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Bloque 5 Análisis de circuitos en
régimen transitorio
Teoría de Circuitos
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5.1 Análisis de circuitos de primer orden en régimen transitorio
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Régimen transitorio de los circuitos eléctricos
• En los capítulos anteriores se han analizado los circuitos en RÉGIMEN PERMANENTE: ESTADO DE EQUILIBRIO impuesto por los parámetros de la red.
• Ante cualquier maniobra (conmutación / encendido / apagado / fallos / variaciones de la carga...), antes de alcanzar el equilibrio: RÉGIMEN TRANSITORIO
• Las variables del circuito están sometidas a factores EXPONENCIALES DECRECIENTES cuyos valores dependen de los parámetros del circuito
• De corta duración (del orden de milisegundos) pero pueden ocasionar problemas en los circuitos y máquinas eléctricas.
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Régimen transitorio de los circuitos eléctricos
• Al aplicar los lemas de Kirchhoff a los circuitos con bobinas y condensadores (elementos dinámicos) resultan ecuaciones diferenciales que deben resolver para conocer u, i.
• Estudiaremos únicamente circuitos de primer orden (=con un solo elemento dinámico)
)()()( tgtfbdt
tdfa =⋅+⋅
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Circuito RL serie
R Lu u u= +
Ldiu Ldt
=uL
+u
iuR
R
t=t0
diu Ri Ldt
= + Ecuación diferencial de primer orden
Solución
Ru Ri=
Solución de la ecuación homogénea: Respuesta natural del sistema
+Solución particular: Respuesta forzada
es la que hemos estudiado hasta el
momento
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Circuito RL• Solución de la ecuación homogénea
0diRi Ldt
+ =di R dti L= −∫ ∫ ln Ri t K
L= − +
RtL
hi Ae−
=Exponencial decreciente con constante de
tiempo L/R
La respuesta natural del sistema está superpuesta a la forzada
durante un cierto tiempo
RL
=τ
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Función exponencial decreciente
0
2
4
6
8
10
12
0 0,5 1 1,5 2 2,5
f(t)f(0+)=K
tτ
2 τ
3 τ
4 τ
5 τ
• f(0+)=K
• f(inf)=0
•Para t= τ
f=0,368f(0) (decae un 63,2%)
• Para t= 5τ
fin del transitorio (<1% del valor inicial)
•Cuanto menor sea τ, más rápido pasa el transitorio
τt
eKtf−
⋅=)(
τ
es el tiempo que tarda la función f(t) en decaer un 63,2%
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Circuito RL• Solución particular: es la respuesta del sistema a
una excitación( )pi i t∞=
• Solución de la ecuación diferencial: i(t)=ih +ip
( ) ( )ti t Ae i tτ−∞= +
Para hallar la constante A hay que imponer una condición de contorno
0 0( ) ( )i t i t+ −= La corriente no puede variar bruscamente en el momento de cerrar el interruptor
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Circuito RL
00 0( ) ( )ti t Ae i tτ+ +−
∞= +
Aplicando la condición de contorno:
( ) 00 0( ) ( ) tA i t i t e τ+ +
∞= −
( ) ( )ti t Ae i tτ−∞= +
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t ti t i t i t e i tτ+ + − −
∞ ∞= − +
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Circuito RL
• Cualquier circuito de primer orden, por complejo que sea se puede sustituir por un circuito como el analizado mediante el cálculo de su equivalente Thevenin
uL
+uth
iuR
Rth
t=t0
th
LR
τ =
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t ti t i t i t e i tτ+ + − −
∞ ∞= − +
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Simulación conexión de una bobina en continua
El conmutador conecta en t=0
sRL 002.0
1002.0
===τ
t=5τ=10ms RP
t=τ=2ms 68%RP
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Simulación conexión de una bobina en continua
Al disminuir la resistencia aumenta la constante de tiempo
τ=0.02s
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Carga y descarga de una bobina
1. Antes de cerrar: UL=0
2. Primer transitorio: La bobina se carga y entre sus terminales aparece tensión: por la resistencia circula corriente
2. En régimen permanente UL=0
3. Segundo transitorio: La bobina se descarga por la resistencia (se comporta como una fuente de corriente)
Primer transitorio
Segundo transitorio
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Circuito RC paralelo
N R Ci i i= +
Cdui Cdt
=
Nth
u dui CR dt
= +Ecuación diferencial de
primer orden
Rth
uiR
=
uiN Rth
iCiR
( ) h pu t u u= +
• Solución de la ecuación homogénea
0th
du uCdt R
+ = 1
th
du dtu R C
= −∫ ∫ th
tCR
hu Ae−
= thCRτ =
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Circuito RC• Solución particular
( )pu u t∞=
• Solución de la ecuación diferencial: i(t)=ih +ip
( ) ( )tu t Ae u tτ−∞= +
condición de contorno
0 0( ) ( )u t u t+ −= La tensión en un condensador no puede variar bruscamente
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Circuito RC
00 0( ) ( )tu t Ae u tτ+ +−
∞= +
Aplicando la condición de contorno:
( ) 00 0( ) ( ) tA u t u t e τ+ +
∞= −
( ) ( )tu t Ae u tτ−∞= +
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t tu t u t u t e u tτ+ + − −
∞ ∞= − +
thCRτ =
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Carga de un condensador
En t=0s se cierra el interruptor y en t=0.2s se vuelve a abrir
El condensador mantiene su carga
10
0.02
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Carga de un condensador
Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto durante el transitorio circula corriente
10
0.002
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Carga de un condensador
Aunque un condensador en continua se comporta como un circuito abierto durante el transitorio circula corriente
10
0.002
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Carga y descarga de un condensador
Al abrir el interruptor el condensador se descarga por la resistencia de 5 Ω
Apertura interruptor
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Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio
1. Dibujar el circuito para t<t0 y calcular el valor de la corriente en régimen permanente en la bobina o de la tensión en régimen permanente en el condensador.
0 0
0 0
( ) ( )
( ) ( )
i t i t
u t u t
+ −
+ −
=
=
2. Dibujar el circuito para t>t0 y calcular la Rth vista en bornes de la bobina o del condensador. Calcular τ
RC thCRτ =RLth
LR
τ =
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Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio
3. Calcular la respuesta en régimen permanente y particularizar para t=t0
4. Escribir la solución completa
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t tu t u t u t e u tτ+ + − −
∞ ∞= − +
( ) 0( )0 0( ) ( ) ( ) ( )t ti t i t i t e i tτ+ + − −
∞ ∞= − +
5. Calcular otras variables de interés del circuito