izquierda

- f ( x ) crece o decrece indefinidamente cuando x tiende a c


4

4. CÁLCULO DE LÍMITES

Sea n un número entero positivo, k una constante, y f y g funciones con límites en c . Entonces:

1. límx→ck=k

2. límx→cx=c

3. límx→ckf ( x )=k . lím

x→ cf ( x )

4. límx→c

[ f ( x )+g ( x ) ]=límx→ cf ( x )+ lím

x→cg ( x )

5. límx→c

[ f ( x )−g ( x ) ]=límx→cf ( x )−lím

x→cg ( x )

6. límx→c

[ f ( x ) . g ( x ) ]=límx→ cf ( x ) . lím

x→cg (x )

7.

límx→c

f (x )g ( x )

=límx→cf ( x )

límx→cg ( x )

con límx→cg (x )≠0

8.

límx→c

[ f ( x ) ]n=[límx→ c f ( x ) ]n

9. límx→c

n√ f ( x )=n√ límx→ cf ( x )

con límx→cf ( x )>0

cuando n es par

- Vimos que la existencia o no de f ( x ) en x=c no afecta la existencia del límite de f ( x ) cuando x tiende a c

- Si el límite es precisamente f ( c ) el límite se puede calcular sustituyendo directamente. Es decir: límx→cf ( x )= f (c )

Ejemplo 3: Encuentra límx→2

7 x5−10 x4−13 x+63 x2−6 x−8

límx→2

7 x5−10 x4−13 x+63 x2−6 x−8 =

7 (2 )5−10 (2 )4−13 (2 )+63 (2 )2−6 (2 )−8 =

−112

5. LÍMITES INFINITOS


5

Ejemplo 4: Halla límx→1

x3+3 x+7x2−2 x+1

Al hacer la sustitución directa en el numerador, el límite es 11, cuando x tiene a 1. Pero el límite del denominador es 0.

Al dividir 11 en 0 en el límite el resultado es un número positivo grande. Decimos entonces que el límite es +∞

Es decir:

límx→1

x3+3 x+7x2−2 x+1 = +∞

El límite de la función f cuando x tiende a c es “más finito”, es decir límx→cf ( x )=+∞

; cuando al tomar valores de x

muy cercanos a c , pero distintos de c , los valores de f ( x ) son muy grandes y positivos, de manera que f ( x ) supera a

cualquier número prefijado M , es decir a cualquier cota.

Ejemplo 5:límx→0

1−x2

x2 = +∞

Ejemplo 6: Puede suceder que una función tienda al límite “menos infinito”

límx→0

−1−x2

x2 = −∞

Ejemplo 7: Analicemos límx→0

1x


6

límx→0+

1x=+∞

y límx→0+

1x=−∞

6. LÍMITES EN EL INFINITO

Consideremos la función f ( x ) =

1−x2

x2

I. Límite finito cuando x→+∞

x 1 2 3 ... 100 ... 1000 ...

f ( x ) 0 -0,75 -0,88... ... -0,9999... ... -0,99999999 ...

A medida que x crece, f ( x ) se aproxima más a –1. Es decir: límx→+∞

f ( x )= -1

Se dice que el límite de una función f cuando x tiende a “ más infinito” es el número L y se expresa simbólicamente :

límx→+∞

f ( x ) = L , cuando al hacerse muy grande la variable x , el valor de f ( x ) se aproxima a L , de manera que

|f ( x )−L| puede ser tan pequeña como se quiera, con tal de tomar x suficientemente grande.

II. Límite finito cuando x→−∞

Veremos el comportamiento cuando x toma valores negativos de valor absoluto muy grande.

x -1 -2 -3 ... -100 ... -1000 ...


7

f ( x ) 0 -0,75 -0,88... ... -0,9999... ... -0,99999999 ...

A medida que x crece en valor absoluto, siendo negativa, f ( x ) se aproxima más a –1. Es decir: límx→−∞

f ( x )= -1

III. Límite infinito cuando x→+∞

Sea la función f ( x )=1

2x2

A medida que x crece (tiende a “más infinito”) la función crece indefinidamente, al “más infinito”.

Es decir: límx→−∞

f ( x )= +∞

Se dice que el límite de una función f cuando x tiende a “más infinito” es “más infinito” y se expresa simbólicamente

límx→+∞

f ( x ) = +∞ , cuando al crecer mucho la variable x , la imagen f ( x ) se hace tan grande como se quiera, con

tal de tomar x suficientemente grande.

Análoga la definición para límx→+∞

f ( x )= −∞ , en este caso f ( x ) se hace negativa pero muy grande en valor

absoluto.

IV. Existen funciones que no tienen límite, ni finito, ni infinito cuando x→∞ :


8

7. LÍMITES INDETERMINADOS

Caso

00

Ejemplo 8: límx→2

x2−4x−2 =

22−42−2 =

00

En este caso, en que se trata del límite de una función racional de variable x, y dicha variable no tiende a cero, se factorea el numerador y el denominador, se simplifica y se calcula el límite de la función resultante.

límx→2

x2−4x−2 =

límx→2

( x−2 ) (x+2 )x−2 =

límx→2 ( x + 2 ) = 4

Ejemplo 9: límx→1

2x2−x−3x+1 =

00

En este caso factoreamos el numerador aplicando Ruffini, ya que sabemos que –1 es una de sus raíces.

