bkskfdasnfknskjnd

2012. Beograd Predavanje 9

Doc. Dr Slađana SpasićE-mail:[email protected]

Ass. Ana SimićevićE-mail:[email protected]

STATISTIKA

Testiranje hipoteza o aritmetičkoj sredini

2012. Beograd Predavanje 9 / 1

U okviru dela statistike koja se zove statističko zaključivanjedanas ćemo govoriti o testiranju hipoteza.

Testiranjem hipoteza se proverava neka pretpostavka, teorijaili uverenje o parametru osnovnog skupa (populacije).Koristeći podatke iz uzorka želimo da saznamo da li jetvrđenje o vrednosti parametara osnovnog skupa istinito ili ne.

Razmatraćemo testiranje hipoteza o aritmetičekoj srediniosnovnog skupa µ.

Uvod


Razmotrimo sledeći nestatistički primer: Neka je neka osoba optužena daje počinila krivično delo i zbog toga je na sudu. Na osnovu dokaza sudujaće doneti jednu od dve moguće odluke:1. Osoba nije kriva, ili 2. Osoba je kriva.Na početku suđenja smatra se da osoba nije kriva. Tužilac pokušava dadokaže da je ta osoba počinila krivično delo, pa je prema tome kriva.

Da bi sudija osudio ovu osobu, tužilac će morati da dokaže pomoćudovoljno dokaza da je osoba kriva, u suprotnom ona će biti proglašenanevinom.

Prema tome u ovom primeru zapisali bismo:Nulta hipoteza, H0: Osoba nije krivaAlternativna hipoteza, H1. Osoba je kriva

Dve hipoteze


Primer: Neka je kompanija bezalkoholnih pića tvrdi da njihove limenke uproseku sadrže 330 ml soka. Agencija za kontrolu želi da proveri da li je totačno. U ovom slučaju agencija treba da testira hipotezu o aritmetičkojsredini osnovnog skupa µ. Zašto se testira hipoteza?Neka je izabran uzorak od 100 konzervi ovog soka i neka izračunataaritmetička sredina uzorka iznosi 325 ml. Da li na osnovu rezultataagencija može da tvrdi sve limenke ovog soka u proseku sadrže manje od330 ml i da kompanija vara potrošače. Međutim ovakav rezultat može bitislučajan zato što je dobijen iz uzorka, tj. kao rezultat uzoračke greške. Udrugom uzorku, prosečan sadržaj konzerve bi mogao biti 336 ml.Dakle, kompanija se ne može optužiti pre nego što se sprovede testiranjehipoteze.Prema tome u ovom primeru zapisali bismo:

Nulta hipoteza, H0: µ = 330 ml (ili µ ≥ 330 ml)Alternativna hipoteza, H1: µ < 330 ml

Dve hipoteze


U statistici se pretpostavka ili hipoteza za koju se na početkutestiranja smatra da je tačna naziva nulta hipoteza ioznačava se sa H0. Hipoteza koja označava suprotnost ovojnaziva se alternativna hipoteza i označava se sa H1.

Definicije:Nulta hipoteza, H0 je tvrđenje ili iskaz o nekom

parametru osnovnog skupa (µ) koji se smatra istinitimsve dok se ne dokaže suprotno.Alternativna hipoteza, H1 je tvrđenje o nekom parametruosnovnog skupa (µ) koje će biti istinito ako je nultahipoteza neistinita.

Nulta i alternativna hipoteza


Postupak suđenja osobi možemo prikazati na sledeći način:

Oblast odbacivanja i neodbacivanja

Nema dovoljno dokaza da se osoba proglasi krivom i zato se nulta hipoteza ne odbacuje u ovoj oblasti

Ima dovoljno dokaza da se osoba proglasi krivom i zato se nulta hipoteza odbacuje u ovoj oblasti

Oblast neodbacivanja Oblast odbacivanja0

Nivo dokaza

C

Kritična vrednost


Dva tipa grešaka

Međutim, svi znamo da odluka suda ne mora biti ispravna.Ako je osoba bila proglašena krivom, postoje dvemogućnosti:

1. Osoba nije počinila krivično delo, ali je proglašena krivom.2. Osoba je počinila krivično delo i s pravom je proglašena

krivom.