2 -1 -3

-1 -2 3

2 -3 0

límx→1

2x2−x−3x+1 =

límx→1

( x+1 ) (2 x−3 )x+1 =

límx→1 ( 2 x – 3 ) = -5

Caso

∞∞

bEste caso se trata del límite de una función racional en el cual la variable tiende a infinito, se divide al numerador y al

denominador por la variable elevada al grado del numerador o del denominador

Ejemplo 10:límx→∞

8 x3+x2+2x5+2 x4 =

∞∞

Dividamos por la menor potencia x3

, es decir por la variable del numerador:


9

límx→∞

8 x3+x2+2x5+2 x4 =

límx→∞

8+ 1x+ 2x3

x2+2x = 8∞ = 0

Dividamos por la mayor potencia x5

, es decir por la variable del denominador:

límx→∞

8 x3+x2+2x5+2 x4 =

límx→∞

8

x2+ 1x3

+ 2x5

1+ 2x =

01 = 0

Llegamos al mismo resultado.

Ejemplo 11:límx→∞

2x6+4 x5−13x2+6 x−2 =

∞∞

límx→∞

2x6+4 x5−13x2+6 x−2 =

límx→∞

2x4+4 x3− 1

x2

3+ 6x− 2x2 =

∞3 = ∞

Ejemplo 12:límt→∞

t6+2 t+15t2+3 t+2 =

∞∞

límt→∞

t6+2 t+15t2+3 t+2 =

límt→∞

1+2t+ 1t2

5+3t+ 2t2 =

15

8. CONTINUIDAD: CONCEPTO INTUITIVO

Podemos acercarnos al concepto intuitivo de continuidad de una función, usando la noción de “continuo” del lenguaje cotidiano.

La gráfica puede trazarse sin levantar el lápiz del papel.


10

Cuando la curva se “rompe”, para x = a, ocurre alguno de los casos siguientes, pero ¿es f continua en a?

En los primeros casos f no es realmente ni continua ni discontinua en a , pues a ∉Domf .

En x = a , simplemente, la función “no existe”. Pero es frecuente, por comodidad y abusando del lenguaje, llamarlas discontinuas en a .

El último caso presenta una genuina discontinuidad en a : f está definida en a y la curva se rompe.

Decir que una función f es continua en x = c significa que su gráfica no presenta interrupciones en c , la curva no se “rompe”, no tiene “saltos” o “huecos”.

Ejemplo 13: Si un banco no paga los intereses hasta que se termine el año, la gráfica del capital final es la siguiente:


11

Como el banco no paga los intereses hasta el fin de año, el capital durante todo el año es el mismo. Pero, al empezar un año nuevo, hay un “salto” en el capital debido a los intereses que se añaden.

Veamos cuando una función es continua en un punto o en un intervalo determinado:

f ( x ) es continua en x = c si:

a) existe límx→c f ( x )

b) existe f ( c )

c) límx→c f ( x ) = f ( c )

Si falla cualquiera de estas condiciones f será discontinua en c

Una función es continua en un intervalo abierto si los es en cada punto perteneciente a éste.

Ejemplo 14: Analicemos la continuidad de h ( x )=¿ {x2 si x<1 ¿¿¿¿

En este caso el punto de discontinuidad es x = 1

a) p. q. existe límx→1h ( x )

límx→1+ h ( x ) =

límx→1 ( x + 1 ) = 2

límx→1−h ( x ) =

límx→1 x2 = 1

Luego el límx→1h ( x ) no existe ya que los límites laterales no son iguales.

b) p. q. existe h (1 )


12

h (1 ) = 2

Luego sí existe h (1 )

c) No se verifica ya que la condición a) no se cumplió.

Por lo tanto h ( x )=¿ {x2 si x<1 ¿¿¿¿

no es continua en x = 1.

9. CLASIFICACIÓN DE LAS DISCONTINUIDADES - Discontinuidades evitables:

Existe el límite y no está definida la función en el punto Existen el límite y está definida la función, pero ambos valores NO COINCIDEN

- Discontinuidades no evitables: La función está definida, pero no existe el límite (los límites laterales son distintos) La función no está definida, ni existe el límite de la función en el punto (o el límite es infinito)

10. APLICACIONES DEL LÍMITE 10.1 ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES

Cuando la variable x tiende a cierto valor a , la función tiende a +∞ o a −∞ . Esto hace que su gráfica se aproxime indefinidamente a la recta de ecuación x = a , a la que llamaremos asíntota vertical de la función dada.

Para las funciones gráficas anteriores tendremos:

x = 1 →asíntota vertical de f ( x )

x = -2 →asíntota vertical de b ( x )

x = 2 →asíntota vertical de b ( x )

x = -1 →asíntota vertical de r ( x )


13

Al analizar los límites en el infinito de algunas funciones a medida que x tiende a menos infinito o x tiende a más infinito,

sus gráficas se aproximan indefinidamente a una recta paralela al eje x ( y=k , k∈ R ) que es su asíntota horizontal.

y = 1 →asíntota horizontal de f ( x )

y = -1 →asíntota horizontal de b ( x )

Una función f ( x ) tiene una asíntota vertical en x = a si:

límx→a f ( x ) = +∞ o

límx→a f ( x ) = −∞ o

límx→a f ( x ) = ∞

Una función f ( x ) tiene una asíntota horizontal en y = b si:

límx→+∞ f ( x ) = b o

límx→−∞ f ( x ) =b o

límx→∞ f ( x ) = b

Ejemplo 15: Halla si existen las asíntotas de f ( x )= 1

x2−4

Buscamos los puntos de discontinuidad, esta función por ser racional presenta discontinuidad cuando el denominador es cero.

x2−4=0 → x = 2 y x = -2 son puntos de discontinuidad

Hallemos si existen asíntotas verticales:

límx→2

1

x2−4 =

10 = ∞ → x = 2 es asíntota vertical

límx→−2

1

x2−4 =

10 = ∞ → x = - 2 es asíntota vertical

Veamos si existe asíntota horizontal:

límx→∞

1

x2−4 = 1∞ = 0 → y = 0 es asíntota horizontal

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