U prvom slučaju, sud je napravio grešku i osudio je nevinuosobu i takva vrsta greške u statistici se naziva greškaprve vrste ili α (alfa) greška.Naravno, moglo je da se desi i da je osoba oslobođenakrivice, a da je zapravo kriva što bi predstavljalo greškudruge vrste ili β (beta) greška.


Dve vrste greške

Stvarno stanje

Osoba nije kriva

Osoba jeste kriva

Odluka suda

Osoba nije kriva

Ispravna odluka

Greška II vrste (β greška)

Osoba jeste kriva

Greška I vrste (α greška)

Ispravna odluka


Greška I vrste (α) greška

U statistici greška I vrste će se javiti ako je hipoteza H0zapravo istinita (konzerve iz primera sadrže 330 ml soka), alije uzorak koji smo testirali sa aritmetičkom sredinom koja jemnogo manja od 330 ml pa smo greškom odbacili nultuhipotezu. Vrednost α se naziva nivo značajnosti testa ipredstavlja verovatnoću da smo napravili grešku prve vrste.α predstavlja verovatnoću da smo odbacili nultu hipotezukada je ona zapravo istinita.

Definicija: Greška I vrste se javlja kada se istinita nultahipoteza odbaci. Vrednost α ili nivo značajnosti testapredstavlja verovatnoću javljanja ove greške tj.

α = P(H0 se odbacuje| H0 je istinita)


Greška II vrste β greška

U statistici greška II vrste će se javiti ako je hipoteza H0 ustvari nije istinita (konzerve iz primera sadrže manje od 330 mlsoka), ali je uzorak koji smo testirali sa aritmetičkom sredinomkoja je neznatno manja ili veća od 330 ml pa smo greškomdoneli odluku da ne odbacimo nultu hipotezu. Vrednost βpredstavlja verovatnoću da smo napravili grešku druge vrste.Vrednost (1 – β) se naziva jačina testa ili moć testa.

Definicija: Greška II vrste se javlja kada se neistinita nultahipoteza ne odbaci. Vrednost (1– β) ili jačina testa predstavljaverovatnoću da se greška II vrste ne javi tj.

β = P(H0 se ne odbacuje| H0 je neistinita)


Vrste grešaka pri testiranju hipoteze

Stvarno stanje

H0 je istinita H0 nije istinita

OdlukaH0 se neodbacuje

Ispravna odluka

Greška II vrste (β greška)

H0 se odbacuje

Greška I vrste (α greška)

Ispravna odluka


Smerovi (oblici) testa

Prilikom statističkog testiranja hipoteze deoba ukupneoblasti na oblast odbacivanja i neodbacivanja hipotezezavisiće od nivoa značajnosti α tj. od izabraneverovatnoće javljanja greške I vrste.

Takođe, oblast odbacivanja se može nalaziti sa jednestrane oblasti neodbacivanja ili sa obe strane.

Test može biti:• dvostrani (dvosmerni)• jednostrani (jednosmerni): levostrani i desnostrani.


Dvostrani test

Površina je α/2Površina je α/2

µ=200

Dvostrani test ima oblast odbacivanja nulte hipoteze na oba kraja.

Nulta i alternativna hipoteza glase:

H0: µ = 200

H1: µ ≠ 200

X


Levostrani test

Levostrani test ima oblast odbacivanjanulte hipoteze na levom kraju.

Površina je α

µ=200


H0: µ = 200

H1: µ < 200


Desnostrani test

Desnostrani test ima oblast odbacivanjanulte hipoteze na desnom kraju.


H0: µ = 200

H1: µ > 200

Površina je α

µ=200


Vrste testova

Dvostrani test

Levostrani test

Desnostrani test

Znak u nultoj hipotezi

= = ili ≥ = ili ≤

Znak u alternativnoj

hipotezi

≠ < >

Oblast odbacivanja

Na oba kraja

Na levom kraju

Na desnom kraju


Testiranje hipoteze o µ:σ poznato

Objasnićemo postupak testiranja hipoteze o aritmetičkoj sredini osnovnog skupa µ kada je standardna devijacija σ poznata. Moguća su tri slučaja.I slučaj. Ispunjeni su sledeći uslovi:

1. Standardna devijacija skupa σ je poznata2. Uzorak je mali tj. n<303. Osnovni skup ima normalnu raspodelu.

Tada koristimo normalnu raspodelu za testiranje hipoteze o µ jer je uzoračka raspodela za normalna sa aritmetičkom sredinom µ i standardnom devijacijom

X

05,0/ je ako ≤= NnnXσσ



II slučaj. Ispunjeni su sledeći uslovi:

1. Standardna devijacija skupa σ je poznata2. Uzorak je veliki tj. n>30

Tada se testiranje hipoteze o µ vrši primenom normalne raspodele jer je uzoračka raspodela za , prema centralnoj graničnoj teoremi, približno normalna, sa aritmetičkom sredinom µ i standardnom devijacijom

X

05,0/ je ako ≤= NnnXσσ


III slučaj. Ispunjeni su sledeći uslovi:

1. Standardna devijacija skupa σ je poznata2. Uzorak je mali tj. n<303. Osnovni skup nema normalnu raspodelu ili je

raspodela nepoznata.

Tada koristimo neparametarski metod za testiranje hipoteze o µ.




σ je poznato

Osnovni skup imanormalnu raspodelu i

n < 30

Osnovni skup nemanormalnu raspodelu i

n < 30n ≥ 30

Koristi se normalna raspodela

za testiranje hipoteze o µ

Koristi se neparametarski metodza testiranje hipoteze o

µ


Pristupi testiranju hipoteza

Koristićemo dva pristupa testiranju hipoteza:

1. Pristup zasnovan na p-vrednosti. Ako je nivo značajnostiα unapred izabran, za realizovanu vrednost statistikeuzorka izračunavamo tzv. p-vrednost. p-vrednost jeverovatnoća.

2. Pristup zasnovan na kritičnoj vrednosti. Za realizovanuvrednost statistike uzorka izračunavamo realizovanuvrednost statistike testa i nalazimo kritičnu vrednost iztablice. Zatim poredimo realizovanu vrednost statistiketesta sa kritičnom vrednošću i donosimo odluku.


Pristup zasnovan na p-vrednosti

Primenom pristupa zasnovanog na p-vrednostitestiranje hipoteze se vrši u sledećim koracima:

1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze2. Izbor raspodele koja će se koristiti3. Izračunavanje p-vrednosti4. Donošenje odluke



Primenom pristupa zasnovanog na p-vrednostinultu hipotezu odbacujemo ako je:

p - vrednosti < α

nultu hipotezu ne odbacujemo ako je:

p - vrednosti ≥ α

gde je α nivo značajnosti.


Određivanje z za

2p

2p

µ x

Vrednost izračunata iz izabranog uzorka

X

Ako je nivo značajnosti α unapred izabran, za realizovanu vrednost statistike uzorka izračunavamo vrednost z, a zatim tzv.p-vrednost.

p- vrednost

Vrednost izračunata iz izabranog uzorka

xµ


Izračunavanje vrednosti z za

Kada se u testiranju hipoteze o µ koristi normalnaraspodela, vrednost z, za vrednost u izabranomuzorku se izračunava na sledeći način:

nxz X

X

σσσ

µ=

−= je gde

Izračunata vrednost z, na osnovu iz izabranog uzorka,naziva se realizovana vrednost statistike z testa.

X

x

x


Testiranje hipoteze o µ, jednostranim testom primenom p-

vrednosti i normalne raspodele

Zadatak:

Uprava Čigote tvrdi da korisnici tretmana mršavljenjaza 3 nedelje gube u proseku 10 kg. U nameri da proveriovu tvrdnju agencija za zaštitu potrošača je izabralaslučajan uzorak od 36 članova kluba i utvrdila da su oniizgubili u proseku 9,2 kg. Poznato je da je standardnadevijacija osnovnog skupa 2,4 kg. Odrediti p-vrednost uovom testu. Šta se moze zaključiti kada je nivoznačajnosti testa α=0,01, a šta ako je α=0,05?


Testiranje hipoteze o µ, jednostranim testom primenom p-

vrednosti i normalne raspodele

kgkgxnkg 4,2,2,9,36,10 ==== σµKorak 1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze:H0: µ ≥ 10 (Prosečan gubitak težine je 10 i više kg.)H1: µ < 10 (Prosečan gubitak težine je manji od 10 kg.)Korak 2. Izbor raspodele koja će se koristiti.σ poznata, n>30, pa ćemo za testiranje hipoteze koristitinormalnu raspodelu za određivanje p-vrednosti.Korak 3. Izračunavanje p-vrednostiZnak u alternativnoj hipotezi ukazuje da je test levostrani, pa jep-vrednost jednaka verovatnoći prikazanoj površinom levo od

ispod krive uzoračke raspodele statistikekgx 2,9= X


Testiranje hipoteze jednostranim testom primenom p-vrednosti i

normalne raspodele

p =0,0228

Xx 10 == µ2,9

Z 0 00,2−

2,9=xz za vrednost

40,0364,2====

−= X

X

xz σσ

µ je gde -20,40

10-9,2

p-vrednost jednaka verovatnoći prikazanoj površinom levo od kritične vrednosti z = -2,00 koju očitavamo iz tablica za normalnu raspodelu. Ta vrednost je p=0,0228.


Testiranje hipoteze jednostranim testom primenom p-vrednosti i normalne

raspodele

Korak 4. Donošenje odluke.Na osnovu p-vrednosti p =0,0228 možemo da tvrdimo da daćemo nultu hipotezu odbaciti za bilo koji nivo značajnosti kojije veći od 0,0228, dok za svaku drugu vrednost α, koja jemanja ili jednaka 0,0228 nultu hipotezu nećemo odbaciti.Ako je nivo značajnosti α=0,01, p =0,0228 > α, pa neodbacijemo nultu hipotezu. Zaključujemo da prosečangubitak težine tokom 3 nedelje u Čigoti iznosi najmanje 10kg.Ako je nivo značajnosti α=0,05, p =0,0228 < α, pa odbacijemonultu hipotezu. Zaključujemo da prosečan gubitak težinetokom 3 nedelje u Čigoti iznosi u proseku manje od 10 kg.


Pristup zasnovan na kritičnoj vrednosti

Primenom pristupa zasnovanog kritičnoj vrednostitestiranje hipoteze se vrši u sledećim koracima:

1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze2. Izbor raspodele koja će se koristiti3. Određivanje oblasti odbacivanja i neodbacivanja4. Izračunavanje vrednosti statistike testa5. Donošenje odluke

Ovaj pristup se zove tradicionalni ili klasični pristup.


Statistika testa Z

Kada se u testiranju hipoteze o µ koristi normalnaraspodela, slučajna promenljiva Z se naziva statistikatesta.

nXZ X

X

σσσ

µ=

−= je gde

Statistika testa može da se definiše kao pravilo ili kriterijum koji koristimo pri donošenju odluke da li da odbacimo hipotezu ili ne.


Testiranje hipoteze o µ primenom dvostranog testa: σ je poznata i n>30

Zadatak:

Telefonska komapanija je utvrdila da je prosečna dužinameđunarodnih razgovora koji su preko ove kompanijeobavljeni u 2008. bila 12,44 min. Uprava je želela daproveri da li se prosečna dužina aktuelnih telefonskihrazgovora razlikuje od 12,44 min. U uzorku od 150takvih razgovora prosečna dužina iznosila je 13,71 min.Standardna devijacija svih razgovora je 2,65 min. Da lise na nivou značajnosti od 2% može zaključiti da seprosečna dužina aktuelnih međunarodnih razgovorarazlikuje od 12,44 min?


Testiranje hipoteze o µ, dvostranim testom, σ poznato i n>30

min65,2min,71,13,150min,44,12 ==== σµ xnKorak 1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze:H0: µ = 12,44 min (Prosečna dužina svih aktuelnih međunarodnih razgovoraje 12,44 min.)H1: µ ≠ 12,44 min (Prosečna dužina svih aktuelnih međunarodnih razgovoraje različita od 12,44 min.)

Korak 2. Izbor raspodele koja će se koristiti.σ poznata, n>30, pa ćemo za testiranje hipoteze koristiti normalnuraspodelu.

Korak 3. Određivanje oblasti odbacivanja i neodbacivanjaNivo značajnosti je 0,02. Znak ≠ u alternativnoj hipotezi ukazuje da je testdvostrani, sa dve oblasti odbacivanja koje su simetrično raspoređene nakrajevima krive približno normalne uzoračke raspodele. Površine kojeodgovaraju oblastima odbacivanja su na svakom kraju α/2=0,02/2=0,01


Testiranje hipoteze dvostranim testom, σ poznato i n>30

Primenom poznatih površina na svakom kraju određujemo kritične vrednosti z iz tablica za normalnu raspodelu, gde nalazimo verovatnoće 0,01 i 0,99. Odgovarajuće kritične vrednosti Z statistike su z = 2,33.

Ovime smo odredili oblasti odbacivanja i neodbacivanja H0.

α/2 =0,01

X 12,44=µ

Z , 332033,2−

α/2 =0,01

Kritične vrednosti

Odbacuje se H0. Odbacuje se H0.

Ne odbacuje se H0.


Testiranje hipoteze dvostranim testom

Korak 4. Izračunavanje vrednosti statistike testa

Odluka da li će da se odbaci ili ne odbaci nulta hipotezazavisi od toga da li će dokazi iz uzorka da se nalaze uoblasti odbacivanja ili ne. Sledi da je realizovana vrednoststatistike testa Z

2164,015065,287,5 =====

−=

nxz X

X

σσσ

µ je gde 0,2164

12,44-13,71


Testiranje hipoteze dvostranim testom

Korak 5. Donošenje odlukeNa osnovu realizovane vrednosti z statistike testa Zdonosimo odluku o odbacivanju ili neodbacivanju nultehipoteze.Ova vrednost z=5,87 je veća od kritične vrednosti z=2,33 inalazi se u oblasti odbacivanja nulte hipoteze.Sledi da nultu hipotezu odbacujemo i zaključujemo da, naosnovu podataka u uzorku, prosečna dužina svih telefonskihrazgovora nije jednaka 12,44 min.


Testiranje hipoteze o µ:σ nije poznato

Kako testirati hipotezu o aritmetičkoj sredini µ kada standardna devijacija σ nije poznata? Moguća su tri slučaja.

I slučaj. Ispunjeni su sledeći uslovi:

1. Standardna devijacija osnovnog skupa σ nije poznata2. Uzorak je mali tj. n<303. Osnovni skup ima normalnu raspodelu.

Tada koristimo t raspodelu za testiranje hipoteze o µ.

2012. Beograd Predavanje 9/ 36


II slučaj. Ispunjeni su sledeći uslovi:

1. Standardna devijacija skupa σ nije poznata2. Uzorak je veliki tj. n>30

Tada koristimo t raspodelu za testiranje hipoteze o µ.



III slučaj. Ispunjeni su sledeći uslovi:

1. Standardna devijacija osnovnog skupa σ nije poznata2. Uzorak je mali tj. n<303. Osnovni skup nema normalnu raspodelu ili je raspodela

nepoznata.

Tada se koriste neparametarski testovi za testiranje hipoteze o µ.



σ nije poznato

Osnovni skup imanormalnu raspodelu i

n < 30

Osnovni skup nemanormalnu raspodelu i

n < 30n ≥ 30

Koristi se t raspodela za testiranje hipoteze o µ

Koristi se neparametarske

metode za testiranje hipoteze o µ


Statistika testa t

Kada su ispunjeni uslovi iz slučaja I i II koristimo t raspodelu za testiranje hipoteze o µ, kada standardna devijacija skupa σ nije poznata. t se naziva statistika testa.

Vrednost statistike testa t za aritmetičku sredinu uzorkaizračunava se kao

nSs

sxt X

X

=−

= je gde µ

Vrednost statistike testa t izračunata na ovaj način naziva sejoš i realizovana vrednost statistike t testa.


Pristupi testiranju hipoteza

Koristićemo dva pristupa testiranju hipoteza:

1. Pristup zasnovan na p-vrednosti. Ako je nivo značajnostiα unapred izabran, za realizovanu vrednost statistikeuzorka izračunavamo tzv. p-vrednost. p-vrednost jeverovatnoća.

2. Pristup zasnovan na kritičnoj vrednosti. Za realizovanuvrednost statistike uzorka izračunavamo realizovanuvrednost statistike testa t i nalazimo kritičnu vrednost iztablice. Zatim poredimo realizovanu vrednost statistiketesta sa kritičnom vrednošću i donosimo odluku.


Testiranje hipoteze o µ, σ nije poznata i n>30.


Zadatak:

Komapanija tvrdi da njihovi akumulatori imaju prosečanvek trajanja od 65 meseci. Agencija želi da proveri ovotvrđenje. Izabrala je uzorak od 45 akumulatora i utvrdilada je njihov prosečan vek trajanja 63,4 meseca,standardna devijacija 3 meseca. Odredite p-vrednost itestirajte hipotezu da je prosečan vek trajanjaakumulatora manji od 65 meseci. Šta ćete zaključiti akoje nivo značajnosti 2,5 %?

26. 4. 2010. Beograd Predavanje 9 / 42

Testiranje hipoteze o µ, jednostranim testom, σ nepoznato i n>30

messmesxnmes 3,4,63,45,65 ==== µKorak 1. Formulisanje nulte i alternativne hipoteze:H0: µ ≥65 meseci (Prosečni vek trajanja akumulatora je namanje 65 mes.)H1: µ < 65 meseci (Prosečni vek trajanja akumulatora je manji od 65 mes.)

Korak 2. Izbor raspodele koja će se koristiti.σ nije poznata, n>30, pa ćemo za testiranje hipoteze koristiti t raspodelu.

Korak 3. Izračunavanje p-vrednostiNivo značajnosti je 0,025. Znak < u alternativnoj hipotezi ukazuje da je testlevostran, sa jednom oblašću odbacivanja nulte hipoteze.

Da bi smo odredili p-vrednost, najpre određujemo broj stepeni slobode i

realizovanu vrednost statistike t testa za .mesx 4,63=



t- raspodele

p =0,001

286,3−=t

441451

4472,0453

=−=−=

=====−

=

ndfns

sxt X

X

s je gde -3,5780,4472

65-63,4 µ

p-vrednost jednaka verovatnoćiprikazanoj površinom levo odrealizovane vrednosti statistiket testa izračunate za .Vrednost p očitavamo iz tablicaza t raspodelu. Nalazimo df=44 iu tom redu vrednost statistiket=3,268, a p =0,001. Pa je p-vrednost u ovom primeru manjaod 0,001.

x

578,3−=t



t raspodeleKorak 4. Donošenje odluke.Za bilo koji nivo značajnosti koji je veći od 0,001odbacujemo nultu hipotezu. U ovom primeru α=0,025 što jeveće od gornje granice za p-vrednost od 0,001.

Kako je p < 0,001 < 0,025 = α odbacijemo nultu hipotezu.

Zaključujemo da prosečan vek trajanja akumulatora manjiod 65 meseci.

Hvala na pažnji!

2012. Beograd Predavanje 8

bkskfdasnfknskjnd

Documents